Kalkulus 2. Andai Attila április 29.

Klkulus 2 Andi Attil 2018. április 29. ndi@mth.bme.hu

Trtlomjegyzék 1. Véges dimenziós terek topológiáj........................................... 1 1.1 Skláris szorzás és norm...................................................... 1 1.2 Topológii lpfoglmk....................................................... 3 1.3 Soroztok...................................................................... 7 1.4 Cuchy-soroztok.............................................................. 9 1.5 Kompkt hlmzok............................................................ 10 1.6 Heine Borel-tétel............................................................... 12 1.7 Kompkt hlmzok jellemzése soroztokkl..................................... 13 1.8 Függvények htárértéke........................................................ 13 1.9 Függvények folytonosság...................................................... 16 1.10 Kompkt hlmzon értelmezett folytonos függvények........................... 20 1.11 Egyenletesen folytonos függvények.............................................. 21 1.12 Normák ekvivlenciáj......................................................... 22 1.13 Normák ekvivlenciájánk következményei..................................... 23 1.14 Sorok.......................................................................... 26 1.15 Lineáris leképezések............................................................ 27 1.16 Multilineáris leképezések....................................................... 32 1.17 Kontrkciók és Bnch-féle fixponttétel....................................... 36 1.18 Konvex hlmzok szétválsztás................................................ 37 1.19 Az lgebr lptétele........................................................... 39 2. Függvénysoroztok, függvénysorok véges dimenzióbn....................... 43 2.1 Pontonkénti és egyenletes konvergenci......................................... 43 2.2 A korlátos folytonos függvények tere........................................... 46 2.3 Függvénysorozt és függvénysor deriválás és integrálás....................... 48 2.4 Htványsorok.................................................................. 52 2.5 Abel-tétel...................................................................... 53 2.6 Approximáció polinomokkl.................................................... 55 3. Differenciálszámítás véges dimenzióbn...................................... 59 3.1 Differenciálhtóság............................................................. 59 3.2 Differenciálás műveleti tuljdonsági........................................... 62 3.3 Iránymenti derivált............................................................. 64 3.4 Néhány speciális függvény deriváltj............................................ 65 3.5 Vektor-vektor függvény deriváltj.............................................. 67 3.6 Grdiens, divergenci és rotáció................................................ 68 3.7 Folytonosn differenciálhtó függvények........................................ 70 3.8 Függvénysorozt és függvénysor differenciálhtóság............................ 72 3.9 Inverzfüggvény tétel............................................................ 75 3.10 Implicitfüggvény tétel.......................................................... 79 3.11 Többszörös deriváltk.......................................................... 80 3.12 Tylor-sorfejtés................................................................ 83 3.13 Lokális szélsőérték jellemzése................................................... 86 3.14 Feltételes szélsőérték........................................................... 88 3.15 Konvexitás differenciális jellemzése............................................. 90 4. Fourier-sorok................................................................ 93 4.1 Trigonometrikus polinomok.................................................... 93 4.2 Fourier-féle ortogonális függvényrendszer....................................... 95 4.3 Függvény Fourier-sor......................................................... 99. Tárgymuttó................................................................. 102

A BME mtemtikus hllgtóink trtott Anlízis és Klkulus tárgyk motiválták jelen jegyzet megírását. Ez okttási segédnyg, melyben előfordulhtnk hibák. Ezért h hibát tlál szövegben, kérem jelezze szerzőnek. Köszönettel trtozom Dr. Tóth Jánosnk z előzetes verziókbn szereplő elírások kijvításáért és értékes megjegyzéseiért, Joó Attilánk, ki felhívt figyelmem hlmzelmélet részben pár ponttlnságr jegyzet előzetes változtábn, vlmint Lovs Attilánk függelék gondos átnézéséért. Különböző jelölések bevezetése és definíciók során = szimbólumot fogjuk hsználni definiáló egyenlőségként. Az = b zt jelenti, hogy már ismert b kifejezést továbbikbn jelöli. 2022. március 7. Andi Attil Ez dokumentum elektronikus és nyomttott formábn szbdon hsználhtó, de csk sját célokr, nem-kereskedelmi jellegű lklmzásokhoz, tevékenységekhez. A dokumentum internetre vló feltöltése és mások áltl elérhetőve tétele csk szerző engedélyével lehetséges. Minden más terjesztési és felhsználási form esetében is szerző engedélyét kell kérni. Copyright, 2022 Andi Attil

1 1. Véges dimenziós terek topológiáj Jelölés. A jelen fejezetben véges dimenziós euklidészi tér elemi tuljdonságit tekintjük át. A fejezetben végig feltesszük z n és z m szimbólumról, hogy szigorún pozitív természetes számot jelölnek. H nem teszünk rá kikötést, kkorn és m tetszőleges eleme z N + hlmznk. Ugynezekkel feltételezésekkel élünk, h n 1,...,n k szimbólumokr vontkozón. Jelölés. A fejezet elején emlékeztetünk projekció függvényre, mit fejezetben többször fogunk hsználni. A projekció függvény hlmzok Descrtes-szorztán értelmezett z lábbi módon. H A i ) i I hlmzrendszer és j I, kkor pr j : i IA i A j x xj). Speciálisn K n téren minden i {1,...,n} index esetén pr i : K n K x 1,...,x n ) x i. Az egyszerűség kedvéért x K n és i {1,...,n} esetén hsználjuk z x i = pr i x) jelölést. Ezt jelölést függvényekre is lklmzzuk. Tehát h vlmely T hlmz esetén f : T K n függvény és i {1,...,n}, kkor f i = pr i f, zz f i : T K t ft) i. Jelölés. A K n vektortérben továbbikbn e k k {1,...,n}) fogj jelölni zt vektort, melynek k-dik komponense 1, többi 0. Az K n térben nyilván bázis e k ) k {1,...,n} vektorrendszer. 1.1. Skláris szorzás és norm 1.1. Definíció. A K n téren z lábbi műveleteket értelmezzük. + : K n K n K x 1,...,x n ),y 1,...,y n )) x 1 +y 1,...,x n +y n ) : K K n K λ,x 1,...,x n )) λx 1,...,λx n ) 1.2. Tétel. A K n tér fenti műveletekkel vektortér. Bizonyítás. A vektortér tuljdonsági nyilvánvló módon teljesülnek fenti műveletekre. 1.3. Definíció. A K n téren műveletet skláris szorzásnk nevezzük., : K n K n K x,y) x k y k 1.4. Tétel. A K n téren skláris szorzásr z lábbik teljesülnek. 1. x K n : x,x R + 0 2. x K n : x,x = 0 x = 0 3. x,y,z K n : x+y,z = x,z + y,z 4. x,y K n λ K : λx,y = λ x,y 5. x,y K n : x,y = y,x Bizonyítás. A definíció nyilvánvló következménye. 1.5. Tétel. Cuchy Schwrz Bunykovszkij-egyenlőtlenség.) Minden x,y K n vektorr teljesül. x,y 2 x,x y,y k=1

2 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA Bizonyítás. Legyen x,y K n. H x = y = 0, kkor nyilván teljesül z egyenlőtlenség, ezért tegyük fel, hogy y 0. Tekintsük minden t K esetén z = x ty vektort. Ekkor skláris szorzás lptuljdonság mitt 0 z,z = x ty,x ty = x,x t y,x t x,y + t 2 y,y. Behelyettesítve fenti egyenlőtlenségbe t = y,x y,y értéket dódik. 0 x,x x,y y,x y,x x,y y,x x,y + y,y y,y y,y y,y y,y = = 1 x,x y,y x,y 2) y,y 1.6. Definíció. Az x,y R n \{0} vektorok áltl bezárt szög 1.7. Definíció. A K n téren értelmezett α = rccos x,y x,x y,y. : K n R + 0 x x függvényt normánk nevezzük, h z lábbik teljesülnek rá. x K n : x = 0 x = 0 x K n, λ K : λx = λ x x,y K n : x+y x + y Azt mondjuk, hogy K n, ) normált tér, h norm K n téren. 1.8. Tétel. Minden p [1, [ esetén K n téren p : K n R + x x p = k=1 x k p ) 1 p : K n R + x x = mx{ xk k {1,...,n}} leképezések normák melyet p-normánk vgy sup-normánk vgy mximum-normánk nevezünk). Bizonyítás. Egyedül normákr vontkozó háromszög-egyenlőtlenség nem dódik rögtön definícióból. Legyen x,y K n tetszőleges. Adott p [1, [ esetén x+y p x p + y p Minkowski-egyenlőtlenség következménye. Mivel z x, y vektor minden k {1,..., n} komponensére x k +y k x k + y k teljesül, ezért x+y = mx{ x k +y k k {1,...,n}} mx{ x k + y k k {1,...,n}} mx{ x k k {1,...,n}}+mx{ y k k {1,...,n}} = x + y. 1.9. Tétel. A K n téren minden x K n vektorr x 2 = x,x teljesül. Bizonyítás. A definíciók lpján nyilvánvló. 1.10. Tétel. Minden x,y R n \{0} vektorr teljesül, hol α vektorok áltl bezárt szög. x,y = x 2 y 2 cosα

1.2 TOPOLÓGIAI ALAPFOGALMAK 3 Bizonyítás. A vektorok áltl bezárt szög definíciój és fenti tétel k lpján nyilvánvló. 1.11. Tétel. Legyen K n, ) normált tér. Ekkor minden x,y K n esetén x y x y teljesül. Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér és x,y K n tetszőleges. A norm tuljdonság lpján x = x y)+y x y + y x y x y, z x és y szerepét felcserélve és kihsználv, hogy x y = y x y x x y dódik. Vgyis ± x y ) x y, miből következik bizonyítndó állítás. 1.2. Topológii lpfoglmk 1.12. Definíció. Legyen K n, ) normált tér. Minden r R számr és x K n pontr B r x) = {y K n x y < r} hlmzt z x pont körüli r sugrú nyílt gömbi környezetnek nevezzük. Amennyiben nem okoz félreértést, normát nem írjuk ki, tehát csk B r x) szimbólumot fogjuk hsználni. Megjegyzés. A továbbikbn számtlnszor fogjuk hsználni áltlábn hivtkozás nélkül z lábbi egyszerű, de fontos tényt. 1.13. Tétel. Legyen K n, ) normált tér, x K n és r R +. Ekkor minden y B r x) pontr és ρ ]0,r x y [ számr B ρ y) B r x) teljesül. Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér, x K n, r R +, y B r x) és ρ ]0,r x y [. H z B ρ y), kkor y z < ρ, miből következik, zz z B r x). Tehát B ρ y) B r x). x z x y + y z < x y +ρ < r 1.14. Tétel. Legyen K n, ) normált tér. Ekkor d : K n K n R x,y) x y leképezésre z lábbik teljesülnek. 1. x,y K n : dx,y) = 0 x = y 2. x,y K n : dx,y) = dy,x) 3. x,y,z K n : dx,z) dx,y)+dy,z) Bizonyítás. A norm definíciój lpján mindegyik tuljdonság nyilvánvló. Jelölés. Adott K n, ) normált tér és x,y K n pontok esetén továbbikbn dx,y) = x y jelölést hsználjuk.

4 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA 1.15. Definíció. Legyen K n, ) normált tér. Az X K n hlmz nyílt, h minden x X ponthoz létezik r R +, hogy B r x) X teljesül. Az X K n hlmz zárt, h K n \X nyílt. Az X K n hlmz korlátos, h létezik olyn r R + és x K n, hogy X B r x) teljesül. 1.16. Tétel. Korlátos hlmz részhlmz korlátos. Véges sok korlátos hlmz uniój korlátos. Bizonyítás. Az első állítás definíció lpján nyilvánvló. A második állításhoz vegyük K n, ) normált tér A 1,...,A n korlátos részhlmzit, és legyen r i,x i ),...,n olyn rendszer, hogy minden i = 1,...,n esetén A i B ri x i ), legyen továbbá minden i = 1,...,n esetén legyen R i = r i + x i x 1. Ekkor minden i számr z 1.13 tétel mitt B ri x i ) B Ri x 1 ) teljesül. Tehát z R = n mx{r i i = 1,...,n} számr teljesül, hogy A i B R x 1 ). 1.17. Tétel. Legyen K n, ) normált tér. Minden x K n pont és r R + szám esetén B r x) korlátos, nyílt hlmz. Bizonyítás. A definíció lpján B r x) hlmz korlátosság nyilvánvló. legyen R ]0,r x y [. Ekkor z 1.13 tétel mitt B R y) B r x) teljesül. Legyen y B r x) és 1.18. Tétel. Nyílt hlmzok rendszere.) Legyen K n, ) normált tér. 1. Az üres hlmz és K n nyílt. 2. Véges sok nyílt hlmz metszete nyílt. 3. Nyílt hlmzok tetszőleges rendszerének z uniój nyílt. Bizonyítás. 1. A definíció lpján nyilvánvló. 2. Legyen A i ),...,n nyílt hlmzok tetszőleges véges rendszere és legyen továbbá x minden i = 1,...,n számhoz létezik olyn r i R +, hogy B ri x) A i teljesül. H kkor R R + és B R x) n A i teljesül. R = min{r i i = 1,...,n}, n A i. Ekkor 3. Legyen A i ) i I nyílt hlmzok tetszőleges rendszere és legyen továbbá x i IA i. Ekkor létezik olyn i 0 I melyre x A i0 teljesül. B r x) A i0, vgyis B r x) i IA i. Mivel A i0 nyílt hlmz, így létezik olyn r R +, melyre 1.19. Tétel. Zárt hlmzok rendszere.) Legyen K n, ) normált tér. 1. Az üres hlmz és K n zárt. 2. Véges sok zárt hlmz uniój zárt. 3. Zárt hlmzok tetszőleges rendszerének metszete zárt. Bizonyítás. 1. A definíció lpján nyilvánvló. 2. Legyen Z i ),...,n zárt hlmzok tetszőleges véges rendszere. Ekkor minden i {1,...,n} esetén K n \Z i nyílt hlmz. A n n K n \ Z i = K n \Z i ) de Morgn zonosság mitt mitt z is nyílt. Vgyis n Z i komplementere véges sok nyílt hlmz metszete, így z előző állítás n Z i hlmz zárt.

1.2 TOPOLÓGIAI ALAPFOGALMAK 5 3. Legyen Z i ) i I zárt hlmzok tetszőleges rendszere. Ekkor minden i {1,...,n} esetén K n \Z i nyílt hlmz. A K n \ Z i = K n \Z i ) i I i I de Morgn zonosság mitt i IZ i komplementere nyílt hlmzok uniój, így z előző állítás mitt z is nyílt. Vgyis i IZ i hlmz zárt. 1.20. Tétel. Legyen K n, ) normált tér és Z,U K n. H Z zárt hlmz és U nyílt hlmz, kkor Z \U zárt hlmz és U \Z nyílt hlmz. Bizonyítás. A K n, ) normált térben legyen Z K n zárt hlmz és U K n nyílt hlmz. Ekkor z Z \U = Z K n \U) zonosság lpján z Z \U két zárt hlmz metszete, ezért zárt. Az U \Z = U K n \Z) egyenlőség szerint z U \ Z hlmz két nyílt hlmz metszete, ezért nyílt. 1.21. Definíció. Legyen K n, ) normált tér, X K n és x K n. Azt mondjuk, hogy x belső pontj z X hlmznk, h r R + : B r x) X; htárpontj z X hlmznk, h r R + : B r x) X B r x) K n \X) ; torlódási pontj z X hlmznk, h r R + : B r x)\{x}) X ; izolált pontj z X hlmznk, h r R + : B r x) X = {x}. 1.22. Definíció. Legyen K n, ) normált tér, X K n és x X. Azt mondjuk, hogy X környezete z x pontnk, h x belső pontj z X hlmznk. 1.23. Definíció. Legyen K n, ) normált tér. Az X K n hlmz belsejének nevezzük z IntX = {x K n r R + : B r x) X} hlmzt, zz belső pontok hlmzát; lezártjánk pedig z X = {x K n r R + : B r x) X } hlmzt, zz z érintési pontok hlmzát. Az X hlmz htáránk nevezzük hlmzt. FrX) = X \IntX 1.24. Tétel. Legyen K n, ) normált tér. Tetszőleges X K n hlmz esetén 1. Int X hlmz nyílt; 2. Int X z legbővebb nyílt hlmz, melyet X trtlmz; 3. X hlmz zárt; 4. X z legszűkebb zárt hlmz, mely trtlmzz X-et. Bizonyítás. 1. Legyen x IntX. Ekkor létezik olyn r R +, melyre B r x) X. Mivel B r x) hlmz minden pontj belső pontj z X hlmznk, ezért B r x) IntX teljesül. 2. Jelölje U zt legbővebb nyílt hlmzt, melyet X trtlmz. Ekkor nyilván Int X U teljesül. Legyen z U. Ekkor z U hlmz nyíltság mitt létezik olyn r R +, hogy B r x) U miből U X felhsználásávl B r x) X dódik, vgyis x IntX. Tehát z U IntX trtlmzás is fennáll. 3. Legyen z K n \X. Ekkor lezárt definíciój lpján létezik olyn r R +, melyre B r z) X =.

6 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA teljesül. Megmuttjuk, hogy ekkorb r z) K n \X, vgyis z X hlmz komplementere nyílt. Tegyük fel, hogy létezik y B r z) X elem. Ekkor ρ = r y z > 0 számr B ρ y) X teljesül lezárás definíciójából. A B ρ y) B r z) trtlmzás felhsználásávl z B ρ y) X B r z) X = ellentmondás dódik. 4. Jelölje Z zt legszűkebb zárt hlmzt, mely z X hlmzt trtlmzz. Ekkor nyilván Z X teljesül. Tegyük fel, hogy létezik y X \Z elem. A Z hlmz zártság és y / Z mitt létezik olyn r R +, melyre B r y) Z =. A lezárás értelmezése lpján B r y) X. Az X Z trtlmzás felhsználásávl z B r y) X B r y) Z = ellentmondás dódik. 1.25. Tétel. Legyen K n, ) normált tér. Tetszőleges X K n hlmz esetén 1. z X hlmz pontosn kkor nyílt, h X = IntX; 2. z X hlmz pontosn kkor zárt, h X = X. Bizonyítás. Az előző tétel lpján nyilvánvló. 1.26. Tétel. Legyen K n, ) normált tér. Az X K n hlmz pontosn kkor zárt, h z összes torlódási pontját trtlmzz. Bizonyítás. Legyen X K n zárt hlmz és legyen x K n z X hlmz torlódási pontj. Ez zt jelenti, hogy minden r R + számr Vgyis minden r R + számr B r x)\{x}) X. B r x)\{x}) X B r x) X, miből definíció szerint x X következik. Mivel X zárt hlmz, ezért z előző állítás mitt x X. Legyen X K n olyn hlmz, mely trtlmzz z összes torlódási pontját. Megmuttjuk, hogy ekkor X = X teljesül, mely ekvivlens z X hlmz zártságávl. Az X X trtlmzás nyilvánvló ezért csk zt kell igzolni, hogy X X. Tegyük fel, hogy létezik x X \ X elem. Ekkor x X mitt minden r R + esetén B r x) X, továbbá x / X mitt B r x)\{x}) X, vgyis x z X hlmz torlódási pontj. Mivel X trtlmzz z összes torlódási pontját, ezért z x X ellentmondást kpjuk. 1.27. Tétel. Legyen K n, ) normált tér és X K n. Ekkor IntX = K n \K n \X, X = K n \IntK n \X). Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér és X K n. Legyen x IntX. Ekkor létezik olyn r R +, hogy B r x) X teljesül. Vgyis K n \ X) B r x) =. Ebből x / K n \X következik. Fordítv, h x / K n \X, kkor létezik olyn r R +, melyre K n \X) B r x) =. Ebből B r x) X következik, vgyis x Int X. A második egyenlőség következik z elsőből, hiszen ) K n \IntK n \X) = K n \ K n \K n \K n \X) = K n \K n \X) = X. 1.28. Definíció. Legyen K n, ) normált tér és X,Y K n. Azt mondjuk, hogy z X hlmz sűrű z Y hlmzbn, h X = Y ; sűrű, h X = K n.

1.3 SOROZATOK 7 1.3. Soroztok 1.29. Definíció. Soroztok htárértéke.) Legyen K n, ) normált tér. Az : N K n függvényeket soroztoknk nevezzük. Azt mondjuk, hogy x K n z : N K n sorozt htárértéke, h ε R + N N n N n > N n B ε x)). Azt mondjuk, hogy z : N K n sorozt konvergens, h létezik htárértéke. Azt mondjuk, hogy z : N K n sorozt divergens, h nem konvergens. 1.30. Tétel. A K n, ) normált térben hldó konvergens sorozt htárértéke egyértelmű. Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér és z : N K n soroztnk legyen x,y K n htárértéke. Tegyük fel, hogy x y. Ekkor létezik olyn N N, hogy n > N esetén d n,x) < dx,y) és 2 d n,y) < dx,y). Amiből 2 ellentmondás dódik. dx,y) dx, n )+d n,y) < dx,y) Mgyrázt. Tehát K n, ) normált térben, h létezik egy soroztnk htárértéke, kkor z egyértelmű. 1.31. Definíció. A lim művelet.) Legyen K n, ) normált tér. Az : N K n konvergens sorozt htárértékét lim vgy lim n n jelöli. 1.32. Definíció. Legyen K n, ) normált tér. Az : N K n sorozt korlátos, h Rn korlátos hlmz. Legyen σ : N N olyn függvény, melyre minden n N esetén σn) < σn + 1) teljesül z ilyen σ függvény neve indexsorozt), és legyen : N K n tetszőleges sorozt. Ekkor z σ : N K n soroztot z sorozt részsoroztánk nevezzük. 1.33. Tétel. Minden konvergens sorozt korlátos. Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér, : N K n konvergens sorozt és legyen lim = A. Ekkor létezik olyn N N, küszöbindex, hogy minden n N, N < n számr n B 1 A), vgyis z { n n > N} hlmz korlátos. Minden 0 n N esetén z egyetlen pontból álló { n } hlmz N ) korlátos. Mivel Rn B 1 A) { n } és jobb oldlon álló hlmz véges sok korlátos hlmz n=0 uniój, vgyis korlátos, ezért Rn hlmz is korlátos. 1.34. Tétel. Konvergens sorozt minden részsorozt konvergens és htárértéke ugynz, mint z eredeti sorozt htárértéke. Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér, : N K n konvergens sorozt, σ : N N indexsorozt, és legyen ε R +. Ekkor létezik olyn N N, küszöbindex, hogy minden n N, N < n számr n lim < ε teljesül. Mivel σn) n, ezért minden n N, N < n számr σn) lim < ε teljesül, vgyis z σ sorozt konvergens és lim σ) = lim. 1.35. Tétel. Legyen K n, ) normált tér, A K n és x K n. 1. Az A hlmznk x pontosn kkor torlódási pontj, h létezik olyn : N A\{x} sorozt, melyre lim = x. 2. Az A hlmz pontosn kkor zárt, h minden konvergens : N A soroztr lim A.

8 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér, A K n és x K n. 1. Tegyük fel, hogy x z A hlmz torlódási pontj. Ekkor minden n N esetén ) B 1 x)\{x} A. n+1 A kiválsztási xióm lpján n N B 1 n+1 x)\{x} ) A. Legyen egy tetszőleges eleme ennek hlmznk. Ekkor egy N A \ {x} sorozt, melyre lim = x, hiszen minden n N számr d n,x) < 1 n+1 teljesül. Tegyük fel, hogy : N A \ {x} olyn sorozt, melyre lim = x, és legyen r R + tetszőleges prméter. Az sorozt konvergenciáj mitt létezik olyn N N küszöbindex, hogy minden n N, N < n számr d n,x) < r, vgyis N+1 B r x). Az N+1 elemre N+1 A\{x} is teljesül, ezért ) N+1 B1 x)\{x} A. r 2. Legyen A K n zárt hlmz, : N A konvergens sorozt és lim = α. Tegyük fel, hogy α / A. Mivel α eleme nyílt K n \A hlmznk, ezért létezik olyn r R +, hogy B r α) K n \A), miből B r α) A = dódik. Az sorozt konvergenciáj mitt viszont z r számhoz létezik olyn N N küszöbindex, hogy minden n N, N < n esetén n B r α). Ekkor viszont z N+1 B r α) A = ellentmondás dódik. Legyen A K n olyn hlmz, hogy minden : N A konvergens sorozt esetén lim A. Tegyük fel, hogy z A hlmz nem zárt és legyen α A\A. A lezárt definíciój lpján α torlódási pontj z A hlmznk. Ezért létezik olyn : N A sorozt, melyre lim = α, vgyis z α A ellentmondást kpjuk. 1.36. Tétel. Legyen K n, ) normált tér, c K,,b : N K n és λ : N K konvergens sorozt. 1. Az +b sorozt konvergens és lim+b) = lim)+limb). 2. A c sorozt konvergens és limc) = clim). 3. A λ sorozt konvergens és limλ) = limλ)lim). 4. Az sorozt konvergens és lim = lim. Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér,,b : N K n és λ : N K konvergens sorozt z A = lim, B = limb és Λ = limλ htárértékekkel, vlmint legyen ε R + tetszőleges szám. 1. A ε 2 számhoz létezik olyn N,N b N küszöbindex, melyre minden n > N számr n A < ε 2 és minden n > N b számr b n B < ε 2. Ekkor z N = mx{n,n b } küszöbindexre teljesül z, hogy minden n > N esetén n +b n ) A+B) n A + b n B < ε 2 + ε 2 = ε. 2. Ac = 0 számr nyilván igz z állítás, ezért feltehető, hogyc K\{0}. Azsorozt konvergenciáj mitt létezik olyn N N küszöbindex, hogy minden n > N esetén n A < ε. Ekkor minden c n > N számr ε c n ca = c n A < c c = ε. 3. Mivel λ sorozt korlátos ezért létezik olyn K R +, hogy minden n N számr λ n < K. Tegyük fel, hogy A 0. Legyen N N olyn küszöbindex, hogy minden n > N esetén n A < ε 2K és legyen N λ N olyn küszöbindex, hogy minden n > N λ esetén λ n Λ < ε. Ekkor z 2 A N = mx{n,n b } küszöbindexre teljesül z, hogy minden n > N esetén λ n n ΛA = λ n n λ n A+λ n A ΛA λ n n A + A λ n Λ <

1.4 CAUCHY-SOROZATOK 9 < K ε 2K + A ε 2 A = ε. H A = 0, kkor létezik olyn N N olyn küszöbindex, hogy minden n > N esetén n < ε K. Ekkor ε λ n n 0 K K = ε. 4. H N N olyn küszöbindex, hogy minden n > N esetén n A < ε, kkor minden n > N számr n A n A < ε. 1.37. Tétel. Legyen n N +, p [1, [ { }, és : N K n sorozt. Az sorozt pontosn kkor konvergens K n, p ) térben, h minden i {1,...,n} esetén z i = pr i sorozt konvergens és ekkor minden i {1,...,n} indexre teljesül. pr i lim) = limpr i ) Bizonyítás. Legyen n N +, p [1, [ { }, és : N K n sorozt. H z sorozt konvergens, kkor legyen x = lim, i {1,...,n} tetszőleges index és ε R + tetszőleges prméter. Mivel konvergens, ezért létezik olyn N N küszöbindex, hogy minden n N, N < n számr d p n,x) < ε. Ekkor pr i n ) pr i x) < ε, vgyis limpr i ) = pr i lim). Most tegyük fel, hogy minden i {1,...,n} esetén pr i sorozt konvergens és legyen ε R + tetszőleges prméter. Legyen x = limpr 1 ),...,limpr n )) K n. Minden i {1,...,n} esetén létezik olyn N i N küszöbindex, hogy minden N i < n természetes számr pr i n ) x i < ε n. Legyen N = mx{n i i {1,...,n}}. Ekkor minden N < n természetes számr p esetben p = esetben pedig d p n,x) = n p pr i n ) x i p < n ε ) p ε p = n p 1 = ε n n d n,x) = mx{ pr i n ) x i i {1,...,n}} < ε n ε teljesül, tehát lim = x, vgyis z sorozt konvergens. p n n ε, 1.4. Cuchy-soroztok 1.38. Definíció. Legyen K n, ) normált tér. Az : N K n sorozt Cuchy-sorozt, h ε R + N N n,m N N < n N < m) n m < ε ). 1.39. Tétel. Minden Cuchy-sorozt korlátos. Bizonyítás. LegyenK n, ) normált tér és : N K n Cuchy-sorozt. Ekkor létezik olynn N, küszöbindex, hogy minden n,m N, N < n,m számr d n, m ) < 1 teljesül, vgyis minden N < n természetes szám esetén n B 1 N+1 ), vgyis z { n n > N} hlmz korátos. Minden 0 n N esetén z egyetlen pontból álló { n } hlmz korlátos. Mivel Rn véges sok korlátos hlmz uniój, ezért korlátos. 1.40. Tétel. Minden konvergens sorozt Cuchy-sorozt.

10 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér, : N K n konvergens sorozt, melynek htárértéke A K n és legyen ε R +. Ekkor létezik olyn N N, hogy minden n N, N < n számr d n,a) < ε teljesül, vgyis minden N < n,m természetes szám esetén 2 d n, m ) d n,a)+d m,a) < ε 2 + ε 2 = ε. 1.41. Tétel. Egy Cuchy-sorozt pontosn kkor konvergens, h létezik konvergens részsorozt. Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér, : N K n Cuchy-sorozt, σ : N N olyn indexsorozt, melyre σ konvergens, és legyen továbbá A = lim σ. H ε R +, kkor létezik olyn N 1 N küszöbindex, hogy minden n,m N, N 1 < n,m esetén d n, m ) < ε 2 és létezik olyn N 2 N küszöbindex, hogy minden n N, N 2 < n esetén d σn),a) < ε 2. H N = mx{n 1,N 2 } és n N, N < n, kkor d n,a) d n, σn) )+d σn),a) < ε 2 + ε 2 = ε, hol kihsználtuk, hogy σn) n. 1.42. Definíció. Legyen K n, ) normált tér és A K n. Azt mondjuk, hogy z A hlmz teljes, h minden : N A Cuchy-sorozt konvergens és htárértéke z A hlmzbn vn. Azt mondjuk, hogy K n, ) normált tér teljes, h K n teljes hlmz. 1.43. Tétel. A K n, ) normált tér teljes, továbbá minden A K n zárt hlmz teljes. Bizonyítás. Legyen : N K n Cuchy-sorozt K n, ) térben. Mivel minden i {1,...,n} és n,m N index esetén pr i n ) pr i m ) n m, ezért pr i : N K Cuchy-sorozt Kszámtestben vgyis konvergens. Amiből z 1.37 tétel lpján dódik, hogy z sorozt konvergens. Legyen A K n zárt hlmz. Ekkor minden : N A Cuchy-sorozt konvergens K n térben, zonbn zárt hlmzbn hldó konvergens sorozt htárértéke is hlmzbn vn, ezért A teljes. Kiegészítés. A normávl ellátott vektorterek teljessége nem szükségszerű. 1.44. Definíció. A teljes normált tereket Bnch-tereknek nevezzük. 1.45. Tétel. A K n, ) normált tér Bnch-tér. 1.5. Kompkt hlmzok 1.46. Definíció. Legyen K n, ) normált tér. Az X K n hlmz kompkt, h minden nyílt fedésének létezik véges részbefedése. Azz, h minden X A i esetén létezik olyn véges I I hlmz, melyre X A i teljesül, hol i I i I minden i I esetén z A i nyílt részhlmz z K n térnek. 1.47. Tétel. A K n, ) normált térben 1. minden véges hlmz kompkt; 2. véges sok kompkt hlmz uniój kompkt. Bizonyítás. A kompktság definíciójánk közvetlen következménye. 1.48. Tétel. Legyen K n, ) normált tér és X K n kompkt hlmz. 1. Ekkor X korlátos és zárt. 2. Az Y X hlmz pontosn kkor kompkt, h zárt.

1.5 KOMPAKT HALMAZOK 11 Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér és X K n kompkt hlmz. 1. Megmuttjuk, hogy X korlátos. Legyen p K n tetszőleges pont. Mivel X K n = B n p), n N + ezért létezik olyn véges I N + hlmz, hogy X n IB n p). Ekkor z r = mx{i} számr X B r p) teljesül. Most igzoljuk, hogy X zárt. Ehhez legyen p K n \X tetszőleges pont. Minden x X pont esetén h rx) = dx,p), kkor B rx) x) B rx) p) =. Mivel 2 X B rx) x) z X kompkt hlmz nyílt fedése, ezért létezik olyn H X véges hlmz, melyre X B rx) x) x X x H teljesül. Legyen r = min{rx) x H}. Ekkor minden x H esetén B rx) x) B r p) =, vgyis ) X B r p) B rx) x) B r p) = Brx) x) B r p) ) =. x H Ez zt muttj, hogy B r p) K n \X. Tehát K n \X hlmz minden pontj belső pont, ezért K n \X nyílt hlmz, vgyis X zárt. 2. Legyen Y X zárt hlmz és legyen U i ) i I z Y hlmz nyílt fedése és legyen V = K n \ Y. Ekkor V,U i ) i I z X hlmz nyílt fedése X V i IU i ), ezért létezik olyn I I véges hlmz, melyre X V U i. A V hlmz definíciójából dódik, hogy ekkor Y U i is teljesül, vgyis i I i I z Y hlmz kompkt. H Y X kompkt hlmz, kkor z első pont lpján zárt. 1.49. Tétel. Cntor-féle közösrész-tétel.) Legyen K n, ) normált tér és K i ) i I K n kompkt, nem üres hlmzink olyn rendszere, hogy minden i,j I esetén létezik olyn k I index, hogy K k K i K j teljesül. Ekkor K i. i I Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér és K i ) i I K n kompkt, nem üres hlmzink olyn rendszere, hogy minden i,j I esetén létezik olyn k I, hogy K k K i K j teljesül, vlmint rögzítsünk egy i 0 I indexet. Minden i I esetén legyen U i = K n \K i K i0 ), mely nyílt hlmz. A bizonyítndó állítássl ellentétben tegyük fel, hogy i IK i =. Ekkor i IU i = i I x H ) K n \K i K i0 ) = K n \ K i K i0 ) = K n, vgyis K i0 U i. Mivel K i0 kompkt, ezért létezik olyn I I véges hlmz, hogy K i0 U i. i I i I Ebből K i0 ) U i = K n \K i K i0 ) = K n \ K i K i0 ) i I i I i I dódik. A feltevés mitt véges sok K i kompkt hlmz metszete sem üres, tehát létezik j I, melyre K j K i K i0 ). Erre hlmzr fenti trtlmzás lpján i I K j K i0 K n \ i I i I K i K i0 ) ) K n \K j

12 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA következik, mi nyilvánvló K j K n \K j ellentmondásr vezet. 1.6. Heine Borel-tétel 1.50. Tétel. Minden R R + esetén [ R,R] n hlmz kompkt z R n, ) normált térben. Bizonyítás. Legyen R R + és tekintsük T 0 = [ R,R] n hlmzt z R n, ) normált térben. A T 0 hlmz nyilván korlátos, hiszen z r 0 = 1 + 2R számr teljesül, hogy bármely x T 0 esetén T 0 B r0 x). Most megmuttjuk, hogy zárt is. Ehhez legyen c : N T 0 tetszőleges konvergens sorozt, limc = C htárértékkel. Ekkor z 1.37 tétel lpján minden i {1,...,n} indexre limpr i c) = C i teljesül. Mivel pr i c) konvergens sorozt z [ i,b i ] zárt hlmzbn hld, ezért C i [ i,b i ]. Tehát C T 0. Indirekt módon tegyük fel, hogy T 0 hlmz nem kompkt. Ekkor létezik olyn U k ) k K nyílt hlmzokból álló lefedése T 0 hlmznk, melynek nem létezik véges részbefedése. Vegyünk egy ilyen U k ) k K hlmzrendszert. Most definiáljuk T n ) n N hlmzokt z lábbi rekurzióvl. A T 0 hlmzt már fent definiáltuk. Tegyük fel, hogy vlmely n N esetén T n hlmz ismert és i) h n 1, kkor T n T n 1 ; ii) z U k ) k K hlmzrendszernek nem létezik olyn véges részhlmz, mely lefedi T n hlmzt; n iii) T n = [α i,β i ] lkú, hol minden i {1,...,n} esetén α i,β i R. Ezek feltételek teljesülnek T 0 hlmzr. Legyen j {0,1} n és definiáljuk hlmzokt. Ekkor A j = n [ β i α i α i +j i, α ] i +β i β i α i +j i 2 2 2 T n = j {0,1} n A j felbontás nem más mint T n hlmz 2 n drbr vló felosztás z élek felezésével. Minden j {0,1} n esetén z U k ) k K hlmzrendszer lefedi z A j hlmzt. H minden j {0,1} n esetén z U k ) k K hlmzrendszernek létezne olyn véges részhlmz, mely lefedi z A j hlmzt, kkor T n hlmznk is létezne véges részbefedése. Tehát létezik leglább egy olyn j {0,1} n index, melyre z teljesül, hogy U k ) k K hlmzrendszernek egyetlen véges részhlmz sem fedi be za j hlmzt. Válsszunk egy ilyen j indexet és legyen T n+1 = A j. Ekkor z így definiált T n+1 hlmzr teljesülnek z i) iii) tuljdonságok. Tekintsük T n ) n N hlmzokt. Minden n N + esetén legyen r n = r 0. Egyszerűen igzolhtó, 2n hogy ekkor minden n N + és x T n esetén T n B rn x) teljesül. Minden i {1,...,n} esetén pr i T n )) n N hlmzrendszerre teljesülnek Cntor-féle közösrésztétel feltételei, ezért pr i T n ). n N Legyen x i n Npr i T n ) és x = x 1,...,x n ). Ekkor minden n N esetén x T n. Mivel x T 0, ezért létezik olyn k 0 K index, melyre x U k0 teljesül. Az U k0 hlmz nyíltság mitt létezik olyn R R +, melyre B R x) U k0. Mivel lim r n = 0, ezért létezik olyn n N, melyre r n < R teljesül. n Ekkor x T n B rn x) B R x) U k0 mitt zt kptuk, hogy T n hlmz lefedhető véges sok, nevezetesen egyetlen U k0 nyílt hlmzzl, ellentmondv ezzel feltételezésünknek. 1.51. Tétel. Heine Borel-tétel végtelen normár.) Az R n, ) normált tér egy részhlmz pontosn kkor kompkt, h korlátos és zárt.

1.7 KOMPAKT HALMAZOK JELLEMZÉSE SOROZATOKKAL 13 Bizonyítás. H K R n R n, ) normált tér egy kompkt részhlmz, kkor K z 1.48 tétel lpján korlátos és zárt. Most tegyük fel, hogy K R n korlátos és zárt hlmz. A K hlmz korlátosság mitt létezik olyn n R R +, hogy K B R 0) teljesül. Ekkor végtelen norm definíciój lpján K [ R,R]. Az 1.50 tétel lpján lpján K kompkt. n [ R,R] kompkt hlmz és K ennek zárt részhlmz, tehát z 1.48 tétel 1.7. Kompkt hlmzok jellemzése soroztokkl 1.52. Tétel. Bolzno Weierstrss-tétel euklidészi terekben végtelen normár.) Legyen A R n. Az R n, ) normált térben z A hlmz pontosn kkor kompkt, h minden A hlmzbn hldó soroztnk létezik olyn konvergens részsorozt, melynek htárértéke eleme z A hlmznk. Bizonyítás. Legyen A R n kompkt hlmz és : N A tetszőleges sorozt. Definiáljuk minden n N esetén z A n = { k k n} hlmzt. Az A n ) n N hlmzrendszerre teljesülnek Cntor-tétel feltételei, ezért létezik x n NA n. Ekkor minden n N esetén x { k k n} teljesül. Ebből lezárt definíciój lpján következik, hogy minden ε R + és n N esetén B ε x) { k k n}, ezért létezik olyn k n, melyre k B ε x). Definiáljuk σ : N N indexsoroztot z lábbi iterációvl. Legyen σ0) = min{k N k B 1 x)}. { } H σn) már ismert, kkor legyen σn+1) = min k N σn) < k k B 1 x). n+2 Ekkor z σ sorozt konvergens, htárértéke x. Ekkor lim σ) K, vgyis K hlmz zártság mitt lim σ) K. Most legyen A R n nem kompkt hlmz. Ekkor z 1.51 tétel lpján A vgy nem zárt vgy nem korlátos. H A nem zárt, kkor létezik egy x A \ A pont és ehhez egy : N A konvergens sorozt, melyre lim = x teljesül. Ekkor z egy olyn A hlmzbn hldó sorozt, melynek nincsen olyn konvergens részsorozt, mely htárértéke z A hlmzbn lenne. H A nem korlátos, minden n N esetén A B n+1 0) teljesül. Legyen n NA \ B n+1 0) tetszőleges. Ekkor z egy olyn A hlmzbn hldó sorozt, melyre minden n N esetén n+1 n teljesül. Tehát egyetlen részsorozt sem korlátos, ezért konvergens sem lehet. Vgyis z egy olyn A hlmzbn hldó sorozt, melynek nincsen konvergens részsorozt. 1.8. Függvények htárértéke 1.53. Definíció. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m függvény és z K n pont z f függvény értelmezési trtományánk torlódási pontj. Azt mondjuk, hogy z f függvény htárértéke z pontbn A K m, h ε R + δ R + ) fb δ )\{}) B ε A). 1.54. Tétel. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m függvény, z K n pont z f függvény értelmezési trtományánk torlódási pontj és legyen A,B K m z f függvény htárértéke z pontbn. Ekkor A = B.

14 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m, K n Domf hlmz torlódási pontj, és A,B K m legyen z f függvény htárértéke z pontbn. Tegyük fel, hogy A B. Ekkor létezik olyn δ A,δ B R +, hogy minden x Domf esetén 0 < dx,) < δ A d fx),a) < d A,B) 2 0 < dx,) < δ B d fx),b) < d A,B) 2 teljesül, hol d jelöli norm szerinti távolságot, zz d A,B) = A B. Ami zt jelenti, hogy h δ = min{δ A,δ B }, kkor minden x Domf) B δ )\{}) elemre ellentmondás teljesül, tehát A = B. d A,B) d A,fx))+d fx),b) < d A,B) 1.55. Definíció. A lim művelet.) LegyenK n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m függvény és z K n pont Domf hlmz torlódási pontj. H létezik z f függvénynek htárértéke z pontbn, kkor zt lim f vgy lim x fx) jelöli. 1.56. Tétel. Átviteli elv htárértékre.) Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m függvény és z K n pont Domf hlmz torlódási pontj. A limf htárérték pontosn kkor z létezik, h minden olyn : N Dom f \ {z} soroztr, mely z ponthoz konvergál, létezik limf htárérték. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m és z M Domf hlmz torlódási pontj. Tegyük fel, hogy létezik lim z f = F K m htárérték. Legyen : N Domf\{z}, z ponthoz konvergáló sorozt és ε R + tetszőleges prméter. Ekkor z f függvény htárértéke mitt létezik olyn δ R +, hogy x Domf : 0 < dx,z) < δ d fx),f) < ε. Ehhez δ számhoz z sorozt konvergenciáj mitt létezik olyn N N küszöbindex, hogy minden n N, N < n számr d n,z) < δ. Ekkor minden n N, N < n számr d f n ),F) < ε, vgyis lim f n) = F. n Most tegyük fel, hogy limf létezik minden : N Domf \ {z}, z ponthoz konvergáló sorozt esetén. Legyen b,c : N Domf \ {z} két olyn tetszőleges sorozt, mely z ponthoz konvergál, vlmint legyen { b n h n páros; 2 : N Domf \{z} n cn 1 2 h n pártln. Ekkor f b és f c is részsorozt konvergens f soroztnk, tehát htárértékük is megegyezik. Vgyis létezik olyn A K m pont, hogy minden : N Domf \{z}, z ponthoz konvergáló sorozt esetén limf = A. Megmuttjuk, hogy ekkor lim z f = A. Tegyük fel ugynis, hogy lim z f A. Ekkor ε R + δ R + x B δ z)\{z} : fx) / B ε A). Rögzítsünk egy ilyen ε R + számot. Mivel minden n N esetén { } x Domf \{z} x B 1 z)\{z}, d fx),a) ε, n+1 ezért n N { } x Domf \{z} x B 1 z)\{z}, d fx),a) ε. n+1 H egy tetszőleges eleme fenti hlmznk, kkor : N Domf \ {z} olyn sorozt, melynek minden n N esetén d n,z) < 1 teljesül z elemeire, vgyis lim = z. Ekkor limf = A nem n+1

1.8 FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 15 teljesül, ugynis z ε számhoz nem létezik olyn N N küszöbindex, hogy minden n N, N < n 2 számr d f n ),A) ε teljesül, ugynis z sorozt konstrukciój mitt minden n N számr 2 d f n ),A) ε. Tehát zt z ellentmondást kptuk, hogy nem minden : N Domf \ {z}, z ponthoz konvergáló sorozt esetén teljesül, hogy limf = A. 1.57. Tétel. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f,g : K n K m, ϕ : K n K, λ K és K n torlódási pontj Domf Domg Domϕ hlmznk. Tegyük fel, hogy létezik lim f, lim g és lim ϕ. Akkor z pont torlódási pontj Domf +g), Domλf), Domϕf) és Dom f ) hlmznk, vlmint 1. lim f +g) = lim f +lim g; 2. lim λf) = λlim f); 3. limϕf) = limϕ)limf); 4. lim f = limf. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f,g : K n K m, ϕ : K n K λ K, K n torlódási pontj H = Domf Domg Domϕ hlmznk, legyen F = lim f, G = lim g, Φ = lim ϕ, vlmint legyen ε R + tetszőleges prméter. 1. Az ε 2 számhoz létezik olyn δ f,δ g, hogy Ekkor δ = min{δ f,δ g } számr x H : 0 < x < δ f fx) F < ε 2 x H : 0 < x < δ g gx) G < ε 2. x H : 0 < x < δ f +g)x) F +G) fx) F + gx) G < ε teljesül, vgyis lim f +g) = F +G. 2. H λ = 0, kkor nyilván igz z állítás. Tegyük fel, hogy λ 0. Az ε λ R+ számhoz létezik olyn δ R +, hogy minden x H számr, h 0 < x < δ, kkor fx) F < ε λ. Ezek lpján h x H, 0 < x < δ, kkor vgyis lim λf) = λf. 3. Létezik olyn δ 1 R +, hogy λfx) λf = λ fx) F < λ vgyis, h x H olyn, hogy x < δ 1, kkor ε λ = ε, x H : 0 < x < δ 1 fx) F < 1, fx) < F +1. Minden ε R + számhoz létezik olyn δ f,δ ϕ, hogy x H : 0 < x < δ f fx) F < ε, x H : 0 < x < δ ϕ ϕx) Φ < ε. Ekkor δ = min{δ f,δ ϕ,δ 1 } számr, h x H olyn, hogy 0 < x < δ, kkor ϕf)x) ΦF = ϕx)fx) Φfx)+Φfx) ΦF

16 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA fx) ϕx) Φ + Φ fx) F F +1) ε + Φ ε = ε F + Φ +1) < ε, teljesül, h 0 < ε ε < F + Φ +1. Ezek lpján z ε, F és Φ számokhoz válsztunk olyn ε prmétert, melyre teljesül fenti egyenlőtlenség, mjd válsztunk δ 1,δ f, δ ϕ mennyiségeket és ezekből kpjuk meg ε számhoz trtozó δ mennyiséget. 4. Az ε R + számhoz létezik olyn δ R +, hogy x H : 0 < x < δ fx) F < ε. Ekkor δ számr igz, hogy minden 0 < x < δ esetén teljesül, vgyis lim f = F. fx) F fx) F < ε 1.9. Függvények folytonosság 1.58. Definíció. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m és Domf. Az f függvény folytonos z pontbn, h ε R + δ R + ) fb δ )) B ε f)). Az f függvény folytonos, h minden Domf pontbn folytonos. Jelölés. Adott K n, ) és K m, ) normált terek és U K n és V K m részhlmzok esetén jelölést fogjuk hsználni. CU,V) = {f : U V f folytonos} 1.59. Tétel. Átviteli elv folytonosságr.) Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m és z Domf. A f függvény pontosn kkor folytonos z pontbn, h minden olyn : N Domf soroztr, mely z ponthoz konvergál, létezik limf htárérték és megegyezik z fz) elemmel. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m és z Domf. Tegyük fel, hogy z f függvény folytonos z pontbn és legyen : N Domf, z ponthoz konvergáló sorozt. Az f függvény z pontbeli folytonosság mitt tetszőleges ε R + prméterhez, létezik olyn δ R +, hogy x Domf : dx,z) < δ d fx),fz)) < ε. Ehhez δ számhoz z sorozt konvergenciáj mitt létezik olyn N N küszöbindex, hogy minden n N, N < n számr d n,z) < δ. Ekkor minden n N, N < n számr d f n ),fz)) < ε, vgyis lim n f n) = fz). Tegyük fel, hogy f nem folytonos z pontbn. Ekkor ε R + δ R + x Domf B δ z) : fx) / B ε fz)). Rögzítsünk egy ilyen ε R + számot. Mivel minden n N esetén { } x Domf x B 1 z), d fx),fz)) ε, n+1 ezért n N { } x Domf x B 1 z), d fx),fz)) ε. n+1

1.9 FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA 17 H egy tetszőleges eleme fenti hlmznk, kkor : N Domf olyn sorozt, melynek minden 1 n N esetén d n,z) < teljesül z elemeire, vgyis lim = z. Ekkor limf = fz) n+1 nem teljesül, ugynis z ε számhoz nem létezik olyn N N küszöbindex, hogy minden n N, 2 N < n számr d f n ),fz)) ε, ugynis z sorozt konstrukciój mitt minden n N számr 2 d f n ),fz)) ε. Tehát zt z ellentmondást kptuk, hogy nem minden : N Domf, z ponthoz konvergáló sorozt esetén teljesül, hogy limf = fz). 1.60. Tétel. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m, és z Domf pont Domf hlmz torlódási pontj. Az f függvény pontosn kkor folytonos z pontbn, h lim f létezik és lim f = f). Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m, és z Domf pont Dom f hlmz torlódási pontj. Egymás lá írv lim f = f) és z f függvény pontbeli folytonosságánk jelentését ε R + δ R + x Domf : ε R + δ R + x Domf : 0 <dx,) < δ d fx),f)) < ε dx,) < δ d fx),f)) < ε rögtön dódik, hogy z Domf esetben két formul ekvivlens. 1.61. Tétel. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f,g : K n K m, ϕ : K n K, λ K és Domf Domg Domϕ. Tegyük fel, f, g és ϕ folytonos z pontbn. Ekkor z pontbn 1. f +g; 2. λf; 3. ϕf; 4. f folytonos. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f,g : K n K m, ϕ : K n K, λ K, H, hol H = Domf Domg Domϕ. Tegyük fel, f, g és ϕ folytonos z pontbn. Legyen ε R + tetszőleges prméter. 1. Az ε 2 számhoz létezik olyn δ f,δ g, hogy Ekkor δ = min{δ f,δ g } számr x H : x < δ f fx) f) < ε 2, x H : x < δ g gx) g) < ε 2. x H : x < δ f +g)x) f +g)) fx) f) + gx) g) < ε teljesül, vgyis f +g folytonos z pontbn. 2. H λ = 0, kkor nyilván igz z állítás. Tegyük fel, hogy λ 0. Az ε λ R+ számhoz létezik olyn δ R +, hogy minden x H számr, h x < δ, kkor fx) f) < ε. Ezért h λ x < δ, kkor vgyis λf folytonos z pontbn. 3. Létezik olyn δ 1 R +, hogy λfx) λf) = λ fx) f) < λ ε λ = ε, x H : x < δ 1 fx) f) < 1,

18 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA vgyis, h x H olyn, hogy x < δ 1, kkor fx) < F +1. Minden ε R + számhoz létezik olyn δ f,δ ϕ, hogy x H : x < δ f fx) F < ε x H : x < δ ϕ ϕx) ϕ) < ε. Ekkor δ = min{δ f,δ ϕ,δ 1 } számr, h x H olyn, hogy 0 < x < δ, kkor ϕf)x) ϕ)f) = ϕx)fx) ϕ)fx)+ϕ)fx) ϕ)f) fx) ϕx) ϕ) + ϕ) fx) f) f) +1) ε + ϕ) ε = ε f) + ϕ) +1) < ε, teljesül, h 0 < ε ε <. Tehát z ε, f) és ϕ) számokhoz válsztunk olyn f) + ϕ) +1 ε prmétert, melyre teljesül fenti egyenlőtlenség, mjd válsztunk δ 1, δ f, δ ϕ mennyiségeket és ezekből kpjuk meg ε számhoz trtozó δ mennyiséget. 4. Az ε R + számhoz létezik olyn δ R +, hogy x H : x < δ fx) f) < ε. Ekkor δ számr igz, hogy minden x < δ esetén teljesül, vgyis f folytonos z pontbn. fx) f) fx) f) < ε 1.62. Tétel. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, λ K, vlmint f,g : K n K m és ϕ : K n K folytonos függvény. Ekkor f +g, λf, ϕf és f is folytonos. Bizonyítás. Az előző állítást kell lklmzni minden K n pontr. 1.63. Tétel. A folytonosság topologikus jellemzése.) Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, vlmint f : K n K m. Ekkor z lábbik ekvivlensek. 1. Az f függvény folytonos. 2. Minden A K m nyílt hlmzr létezik olyn U K n nyílt hlmz, melyre 1 f A) = U Domf teljesül. 3. Minden A K m zárt hlmzr létezik olyn Z K n zárt hlmz, melyre 1 f A) = Z Domf teljesül. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m és K = Domf. 1 2 Legyen f : K K m folytonos függvény és A K m nyílt hlmz. Ekkor minden z 1 f A) esetén létezik olynεz) R +, melyreb εz) fz)) A. Ekkor z f függvényz pontbeli folytonosság mitt létezik olyn δz) R +, melyre fk B δz) z)) B εz) fz)). Ezekből K B δz) z) 1 f A) dódik. Tehát z U = B δz) z) nyílt hlmzr K U = 1 f A) teljesül. z 1 f A) 2 1 Legyen f : K K m olyn függvény, hogy minden A K m nyílt hlmz esetén létezik olyn U K n nyílt hlmz, melyre 1 f A) = U K teljesül. Legyen z K és ε R + tetszőleges. Ekkor B ε fz)) nyílt hlmz, ezért létezik olyn U K m nyílt hlmz, melyre 1 f B ε fz))) = U K teljesül. A z U mitt létezik olyn δ R +, hogy B δ z) U. Ez zt jelenti, hogy minden x K pontr x B δ z) esetén fx) B ε fz)) teljesül, ebből pedig következik z f függvény z pontbeli folytonosság, bból pedig folytonosság.

1.9 FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA 19 2 3 Legyen A K m zárt hlmz. Ekkor K m \ A nyílt hlmz, így létezik olyn U K n nyílt hlmz, hogy 1 f K m \A) = U K. Ezért ) 1 f A) = K K n \ 1 f K m \A) = K K n \U K)) = K K n \U) teljesül, hol felhsználtuk, hogy minden A K m hlmzr 1 f A ) K. Vgyis Z = K n \ U hlmz zárt és 1 f A) = Z K. 3 2 Legyen A K m nyílt hlmz. Ekkor K m \ A zárt hlmz, így létezik olyn Z K n zárt hlmz, hogy 1 f K m \A) = Z K. Ezért ) 1 f A) = K K n \ 1 f K m \A) = K K n \Z K)) = K K n \Z) teljesül, hol felhsználtuk, hogy minden A K m hlmzr 1 f A ) K. Vgyis z U = K n \ Z hlmz nyílt és 1 f A) = U K. 1.64. Tétel. A folytonosság topologikus jellemzése.) Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, vlmint f : K n K m. Ekkor z lábbik ekvivlensek. 1. Az f függvény folytonos. 2. Minden A K m nyílt hlmzr 1 f A) nyílt. 3. Minden A K m zárt hlmzr 1 f A) zárt. Bizonyítás. Az előző állítás közvetlen következménye. 1.65. Tétel. Véges dimenziós normált terek között htó folytonos függvények kompozíciój folytonos függvény. Bizonyítás. LegyenK ni, i) ) normált tér mindeni = 1,2,3 esetén,f : K n1 K n2, g : K n2 K n3 folytonos függvény, és Domf olyn pont, melyre f) Domg teljesül. Megmuttjuk, hogy g f függvény folytonos z pontbn. Legyen ε R + tetszőleges prméter. Mivel g függvény folytonos z f) pontbn, ezért létezik olyn δ g R +, hogy y Domg : d 2 y,f)) < δ g d 3 gy),gf))) < ε. Mivel z f függvény folytonos z pontbn, ezért δ g számhoz létezik olyn δ R + prméter, hogy x Domf : d 1 x,) < δ d 2 fx),f)) < δ g. Egymás után írv fenti két egyenlőtlenséget zt kpjuk, hogy minden x Domg f) esetén d 1 x,) < δ d 3 g f)x),g f))) = d 3 gfx)),gf))) < ε. 1.66. Definíció. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér. Azt mondjuk, hogy z f : K n K m függvény nyílt, h minden U K n nyílt hlmz esetén fu) nyílt hlmz. 1.67. Tétel. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér és f : K n K m bijekció. Az f függvény pontosn kkor nyílt, h f 1 folytonos. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér és f : K n K m bijekció. A folytonosság topologikus jellemzése lpján z f 1 függvény pontosn kkor folytonos, h minden U K n nyílt 1 hlmz esetén ) f 1 U) K m nyílt hlmz, zz fu) K m nyílt hlmz, vgyis mikor f nyílt. 1.68. Definíció. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér U K n és V K m. Az f : U V függvény homeomorfizmus, h folytonos bijekció és z inverze is folytonos. Azt mondjuk, hogy z U és U részhlmzok homeomorfk, h létezik f : U V homeomorfizmus.

20 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA 1.10. Kompkt hlmzon értelmezett folytonos függvények 1.69. Tétel. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér K K n kompkt hlmz és f : K K m folytonos függvény. Ekkor z fk) hlmz is kompkt. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér K K n kompkt hlmz, f : K K m folytonos függvény és tekintsük z fk) hlmz fk) i IU i nyílt fedését. Ekkor folytonosság topologikus jellemzése 1.63) tétel) lpján minden i I esetén létezik olyn V i nyílt hlmz, melyre 1 f U i ) = V i K teljesül. Vgyis K 1 f i I U i ) = i I 1 f U i ) = i IV i K) = i I V i ) K i IV i K kompkt hlmz nyílt fedése. A K hlmz kompktság mitt létezik olyn J I véges hlmz, melyre K i JV i, ezért fk) i J fv i ) = i JU i z fk) hlmz véges nyílt fedése. 1.70. Tétel. Weierstrss-tétel.) Legyen K n, ) normált tér, K K n kompkt hlmz és f : K R folytonos függvény. Ekkor létezik x,y K, melyekre fx) = inffk) és fy) = supfk) teljesül. Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér, K K n kompkt hlmz és f : K R folytonos függvény. Az előző 1.69 tétel lpján fk) kompkt hlmz, vgyis Borel Lebesgue-tétel mitt korlátos és zárt részhlmz vlós számoknk. Az fk) hlmz korlátosság mitt létezik infimum és szuprémum, vlmint z fk) hlmz zártság mitt inffk),supfk) fk). Ezért létezik olyn x,y K, melyre fx) = inffk) és fy) = supfk) teljesül. 1.71. Tétel. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, K K n kompkt hlmz és f : K K m folytonos injektív függvény. Ekkor z f 1 függvény is folytonos. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, K K n kompkt hlmz, f : K K m folytonos injektív függvény és legyen Z K n zárt hlmz. Ekkor Z K K kompkt hlmz zárt részhlmz, ezért kompkt. Felhsználv, hogy kompkt hlmz folytonos függvény áltli képe kompkt, vlmint z 1 f 1 ) Z) = fz) = fz K) 1 egyenlőséget z dódik, hogy minden Z zárt hlmzr ) f 1 Z) hlmz zárt, tehát z 1.63 tétel lpján f 1 folytonos függvény. 1.72. Tétel. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, K K n kompkt hlmz, V K m és f : K V folytonos bijekció. Ekkor f homeomorfizmus. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, K K n kompkt hlmz, V K m és f : K V folytonos bijekció. Ekkor z 1.69 tétel lpján V kompkt hlmz, és z 1.71 állítás lpján z f 1 függvény is folytonos.

1.11 EGYENLETESEN FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK 21 1.11. Egyenletesen folytonos függvények 1.73. Definíció. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér. Azt mondjuk, hogy z f : K n K m függvény egyenletesen folytonos z A hlmzon, h A Domf és ε R + δ R + x,y A : dx,y) < δ d fx),fy)) < ε ) teljesül. Az f függvény egyenletesen folytonos, h egyenletesen folytonos Dom f hlmzon. 1.74. Tétel. Normált terek között htó egyenletesen folytonos függvény folytonos. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m egyenletesen folytonos függvény és x Domf. Ekkor z f függvény egyenletes folytonosság lpján ε R + δ R + y Domf : d1 x,y) < δ d 2 fx),fy)) < ε ), mi zf függvényxpontbeli folytonosságát jelenti. Vgyis zf mindenx Domf pontbn folytonos, tehát folytonos. 1.75. Tétel. Heine-tétel.) Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, K K n kompkt hlmz és f : K K m folytonos függvény. Ekkor f egyenletesen folytonos. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, K K n kompkt hlmz, f : K K m folytonos függvény és ε R + tetszőleges rögzített prméter. Az f függvény folytonosság lpján minden x K ponthoz létezik olyn δx) R + szám, melyre teljesül. Ekkor f B δx) x) ) Bε 2 fx)) K x K Bδx) x), 2 vgyis K hlmz kompktság mitt létezik olyn H K véges hlmz, melyre { δx) Legyen δ = min K x H Bδx) x). 2 } 2 x H. Megmuttjuk, hogy ekkor minden x,y K pontr d 1 x,y) < δ esetén d 2 fx),fy)) < ε teljesül. Legyen x,y K olyn, melyre d 1 x,y) < δ teljesül. Az x K p) teljesül. A háromszög-egyenlőtlenség lpján mitt létezik olyn p H, melyre x Bδp) 2 vgyis d 1 y,p) d 1 y,x)+d 1 x,p) < δ + δp) 2 δp), d 1 x,p) < δp) d 2 fx),fp)) < ε 2 d 1 y,p) < δp) d 2 fy),fp)) < ε 2. Ezekből viszont bizonyítndó d 2 fx),fy)) d 2 fx),fp))+d 2 fp),fy)) < ε 2 + ε 2 = ε egyenlőtlenség következik.

22 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA 1.12. Normák ekvivlenciáj 1.76. Tétel. Legyen és norm K n vektortéren. Az lábbi állítások ekvivlensek. 1. Minden norm szerinti X K n nyílt hlmz nyílt norm szerint is. 2. Minden x K n és r R + prméterekhez létezik olyn R R +, melyre B R x) B r x). 3. Létezik olyn K R + szám, hogy minden x K n vektorr x K x. Bizonyítás. Legyen és norm K n vektortéren. 1 2 Minden x K n és r R + esetén B r x) nyílt norm szerint, ezért norm szerint is nyílt. Mivel x belső pontj B melyre B R x) B r x) teljesül. r x) hlmznk norm szerint, ezért létezik olyn R R +, 2 3 Az x = 0 vektorhoz és z r = 1 számhoz létezik olyn R R +, melyre B R 0) B 1 0). Vgyis minden y K n vektor esetén h y < R, kkor y < 1. Legyen z K n tetszőleges vektor. H z 0, kkor Z = R 2 z z olyn vektor, melyre Z = R 2 R < R, vgyis Z = z < 1, 2 z miből z 2 R z dódik. H z = 0, kkor is teljesül z 2 R z egyenlőtlenség. Vgyis K = 2 R jelöléssel z dódik, hogy minden x Kn esetén x K x. 3 1 Legyen K R + olyn szám, hogy minden x K n vektorr x K x teljesül és legyen X K n norm szerint nyílt hlmz. H z X, kkor létezik olyn r R +, hogy B r z) X. esetén B R z) B r z) teljesül, vgyis z belső pontj z X hlmznk Megmuttjuk, hogy R = r K norm szerint is. y z < r teljesül. Ez rögtön dódik egyenlőtlenségből. H y B R z), kkor nyilván y z < R és zt kell igzolni, hogy y z K y z < K R = K r K = r 1.77. Definíció. Azt mondjuk, hogy K n téren értelmezett és normák ekvivlensek egymássl, h ugynzok nyílt hlmzok térben, zz, h minden norm szerint nyílt hlmz nyílt norm szerint és minden szerint nyílt hlmz nyílt norm szerint is. 1.78. Tétel. Legyen és norm K n vektortéren. A és normák pontosn kkor ekvivlensek, léteznek olyn K 1,K 2 R + prméterek, hogy minden x K n vektorr x K 1 x és x K 2 x teljesül, melyet úgy is megfoglmzhtunk, hogy léteznek olyn α,β R + prméterek, hogy minden x K n vektorr α x x β x. Bizonyítás. Az előző állítás közvetlen következménye. 1.79. Tétel. Minden n N + és p [1, [ esetén p és normák ekvivlensek K n téren. Bizonyítás. Egyszerűen igzolhtó, hogy minden x K n vektor esetén x x p p n x teljesül, ezért z előző állítás lpján p és normák ekvivlensek. Mgyrázt. Ennél többet is tudunk igzolni, nevezetesen következő állítás zt muttj, hogy véges dimenziós vektortereken létezik egy kitüntetett nyílt zárt, kompkt, korlátos, stb.) hlmz foglom, melyet normák indukálnk. 1.80. Tétel. Minden n N esetén K n vektortéren bármely két norm ekvivlens. Bizonyítás. Megmuttjuk, hogy minden n N + esetén K n téren végtelen norm ekvivlens bármely más normávl. Legyen tetszőleges norm. Legyen továbbá e i ),...,n K n tér knonikus bázis, zz minden i {1,...,n} esetén e i legyen z vektor, melynek z i-edik komponense 1,