Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xe x függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt (i) π/2 xcos2x dx, (ii) ue u2 du, (iii) t 3 t + 2 dt. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az (a n ) sorozat korlátos. (ii) Az f függvény monoton nő [a, b] n. (iii) Az f(x) nek az x = 2 pont kritikus pontja. (iv) A környezetes definíció alapján lim x f(x) =. (v) Integrálfüggvény.

24.2.9. Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK. A tanult módon vizsgáljuk a (2x 3) n 2 5 n sort. 22pt n + n= 2. Oldjuk meg: (x 2 + x)y + 4 = y 2, y() = 2. 3. Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = x + xy /y függvény f x (, ), f y(, ) parciális deriváltjait. x + y 4. Határozzuk meg x + háromszög. H 22pt dxy értékét, ahol H a (2, ), (, 2) és (, ) pontok által kijelölt zárt

24.2.6. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = e 2 3x függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + függvény szélsőértékeit a [ 2, ] halmazon. 8pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = 2x + 2 3 3 x 2 függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 (i) π/4 cos 2 t dt, (ii) ln9 ln 4 e s/2 ds, (iii) 2 2 x 2 dx. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {a n } sorozat monoton nő. (ii) Az f(x) függvény differenciálható a 2 pontban. (iii) A korlátos E számhalmaz supremuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) = 2. x (v) Riemann féle integrálközelítő összeg (részletesen).

24.2.6. Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK. a) Határozzuk meg a b) Konvergens-e n=2 n=3 3 n ln 2 n. 2 n 2 n 2 sor összegét. 2. Oldjuk meg: y 2y + 5y = e 2x sin3x. 22pt 3. Határozzuk meg (x y) dx + y 2 dy értéket, ahol γ γ a) az O(, 2) középpontú, r = 2 sugarú negatív irányítasú körvonal A(, ) és B(, 2) pontjait összekötő körív. b) az A(, ) és B(, 2) pontokat összekötő szakasz (A B). 4. Határozzuk meg az f(x, y) = x 3 2xy + y 3 függvény szélsőértékeit a (, ), (, ), (, 2), és (, 2) 22pt pontok által kijelölt zárt négyszögön.

24.2.23. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f(x) = x 2 3x függvény deriváltját az x = 2 helyen. pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt ( (i) lim n2 π ( ) n n + 3 n 2 2n), (ii) lim. n n 2n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xln 2 x függvényt. 2pt 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 2 (i) ds s 2 2s + 2, (ii) t 2 2t dt. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) A 3 korlátja az {a n } sorozatnak. (ii) f(x) konvex [, 2] n. (iii) A korlátos E számhalmaz infimuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Darboux féle felső integrálközelítő összeg (részletesen).

24.2.23. Matematika I. NÉV:... B csoport FELADATOK: 2n 2 5. Definíció alapján és formálisan is igazoljuk, hogy lim n n 2 + n + 3 = 2. pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 3 x függvénynek az a = pont körüli harmadrendű Taylor féle polinomját, továbbá becsüljük meg 3 2 értékét. pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xe /x2 függvényt. 2pt 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 2 (i) v 2 (3 + 5v 3 ) 2 dv, (ii) 2 du u 3 + u 2. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {a n } sorozat szigorúan monoton csökken. (ii) Az f(x) függvény lineárisan approximálható az pontban. (iii) A {b n } sorozat részsorozata az {a n } sorozatnak. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) = 4. x (v) A Lagrange féle maradéktag.

24.2.23. Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK. A tanult módon vizsgáljuk a n= 3 n n n 2 3 (2x + 5)n+ sort. 2. Oldjuk meg: yy = 2xy + 4x + y, y( ) =. 22pt x 2 y 3xy 2 3. Határozzuk meg lim (x,y) A x 2 + y 2 határértéket, ahol a) A = (, ), b) A = (, 2), c) A = (3, ), d) A = (, ). x y 4. Határozzuk meg dxy értékét, ahol H a (, ), (4, 2) és (, 4) pontok által kijelölt zárt y + háromszög. H 22pt

25..6. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a =, a n = a n + 6 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt (i) lim n 8n 3 5 n, n ( ) 2n 3 3n (ii) lim. n 3n + 2 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x 2 ln x függvényt. 2pt 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 2 (i) π 2 sin t t dt, (ii) dz z 2 + 3z + 2. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {a n } sorozat alulról korlátos. (ii) Az E számhalmaznak a 2 supremuma. (iii) Az f(x) függvénynek konkáv a [3, 5] on. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Darboux féle alsó integrálközelítő összeg (részletesen).

25..6. Matematika I. NÉV:... B csoport FELADATOK:. Határozzuk meg az f(x) = x 2 e 2 + 2x függvénynek az x = e pontba húzott érintőegyenesének az egyenletét. 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt 5 n + n 3 (i) lim n π 2 3n, x 3 (ii) lim x x 2. 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x 3 6x 2 3 x 2 függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 (i) x + x 2 6x + 9 dx, (ii) e s lns ds, (iii) 3 2 t 3 t2 4 dt. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {a n } sorozat konvergál 2 höz. (ii) Az f(x) függvénynek helyi maximuma van ben. (iii) Az f(x) függvény differenciálható a c pontban. (iv) A környezetes definíció alapján lim x + f(x) = 3. (v) Az f(x) függvény egyenletesen folytonos a [ 2, 3] on.

25..6. Kalkulus II. NÉV:.... FELADATOK. a) Határozzuk meg a b) Konvergens-e n=3 2 2n 3 5 n+ 3 3n+ sor összegét. n=2 2 n lnn. 2. Oldjuk meg: y + 2y = e x sin x 2y x. 22pt 3. Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = x + 3y függvény iránymenti deriváltját 22pt a P(, 2) pontban, az U(4, 3) irányban. 4. Határozzuk meg az f(x, y) = xye x2 +y 2 2 függvény szélsőértékeit az x 2 + y 2 8 halmazon.

25..3. Matematika I. NÉV:... FELADATOK: n 3 n +. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 n + 2n2 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt (i) lim n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = n 3 n 9 cosx, (ii) lim x x 2. x e x ( x) függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt (i) 3 2 u 3 + u + u 2 du, (ii) ve v2 dv. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {a n } sorozat határértéke 3. (ii) Az f(x) szigorúan monoton csökken a [, 2] on. (iii) Az f(x) függvénynek inflexiós pontja van az x = 2 helyen. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x 4 + (v) Az integrálható f(x) függvény integrálközepe a [c, d] on.

25..3. Matematika I. NÉV:... B csoport FELADATOK:. Monotonitás és korlátosság szempontjából vizsgáljuk az a n = 2n 3 3n sorozatot. 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt n2 + 3 + n (i) lim n n 3 n 4 + 3, ( ) n+3 3n + (ii) lim. n 2n + 5 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = 2x + 3 x 2 függvényt. 2pt 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt (i) π p sin p dp, (ii) t 2 (t 3 + ) 7 dt, (iii) y + y dy. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) lim n a n =. (ii) A 3 alsó korlátja f(x) nek. (iii) Az E halmaz megszámlálhatóan végtelen. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Darboux-féle alsó integrál.

25..3. Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK. 2 pontossággal becsüljük meg a n= 3 6n 2 számsor értékét. + n 22pt 2. Oldjuk meg: xy + y 2 + y =, y() =. 22pt 3. Határozzuk meg (x y) dx + yx dy értéket, ahol γ a) γ az O(, 3) középpontú, r = 2 sugarú, pozitív irányítasú körvonal A(, ) és B(, 3) pontjait összekötő körív (A B), b) γ az A(, ) és B(, 3) pontokat összekötő szakasz (A B) 2 3 x2 /9 4. A megfelelő sorfejtés első 5 tagjának segítségével becsüljük meg x 2 dx értékét.

25..2. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 5, a n = 3a n + 2 a n + 2 (n > ) rekurzív sorozatot. 2pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 7 2 x függvénynek az a = β pont körüli harmadrendű Taylor féle polinomját. 8pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xlnx 2 függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt (i) (λ + )e λx dx, (ii) 2 y 2 + 6y + 9 dy, (iii) t sin(t + 2) dt. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {a n } sorozat felülről korlátos. (ii) Az {a n } sorozat Cauchy-sorozat. (iii) Az f(x) függvény konvex az [, 5] intervallumon. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Darboux féle felső integrál.

25..2. Matematika I. NÉV:... B csoport FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(3 2x) függvényt. n 2 + 3 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim n n 2n 2 = 2. 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x2 x pt függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 (i) π/4 sin 2 t dt, (ii) y 3 + 2 y dy, (iii) z + 2 z 2 + 2z + 2 dz. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {a n } sorozat monoton nő. (ii) Az E halmaznak a 3 infimuma. (iii) Az f(x) függvénynek helyi minimuma van x = 2 ben. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Cauchy féle maradéktag.

25..2. Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK. A tanult módon vizsgáljuk a n= n + 3 n + ( ) n 3 2x sort. 22pt 3 2. Oldjuk meg: xy y = 4x y, y() = 2. 22pt 3. Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = x x + y függvény f x (2, ), f xx (, ) parciális deriváltjait. 4. Határozzuk meg az f(x, y) = x 2 2x y 2 + 4y függvény szélsőértékeit a (, ), (, 3) és (2, ) pontok által kijelölt zárt háromszögön.

25..27. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. Monotonitás és korlátosság szempontjából vizsgáljuk az a n = n2 + 4 sorozatot. pt 3 2n 2. Határozzuk meg az f(x) = x 3 + x 2 x + függvény szélsőértékeit a [, ] halmazon. 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x x 2 4 függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 (i) 3 2z 2 + 3z + dz, (ii) e u ln 2 u du, (iii) v 2 + v 2 v v dv. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) A szám felső korlátja az (a n ) sorozatnak. (ii) A 2 szám torlódási pontja az (a n ) sorozatnak. (iii) f folytonos a [ 2, 3) on. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Az [a, b] egy beosztása, a beosztás finomsága.

25..27. Matematika I. NÉV:... B csoport FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 5, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt n (i) lim 3 2n + 2 3 n+, n ( ) 2n 2n 3 (ii) lim. n 2n + 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = 3 xlnx függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt (i) π/2 (t + )cost dt, (ii) 4 z 2 2 z2 4z + 3 dz, (iii) 2y 2 + y 2y dy. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) lim n a n =. (ii) Az f(x) függvény folytonos a 2 pontban. (iii) f(x) lineárisan approximálható a ban. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) = 2. x (v) Az E számhalmaz felsőhatár tulajdonságú.

25..27. Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK. Oldjuk meg ( ln(x + ) + (x y + )e y) y + ln(x + ) + x + y x + e y =. 2. Oldjuk meg 2y + (y ) 3 y =, y() =, y () = 4. 22pt 3. A megfelelő sorfejtés első 5 tagjának segítségével becsüljük meg x 2 x 2 /4 dx értékét. x + y 4. Határozzuk meg x + dxy értékét, ahol H az y =, és az y = 4x x2 görbék által határolt zárt síkrész. H 22pt

25.5.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h(x) = 3x x 2 függvény deriváltját az x = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt ( (i) lim n2 π ( ) n n + 3 n 2 2n), (ii) lim. n n 2n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xln 2 x függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 32pt (i) ds s 2 2s + 2, (ii) 3 t 2 2t dt, (iii) 3 x x2 + 4 dx. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) A -2 korlátja az {b n } sorozatnak. (ii) g(x) konvex [, 3] n. (iii) A korlátos H számhalmaz infimuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Darboux féle felső integrálközelítő összeg (részletesen).

25.5.9. Matematika II. NÉV:... FELADATOK. A tanult módon vizsgáljuk a n= 2 n n + 2n 2 3 (x + 5)n sort. 2. Laplace transzformációval oldjuk meg: y = 2y + 4x e 2x, y() = 2. 22pt x 2 y + 3xy 2 3. Határozzuk meg a lim (x,y) A x 2 + y 2 határértéket, ahol a) A = (, ), b) A = (, 2), c) A = (, ), d) A = (, ). xy 4. Határozzuk meg dxy értékét, ahol H a (, ), (4, ) és (, 3) pontok által kijelölt zárt y + háromszög. H 22pt

25.5.26. Műmat NÉV:... FELADATOK. Határozzuk meg az f(x, y) = x 3 2xy + y 3 szélsőértékeit a (, ), (, ), (, 2), és (, 2) pontok által kijelölt zárt négyszögön. 22pt 2. Oldjuk meg: a :) e z = 2, b :) cosz = i, c :) lnz = 3i. 22pt 3. Határozzuk meg (z + 3i)Rez dz értékét, ahol γ a γ i,2 körív z = 2 + i z 2 = 2 + i pontjait köti γ össze a:) pozitív, b:) negatív irányban. 4. A Cauchy féle integrálformula és a Reziduum tétel alkalmazásával is határozzuk meg értékét, ahol γ : γ +,2. γ z 2 2iz (z + i) 2 dz

25.5.26. Matematika I. NÉV:... B csoport FELADATOK: 2n 2 5. Definíció alapján és formálisan is igazoljuk, hogy lim n n 2 n + 3 = 2. 9pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 3 x függvénynek az a = pont körüli harmadrendű Taylor féle polinomját, továbbá becsüljük meg 3 2 értékét. 9pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xe x2 függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 32pt (i) v 2 (3 + 5v 3 ) 2 dv, (ii) 2 du u 3 + u 2, (iii) xe 3 2x dx. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {x n } sorozat szigorúan monoton csökken. (ii) Az f(x) függvény lineárisan approximálható az pontban. (iii) A {c n } sorozat részsorozata a {b n } sorozatnak. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) = 3. x 2 (v) A Lagrange féle maradéktag.

25.5.26. Matematika II. NÉV:.... FELADATOK. a) Határozzuk meg a b) Konvergens-e n=2 2 2n 3 5 n+ 3 3n+ sor összegét. n=2 2 n lnn 2. 2. Laplace transzformációval oldjuk meg: y + 2y = e x sin x 2y, y() =, y () = 2. 22pt 22pt 3. Ábrázoljuk az f(x, y) = x + 3y függvény értelmezési tartományát, majd definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az iránymenti deriváltját a P(, 2) pontban, az U( 4, 3) irányban. 4. Határozzuk meg az f(x, y) = xye x2 +y 2 2 függvény szélsőértékeit az x 2 + y 2 8 halmazon.

25.6.2. Műmat NÉV:... FELADATOK. Laplace transzformációval oldjuk meg: y + 2y = e x sin x + x 2y, y() =, y () = 2. 22pt 2 n n + 2. Ábrázoljuk a 2n 2 (z + 5 i)n függvénysor konvergencia tartományát. Hogyan viselkedik a n= sor a z = 9/2 + i, illetve a z = /2 + i pontban? 22pt 3. Határozzuk meg (Rez 2i)z dz értékét, ahol γ a:) a γ + +i,2 kör z = 3 + i z 2 = i pontjait γ összekötő ív, b:) a z = 3 + i z 2 = i pontokat összekötő szakasz. 2z + 3i 4. A Reziduum tétel alkalmazásával, illetve a Laurent sor segítségével is határozzuk meg z 3 + 8 dz értékét, ahol γ a γ +i,3 görbe. γ

25.6.2. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + 5 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n n 4 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xe x függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt (i) π/2 π/4 xcos 2x dx, (ii) ue u2 du, (iii) t 3 t + 2 dt. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az (x n ) sorozat korlátos. (ii) A g függvény monoton nő [c, d] n. (iii) A h(x) nek az x = pont kritikus pontja. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x 2 (v) Integrálfüggvény.

25.6.2. Matematika II. NÉV:... FELADATOK. A tanult módon vizsgáljuk a n= (2x + 3) n 2 5 n 2n sort. 22pt 2. Oldjuk meg: (x 2 + 3x)y + 4 = y 2, y() = 2. 3. Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = 2x + xy /y függvény f x ( 2, 3), f y(4, ) parciális deriváltjait. 22pt x + y 4. Határozzuk meg dxy értékét, ahol H a (3, ), (, 3) és (, ) pontok által kijelölt zárt 2x + háromszög. H

25.6.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK: n 3 n +. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 n + 2n2 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt (i) lim n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = n 3 n 9 cosx, (ii) lim x x 2. x e x ( x) függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 2 2pt (i) 3 2 u 3 + u + u 2 du, (ii) ve v2 dv. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {a n } sorozat határértéke 3. (ii) A g(x) szigorúan monoton csökken a [, 2] on. (iii) A h(x) függvénynek inflexiós pontja van az x = 2 helyen. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x 4 + (v) Az integrálható f(x) függvény integrálközepe a [c, d] on.

25.6.9. Matematika II. NÉV:... FELADATOK. Oldjuk meg (xy x 2 )dy y 2 dx =, y() = e. 22pt 2. Laplace transzformációval oldjuk meg y 3y = x +, y() =, y () = 2. 22pt 2 3 x 3. A megfelelő sorfejtés első 5 tagjának segítségével becsüljük meg x 2 dx értékét. x + y 4. Határozzuk meg y + 4 dxy értékét, ahol H az y =, és az y = 4x x2 görbék által határolt zárt síkrész. H

25.6.6. Műmat NÉV:... FELADATOK. Oldjuk meg: (x 2 + 3x)y + 4 = y 2, y() = 2. 22pt 2. Adjuk meg a 2π szerint periodikus f(x) =, ha π x, illetve f(x) = sin x, ha x π függvény valós és komplex Fourier sorát, továbbá a c, a, b 5 számokat. 22pt 3. Határozzuk meg z + i dz értékét, ahol γ a γ i,2 körív z = + i z 2 = 3i pontjait köti össze a:) pozitív, b:) negatív irányban. γ 4. Határozzuk meg az f(z) = i z 3 i dz Laurent sorait a z = pont körül kifejtve.

25.6.6. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = e 2+3x függvényt. 8pt 2. Határozzuk meg az f(t) = t 3 4t 2 + 6 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 7pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = 2x + 2 3 3 x 2 függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 (i) π/4 π/3 cos 2 t dt, (ii) ln9 ln4 e y/2 dy, (iii) 3 x 2 4 dx. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {a n } sorozat monoton nő. (ii) A g(x) függvény differenciálható a 3 pontban. (iii) A korlátos H számhalmaz supremuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x 2 (v) Riemann féle integrálközelítő összeg (részletesen).

25.6.6. Matematika II. NÉV:... FELADATOK. a) Határozzuk meg a b) Konvergens-e n=3 n=3 3 n lnn. 2 n 2 n 2 sor összegét. 2. Laplace traszfomációval oldjuk meg: y 2y + 5y = e 2x,y() =, y () = 2. 22pt 3. Határozzuk meg x( y) dx + 2y dy értéket, ahol γ γ a) az O(, ) középpontú, r = 2 sugarú, negatív irányítasú körvonal A( 2, ) és B(2, ) pontjait összekötő körív. b) az A(, ) és B(, 3) pontokat összekötő szakasz (A B). 4. Határozzuk meg az f(x, y) = x 3 2xy + y 3 függvény szélsőértékeit a (, ), (, 2), és (, 2) pontok 22pt által kijelölt zárt háromszögön.

25.6.23. Műmat NÉV:... FELADATOK. Határozzuk meg háromszög. H xy y + dxy értékét, ahol H a (, ), (4, ) és (, 3) pontok által kijelölt zárt 22pt 2. Oldjuk meg: a :) sin z = 2, b :) chz = 2i, c :) z 4 = 6. 22pt 2 + z 3. Határozzuk meg Imz + i dz értékét, ahol γ a:) a z = z 3 = 2 + i pontokat összekötő szakasz, γ b:) a z = z 2 = i z 3 = 2 + i pontokat összekötő tört szakasz. 4. A Reziduum tétel alkalmazásával, illetve a Laurent sor segítségével is határozzuk meg 3z 2i + z 2 6z + dz értékét, ahol γ a γ+ 3+i, görbe. γ 23p

25.6.23. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 4, a n = a n + 6 (n > ) rekurzív sorozatot. 9pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 9pt (i) lim n 7n 2 4 n, n ( ) n+3 2n (ii) lim. n 2n + 3 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x 2 lnx függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 32pt (i) 2 3 sin( t ) t dt, (ii) dz z 2 + 4z + 2, (iii) 3 2 xln(2x 3) dx. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {x n } sorozat alulról korlátos. (ii) Az A számhalmaznak a supremuma. (iii) Az f(x) függvénynek konkáv a [c, d] n. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Darboux féle alsó integrálközelítő összeg (részletesen).

25.6.23. Matematika II. NÉV:... FELADATOK. Határozzuk meg az f(x, y) = x 2 y y 3 2 függvény szélsőértékeit (és helyeit) a (, ), (2, ), (, 3), (2, 3) pontok által meghatározott zárt negyszögön. 22pt 2. Oldjuk meg: xy + y 2 + y =, y() =. 22pt 3. Határozzuk meg (x + y) dx + y 2 dy értéket, ahol γ a) γ az O(, 3) középpontú, r = 2 sugarú, pozitív irányítású körvonal A(, ) és B(, 3) pontjait összekötő körív (A B), b) γ az A(, ) és B(, 3) pontokat összekötő szakasz (A B). 2 9 x 2 4. A megfelelő sorfejtés első 5 tagjának segítségével becsüljük meg x 3 dx értékét.

25.6.3. Műmat NÉV:... FELADATOK 2 e x2. A megfelelő sorfejtések első 4 tagjának segítségével becsüljük meg dx, illetve ln 5 értékét. 22pt x (2z + 3 i) n 2 2. Ábrázoljuk a 5 n függvénysor konvergencia tartományát. Hogyan viselkedik a sor a 2n n= z = 4 + i/2, illetve a z = + i pontban? 22pt z + 2Imz 3. Határozzuk meg 3Rez i dz értékét, ahol γ a:) a z = z 3 = 2 + i pontokat összekötő szakasz, γ b:) a z = z 2 = 2 z 3 = 2 + i pontokat összekötő tört szakasz. 4. Határozzuk meg az f(z) = z i z 3 + 8 Laurent sorait a z = i pont körül kifejtve. 23p

25.6.3. Matematika I. NÉV:... B csoport FELADATOK:. Határozzuk meg az f(x) = x 2 + e x + 2x + függvénynek az x = pontba húzott érintőegyenesének az egyenletét. 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt 5 + n 3 x 3 (i) lim, (ii) lim n 3 2n x x 2. 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x 2 3 x 2 függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 (i) x 2 + x 2 6x + 9 dx, (ii) se 2s ds, (iii) 3 2 t 5 t 2 4 dt. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) A {b n } sorozat konvergál 2 höz. (ii) A g(x) függvénynek helyi maximuma van ben. (iii) A h(x) függvény differenciálható a c pontban. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) = 2. x + (v) Az f(x) függvény egyenletesen folytonos a [2, 3] on.

25.6.3. Matematika II. NÉV:... FELADATOK. A tanult módon vizsgáljuk a n= n + 2 n + ( ) n 3 3x sort. 22pt 2 2. Oldjuk meg: xy y = 4x 2 y, y() = 2. 22pt 3. Ábrázoljuk az f(x, y) = x 2x y függvény értelmezési tartományát, majd definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f x(2, ), f xx(, ) parciális deriváltakat. 4. Határozzuk meg az f(x, y) = x 2 2xy y 2 + 4y függvény szélsőértékeit a (, ), (, 3) és (2, ) pontok által kijelölt zárt háromszögön.

x α dx = xα+ + C, (α ), dx = ln x + a + C, (x a), sin xdx = cosx + C α + x + a cosxdx = sin x + C, cos 2 dx = tg x + C, x x 2 dx = arctg x + C, + sin 2 dx = ctg x + C, x dx = arcsinx + C, a x dx = ax + C, ( < a ), x 2 lna x x2 + a dx = ln tg + x2 + a + C, sin x dx = ln x + C. 2 L[f](p) : = L[cos ax](p) = f(x)e px dx, L[e ax f(x)](p) = L[f(x)](p a), L[xf(x)](p) = L [f(x)](p), L[x n ](p) = n! p n+, p p 2 + a 2, L[sinax](p) = a p 2 + a 2, L[y ] = pl[y] y(), L[y ] = p 2 L[y] py() y (), < p >, x n = ( ) α np x x <, ( + x)α = x n x <, n n= n= n= f(x)dx < a n < a k + f(x)dx. k n=k k c n = f(n) (z ) n! f(x) = a + a n : = π (a n cosnx + b n sinnx), a := 2π n= π π f(x)cos nxdx, b n := π π π π π f(x)sin nxdx f(x)dx, z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), u x = v y, u y = v x, u xx + u yy = L f(z)dz = β = f(z) 2πi γ (z z ) n+ dz, c = 2πi α f(z(t))z (t)dt γ f(z) dz, f(z) = n= c n (z z ) n. Res(f, a) = h(a) g (a), Res(f, a) = (n )! lim[(z z a a)n f(z)] (n ). c k := π f(x)e ikx dx, ˆf(x) := c k e ikx, ˆF(ω) := f(x)e iωx dx 2π π k= 2π