Fourier-sorok konvergenciájáról A szereplő függvényekről mindenü felesszük, hogy szerin periodikusak. Az ilyen függvények megközelíésére (nem a polinomok, hanem) a rigonomerikus polinomok űnnek ermészees eszköznek. Többször fel fogjuk használni, hogy, ha f -periodikus és inegrálhaó, akkor bármely a-ra f = +a +a f. Tekinsük a kövekező definícióka:. Definíció. Az () a függvénysor rigonomerikus sornak nevezzük. Részleösszege s n (x) := a n.. Definíció. Legyen f a [, ]-n inegrálhaó, -periodikus függvény, és legyenek a k := b k := f() cos k d, k =,,,..., f() sin k d, k =,,.... Ekkor az f a sor az f függvény Fourier-sorának nevezzük. (Vegyük észre, hogy minden Fourier-sor egyben rigonomerikus sor is. Ez fordíva nem igaz, bár ez nem nyilvánvaló. (V.ö. 5. éel.) Például a sin(n! x) sor minden racionális x-ben konvergens, mégsem Fourier-sora egyelen függvénynek sem.) A helyze egy kicsi hasonló a haványsor vs. Taylor-sor problémához. A fő kérdés, ami vizsgálni fogunk, mos is az, hogy vajon mikor állíja elő a Fourier-sora a függvény? Első észrevéelünk, hogy ha az a a k + b k sor konvergens, akkor az () sor a [, ] inervallumon abszolú és egyenleesen konvergens, és sajá összegfüggvényének a Fourier-sora.
3. Téel. Ha az a sor a [, ] inervallumon egyenleesen konvergens és összege f(x), akkor és Bizonyíás. Az a k = b k = f() cos k d, k =,,,..., f() sin k d, k =,,.... f(x) = a egyenlősége szorozzuk meg cos nx-szel és inegráljuk a [, ] inervallumon (ez megehejük, hiszen a sor egyenleesen konvergens): ( ) + Érvényes a kövekező segédéel: f(x) cos nx dx = a k cos kx cos nx dx + a cos nx dx + b k sin kx cos nx dx. 4. Téel. (A rigonomerikus rendszer orogonaliása). Bármely k, n egész érékre {, ha k = n, cos kx cos nx dx = sin kx sin nx dx = különben, cos kx sin nx dx =. A éel állíása egyszerűen adódik, pl. ha k = n, akkor ha pedig k n, akkor cos kx cos kx dx = cos kx cos nx dx = cos kx dx = + cos kx dx =, (cos(n + k)x + cos(n k)x) dx =, mer cos νx (és sin νx) eljes perióduson ve inegrálja mindig. (Trigonomerikus rendszernek hívjuk az, cos x, sin x,..., cos kx, sin kx,... függvényeke; az orogonaliás kifejezés az indokolja, hogy az b a fg sok szemponból olyan, minha f és g skaláris szorzaa lenne, és ha a skaláris szorza, akkor f és g merőleges.) ebből Segédéelünke felhasználva, a ( ) egyenlőség jobboldalán csak a k = n ag marad meg, azaz f(x) cos nx dx = a n cos nx cos nx dx, a n := f() cos n d. A b n sinus-együhaókra hasonlóan bizonyíhaunk. Ezzel a 3. Téel beláuk.
Egy ado függvény Fourier-együhaóinak viselkedéséről szól a kövekező éel. 5. Téel. (Riemann lemma). Ha f az [a, b]-n inegrálhaó, akkor b a f(x) cos nx dx és b a f(x) sin nx dx ha n. Bizonyíás. A cosinusos állíás bizonyíjuk. Legyen ε > rögzíe. Legyen B az [a, b] inervallum egy (k részre örénő) beoszása, ekkor i= f() cos n d = i= ( f() f(xi ) ) cos n d + x i ( f() f(xi ) + f(x i ) ) cos n d x i i= f(x i ) cos n d =: I + I. x i Legyen m i és M i a szokásos supremum és infimum, azaz minden x i x i eseén mivel cos n, könnyen láhaó, hogy ezér I i= m i f() M i és m i f(x i ) M i, ( f() f(x i ) ) cos n M i m i, M i m i d = x i (M i m i )(x i x i ) = o(f, B) < ε, i= ha a B beoszás megfelelően válaszjuk (oszcillációs kriérium). Legyen B ilyen. Mivel f inegrálhaó, korláos is, legyen f(x) M, ekkor I i= f(x i ) cos n d x i f(x i ) i= cos n d x i [ sin n f(x i ) n i= ha n > 4kM ε. Ezzel a éel beláuk. ] xi x i km n < ε, Riemann Lebesgue-lemmának nevezzük a feni éel alábbi válozá: Ha f a [, ]-n inegrálhaó, szerin periodikus, akkor a n, b n, ha n, ahol a n, b n a függvény Fourier-együhaói. Ez az állíás a Riemann-inegrálhaóságnál jóval álalánosabb feléelek melle is igaz. 3
A ovábbiakban az fogjuk vizsgálni, hogy milyen feléel melle igaz, hogy az ado f függvény Fourier-sora valamely a helyen konvergens. Ehhez a folyonosság nem elég: van olyan függvény, amely inegrálhaó, -periodikus és [, ]-n folyonos, de Fourier-sora valamely ado a ponban (vagy akár végelen sok ponban) nem konvergens. Kényelmi okokból az s n (x) := a n részleösszeg helye az s n(x) := a n () + a n cos nx + b n sin nx ún. módosío részleösszege fogjuk vizsgálni; Ez megehejük, hiszen a Riemann Lebesgue lemma szerin s n (x) s n (x) = a n cos nx + b n sin nx a n + b n (méghozzá x-ben egyenleesen), azaz s n és s n egyszerre konvergens vagy divergens, és ha konvergensek, összegük is megegyezik. Először előállíjuk s n-o valamilyen kezelheő formában. = s n(x) := a n () + a n cos nx + b n sin nx = f() d + n ( f() cos k d cos kx + ) f() sin k d sin kx + + ( f() cos n d cos nx + ) f() sin n d sin nx = = n ( ) f() d + f() cos k cos kx + sin k sin kx d + + ( ) f() cos n cos nx + sin n sin nx d = ( n (cos k( x)) + )f() cos n( x) d = () = ahol f()dn ( x) d, (3) Dn (u) := + cos u + cos u + + cos(n )u + cos nu az ún. n-edik módosío Dirichle-féle magfüggvény. 4
Ilyen ípusú összeggel már alálkozunk; sin u -vel szorozva és felhasználva, hogy cos α sin β = sin(α + β) sin(α β), kapjuk, hogy D n(u) = sin nu g u Vegyük észre, hogy Dn páros függvény és az is, hogy a jobboldalon minden kiesik, kivéve az inegráljá). Érvényes ehá a kövekező. D n = (ha a (3) formulá inegráljuk, 6. Téel. Ha f a [, ]-n inegrálhaó és -periodikus, akkor Fourier-sorának módosío részleösszege előállíhaó (4) s n (x) = f()d n ( x) d = alakban (Ez az ún. Dirichle-féle szinguláris inegrál). f(x + )Dn () d A második inegrál az elsőből úgy kapjuk, hogy x helyébe - írunk (azaz, legyen x = u, ekkor = x + u, d = du és = x ; majd legyen = u, d = du). Vegyük észre ovábbá, hogy x a (4) formulában szereplő inegrál a -ban improprius. A Dn ismereében a (4) formulá ovább alakíjuk. Valamely a helyen a részleösszeg s n (a) = ( helyébe - írunk; D n páros) f(a + )D n () d = = f(a + ) + f(a ) D n() d = f(a )Dn () d = (mer ha ké szám egyenlő, akkor az álaguk is ugyanannyi; az inegrandusz páros) (5) = A második inegrál vizsgálva, f(a + ) + f(a ) D n() d = + =: I + I. δ I = δ ) g és ez -hoz ar, mer mivel f inegrálhaó és g g δ, így az ) g sin n d, függvény is inegrálhaó, és alkalmazhajuk a Riemann-lemmá. (Úgy is fogalmazhaunk volna, hogy a feni inegrál valójában nem más, min a { ( f(a+)+f(a ) ), ha δ, g, ha δ < inegrálhaó függvény n-edik sinus-együhaója, ehá -hoz ar.) 5
Tehá a Fourier-sor konvergenciája az I -en múlik. Vegyük észre, hogy az I inegrálban csak a kicsi érékei szerepelnek, érvényes ehá az alábbi 7. Téel. (Lokalizációs éel.) Az f és g függvények legyenek a [, ]-n inegrálhaók és periodikusak, ovábbá együk fel, hogy van olyan δ, hogy minden x (a δ, a + δ ) érékre f(x) = g(x). Ekkor f és g Fourier-sora az a helyen egyszerre konvergens vagy divergens, és ha konvergensek, összegük megegyezik. Bizonyíás. Végezzük el eddigi áalakíásainka az f és a g függvényre is. Ha δ < δ, az I inegrál mindké függvény eseében ugyanaz. A éel azér érdekes, mer a Fourier-együhaók meghaározásához a függvény az egész inervallumon ismernünk kell, ehá a 7. Téel feléelei melle is, a ké függvény Fourier-sora különbözhe, a konvergenciaviselkedésük mégis azonos. Vizsgáljuk meg, milyen feléelek bizosíhaják, hogy A Fourier-sor valamely a helyen f(a)-hoz arson. Mivel a szerini inegráláskor f(a) állandó, f(a)d ( ) d = f(a) D( ) d = f(a). Az (5) formula alapján írhajuk, hogy (6) s n (a) = ) D n () d = + Ennek az inegrálnak -hoz arása jeleni ehá az, hogy s n f az x helyen. A második inegrál vizsgálva, I = ) δ g sin n d, és ez -hoz ar, mer mivel f inegrálhaó és g g δ, így az ) g δ =: I + I. függvény is inegrálhaó, és alkalmazhajuk a Riemann-lemmá, ugyanúgy, min az előbb. Tehá az I inegrál kell vizsgálnunk (ez persze a -ban improprius, a D n nevezője mia). 8. Téel. (Dini éele). Legyen ϕ() := f(a + ) + f(a ) Ha a vizsgál f függvény az a helyen olyan, hogy az ϕ() d (improprius) inegrál léezik (konvergens), akkor 6.
Bizonyíás. Láuk már, hogy a (6) inegrálban csak az I a lényeges. Tudjuk, hogy I = = ) g ) és g, ha, érvényes ehá g = ) g sin n d = sin n d. g ϕ(), és mivel a Dini-féle feléel eljesül, így a baloldalon lévő függvény is inegrálhaó (az improprius inegrálokra vonakozó majoránskriérium mia). Ekkor azonban ( szokásos gondolameneünk szerin), a Riemann lemma mia I. (Mondjuk, mer I nem más, min az inegrálhaó { ( f(a+)+f(a ) ), ha δ, g, ha δ < függvény n-edik sinus-együhaója). Ezzel Dini éelé beláuk. Nincs más dolgunk, min hogy a Dini-féle elegendő feléel aprópénzre válsuk. Emlíeük, hogy az a-beli folyonosság még nem garanálja a Fourier-sor konvergenciájá. A differenciálhaóság, min erősebb feléel, már igen. 9. Téel. Ha az f függvény az a helyen differenciálhaó, akkor Bizonyíás. Ha az f a-ban differenciálhaó, akkor f(a + ) f (a) és f(a ) f (a), azaz a Dini-éelben szereplő ϕ() függvénynek a -ban (véges) haáréréke van, így az improprius inegrál léezik (ez hívuk nulladik alapesenek). (Az világos, hogy ϕ() inegrálhaó bármely [δ, ] inervallumon.) Az érdekesség kedvéér megemlíünk egy másik feléel is.. Definíció. Az mondjuk, hogy az f függvény az érelmezési arománya egy belső a ponjában α-rendű Lipschiz-feléelnek (α > ) esz elege, ha léeznek olyan K, δ > számok, hogy f(a + ) K α, ha δ. Könnyen beláhaó, hogy az α > rendű Lipschiz-feléel kielégíő függvények folyonosak a- ban; ha α >, akkor f differenciálhaó és f (a) =, ehá igazából a < α érékek érdekesek. Az is világos, hogy ha < α < β és f eljesíi a β rendű Lipschiz-feléel, akkor az α rendű is. 7
. Téel. Ha az f függvényre az a helyen valamely < α rendű Lipschiz-feléel eljesül, akkor Bizonyíás. Könnyen kiszámolhaó, hogy ekkor a Dini-féle éelben szereplő inegrál léezik, hiszen konvergensek. α d vagy Feni éeleink valamivel álalánosabb feléelek melle is igazak, i. akkor, ha f nem felélenül folyonos ugyan a-ban, de legfeljebb elsőfajú szakadása van, azaz léeznek a féloldali haárérékek. Ekkor a Fourier-sor az f(a + ) := K d lim f(x + ), f(a ) := lim f(x ),>,> f(a) := f(a + ) + f(a ) érékhez konvergál (ha egyálalán konvergál). Előző meggondolásainka f(a) helye f(a)-val elvégezve, az alábbi eredményekhez juunk: 8. Téel. (Dini éele). Legyen f(a + ) + f(a ) f(a) f(a + ) + f(a ) f(a + ) f(a ) ϕ() := =. Ha a vizsgál f függvény az a helyen olyan, hogy az ϕ() d (improprius) inegrál léezik (konvergens), akkor 9. Téel. Ha az f függvény az a helyen mindké oldalról differenciálhaó, azaz léeznek a f(a + ) f(a + ) f(a ) f(a ) lim = q j és lim = q b,>,> (véges) haárérékek, akkor Ez a éel szokás félérinős feléelnek nevezni, hiszen a q b és q j akkor léeznek, ha a függvény grafikonjához húzhaók bal- és jobboldali félérinők.. Téel. Ha az f függvényre az a helyen mindké oldalról valamely < α rendű Lipschizfeléel eljesül, azaz akkor f(a + ) f(a + ) K α és f(a ) f(a ) K α ha < δ, A bizonyíások csak annyiban különböznek az eredei bizonyíásokól, hogy az eredei lépéseke készer, a bal és a jobb oldalon külön-külön kell megcsinálnunk. 8