1. Hlmzelméleti lpok A Mtemtiki kislexikonbn hlmz foglmár következ deníciót tláljuk: A hlmz tetsz leges természet dolgoknk vlmilyen módon összegy jtött összessége. Ez deníció zonbn nem hsználhtó, ugynis hlmzt szinonimávl (összesség) helyettesíti. A hlmz els mtemtiki deníciój Cntortól szármzik, ki z 1870-es években még intuitív módon lpozt meg hlmzelméletet. A Cntor-féle hlmzelméletben lpfoglom z eleme vlminek ( ) kijelentés (tehát ezt nem deniáljuk), és egy hlmzt z htároz meg, hogy minden dologról egyértelm en eldönthet : eleme-e ennek hlmznk vgy nem. Rövidesen kiderült zonbn, hogy Cntor-féle hlmzelmélet ellentmondásokhoz vezet. Az egyik ilyen prdoxont Bertrnd Russell írt le (1902): Vnnk hlmzok, melyek önmgukt elemként trtlmzzák, mint például budpesti egyesületek szövetsége. Ez, minthogy mg is budpesti egyesület, ezért tgj ennek szövetségnek. Nevezzük z önmgukt elemként nem trtlmzó hlmzokt rendes hlmzoknk, z önmgukt elemként trtlmzókt pedig rendellenes hlmzoknk. Tekintsük z összes rendes hlmz H hlmzát. Ez H hlmz vjon rendes vgy rendellenes? Tegyük fel, hogy H rendes hlmz, zz önmg nem eleme. De ekkor nem lehet z összes rendes hlmz benne, hiszen sját mg nincs benne. Tegyük fel, hogy H rendellenes hlmz, zz eleme sját mgánk. Ekkor z egyik eleme rendellenes hlmz, tehát H nem lehet z összes rendes hlmz hlmz. Így is, úgy is ellentmondásr jutottunk! Ezen ellentmondások mitt új lpokr kellett helyezni hlmzelméletet. 1907-ben Zermelo megdt hlmzelmélet xiometrikus felépítését, melyet kés bb Neumnn és Gödel fejlesztett tovább. Ez már mentes Russel-prdoxonhoz hsonló ellentmondásoktól. Lényege: hlmz foglmát nem deniáljuk, hnem mondunk egy xiómrendszert, és h vlmi eleget tesz ennek, kkor hlmznk nevezzük. Fontos, hogy ez z xiómrendszer független és ellentmondásmentes legyen. Az el bbi tuljdonság zt jelenti, hogy semelyik xiómát nem lehet többib l levezetni, z utóbbi pedig zt, hogy bármely két, z xiómákból levezethet állítás nem mond ellent egymásnk. Példként lássunk két xiómát: Pl.1. Meghtározottsági xióm: A és B hlmz pontos kkor egyenl, h A minden eleme eleme B-nek is, és B minden eleme eleme z A-nk is, zz h x A x B. Más szóvl, egy hlmzt egyértelm en meghtároznk z elemei. 1
Pl.2. Üreshlmz-xióm: Létezik olyn -vl jelölt hlmz, melynek elemeire igz: h x, kkor x x. A hlmzokt ngybet vel (pl. A, B), hlmzok elemeit pedig kisbet vel (pl., b, x) szokásos jelölni. 1.1 Deníció. Legyen A egy nemüres hlmz. A B hlmzt z A részhlmzánk nevezzük, h x B x A. Jelölés: B A ill A B. Minden A hlmznk része z üres hlmz is és mg A is. Egy hlmzt következ képpen dhtunk meg: Felsoroljuk z elemeit. Pl. A = { 1, 2, 3 } (zz 1 A, 2 A, 3 A). Deniálunk egy ún. egyváltozós logiki kijelentést (jelölje ezt τ(x)), és nnk segítségével djuk meg hlmzt (rendszerint részhlmz deniálásár szokásos lklmzni). Pl. τ(x) : x npon esett z es Jelölje A 2011-es év npjink hlmzát. Ekkor B := {x A : τ(x) igz} hlmz zon npok hlmz 2011-es évb l, mikor esett z es. 1.2 Megjegyzés. Különbség vn z elem és z {} hlmz között! ( {}). 1.3 Deníció. Az A hlmz összes részhlmzánk hlmzát z A htványhlmzánk nevezzük, és P (A)-vl jelöljük. Hlmzok között m veleteket is értelmezhetünk. unió: A B := {x : x A vgy x B} metszet: A B := {x : x A és x B} különbség: A \ B := {x : x A és x / B} 1.4 Deníció. Azt mondjuk, hogy A és B diszjunkt hlmzok, h A B =. 2
Feldt: Mutssuk meg, hogy {} {b} = {, b}. Legyen A egy tetsz leges hlmz. 1.5 Deníció. Az A + := A {A} hlmzt z A hlmz rákövetkez hlmzánk (szukcesszoránk) nevezzük. Nyilvánvlón, A + A. Kérdés: igz-e, hogy A + ténylegesen b vebb, mint A? (Lehetnének egyenl k is... ) Tegyük fel, hogy A + = A. Ekkor A + = A = A {A} {A} A. Így A {A} A A A. Felmerül kérdés: lehet-e egy elem önmg eleme? A meglév xiómrendszerb l ez nem dönthet el. Lehetne A / A és A A is. Mi z els t fogdjuk el igznk, következésképpen A + A vlódi trtlmzást jelent. 1.1. A természetes számok bevezetése Láttuk, hogy xióm szerint létezik z üres hlmz ( ). Jelölje ezt 0. Képezzük rákövetkez hlmzát: 0 + = { } = { } =: 1 Az így kpott hlmznk, melyet z 1 szimbólumml jelölünk, szintén képezzük rákövetkez hlmzát, ez lesz 2: 1 + = { } {{ }} = {, { }} = {0, 1} =: 2 2 + = {0, 1, 2} = 3 és így tovább. Tehát 1 = 0 +, 2 = 1 +, 3 = 2 +,... Nyilvánvlón, 0 1 2 3... Jelölés: IN 0 := {0, 1, 2, 3,...} 1.6 Deníció. Ezt hlmzt természetes számok hlmzánk nevezzük. (Kés bb lesznek egyéb számok is... ) számoknk nevezzük. Az IN := IN 0 \ {0} hlmzt pozitív természetes 3
1.2. Rendezett pár, relációk Fontos foglmk lpulnk rendezett pár és reláció foglmán, pl. függvény, hlmz számosság, számok ngyság szerinti rendezése. Legyenek x és y tetsz leges objektumok. 1.7 Deníció. Az x és y elemek rendezett párján z (x, y) := {x, {x, y}} hlmzt értjük. Tuljdonsági: (x, y) (y, x) (x, y) = (u, v) x = u és y = v 1.8 Deníció. Legyenek X és Y tetsz leges nemüres hlmzok. A két hlmz Descrtesszorztánk z X Y := {(x, y) : x X, y Y } rendezett párokból álló hlmzt nevezzük. 1.9 Megjegyzés. X Y Y X 1.10 Deníció. Az R X Y részhlmzt (bináris) relációnk nevezzük. Az és teljes X Y hlmz mindig része X Y -nk, tehát ezek is relációk. 1.11 Deníció. A D(R) := {x X : y Y : (x, y) R} hlmzt z R reláció értelmezési trtományánk nevezzük. Az R(R) := {y Y : x X : (x, y) R} hlmzt z R reláció képterének nevezzük. (D(R) X, R(R) Y.) 1.12 Deníció. Az R 1 := {(y, x) Y X : (x, y) R} relációt z R reláció inverzének nevezzük. Minden relációnk vn inverze! 1.3. Függvények Korábbn függvényt intuitív módon, hozzárendelésként értelmeztük. Azt zonbn nem deniáltuk, hogy mit is értünk hozzárendelésen. Ezt foglmt pontosítni tudjuk rendezett párok és reláció segítségével! Legyen f X Y. 4
1.13 Deníció. Azt mondjuk, hogy f reláció függvény, h (x, y 1 ) f és (x, y 2 ) f esetén y 1 = y 2. Tehát h f X Y egy függvény, kkor olyn (x, y) rendezett párokból áll, melyekben egy dott els elemhez nem trtozik több különböz második elem. Úgy mondjuk, hogy f minden x D(f) elemhez egyértelm en hozzárendel egy y Y elemet, vgy f z x helyen y-t veszi fel. Ekkor z f : X Y ill. f(x) = y jelölést lklmzzuk. H f függvény, f 1 nem feltétlenül z! H viszont z f 1 reláció függvény, kkor f inverz függvényének nevezzük. Könnyen meggondolhtó, hogy z f X Y függvénynek pontosn kkor létezik inverz függvénye, h (x 1, y), (x 2, y) f x 1 = x 2. 1.14 Deníció. H z f függvénynek létezik inverz függvénye, kkor f-et injektív leképezésnek nevezzük. Tehát f pontosn kkor injektív, h x 1 x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ) ( x 1, x 2 D(f)). 1.15 Deníció. Azt mondjuk, hogy z f : X Y függvény szürjektív, h R(f) = Y. 1.16 Deníció. Azt mondjuk, hogy z f : X Y függvény bijekció, h D(f) = X, injektív ( f 1 ), szürjektív (R(f) = Y ). Pl.1. Legyen X, id X : x x x X. Ekkor D(id X ) = X, és id X nyilván bijekció. Pl.2. Két különböz hosszúságú, egymássl párhuzmos szksz pontji között is létesíthetünk bijekciót, h kezd pontjikt és végpontjikt összeköt egyenesek metszéspontjából kiinduló egyenesekkel elmetsszük ket. Könnyen beláthtó, hogy h f bijektív, kkor f 1 is z. Továbbá, h f és g bijektív, kkor f g is z. 1.4. Relációk X X-en Az X X Descrtes-szorztot jelölje X 2. Az X 2 -en értelmezett relációkt X-beli relációknk nevezzük. H (x, y) R X 2, kkor z xry jelölést lklmzzuk. Egy X-beli relációnk következ tuljdonsági lehetnek. 5
.) reexív, h x X esetén xrx b.) irreexív, h x X esetén x Rx c.) szimmetrikus, h xry yrx d.) ntiszimmetrikus, h xry és yrx x = y e.) trnzitív, h xry és yrz xrz. f.) teljes, h minden x, y X esetén xry, yrx és x = y közül pontosn egy teljesül. Pl.1. Digonális reláció: R := {(x, x), x X} - reexív, szimmetrikus, trnzitív Pl.2. X: hllgtók hlmz, R: egy évben születtek - reexív, szimmetrikus, trnzitív 1.17 Deníció. H egy X-beli reláció reexív, szimmetrikus és trnzitív, kkor ekvivlencirelációnk nevezzük. Jelölés: Pl. X: gyerekek hlmz, R: édestestvérek X: hllgtók hlmz, R : egy szkr járnk (h feltesszük, hogy senki nem két vgy több szkos). 1.18 Deníció. Legyen egy X-beli ekvivlencireláció, x 0 X. A H := {x X : x x 0 } hlmzt z X hlmz relációr vett ekvivlenciosztályánk nevezzük. 1.19 Tétel. H egy tetsz leges X-beli ekvivlencireláció, kkor X el áll páronként diszjunkt ekivlenciosztályok uniójként. Pl. z el bbi ekvivlencirelációk esetén egy ekvivlenciosztályt lkotnk z egy évben születettek, z édestestvérek, z egy szkr járók stb. 1.20 Deníció. Az olyn R X-beli relációt, mely irreexív, trnzitív és teljes, szigorú rendezési relációnk nevezzük. Jele: < Pl. (vlódi trtlmzás) IN 0 felett. Tehát 1 < 2, 2 < 4 stb. 1.21 Megjegyzés. Rendezési relációnk reexív, ntiszimmetrikus és trnzitív relációkt nevezzük. Jele:. 6
1.5. Hlmzok számosság Legyen H egy hlmzrendszer, A, B H. Kérdés: melyik hlmznk vn több eleme? (Ez kérdés egyel re értelmetlen.) Az IN 0 hlmzon meghtároz egy rendezést, és ekkor mondhtó, hogy pl. 1 < 2 mitt 1-nek kevesebb eleme vn. De tetsz leges hlmzok esetén? Legyen R egy olyn H IN 0 -beli reláció, melyet így deniálunk: ARB, h A és B között létezik bijekció. 1.22 Állítás. A fenti R reláció ekvivlencireláció. Biz.: R reexív, ugynis A H esetén z id A függvénnyel ARA. R szimmetrikus: ARB esetén BRA (h f : A B bijekció, kkor f 1 : B A is bijekció) R trnzitív: ARB és BRC ARC (h f : A B és g : B C bijekciók, kkor g f : A C is bijekció) A korábbi tételünk lpján H IN 0 el áll páronként diszjunkt ekvivlenciosztályok uniójként. Minden H IN 0 -beli ekvivlenciosztályhoz rendeljünk hozzá egy szimbólumot következ képpen: H vn z osztálybn IN 0 -beli elem, kkor zt. H nincs, kkor vlmilyen speciális szimbólumot. Minden hlmzhoz zt szimbólumot rendeljük hozzá, mely z osztályához trtozik. Elnevezés: z A hlmz számosság. Jele: A. Következésképpen, h A B, kkor A = B. Továbbá, h z A hlmz és egy IN 0 -beli elem (= szám) között vn bijekció, kkor ez szám lesz A. Pl. A := {kuty, sz l }. Ekkor 2 := {0, 1} és A között létezik bijekció A = 2. Az IN 0 hlmz nem ekvivlens egyik elemével sem, ennek számosságát χ 0 (lef null) jelölje. 1.5.1. Rendezés számosságok között Mit értsünk zon, hogy z egyik hlmznk ngyobb számosság, mint másiknk? H A és B IN 0 -beli, kkor természetesen z IN 0 -beli korábbi rendezés jó. De mi vn kkor, h nem IN 0 -beli? 7
1.23 Deníció. Legyenek A és B tetsz leges hlmzok. Azt mondjuk, hogy A számosság ( A ) ngyobb, mint B számosság ( B ), h.) A B (nincs közöttük bijekció) b.) A A : A B (A-nk vn olyn részhlmz, mely ekvivlens B-vel). Jelölés: A > B. Ez nyilván kiterjesztése korábbi > rendezésnek. 1.24 Deníció. Egy A hlmzt véges számosságú hlmznk nevezünk, h A IN 0. Egy A hlmzt megszámlálhtón végtelen számosságúnk nevezünk, h A = χ 0. Egy A hlmzt megszámlálhtó számosságú hlmznk nevezünk, h A véges (zz A IN 0 ) vgy A = χ 0. Könnyen meggondolhtó, hogy egy véges hlmz minden részhlmz is véges, továbbá véges hlmzok uniój, metszete és különbsége is véges. 1.25 Megjegyzés. H A és B véges hlmzok, és A vlódi részhlmz B-nek, kkor A < B. De h nem véges hlmzok, kkor A = B is lehet! (Gondoljunk pl. z IN és IN 0 hlmzokr. Itt IN IN 0, de létezik közöttük bijekció, így számosságuk egyenl.) 1.5.2. Htványhlmz számosság H A = n IN 0, kkor P (A) = 2 n. Tehát ekkor P (A) > A. Megmutthtó, hogy ez igz tetsz leges számosságú hlmzokr is. (Beláthtó, hogy P (A) A, és ekkor ez nyilván igz.) Ezért nem lehet legngyobb számosságú hlmzról beszélni! (Mert h lenne, ennek htványhlmz még ngyobb számosságú lenne.) Problém: Létezik-e χ 0 -nál ngyobb számosságú hlmz? (Persze, P (IN 0 ) hlmz biztos, hogy ilyen!) Hogyn tudunk ilyen hlmzt konstruálni? 1.6. Az IR számtest felépítése 1.6.1. A test foglm Legyen IF tetsz leges hlmz, és deniáljunk két IF IF IF típusú függvényt (m - veletet): + és. Elnevezés: összedás, szorzás. Tegyük fel, hogy ezek m veletek kielégítik z lábbi xiómrendszert. A.) Az összedás xiómái (Jelölés: +(, b) =: + b) 1. + b IF, b IF 8
2. + b = b + (kommuttivitás) 3. ( + b) + c = + (b + c) (sszocitivitás) 4. 0 IF : + 0 = IF (nullelem létezése) 5. IF ( ) IF : + ( ) = 0 (ellentett elem létezése) B.) Az szorzás xiómái (Jelölés: (, b) =: b) 1. b IF, b IF 2. b = b (kommuttivitás) 3. ( b) c = (b c) (sszocitivitás) 4. 1 IF : 1 = IF (egységelem létezése) 5. IF \ {0} 1 IF : 1 = 1 (inverz elem létezése) C.) Disztributivitási szbály (b + c) = b + c. 1.26 Deníció. H z IF-en értelmezett + és m veletek kielégítik fenti xiómákt, kkor z (IF, +, ) hármst testnek nevezzük. Pl.1. IF = P (X) (htványhlmz), +: unió, : metszet. Testet lkotnk-e? Nem! Pl.2. IF = IN 0, + és z ismert m veletek. Test-e? Nem! Egyel re nem tudunk példát mondni testre... Térjünk vissz 2. példár. Mi volt itt gond? 1.) A5 xióm: nincsenek ellentett elemek. Ezért djunk hozzá IN 0 -hoz új elemeket: n esetén ( n) egy olyn elem, melyre A5 igz. hlmz). Terjesszük ki erre + m veletet. (Pl. Jelölje ezt hlmzt Z (egész számok ( 1) + ( 2) := (1 + 2) stb.) Így (Z, +) ún. kommuttív csoport (z összedásr minden xióm teljesül). 2.) IN 0 -bn B5 tuljdonság sem érvényes. El ször Z-re terjesszük ki szorzást. (Pl. ( 2) ( 3) := 6 stb.) (Z, +, ) még nem test így sem, hiszen B5 nem teljesül. Vegyünk hozzá új elemeket: n Z \ {0} elemhez 1 1 jelölje zt z új elemet, melyre n = 1. n n (Ez z 1 tehát csk jelölés!) Terjesszük ki szorzást z ilyen típusú elemekre is. Jelölés: n m Z és 1 szorztát m -nel jelöljük. Vegyük z összes ilyen elem (szám) hlmzát, és n n jelöljük IQ-vl. 1.27 Megjegyzés. H m n és olyn IQ-beli számok, melyekre m b = n, kkor ezeket b ekvivlensnek nevezzük (egy ekvivlenciosztályb trtoznk) és nem különböztetjük meg egymástól. Ezért m és n mindig reltív prímek. 9
IQ-bn következ képpen értelmezzük m veleteket: m n b := m b + n n b m n b := m n b Ekkor (IQ,, ) test! (Elnevezés: rcionális számok teste.) Értelmezhet rendezés is (<): b, m n IQ (, b, m, n > 0) esetén legyen b < m, h n < m b. n (Ez egy IN 0 -beli rendezés. A többi IQ-beli esetre nyilvánvlón kiterjeszthet. Ezzel (IQ,,, ) egy teljesen rendezett (szám)test. Jelölje továbbikbn IQ + 0 nemnegtív rcionális számok hlmzát, IQ + pedig pozitív rcionális számok hlmzát. Kérdés: mit mondhtunk IQ számosságáról? Könnyen láthtón IQ = χ 0 (lásd: Cntor-féle elrendezés). Problém: Létezik-e olyn p IQ szám, melyre p 2 := p p = 2? Nem, ugynis tegyük fel, hogy p = m n ilyen, ekkor p 2 = m2 n 2 = 2, zz m 2 = 2n 2. Ebb l z következik, hogy m páros, vgyis 4 m 2 (m 2 oszthtó 4-gyel). Így 2 n 2 2 n. Ekkor n is páros kell, hogy legyen. Így zonbn m n lenne, mi ellentmondás. tovább egyszer síthet Tehát z x 2 = q (q IQ) egyenletnek nincs mindig megoldás rcionális számok körében. 1.28 Deníció. Egy H IQ számhlmzt felülr l (lulról) korlátosnk nevezünk, h létezik M IQ (ill. m IQ), melyre q M (q m) q H. (1) H H felülr l és lulról is korlátos, kkor korlátos számhlmznk nevezzük; M és m H fels ill. lsó korlátj. 1.29 Deníció. Azt mondjuk, hogy H IQ számhlmznk létezik mximum (mini- 10
mum), h létezik M H (ill. m H): q M (q m) q H. (2) Jelölés: mx H = M (min H = m). Nem minden korlátos számhlmznk létezik mximum ill. minimum! { 1 H := 2, 1 3, 2 3, 1 4, 3 } 4,... (3) H egy hlmz korlátos, tetsz leges számú korlátj vn. Pl. (3)-bn M 1 szám fels korlát, m 0 lsó korlát. H létezik mximum, kkor fels korlátoknk létezik legkisebbike, nevezetesen mx H. Pl. H = {1, 12, 13, 23, 14 },... számhlmzr mx H = 1, és ez legkisebb fels korlát. 1.30 Deníció. Egy H IQ felülr l (lulról) korlátos számhlmz legkisebb fels (legngyobb lsó) korlátját, h z létezik, számhlmz szupremumánk (inmumánk) nevezzük. Jelölés: sup H, inf H. 1.31 Következmény. H mx H, kkor sup H = mx H. H pedig sup H és sup H H, kkor mx H, és mx H = sup H. Kérdés: mindig létezik sup H? Legyenek A, B IQ következ számhlmzok: A := {p IQ + : p 2 < 2}; B := {p IQ + : p 2 > 2}. Nyilván A B =, és A felülr l, B lulról korlátos. Létezik-e mx A (min B)? Nem, ugynis p A q A : q > p. Nevezetesen: q := p p2 2 p + 2 = 2p + 2 p + 2. Ekkor q 2 2 = 2(p2 2) (p + 2) 2 < 0 q A. 11
És q > p, tehát nem létezik sup H. Hsonlóképpen igzolhtó, hogy min B sem létezik. Létezik-e sup A IQ-bn? Nem, ugynis A fels korlátjink hlmz zon M IQ számok, melyekre M 2 2. Mivel M 2 = 2 esetén M IQ (beláttuk), így sup A = min B, de ez utóbbi nem létezik. Cél: úgy kiterjeszteni (IQ,,, <) testet, hogy minden korlátos számhlmznk létezzen ezen új számtestben sup-j és inf-je. Ez egy bonyolult eljárás, melynek eredményeként egy új számtestet, nevezetesen IR-t kpjuk. Erre kiterjesztjük +,, m veleteket és relációt is. (IR, +,, <): rendezett vlós számtest. Új elemek hozzávétele: korlátos számhlmz sup-j (inf-je). Pl. sup A =: 2 (gyök kett ). Elnevezés: 2 szám négyzetgyöke. Hsonlón: p (p 0). 1.32 Megjegyzés. IR elemei felírhtók végtelen tizedes tört lkbn. Következmények: Minden H korlátos hlmzr: sup H, inf H IR; h mx H(min H), kkor sup H = mx H (inf H = min H); M = sup H 1.) x H esetén x M; 2.) ε > 0 x H : M ε < x. 1.6.2. Számegyenes A számegyenes egy geometrii foglom. Deniálhtó rjt rendezés: E < P, h EP irányítottság pozitív. Az egyenes mint ponthlmz és IR között létezik m velet- és rendezéstrtó bijekció. 1.6.3. IR számosság 1.33 Állítás. IR = χ 0, s t, IR > χ 0. Biz.: Indirekt. Tegyük fel, hogy létezik IR és IN 0 között bijekció, ekkor IR elemei sorb rkhtók: 0 x 0 = 0. 0 0 0 1 0 2..., 1 x 1 = 0. 1 0 1 1 1 2...,. 12
hol 0 k i 9. Ekkor tábláztbn minden IR-beli szám szerepel. De: legyen { i i + 1, h i i 8 b i = 0, h i i = 9. Ekkor z y = 0, b 1 b 2... b n... szám nincs tábláztbn. Tehát IR IQ. De IR IN 0, így IR > IN 0. Jelölés: ζ := IR (kontinuum-számosság). Így ζ > χ 0. De vjon létezik-e köztes számosság? Cntor sejtése: nincs (ez z ún. kontinuumhipotézis). Cohen 1963-bn megmuttt, hogy ez hlmzelmélet xiómáivl nem dönthet el. Mi mindig feltesszük, hogy nincs. ζ = 2 χ 0 (IR = P (IN 0 )). 1.6.4. B vített számhlmz (IR) B vítsük ki IR-t két új, speciális elemmel, melyeket + és jelöl. IR := IR {, + } (Figyelem:, + / IR!) Terjesszük ki < IR-beli rendezési relációt IR-re következ xiómákkl: 1. IR esetén < + 2. IR esetén > 3. < + 1.34 Következmény. H H IR(H ) felülr l (lulról) nem korlátos IR-ben, kkor sup H = + (inf H = ). 1.35 Megjegyzés. H H =, kkor sup H =, inf H = +. H H, kkor mindig inf H sup H. 1.36 Megjegyzés. IR nem számtest, mivel + és nincs kiterjesztve. 2. Számsoroztok Emlékeztet : Az : IN IR típusú függvényeket vlós számsoroztoknk nevezzük. 13
2.1 Deníció. Azt mondjuk, hogy z ( n ) soroztnk létezik htárértéke IR-bn, h - α IR, melyre ε > 0 N = N(ε) : n α < ε n IN; - P > 0 N = N(P ) : n P n N, Az els esetben lim n = α, második esetben lim n = +. (Lehet lim n = is.) 2.2 Deníció. H lim n, és z véges, soroztot konvergensnek nevezzük. 2.1. M veletek soroztokkl Legyenek, b : IN IR. Ekkor értelmesek z lábbi m veletek: + b; λ ; b; b : ( + b) : IN IR : ( + b)(n) = (n) + b(n) n + b n (λ ) : IN IR : (λ )(n) = λ (n) λ n ( b) : IN IR : ( b)(n) = (n) b(n) n b n : IN IR : ( (n) )(n) = = n b b b(n) bn (b n 0) Kérdés: H ( n ), (b n ) konvergens soroztok, kkor m veletek hogyn htnk konvergenciár? 2.3 Deníció. Azt mondjuk, hogy ( n ) stcionárius sorozt, h α IR : n = α n. 2.4 Deníció. Egy ( n ) soroztot nullsoroztnk nevezünk, h lim n = 0. Nyilvánvlón, ( n ) nullsorozt ε > 0 N IN : n < ε n N. 2.5 Deníció. Egy ( n ) soroztot korlátos soroztnk nevezünk, h K 0 : n K n. 2.6 Állítás. Legyenek ( n ), (b n ), (c n ) olyn soroztok, melyekre.) ( n ) és (b n ) nullsorozt; b.) (c n ) korlátos sorozt. Ekkor ( n + b n ) és (c n n ) is nullsorozt. Biz.:.) ε > 0 N 1 és N 2 : n < ε 2 n N 1, és b n < ε 2 n N 2. Ekkor n N := mx{n 1, N 2 } esetén n + b n n + b n < ε. 14
b.) Tegyük fel, hogy c n K n, és legyen ε > 0 tetsz leges. Mivel ( n ) nullsorozt, N : n < ε K n N. Így n c n K ε K 2.7 Állítás. Minden konvergens sorozt korlátos. = ε n N. Biz.: Tegyük fel, hogy lim n = α IR. Ez zt jelenti, hogy ε > 0 N : n α < ε n N. Így ε = 1 esetén is létezik N 1 index, melyre n α < 1 n N 1. Jelölés: K := mx{ 1, 2,..., N1, α + 1} Mivel n α n α < 1 n N 1, ezért n 1 + α n N 1. Ezért n K n IN. 2.8 Következmény. H ( n ) és (b n ) nullsorozt, kkor n b n is z. (Ugynis ( n ) nullsorozt, (b n ) pedig korlátos, így lklmzhtó z el z állítás b.) pontj.) 2.9 Állítás. lim n = α ( n α) nullsorozt. Biz.: lim n = α ε > 0 N : n α < ε n N ( n α) nullsorozt ε > 0 N : n α < ε n N. 2.10 Állítás. Legyenek ( n ), (b n ) tetsz leges konvergens soroztok, λ IR rögzített szám. Ekkor.) ( n + b n ) is konvergens, és lim( n + b n ) = lim n + lim b n ; b.) (λ n ) is konvergens, és lim(λ n ) = λ lim n ; c.) ( n b n ) is konvergens, és lim( n b n ) = lim n lim b n ; d.) h lim b n 0, kkor n b n is konvergens, és lim n b n Biz.: Jelölések: A := lim n, B := lim b n (A, B IR).) = lim n lim b n. ( n A) és (b n B) nullsoroztok (( n A) + (b n B)) is nullsorozt (( n + b n ) (A + B)) is nullsorozt lim( n + b n ) = A + B. b.) Tekintsük (λ( n A)) soroztot! Mivel λ egy stcionárius (korlátos!) sorozt ez 15
nullsorozt ((λ n ) (λa)) is nullsorozt lim(λ n ) = λa. c.) n b n AB = ( n A)b n + (b n B)A. Itt mindkét tg egy nullsorozt és egy korlátos sorozt szorztsorozt, két tg nullához trt, így z összegsorozt is nullsorozt. d.) El ször belátjuk, hogy h B 0, kkor z ( 1 b n ) sorozt korlátos! lim b n = B ε > 0 N : b n B < ε n N. Legyen ε := B. Ekkor N 2 1 : b n B < B n N 2 1. Ekkor b n = b n B + B = B (B b n ) B B b n B B 2 = B 2 n N 1. { } 1 Jelölés: K := mx, 1,..., 1, 2 b 1 b 2 b N1 B 1 b n K n. Ebb l következik, hogy nullsorozt. n A b n B = 1 ( n A) + A (B b n ) b n Bb n 2.2. M veletek IR-bn Beláttuk, hogy h ( n ), (b n ) olyn soroztok, melyekre lim n IR, kkor z összedás illetve szorzás érvényes htárértékekre is. Kérdés: Mi mondhtó el, h lim n, lim b n, de ezek IR-beliek? (Ki lehet-e terjeszteni m veleteket (+ és ) IR-r?) Pl. Legyen ( n ) : IN IR, lim n = 5, (b n ) : IN IR és lim b n = +. Ekkor lim( n + b n ) = +. Ez kkor is igz, h 5 helyett tetsz leges c vlós számhoz trt z ( n ) sorozt. Ezért értelmes z ilyen m velet-kiterjesztés IR-bn: c + (+ ) = + c IR esetén. Ilyen módon következ xiómákhoz jutunk: 1. IR esetén + (+ ) = (+ ) + = + + ( ) = ( ) + = (+ ) + (+ ) = + ( ) + ( ) = 16
2. λ IR \ {0} esetén { +, h λ > 0 (+ ) λ = λ (+ ) =, h λ < 0. {, h λ > 0 ( ) λ = λ ( ) = +, h λ < 0. (+ ) (+ ) = ( ) ( ) = + (+ ) ( ) = ( ) (+ ) = 3. λ IR : λ + = λ = 0. 2.11 Megjegyzés. H λ = 1, kkor 1 = 1 + = 0, zz + és elem inverze is null. Egyedül 0 z szám, mely két különböz R-beli elem inverze. Problém: Nem mindent deniáltunk! Pl. 0 (+ ) =? Legyen α IR tetsz leges, n = α n, b n = n. Ekkor n 0, b n +, n b n = α. Tehát egy nullához és egy + -hez trtó sorozt szorzt bárhov trtht, így 0 (+ ) nem deniálhtó. 2.12 Következmény. Mivel hsonlóképpen nem deniálhtók 1. (+ ) + ( ); (+ ) (+ ); ( ) ( ), 2. 0 (+ ); (+ ) 0; 0 ( ); ( ) 0, 3. ± ±, m veletek, ezért R nem test. 2.13 Következmény. Legyenek ( n ), (b n ) olyn soroztok, melyekre lim n, lim b n R. Ekkor m veleti tuljdonságok érvényben mrdnk limeszekre, h jobb oldlon lév m velet értelmes R-bn. 2.3. Mjoráns (minoráns) elv Könnyen meggondolhtók z lábbi állítások. 2.14 Állítás. Tegyük fel, hogy lim n = +, és (b n ) egy olyn sorozt, melyre b n n vlmely N indext l kezdve. Ekkor lim b n = +. 2.15 Állítás. Tegyük fel, hogy lim n = 0, és (b n ) egy olyn sorozt, melyre b n n vlmely N indext l kezdve. Ekkor lim b n = 0. 2.16 Állítás. Tegyük fel, hogy 17
n c n b n, lim n, lim b n és lim n = lim b n = α IR. Ekkor lim c n, és lim c n = α. Pl. Htározzuk meg c n = 1 n2 + 1 + 1 n2 + 2 +... + 1 n2 + n sorozt htárértékét! n := n n2 + n ; b n = n n2 + 1 n c n b n, lim n = lim b n = 1 lim c n = 1. 2.17 Állítás. Tegyük fel, hogy n b n, lim n, lim b n. Ekkor lim n lim b n. (Biz.: Indirekt! Tegyük fel, hogy lim b n > lim n.) 2.4. Monoton soroztok 2.18 Deníció. Egy ( n ) soroztot monoton növ nek nevezünk, h 1 2..., monoton fogyónk nevezünk, h 1 2..., szigorún monoton növ nek nevezünk, h 1 < 2 <..., szigorún monoton fogyónk nevezünk, h 1 > 2 >... H ( n ) egyike fentieknek, kkor monoton soroztnk nevezzük. Nyilvánvlón, egy szigorún monoton növ (fogyó) sorozt egyben monoton növ (fogyó) is. 2.19 Állítás. Minden monoton soroztnk létezik htárértéke IR-ben, nevezetesen, h h ( n ) monoton növ, kkor lim n = sup( n ), h ( n ) monoton fogyó, kkor lim n = inf( n ). Biz.: Tegyük fel, hogy ( n ) monoton növ. 1. Legyen ( n ) korlátos. Ekkor α IR : α = sup( n ). Mutssuk meg, hogy lim n és lim n = α. 18
Legyen ε > 0 tetsz leges. Ekkor sup deníciój szerint létezik N IN : N > α ε. Ugynkkor, monotonitás mitt n N > α ε n N. Ezért ε > 0 N : n α < ε n N lim n = α. 2. Tegyük fel, hogy ( n ) nem korlátos. Ekkor P > 0 N : N > P. (Ellenkez esetben ( n ) korlátos lenne P -vel!) Mivel n N n N, ezért P > 0 N : n P n N lim n = +. Tehát mindkét esetben lim n = sup( n ). (Így 2.17 állítás szinte triviális monoton soroztokr: h n b n, kkor sup( n ) sup(b n ) lim n lim b n.) 2.20 Következmény. H z ( n ) monoton sorozt korlátos is, kkor konvergens. (Ennek megfordítás is igz. H z ( n ) monoton sorozt konvergens, kkor korlátos is. De ez nem túl érdekes állítás, ugynis ez igz minden (nem csk monoton) soroztr!) Összefogllv, egy monoton sorozt pontosn kkor konvergens, mikor korlátos. 2.5. Részsoroztok Egy ( n ) sorozt részsoroztánk nevezünk egy olyn soroztot, melyet z eredeti ( n )- b l úgy kpunk, hogy sorozt bizonyos (véges vgy végtelen sok) elemeit elhgyjuk úgy, hogy még végtelen sok elem mrdjon, és megmrdó elemek sorrendjét nem változttjuk meg. A pontosbb deníció következ. 2.21 Deníció. Legyen = ( n ) : IN IR egy tetsz leges sorozt, k : IN IN egy szigorún monoton növ függvény (zz k 1 < k 2 < k 3...). Az k : IN IR soroztot z eredeti ( n ) sorozt egy részsoroztánk nevezzük. Ezért ( k)(n) = kn, n IN. Nyilvánvlón k n n. Pl. 1: k = id N. Ekkor k =. Pl. 2: k = 2 id N. Ekkor ( k)(n) = 2n. 2.22 Állítás. H z ( n ) : IN IR soroztr lim n = α IR, kkor minden részsoroztánk is létezik htárértéke, és lim( k) = α. Biz.: 19
1. Tegyük fel, hogy α IR. (Azz ( n ) konvergens.) Ekkor ε N IN : n α < ε n N. Mivel k n n, ezért kn α < ε n N. Így z kn sorozt is α-hoz trt. 2. Tegyük fel, hogy α = +. Ekkor P > 0 N IN : n P n N. Hsonlón, k n n mitt ekkor kn P is igz, zz lim kn = +. 2.23 Következmény. H egy soroztnk létezik két olyn részsorozt, melyek különböz htárértékhez trtnk, kkor z eredeti soroztnk nincs htárértéke. Pl. n = ( 1) n+1. 2.24 Állítás. (Egymásb sktulyázott zárt intervllumok tétele) Legyenek I n := [ n, b n ] (n IN) ún. egymásb sktulyázott zárt intervllumok, zz I n+1 I n n. Ekkor létezik leglább egy olyn c IR szám, melyre c I n n IN. Biz.: A feltétel mitt ( n ) és (b n ) olyn soroztok, melyekre.) ( n ) monoton növ és felülr l korlátos b.) (b n ) monoton fogyó és lulról korlátos. Ezért lim n =: és lim b n =: b. Mivel n b n, ezért lim n lim b n b. Így n b b n n IN. Tehát c [, b] esetén c [ n, b n ] = I n n. 2.25 Következmény. (Cntor-féle közösponttétel) Legyenek I n egymásb sktulyázott zárt intervllumok, és tegyük fel, hogy lim(dimi n ) = 0. Ekkor létezik egyetlen c IR, melyre c n=1i n. Biz.: lim(dimi n ) = lim(b n n ) = 0 = b c [, ] = {}. 2.26 Megjegyzés. Az I n zártság nem hgyhtó el! (Az I n := (0, 1 ) n intervllumok metszete pl. nem trtlmz egyetlen közös pontot sem.) 2.27 Állítás. (BolznoWeierstrss-tétel) Minden korlátos ( n ) soroztból kiválszthtó konvergens részsorozt. 20
Biz.: A feltétel szerint K 0 : n K n. Jelölje I 0 [ K, K] intervllumot. (Ekkor n I 0 n.) Felezzük meg I 0 -t! Ekkor [ K, 0] ill. [0, K] intervllumok közül leglább z egyik végtelen sok ( n )-beli elemet trtlmz. Jelölje ezt z intervllumot I 1. Folyttv z eljárást, építsünk fel egy (I n ) intervllumsoroztot. Ekkor tehát: 1. (I n ) egymásb sktulyázott zárt intervllumok; 2. mindegyik intervllum végtelen sok ( n )-beli elemet trtlmz; 3. mivel dimi n = K 2 n 1, ezért lim(dimi n ) = 0. Ekkor Cntor-tétel lpján!c IR, melyhez z I n intervllumok végpontji trtnk. Építsük most fel z ( n ) c-hez trtó részsoroztát! Legyen k1 I 1 tetsz leges. Legyen most k2 I 2 olyn elem, melyre k 2 > k 1. (Ilyen mindig vn, mert I 2 végtelen sok ( n )-beli elemet trtlmz.) Hsonlón válsszuk ki z k3, k4,... elemeket, hol tehát kn I n. Ekkor 0 kn c dimi n 0, vgyis rend relv lpján kn c 0, zz lim kn = c. 2.28 Megjegyzés. H ( n ) : IN IR felülr l nem korlátos, kkor nyilván létezik olyn részsorozt, mely + -hez trt. Ugynis legyen k1 egy olyn elem, melyre k1 1, k2 olyn elem, melyre k2 2 és k 2 > k 1, stb. Így kn n, és mivel lim n = +, zért mjoráló tétel értelmében lim kn = +. Hsonlón, h ( n ) : IN IR lulról nem korlátos, kkor létezik olyn részsorozt, mely -hez trt. 2.29 Következmény. Minden ( n ) : IN IR soroztból kiválszthtó olyn részsorozt, melynek vn htárértéke. 2.6. Cuchy-soroztok (Bels kritérium) 2.30 Deníció. Egy ( n ) : IN IR soroztot Cuchy-soroztnk nevezünk, h ε > 0 N = N(ε) : n m < ε n, m N. 2.31 Állítás. H ( n ) konvergens, kkor Cuchy-sorozt is. Biz.: lim n = α IR. Ekkor ε > 0 N = N(ε) : n α < ε 2 n N. Így m, n N : m n = m α + α n m α + n α < ε. Igz-e megfordítás? 2.32 Állítás. H ( n ) Cuchy-sorozt, kkor konvergens is. 21
Biz.: 1. El ször belátjuk, hogy ( n ) korlátos sorozt. Mivel ( n ) Cuchy-sorozt, ezért ε = 1 mellett denícióból következik, hogy N 1 IN : n m < 1 n, m N 1. Ezért m = N 1 megválsztássl n N1 < 1 n N 1. Ebb l következik, hogy n N1 n N1 < 1 n N 1 n 1 + N1 n N 1. Tehát K := mx{ 1, 2,..., N1 1, 1 + N1 } mellett n K n N. 2. Megmutttuk, hogy minden korlátos soroztból kiválszthtó konvergens részsorozt. Legyen ez most ( kn ) ( n ), és lim kn = α. Megmuttjuk, hogy lim n, és lim n = α. Mivel ( n ) Cuchy-sorozt, ezért ε > 0 N 2 IN : n m < ε 2 m, n N 2. Mivel k n n, ezért m = k n megválsztássl n kn < ε 2 n N 2. Másrészt lim kn = α N 3 : kn α < ε n N 2 3. Legyen N := mx{n 2, N 3 }. Ekkor n N : n α n kn + kn α < ε 2 + ε 2 = ε. 2.33 Következmény. Egy ( n ) sorozt pontosn kkor konvergens, mikor Cuchy-sorozt. Pl. n = 1 + 1 2 + 1 3 +... 1 n ( n ) szigorún monoton növeked lim n = sup( n ) IR. Megmuttjuk, hogy lim n = + (nem konvergens). Indirekt! Tegyük fel, hogy konvergens. Ekkor Cuchy-sorozt is: ε > 0 N : n m < ε n, m N. 22
Legyen ε = 1. N : 2 n m < 1 n, m N. 2 Legyen most n = 2N, m = N. 2N N = 1 N + 1 + 1 N + 2 +... 1 2N < 1 2 lenne, de h minden tgbn 1 -t írunk, kkor kisebbítjük: 2N mi ellentmondás. 1 N + 1 + 1 N + 2 +... 1 2N > 1 2N + 1 2N +... 1 2N = N 1 2N = 1 2, A sorozt egyébként igen lssn konvergál végtelenhez, mit jól jelez, hogy 1000 = 7, 48, és 10 6 = 14, 39.... 2.7. Prciális limesz, lim inf, lim sup Nem minden soroztnk létezik htárértéke. Cél: htárérték foglmánk kiterjesztése, mégpedig oly módon, hogy minden ( n ) sorozthoz egyértelm en hozzárendelhessünk egy R-beli elemet, mely egyrészt jellemzi soroztot, másrészt h lim n, kkor zt rendelje hozzá. 2.34 Deníció. Azt mondjuk, hogy z α R z ( n ) sorozt prciális limesze, h z ( n ) soroztnk létezik α-hoz trtó részsorozt. A prciális limeszek hlmzát ( n ) jelölje. Pl. 1. n = ( 1) n+1 : ( n ) = { 1, 1} 2. n = 1 : ( n n) = {0}. 2.35 Állítás. Minden soroztnk létezik prciális limesze, zz ( n ). Biz.: Következik BolznoWeierstrss-tételb l, ill. nnk 2.29 következményéb l. 2.36 Deníció. A ( n ) nem üres IR-beli hlmz inmumát és szupremumát z ( n ) sorozt limesz inferiorjánk és limesz szuperiorjánk nevezzük. Jelölés: lim inf n, lim sup n vgy lim n, lim n. El z példáinkbn 1. lim( 1) n = 1; lim( 1) n = 1. 2. lim( 1 ) = lim( 1 ) = 0. n n Könnyen meggondolhtó, hogy igz következ 2.37 Állítás. Tetsz leges ( n ) : IN IR esetén 23
.) lim n lim n b.) lim n lim n = lim n, és ekkor lim n = lim n = lim n c.) ( n ) konvergens lim n = lim n IR. 3. Folytonos függvények Legyen f : IR IR. 3.1 Deníció. Azt mondjuk, hogy f folytonos z x 0 D(f) pontbn, h minden olyn (x n ) D(f) soroztr, melyre x n x 0, f(x n ) f(x 0 ). H f folytonos x 0 H D(f) pontbn, kkor H-n folytonosnk nevezzük. H f folytonos D(f)-en, kkor folytonos függvénynek nevezzük. 3.1. Korlátos és zárt hlmzon értelmezett folytonos függvények Legyen H IR korlátos és zárt hlmz. Azz: H korlátos K > 0 : x K x H, és H zárt (x n ) H soroztr, melyre lim x n = x 0 x 0 H (trtlmzz minden torlódási pontját). 3.2 Állítás. Egy H hlmz pontosn kkor korlátos és zárt, h minden (x n ) H soroztból kiválszthtó H-bn konvergens részsorozt, zz (x n ) H (x kn ) : lim x kn H. ( ) Biz.: 1. ( ) Tegyük fel hogy H korlátos és zárt. Mutssuk meg (*)-t! Legyen (x n ) H tetsz leges. Mivel H korlátos, ezért (x n ) is korlátos, így Bolzno Weierstrss-tétel értelmében létezik (x kn ) konvergens részsorozt, zz lim x kn = α. De H zárt is α H. 2. ( ) Tegyük fel, hogy (*) igz. Mutssuk meg, hogy ekkor H korlátos és zárt..) H korlátos, ugynis (indirekt módon) tegyük fel, hogy H nem korlátos. Ekkor n INhez létezik x n : x n > n. (Az egyszer ség kedvéért zt tesszük fel, hogy felülr l nem korlátos.) lim x n = +. De ekkor minden részsorozt is + -hez trt, zz nem válszhttó ki bel le konvergens részsorozt. (Minden konvergens sorozt korlátos.) b.) H zárt. Ugynis legyen (x n ) konvergens sorozt H-bn. Ekkor (*) lpján létezik H-bn konvergens részsorozt, zz (x kn ) : lim x kn = α H. De h lim x n IR, kkor lim x n = lim x kn = α. Így H zárt is. 24
3.3 Állítás. Tegyük fel, hogy H IR korlátos és zárt, f : H IR folytonos. Ekkor f(h) IR is korlátos és zárt. (Átfoglmzv: korlátos és zárt hlmz folytonos képe is korlátos és zárt.) Biz.: Következik z el z állításból. Elegend belátni, hogy f(h)-r teljesül (*) feltétel, zz (y n ) f(h) soroztból kiválszthtó f(h)-bn konvergens (y kn ) részsorozt. (y n ) f(h) x n : f(x n ) = y n. Tekintsük ezt z (x n ) H soroztot! Mivel H korlátos és zárt, ezért (x kn ) részsorozt, melyre lim x kn = x 0 H. Mivel f folytonos H-n, ezért lim n f(x kn ) = f(x 0 ) y kn y 0 := f(x 0 ), zz y 0 f(h). 3.4 Következmény. Korlátos és zárt hlmzon értelmezett folytonos függvény korlátos. 3.5 Állítás. (Weierstrss tétele) Legyen H IR korlátos és zárt, f : H IR folytonos. Ekkor z f(h) IR számhlmznk létezik mximum és minimum. Biz.: Az el z tételb l következik. f(h) korlátos sup f(h) =: M < +, inf f(h) =: m > (m M). Mivel M szuprémum z f(h) hlmznk, ezért egy M-nél kisebb szám már nem fels korlátj, zz n IN y n f(h) : y n > M 1 n. Mivel y n M, így M 1 < y n n M. Következésképpen lim y n = M. Mivel (y n ) f(h) és f(h) zárt is, így M f(h), zz f felveszi vlmely x 0 H pontbn M értékét. (inf-re ugynígy.) 3.6 Megjegyzés. A tétel három feltétele együttesen elégséges feltételei mximum és minimum létezésének. Azonbn egyik feltétel sem szükséges (lásd pl. z f(x) = D(x) függvényt H = IR \ {0} hlmzon). 3.2. Egyenletes folytonosság Az x 0 -beli folytonosság deníciójából: h f folytonos x 0 -bn, kkor x n f(x n ) f(x 0 ). Mit jelent: f(x n ) f(x 0 )? x 0 esetén ε > 0 N : f(x n ) f(x 0 ) < ε n N. Átfoglmzv: f x 0 -beli folytonosság zt jelenti, hogy ε > 0 δ > 0 : x D(f) és x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε. 25
Mit l függ δ? Nyilván ε-tól és x 0 -tól. Kérdés: Hogyn viselkedik δ rögzített ε esetén egy H hlmzon? Megdhtó-e univerzális δ z egész H-r? Pl. 1. f(x) = 1 x, H = (0, 1]. Számítsuk ki, hogy dott x 0 H pontot véve, és rögzítve ε-t, mekkor δ-t kell válsztnunk. A függvény nullához közeledve egyre meredekebb, így z lklms δ-t z f(x 0 δ) = f(x 0 ) + ε összefüggésb l számíthtjuk (ugynis x 0 -tól jobbr kell kisebb δ-t válsztnunk). Ez z összefüggést jelenti. Ebb l és így Könnyen láthtó, hogy 1 x 0 δ = 1 x 0 + ε x 0 δ = 1 1 x 0 + ε, δ = δ(ε, x 0 ) = x 0 1 1 x 0 + ε = x 1 0(1 ) 1 + εx 0 lim δ(ε, x 0) = 0, x 0 0 vgyis minél közelebb vn x 0 nullához, nnál kisebb δ-t kell válsztnunk. Pl. 2. f(x) = x, H = [0, 1]. Ekkor δ = ε megválsztás z egész H-n jó. 3.7 Deníció. Legyen H IR, f : H IR. Azt mondjuk, hogy f egyenletesen folytonos H 1 H hlmzon, h ε > 0 δ = δ(ε) : x 1, x 2 H 1 : x 1 x 2 < δ f(x 1 ) f(x 2 ) < ε. (4) 3.8 Deníció. Azt mondjuk, hogy f egyenletesen folytonos, h H 1 = H-r is érvényes (4). 3.9 Következmény. H f egyenletesen folytonos, kkor folytonos is. 3.10 Következmény. H f egyenletesen folytonos H-n, kkor minden H 1 H hlmzon is egyenletesen folytonos. Igz-e 3.9 megfordítás? Láttuk, hogy nem! Igz zonbn következ 3.11 Állítás. (Heine tétele) Tegyük fel, hogy H korlátos és zárt, f : H IR folytonos. Ekkor f egyenletesen folytonos. 26
Biz.: Indirekt. Tegyük fel, hogy f nem egyenletesen folytonos, zz ε > 0 δ : u, v H : u v < δ, de f(u) f(v) ε. (5) Legyen speciálisn δ := 1. Ekkor (5) n ε > 0 n IN u n, v n H : u n v n < 1 n, de f(u n) f(v n ) ε. (6) Tekintsük ezt két (u n ), (v n ) soroztot. (Mindkett H-beli.) Mivel (u n ) H és H korlátos és zárt, ezért létezik (u kn ) részsorozt, melyre lim n u kn = u H. (7) Tekintsük most (v kn ) részsoroztát (v n ) soroztnk! Mivel (6) lpján u v kn u u kn + u kn v kn u u kn + 1 k n, és így (7) Tehát lim v k n = u (8) n lim u kn = lim v kn = u H. (9) Mivel f folytonos H-n, ezért lim f(u kn ) = lim f(v kn ) = f(u ). (10) Így de ez ellentmond (6)-nk. lim f(u k n ) f(v kn ) = 0, n 3.12 Megjegyzés. A Heine-tételt (1873) Riemnn már korábbn lklmzt, de bizonyítás nélkül. Feldt. Legyen f(x) = sin x, x [0, 1). Egyenletesen folytonos-e? 3.13 Állítás. (Az inverz függvény folytonosság) Legyen H korlátos és zárt, f : H IR folytonos és bijektív. Ekkor f 1 : R(f) H is folytonos. 27
Biz.: Indirekt. Tegyük fel, hogy f 1 nem folytonos, zz y 0 R(f) és (y n ) R(f), y n y 0, de f 1 (y n ) / f 1 (y 0 ) (11) Jelölések: x n = f 1 (y n ), x 0 = f 1 (y 0 ) (zz y n = f(x n ), y 0 = f(x 0 ).) Ekkor (11) x n / x 0, zz δ > 0 : x n x 0 δ (12) végtelen sok n index esetén. Vegyük ki ezeket z elemeket mint részsoroztot: (xñ) (x n ) : xñ x 0 δ ñ (13) Mivel (xñ) H, így (xñ)-b l kiválszthtó konvergens részsorozt, mely H-bn konvergens: (x kn ) (xñ) (x n ) : lim x kn = x H (14) (13) Így (14)(15) x kn x 0 δ. (15) x x 0. (16) Mivel f folytonos x H-bn, így f(x kn ) f(x). (17) Másrészt y n y 0 mitt y kn y 0 = f(x 0 ), zz f(x kn ) f(x 0 ) (18) (17)(18) f(x) = f(x 0 ), és mivel f bijektív, ez ellenmond (18)-nk. 3.3. Intervllumon értelmezett folytonos függvények Legyen I IR egy intervllum. A továbbikbn z f : I IR típusú függvényekkel fogllkozunk. (H I = [, b], kkor z el z szksz vlmennyi tétele érvényben mrd.) 3.14 Állítás. Legyen < b és [, b] I, ϕ : I IR folytonos függvény. H ϕ() < 0 < ϕ(b), kkor c (, b), melyre ϕ(c) = 0. Biz.: Építsünk fel egy I n = [ n, b n ] egymásb sktulyázott zárt intervllumsoroztot. 1. 0 :=, b 0 := b 28
2. I n 1 -b l I n -t következ módon nyerjük: c n := n 1+b n 1 2 h ϕ(c n ) > 0, kkor n := n 1, b n = c n h ϕ(c n ) < 0, kkor n := c n, b n = b n 1 h ϕ(c n ) = 0, kkor c = c n keresett pont. 3. Folyttjuk z eljárást. Nyilván ( n ) monoton növeked, míg (b n ) monoton fogyó sorozt, és korlátosk konvergensek is. Jelölje z ( n ) sorozt htárértékét, (b n )-ét b. Ekkor b n n = b 2 n lim(b n n ) = 0 b =. Ezért, z n c n b n tuljdonság mitt lim c n =: c = = b. Tehát lim n = c és lim b n = c, és ϕ folytonosság mitt lim ϕ( n ) = ϕ(c); lim ϕ(b n ) = ϕ(c). Ugynkkor, konstrukció mitt ϕ( n ) < 0 és ϕ(b n ) > 0. Ekkor lim ϕ( n ) 0 és lim ϕ(b n ) 0. Így ϕ(c) 0 és ϕ(c) 0 ϕ(c) = 0. 3.15 Állítás. (Bolzno tétele) Legyen f folytonos [, b]-n, és tegyük fel, hogy f() < f(b). Ekkor f minden f() és f(b) közötti értéket felvesz, zz α (f(), f(b)) c (, b) : f(c) = α. (19) Biz.: Alklmzzuk z el z állítást ϕ(x) = f(x) α függvényre! ϕ() < 0, ϕ(b) > 0 c : ϕ(c) = 0 f(c) α = 0 f(c) = α. 3.16 Következmény. Egy folytonos függvény semmilyen értéket nem ugorht át. 3.17 Deníció. Azt mondjuk, hogy egy f : IR IR függvény Drboux-tuljdonságú, h x, y D(f), f(x) < f(y) esetén érvényes következ : α (f(x), f(y)) ζ (x, y) : f(ζ) = α. 29
3.18 Következmény. Az intervllumokon értelmezett folytonos függvények Drboux-tuljdonságúk. A Bolzno-tétel egy másik következménye: 3.19 Következmény. H f : IR IR folytonos függvény, és D(f) egy intervllum, kkor képtér is intervllum. (H D(f) korlátos és zárt, kkor R(f) is z.) 4. A dierenciálszámítás válogtott elemei Emlékeztet : Legyen f : IR IR. Azt mondjuk, hogy f dierenciálhtó (röv. dihtó) z x 0 intd(f) pontbn, h létezik és véges f(x) f(x 0 ) lim =: f (x 0 ) x x 0 x x 0 htártérték. Azt mondjuk, hogy f dihtó, h x 0 intd(f) pontbn dihtó. Tnultuk m veleti szbályokt. 4.1. Dierenciálhtó függvények lokális tuljdonsági 4.1 Deníció. Azt mondjuk, hogy f lokálisn növekszik z x 0 intd(f) pontbn, h K(x 0 ) D(f), hogy x K(x 0 ), x < x 0 esetén f(x) f(x 0 ); x K(x 0 ), x > x 0 esetén f(x) f(x 0 ) Azt mondjuk, hogy f szigorún lokálisn növekszik z x 0 intd(f) pontbn, h K(x 0 ) D(f), hogy x K(x 0 ), x < x 0 esetén f(x) < f(x 0 ); x K(x 0 ), x > x 0 esetén f(x) > f(x 0 ) (A lokális csökkenést ill. szigorún lokális csökkenést értelemszer en ugynígy deniáljuk.) 4.2 Következmény. H f monoton növ, kkor minden pontbn lokálisn növekszik. 30
Megmutthtó fordított állítás: h f egy intervllum mindegyik pontjábn lokálisn növekszik, kkor f monoton növ. (A bizonyítás indirekt, Cntor-féle közösponttételen lpul.) Ugynkkor, h f lokálisn növekszik egy x 0 intd(f) pontbn, kkor ebb l nem következik, hogy létezik olyn kis K(x 0 ) környezet, melyen monoton lenne. Pl. { f(x) = Ez függvény x 0 = 0-bn lokálisn n. x, h x IQ, 2x, h x IR \ IQ Hogyn lehet felismerni lokális növekedést? 4.3 Állítás. Legyen f : (, b) IR és f dihtó z x 0 (, b) pontbn. Ekkor 1. h f lokálisn n x 0 -bn, kkor f (x 0 ) 0; 2. h f (x 0 ) > 0, kkor f szigorún lokálisn n x 0 -bn. Biz.: 1. Tegyük fel, hogy f lokálisn n x 0 -bn. Ekkor f(x) f(x 0 ) x x 0 0 x K(x 0 ) lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = f (x 0 ) 0. 2. Tegyük fel, hogy f (x 0 ) > 0. Ekkor lim f(x) f(x 0) x x 0 > 0 K(x 0 ) : f(x) f(x 0) x x 0 > 0 x K(x 0 ), x x 0, zz x > x 0 f(x) > f(x 0 ), ill. x < x 0 f(x) < f(x 0 ) x K(x 0 ). A tétel nem élesíthet! H f (x 0 ) 0, kkor ebb l nem következik, hogy f növekszik x 0 -bn. (Pl. f(x) = x 3, x 0 = 0.) H f x 0 -bn szigorún lokálisn n, kkor ebb l nem következik, hogy f (x 0 ) > 0. (Pl. f(x) = x 3, x 0 = 0.) A lokális csökkenésre nlóg tételek vnnk. 4.4 Deníció. Azt mondjuk, hogy z f : IR IR függvénynek z x 0 intd(f) pontbn lokális mximum vn, h K(x 0 ) D(f) : f(x) f(x 0 ) x K(x 0 ). (Lokális minimum: f(x) f(x 0 ) x K(x 0 ).) A lokális minimumot ill. mximumot lokális széls értéknek nevezzük. 31
4.5 Állítás. H f dihtó x 0 -bn, és ott lokális széls értéke vn, kkor f (x 0 ) = 0. Biz.: Indirekt. Tegyük fel, hogy f (x 0 ) 0. Ekkor f z x 0 pontbn szigorún lokálisn n vgy csökken, de nem lehet ekkor lokális széls értéke. 4.6 Megjegyzés. A megfordítás nem igz: h f (x 0 ) = 0, bból nem következik, hogy lokális széls értéke vn ebben pontbn (lásd f(x) = x 3 ). Tehát z f (x 0 ) = 0 szükséges feltétele lokális széls értéknek. 4.2. A dierenciálhtó függvények globális tuljdonsági 4.7 Állítás. (Rolle tétele) Tegyük fel, hogy z f : [, b] IR függvényre f C[, b]; f D(, b); f() = f(b). Ekkor c (, b) : f (c) = 0. Biz.: f C[, b] mx és min [, b]-n. H ezek vlmelyike (, b)-n vn, ott lokális széls érték is vn, és mivel mivel f dihtó, f (c) = 0 ezen pontbn. H egyiket sem veszi fel (, b)-n, kkor z egyik végpontbn vn mximum, másikbn minimum. De ekkor feltétel mitt f(x) = const., és ezért f (x) = 0 x (, b). 4.8 Következmény. H f C[, b] D(, b) és f (x) 0 (, b)-n, kkor f() f(b). 4.9 Megjegyzés. A Rolle-tétel geometrii jelentése: z dott feltételek mellett z f függvénynek létezik z x-tengellyel párhuzmos érint je. 4.10 Megjegyzés. A három feltétel együtt lkot egy elégséges feltételt. 4.11 Állítás. (Cuchy tétele) Legyenek f, g : [, b] IR z lábbi tuljdonságú függvények: 1. f, g C[, b], 32
2. f, g D(, b), 3. g (x) 0 x (, b). Ekkor c (, b) : f(b) f() g(b) g() = f (c) g (c). Biz.: Legyen α IR olyn szám, melyre h(x) := f(x) αg(x) függvényre teljesülnek Rolle-tétel feltételei: Nyilván h C[, b] D(, b), és f() αg() = f(b) αg(b) kkor teljesül, h α(g(b) g()) = f(b) f() α = (Itt g() g(b) Rolle-tétel következménye mitt!) f(b) f() g(b) g(). Ekkor c (, b) : h (c) = 0 f (c) αg (c) = 0. Ez pedig g (c) 0 esetén éppen belátndó egyenl séget jelenti. 4.12 Állítás. (Lgrnge-középértéktétel) Tegyük fel, hogy f C[, b] D(, b). Ekkor c (, b) : f(b) f() b = f (c). Biz.: Következik Cuchy-tételb l g = id megválsztássl. 4.13 Megjegyzés. A Lgrnge-középértéktétel geometriilg zt jelenti, hogy feltételek esetén függvénynek létezik z (, f()), (b, f(b)) pontokt összeköt húrrl párhuzmos érint je. 4.14 Megjegyzés. Szokásosbb lk: f(b) f() = f (c)(b ). 4.15 Megjegyzés. H f(b) = f(), kkor Rolle-tételt kpjuk. 4.16 Megjegyzés. A két feltétlel együtt lkot elégséges feltételt. 4.3. A középértéktételek következményei 4.17 Állítás. (A monoton növekedés tétele) Legyen I IR tetsz leges nyílt intervllum, f : I IR dihtó. Ekkor 33
f monoton növ I-n f (x) 0 x I. h f (x) > 0 I-n, kkor f szigorún monoton növ. Biz.: 1./.) Tegyük fel, hogy f monoton növ. Ekkor mindegyik pontjábn lokálisn növekszik f (x) 0. 1./b.) Tegyük fel, hogy f (x) 0. Minden x 1 < x 2 I-beli pontr lklmzv Lgrngeközépértéktételt z [x 1, x 2 ] intervllumon: f(x 2 ) f(x 1 ) = f (c)(x 2 x 1 ) 0 f(x 2 ) f(x 1 ). 2. H f (x) > 0, kkor Lgrnge-középértéktételb l f(x 2 ) f(x 1 ) = f (c)(x 2 x 1 ) > 0 f(x 2 ) > f(x 1 ). (Ugynez tétel monoton fogyásr értelemszer en átfoglmzhtó.) 4.18 Következmény. H f C(I) (I egy intervllum), és f dihtó inti-n, továbbá f (x) = 0 x inti, kkor f konstns I-n. Biz.: Lgrnge-középértéktétel x 1, x 2 I c (x 1, x 2 ) : f(x 2 ) f(x 1 ) = f (c)(x 2 x 1 ) 0 (x 2 x 1 ) = 0 f(x 2 ) = f(x 1 ). 4.19 Megjegyzés. H I nem intervllum, z állítás nem igz! 4.20 Megjegyzés. A monoton növekedés tételének második részét nem lehet megfordítni. (H f szigorún monoton növ, bból még nem következik, hogy f > 0. Pl. f(x) = x 3. 4.21 Állítás. Tegyük fel, hogy h C[, b] D(, b), h() 0, h (x) 0 (, b)-n, ekkor h 0(, b)-n. Biz.: Lgrnge-középértéktétel x (, b) h(x) h() x = h (c) h(x) = h() + h (c)(x ) 0. 4.22 Megjegyzés. H h (x) > 0 (, b)-n, kkor h(x) > 0 (, b]-n. 34
4.23 Következmény. Tegyük fel, hogy f, g C[, b] D(, b), f() g(), f g. Ekkor f g [, b]-n. következik.) H f > g, kkor f > g [, b]-n. (Ugynis h(x) := f g megválsztássl z el z állításból ez Pl. Mutssuk meg, hogy ln(1 + x) < x, h x > 0! Legyen f(x) = x, g(x) = ln(1+x). Ekkor f(0) = g(0), f (x) = 1, g (x) = 1 1+x f > g. 4.4. A deriváltfüggvény tuljdonság Mi lehet deriváltfüggvény? 4.24 Állítás. (Drboux tétele) Tegyük fel, hogy f D(, b). Ekkor f Drboux-tuljdonságú (, b)-n. Biz.: Legyen < x 1 < x 2 < b és f (x 1 ) < f (x 2 ). Mutssuk meg, hogy minden α (f (x 1 ), f (x 2 )) számhoz létezik olyn c (x 1, x 2 ) : f (c) = α. Tekintsük h(x) = f(x) αx függvényt! Mivel h (x) = f (x) α, ezért h (x 1 ) < 0 < h (x 2 ). Nyilván h C[x 1, x 2 ], ezért létezik mx. és min. [x 1, x 2 ]-n. Mivel végpontokbn deriváltk nem nullák, bl oldli végpontbn szigorún lokálisn fogyó, jobb oldlibn szigorún lokálisn növ függvény, így minimumhelyre c (x 1, x 2 ). Itt h dihtó h (c) = 0. Azz h (c) = f (c) α = 0 f (c) = α. Pl. Létezik-e olyn f függvény, melynek deriváltj sgn(x)? 4.25 Megjegyzés. A Drboux-tuljdonság szükséges feltétele nnk, hogy vlmi deriváltfüggvény legyen. Létezik ennél enyhébb szükséges feltétel is. Emellett létezik számos elégséges feltétel is. De nem létezik szükséges és elégséges feltétel, és nem is dhtó meg ilyen (Cohen, 1970). 5. Fejezetek Riemnn-integrálszámításból Korábbi tnulmányinkból ismert primitív függvény foglm, és Riemnn-integrál deniálás Riemnn-féle közelít összegekkel. Láttuk, hogy h f, g R[, b], kkor f f + g, λ f, f g, (g g g 0 > 0) is R[, b]-beli. De nincs képlet f g, f integrálásár! Ez g utóbbi állítást szorztr meg is gondoljuk. Tegyük fel, hogy vn olyn képlet, mely z f g integrált megdj f és g integráljánk függvényében, zz létezik olyn Φ függvény, melyre ( f g = Φ f, 35 ) g.
Legyen [, b] = [0, 1], és f(x) = g(x) = 1. Ekkor 1 0 1 1dx = 1 = Φ(1, 1). Ugynkkor, h z f(x) = g(x) = 2x függvényeket válsztjuk, 1 2xdx = 1 és 1 2x 0 0 2xdx = 4, mib l 3 4 = Φ(1, 1) 3 következik, mi ellentmond Φ(1, 1) = 1-nek. Emlékeztetünk rr z állításr is, hogy Riemnn-integrálhtó függvények kompozíciój nem feltétlenül Riemnn-integrálhtó. 5.1. Integrálhtósági tételek 1. H f R[, b], kkor f R[, b], és f f. bszolút érték- 5.1 Megjegyzés. A megfordítás nem igz, hiszen pl. z f(x) = D(x) 1 2 ben integrálhtó, de mg f nem integrálhtó. 2. Legyenek f, g : I IR korlátos függvények, f R(I). H f g véges számú pontbn I-n, kkor g R(I), és I g = I f. Biz.: Legyen u(x) = g(x) f(x). Ekkor u(x) = 0 véges számú pont kivételével. Legyenek ezek pontok x 1, x 2,..., x p I. Vezessük be C : (mx{ u( x 1 ), u( x 2 ),..., u( x p ) } jelölést. Ekkor τ IF(I) esetén (τ := { = x 0 < x 1 <... < x n = b}), mivel egy x i pont legfeljebb két osztásrészhez trtozht egyszerre, n σ(u, τ, ξ) = u(ξ i )(x i x i 1 ) i=1 n n u(ξ i ) (x i x i 1 ) τ u(ξ i ) 2pC τ i=1 i=1 Következésképpen, ε > 0 δ := ε 2pC : τ IF(I) : τ < δ σ(u, τ, ξ) 0 < ε, 36
zz lim σ = 0. Tehát u R(I), és u = 0. Ekkor viszont g = u + f R(I), és I I g = I u + I f = 5.2 Következmény. H egy f : I IR korlátos függvényt véges számú pontbn megváltozttunk, kkor ez z integrálhtóságon (ill. integrálhtóság esetén z integrál értékén) nem változtt. Kérdés: Mi történik, h végtelen számú pontbn változttjuk meg függvényt? Legyen R(x) = I f. { 1 q, h x = p q rcionális, 0, h x irrcionális. Ez z ún. Riemnn-függvény. Megmutthtó, hogy R R[0, 1]. A D(x) = { 1, h x = p q rcionális, 0, h x irrcionális. Dirichlet-függvény viszont nem integrálhtó. Tehát z integrálhtó f(x) 0 függvény megváltozttás ugynzon ponthlmzon mást eredményez. Ez zt is muttj, hogy h megszámlálhtó hlmzon változttjuk meg függvényt, kkor áltlánosn nem mondhtó semmi. Csk z igz, hogy h f, g : I IR, f g megszámlálhtó pontbn, továbbá f, g R(I), kkor f = g. (Így tehát 1 R(x)dx = 0.) I I 0 5.2. Integrálhtó függvények 5.3 Állítás. H f C[, b], kkor f R[, b], zz minden [, b] intervllumon értelmezett folytonos függvény Riemnn-integrálhtó. Biz.: A Heine-tétel szerint h f C[, b], kkor f egyenletesen is folytonos [, b]-n, zz ε > 0 δ : x 1, x 2 I : x 1 x 2 < δ f(x 1 ) f(x 2 ) < Legyen τ IF[, b] : τ < δ. Ekkor Weierstrss-tételb l következ en ε b. Ω(f, τ) = n i=1 ( sup [x i 1,x i ] f inf f)(x i x i 1 ) = [x i 1,x i ] n (f(ξ i ) f(η i ))(x i x i 1 ). i=1 Mivel ξ i, η i [x i 1, x i ] ξ i η i < τ < δ f(ξ i ) f(η i ) < Ω(f, τ) < ε (b ) = ε. b 37 ε. Így b
5.4 Állítás. H f : [, b] IR monoton függvény, kkor f R[, b]. Biz.: Segítség: Legyen τ IF[, b] : τ < ε. f(b) f() 5.5 Állítás. H f : [, b] IR olyn korlátos függvény, mely csk véges számú pontbn nem folytonos, kkor f R[, b]. Biz.: 1. Tegyük fel, hogy f csk egy pontbn, z intervllum x = bl oldli végpontjábn nem folytonos. Legyen ε > 0, és jelölje ω := sup f inf f. [,b] [,b] Válsszuk meg z x 1 pontot úgy, hogy x 1 < ε legyen. Mivel f folytonos [x 2ω 1, b]-n, ezért f R[x 1, b]. Tehát τ 1 : {x 1 < x 2 <... < x n = b} felosztás, melyre Jelölje τ τ 1 {} felosztást. Ekkor Ω(f [x1,b], τ 1) < ε 2. Ω(f, τ) = (sup f inf f)(x 1 ) + Ω(f, τ ε [x1,b] 1) < ω [,x 1 ] [,x 2 ] 2ω + ε 2 = ε. Így f R[, b] ebben speciális esetben. (H b-ben vn szkdási pont, bizonyítás hsonló.) 2. Tegyük fel, hogy f szkdási pontji: ξ 1 < ξ 2 <... < ξ p, és legyenek η i olynok, hogy < η 1 < ξ 1 < η 2 < ξ 2 < η 3... < η p < ξ p < η p+1 < b. Ekkor z [, η 1 ], [η 1, ξ 1 ], [ξ 1, η 2 ],... [η p+1, b] intervllumokon f-nek legfeljebb egy szkdási pontj vn, és zok z intervllumok végpontjir esnek. f mindegyik intervllumon Riemnn-integrálhtó, és ekkor z integrál trtomány szerinti dditivitás mitt [, b]-n is. Kérdés: Nem lklmzhtó-e folytonos függvény véges számú pontbn vló megváltozttásáról szóló tétel? Áltlábn nem, csk kkor, h szkdás megszüntethet. De z f(x) = { sin 1 x, h x 0 0, h x = 0 függvény nem tehet folytonossá, ugynkkor ezen tétel lpján integrálhtó. 38