Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről is korlátos Megjegyzés: függvéy értelmezve az I itervallumo Az f függvéy alulról korlátos az k, ha I Az f függvéy felülről korlátos K, ha I Az f függvéy korlátos az A feti defiícióhoz hasolóa defiiálható valamely pothalmazo [alulról, illetve felülről] korlátos függvéy, azzal a külöbséggel, hogy ott a pothalmaz elemeire kell megkövetelük a megfelelő egyelőtleségek teljesülését A sorozatokál látott korlátossághoz hasolóa itt is igaz, hogy az f függvéy akkor és csak akkor korlátos az I itervallumo, ha va olya K valós szám, hogy mide re K Függvéy határértéke defiíció I Legye az I - függvéy értelmezve az ( a, a \{ a} halmazo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba határértéke és ez az A valós szám, ha mide számhoz létezik olya valós szám, hogy mide esetbe, amikor a teljesül, feáll A is Jelölés: A Megjegyzések: A feti defiíció azt modja ki, hogy az f függvéy határértéke a-ba A, ha mide olya esetbe, amikor közel va a-hoz, f( közel va A-hoz Azért -hoz kell választauk -t, mert azt akarjuk eléri, hogy ha A-t evezzük határértékek, akkor a függvéyértékek tetszőlegese közel kerülhesseek hozzá; eek általába az a feltétele, hogy közel legye a-hoz, de persze vaak kivételek Ha fordítva modaák ki a defiíciót, akkor em tudák garatáli, hogy -szel a-hoz közelítve a függvéyértékek is közel legyeek A-hoz A defiíció azt mutatja, hogy a függvéy határértékéek egy adott potba való kiszámításakor érdektele, hogy a függvéy azo a kokrét helye, ahol a határértéket számítjuk, mit csiál; még azt sem követeljük meg, hogy abba a potba értelmezve legye A vizsgálat tárgya az, hogy a pot egy köryezetébe mikét viselkedik egy függvéy, illetve értékével a pothoz közelítve milye tulajdoságai vaak Példa: a Legye, és a tetszőleges valós szám Megmutatjuk, hogy a a Nyilvávaló, hogy az f függvéy mide itervallumo értelmezve va Legye valós szám Ekkor -ra teljesül, hogy a eseté a, hisze a a és, azaz a a
Függvéy határértéke (Heie-féle defiíció II Legye az függvéy értelmezve az ( a, a \ { a} halmazo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba határértéke és ez az A valós szám, ha mide a, de egyik tagja sem egyelő a-val, az f sorozat határértéke A ( ( sorozatra, melyek határértéke Megjegyzés: A két defiíció ekvivaleciáját az átviteli elv -két ismert tétel modja ki Az átvitelielv elevezés arra utal, hogy a második defiíció segítségével a sorozatok határértékére megállapított tulajdoságokat alkalmazhatjuk a függvéyek határértékére voatkozóa is A II defiíció segítségével köyebbe határozhatjuk meg a függvéyek határértékét, mit az I defiíció segítségével, ezért a továbbiakba a II defiíciót vesszük alapul, és eek megfelelőe készülek a feladatok megoldásai, illetve a további defiíciók is Példák: Legye, és a tetszőleges valós szám Ekkor az f függvéyek mide a eseté va határértéke, és ez a határérték a, mert mide a sorozatra f ( a Legye si, ha, és legye f ( Ekkor az f függvéyek az a helye ics határértéke Eek bizoyításához vegyük az alábbi sorozatokat:, π π y π π Teljesül, hogy és y, továbbá si és si Tehát a defiíció értelmébe az f( függvéyek em lehet a -ba határértéke, mert találtuk két sorozatot, melyek -hoz tartaak, de a hozzájuk tartozó függvéyértékek sorozatáak határértéke em egyezik meg y Kidolgozott feladatok: Vizsgáljuk meg, hogy létezek-e a következő függvéyhatárértékek! Az a helye vizsgálva a függvéy határértékét, ahol A sorozatok határértékére és a műveletekre voatkozó tételek szerit a tört számlálója -höz, evezője -hez tart, ezért a háyados sorozat határértéke (A számítás tetszőleges sorozat eseté érvéyes
, ahol A sorozatok határértékére és a művele- tekre voatkozó tételek szerit a tört számlálója 8-hoz, evezője -hez tart, ezért a háyados sorozat határértéke (A számítás tetszőleges sorozat eseté érvéyes Vizsgáljuk meg a számláló és a evező szorzattá alakításával, hogy létezek-e a következő függvéyhatárértékek! 6 8 8 6 c 7 7 Vegyük egy tetszőleges ( sorozatot Ekkor 6 és, tehát a háyados határértéke em meghatározott, így a törtbe szereplő algebrai kifejezéseket át kell alakítauk A szorzattá alakításhoz felhaszálhatjuk, hogy a számlálóba és a evezőbe szereplő kifejezések gyöke a 6 ( ( ( ( 7 7 Tekitsük a tetszőleges ( sorozatot, ekkor 7 7 Az előző feladathoz hasolóa tetszőleges ( sorozat törtbe helyettesítésével a számlálóba és a evezőbe is -hoz tartó sorozatot kapuk Alakítsuk szorzattá tehát a evezőt és a számlálót is: 8 ( ( Alkalmazva a defií- 8 6 ( ( ciót tetszőleges ( sorozatra: ha létezik a keresett határérték, akkor A számláló 6-hoz, a evező viszot -hoz tart Ha az sorozat felülről tart -hez, akkor a evező pozitív és -hoz tart, tehát a tört határértéke, ha az sorozat alulról tart -hez, akkor a evező egatív és -hoz tart, tehát a tört határértéke + Ekkor viszot em teljesül, hogy mide -hez tartó sorozatra ugyaaz legye a helyettesítési értékek sorozatáak határértéke, így a keresett határérték em létezik c Az előző feladathoz hasolóa tetszőleges ( sorozat törtbe helyettesítésével a számlálóba és a evezőbe is -hoz tartó sorozatot kapuk Alakítsuk szorzattá tehát a evezőt és a számlálót is! A számlálót például poliomosztással lehet szorzattá alakítai, mert tudjuk, hogy az ott szereplő poliomak a gyöke, tehát az a poliomból kiemelhető A poliomosztásról bővebb leírás a függelékbe található 7 ( ( 7 ( ( 9
Alkalmazva a defiíciót tetszőleges sorozatra: A továbbiakba az elméleti ayag bővítésére, új fogalmak bevezetésére és tételek kimodására, továbbá a függvéyek speciális tulajdoságaiak áttekitésére kerül sor, mert a függvéyhatárértékek meghatározásáál ezek éháy lépést agymértékbe leegyszerűsíteek Függvéyek bal-és jobboldali határértéke A függvéy-határérték defiíciójába ki, hogy az midkét oldalról közelítette az a számot, azaz em kötöttük sorozat tagjai a-ál kisebbek vagy agyobbak legye Megkülöböztethetük azoba jobb- illetve baloldali határértéket, attól függőe, hogy milye Bevezetük egy szóhaszálatot (mely már korábba szerepelt is: ha modjuk, hogy az hogy az a a sorozat alulról tart a-hoz; ha pedig sorozat felülről tart a-hoz Megjegyzés: Nyilvávalóa az a a megegedése a határértéket em befolyásolja, azoba a függvéyhatárértékél az a értékeket egedük meg a a és a a a és a a, akkor azt, akkor azt modjuk, a a feltételek teljesülie kell, így ekük kéyelmesebb a defiícióba most az egyelőséget em megegedi Ezt a kérdést a továbbiakba kezeljük rugalmasa: ha az egyéb körülméyek em tiltják, akkor vehetjük az a a, illetve a a feltételeket Def: Legye az függvéy értelmezve az ( a, a itervallumo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba jobboldali határértéke és ez az A valós szám, ha mide sorozatra, mely felülről tart a-hoz, de egyik tagja sem egyelő a-val, az f ( sorozat határértéke A Jelölés: a ( Def: Legye az függvéy értelmezve az ( a, itervallumo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba baloldali határértéke és ez az A valós szám, ha mide ( sorozatra, mely alulról tart a-hoz, de egyik tagja sem egyelő a-val, az f sorozat határértéke A Jelölés: A a (
Tétel: Legye az függvéy értelmezve az ( a, a \{ a} halmazo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba határértéke és ez az A valós szám akkor és csak akkor, ha f-ek létezik a-ba a baloldali és jobboldali határértéke, és midkettő A Megjegyzés: A jelölésekbe a + illetve azt mutatja, hogy az a számak melyik oldalá vagyuk Szokás az a+ illetve a helyett egyszerűe csak az a+ illetve a jelölést haszáli ( a, a Ezzel a határérték-fogalmuk kibővült, mert vaak olya függvéyek, melyek egy-egy a szám eseté csak valamely illetve, vagy illetve itervallumo vaak értelmezve Ilye például az [ a, a ( a, függvéy, mely csak az ( a, a] esetbe va értelmezve, így a - ba vett határértékéről em beszélhetük, de jobboldali határértékéről ige [Belátható, hogy ez ] A határértékek kiszámításába gyakorlati hasza is va a feti tételekek, mert olya függvéyek határértéke is kiszámítható, melyek több függvéy kombiációjából állak elő, azaz egyes itervallumoko más-más képlet adja meg a függvéyt Kidolgozott feladat: Meyi az, ha függvéy határértéke az, ha a helye? Ha a függvéy jobboldali határértékét tekitjük a -ba, akkor ez megegyezik a g( függvéy ugyaitt vett jobboldali határértékével, ami A függvéy baloldali határértéke a -ba megegyezik a h( függvéy -ba vett baloldali határértékével, ami Mivel a bal- és jobboldali határértékek létezek és midkettő, ezért az f függvéy határértéke a -ba létezik és értéke A függvéyhatárérték és a műveletek kapcsolata Mivel a függvéy határérték defiíciója a sorozatok határértéké alapul, ezért a sorozatokkal végzett műveletek és a határértékek kapcsolatáról szóló tételek alapjá a függvéyekkel végzett műveletek és a határértékek kapcsolatáról is hasoló tételeket tuduk kimodai Tétel: Legye az és g : R R függvéy értelmezve az ( a, a \{ a} halmazo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Ha az f függvéyek létezik a-ba határértéke és ez A, továbbá a g függvéyek létezik határértéke a-ba és ez B, akkor f+g-ek, f g-ek, f g-ek is létezik a-ba határértéke, és ez redre A+B, A B, A B Azaz ha létezik A és létezik g( B a, akkor létezik g( A B a g( A B és g( A B a a, a
Tétel: Legye az hogy eze a halmazo és g( g : R R függvéy értelmezve az ( a, a \{ a} halmazo úgy, [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Ha az f függvéyek létezik a-ba határértéke és ez A, továbbá a g függvéyek létezik határértéke a-ba és ez B, akkor f g -ek is létezik a-ba határértéke, és ez Megjegyzés: A feti tételek speciális esete, amikor az egyik függvéy kostas, ezért a kostassal való szorzásra és osztásra, továbbá a kostas hozzáadására és kivoására voatkozó tételek kimodása külö em szükséges A függvéykompozícióra (összetett függvéyekre voatkozó határértékkel kapcsolatos tételt a következő fejezetbe tárgyaljuk Kidolgozott feladatok: Határozzuk meg az alábbi határértékeket! A B 6 6 c d e f Vegyük egy tetszőleges ( sorozatot Ekkor ( (, ( 6 ( 6 A két függvéy háyadosáak határértéke tehát Vegyük egy tetszőleges ( sorozatot Ekkor a számlálóba és a evezőbe helyettesítve is azt kapjuk, hogy azok határértéke, tehát a háyados határértéke em meghatározott, így a törtbe szereplő algebrai kifejezéseket át kell alakítauk A szorzattá alakításhoz felhaszálhatjuk, hogy a számlálóba és a evezőbe szereplő kifejezések gyöke a ( ( 6 ( ( A számláló határértéke, a evezőé pedig, tehát a háyados határértéke c Vegyük egy tetszőleges ( sorozatot Ekkor ( ( 6, ( ( 6 A két függvéy háyadosáak határértéke tehát 6
d Vegyük egy tetszőleges ( sorozatot Ekkor a számlálóba és a evezőbe helyettesítve is azt kapjuk, hogy azok határértéke, tehát a háyados határértéke em meghatározott, így a törtbe szereplő algebrai kifejezéseket át kell alakítauk A számlálóba és a evezőbe is az kiemelhető: ( ( A számláló -hez, a evező +-hez tart, tehát a háyados határértéke e Vegyük egy tetszőleges ( sorozatot Ekkor ( ( A két függvéy háyadosáak határértéke tehát f Vegyük egy tetszőleges 7, ( ( ( 7 7 7 sorozatot Ekkor a számlálóba és a evezőbe helyettesítve is azt kapjuk, hogy azok határértéke, tehát a háyados határértéke em meghatározott, így a törtbe szereplő algebrai kifejezéseket át kell alakítauk A szorzattá alakításhoz felhaszálhatjuk, hogy a számlálóba és a evezőbe szereplő kifejezések gyöke az Poliomosztással (az kiemelésével kapjuk a következőket (a módszert részletese lásd a Függelékbe: ( ( ( ( A számláló és a evező határértéke egyarát, tehát a háyados határértéke is Megjegyzés: A megoldásokba az egyszerűség kedvéért a továbbiakba em részletezzük azt a godolatmeetet, hogy Vegyük egy tetszőleges a ( sorozatot Helyettesítsük ezt a függvéy hozzáredelési szabályába, és vizsgáljuk a kapott sorozat határértékét! stb Gyakorló feladatok Határozzuk meg az alábbi határértékeket! c d ( ( ( A gyakorló feladatok megoldása a dokumetum végé található 7
II Függvéyek folytoossága Az eddigiekbe em foglalkoztuk azzal, hogy egy függvéy hogya viselkedik abba a potba, ahol a határértékét számítjuk Ha ezt is figyelembe vesszük, a függvéyek egy újabb érdekes tulajdoságát vizsgálhatjuk függvéy értelmezve az ( a, a itervallumo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéy folytoos a-ba, ha a függvéyek létezik a- beli határértéke, és ez megegyezik a függvéyek a-ba felvett értékével, azaz f ( A feti defiíció másképp megfogalmazva: Legye az a függvéy értelmezve az ( a, a itervallumo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéy folytoos a-ba akkor és csak akkor, ha mide a-hoz tartó sorozatra az függvéyértékek sorozatáak határértéke ( f ( f ( Korábba már láthattuk példát folytoos függvéyre Az függvéyek mide a-ba létezik határértéke és a-val egyelő, ami pot azt jeleti, hogy az f függvéy mide a-ba folytoos Köye tuduk azoba olya függvéyt is készítei, amely em folytoos valamely potba Legye például g(, ha, és legye g( Ekkor yilvávaló, hogy a g függvéy határértéke a -be, de a függvéyérték, így a g függvéy a -be em folytoos A bal- és jobboldali határérték defiíciójáak segítségével defiiálhatjuk a függvéyek balról, illetve jobbról folytoosságát is 8
függvéy értelmezve az [ a, a itervallumo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéy jobbról folytoos a-ba, ha a függvéyek f ( a függvéy értelmezve az ( a, a] itervallumo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéy balról folytoos a-ba, ha a függvéyek létezik a- beli baloldali határértéke, és ez megegyezik a függvéyek a-ba felvett értékével, azaz f ( a ( a, mide potjába folytoos függvéy értelmezve az ( a, itervallumo Az f folytoos ( a, -, ha folytoos ( a, függvéy értelmezve az [ a, b] -, és a-ba jobbról, b-be balról folytoos itervallumo Az f folytoos [ a, b] -, ha A továbbiakba a folytoos [balról, illetve jobbról folytoos] függvéyek említésekor em fogjuk feltüteti az értelmezési tartomáyt, a folytoosság fogalmába beleértjük, hogy a függvéyek a megfelelő itervallumoko értelmezve vaak Vaak tehát em folytoos és folytoos függvéyeik Azo potokat, ahol valamely f függvéy em folytoos, megkülöböztető elevezéssel láthatjuk el Def Ha az f függvéy az a potba em folytoos, akkor azt modjuk, hogy f-ek a-ba szakadási helye va A szakadási helyeket három csoportra oszthatjuk: létezik, de a ics bee f értelmezési tartomáyába vagy f ( Ekkor azt a modjuk, hogy f-ek a-ba megszütethető szakadási helye va [Azért megszütethető, mert az f függvéy folytoossá tehető a-ba Az első esetbe a-t belevesszük az értelmezési tartomáyba, és ott úgy adjuk meg a függvéy értékét, hogy az a határértékkel legye egyelő A második esetbe a függvéyértéket megváltoztatjuk a-ba úgy, hogy a határértékkel legye egyelő] em létezik, de létezik a és véges határérték [és ezek szükségszerűe külöbözőek] Ekkor azt modjuk, hogy f-ek ugráshelye va a-ba, vagy f ugrik a a a a-ba Mide más eset Az és típusú szakadási helyeket elsőfajú, a típusúakat másodfajú szakadási helyek evezzük a 9
A folytoosság és a műveletek kapcsolata Tétel: Ha f és g folytoos függvéyek a-ba, akkor f + g, f g, fg is folytoos a-ba, és g ( eseté f g is folytoos a-ba Következméy: Mivel folytoos a-ba tetszőleges a eseté, ezért a g ( poliomfüggvéy [azaz g( a a ] folytoos a-ba tetszőleges a eseté Ha racioális törtfüggvéy [azaz két poliomfüggvéy háyadosakét áll elő], akkor a evező ullhelyeit kivéve mideütt folytoos A függvéyek esetébe előkerül egy újabb művelet, ami még korábba em szerepelt, evezetese a függvéyek összetétele vagy kompozíciója Legyeek f : D( f R D( g R, g :D( g R függvéyek, és legye u, illetve g( v Ekkor általába em igaz, hogy a g ( függvéyek va határértéke a-ba és ez v u [Ezt abból godolhaták, hogy ha tart a-hoz, akkor a következő függvéyeket: f ( h( tart u-hoz, és h( g( a tart v-hez] Vegyük, ha mide -re és g ( Ekkor yilvávaló, hogy a g ( függvéy értelmezve, ha va R-e Azoba, g(, de g(, mert g( g( Azoba bizoyos feltételek mellett igaz az állítás, evezetese: Tétel: Ha f folytoos a-ba és g folytoos f(-ba, akkor g ( folytoos a-ba Megjegyzés: Az állítás teljesüléséhez em szükséges a folytoosság, kevesebb megkötés is elég Azoba a mideapos gyakorlatba legikább folytoos függvéyekkel dolgozuk, ezért itt most az öszszetett függvéyekkel kapcsolatba csak a folytoos függvéyek összetételéek esetét tárgyaljuk Kidolgozott feladatok: Válasszuk meg A értékét úgy, hogy az alábbi függvéy folytoos legye a teljes értelmezési tartomáyá!,ha A, ha Ha, akkor a tört egyszerűsíthető, így a függvéy, ha A, ha
Ha a, akkor a függvéy folytoos a-ba az + folytoossága miatt Ha, akkor Tehát ha a függvéy a -be em folytoos A, akkor a függvéy a -be folytoos, ha A, akkor Vizsgáljuk meg az alábbi függvéy folytoosságát az értelmezési tartomáyá! sg, azaz, ha, ha, ha Ha a a, akkor ott folytoos f(, mert itt a g ( függvéyel egyezik meg Ugyaígy folytoos eseté is A -ba viszot em folytoos, mert a baloldali határértéke, a jobboldali határértéke pedig, azaz a függvéyek a -ba ics határértéke, tehát em folytoos Vizsgáljuk meg az alábbi függvéy folytoosságát az értelmezési tartomáyá! [ ] (A képletbe [] az egészrészét, azaz a ála em agyobb egész számok legagyobbikát jelöli Ha a em egész szám, akkor a-ba folytoos, mert itt és [] is folytoos Ha a egész, akkor az [ a, itervallumba ( a, az [ a, a itervallumba a Ha a, akkor a, ha a, akkor a a Ha a függvéyek létezik a határértéke a-ba, akkor a a a kell teljesüljö Ez csak a eseté áll fe, tehát más egész a eseté f em lehet folytoos A -ba viszot az, mert itt a függvéy értéke is, meg a határértéke is Vizsgáljuk meg az alábbi függvéy folytoosságát az értelmezési tartomáyá! A függvéy kivételével mideütt értelmezhető Az értelmezési tartomáyáak mide potjába folytoos, mert itt a evező és a számláló is folytoos, és folytoos függvéyek háyadosa szité folytoos függvéy Vizsgáljuk meg, hogy létezik-e a következő függvéyhatárérték!
A folytoosságot felhaszálva behelyettesítéssel kapjuk, hogy a számláló és a evező határértéke is az = -él Alakítsuk át a kifejezést! A számlálót gyökteleítéssel, a evezőt szorzattá alakítással tudjuk továbbformáli: ( ( ( ( ( Az új evezőbe folytoos függvéy áll, ezért a keresett határérték Gyakorló feladatok: Meg tudjuk-e választai A és B értékét úgy, hogy az alábbi függvéy folytoos legye a teljes értelmezési tartomáyá? 7,, 7, 6 ( ha B ha A és ha f Vizsgáljuk meg, hogy létezek-e a következő függvéyhatárértékek! c d 8
III A végtele mit függvéyhatárérték Az átviteli elv alapjá adott defiíciók kapcsolatot teremt a függvéyek és a sorozatok határértéke között Célszerű tehát a sorozatok lehetséges határértékeit függvéyek eseté is értelmezi Ezt véges határértékek eseté már megtettük, de a végtele mit határérték bevezetése is lehetséges Def: Legye az függvéy értelmezve az ( a, a \{ a} halmazo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba határértéke és ez plusz végtele, ha mide sorozatra, melyek határértéke a, de egyik tagja sem egyelő a-val, az ( sorozat határértéke + Jelölés: a f ( Def: Legye az függvéy értelmezve az ( a, a \{ a} halmazo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba határértéke és ez míusz végtele, ha mide sorozatra, melyek határértéke a, de egyik tagja sem egyelő a-val, az ( sorozat határértéke Jelölés: a f ( Véges helye vett jobb- és baloldali végtele határértékeket is defiiálhatuk a korábbiakkal aalóg módo: Def: Legye az függvéy értelmezve az ( a, a itervallumo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba jobboldali határértéke és ez +, ha mide sorozatra, mely felülről tart a-hoz, de egyik tagja sem egyelő a-val, az f sorozat ( határértéke + Jelölés: a ( Def: Legye az függvéy értelmezve az ( a, a itervallumo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba jobboldali határértéke és ez, ha mide sorozatra, mely felülről tart a-hoz, de egyik tagja sem egyelő a-val, az f ( sorozat határértéke Jelölés: a ( Def: Legye az függvéy értelmezve az ( a, itervallumo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba baloldali határértéke és ez +, ha mide ( sorozatra, mely alulról tart a-hoz, de egyik tagja sem egyelő a-val, az f sorozat határértéke + Jelölés: a (
Def: Legye az függvéy értelmezve az ( a, itervallumo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba baloldali határértéke és ez, ha mide sorozatra, mely alulról tart a-hoz, de egyik tagja sem egyelő a-val, az ( sorozat határértéke Jelölés: a f ( Kidolgozott feladatok: Állapítsuk meg, hogy létezek-e az alábbi függvéyhatárértékek! Ha ige, akkor határozzuk meg az értéküket! ( ( 6 ( c ( 6 A kifejezés számlálója és evezője is folytoos a -ál, a számláló határértéke 9, a evezőé pedig Ha felülről tart a -hoz, akkor a evező pozitív és -hoz tart, a számláló pozitív véges értékhez tart, így a tört jobboldali határértéke + Ha alulról tart a -hoz, akkor a evező egatív és -hoz tart, a számláló pozitív véges értékhez tart, így a tört baloldali határértéke Tehát a keresett határérték em létezik A kifejezés számlálója és evezője is folytoos a -él, a számláló határértéke, a evezőé pedig Mivel a evező -edik hatváy, ezért értéke midig pozitív eseté, ezért a evező úgy tart hoz, hogy közbe csak pozitív értékeket vesz fel Emiatt a tört határértéke + c A kifejezés számlálója és evezője is folytoos a -él, a számláló és evező határértéke egyarát A kifejezés emiatt átalakítható: felhaszáljuk, hogy a számlálóba és a evezőbe szereplő poliomak a egyarát gyöke, így midkét poliomból az kiemelhető ( ( (poliomosztással vagy a másodfokú kifejezés gyökök segítségével törtéő szorzattá alakításával, és 6 ( ( (poliomosztással és a kapott másodfokú kifejezés pl gyökök segítségével törtéő szorzattá alakításával Az átalakítás utá azt kapjuk, hogy ( ( 6 ( ( ( ( ( ( ( A számláló határértéke, a evezőé pedig Mivel a evezőbe a -hoz tartó kifejezés égyzetes, a másik kifejezés pedig pozitív, ezért értéke midig pozitív eseté, emiatt a evező úgy tart hoz, hogy közbe csak pozitív értékeket vesz fel Tehát a tört határértéke +
Függvéy végtelebe vett határértéke Ha a függvéy határértékéek defiíciójába szereplő, a-hoz tartó sorozatok helyett végtelebe tartó sorozatokat választuk, akkor a függvéyek végtelebe vett határértékét kaphatjuk meg (Ez szemléletese leírja a függvéy viselkedését, miközbe a változó értéke egyre agyobb, illetve egyre kisebb lesz Def: Legye az függvéy értelmezve a Az f határértéke a plusz végtelebe az A szám, ha mide sorozat határértéke A Jelölés: A [ W, ( itervallumo, ahol W R sorozatra, melyek határértéke +, az f ( Def: Legye az függvéy értelmezve a Az f határértéke a míusz végtelebe az A szám, ha mide sorozat határértéke A Jelölés: A (, W ] ( itervallumo, ahol W R sorozatra, melyek határértéke, az f ( Hasoló defiíció modható ki a +-be és -be vett + illetve határértékre: Def: Legye az függvéy értelmezve a [ W, itervallumo, ahol W R Az f határértéke a plusz végtelebe plusz végtele, ha mide sorozat határértéke + Jelölés: ( sorozatra, melyek határértéke +, az f ( Def: Legye az függvéy értelmezve a [ W, itervallumo, ahol W R Az f határértéke a plusz végtelebe míusz végtele, ha mide ( sorozatra, melyek határértéke +, az f ( sorozat határértéke Jelölés: Def: Legye az függvéy értelmezve a (, W ] itervallumo, ahol W R Az f határértéke a míusz végtelebe plusz végtele, ha mide ( sorozatra, melyek határértéke, az f sorozat határértéke + Jelölés: (
Def: Legye az függvéy értelmezve a (, W ] Az f határértéke a míusz végtelebe míusz végtele, ha mide f ( sorozat határértéke Jelölés: ( itervallumo, ahol W R sorozatra, melyek határértéke, az Példa: Határozzuk meg az függvéy eseté a,, határértékeket! f( f( f( a a a a a a a a Kidolgozott feladatok: Vizsgáljuk meg, hogy létezek-e a következő függvéyhatárértékek! c A -be vett határérték megállapításához alakítsuk át a függvéyt! -be, akkor a számláló -hez, a evező szité -hez tart Azaz a függvéy ha- Ha tart a tárértéke a -be és a -be is Haszáljuk az feladat megoldásába kapott alakot! Ha tart a -be, akkor a számláló -hez, a evező szité -hez tart Azaz a függvéy határértéke a -be is 6
c, a sorozatokra korábba látott összefüggések alapjá Állapítsuk meg az alábbi határértékeket! Mivel midkét szereplő függvéy a végtelebe végtelebe tart, ezért a külöbség határértéke átalakítás élkül em adható meg Gyökteleítsük a kifejezést, majd osszuk a evező domiás tagjával, ahogy ezt korábba a sorozatokál is láttuk! A számláló, a evező határértéke, így a keresett határérték Ha a törtbe a számlálót és a evezőt is leosztjuk az alábbi kifejezést kapjuk: -szel (a evező domiás tagjával, akkor mert a számláló és a evező is -hez tart, ha tart a végtelebe Gyakorló feladatok: Határozzuk meg a következő határértéket! c ( ( ( d e 7
IV Szakadási helyek vizsgálata Kidolgozott feladatok: Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi függvéyek szakadási helyéek jellegét! Vizsgáljuk meg, létezik-e a függvéyekek határértéke a plusz és míusz végtelebe! 9 d j ( e ( g( c ( k f ( h ( 6 m( Mivel a számláló és a evező midehol folytoos, ezért a függvéy midehol folytoos, ahol a evező em Tekitsük az -él vett jobb-, illetve baloldali határértéket!, mert a evező -hoz tart, és pozitív, mert a evező -hoz tart, és egatív Tehát a függvéyek ics határértéke az -él, így itt másodfajú szakadási helye va A plusz és míusz végtelebe vett határértékek: és teljesül, mert a evező abszolút értéke midkét esetbe végtelebe tart, a számláló pedig véges érték A számláló és a evező mideütt folytoos, ezért a háyados a evező ullhelyei kivételével mideütt folytoos A függvéyek két szakadási helye va (a evező két ullhelye, az és az Alakítsuk át a hozzáredelési szabályt! g( Ebből lát- ( ható, hogy g(, tehát az -él megszütethető szakadási helye va, a g ( érték megadásával Tekitsük az -ál vett jobb-, illetve baloldali határértéket!, mert a evező -hoz tart, és pozitív, mert a evező -hoz tart, és egatív Tehát a függvéyek ics határértéke a -ál, így ott másodfajú szakadási helye va A plusz és míusz végtelebe vett határértékek: és teljesül, mert a evező abszolút értéke midkét esetbe végtelebe tart, a számláló pedig véges érték c A számláló és a evező mideütt folytoos, ezért a háyados a evező ullhelyei kivételével mideütt folytoos A függvéyek két szakadási helye va (a evező két ullhelye, az és az Alakítsuk át a hozzáredelési szabályt! 8
( ( h ( Ebből látható, hogy h(, tehát az -él megszütethető szakadási helye va, a érték megadásával 6 ( ( Tekitsük g( az -ál vett jobb-, illetve baloldali határértéket!, mert a számláló pozitív és -hez tart, a evező pedig -hoz tart és pozitív, mert a számláló pozitív és -hez tart, a evező pedig -hoz tart és egatív Tehát a függvéyek ics határértéke a -ál, így ott másodfajú szakadási helye va A plusz és míusz végtelebe vett határértékek: Hasoló módo kapjuk: d A számláló és a evező mideütt folytoos, ezért a háyados a evező ullhelyei kivételével mideütt folytoos A függvéyek két szakadási helye va (a evező két ullhelye, az és az Alakítsuk át a hozzáredelési szabályt! 9 j ( ( ( ( ( ( A kapott kifejezés evezője továbbra is az és az helye A két helye a függvéy határértékét megvizsgálva azt kapjuk, hogy midkét helye a határérték plusz végtele, mert a evező ullához tart és pozitív, a számláló pedig egy pozitív értékhez tart Tehát másodfajú szakadási helye va a -ál és a -ál is A plusz és míusz végtelebe vett határértékek: és ( ( ( (, mert midkét esetbe a számláló -hez, a evező abszolút értéke pedig végtelehez tart e Az összetett függvéy folytoossága miatt a kitevőbe levő tört evezőjéek zérushelyét (az -et kivéve az összetett függvéyük mideütt folytoos Vizsgáljuk meg a jobb- és baloldali határértéket a szakadási helyél! Kezdjük a kitevővel:, mert a evező -hoz tart és pozitív Így, mert a kitevő plusz végtelebe tart, mert a evező -hoz tart és egatív Így, mert a kitevő míusz végtelebe tart Tehát a függvéyek a -él ics határértéke, ezért ez másodfajú szaka- dási hely 9
A plusz és míusz végtelebe vett határértékek:, mert a kitevő -hoz tart Ugyaígy f Az összetett függvéy folytoossága miatt a kitevőbe levő tört evezőjéek zérushelyét (az -t kivéve a evezőbe szereplő összetett függvéy mideütt folytoos, és mivel sehol sem, ezért a háyados is mideütt folytoos a kivételével Vizsgáljuk meg a jobb- és baloldali határértéket a szakadási helyél! Kezdjük a kitevővel:, mert a evező -hoz tart és pozitív Így, azaz Nézzük a baloldali határértéket!, mert a evező -hoz tart és egatív Így, mert a -hatváy kitevője míusz végtelebe tart, vagyis a -hatváy értéke -hoz tart Tehát Ez viszot azt jeleti, hogy a függvéyek va bal- és jobboldali véges határértéke, ám ezek em egyezek meg, így a függvéyek a -ál elsőfajú szakadási helye va (ugrás A plusz és míusz végtelebe vett határértékek: -hoz, így a -hatváy -hez tart Hasolóa kapjuk, hogy V Trigoometrikus függvéyek határértéke, mert a -hatváy kitevője Kidolgozott feladatok: si Felhaszálva, hogy, vizsgáljuk meg, hogy létezek-e a következő függvéyhatárértékek! si si c si d si tg si si si si si si
c si si si si si si si tg si d cos, és itt felhaszáljuk, hogy cos folytoos és cos cos Vizsgáljuk meg, hogy létezek-e a következő függvéyhatárértékek! si tg si cos c ( ctg si si si tg si cos si cos si cos si cos cos si si cos cos (Itt ismét felhaszáltuk a cos függvéy folytoosságát és azt, hogy és cos c A kifejezés átalakításával visszavezethető a si határértékre: ctg cos cos si si si cos Állapítsuk meg az alábbi függvéyhatárértékeket! si cos A számlálóba és a evezőbe álló függvéy is folytoos a -ba, de midkettő helyettesítési értéke, így át kell alakítauk a képletet Alakítsuk át a számlálót gyökteleítéssel! si si si si si Végezzük további átalakítást úgy, hogy a határérték felhaszálható legye!
si si A számlálóba és a evezőbe álló függvéy is folytoos a -ba, de midkettő helyettesítési si értéke, így át kell alakítauk a képletet Céluk, hogy az átalakítás utá a határérték felhaszálható legye Ehhez a számlálót és a evezőt is szorozzuk meg -szel! cos cos cos cos cos cos si cos cos Gyakorló feladatok Vizsgáljuk meg, hogy létezek-e a következő függvéyhatárértékek! d si tg e si tg8 si c si si 7 Vizsgáljuk meg, hogy létezek-e a következő függvéyhatárértékek! si cos c ( tg d cos e si cos cos 6
A gyakorló feladatok megoldása I fejezetbe kitűzött gyakorló feladatok megoldása Határozzuk meg az alábbi határértékeket! ( ( ( c d Alakítsuk át a kifejezést, mert a két törtek külö-külö ics határértéke! ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Tehát 6 ( ( ( Behelyettesítéssel a számláló és a evező határértéke is -ak adódik, ezért alakítsuk át a törtet a zárójelek kibotásával és kiemeléssel, majd egyszerűsítéssel! 6 6 6 6 ( ( ( ( ( ( 6 6 (6 ( ( ( c A számlálóba és a evezőbe -et helyettesítve midkét esetbe -t kapuk, így át kell alakítauk a törtet: ( ( ( ( ( Tehát ( d Alakítsuk át itt is a számlálót és a evezőt! ( ( ( ( Tehát 9
II fejezetbe kitűzött gyakorló feladatok megoldása Meg tudjuk-e választai A és B értékét úgy, hogy az alábbi függvéy folytoos legye a teljes értelmezési tartomáyá? 6, ha és 7 A, ha B, ha 7 Alakítsuk át a függvéy hozzáredelési szabályát! határértéke a -él létezik, és értéke 9 Tehát A 9 6 ( ( ( 7( Eek a 7 választással a -él folytoos lesz a függvéy A függvéy határértéke 7-él azoba em létezik, mert ha felülről tart 7-hez, akkor a evező pozitív és -hoz tart, a számláló pedig -hez tart, így a függvéy jobboldali határértéke Ez már ömagába em teszi lehetővé a folytoosságot (A függvéy baloldali határértéke egyébkét + Vizsgáljuk meg, hogy létezek-e a következő függvéyhatárértékek! c d 8 A számlálóba és a evezőbe is folytoos függvéyeket látuk A számláló határértéke -ál, a evező határértéke, tehát a vizsgált határérték létezik, és értéke A számlálóba és a evezőbe is folytoos függvéyeket látuk Ha a számláló és a evező határértékét behelyettesítéssel meghatározzuk, akkor midkét esetbe -t kapuk, így át kell alakítauk a kifejezést Vegyük észre, hogy a számlálóba és a evezőbe a gyök alatt álló kifejezések szorzattá alakíthatók, így kiemelésre adódik lehetőség: ( ( ( ( Így már a határérték kiszámítható, felhaszálva, hogy a számlálóba és a evezőbe is folytoos függvéyeket látuk: a számláló -höz, a evező pedig szité -höz tart, így a keresett jobboldali határérték
c A folytoosságot felhaszálva behelyettesítéssel kapjuk, hogy a számláló és a evező határértéke is az = -él Alakítsuk át a törtet! A számlálót szorzattá alakítással, a evezőt gyökteleítéssel tudjuk továbbvihető alakra hozi: ( ( ( ( ( A számlálóba álló függvéy folytoos, így határértéke az -él, tehát a keresett határérték d A folytoosságot felhaszálva behelyettesítéssel kapjuk, hogy a számláló és a evező határértéke is az = -él Alakítsuk át a törtet! A számlálót gyökteleítsük: 8 8 8 8 8 8 A kapott kifejezés folytoos az -él, így határértéke 6 III fejezetbe kitűzött gyakorló feladatok megoldása Határozzuk meg a következő határértéket! c ( ( ( d e Osszuk le a számlálót és a evezőt is a evező domiás tagjával, azaz -al! mert a számláló -hez, a evező pedig -höz tart Osszuk le a számlálót és a evezőt is a evező domiás tagjával, azaz -al! mert a számláló -hez, a evező pedig -höz tart
c A számlálóba és a evezőbe is a legagyobb fokú tag a evezőt is (téyezőkét elvégezhető az osztás: ( ( ( A számlálóba levő kifejezések határértéke, a evezőbe levő kifejezés határértéke pedig Tehát a keresett határérték, osszuk tehát ezzel a számlálót és, illetve d A evezőbe a domiás tag -es agyságredű, így osszuk el a számlálót és a evezőt is -szel: mert a számlálóba levő függvéy határértéke, a evezőé pedig e Gyökteleítés utá az alábbi kifejezést kapjuk: Itt a számlálót és a evezőt -szel leosztva a kifejezés határértéke meghatározható: mert a számláló -hez, a evező -höz tart IV fejezetbe kitűzött feladatok megoldása: Vizsgáljuk meg, hogy létezek-e a következő függvéyhatárértékek! d si tg e si tg8 si c si si 7 si si 6
c si si si 7 si si 7 si 7 7 7 7 d e tg si si cos cos tg8 si 8 si 8 8 8 si cos8 si 8 si cos8 8 Vizsgáljuk meg, hogy létezek-e a következő függvéyhatárértékek! d si cos e cos si cos cos 6 c ( tg si si si si cos si si cos cos cos cos si cos cos cos c Alkalmazzuk olya átalakítást, hogy a si és az jellegű kifejezések szorzata helyett a háyadosuk szerepelje! Ehhez a tages függvéyt alakítsuk át kotagessé! ( tg ( ctg ( ctg ( Ha most bevezetjük az y jelölést, akkor y ( ctg ( y ctg y cos y y y si y d Itt külö kell vizs- cos ( si gáluk a jobb-és baloldali határértéket si si 7
si si si ( si ; Ebből látszik, hogy a kétoldali határértékek em egyezek meg, így a vizsgált határérték em létezik e Alkalmazzuk a evezőbe szereplő külöbségre az addíciós tételt! si cos cos6 si 6 6 si si si si si( si si si si 8
Függelék Poliomosztás A számok osztásához hasolóa algebrai kifejezéseket is oszthatuk egymással maradékosa A módszert az egyik kokrét kitűzött feladat számításáak elvégzésével szereték bemutati A poliomosztás felhaszálásához előzméyekét még egy tételt meg kell említeük: Tétel: Ha a p( p( ( q( alakba, ahol valós együtthatós poliom gyöke az a valós szám, akkor a poliom felírható q( egy megfelelő valós együtthatós poliom Lássuk tehát a poliomosztást! Tudjuk, hogy az 7 poliomak az Kezdjük el az osztást úgy, mit a számokál! gyöke, tehát osztható ( -mal ( 7 : ( Most egy olya -hatváyt kell találuk, amellyel ( -at megszorozva lesz Végezzük el a visszaszorzást, és vojuk ki a kapott poliomot az eredetiből: ( ( 7 : ( 7 is keletkezik, ez az Most folytassuk tovább a megfelelő -hatváy keresését, olyat kell találuk, mellyel ( -at megszorozva is keletkezik: ( ( ( 7 7 6 : ( Befejező lépéskét már yilvávalóa -et kell íruk a háyadosba: 9
( ( ( 7 7 6 ( : ( Előfordulhat, hogy a poliomosztás sorá maradék lép fel Az osztást csak addig tudjuk végezi, amíg a visszaszorzás utá kapott poliom fokszáma kisebb em lesz, mit az osztóé Ha em fogy el egyszerre mide tag, akkor maradék keletkezik (pot úgy, mit a számok maradékos osztásáál Ilyekor a poliom q( poliommal törtéő osztása utá a p( h( q( r( alakot kapjuk, ahol poliom fokszáma kisebb, mit q ( fokszáma p( r( VI Defiíciók az I függvéyhatárérték defiícióak megfelelő megfogalmazásba és köryezetbe Jobb- és baloldali határérték függvéy értelmezve az ( a, a itervallumo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba jobboldali határértéke és ez A valós szám, ha mide valós számhoz létezik olya valós szám, hogy mide esetbe, amikor a teljesül, feáll A is Jelölés: A a függvéy értelmezve az ( a, itervallumo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba baloldali határértéke és ez A valós szám, ha mide valós számhoz létezik olya valós szám, hogy mide esetbe, amikor a teljesül, feáll A is Jelölés: A a A végtele mit határérték függvéy értelmezve az ( a, a \{ a} halmazo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba határértéke és ez plusz végtele, ha mide K valós számhoz létezik olya valós szám, hogy ha a teljesül, feáll K f ( is Jelölés: a
függvéy értelmezve az ( a, a \{ a} halmazo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba határértéke és ez míusz végtele, ha mide K valós számhoz létezik olya feáll K f ( is Jelölés: a valós szám, hogy ha a teljesül, függvéy értelmezve az ( a, a itervallumo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba jobboldali határértéke és ez +, ha mide K valós számhoz létezik olya valós szám, hogy mide esetbe, amikor a teljesül, feáll is Jelölés: a K függvéy értelmezve az ( a, a itervallumo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba jobboldali határértéke és ez, ha mide K valós számhoz létezik olya valós szám, hogy mide esetbe, amikor a teljesül, feáll K is Jelölés: a függvéy értelmezve az ( a, itervallumo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba baloldali határértéke és ez +, ha mide K valós számhoz létezik olya valós szám, hogy mide esetbe, amikor a teljesül, feáll K is Jelölés: a függvéy értelmezve az ( a, itervallumo [a tetszőleges valós szám, tetszőleges pozitív valós szám] Az f függvéyek létezik a-ba baloldali határértéke és ez, ha mide K valós számhoz létezik olya valós szám, hogy mide esetbe, amikor a teljesül, feáll K is Jelölés: a Végtelebe vett határérték függvéy értelmezve a [ W, itervallumo, ahol W R Ekkor azt modjuk, hogy f határértéke a plusz végtelebe az A valós szám, ha mide valós számhoz létezik olya K valós szám, hogy mide esetbe, amikor A K teljesül, feáll A is Jelölés:
függvéy értelmezve a (, W ] itervallumo, ahol modjuk, hogy f határértéke a míusz végtelebe az A valós szám, ha mide létezik olya K valós szám, hogy mide esetbe, amikor A is Jelölés: A K teljesül, feáll W R Ekkor azt valós számhoz függvéy értelmezve a [ W, itervallumo, ahol W R Ekkor azt modjuk, hogy f határértéke a plusz végtelebe plusz végtele, ha mide N valós számhoz létezik olya K valós szám, hogy mide esetbe, amikor teljesül, feáll is Jelölés: K N függvéy értelmezve a [ W, itervallumo, ahol W R Ekkor azt modjuk, hogy f határértéke a plusz végtelebe míusz végtele, ha mide N valós számhoz létezik olya K valós szám, hogy mide esetbe, amikor teljesül, feáll is Jelölés: K N függvéy értelmezve a (, W ] itervallumo, ahol W R Ekkor azt modjuk, hogy f határértéke a míusz végtelebe plusz végtele, ha mide N valós számhoz létezik olya K valós szám, hogy mide esetbe, amikor K teljesül, feáll N is Jelölés: függvéy értelmezve a (, W ] itervallumo, ahol W R Ekkor azt modjuk, hogy f határértéke a míusz végtelebe míusz végtele, ha mide N valós számhoz létezik olya K valós szám, hogy mide esetbe, amikor K teljesül, feáll N is Jelölés: