Valószíűségszámítás II. feladatsor 214. szeptember 8. Tartalomjegyzék 1. Kovolúció 1 1.1. Poisso és Gamma eloszlások kapcsolata............................... 2 2. Geerátorfüggvéyek 3 2.1. Véletle tagszámú összegek, bolyogások............................... 4 2.2. Elágazó folyamatok........................................... 5 2.3. Vegyes.................................................. 6 3. Markov- és Csebisev egyelőtleség, NSZGYT 7 4. Mértékelmélet 9 4.1. Mérhetőség............................................... 9 4.2. Mértékek................................................ 9 4.3. Itegrálás................................................ 1 5. Valószíűségbe való kovergecia 12 6. Borel-Catelli-lemma, majdem biztos kovergecia, NSZET 13 7. Nagy eltérés-elmélet 16 7.1. Logaritmikus kovexitás, Legedre-traszformáció......................... 16 7.2. Berstei-egyelőtleség........................................ 17 7.3. Mértékcsere memo........................................... 18 7.4. Cramér-tétel.............................................. 19 8. Karakterisztikus függvéyek 22 8.1. Mértékek gyege kovergeciája, Határeloszlás-tételek....................... 24 1. Kovolúció 1.1. Számoljuk ki a BINp, BINp, m, P OIλ P OIµ, GEOp GEOp diszkrét kovolúciókat. 1.2. Adjuk meg darab függetle, GEOp eloszlású valószíűségi változó összegéek az eloszlását, az ú.. egatív biomiális eloszlást. 1.3. Móricka matematikushallgató a BME-, Valószíűségszámítás II. gyakorlatból próbál átmei. Ha em sikerül eki az egyik félévbe, akkor a következő félévbe újra próbálkozik. Az egymást követő félévek próbálkozásaiak kimeetele függetle, és mide félévbe 2 3 valószíűséggel bukik meg. Ha az aláírást megszerezte, még ugyaabba a félévbe próbálkozik az elméleti vizsgával. Ha ez em sikerül, akkor a következő félévbe újra próbálkozik az elméleti vizsgával, egésze addig, amíg át em megy eze is. Az egyes félévekbe elméletből 1 4 valószíűséggel megy át. Határozza meg Móricka Valószíűségszámítás II.-vel töltött félévei számáak az eloszlását! 1.4. a Bizoyítsa be, hogy ha X és Y függetle stadard ormális eloszlású valószíűségi változók, valamit a és b valós számok, akkor U = ax + by és V = bx ay valószíűségi változók is függetleek. Milye eloszlású lesz U és V? 1
b Számolja ki az előbbi alapjá két Gauss eloszlás Nm 1, σ 1 Nm 2, σ 2 kovolúcióját. 1.5. Számolja ki két Cauchy eloszlás CAUm 1, τ 1 CAUm 2, τ 2 kovolúcióját. Először lássa be, hogy elég az m 1 = m 2 = esetre kiszámoli! 1.6. Legye X és Y függetle EXP λ, illetve EXP µ eloszlású valószíűségi változó. Határozzuk meg Z := X + Y sűrűségfüggvéyét. Mi törtéik a λ µ határátmeetbe? 1.7. Legyeek X : Ω R és Y : Ω R abszolút folytoos eloszlású valószíűségi változók f és g sűrűségfüggvéyekkel. Tudjuk, hogy Z = X + Y sűrűségfüggvéye f g-vel egyezik meg. Következik-e ebből, hogy X és Y függetleek? 1.8. Legye X és Y függetle, P OIλ, illetve E, 1 eloszlású valószíűségi változó. Határozzuk meg a Z := X + Y valószíűségi változó eloszlásfüggvéyét. 1.9. Legyeek X és Y függetle azoos eloszlású valószíűségi változók, melyekek közös sűrűségfüggvéye fx = 3x 2 1 [,1] x. Határozzuk meg az U := X + Y és a V := X Y valószíűségi változók sűrűségfüggvéyét. 1.1. Legye X E, 1 eloszlású és Y tőle függetle tetszőleges eloszlású valószíűségi változó. Bizoyítsuk be, hogy a Z := {X + Y } := X + Y [X + Y ] valószíűségi változó eloszlása E, 1, függetleül az Y valószíűségi változó eloszlásától. Elég beláti diszkrét vagy abszolút folytoos eloszlású Y -ra. 1.11. Legyeek X 1, X 2,..., X,... függetle és azoos E, 1 eloszlású valószíűségi változók. Jelölje f x az S := k=1 X k valószíűségi változó sűrűségfüggvéyét. Bizoyítsuk be, hogy f x = 1 1! [x] 1 k k k= x k 1. Kompjuter grafika segítségével pl. Maple ábrázoljuk az f x := 12 f 2 + 12 x függvéyt = 1, 2,..., 1-re. Mit látuk? Értelmezzük az eredméyt. 1.12. Legyeek X 1, X 2,..., X,... függetle és azoos eloszlású valószíűségi változók, melyekek közös eloszlása PX i = = 1 2 = PX i = 1. Legye Y := =1 2 X. A végtele összeg egy valószíűséggel koverges! Bizoyítsuk be, hogy az Y valószíűségi változó egyeletes eloszlású a [, 1] itervallumba 1.13. Legyeek X 1, X 2,..., X,... függetle és azoos E, 1 eloszlású valószíűségi változók és legye Y := =1 2 X. A végtele összeg egy valószíűséggel koverges! Bizoyítsuk be, hogy az Y valószíűségi változó F y := PY < y eloszlásfüggvéye folytoos, sőt akárháyszor differeciálható, de sehol sem aalitikus függvéy. 1.1. Poisso és Gamma eloszlások kapcsolata 1.14. Egy radioaktivitást mérő számlálóberedezés ezredmásodpercekét tud ugrai, és akkor ugrik egyet a t = k 1 1 időpotba, ha volt beérkező alfa-részecske a t 1, t] időitervallumba. Jelölje T azt a véletle időpotot, amikor először mutat értéket a számláló. Jelölje Nt a számlálóberedezés állását a t időpotba. a A felújításelmélet alaptrükkje Melyik igaz a következő két állítás közül? PNt = PT t, PNt < = PT > t b Lássa be, hogy PNt = = PT t PT + 1 t! c Fejezze ki T eloszlásfüggvéyét az Nt eloszlásáak segítségével! 2
d Tegyük fel, hogy egy ezredmásodperc alatt p = 1 5 valószíűséggel érkezik alfa-részecske, a múlttól függetleül. Határozza meg T és Nt eloszlását! e Milye abszolút folytoos eloszlású valószíűségi változóval közelítsük a számlálóberedezés két egymás utái ugrása közt eltelt időt? f Adjo T 3 eloszlásfüggvéyére egyszerű közelítő formulát a c pot és a Biomiális eloszlás Poissoapproximációja segítségével. Milye evezetes abszolút folytoos eloszlású valószíűségi változó eloszlásfüggvéye ez? 1.15. Legyeek X 1, X 2,... függetle, azoos eloszlású valószíűségi változók, melyekek sűrűségfüggvéye xe x, ha x, és egyébkét. Legye továbbá S = és S = X 1 + + X, valamit legye Nt = max{ : S < t} a Adja meg S 2 sűrűségfüggvéyét! b Határozza meg Nt eloszlását, azaz k =, 1, 2,... -ra PNt = k értékét! Számolás élkül is megy, az előadáso taultakra kell hivatkozi 1.16. Bizoyítsa be a felújításelmélet alaptrükkjéek segítségével az alábbi azoosságot: 6 k= 2. Geerátorfüggvéyek 1 p k 1 p 1 k = k 6 + m 1 p m p 7 m 2.17. Valószíűségeloszlások geerátorfüggvéyei-e az alábbi függvéyek? z 1 z + 1 6 a exp, λ > ; b ; λ 64 c m=4 2 2 z ; d 2 1 + z. 2.18. Legye X egy N-értékű valószíűségi változó. Jelöljük eloszlásáak geerátorfüggvéyét P z-vel. Írjuk fel az Y := X + 1 és a Z := 2X valószíűségi változók eloszlásáak geerátorfüggvéyét. 2.19. Legye X egy N-értékű valószíűségi változó. Jelöljük eloszlásáak geerátorfüggvéyét P z-vel. Írjuk fel az a := PX, b := PX <, c := PX, d := PX > + 1 és e := PX = 2 számsorozatok geerátorfüggvéyeit. Figyelem: ezek em valószíűségi eloszlások. 2.2. Határozzuk meg a p paraméterű geometriai eloszlás geerátorfüggvéyét feltételes rekurzió és az örökifjú tulajdoság felhaszálásával! 2.21. Egy utca autóforgalmát úgy modellezzük, hogy a az időskálát fix és oszthatatla egy másodpercyi időegységekre osztjuk, b feltesszük, hogy p, 1 aak a valószíűsége, hogy az egyes időitervallumokba elhalad az utcá egy autó, c továbbá azt is feltesszük, hogy az egyes időegységekbe törtéő eseméyek egymástól függetleek. Egy gyalogos akkor tud átmei az utca túloldalára, ha legalább égy másodpercig forgalommetes az utca. Feltesszük, hogy az utca belátható: a gyalogos el tudja dötei, hogy a következő égy másodpercbe lesz-e forgalom. Határozza meg a gyalogos várakozási idejéek geerátorfüggvéyét! Segítség: Alkalmazza a teljes várhatóérték tételét arra voatkozóa, hogy az első kocsi mikor érkezik! 2.22. Határozza meg az, p paraméterű egatív biomiális eloszlás geerátorfüggvéyét! Fejezze ki a geerátorfüggvéy Taylor-soráak együtthatóit az általáosított biomiális együtthatók segítségével, majd haszálja fel, hogy k = 1 k +k 1 k, hogy megkapja a egatív biomiális eloszlás valószíűségeit. 3
2.23. Egy X valószíűségi változó eloszlása korlátlaul osztható, ha N-re va olya Y 1,..., Y függetle és azoos eloszlású valószíűségi változó -es, hogy i=1 Y i X Korlátlaul osztható-e Poisso, a biomiális és a geometriai eloszlás? 2.24. Egy kockával addig dobuk, amíg először sikerül kétszer egymásutá hatost dobuk. Jelölje ν a dobások számát. Számítsuk ki ν eloszlásáak geerátorfüggvéyét és eek segítségével ν várható értékét és szóráségyzetét. 2.25. Legyeek ξ 1, ξ 2,... függetle és azoos eloszlású valószíűségi változók, melyekek közös eloszlása: P ξ i = 1 = p, P ξ i = = q, ahol < p, q < 1 és p + q = 1. a Legye ν αβ := mi{ 2 : ξ 1 = α, ξ = β}, α, β {, 1}. Számítsuk ki ν αβ eloszlásáak geerátorfüggvéyét mid a égy lehetséges αβ kombiációra. b Legye ν αβγ := mi{ 3 : ξ 2 = α, ξ 1 = β, ξ = γ}, α, β, γ {, 1}. Számítsuk ki ν αβγ eloszlásáak geerátorfüggvéyét mid a yolc lehetséges αβγ kombiációra. 2.26. Mekkora valószíűséggel osztható egy, p paraméterű egatív biomiális eloszlású valószíűségi változó k-val? Hova kovergál a k-val oszthatóság valószíűsége, ha? Segítség: A k periódusú sorozatok k dimeziós vektorterébe a k-adik egységgyökök hatváyai bázist alkotak! 2.27. Legyeek X 1, X 2, X 3,... függetle és azoos eloszlású valószíűségi változók, közös eloszlásfüggvéyük F x := P X i < x. Legye ν ezektől függetle, N-értékű valószíűségi változó; jelöljük Gz-vel a ν eloszlásáak geerátorfüggvéyét. Mutassuk meg, hogy az Y := max{x 1, X 2,..., X ν } valószíűségi változó eloszlásfüggvéye Hx = GF x. 2.28. Legyeek X és Y függetle, N-értékű valószíűségi változók, melyekek geerátorfüggvéyei Uz, illetve V z. Bizoyítsuk be, hogy a b j := PX Y = j, j Z számok a Kz := UzV 1/z függvéy Lauret sorfejtésébe a z j tagok együtthatói. 2.1. Véletle tagszámú összegek, bolyogások 2.29. Legye X Pesszimista Geomp; Y Poiλ; Z Biom, p; {, 1 a valószíűséggel, B i = 1, a valószíűséggel, ahol B i i=1 függetleek. a Határozzuk meg X, Y, Z, B i geerátorfüggvéyeit. b Határozzuk meg a X Y Z B i, B i, B i valószíűségi változók geerátorfüggvéyeit az üres szumma ullával egyelő. i=1 i=1 i=1 c Milye eloszlásúak a feti szummák? Próbáljuk meg valószíűségszámítási termiusokba is megidokoli a választ. 2.3. Legyeek X 1, X 2,... f.a.e. N-értékű valószíűségi változók és ν tőlük függetle N-értékű valószíűségi változó. Legye Y = ν i=1 X i. Lássuk be, hogy VarY = VarνEX 1 2 + EνVarX 1 4
2.31. Legyeek X 1, X 2,... függetle GEOp 1 eloszlású valószíűségi változók és ν tőlük függetle GEOp 2 eloszlású valószíűségi változó. Lássa be geerátorfüggvéy-módszerrel, hogy ν+1 X i + 1 1 GEOp 1 p 2 Bizoyítsa a kapott azoosságot a val.szám. jeletése segítségével is! i=1 2.32. Lássa be, hogy mide < p < 1-hez megadható olya p 1, p 2,... valószíűségi eloszlás és λ >, hogy ν i=1 X i GEOp, ahol X 1, X 2,... f.a.e. és k 1-re PX i = k = p k, valamit ν tőlük függetle és P OIλ eloszlású. Mutassa meg eek segítségével, hogy a geometriai eloszlás korlátlaul osztható. 2.33. Legyeek ζ 1, ζ 2,... függetle és azoos eloszlású valószíűségi változók, Pζ i = ±1 = 1 2. Legye S = i=1 ζ i egyszerű, szimmetrikus bolyogás Z-. Legye τ = mi{ S = 1} az első szit elérési ideje. Határozza meg τ lecsegéséek potos aszimtotikáját: sup k 3 2 Pτ = k =? k Segítség: a geerátorfüggvéy hatváysoráak együtthatóit fejezze ki az általáosított biomiális együtthatók segítségével, határozza meg a Pτ = 2k értékeket, és haszálja a Stirlig-formulát! 2.34. Tekitsük Z helyett a végtele G g, g-ed fokú homogé fát mit alapgráfot és rajta a szimmetrikus bolyogást. Azaz: S egy véletle bolyogás B g -, amely egy megjelölt csúcsról origóról idul és i- dőegysége-két lép az aktuális hely g szomszédja közül egyet egyeletes g 1 valószíűséggel választva. Számoljuk ki a Φ, F, L geerátorfüggvéyeket. Φz: egy kijelölt első szomszéd elérési idejéek geerátorfüggvéye, F z: origóba való első viszatéés idejéek geerátorfüggvéye; Lz: origóba való utolsó látogatás idejéek geerátorfüggvéye. 2.2. Elágazó folyamatok 2.35. Jelölje θp aak a valószíűségét, hogy soha em pusztul ki egy olya elágazó folyamat, amelybe az utódok eloszlása GEOp. Rajzolja fel a p θp függvéy grafikoját. 2.36. Mekkora a valószíűséggel éri meg az -edik geerációt az az elágazó folyamat, amelybe az utódok eloszlása GEO 1 2? 2.37. Tekitsük egy olya elágazó folyaatot, amelybe az utódok eloszlásáak geerátorfüggvéye P z. Jelölje X a teljes populáció agyságát, vagyis a keletkező véletle fa csúcsaiak a számát. Legye Qz = Ez X. Bizoyítsa be, hogy Qz megyezik a függvéy iverzfüggvéyével! z P z 2.38. Tekitsük egy olya elágazó folyamatot, amibe egy egyed közvetle utódai számáak várható értéke 1 és szórása < σ < +. Jelölje X az -edik geerációs egyedek számát, tehát X = 1, X 1 az ős-egyed gyerekeiek a száma, X 2 az uokák száma, stb. a Várhatóa háy leszármazott lesz összese? b Adjo formulát D 2 X értékére, bizoyítsa idukcióval. 2.39. Legye egy elágazó folyamat utód-eloszlása GEO 1 2. Jelölje X a teljes populáció agyságát. k k 3 2 PX = k =? 1 2.4. Egy amőba egy ap alatt két dolgot tehet: 2 valószíűséggel kettéosztódik vagy 1 2 valószíűséggel elpusztul. Az elágazó folyamat fájáak csúcsszámát jelölje X. Mutassa meg geerátorfüggvéy-módszerrel, hogy X τ, ahol τ az egyszerű, szimmetrikus bolyogásál az első szit elérési ideje. Adjo valószíűségszámítási jeletést a kapott azoosságak! Segítség: Legye S az elágazó folyamat fájáak szélességi bejárásáál azokak a csúcsokak a száma, akiket már megláttuk, de a szomszédjait még em éztük meg akkor, amikor az -edik csúcs szomszédjait ézzük meg. 5
2.3. Vegyes 2.41. Legyeek < p = 1 q < 1 és < a < 1 valószíűségek, és defiiáljuk a µ a, µ a,p, és ν Geomp diszkrét eloszlásokat a következőképp: pa, ha i = 2, a, ha i = 2, q, ha i = 1, µ a i = 1 a, ha i =, µ a,p i = p1 a, ha i =,, egyébkét;, egyébkét; { q i 1 p, ha i = 1, 2, 3,... ν Geomp i = optimista geometriai eloszlás., egyébkét a Határozzuk meg e három eloszlás P a, P a,p illetve P Geomp geerátorfüggvéyeit. b Határozzuk meg aak valószíűségét a függvéyébe, hogy egy, a feti µ a eloszlású utódszámmal működő elágazó folyamat kihal. c Legye X a valaha is élt egyedek száma egy, a feti µ a eloszlású utódszámmal működő elágazó folyamatba. Határozzuk meg X Q a geerátorfüggvéyét az órá látott Q a s/p a Q a s = s összefüggés segítségével. d Határozzuk meg aak valószíűségét a és p függvéyébe, hogy egy, a feti µ a,p eloszlású utódszámmal működő elágazó folyamat kihal. e Hasolítsuk össze az eredméyt az 41b potbeli eredméyel; mit jelet ez a kihalás valószíűségére ézve a két esetbe? f Legye Y a valaha is élt egyedek száma egy, a feti µ a,p eloszlású utódszámmal működő elágazó folyamatba. Határozzuk meg Y Q a,p geerátorfüggvéyét az órá látott Q a,p s/p a,p Q a,p s = s összefüggés segítségével. g Írjuk fel a 41c potba szereplő Q a illetve az első feladat P Geomp geerátorfüggvéyeiből álló Q a P Geomp kompozíciót. Hasolítsuk ezt össze az e potba kapott Q a,p kifejezéssel. Mi következik az X és az Y valószíűségi változók eloszlásáak kapcsolatára? h Idokoljuk meg valószíűségszámítási termiusokba a d-be és f-be megállapítottakat. 2.42. Legyeek X 1, X 2,... emegatív egész függetle és azoos eloszlású valószíűségi változók Q geerátorfüggvéyel, és legye S =, S = X i 1, azaz egy bolyogó pozíciója lépés utá, aki az i. lépésbe X i 1-et lép vagyis 1-et, ha X i =, -t, ha X i = 1, stb.. Legye továbbá τ = if{ > : S = 1} a 1 szit első elérési ideje, jelöljük eek geerátorfüggvéyét P -vel. a Az első lépésre feltételezve mutassuk meg, hogy P s = QP s s. b Az 42a rész alapjá határozzuk meg P -t, ha X i eloszlása az 2.41 feladatba szereplő µ a eloszlás. Azaz S egy egyszerű bolyogás. c Legyeek most az X i változók Pesszimista Geomp eloszlásúak, az 42a rész alapjá határozzuk meg P -t. d A 42c rész alapjá határozzuk meg aak valószíűségét p függvéyébe, hogy a bolyogó valaha eléri a 1 szitet. 2.43. Egy pók p k = 1 3 k log 3 k 2 egy petét. i=1 valószíűséggel rak k darab petét k = 1, 2,... eseté tehát biztosa rak legalább a Határozza meg a lerakott peték számáak geerátorfüggvéyét! b Mide egyes pete a többitől és a peték számától függetleül 1 2 valószíűséggel kel ki. Határozza meg a kikelt peték számáak geerátorfüggvéyét, várható értékét és aak a valószíűségét, hogy potosa egy kikelt utóda lesz a pókak! 6
2.44. Jelölje p aak a valószíűségét, hogy egy családba potosa gyerek va, =, 1, 2,.... Legye p := αρ, 1-re, és p = 1 αρ1+ρ+ρ 2 +ρ 3 +..., ahol ρ, 1 és α > úgy vaak megválasztva, hogy αρ < 1 ρ. Tegyük fel, hogy ha egy családba gyerek va, azok emekéti eloszlása egyeletes a 2 lehetőség között. Mutassuk meg, hogy mide k 1-re, aak a valószíűsége, hogy egy családba potosa k fiú va 2αρ k /2 ρ k+1. 2.45. Legyeek X 1, X 2,... függetle, azoos eloszlású pozitív egész értékű valószíűségi változók P z geerátorfüggvéyel, és legye S = X 1 + X 2 +... + X. Legye { 1, ha, hogy S = k, Y k = egyébkét Legye v k = PY k = 1, és legye {v k } geerátorfüggvéye V z = k= v kz k. V z =? 2.46. =1 2 x =? 3. Markov- és Csebisev egyelőtleség, NSZGYT 3.47. Legye X valószíűségi változó szórása véges. Lássa be, hogy PX = DX EX 3.48. Legyeek X 1, X 2,..., X 9 függetleek és egyeletes eloszlásúak a [, 1] itervallumo. Legye Y = 9 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 a Adjo alsó becslést a P, 188875 < Y <, 716531 valószíűségre! b Határozza meg Y sűrűségfüggvéyét! 3.49. Tegyük fel, hogy az X 1, X 2,..., X,... valószíűségi változók sorozatára E X i C, ahol C < i-től függetle kostas. Bizoyítsuk be, hogy e feltétel mellett, ha b -hoz tartó számsorozat, akkor bármely rögzített δ > mellett P b X > δ =. 3.5. Legyeek X 1, X 2,..., X,... véges szórású valószíűségi változók, amelyekre EX i. Bizoyítsuk be, hogy ha D X /E X =, akkor bármely rögzített δ > mellett Alkalmazzuk a coupo collector problémára. X P EX 1 > δ =. 3.51. a Bizoyítadó, hogy a Markov egyelőtleség éles, a következő értelembe: rögzítve a < m λ számokat, létezik olya emegatív X valószíűségi változó, melyek várható értéke EX = m és melyre a Markov egyelőtleség telítődik : P X λ = m/λ. b Bizoyítadó, hogy a Markov egyelőtleség em éles, a következő értelembe: rögzített emegatív X valószíűségi változóra, melyek várható értéke véges, λ λp X λ /E X =. 3.52. A felújítási függvéy korlátossága Legyeek X 1, X 2,..., X,... függetle és azoos eloszlású emegatív és em ullára kocetrált valószíűségi változók. Azaz: feltesszük, hogy 1 = PX i PX i > >. Legye T := i=1 X i és Nt := max{ : T t}. Bizoyítsa be, hogy bármely t -ra Mt = ENt korlátos: a Lássa be, hogy Ee Xi < 1. b Bizoyítsa, hogy a következő végtele összeg koverges: =1 P i=1 X i < t <. 7
3.53. Legyeek X 1, X 2,..., X,... egyazo Ω, A, P valószíűségi mező defiiált, azoos eloszlású valószíűségi változók, melyekek közös eloszlásfüggvéye F x. Semmit em teszük fel függőségi viszoyaikról. Legye M := max 1 i X i. a Tegyük fel, hogy valamely α > -ra x α df x <, azaz E X i α <. Bizoyítsuk be, hogy ekkor bármely ε > -ra, rögzített δ > mellett P 1/α+ε M > δ =. b Tegyük fel, hogy valamely s > -ra exps x df x <, azaz E exps X i <. Bizoyítsuk be, hogy ekkor bármely -hez kovergáló b számsorozatra, rögzített δ > mellett P b log 1 M > δ =. Útmutatás: Haszáljuk a P max 1 i X i > λ = P i=1 { X i > λ} i=1 P X i > λ = P X i > λ megfotolást és Markov-jellegű egyelőtleségeket. 3.54. A ormális fluktuációk igazi agyságredjéek megsejtése: Legyeek X 1, X 2,..., X,... függetle és azoos eloszlású valószíűségi változók, melyekek várható értéke EX i = és szóráségyzete VarX i = σ 2 <. Legye S := i=1 X i. A NSZGYT azt modja ki, hogy rögzített δ > mellett P S / > δ =. Bizoyítsuk be a következő léyegese erősebb állítást: bármely -hez tartó b számsorozattal, rögzített δ > mellett P S / b > δ =. 3.55. NSZGYT felújítási folyamatra. Legyeek τ 1, τ 2,..., τ,... függetle és azoos eloszlású, em-egatív valószíűségi változók. Tegyük fel, hogy Eτ i =: m <. Legye T := i=1 τ i és Nt := max{ : T t}. A NSZGYT értelmébe T / m, valószíűségbe. Bizoyítsuk be, hogy a következő duális állítás is igaz: rögzített δ > mellett P Nt m 1 > δ =. t t 3.56. Legyeek X 1, X 2,... véges szóráségyzetű, ulla várható értékű és párokét korrelálatla valószíűségi változók. Azaz: mide i-re E X i = és σ 2 i := Var X i = E X 2 i <, továbbá E Xi X j =, ha i j. Tegyük fel, hogy i σi 2/i =. Legye S := X 1 + X 2 + + X. Bizoyítsuk be, hogy S / valószíűségbe és L 2 -be. 3.57. Legyeek X 1, X 2,... azoos eloszlású de em feltétleül függetle véges szóráségyzetű és ulla várható értékű valószíűségi változók. Azaz: mide i-re E X i = és σ 2 i := Var X i = E X 2 i <. Legye r k k= ullához tartó pozitív számsorozat. Tegyük fel, hogy az X i valószíűségi változók kovariaciáira feáll a következő felső korlát: Cov X i, X j = E Xi X j r i j. Az egyelőtleség baloldalá ics abszolút érték! Bizoyítsuk be hogy X 1 + X 2 + + X / valószíűségbe. 3.58. Mote Carlo itegrálás. Legye f : [, 1] R mérhető, égyzetese itegrálható függvéy. Jelöljük: I := 1 fxdx, J := 1 fx 2 dx. Legyeek U 1, U 2,... függetle és azoos E, 1 egyeletes eloszlású valószíűségi változók és I := fu 1 + fu 2 + + fu /. a Bizoyítsuk be, hogy I I valószíűségbe. b Csebisev egyelőtleség segítségével becsüljük meg a P I I > a/ valószíűségeket a > rögzített,. 3.59. a Legyeek X 1,..., X függetleek és azoos eloszlásúak, EX i =. Legye S = i=1 X i. Fejezze ki S harmadik és egyedik mometumáak értékét X i mometumai segítségével. b Legye f : [, 1] R égyszer folytoosa differeciálható függvéy. Határozzuk meg a következő határértéket: 1 1 1 { f x1 + x 2 + + x / f 1/2 } dx 1 dx 2... dx. 8
4. Mértékelmélet 4.1. Mérhetőség 4.6. Azt modjuk, hogy a V N halmazak va Cesàro sűrűsége, ha a # V [, ] =: ρv esz létezik. Jelöljük C-vel N azo részhalmazaiak összességét, amelyekek létezik Cesàro sűrűsége. Adjuk példát olya V 1, V 2 C halmazokra, amelyekre V 1 V 2 C, és ezzel bizoyítsuk, hogy C em halmazalgebra. 4.61. A Vitali halmaz kostrukciója példa em Lebesgue-mérhető halmazra. Az I := [, 1 alaphalmazo értelmezzük a következő ekvivalecia-relációt: x y akkor és csak akkor, ha x y racioális. Kostruáljuk a V I halmazt, úgy, hogy az potosa egy elemet tartalmazzo a feti ekvivalecia-reláció mide egyes ekvivalecia osztályából. Figyelem: E kostrukció sorá haszáljuk a kiválasztási axiómát. Bizoyítadó, hogy a V halmaz em Lebesgue mérhető. Útmutatás: Lássuk be, hogy az I itervallum előáll a V halmaz megszámlálható mod 1-kogrues másáak diszjukt uiójakét. 4.62. a Legye f : R R Borel-mérhető függvéy. Azaz: bármely yílt B R halmazra f 1 B B. Bizoyítadó, hogy bármely B B halmazra is f 1 B B. b Legyeek f : R R és g : R R Borel-mérhető függvéyek. Bizoyítadó, hogy f g : R R is Borel-mérhető. 4.63. a Legyeek r, N, és r valós számok és r = r. Bizoyítsuk be, hogy r = sup if r = if sup r. m >m m >m b Legye Ω, F tetszőleges mérhető tér, f : Ω R valós értékű függvéyek sorozata és f : Ω R, ahol fω := if f ω. Bizoyítadó, hogy bármely rögzített a R számra f 1 [a, = f 1 [a,, f 1 a, = =1 m=1 f 1 [a + 1/m,. A feti azoosságok alapjá lássuk be, hogy mérhető függvéyek sorozatáak ifimuma is mérhető. c Az a és b pot segítségével lássuk be, hogy mérhető függvéyek sorozatáak potokéti esze is mérhető függvéy. 4.64. a Legye Ω alaphalmaz és S PΩ Ω részhalmazaiak tetszőleges gyüjteméye. Bizoyítadó, hogy létezik egy legkisebb F σ-algebra, melyre S F. Ezt hívjuk az S részhalmazredszer által geerált σ-algebráak. b Legyeek Ω, F és Ξ, G mérhető terek, ahol G az S PΞ részhalmazredszer által geerált σ- algebra. Bizoyítadó, hogy a T : Ω Ξ leképezés akkor és csak akkor mérhető, ha bármely S S részhalmazra T 1 S F. 4.65. Legyeek X 1, X 2,..., X,... idikátorváltozók ugyaazo az Ω, F mérhető tére azaz X i értékkészlete a {, 1} kételemű halmaz, ahol F a legszűkebb σ-algebra, amire ézve mérhetőek az X i változók. Lássa be, hogy =1 2 X mérhető függvéy Ω, F-ből [, 1], B-be, és fordítva: a valós számok kettes számredszerbeli kifejtése is mérhető függvéy [, 1], B-ből Ω, F-be. 4.2. Mértékek 4.66. Legye Ω, F, P valószíűségi mező, és tegyük fel, hogy A egy olya halmazalgebra, amire σa = F. Defiiáljuk két F-beli halmaz távolságát a szimmetrikus differeciájuk valószíűségével avagy a halmazok idikátorváltozóiak L 1 -távolságával: da, B = PA B = 1A 1B 1 9
a Lássa be, hogy da, C da, B + db, C, da, B = da c, B c, d k=1a k, k=1b k Az utóbbi bizoyításáál jól jö a ω Ω : 1ω k=1a k 1ω k=1a k 1ω A k egyelőtleség. k=1 da k, B k k=1 1ω B k b Lássa be, hogy mide "boyolult" F-beli halmaz jól közelíthető "egyszerű" A-beli halmazzal: B F ε > A A : da, B < ε Segítség: Elég beláti, hogy az A-beli halmazokkal jól közelíthető halmazok szigma-algebrát alkotak. 4.67. a Legyeek P 1 és P 2 valószíűségi mértékek ugyaazo az Ω, F mérhető tére. Legye A olya halmazalgebra, amire σa = F. Azt modjuk, hogy P 1 és P 2 kölcsööse sziguláris, ha va olya H F, hogy P 1 H = 1 és P 2 H =. Lássa be, hogy a két mérték akkor és csak akkor kölcsööse sziguláris, ha ε > A A : P 1 A 1 ε, P 2 A ε b Legyeek X 1, X 2,..., X,... függetle és azoos eloszlású valószíűségi változók, melyekek közös eloszlása PX i = = p 1 2, PX i = 1 = 1 p. Legye Y := =1 2 X. Bizoyítsuk be, hogy az Y valószíűségi változó eloszlásfüggvéye folytoos, de sziguláris. Megj.: Egy korábbi feladat szerit, ha p = 1/2, akkor Y egyeletes eloszlású a [, 1] itervallumba. 4.68. Ha H R 2 egy síkidom azaz a sík mérhető részhalmaza, akkor jelölje T H a síkidom területét. Jelölje továbba B r az origó középpotú, r sugarú körlapot és, m Z eseté jelölje G,m azo síkbeli potok halmazát, amikek x koordiátája és + 1 közé, y koordiátája pedig m és m + 1 közé esik. Bizoyítsa be, hogy ha H k, k = 1, 2,... mérhető, véges területű síkidomok sorozata, akkor a következő két feltétel ekvivales egymással: a k T H k = b m k T H k G,m = és r sup k N T H k \ B r = k=1 4.3. Itegrálás 4.69. Legye f : [, [, R függvéy a következőképpe értelmezve: 1, ha x, y, < x y 1, fx, y = 1, ha x, y, < y x 1,, egyébkét. Számolják ki a következő kettős itegrálokat: I := fx, ydy dx, J := Értelmezzék az eredméyt Fubii tételéek tükrébe. fx, ydx dy. 4.7. Legye Y valószíűségi változó eloszlásfüggvéye F y := P Y < y. Tegyük fel, hogy véges a második mometuma és legye m := E Y, σ 2 := Var Y. Számolják ki a következő kettős itegrált I := y mdf y dx. Értelmezék az eredméyt Fubii tételéek tükrébe. x 1
4.71. Mooto kovergecia-tétel: Legye Ω, F, µ mértéktér és f 1 f 2... emegatív mérhető függvéyek mooto övő sorozata és f = sup f. Ekkor fωdµω = sup f ωdµω Ω Ω Ez az egyeőség akkor is igaz, ha fωdµω =. Lássa be a mooto kovergeciatételt az Ω = Ω R, F = B Borel-algebra, µ = λ Lebesgue-mérték esetbe. Haszálja a síkidomok területére, mit mértékre voatkozó mooto osztálytételt! Milye feltétel mellett igaz a mooto kovergeciatétel mooto csökkeő függvéysorozatokra? 4.72. Fatou-lemma: Legye Ω, F, µ mértéktér és f 1, f 2,... emegatív, mérhető függvéyek sorozata. Legye f = if f = sup if m f m. Ekkor fωdµω if f ωdµω Ω Ω Lássa be a Fatou-lemmát a mooto kovergecia-tétel segítségével! Mutasso példát arra, amikor egyeletese itegrálható függvéyek ifjéek itegrálja szigorúa kisebb az itegálok ifjéél. 4.73. Domiált kovergecia-tétel: Legye Ω, F, µ mértéktér és f mérhető függvéyek sorozata, amelyek potokét kovergálak az f függvéyhez: f ω = fω Továbbá tegyük föl, hogy va olya g domiáló függvéy, amire amire f ω gω és Ω gωdµω <. Ekkor f ωdµω = fωdµω Ω Lássa be a domiált kovergecia-tételt úgy, hogy a Fatou-lemmát alkalmazza a g f, illetve a g + f függvéysorozatokra. 4.74. Példa arra, amikor a eszképzés és az itegrálás em cserélhető fel: Legye f λ a λ paraméterű expoeciális eloszlás sűrűségfüggvéye és f = λ f λ. Lássa be, hogy λ f λ xdx Ω fxdx Lássa be a domiált kovergecia-tétel felhaszálása élkül, direkt módo, hogy ics olya g domiáló függvéy, amire f λ x gx mide λ λ -ra és gxdx <. 4.75. Egy tétel, ami két voatkozásba is erősebb a domiált kovergecia-tételél: Legye Ω, F, P valószíűségi mező és X emegatív valószíűségi változók sorozata. Azt modjuk, hogy az X sorozat mértékbe kovergál ullához, ha δ > : Továbbá: egy X sorozat egyeletese itegrálható, ha PX > δ = sup E 1[X > K] X = K N a Lássa be, hogy EX = akkor és csak akkor, ha az X sorozat egyeletese itegrálható és mértékbe kovergál ullához. b Lássa be a mooto osztálytétel segítségével, hogy ha ω Ω eseté X ω =, akkor az X sorozat mértékbe tart ullához. Mutasso példát rá, hogy va olya X sorozat, ami mértékbe tart ullához, de ω sup X ω = 1. c Lássa be a Markov-egyelőtleség segítségével, hogy ha va olya Y valószíűségi változó, amire EY < és X Y, akkor az X sorozat egyeletese itegrálható. Mutasso példát olya egyeletese itegrálható X sorozatra, amire Esup X =. 11
5. Valószíűségbe való kovergecia 5.76. Legyeek az X 1, X 2,... és Y valószíűségi változók egyazo Ω, A, P valószíűségi mező defiiálva és P legyeek eloszlásfüggvéyeik F 1 x, F 2 x,..., illetve Gx. Bizoyítsuk be, hogy ha X Y, akkor F x = Gx a G eloszlásfüggvéy mide folytoossági potjába. 5.77. Legyeek X 1, X 2,... függetle és azoos eloszlású valószíűségi változók, melyekek közös eloszlásfüggvéye F x. Tegyük fel, hogy F x < 1 mide x < -re. Legye M := max{x 1, X 2,..., X }. Bizoyítsuk be, hogy az alábbi i és ii állítások ekvivalesek: i Megfelelőe választott A R kostasokkal, bármely < ε-ra P M A > ε =. ii Tetszőleges < c-re 1 F x + c =. x 1 F x Megjegyzés: Az ii feltétel léyegébe azt állítja, hogy F x kovergeciája 1-hez, amit x, expoeciálisál gyorsabb. A feladat szerit ekkor M léyegébe determiisztikus, alig fluktuál. 5.78. Legyeek az X 1, X 2,..., X,... és X valószíűségi változók egyazo Ω, A, P valószíűségi mező értelmezve és X P X. a Ha f : R R egyeletese folytoos függvéy és Y := fx, ill. Y := fx, lássuk be, hogy P Y. Y b Ha f : R R folytoos függvéy és Y := fx, ill. Y := fx, bizoyítsuk be, hogy Y P Y. c Bizoyítadó, hogy ha az X valószíűségi változók m.b. egyeletese korlátosak azaz: létezik M < úgy, hogy P N : X M = 1, akkor E X = E X. Mutassuk be egy példá keresztül, hogy a korlátosság szükséges feltétel. 5.79. Legyeek az X 1, X 2,..., X,..., Y 1, Y 2,..., Y,..., X és Y valószíűségi változók egyazo Ω, A, P va- P P X és Y Y. Bizoyítadó, hogy lószíűségi mező értelmezve és tegyük fel, hogy X P a X Y XY. b Ha 1 valószíűséggel Y és Y, akkor X /Y 5.8. Bizoyítsuk be, hogy 1 5.81. Legye f : [, 1] R folytoos. Bizoyítadó, hogy 1 1 1 x1 + x 2 + + x f 1 1 1 1 P X/Y. 1 x 2 1 + x 2 2 + + x 2 dx 1 dx 2 dx = 2 x 1 + x 2 + + x 3. f dx 1 dx 2 dx = f x 1 x 2 x 1/ dx 1 dx 2 dx = f 5.82. A Laplace traszformáció ivertálása. Legye f : [, R folytoos és korlátos függvéy. következőképpe defiiáljuk: f :, R, 1 2 1. e. Az f függvéy f Laplace traszformáltját a fλ := e λy fydy. a Legyeek X 1, X 2,... függetle és azoos expoeciális eloszlású valószíűségi változók: P X k > x = e λx, x > ; E X k = λ 1 ; Var X k = λ 2. Bizoyítsuk be, hogy E fs = 1 1 λ f 1 λ, 1! 12
ahol f 1 a f függvéy 1-edik deriváltját jelöli. b Bizoyítsuk be a Laplace traszformáció következő iverziós formuláját mely folytoos és korlátos f eseté érvéyes: fy = 1 1 /y f 1 /y. 1! 5.83. Legye S 1 := {x R : x = 1} az -dimeziós valós euklideszi tér egységgömb-felszíe. S 1 -e egyértelműe meghatározott a ν 1 valószíűségi mérték, mely ivariás az R tér ortogoális traszformációira. Azaz: bármely A S 1 Borel-mérhető halmazra és az R tér bármely H ortogoális traszformációjára ν 1 HA = ν 1 A. Ezt az egyértelműe meghatározott mértéket evezzük az S 1 gömbfelszí Haar mértékéek. Ez em egyéb, mit az egyeletes eloszlású mérték S 1 -e. a Legye X egy olya véletle vektor R -be, melyek X 1, X 2,..., X kompoesei függetle és azoos N, 1 eloszlású valószíűségi változók. Bizoyítsuk be, hogy az R tér tetszűleges H ortogoális traszformációját alkalmazva az Y := HX véletle vektor Y 1, Y 2,..., Y kompoesei szité függetle és azoos N, 1 eloszlású valószíűségi változók leszek. Ebből és az egyeletes mérték uicitásából bizoyítsuk, hogy X/ X S 1 eloszlása potosa ν 1. Azaz: bármely Borel mérhető A S 1 eseté P X/ X A = ν 1 A. b Legyeek X 1, X 2,... függetle és azoos N, 1 stadard ormális eloszlású valószíűségi változók és R := X 2 1 + X 2 2 + + X 2 1/2. Bizoyítadó, hogy R / P 1, amit. c Válasszuk egy véletle P potot az S 1 gömbfelszíe egyeletes eloszlással azaz a ν 1 Haar mérték szerit és jelöljük e pot R -beli koordiátáit Y 1, Y 2,..., Y -el. A feti a és b potok felhaszálásával bizoyítsuk az alábbi határeloszlás tételeket: Y P 1 < y = Φy := 1 y 2π Y P 1 < y 1 ; Y 2 < y 2 ; Útmutatás: P Y 1 < y = P X 1 /R < y, a feladat jelöléseivel. 1 2π e x2 /2 dx, = Φy 1 Φy 2. 6. Borel-Catelli-lemma, majdem biztos kovergecia, NSZET 6.84. Legyeek az X 1, X 2,..., X,... valószíűségi változók egyazo Ω, A, P valószíűségi mező értelmezve és legye Y := sup m X m. Bizoyítsuk be, hogy az alábbi két állítás ekvivales: i X m.b., amit. ii Y P, amit. 6.85. Legyeek X 1, X 2,... függetle valószíűségi változók. Lássuk be, hogy potosa akkor lesz sup X < 1 valószíűségggel, ha =1 PX > A < valamely pozitív véges A számmal. 6.86. Legyeek X 1, X 2,..., X,... függetle és azoos eloszlású valószíűségi változók. Bizoyítsuk be, hogy a következő két állítás ekvivales: i E X i <. ii P X > végtele sok -re =. 6.87. Legyeek X 1, X 2,... függetle valószíűségi változók, melyekek eloszlása redre P X = 2 1 = 2, P X = 1 = 1 2. Bizoyítadó, hogy mide N-re E X =, ám X 1 + X 2 + + X = 1, m.b. 13
6.88. Legyeek az X 1, X 2,..., X,... és X valószíűségi változók egyazo Ω, A, P valószíűségi mező értelmezve. Bizoyítsuk be, hogy az alábbi két állítás ekvivales: i X P X, amit. ii Mide k k részsorozatba va egy j kj rész-részsorozat, amelyre X kj m.b. X, amit j. 6.89. Bizoyítsa, hogy tetszőleges X 1, X 2,... valószíűségi változó-sorozathoz létezik olya determiisztikus c 1, c 2,... számsorozat, hogy X m.b. c. 6.9. Fogalmazzo meg szükséges és elégséges feltételt arra, hogy függetle X i EXP λ i valószíűségi változók sorozata mikor tart eloszlásba, illetve majdem biztosa ullához. 6.91. a Lássa be, hogy ha egyazo valószíűségi mező értelmezett emegatív valószíűségi változók várható értékei összegezhetőek, akkor a valószíűségi változók részletösszegei is majdem biztosa kovergálak egy majdem biztosa véges valószíűségi változóhoz. Segítség: Fukaalból tudjuk, hogy a részletösszegek L 1 -be kovergálak... b Legyeek X i EXP λ i függetle valószíűségi változók. Legye S = i=1 X i. Bizoyítsa be, hogy =1 1 m.b. λ i = eseté S. Segítség: alkalmazza a Markov-egyelőtleséget e S -re. Lássa be, hogy i=1 λ i λ i+1 =. 6.92. Végtele sok függetle kísérletet végzük: az -edik kísérlet α valószíűséggel sikeres, < α < 1. Legye továbbá k 1. Akkor örülük, ha végtele sokszor fordul elő, hogy k közvetleül egymást követő kísérletük sikeres. Mekkora valószíűséggel örülük? 6.93. A leghosszabb tiszta fej sorozat, I. Legyeek X 1, X 2,... függetle és azoos eloszlású valószíűségi változók, melyekek közös eloszlása: PX k = 1 = p, PX k = = q, ahol p + q = 1. Rögzítsük egy λ > 1 paramétert és jelöljük A λ k -val a következő eseméyeket: k =, 1, 2,... { A λ k := r [ [λ k ], [λ k+1 ] k ] } N : X r = X r+1 = = X r+k 1 = 1. Egyszerűe szólva: az A λ k eseméy azt jeleti, hogy [λ k ] és [λ k+1 ] 1 között va valahol egy k hosszú tisztá 1-esekből álló tömör sorozat. Bizoyítadó, hogy a Ha λ < p 1, akkor 1-valószíűséggel az A λ k b Ha λ > p 1, akkor 1-valószíűséggel az A λ k c Mi törtéik λ = p 1 eseté? eseméyek közül csak véges sok következik be. eseméyek közül végtele sok bekövetkezik. 6.94. A leghosszabb tiszta fej sorozat, II. Legye R := sup{k : X = X +1 = = X +k 1 = 1}. Azaz: R az -el kezdődő tiszta 1-es sorozat hossza. Ha X =, akkor R =. Bizoyítadó, hogy R P sup = log p 1 = 1. log Útmutatás: α > rögzített paraméterre legye B α := {R > α log / log p }. Ha α > 1, akkor a Borel-Catelli lemma direkt állításából egyszerű számolás útjá adódik, hogy 1-valószíűséggel csak véges sok B α következik be. Ha α 1, akkor az előző feladat megfotolásaiból következik, hogy 1-valószíűséggel végtele sok B α bekövetkezik. 14
6.95. A McMilla tétel legegyszerűbb alakja. Legye p = p 1, p 2,..., p r, ahol p i, i = 1, 2,..., r pozitív számok, melyekre p 1 + p 2 + + p r = 1. Azaz: adott egy valószíűségi eloszlás az {1, 2,..., r} halmazo. A p eloszlás etrópiáját a következő képpe defiiáljuk: Hp := r j=1 p j log p j. Legyeek X 1, X 2,... függetle azoos eloszlású valószíűségi változók, melyekek közös eloszlása PX = j = p j. Azaz: függetle azoos kísérleteket végzük, melyekek lehetséges kimeetelei {1, 2,..., r} idexekkel vaak jelölve és X k a k-adik kísérlet eredméyét jelöli. Defiiáljuk az R := k=1 p X k valószíűségi változókat. Az R azt modja meg, hogy mi az a priori valószíűsége a bekövetkezett X 1, X 2,..., X sorozatak. Bizoyítadó, hogy P 6.96. A NSZET megfordítása. a Legye Z em-egatív valószíűségi változó és 1 log R = Hp = 1. Lássuk be, hogy =1 Y := [Z] = 1 {Z }. =1 P Z E Z 1 + =1 P Z. b Legyeek X 1, X 2,... függetle és azoos eloszlású valószíűségi változók, amelyekre E X =. Bizoyítsuk be, hogy bármely rögzített M < -re és =1 sup P X M = X =, m.b. c Legye S := X 1 + X 2 + + X, ahol X 1, X 2,... a b potbeli valószíűségi változók. Bizoyítsuk be, hogy S sup =, m.b. 6.97. Nem-iterált logaritmus tétel a Legye X stadard ormálisn, 1 eloszlású valószíűségi változó. Bizoyítsuk be, hogy bármely x > valós számra 1 x 1 exp x 2 /2 x 3 P X > x 1 exp x 2 /2 2π x 2π Útmutatás: Hasolítsuk össze a deriváltakat. b Legyeek X 1, X 2,... függetle N, 1 eloszlású valószíűségi változók. Bizoyítsuk be, hogy X P sup = 1 = 1. 2 log c Legye S := X 1 +X 2 + +X, ahol X 1, X 2,... a b potbeli valószíűségi változók. Bizoyítadó, hogy bármely C > 2 mellett S P sup < C = 1. log Megjegyzés: Az Iterált Logaritmus Tétel állítása: S P sup = 1 2 log log 6.98. a Legye X P OIµ. Adjo a Stirlig-formula segítségével miél egyszerűbb alakú fx függvéyt, amire logpx x = 1 x fx = 1. 15
b Legyeek X 1, X 2,... függetleek és P OIµ eloszlásúak. tagjait az a a = összefüggés segítségével. Lássa be, hogy Defiiáljuk az a R + számsorozat P sup X a = 1 = 1 7. Nagy eltérés-elmélet 7.1. Logaritmikus kovexitás, Legedre-traszformáció 7.99. A kovex szeparációs tulajdoság: a Legye H R 2 egy kovex, zárt halmaz és x, y / H egy pot. Lássa be, hogy va olya egyees, ami szétválasztja őket. b Legye f : [a, b] R folytoos kovex függvéy. Lássa be, hogy f előáll a ála em agyobb affi lieáris függvéyek supremumakét: fx = sup{cx + d : y [a, b]-re cy + d fy} 7.1. Feldobuk egy érmét hatvaszor, jelölje a fejek számát X. Adjuk felső becslést a P X 3 2 valószíűségre a Csebisev-egyelőtleség segítségével! Jobb becslés is adható az expoeciális Markovegyelőtleség segítségével: a Legye Y β = e βx, ahol < β. Lássa be, hogy EY β = 2 6 1 + e β 6. b Adjo felső becslést a PX 5 valószíűségre oly módo, hogy a Markov-egyelőtleséget alkalmazza az Y β emegatív valószíűségi változóra. c Keresse meg azt a β-t, amelyikre az előbbi becslés a legélesebb. fβ = log1 + e β 5 6β kovex függvéy miimalizálására. d Lássa be, hogy P X 3 2 2 3 6 5 5 < 1 6 A feladat visszavezethető az 7.11. Egy X valószíűségi változó logaritmikus mometumgeeráló függvéyét az Îλ = logeeλx képlettel defiiáljuk. a Határozza meg ax+b logaritmikus mometumgeeráló függvéyét és függetle valószíűségi változók összegéek logaritmikus mometumgeeráló függvéyét. b Legyeek X 1, X 2,... függetleek és azoos eloszlásúak, valamit ν tőlük függetle, N-értékű valószíűségi változó. Legye Y = ν =1 X i. Fejezze ki az Y véletle tagszámú összeg logaritmikus mometumgeeráló függvéyét X 1 és ν logaritmikus mometumgeeráló függvéye segítségével. c Számítsa ki a következő evezetes eloszlások logaritmikus mometumgeeráló függvéyét az értelmezési tartomáyaikkal együtt: Beroulli, Biomiális, Poisso, Expoeciális, Gamma, Geometriai, Negatív biomiális, Normális, Cauchy. 7.12. Egy pozitív függvéyt logaritmikusa kovexek evezük, ha a logaritmusa kovex. a Milye feltételek kell teljesülie egy logaritmikusa kovex függvéy deriváltjaira? Lássa be, hogy egy logaritmikusa kovex függvéy kovex. b Lássa be, hogy logaritmikusa kovex függvéyek supremuma is logaritmikusa kovex és hogy mide folytoos, logaritmikusa kovex fx függvéy előállítható a ála kisebb, a x b alakú függvéyek supremumakét a, b >. c Bizoyítsa be, hogy logaritmikusa kovex függvéyek számszorosa, pozitív kitevőjű hatváya, szorzata, összege is logaritmikusa kovex. d Lássa be az előbbiek segítségével, hogy egy diszkrét eloszlású valószíűségi változó logaritmikus mometumgeeráló függvéye kovex. 16
7.13. Egy f : [a, b] R függvéy ˆf Legedre-traszformáltját a következő képlettel defiiáljuk: ˆfλ = sup {λx fx} x [a,b] Egy f : [a, b] R függvéy f co kovex burkolója az f-él em agyobb affi lieáris függvéyek supremuma. a Lássa be, hogy ˆf kovex, és hogy f g eseté ĝ ˆf. b Vezesse le a összefüggésből, hogy ˆf f co. x λ : ˆfλ + fx λx c Lássa be, hogy differeciálható f eseté ˆf értelmezési tartomáya megegyezik f értékkészletével. Miért defiiáljuk + -ek ˆf értékét az értelmezési tartomáyá kívül? Megj: kovex függvéyek eseté ez a természetes koveció. d Legye gλ = A faλ + b + Bλ + C ahol A. Lássa be a Legedre-traszformáció Jolly-Jokerképletét: ĝx = A ˆf x B aa + b a x + bb a C 7.14. A Legedre-traszformáció ivolúció: a Lássa be, hogy ha f affi lieáris függvéy, akkor ˆf = f. b Lássa be, hogy egy differeciálható, szigorúa kovex f függvéy Legedre-traszformáltjáak deriváltja megegyezik f deriváltjáak iverzfüggvéyével és azt, hogy ˆf = f. c Lássa be, hogy tetszőleges f-re ˆf f co, és így ˆf = f co. 7.15. Ha f : [a, b] R és g : [c, d] R, akkor {f, g} co, az f és g együttes kovex burkolója azokak az affi lieáris függvéyek supremuma, melyek f-él és g-él is kisebbek. {f, g} co értelmezési tartomáya [mi{a, c}, max{b, d}]. Lássa be, hogy ha f és g kovex és folytoos, akkor max{f, g} Legedretraszformáltja { ˆf, ĝ} co és hogy {f, g} co Legedre-traszformáltja max{ ˆf, ĝ}. 7.16. a Lássa be, hogy egy X valószíűségi változó Îλ logaritmikus mometumgeeráló függvéyéek Îx = Ix Legedre-traszformáltját, azaz a agy eltérés-rátafüggvéyét a következő képlettel számolhatjuk: Ix = x Î 1 x Î Î 1 x b Legye m = EX. Im =? I m =? I m =? c Számítsa ki a Beroulli, Biomiális, Poisso, Expoeciális, Gamma, Geometriai, Negatív biomiális, Normális eloszlások agy eltérés-rátafüggvéyeit az értelmezési tartomáyaikkal együtt! 7.17. a Legyeek X 1, X 2,... függetleek és P OIµ eloszlásúak. Legye Y i = µ X i. Határozza meg Y 1 I Y x rátafüggvéyét. b Lássa be, hogy x -ra I Y x x2 2µ. c Legye S = X 1 + + X Bizoyítsa, hogy P if S µ 2 logµ 1 = 1 7.2. Berstei-egyelőtleség 7.18. Húzzuk be az egység sugarú körbe 1 darab húrt egymástól függetleül oly módo, hogy az egyes húrok végpotjait is egymástól függetleül és az egységkörö egyeletes eloszlással választjuk. Jelölje X a húrok összhosszát. Adjo alsó becslést a P X 4 π < 1 4π2 32 π valószíűségre a Berstei-egyelőtleség felhaszálásával. 17
7.19. Lásd 3.59. feladat Legye f : [, 1] R háromszor folytoosa differeciálható függvéy. Határozzuk meg a következő határértéket: 1 1 1 { f x1 + x 2 + + x / f 1/2 } dx 1 dx 2... dx. 7.11. A Berstei-egyelőtleség aszimptotikus élessége Legyeek X 1, X 2,... f.a.e., PX i = ±1 = 1 2. Legye Y = S. a Adjo felső becslést P Y λ értékére a Berstei-egyelőtleség segítségével. b Az 7.1. feladat megoldásához hasolóa lássa be, hogy P Y λ 2 exp I λ, ahol Ix a BER 1 2 változó agy eltérés-rátafüggvéye. Adjo felső becslést P Y λ értékére ezzel a módszerrel is. Segítség: a 7.16. feladat alapjá köyű kiszámítai a rátafüggvéy második deriváltját x = -ba... c A De Moivre-Laplace CHT és a 6.97. feladat elejé szereplő becslés segítségével mutassa meg, hogy mide ε > -hoz va olya λ, hogy λ λ eseté 7.3. Mértékcsere memo P Y λ 2 exp 1 + ε λ2 2 Legye Ω, F egy mérhető tér, X : Ω R egy mérhető függvéy, P 1 és P 2 pedig két valószíűségi mérték eze a mérhető tére. Ekkor X eloszlása külöbözhet a két külöböző mértékre ézve! Tehát tulajdoképp jobb ha úgy godoluk rá, hogy em is ugyaarról a valószíűségi változóról va szó! Pl. lehetséges, hogy E 1 X := XωdP 1 ω XωdP 2 ω = E 2 X Ω Miért is érdekes az ilyesmi? Pl. statisztikába: jö egy mérés a való világból ez az Xω valamilye ω Ω-ra, de a valódi valószíűséget em ismerjük, va viszot kétféle hipotézisük arról, hogy milye lehet: ez a P 1 és a P 2. Midkét valószíűségi mérték segítségével kiszámoluk ezt-azt, és utáa eldötjük, h melyik hipotézist szeretjük jobba. Defiíció: A P 2 mérték abszolút folytoos a P 1 mértékre ézve, ha A F : P 1 A = = P 2 A = Rado-Nikodym-tétel: Ha P 2 abszolút folytoos a P 1 -re ézve, akkor és csak akkor létezik sűrűségfüggvéye, vagy más éve Rado-Nikodym-féle derivátja: va egy olya P 1 -majdem mideütt egyelőség erejéig egyértelműe meghatározott F-mérhető f : Ω R függvéy, hogy mide A F-re amire P 2 A = E 2 1[A] = 1dP 2 ω = fωdp 1 ω = E 1 f 1[A] A dp1 dp 2 1. Általáosabba: És természetese teljesül a sűrűségfüggvéyektől elvárható f és Ω fωdp 1ω = E 1 f = 1. Potosa ezek a tulajdoságok kelleek ahhoz, hogy f valószíűségi sűrűségfüggvéy legye a P 1 -re ézve, azaz ahhoz, hogy P 2 A := A fωdp 1ω téyleg valószíűségi mérték legye. Jelölés: fω = dp2 dp 1 ω Az előbbi feltételek mellett P 1 akkor és csak akkor abszolút folytoos a P 2 -re ézve, ha a sűrűségfüggvéy P 1 -majdem mideütt pozitív, azaz P 1 f = =, és ekkor a P 1 -ek a P 2 -re voatkozó sűrűségfüggvéye 1 f. Jelölésbe: dp 2 dp 1 Várható érték számolása: E 2 Y = E 1 Y f Ω A dp 2 dp 1 dp3 dp 2 = dp3 dp 1. Nagy eltérés-elméletbe és statisztikába is sokszor haszáljuk a következő mértékcserét: P az eredeti valószíűségi mérték, X egy valószíűségi változó, és P λ az a torzított valószíűségi mérték, amire dp λ eλxω dp ω = Zλ, ahol Zλ az a szám, amivel le kell osztauk, hogy sűrűségfüggvéyt kapjuk: Zλ = Ee λx. Ha F jelöli az X eloszlásfüggvéyét a P szerit azaz ha tetszőleges B Borel-halmazra 18
PX B = B 1dF x és F λ jelöli a X eloszlásfüggvéyét a P λ szerit, akkor az R, B mérhető tére F és F λ két valószíűségi mértéket határoz meg, és az F λ sűrűségfüggvéye az F -re voatkozóa df λ eλx df x = Zλ. Némileg zavaros jelölés: azt modjuk, hogy X λ torzított valószíűsági változó legye olya, hogy az eloszlásfüggvéye legye F λ, legye továbbá ϕ : R R. Ekkor amit zavarosa EϕX λ -val jelölük, az tulajdoképp E λ ϕx = EϕX dp λ eλx = EϕX dp Zλ = 1 ϕxωe λxω dpω = 1 ϕxe λx df x Zλ Ω Zλ 7.4. Cramér-tétel 7.111. Mértékcsere avagy expoeciális torzítás: Legye X egy valószíűségi változó, legye az eloszlásfüggvéye F. Az F eloszlás által geerált expoeciális eloszláscsalád tagjai: Legye µ DÎ, és legye Zµ = EeµX = expîµ, és legye F µ x = EeµX 1[X < x] Zµ a Lássa be, hogy F µ téyleg eloszlásfüggvéy. Ha X diszkrét eloszlású, adja meg az F µ atomjaiak súlyát, ha X abszolút folytoos eloszlású, adja meg az F µ eloszlásfüggvéyhez tartozó sűrűségfüggvéyt, és általáos eloszlások eseté pedig az F µ eloszlüggvéyhez tartozó mértékek az F = F µ=1 mértékre voatkozó Rado-Nikodym-féle deriváltját. b Mutassa meg, hogy X µλ X µ+λ c Expoeciális torzítás és kovolúció kapcsolata: Lássa be pl. diszkrét és abszolút folytoos esetbe, hogy tetszőleges F és G eloszlásfüggvéyekre F G µ = F µ G µ d Mi a BIN, 1 2, P OI1, EXP 1, GEO 1 2, N, 1 valószíűségi változók által geerált expoeciális eloszláscsalád? Segítség: a torzított valószíűségi változók is evezetes eloszlásúak leszek! e Fejezze ki az F µ expoeciálisa torított eloszlás ε logaritmikus moetumgeeráló függvéyét Î segítségével. Ha Y X µ, akkor mi az összefüggés Z X µ és Z Y µ között? f Deriváltak: Adjo valószíűségszámítási jeletést Î λ-ak és Î λ-ak és lássa be eek segítségével még egyszer, hogy Î szigorúa kovex függvéy ha X em elfajult. 7.112. Legye X egy valószíűségi változó, jelölje Zλ a mometumgeeráló függvéyét, X µ a µ-vel való expoeciális torzítottját, és legye Z µ λ = E expλx µ. Írjo föl azooságot Zλ + µ, Z µ λ és Zµ között. 7.113. a Lássa be, hogy az X valószíűségi változó által geerált expoeciális eloszláscsalád egyértelműe paraméterezhető az eloszlások várható értékeiek segítségével is. b Legye [a, b] a legszűkebb itervallum, amire PX [a, b] = 1. Mutassa meg, hogy a b eseté az Î függvéy értékkészlete az a, b yílt itervallum. Segítség: λ PX λ b ε PX λ b 2ε =? 7.114. Legyeek X 1, X 2,... X 1 függetleek és azoos eloszlásúak, PX 1 = = 3 4 és PX 2 = 1 = 1 4. A Cramér-tétel bizoyítási módszereivel lássa be, hogy 3 5 1 11 4 5 < PS 1 5 < 35 4 5 Segítség: az alsó becsléshez haszáli kell, hogy a biomiális eloszlás uimodális. 7.115. A butított Stirlig-formula. Ha a és b két pozitív tagú számsorozat, akkor azt modjuk, hogy a és b 1 expoeciálisa ekvivalesek, házi jelölésbe a b, ha log a b =. 19
a Bizoyítsa be kézzel tehát az "igazi" Stirlig-formula felhaszálása élkül, hogy! e b Lássa be, hogy tetszőleges p poliomra p 1, és hogy +1 1 + 1 + 1 +1, stb. c Lássa be, hogy ha a b, akkor 1 log a c = 1 log b c. 7.116. a Legyeek X 1, X 2,... függetle, p paraméterű idikátorváltozók avagy Beroulli-változók, azaz PX i = 1 = 1 PX i = = p. 1 log P S [ 2, ] =? 1 log P S 2, =? b Lássa be a butított Stirlig-formula segítségével a Cramér-tételt függetle idikátorváltozók összegeire: 1 log P S = x = Ix = x log x x + 1 x log1 p 1 p, ahol S BIN, p. c Vezesse le az előbbiből a redőrelv segítségével, hogy 1 log P S x = Ix, ha x p. Miért em igaz a képlet x < p eseté? Miért igaz és mit jelet a képlet x = 2 eseté? d Elleőrizze le, hogy Ix Legedre-traszformáltja valóba Îλ = logq + peλ, azaz a p paraméterű idikátorváltozó logaritmikus mometumgeeráló függvéye. Végezze el a függvéyvizsgálatot, rajzolja fel Ix grafikoját. I =? I1 =? I2 =? Ip =? I p =? I p =? Mi a valószíűségszámítási jeletése ezekek? 7.117. Ha X N, 1, akkor P X > x e x2 2, lásd a 6.97 feladat eleji alsó és felső becslést. Eze formula segítségével bizoyítsa direkt módo a Cramér-tételt az X i N, 1 speciális esetbe, azaz mutassa meg, hogy 1 log PS [a, b] = if x 2 x [a,b] 2 7.118. Legye a a legagyobb olya szám, amire Pa X = 1. Mutassa meg, hogy Mivel egyelő Ia, ha PX = a >? PX = a = Ix = + x a 7.119. Laplace-lemma: Legye J : R R olya folytoos és alulról korlátos függvéy, amire teljesül e Jx dx < +. Lássa be a redőrelv segítségével, hogy ekkor 1 log e Jx dx = if Jx x e Segítség: Hajtso végre mértékcserét: legye egy új valószíűségi mérték sűrűségfüggvéye Jx e Jy dy. Írja át az itegrálokat várható érték alakba. 7.12. Legye X olya, hogy valamilye λ > -ra teljesül Ee λ X < +. Vezesse le a Borel-Catelli-lemma segítségével a Cramér-tételből a agy számok erős törvéyét olya X 1, X 2,... valószíűségi változókra, amelyek függetleek és X-el azoos eloszlásúak! 7.121. A Cramér tétel állításáak heurisztikus megfogalmazása: Legyeek X 1, X 2,... függetleek és azoos eloszlásúak F eloszlásfüggvéyel, és legye Ix az X 1 logaritmikus mometumgeeráló függvéyéek Legedre-traszformáltja azaz X 1 rátafüggvéye. Ekkor 1 eseté P S x e Ix Az expoeciális torzítás heurisztikus jeletése: legye X eloszlásfüggvéye F, X µ eloszlásfüggvéye pedig F µ. Ekkor PX µ x = PX x e µx ε 2