AZ INTEGRÁLELMÉLET FEJLŐDÉSE RIEMANN ÓTA

ÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYGYTM TRMÉSZTTUDOMÁNY KAR LTTNR TÍMA AZ NTGRÁLLMÉLT FJLŐDÉS RMANN ÓTA BSc szkdolgozt ALKALMAZOTT MATMATKUS SZAKRÁNY TÉMAVZTŐ: LÓCZ LAJOS ADJUNKTUS, NUMRKUS ANALÍZS TANSZÉK 1

TARTALOM 1. FJZT... 3 BVZTŐ... 3 2. FJZT... 5 2.1 A RMANN-NTGRÁL FOGALMA... 5 2.2 A LBSGU-NTGRÁL FOGALMA... 8 3. FJZT... 14 3.1 A HNSTOCK-KURZWL-NTGRÁL... 14 3.2 A McSHAN-NTGRÁL FOGALMA... 17 4. FJZT... 19 4.1 AZ NTGRÁLSZÁMÍTÁS ALAPTÉTLÉNK LSŐ RÉSZ. 19 4.2 AZ NTGRÁLHATÓ FÜGGVÉNYK TR... 23 4.3 KONVRGNCATÉTLK... 27 5. FJZT... 33 5.1 ÖSSZHASONLÍTÁS... 33 5.2 UTÓSZÓ... 37 RODALOM... 39 2

1. FJZT BVZTŐ A mtemtiki nlízis egyik legfontos kérdése függvénygöre ltti terület kiszámítás, mely megoldás htározott integrál foglmánk evezetéséhez vezetett. A htározott integrálás szemléletesen zt jelenti, hogy kiszámítjuk z f:, függvény grfikonj és z x-tengely közti területet. zzel szemléletes képpel tová gondolkodv először természetesen z dódik, hogy integrálni cskis nemnegtív értékű folytonos függvényeket lehet. Késő kiterjesztették z integrálás foglmát egyre szélese függvényosztályokr is, megfelelő gyengé feltételek mellett mind nemnegtivitás, mind pedig folytonosság követelménye elhgyhtó. Szkdolgoztom célj, hogy emutssm npjinkig kilkult integrálfoglmk közül jelentőseeket 2. fejezeten Riemnn- és Leesgue-integrált, 3. fejezeten Henstock-Kurzweil- és McShne-integrált. Az idők folymán rengeteg integrálfoglom fejlődött ki, közöttük sok ekvivlens, vgy éppen kevésé hsználhtó. zek után 4. fejezeten z lái szempontok szerint megvizsgálom, hogy melyik integrál jo, vgy kevésé jó, mint másik. zek szempontok: 1) A Newton-Leiniz szály lklmzhtóság, zz, hogy z ntegrálszámítás lptételének első része milyen feltételek mellett mondhtó ki. Röviden z f = f f() formul fennállását vizsgáljuk. 2) Az integrálhtó függvények terének tuljdonsági, zz evezetjük távolság, és norm foglmát, mjd megvizsgáljuk, hogy ezekkel z dott tér teljes-e. 3) A különöző konvergencitételek fennállását nézzük meg, ezek Monoton, Dominált és Korlátos Konvergenci tételei. Röviden, megvizsgáljuk z lim k f k = lim k f k egyenlőség teljesülését. 3

Az 5. fejezeten összefogllom 4. fejezet levezetéseit és eredményeit, látni fogjuk, hogy melyik integrálfoglom ekvivlens másikkl, vgy éppen trtlmzz másikt, és ezeket kpcsoltokt árázolom. Az integrál evezetésének két módját különöztetjük meg, z egyik konstruktív, másik leíró, vgy xiomtikus. A konstruktív evezetés lényege, hogy először megfoglmzzuk mgát definíciót, mjd ól vezetünk le tuljdonságokt. lyen módon fogjuk evezetni Riemnn-, Henstock-Kruzweil- és McShne-integrálokt. A leíró evezetés lényege, hogy elő tuljdonságokt ismertetjük, melyeket elvárunk definiálni kívánt foglomtól, mjd ezek után megkonstruáljuk megfelelő definíciót, mi teljesíti tuljdonságinkt. Axiomtikus értelmezést fogunk látni Leesgue-integrál esetéen. Folytonos függvények integráljár először Cuchy (1789-1857) dott minden eseten ellenőrizhető eredményt szolgálttó definíciót. Riemnn (1826-1866) kérdése z volt, hogy milyen nem feltétlenül folytonos függvények esetén értelmes még integrálról eszélni. Ő lkotott először áltlános definíciót z integrálhtó függvények osztályánk értelmezésére. Késő evezették Riemnn-integrál egy áltlános verzióját, mellyel nem korlátos intervllumon vgy nem korlátos függvényeket lehet integrálni, ezt z elméletet nevezzük improprius Riemnn-integrálásnk. A Riemnn-integrál definícióját sokn áltlánosították, köztük Henstock (1923-2007), Kurzweil (1926 - ) és McShne (1904-1989), hol is Riemnn-féle definíció módosításávl z integrálhtó függvények egy őve osztályát kpjuk, sok korán nem szereplő tuljdonsággl. Leesgue (1875-1941) volt z, ki ezektől definícióktól eltérően teljesen másként állt hozzá z integrál értelmezéséhez. Ő nem zt dt meg, hogy mi is vlóján egy függvény Leesgue-integrálj, hnem zt, hogy milyen tuljdonságokkl kell rendelkeznie ennek z integrálnk. Tehát minden ún. mérhető, és például nemnegtív függvényhez hozzárendelt egy számot, de ezt számot nem dt meg, csk tuljdonságit. zekől tuljdonságokól következtetett mgár definíciór. 4

Denjoy (1884-1974) kidolgozt sját integrálelméletét, mely meglehetősen technikás, ezért een dolgoztn nem is lesz ról őveen szó. Késő dtk rá egy sokkl egyszerű jellemzést, de még z is meglehetősen onyolult volt. Perron (1880 1975) szintén meglkotott egy integrálfoglmt, mely látszólg teljesen különözik Denjoy definíciójától, ennek ellenére eizonyították, hogy két integrál ekvivlens. Sőt z is eláthtó, hogy Denjoy és Perron áltl evezetett foglmk ekvivlensek z szolút Henstock-Kurzweil- és McShne-integrálll. A dolgoztom során következő jelöléseket fogom hsználni z egyszerűség és közérthetőség mitt. Mivel sokféle integrálelméletről lesz szó, ezért megkülönöztetésül következő jelöléseket fogom lklmzni: Riemnn (R) f, Leesgue (L) f, Henstock- Kurzweil (HK) f, McShne (MS) f. A krkterisztikus függvény szintén sok helyen fog előfordulni, ezért itt definiálom: x = függvénye. 1, x 0, x lesz z hlmz krkterisztikus 2. FJZT 2.1 A RMANN-NTGRÁL FOGALMA Georg Friedrich Bernhrd Riemnn 1854-en definiált először z integrál foglmát, mit ról Riemnn-integrálnk neveznek. z volt z első modern integrálelmélet és rendelkezik néhány, z integrálástól elvárt tuljdonsággl. A Riemnn-integrálnk vnnk zonn komoly hiányossági, melyek mtemtikusokt egy ennél áltlános foglom kigondolásár ösztönözték. A htározott integrál evezetését leginká függvénygöre ltti terület kiszámítás motivált. A definícióhoz szükségünk vn néhány elnevezésre és jelölésre. lőször Drouxféle definíciót nézzük meg, mely jon érzékelteti, hogy egy dott függvény göréje ltti területet krunk meghtározni. z definíció 21 évvel késő, 1875-en született, mint Riemnn definíciój. 5

Az, intervllum egy felosztásán olyn x 0, x 1,, x n soroztot (jelölje F) értünk, melyre = x 0 < x 1 < < x n =. Legyen f:, korlátos függvény és legyen m i = inf f x : x i 1 x x i és M i = sup f x : x i 1 x x i minden i = 1,, n-re. Értelmezzük továá z f függvény F felosztáshoz trtozó lsó-, illetve felső közelítő összegét: s F f = n n i=1. i=1 m i x i x i 1, vlmint S F f = M i x i x i 1 f M 1 m 1 = x 0 x 1 x 2 x n-1 x n = Vizsgáljuk meg először, hogy mindig vn-e egy vgy tö olyn szám, mi két összeg között vn. Definíció 2.1.1: Azt mondjuk, hogy z F felosztás z F felosztás finomítás, h F minden osztópontj F -nek is osztópontj. Lemm 2.1.2: Legyen f z, intervllumn korlátos függvény, és legyen F felosztás z F felosztás finomítás. kkor s F s F és S F S F. Lemm 2.1.3: H F 1 és F 2 z *,+ intervllum két tetszőleges felosztás, kkor s F1 S F2. Azz, egy dott f korlátos függvényre, ármely felosztáshoz trtozó lsó összeg legfelje kkor, mint ármely más felosztáshoz trtozó felső összeg. 6

Definíció 2.1.4: Legyen f:, korlátos függvény és jelölje P z, intervllum felosztásink hlmzát. Az f függvényt z, intervllumn Riemnn-integrálhtónk nevezzük, h sup F P s F = inf F P S F. A sup F P s F = inf F P S F számot z f függvény, intervllumhoz trtozó Riemnn-integráljánk nevezzük, és (R) f(x) dx-szel jelöljük. Az integrál evezetésénél fontos szerep jutott nnk, hogy csk korlátos függvényekkel fogllkoztunk. gy nem korlátos függvény esetéen előfordulht, hogy z lsó összeg, felső összeg pedig +. Az integrálhtóság egy szükséges és elégséges feltételét fogjuk most megfoglmzni, mi már lklms lesz rr, hogy tová áltlánosítsuk z integrál foglmát, lásd 3. fejezeten. Definíció 2.1.5: Az f:, függvénynek z F: = x 0 < x 1 < < x n = felosztáshoz és c i vektorhoz, mint közülső helyekhez trtozó közelítő összegén z n F f, c i = f c i (x i x i 1 ) i=1 összeget értjük, hol c i x i 1, x i (i = 1,, n). A következő tételt néh szokás definícióként is kimondni. lyen eseten nincs szükség z lsó és felső közelítő összegek evezetésére. Mg Riemnn is ezzel tétellel definiált z integrálhtóságot. Tétel 2.1.6: gy korlátos f:, függvényre kkor és csk kkor teljesül, hogy Riemnn-integrálhtó és z integrálj, h tetszőleges ε > 0-hoz vn olyn F felosztás z, intervllumnk, melyhez trtozó ármely F közelítőösszegre F < ε. Az lái állítás egy fontos elégséges feltételt d z integrálhtóságr. Tétel 2.1.7: H f folytonos, -n, kkor Riemnn-integrálhtó, -en. zt tételt egy kicsit ngyo áltlánosságn is ki tudjuk mondni. Tétel 2.1.8: H f korlátos, -en, és itt véges számú hely kivételével folytonos, kkor Riemnn-integrálhtó is, -en. 7

Tétel 2.1.9: (Newton-Leiniz-szály): Legyen f folytonos, -en, differenciálhtó, -en, és f integrálhtó, -en, ekkor f x dx = f f. Bizonyítás: Legyen = x 0 < x 1 < < x n = z, intervllum egy felosztás. A Lgrnge-középértéktétel szerint minden i-re vn olyn c i x i 1, x i pont, melyre f x i f x i 1 = f c i x i x i 1 teljesül. H ezeket összedjuk minden i = 1,, n-re, kkor l oldlon minden tg kiesik, kivéve f x n = f() és f x 0 = f(). Így zt kpjuk, hogy n f f = f (c i ) x i x i 1. i=1 z zt jelenti, hogy ármely felosztáshoz vnnk olyn közülső c i pontok, hogy z f függvénynek ezekkel közülső helyekkel vett közelítő összege éppen f f(). ől következik, hogy z f f() szám minden felosztásr z lsó összeg és felső összeg között helyezkedik el. Mivel f integrálhtó, ezért csk egyetlen ilyen szám vn: f integrálj. 2.2 A LBSGU-NTGRÁL FOGALMA A Riemnn-integrál rendelkezik jó néhány elvárt és hsznos tuljdonsággl, de vnnk hiányossági is. Például z, hogy z integrálszámítás lptételénél túl sokt kell megkövetelni tétel igzság érdekéen, vgy hogy csk speciális eseten mondhtók ki konvergencitételek. zekkel részleteseen 4. fejezeten fogllkozunk. H. Leesgue (1875-1941) le proléme d intégrtion (Az integrálhtóság prolémáj) címmel dolgozt ki elméletét. Mi is z ő útját fogjuk követni z integrálfoglmánk evezetése során. 8

Legyen f egy véges, intervllumon értelmezett korlátos függvény. hhez z f-hez szeretnénk hozzárendelni egy vlós számot, melyet (L) f(x) dx-szel fogunk jelölni és ettől vlós számtól megköveteljük, hogy teljesítse következő 6 tuljdonságot: Legyen,, c,, ekkor + + 1) (L) f x dx = (L) f x dx. 2) (L) f(x) c dx + (L) f x dx + (L) f x dx = 0. 3) (L) f x + φ(x) dx = (L) f x dx + (L) φ x dx. 4) H f 0 és >, kkor (L) f x dx 0. 1 5) (L) 1 dx = 1. 0 9 c 6) H f k k=1 monoton növő módon trt f-hez, kkor (L) f k x dx (L) f x dx. Más szóvl, leírtuk zokt tuljdonságokt, melyeket szeretnénk, hogy teljesítsen z integrálás, mjd ezután megpróálunk következtetni definíciór ezekől tuljdonságokól. Az ilyen definiálást leírónk nevezzük, szemen konstruktív definiálássl, hol elkészítünk egy ojektumot, mjd definícióól vezetjük le tuljdonságit. Konstruktív definícióvl értelmeztük Riemnn-integrált, és így fogjuk értelmezni Henstock-Kurzweil-, és McShne-integrált is. zeket tuljdonságokt feltételezve levezethetőek következők: ) H f g kkor f x dx g x dx. ) 1 dx =. c) Minden α -re αf x dx = α f x dx. d) 0 dx = 0. e) f x dx f(x) dx. Az első 5 tuljdonsággl rendelkezik Riemnn-integrál is. Tehát 6. tuljdonság z, mivel Leesgue integrálj töet tud. Tegyük fel, hogy f:, korlátos. Rögzítsünk le egy l és L konstnst úgy, hogy l f < L. Legyen dott egy P = l 0, l 1,, l n felontás l, L intervllumnk, hol

l 0 = l, l n = L és l i < l i+1 minden i = 1,, n-re. tt megjegyezhetjük, hogy ez felosztás függőleges tengelyt osztj fel, nem pedig vízszinteset, hogy zt Riemnn-integrálás során megszoktuk. Legyen továá i = x, : l i 1 f(x) < l i minden i = 1,, nre. Tekintsük következő φ függvényt: n φ x = l i 1 i x. i=1 n = 6 l = L 6 l 5 f l 4 l 3 1 2 l 2 3 4 3 4 5 6 5 l 1 l = l 0 kkor φ f z, -n és z integrál lineritás mitt φ x dx = l i 1 i x dx. Most rögzítsünk le egy P 0 = l 0, l 1,, l n felontást és definiáljuk P k k=1 soroztot: 1) P k legyen finomítás P k 1 -nek minden k = 1,2, -r. 2) μ P k 1 2 μ P k 1 minden k = 1,2, -r, hol μ finomság mértéke. A finomság z osztópontok között fellépő legngyo távolság. Legyen φ k hsonlón értelmezve, mint φ, csk P k felosztássl. kkor φ k k=1 sorozt monoton növően trt f-hez. Vlóján, konstrukció mitt, 0 f φ k < μ P k és n i=1 10

μ P k 0, tehát φ k k=1 egyenletesen konvergál f-hez z, -n. Következésképpen 6- os tuljdonságot lklmzv kpjuk, hogy φ k f. Tehát hhoz, hogy kiértékeljük z f integrálját, elég, h ki tudjuk számolni φ k -k integrálját, mihez viszont x dx kiszámítás kell. Leesgue zt mondt, hogy hhoz, hogy ki tudjuk számolni egy függvény integrálját elég, h ki tudjuk számolni z olyn függvények integrálját, melyek csk 0-t és 1-et vesznek fel. vvel redukált prolémát rr, hogy hogyn lehet tetszőleges hlmz méretét meghtározni. A cél tehát z, hogy minél tö hlmzhoz hozzá tudjunk rendelni egy m nemnegtív számot, mely rendelkezik következő 3 tuljdonsággl: 1) Az egyevágó hlmzok mértéke ugynz legyen. 2) gy véges vgy megszámlálhtón végtelen páronként diszjunkt hlmzokól álló unió mértéke legyen egyenlő hlmzok mértékének összegével. 3) A 0,1 hlmz mértéke legyen 1. Az eddigieket összefogllv tehát Leesgue-integrál definíciójánk lépései: mérték foglmánk evezetése, mérhető hlmzok és függvények megismerése, lépcsősfüggvények integráljánk definiálás, mjd ezek segítségével mérhető függvények integráljánk értelmezése.. Külső mérték: Az intervllumhossz (l-el jelöljük) foglmát szeretnénk kiterjeszteni áltlános hlmzokr, úgy hogy hossz tuljdonsági megmrdjnk. gy véges vgy megszámlálhtón végtelen hlmzrendszer jelölésére σ-t fogjuk hsználni. Definíció 2.2.1: Legyen. Értelmezzük z hlmz külső mértékét, m -t, következőképpen: m = inf jεσ l j, hol j j σ nyílt intervllumok rendszere, és Beizonyíthtó, hogy külső mérték z lái tuljdonságokt teljesíti: 1) m monoton, zz h F, kkor m (F) m (). 2) H egy intervllum, kkor m = l(). 3) m szudditív, zz h i, minden i σ-r, kkor m i σ i i σ m i. j σ j. 11

ől következik, hogy h egy megszámlálhtó hlmz, kkor m = 0.. Leesgue-mérték: Az m nem megszámlálhtón dditív. Hogy zzá tegyük, le kell szűkítenünk z értelmezési trtományát egy lklms P( )-eli hlmzrendszerre. zen hlmzrendszer tgjit nevezzük Leesgue-mérhető hlmzoknk. Leesgue következő feltételt dolgozt ki mérhető hlmzokr. Legyen =, egy zárt korlátos intervllum, és, vlmint definiáljuk z első mértékét z m = m (\) képlettel. Leesgue zt mondt, hogy egy hlmz mérhető, h m = m (). z feltétel ekvivlens zzl, hogy m = m + m (\). zzel z j, hogy nem értelmes tetszőleges hlmzr, ugynis mértéke. A megoldást Constntin Crthéodorynk köszönhetjük. Az volt z ötlete, hogy minden hlmzt vizsgáljunk meg, ne csk zt, mi trtlmzz -t. Crthéodory feltétele: gy hlmz kkor mérhető, h minden A -re m A = m A + m (A\). Megmutthtó, hogy két mérhetőségi foglom ugynz. Definíció 2.2.2: Legyen M Leesgue-mérhető hlmzokól álló hlmzrendszer. m megszorítását M-re nevezzük Leesgue-mértéknek. Jele: m = m M. kkor nyilván, h M, kkor m = m (). Az üreshlmz, z intervllumok és Leesgue-mérhetőek.. Mérhető függvények: Legyen =, +. A lépcsősfüggvényeket úgy értelmezzük, hogy csk véges sok értéket vehetnek fel, és zok mindegyike vlós. Minden φ lépcsősfüggvénynek létezik knonikus lkj: legyenek 1,, m különöző m vlós számok és i = x: φ x = i, i = 1,, m. kkor φ x = i=1 i i x. Definíció 2.2.3: Legyen egy mérhető hlmz -en. Azt mondjuk, hogy z f: vlós értékű függvény Leesgue-mérhető, h minden α -re x : f(x) > α M. gy lépcsősfüggvény kkor és csk kkor mérhető, h knonikus lkján szereplő minden, i hlmz mérhető. V. Leesgue-integrál: Az integrál foglmát először lépcsősfüggvényekre vezetjük e, mjd ól áltlánosítunk. Legyenek z i intervllumok páronként diszjunktk, és f x = k i=1 i i (x). kkor + L f x dx = i m i. k i=1 12

Ugynígy szól definíció h z i intervllumok helyett mérhető hlmzok szerepelnek z f függvény definícióján. A lépcsősfüggvények segítségével tudjuk kiterjeszteni z integrált nemnegtív mérhető függvényekre. Definíció 2.2.4: Legyen M és f: Leesgue-integrálját z lái formulávl: nemnegtív, mérhető függvény. Definiáljuk f L f x dx = sup (L) φ x dx: 0 φ f és φ lépcsősfüggvény Az f függvény nemnegtivitás elhgyhtó következőképpen: egy f mérhető függvény Leesgue-integrálj egyenlő pozitív részének Leesgue-integrálj mínusz negtív részének Leesgue-integráljávl. Csk z olyn függvények integrálját értelmezzük, hol nem lép fel eset. Nyilvánvlón mind pozitív rész, mind negtív rész nemnegtív, mérhető függvények, zoknk meg z imént értelmeztük Leesgueintegrálját. A Leesgue-integrál fontos sjátosság, hogy nem érzékeny rr, hogy függvényt néhány helyen (pontosn nullmértékű hlmzon) átdefiniáltuk, zz mondjuk olyn értékeket dtunk neki, melyek mitt már nem lesz folytonos függvényünk, zz pl. nem lesz Riemnn-integrálhtó. Ahhoz, hogy ezt pontosn el tudjuk mondni, szükségünk vn Leesgue-0-mértékű hlmzok definíciójár. Definíció 2.2.5: Legyen. Az -t Leesgue-0-mértékűnek mondjuk, h minden δ > 0-hoz létezik z -nek megszámlálhtó sok nyílt intervllumól álló lefedése, hogy z intervllumok összhossz kise δ-nál. Nyilvánvlón minden véges hlmz Leesgue-0-mértékű, de vnnk olyn nem véges hlmzok is, melyek Leesgue-0-mértékűek. Például megszámlálhtó hlmzok. Most értelmezzük Leesgue-m.m. (Leesgue-mjdnem mindenütt) foglmt. Azt mondjuk, hogy egy tetszőleges állítás z hlmz pontjiról mjdnem mindenütt (m.m.) teljesül, zz mjdnem minden pontr z hlmzól, h csk ezen pontok egy Leesgue-0-mértékű hlmzán nem teljesül. Így tehát m.m. egyenlő függvényeket Leesgue-integrál keretéen egyenlőnek tekintjük, mert z integráljuk ugynz lesz, hiszen z integrálásnál elhgyhtók Leesgue-0-mértékű hlmzokon vett integrálok. 13

3. FJZT 3.1 A HNSTOCK-KURZWL-NTGRÁL A Henstock-Kurzweil-integrál Riemnn-féle definíció egy igen jó áltlánosítás, hiszen nemcsk hogy sokkl tö függvény integrálhtó Henstock-Kurzweil értelemen, hnem sok hsznos tuljdonsággl ír, melyekkel Riemnn-integrál nem, például feltételek nélkül lklmzhtó Newton-Leiniz formul. A Riemnn-integrál definícióján szereplő pozitív szám helyett egy δ. pozitív függvényt értelmezünk. nnek egy ngyon fontos tuljdonság, hogy pontról pontr lklmzkodni tud z f függvény viselkedéséhez. H z f függvény z dott pont körül simán viselkedik, kkor elegendő -t ngynk válsztni, h pedig z dott pont környezetéen ngy ugrási vnnk f-nek, kkor célszerű -t kicsinek válsztni. Az integrál evezetéséhez szükségünk vn címkézett felontás definiálásár. nnek érdekéen megismerkedünk néhány fontos foglomml, jelöléssel. Definíció 3.1.1: Legyen δ. z, -n értelmezett tetszőleges pozitív függvény. 1) Az x, c, d párt címkézett intervllumnk nevezzük, h c, d,, c < d és x c, d. Az x, c, d pár független címkézett intervllum n z eseten, h c, d,, és x,. 2) Azt mondjuk, hogy z x, c, d címkézett intervllum függvényhez trtozik, h c, d x δ x, x + δ(x). Hsonlón definiálhtó -hoz trtozás független címkézett intervllumok esetéen is. A független címkézett intervllum foglmár mjd csk McShne-integrál evezetése során lesz szükségünk. Az x számot hívjuk c, d intervllum címkéjének. Vegyünk egy olyn véges P = x i, c i, d i : i = 1,, n hlmzt, hol c i, d i intervllumoknk nincs közös első pontjuk, zz csk végpontjikn érintkezhetnek. Az ilyen intervllumokt nevezzük nemátlpolónk. zt P címkézett intervllumhlmzt -hoz trtozónk nevezzük, h 14

minden címkézett intervllum P-ől -hoz trtozik. P-t címkézett felontásnk nevezzük, h, = n i=1 c i, d i. A késői izonyítások során szükségünk lesz rr, hogy mérni tudjuk címkézett intervllum méretét, erre evezetjük guge foglmát. Sőt z integrált kár definiálhtnánk guge segítségével is. zt lehetőséget ngyon hsonlón értelmezhető McShneintegrál esetéen részletezzük. Definíció 3.1.2: Legyen dott egy =, zárt intervllum. Értelmezzük γ intervllumértékű függvényt, guge-t, következőképpen: h dott δ:, 0,, kkor γ t = t δ t, t + δ(t). H D = t i, i : i = 1,, n egy címkézett felontás -nek, hol γ guge, kkor D-t γ-méretűnek nevezzük, h i γ t i minden i-re. Beizonyíthtó, hogy h γ egy guge z intervllumon, kkor létezik -nek γ-méretű címkézett felontás. Tekintsük z integrál evezetéséhez szükséges következő jelöléseket. Legyen f z, intervllumon értelmezett függvény, és P = x i, c i, d i : i = 1,, n. kkor legyen: f, P = i f x i (d i c i ) és μ P = i (d i c i ). Most már definiálni tudjuk Henstock-Kurzweil-integrál foglmát: Definíció 3.1.2: 1) Az f, -n értelmezett függvényt Henstock-Kurzweil-integrálhtónk nevezzük, h létezik egy szám következő tuljdonsággl: minden ε > 0-hoz létezik δ:, 0, úgy, hogy f, P < ε teljesül, h P tetszőleges, -hoz trtozó címkézett felontásár z, -nek. Az számot nevezzük z f függvény Henstock- Kurzweil integráljánk, és z lái jelölést hsználjuk = HK 2) Az f függvényt Henstock-Kurzweil-integrálhtónk nevezzük z, Leesgue- mérhető hlmzon, h z f Henstock-Kurzweil integrálhtó. f. 15

Az is eláthtó, hogy elég z f függvényt Leesgue-m.m. értelmezni csk, mert ismert, hogy Leesgue-0-mértékű hlmzon vló megváltozttás nem jelent változást z integrálhtóságn és z integrál értékéen Henstock-Kurzweil-integrál esetéen sem. A következő két állítás muttj meg, hogy Henstock-Kurzweil-integrál jóldefiniált. Tétel 3.1.3: Legyen z, -n értelmezett pozitív függvény. kkor létezik, -nek - hoz trtozó címkézett felontás. Tétel 3.1.4: gy függvény Henstock-Kurzweil-integrálj egyértelmű. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy f Henstock-Kurzweil-integrálhtó z, -n és A, B legyenek z integrálji. Rögzítsünk le egy > 0-t, és legyen γ A, γ B δ A -hoz, illetve δ B -hez trtozó intervllumértékű függvény, melyet γ A t = (t δ A t, t + δ A t ), és γ B t = (t δ B t, t + δ B t ) formul definiál, vlmint z integrál definícióját tekintsük ε = ε -vel. 2 Legyen γ(t) = γ A (t) γ B (t), vlmint δ t = min{δ A t, δ B t }. kkor γ t = (t δ t, t + δ t ). Legyen P egy -hoz trtozó címkézett felontás. kkor P egyúttl γ-hoz is trtozik, zz γ A -hoz és γ B -hez is. zek lpján A B A (f, P) + f, P B < ε + ε = ε. Mivel ε tetszőleges volt, ezért A = B. Beizonyíthtó, hogy Henstock-Kurzweil-integrálr érvényesek z integráltól elvárt lptuljdonságok: Lineritás: Legyen f, g:, kkor αf + βg is z, vlmint és α, β. H f és g Henstock-Kurzweil integrálhtó, (HK) αf + βg = α (HK) f + β (HK) g. Nemnegtivitás: Legyen f:, Kurzweil integrálhtó, ekkor (HK) f 0.. Tegyük fel, hogy f nemnegtív és Henstock- Következmény 3.1.5: Tegyük fel, hogy f és g Henstock-Kurzweil-integrálhtó z, -n és f x g x, x,. kkor (HK) f (HK) g. 16

Következmény 3.1.6: H f szolút integrálhtó, zz f integrálhtó z, -n, kkor (HK) f (HK) f. 3.2 A McSHAN-NTGRÁL FOGALMA Tekintsük következő változttást Henstock-Kurzweil-integrál definícióján. Legyen γ egy guge z intervllumon és legyen D egy γ-méretű címkézett felontás z -nek. Tegyük fel, hogy felhgyunk zzl követelménnyel, hogy h (t, J) D, kkor t J kell, hogy legyen; másszóvl zt tesszük fel, hogy címke lehet J-n kívül is. kkor tehát, még mindig megköveteljük, hogy J: (t, J) D felontás legyen z intervllumnk, és J γ(t) teljesüljön, de most csk nnyit írunk elő ezeken kívül, hogy t legyen. nnek kiterjesztésnek z elméletét ugynilyen meggondolásokkl. J. McShne (1904-1989) dolgozt ki. Minden γ-méretű címkézett felontás z -nek kielégíti ezt z új definíciót, de D trtlmzht még más hlmzokt is. zért minden McShne-integrálhtó függvény Henstock-Kurzweil-integrálhtó is, de nem minden Henstock-Kurzweil-integrálhtó függvény McShne-integrálhtó. Látni fogjuk, hogy minden szolút Henstock-Kurzweil-integrálhtó függvény Leesgue-integrálhtó, és Leesgue-integrál ekvivlens McShne-integrálll. zek után vezessük e pontosn megfoglmzv McShne-integrál foglmát. Legyen * egy zárt intervllum (esetleg nem korlátos) és legyen f:. Mindig tekinthetünk f-re úgy, hogy ki vn terjesztve z egész *-r; méghozzá legyen f z -n kívül 0, vlmint f = f = 0. Definíció 3.2.1: Legyen * egy zárt intervllum. A D-vel jelölt független címkézett felontás rendezett párok egy véges rendszere. Feltesszük továá, hogy D = t i, i : i = 1,, m úgy, hogy i egy zárt részintervllum z -nek és i =. Az i -k nemátlpoló intervllumok és t i. m i=1 17

Definíció 3.2.2: Legyen D = t i, i : i = 1,, m egy független címkézett felontás z -nek és legyen γ egy guge z -n. Azt mondjuk, hogy D γ-méretű, h i γ(t i ) minden ire. Az integrál értelmezéséhez szükséges megemlíteni, hogy γ-méretű független címkézett felontás mindig létezik. gy ugynilyen állítást Henstock-Kurzweil-integrál esetéen is elmondtunk, csk ott γ-méretű címkézett felontásokr. Az integrál foglmát Henstock- Kurzweil-integráléhoz nlóg módon is evezethetnénk, de most guge foglmát felhsználv fogjuk zt értelmezni. A két értelmezés nyilván ekvivlens egymássl. És ehhez hsonlón, Henstock-Kurzweil-integrált is evezethettük voln guge segítségével. Definíció 3.2.3: Legyen f: *. Az f függvényt McShne-integrálhtónk nevezzük z intervllumon, h létezik olyn A, hogy minden ε > 0-hoz vn olyn γ guge z -n, hogy minden D γ-méretű független címkézett felontásár z -nek f, D A < ε. Az A számot hívjuk z f McShne-integráljánk és A = (MS) f-fel jelöljük. Néhány megfigyelés zonnl következik Henstock-Kurzweil-integrálr vontkozó megfelelő tételől. Például, minden McShne-integrálhtó függvény egyen Henstock- Kurzweil-integrálhtó is, és z integrálok megegyeznek. Vlmint hsználv Henstock- Kurzweil-integrál egyértelműségét kpjuk, hogy McShne-integrál is egyértelmű. Gondoljuk meg 3.2.3 definíciónk megfelelően, hogy egy zárt intervllum + krkterisztikus függvénye Henstock-Kurzweil-integrálhtó és z integrálj (MS) = l(). H -nek vnnk végpontji és, <, kkor legyen γ t = (, ) minden t (, ) esetén, γ = ε 4, + ε 4, γ = ( ε, + ε ) és h t [, ], kkor γ(t) legyen 4 4 egy, -től diszjunkt intervllum. kkor könnyen eláthtó, hogy minden γ-méretű független címkézett D felontásr f, D ( ) < ε. zek után néhány fontos lptuljdonságot írunk le izonyítás nélkül, melyeket ngy részen már Henstock-Kurzweil-integrálnál is láttunk. 1) Legyen f, g: * McShne-integrálhtó z -n. kkor Lineritás: H α, β, kkor αf + βg McShne-integrálhtó és 18

(MS) αf + βg = α(ms) f + β(ms) g. Nemnegtivitás: H f g z egész -n, kkor (MS) f (MS) g. 2) Cuchy-kritérium: Az f: függvény kkor és csk kkor McShne-integrálhtó z -n, h minden ε > 0-hoz létezik egy γ guge úgy, hogy h D 1 és D 2 két γ-méretű független címkézett felontás z -nek, kkor f, D 1 (f, D 2 ) < ε. 3) Legyen egy zárt, korlátos részintervllum -nek. H f: folytonos z -n, kkor f McShne-integrálhtó is z intervllumon. 4) Legyen < c < +. kkor f McShne-integrálhtó z, -n pontosn kkor, h f McShne-integrálhtó z, c -n és c, -n, továá (MS) f = (MS) f + (MS) f. Most megnézzük, hogy mi különség McShne-integrál és Henstock-Kurzweilintegrál között. Nevezetesen zt tekintjük, hogy McShne-integrálhtó függvények szolút integrálhtók, míg Henstock-Kurzweil-integrálhtók nem. c c Tétel 3.2.4: Legyen f: McShne-integrálhtó z -n. kkor f is McShneintegrálhtó z -n, vlmint f f. 4. FJZT 4.1 AZ NTGRÁLSZÁMÍTÁS ALAPTÉTLÉNK LSŐ RÉSZ Az irodlomn derivált integrálhtóságár vontkozó tételt nevezik z integrálszámítás lptétele első részének. z tétel kpcsolj össze htározott 19

integrálás és differenciálás műveletét, és látni fogjuk, hogy ez két művelet izonyos értelemen egymás inverzének tekinthető. Legyen z f:, formul fennállását vizsgálj: f = f f. differenciálhtó z, -n és deriváltj f. A tétel következő Tétel 4.1.1 : Tegyük fel, hogy f:, kkor fennáll, hogy (R) f = f f. és f Riemnn-integrálhtó z, -n. zt tételt izonyítottuk e 2.1.9-es tételen. A 4.1.1-es tételen lényeges feltevés f Riemnn-integrálhtóság. A következő péld zt fogj muttni, hogy e nélkül tétel nem is igz. Péld 4.1.2: Definiáljuk z f : *0,1+ függvényt következőképpen: f x = x2 cos π x 2, 0 < x 1 0, x = 0. kkor f differenciálhtó *0,1+-en, és deriváltj f x = 2x cos π x 2 + 2π x sin π x 2, 0 < x 1 0, x = 0. Láthtó, hogy f nem korlátos 0,1 -en, tehát nem is Riemnn-integrálhtó. Belátjuk, hogy ez z f nem is Leesgue-integrálhtó, tehát z integrálszámítás lptételének első része Leesgue-integrál esetéen sem mondhtó ki teljes áltlánosságn. Ahhoz, hogy tételt kimondhssuk, elegendő feltenni, hogy derivált korlátos legyen. Mivel f 0 környezetéen válik nem korlátossá, ezért legyen 0 < < < 1. kkor f folytonos z, -n, tehát Riemnn-integrálhtó, ezért lklmzhtó 4.1.1 tétel, miől (felhsználv, hogy Leesgue-integrál Riemnn-integrál kiterjesztése z itteni feltétek esetén): 20

(L) f = 2 cos π 2 2 cos π 2. Nézzük következő két soroztot: k = 1 2k és k = 2 k 4k+1 f = 1. Az k, k intervllumok páronként diszjunktk, ezért k 2k L f L f 0 1 k=1 k k k=1 1 2k =.. kkor látjuk, hogy Tehát fel kell tennünk z integrálszámítás lptételéhez, hogy f Leesgue-integrálhtó legyen. nnél egy kicsit gyengé tételt is kimondhtunk, speciális esetét, lásd 4.1.4- s tételen. Tétel 4.1.3: Legyen f:, differenciálhtó z, -n és f Leesgue- integrálhtó z, -n. kkor (L) f = f f. Tétel 4.1.4: Legyen f:, korlátos. kkor f Leesgue-integrálhtó z, -n és L differenciálhtó z, -n és tegyük fel, hogy f f = f f A 4.1.2 példán lévő f nem korlátos volt ellenére Henstock-Kurzweil-integrálhtó és integrálj 0,1 -en 1. Most elátjuk, hogy Henstock-Kurzweil integrálr teljes áltlánosságn elmondhtó z integrálszámítás lptételének első része. Tétel 4.1.5: Legyen f:,. folytonos és megszámlálhtón sok pont kivételével differenciálhtó, kimrdó pontok lkossák C = c n hlmzt. kkor z f (mit C pontjin 0-nk definiálunk) Henstock-Kurzweil-integrálhtó z, intervllumon, továá z (HK) f = f z f(), minden z, mellett. A tétel izonyításához szükségünk vn z ún. Terpeszállás lemmár, mely rról szól, hogy differenciálhtóság definícióján f u kicserélhető egy olyn f (y)-r, hol z y 21

z u és v között vn, z u, v pontok pedig egy y fölé gondolt y δ, y + δ terpesze esnek. Lemm 4.1.6: Legyen f:, ε > 0-hoz létezik egy y-tól függő δ > 0 úgy, hogy differenciálhtó z y, pontn. Minden f v f u f y (u v) ε(v u) n z eseten, h u, v, és y δ < u y v < y + δ. Bizonyítás: Rögzítsük le z ε > 0-t és legyen y,. Mivel f differenciálhtó z yn, ezért vn egy δ(y) > 0 úgy, hogyh x, és 0 < x y < δ(y), kkor f x f(y) x y Átszorozv x y -nl, zt kpjuk, hogy f (y) < ε. f x f y f y (x y) ε x y, mi kkor is érvényes, h x = y. Tegyük fel ezek után, hogy u, v, és y δ y < u y v < y + δ(y). kkor f v f u f y (v u) = f v f y f y (v y) + f y f u f y (y u) f v f y f y (v y) + f y f u f y (y u) ε v y + ε y u = ε(v u). z után lemm után izonyítsuk e 4.1.5-ös tételt. Bizonyítás: Legyen ε > 0. Definiáljuk Henstock-Kurzweil integrál értelmezéséhez szükséges függvényt következőképpen: h x C, kkor, mivel z f differenciálhtó z x-en, ezért létezik δ(x) > 0 úgy, hogy f u f x f x (u x) ε u x, u x δ x, x + δ(x),, ( ) h pedig x = c n, kkor z f folytonosság mitt vn olyn δ(x) > 0, melyre f u f(v) < ε2 n, u, v x δ x, x + δ(x),. ( ) Legyen P = x i, i, i : i n egy -hoz trtozó címkézett felontás z, -nek, és legyen J 0 zon i indexekől álló hlmz, melyre x i C, vlmint J 1 álljon kimrdó indexekől. Legyen továá P 0 és P 1 részei P-nek úgy, hogy P 0 csk J 0 -eli indexű x i - ket trtlmz, P 1 meg csk J 1 -elieket. 22

A izonyítás következő lépéséhez felhsználjuk Terpeszállás lemmát. A lemm állítását lklmzv ( ) sorr kpjuk, hogy f( i ) f i f (x i )( i i ) ε i i. Vegyük észre továá, hogy i J 0 f i f i 2ε. z n z eseten, h minden x i melyre i J 0, különöző, ( ) soról következik. Az áltlános eseten, mikor z x i lehet két egymás utáni intervllumnk megegyező végpontj, (zz [ i, i ], j, j esetén i = j = x i = x j ), kkor vnnk olyn tgok z összegen, melyeket kétszer számoltunk, zért tudunk 2ε-nl ecsülni. kkor kihsználv feltevésünket, miszerint f = 0 C hlmzon, nyerjük, hogy f, P [f f ] f, P 1 i J 1 [f i f i ] + i J 0 f i f i ε + 2ε. Most megvizsgáljuk z integrálfüggvényeket és hozzájuk kpcsolódó tételt, z integrálszámítás lptételének második részét Henstock-Kurzweil-integrál esetéen. Azért csk een z eseten, mert csk így lesz későiek során rá szükségünk. Figyeljük meg, hogyh z f függvény folytonos z x pontn, kkor ott z integrálfüggvénye (F) differenciálhtó, hol F x = (R) f t dt. Tétel 4.1.7: Legyen f:, Henstock-Kurzweil-integrálhtó z, -n és folytonos z x, pontn. kkor z f integrálfüggvénye F differenciálhzó z x-en és F x = f(x). Most már kimondhtjuk z integrálszámítás lptételének második részét. Tétel 4.1.8: Tegyük fel, hogy f:, x Henstock-Kurzweil-integrálhtó. kkor F differenciálhtó mjdnem minden x, pontn és F x = f(x). 4.2 AZ NTGRÁLHATÓ FÜGGVÉNYK TR en részen megismerkedünk Riemnn-, Leesgue- és Henstock-Kurzweilintegrálhtó függvények tereivel, és megvizsgáljuk zok tuljdonságit. gy fontos szempont tér teljessége, mi zt jelenti, hogy minden Cuchy-sorozt konvergens, és konvergál egy téreli függvényhez, vlmint minden konvergens sorozt Cuchy tuljdonságú. Látni fogjuk, hogy ezzel tuljdonsággl csk Leesgue-integrálhtó függvények tere rendelkezik. lőször nézzük Leesgue-integrálhtó függvények terét. 23

Legyen X egy nemüres hlmz, és d: X x X [0, ) ún. távolságfüggvény z X-en következő tuljdonságokkl: x, y, z X esetén 1) d x, y = d(y, x) 2) d x, z d x, y + d(y, z) 3) d x, y = 0 kkor és csk kkor, h x = y. A d x, y = x y távolságfoglmt szokták leggykrn hsználni. z z ún. euklideszi távolság. Most definiáljuk félnorm és norm foglmát, norm függvény 0, ), és x, y X esetén félnorm tuljdonsági:. : X 1) x 0 2) tx = t x t 3) x + y x + y, vlmint félnormát normánk nevezzük, h még teljesül 4) x = 0 kkor és csk kkor, h x = 0 is. Az. félnorm z X-en indukál egy féltávolságot, d x, y = x y képlettel. z egy ún. féltávolság n z értelemen, hogy távolság 3)-s tuljdonságát csk félig teljesíti. Legyen Leesgue-mérhető hlmz és L 1 () legyen z -n Leesgue-integrálhtó függvények hlmz. Definiáljunk egy félnormát (. 1 ) z L 1 () téren és nevezzük L 1 - normánk: f 1 = (L) f. z indukál egy féltávolságot: d 1 f, g = f g. Mivel f 1 = 0 kkor és csk kkor, h f = 0 mjdnem mindenütt z -n, ezért z. 1 nem lesz norm, és d 1 sem lesz távolság. Azonn, h zonosítjuk zokt függvényeket, melyek mjdnem mindenütt megegyeznek, kkor már. 1 norm lesz, és d 1 pedig távolság. Legyen d egy féltávolság z X-en. Az x k k=1 X sorozt konvergál z x X-hez, h minden ε > 0-hoz vn olyn N, melyre d x, x k < ε, h k N. Az x k k=1 soroztot Cuchy-soroztnk nevezzük, h minden ε > 0-hoz létezik N, mire minden j, k N 24

esetén d x j, x k < ε. A háromszög-egyenlőtlenség mitt minden konvergens sorozt egyen Cuchy-sorozt is. gy félmetrikus teret teljesnek nevezünk, h minden Cuchy-sorozt konvergál egy X-eli számhoz. A teljesség egy ngyon fontos tuljdonság, hiszen így elég megmuttni, hogy egy sorozt Cuchy, és ól már következik, hogy konvergens is. F. Riesz (1880-1956) és. Fischer (1875-1954) megállpították, hogy z L 1 () tér teljes d 1 féltávolsággl. Tétel 4.2.1: Legyen egy Leesgue-mérhető hlmz, és legyen f k k=1 egy Cuchysorozt z L 1, d 1 -en. kkor létezik egy f L 1 () függvény úgy, hogy z f k k=1 sorozt konvergál f-hez d 1 szerint. zzel ellentéten megmuttjuk, hogy Riemnn-integrálhtó függvények tere nem teljes. Legyen R, z, -n Riemnn-integrálhtó függvények tere. Péld 4.2.2: Definiáljuk z f k : 0,1 -t következőképpen: f k x = 0, 0 x 1 k x 1 2 1, x 1. k Könnyű ellenőrizni, hogy f k k=1 Cuchy-sorozt z R 0,1, d 1 téren. Azonn nem konvergál egy R 0,1 -eli függvényhez sem. Tegyük fel ehhez indirekt, hogy egyenletesen konvergál egy f-hez d 1 szerint. A 4.3.1-es tétel mitt z f k k=1 konvergál d 1 szerint egy g: 0,1 függvényhez, mi g x = 0, x = 0 x 1 2, 0 < x 1 Így persze f = g mjdnem mindenütt 0,1 -en. z z f nem Riemnn-integrálhtó, hiszen nem korlátos 0,1 -en. Most elátjuk, hogy Henstock-Kurzweil integrálhtó függvények tere sem teljes. tt nem hsználhtó z elő definiált L 1 -norm, mert például 4.1.2-es példán szereplő f Henstock-Kurzweil-integrálhtó, de f már nem. Azonn értelmezhető itt is félnorm következőképpen: 25

Definíció 4.2.3: Legyen =, és legyen HK z -n Henstock-Kurzweilintegrálhtó függvények tere. H f HK(), kkor f Alexiewicz-féle félnormáj következő: f = sup x f : x. Ugynúgy, mint Leesgue-integrálnál, h egyenlőeknek tekintjük zokt függvényeket, melyek Leesgue-m.m. megegyeznek, kkor z elő értelmezett Alexiewitz-féle félnorm norm lesz HK() téren. Most megmuttjuk, hogy HK() tér nem teljes z Alexiewitz-féle félnormávl. hhez zonn szükségünk lesz Weierstrss-féle pproximációs tételre, melyet ezért elő kimondunk. Tétel 4.2.4: H f egy folytonos függvény z, -n, kkor létezik olyn P n (x) polinomokól álló sorozt, mely egyenletesen trt f-hez z, -n. Péld 4.2.5: Legyen p: 0,1 folytonos és sehol sem differenciálhtó úgy, hogy p 0 = 0. Az előző tétel lpján létezik egy p k k=1 polinomokól álló sorozt, mely egyenletesen konvergál p-hez úgy, hogy p k 0 = 0 minden k-r. Az integrálszámítás lptételének első t része lpján p k t = p 0 k p k p j t = sup (p k p j ) minden t 0,1 esetén. zért : t = sup p k p j (t) : t. Mivel p k k=1 egyenletesen konvergál p-hez, ezért p k k=1 egy Cuchy-sorozt HK( 0,1 ) téren z Alexiewitz-féle félnormávl. Tegyük fel, hogy létezik egy f HK( 0,1 ) függvény úgy, hogy p k f 0, h k. t 0 kkor p k t = p k t f 0 egyenletesen 0,1 intervllumon. Így tehát p t = f. Az integrálszámítás lptételének második része mitt p differenciálhtó m.m. ( deriváltj f), mi ellentmond p definíciójánk. z péld muttt meg nekünk, hogy Henstock-Kurzweil-integrálhtó függvények tere nem teljes. t 0 26

4.3 KONVRGNCATÉTLK en fejezeten zt vizsgáljuk, hogy milyen feltételek mellett cserélhető fel z integrálás és htárértékképzés művelete. Azz, dott egy f k k=1 integrálhtó függvényekől álló sorozt, mely vlmilyen értelemen, mondjuk pontonként trt egy f limeszfüggvényhez, és kérdés z, hogy vjon igz-e, hogy lim k f k = lim k f k. lőször megnézzük, hogy Riemnn-integrálás köréen milyen elégséges feltétel mellett érvényesül fenti egyenlőség. Tétel 4.3.1: Legyen f, f k :, minden k esetén. Tegyük fel, hogy minden f k Riemnn-integrálhtó és z f k k=1 sorozt egyenletesen konvergál z f-hez z, -n. kkor f is Riemnn-integrálhtó teljes, -n, és lim (R) f k = R k f = (R) lim f k. k Az egyenletes konvergenci feltétele eléggé erős, és ezért zt várnánk, hogy lehet helyettesíteni vlmi gyengéel, mondjuk pontonkénti konvergenciávl. rre ellenpéld következő. Péld 4.3.2: Definiáljuk z f k : 0,1 soroztot következőképpen, f k (x) = k 0, 1 k (x). kkor z f k k=1 sorozt pontonként trt 0-hoz, de (R) f k = 1 minden k-r, ezért nem igz 4.3.1. Tétel konklúziój. A Leesgue-integrálhtóság köréen háromfjt konvergencitétellel ismerkedünk meg, és ezek mindegyikéhez gyengé feltételek szükségesek, mint Riemnn-integrál esetéen. Az első tételünk Monoton Konvergenci tétele. Tétel 4.3.3. (A Monoton Konvergenci Tétele): Legyen M (M-et 2.2.2 definíción értelmeztük) és legyen f k k=1 egy nemnegtív, -n értelmezett, mérhető függvényekől álló növekvő sorozt. Legyen még f x = lim k f k (x). kkor (L) f = lim k (L) f k. 1 0 27

nnek egy sokszor hsználhtó egyszerű következménye z lái. Legyen ismét M és f k k=1 egy nemnegtív, -n értelmezett mérhető függvényekől álló sorozt. kkor (L) f k = (L) f k. k=1 zek után nézzük Dominált-, és Korlátos Konvergenci Tételeit. Az első izonyításához k=1 szükségünk lesz Ftou-lemmár és nnk két következményére. Lemm 4.3.4. (Ftou-lemm): Tegyük fel, hogy M és f k :, + nemnegtív, mérhető függvények minden k-r. kkor (L) liminf k f k liminf k (L) f k. Bizonyítás: Legyen k x = inf j k f j (x), ezért k nemnegtív és mérhető, vlmint k k=1 növekvően trt liminf k f k -hoz. A Monoton Konvergenci Tétele mitt (L) liminf k f k = lim k (L) k. Mivel k f k minden x esetén, ezért lim k (L) k liminf k (L) f k, mivel izonyítás teljes. Következmény 4.3.5: Tegyük fel, hogy M és f k, g: g f k minden k-r. H g Leesgue-integrálhtó z -n, kkor (L) liminf k f k liminf k (L) f k., + mérhetőek és Következmény 4.3.6: Tegyük fel, hogy M és f k, g: f k g minden k-r. H g Leesgue-integrálhtó z -n, kkor, + mérhetőek és (L) limsup k f k limsup(l) f k. k zek után már e tudjuk izonyítni Dominált Konvergenci Tételét. Tétel 4.3.7. (A Dominált Konvergenci Tétele): Legyen f k k=1 egy mérhető hlmzon értelmezett mérhető függvényekől álló sorozt. Tegyük fel, hogy f k k=1 pontonként trt f- hez Leesgue-m.m. és létezik egy olyn Leesgue-integrálhtó g függvény, melyre f k (x) g(x) minden k-r, és Leesgue-m.m. x -re. kkor f Leesgue-integrálhtó és (L) f = lim k (L) f k, vlmint lim k (L) f f k = 0. 28

Bizonyítás: A feltevés mitt g f k g m.m., és így lklmzhtó 4.3.5 és 4.3.6 következmény. Mivel f k k=1 pontonként trt f-hez m.m., ezért limsup k (L) f k (L) limsup f k = L k f = (L) liminf k f k liminf k (L) f k. Tehát (L) f = lim (L) f k. A izonyítás efejezéséhez figyeljük meg, hogy f f k pontonként trt 0-hoz m.m. és f x f k (x) 2g(x) minden k-r és m.m. x-re. Így tétel első része lpján lim (L) f f k = 0. Hogyh z hlmz mértéke véges, kkor konstns függvények Leesgueintegrálhtók z -n. nnek segítségével kphtjuk Korlátos Konvergenci Tételét z előző tételől. Tétel 4.3.8. (A Korlátos Konvergenci Tétele): Legyen f k k=1 egy mérhető függvényekől álló sorozt véges mértékű hlmzon. Tegyük fel, hogy létezik egy K szám úgy, hogy f k (x) K minden k-r és m.m. x -re. H f x = lim k f k (x) m.m., kkor (L) f = lim k (L) f k. A Henstock-Kurzweil-integrálhtó függvények esetéen sem lehet z előieken látott egyszerű feltételek mellett kimondni konvergencitételeket, mert például 4.3.2-es péld egy z egyen elmondhtó Henstock-Kurzweil-integrálhtó függvényekkel. Vgy egy másik péld, hol nem korlátos intervllumon vnnk értelmezve függvények, z lái. Péld 4.3.9: Legyen f k : [0, ) és f k x = k,k+1 (x). z pontonként konvergál 0- hoz, de minden f k -nk Henstock-Kurzweil-integrálj 1. Tehát nem lehet megcserélni limeszt z integrálll. z péld egyéként Leesgue-integrál esetére is ellenpéld. Tehát itt is leglá nnyit fel kell tenni, mint Riemnn-integrálnál, sőt még ez sem elég, mint hogy következő péld muttj. Péld 4.3.10: Definiáljuk z f k : függvényeket következőképpen: f k x = 1 2k k,k x. Minden f k Henstock-Kurzweil-integrálhtó és integrálj 1. Azonn z f k k=1 29

sorozt egyenletesen konvergál egy f-hez, mi z felcserélhetőség. -en zonoson 0. Azz nem teljesül A Henstock-Kurzweil-integrál esetéen is ki fogjuk mondni 3-féle konvergencitételt, csk erőse feltevésekkel élünk, mint Leesgue-integrál esetéen. zek után nézzük Monoton Konvergenci Tételét Henstock-Kurzweil integrálhtó függvényekre. Tétel 4.3.11. (A Monoton Konvergenci Tétele): Legyen f, f k : Henstock- Kurzweil-integrálhtók z -n és tegyük fel, hogy f k k=1 monoton növően trt z f-hez z n. kkor f pontosn kkor Henstock-Kurzweil-integrálhtó z -n, h sup k (HK) f k <. en z eseten (HK) f = (HK) lim f k = lim (HK) f k k k. zt tételt elmondhtjuk monoton csökkenő f k k=1 esetéen is zzl különséggel, hogy itt inf k (HK) f k > lesz feltétel. Beizonyíthtó, hogy Monton Konvergenci tételének feltételei mellett lim k f k (x) létezik és véges mjdnem minden x esetén. A következő célunk kimondni Dominált Konvergenci Tételét Henstock-Kurzweilintegrál esetére. nnek elátásához szükségünk volt Ftou-lemmár. tt is ( Henstock- Kurzweil-integrálr vontkozó) Ftou-lemmár támszkodik izonyítás. A lemmához zonn szükségünk vn még egy állításr. Lemm 4.3.12: Legyen f k, α: * Henstock-Kurzweil-integrálhtó minden k-r, vlmint tegyük fel, hogy α f k z -n minden k-r. kkor inf k f k Henstock-Kurzweilintegrálhtó z egész -n. Bizonyítás: Mivel α f k, ezért tetszőleges k esetén g k = inf 1 j k f j Henstock-Kurzweilintegrálhtó z egész -n. z egyszerűen levezethető Henstock-Kurzweil-integrál tuljdonságiól. Mivel α g k minden k-r, ezért inf k (HK) g k (HK) α >. zért lklmzhtó Monoton Konvergenci Tétele z után tett megjegyzés mitt monoton csökkenő g k k=1 soroztr, mi konvergál z inf k f k -hoz. 30

Megjegyezzük, hogy mivel α inf k f k f 1, ezért inf k f k véges értékű z egész -n. Mostmár izonyítni tudjuk Henstock-Kurzweil-integrálr vontkozó Ftou-lemmát. Lemm 4.3.13. (Ftou-lemm): Legyen f k, α: * Henstock-Kurzweil-integrálhtó minden k-r, és tegyük fel, hogy α f k z egész -n és liminf k (HK) f k <. kkor liminf k f k véges mjdnem mindenütt z -n, és következő f függvény Henstock- Kurzweil-integrálhtó z egész -n: f x = lim k inf f k(x), h limesz inferior véges 0, egyéként, vlmint teljesül, hogy (HK) f liminf k (HK) f k. Bizonyítás: Legyen φ k függvény definiálv következőképpen φ k x = inf f j x : j k. z z előző lemm mitt minden k esetén Henstock-Kurzweil-integrálhtó z egész n. Mivel α φ k f k z -n minden k esetéen, ezért minden φ k véges értékű z -n, és (HK) α (HK) φ k (HK) f k, mi mg után vonj, hogy (*) (HK) α liminf k (HK) φ k liminf k (HK) f k. Továá, φ k k=1 sorozt monoton növekedő és Henstock-Kurzweil-integrálr vontkozó Monoton Konvergenci tétel utáni megjegyzés lpján pontonként konvergál egy f függvényhez Leesgue-m.m. z -n. Mivel φ k egyenlőtlenséglánc mitt φ k k=1 k=1 monoton, ezért (*) konvergens és emitt korlátos is. zekől Monoton Konvergenci Tétele mitt f Henstock-Kurzweil-integrálhtó és szintén második egyenlőtlenséglánc mitt (HK) f = lim k (HK) φ k = liminf k (HK) φ k liminf k (HK) f k. zzel lemm izonyítását efejeztük. Mint Leesgue-integrál esetéen, itt is elmondhtó z lái következmény. Következmény 4.3.14: Legyen f k, β R* R Henstock-Kurzweil-integrálhtó minden k esetén, és tegyük fel, hogy f k β z -n, vlmint limsup k (HK) f k >. kkor limsup k f k véges mjdnem mindenütt z -n, és tekintsük z 31

f x = limsup f k (x), h limesz szuperior véges k 0, egyéként függvényt. z Henstock-Kurzweil-integrálhtó z egész -n, és (HK) f limsup(hk) f k. k Most már e tudjuk izonyítni Dominált Konvergenci Tételét Henstock-Kurzweilintegrálhtó függvények köréen. Tétel 4.3.15. (A Dominált Konvergenci Tétele): Legyen f k : * Henstock- Kurzweil-integrálhtó z egész -n, és tegyük fel, hogy f k k=1 pontonként konvergens mjdnem minden -eli pontn. Definiáljuk f-et z képlettel. Legyenek α, β: f x = lim k f k(x), h limesz véges 0, egyéként α f k β mjdnem mindenütt z -n, minden k integrálhtó z -n és fennáll Henstock-Kurzweil-integrálhtó függvények úgy, hogy (HK) f = (HK) lim f k = lim (HK) f k. k k esetéen. kkor f Henstock-Kurzweil- Bizonyítás: Legyen k = x : f k x < α(x) vgy f k (x) > β(x). kkor z = x : lim k f k x divergens hlmz mértéke 0. H x, kkor f k (x) f(x) és α(x) f k (x) β(x) minden k esetén. Tudjuk, hogy (HK) f k = (HK) f \ k k=1, (HK) f = 0 k és ezért fennáll minden x -re feltevésünk. Mivel α f k, ezért Ftou-lemm mitt liminf k f k véges értékű mjdnem mindenütt z -n, és teljesül, hogy (HK) f liminf k (HK) f k. mivel f k β, ezért 4.3.14.-es következmény mitt limsup k f k véges mjdnem mindenütt z -n és teljesül, hogy Hsonlón, (HK) f limsup(hk) f k. k Összeolvsv ezeket z eredményeket zt kpjuk, hogy 32

limsup k (HK) f k (HK) f liminf (HK) k f k limsup(hk) f k, k vgyis (HK) f = lim k (HK) f k. Most lklmzzuk Dominált Konvergenci Tételét z f k g feltétellel, hol f k és g is legyen Henstock-Kurzweil-integrálhtó. kkor nyilván ez feltétel ekvivlens zzl, hogy g f k g, és mivel g nemnegtív, ezért szolút integrálhtó is, és f k is szolút integrálhtó. Így elmondhtjuk következő tételt. Tétel 4.3.16. (A Korlátos Konvergenci Tétele): Legyen f k : * Henstock-Kurzweil- integrálhtó z egész korlátos -n és tegyük fel, hogy f k k=1 pontonként konvergens z mjdnem minden pontján. Definiáljuk f-et következő képlettel: f x = lim k f k(x), h limesz véges 0, egyéként. H létezik egy K szám úgy, hogy f k (x) K minden k-r és minden x -re. kkor (HK) f = lim k (HK) f k. A izonyításhoz csk zt kell meggondolni, hogy g x = K x függvény Henstock- Kurzweil-integrálhtó z egész -n. 5. FJZT 5.1 ÖSSZHASONLÍTÁS en részen különöző integrálfoglmk közötti kpcsoltot vizsgáljuk, zz, hogy Riemnn-, Leesgue-, Henstock-Kurzweil- és McShne-integrálok közül melyik ekvivlens vlmelyik másikkl, vgy éppen milyen trtlmzási reláció áll fenn két integrál között. zen kpcsoltok közül néhányt már meg is említettünk, illetve néhány z említett állításokól és példákól nyilvánvló. 33

.) gy egyszerű példáól láthtó, hogy Riemnn-integrálhtó függvények osztály kevese függvényt trtlmz, mint Leesgue-integrálhtó függvények osztály. Példánk tekintsük z ún. Dirichlet-függvényt, mely z z f: 0,1 f x = 1, x rcionális szám 0, x irrcionális szám., melyre Legyen P = x 0, x 1,, x n egy felontás 0,1 intervllumnk. Minden x i 1, x i részintervllumn legyen egy r i rcionális szám és egy q i irrcionális szám. lyen felontást nyilván lehet konstruálni. kkor míg n n P f, r i = f r i x i x i 1 = 0 = 0 i=1 i=1 n n P f, q i = f q i x i x i 1 = x i x i 1 = 1. i=1 i=1 ndirekten tegyük fel, hogy f Riemnn-integrálhtó és z integrálj A. Legyen ε < 1 2 rögzített, és válsszunk hozzá egy megfelelő δ-t. H P olyn felontás, hogy minden részintervllumánk mértéke kise δ-nál, kkor 1 = P f, q i P (f, (r i )) P f, q i A + A P (f, r i ) < ε + ε < 1, mi ellentmondás, tehát f nem Riemnn-integrálhtó. Most megmuttjuk, hogy ezzel szemen Dirichlet-függvény Leesgue-integrálhtó. Könnyű látni, hogy rcionális számok hlmz Leegue-0-mértékű, tehát Dirichletfüggvény Leesgue-m.m. megegyezik z zonosn 0 függvénnyel, mi pedig integrálhtó, és z integrálj 0. Tehát megállpíthtjuk, hogy Riemnn-integrálhtó függvények tere része Leesgue-integrálhtó függvények terének. A Leesgue-integrál tehát egyfjt kiterjesztése, zz őve nál. zt z összefüggést árázoljuk, elevéve improprius Riemnn-integrált is, miről csk evezetően volt szó. Megmutthtó, hogy létezik olyn függvény, mely improprius Riemnn-integrálhtó, de nem Leesgue-integrálhtó. 34

.) Könnyen láthtó, hogy minden Riemnn-integrálhtó függvény Henstock- Kurzweil-integrálhtó, hiszen elegendő guge-ot olynnk válsztni, hogy z intervllumink hossz mindig ugynz konstns legyen. Viszont például Dirichletfüggvény Henstock-Kurzweil-integrálhtó, de z elő láttuk, hogy nem Riemnnintegrálhtó. nnek pontnk végén már rögtön fogjuk látni, hogy Dirichlet-függvény miért Henstock-Kurzweil-integrálhtó. hhez elő hsonlítsuk össze Leesgue-integrált Henstock-Kurzweil-integrálll. A Leesgue-integrál egyen szolút integrál is, zz egy függvény pontosn kkor Leesgue-integrálhtó, h z szolút értéke is z. ől is láthtjuk, hogy Henstock-Kurzweil-integrál áltlános foglom. Most nézzük, hogy milyen feltételek mellett egyeznek meg mégis. Tétel 5.1.2: Tegyük fel, hogy f: 35 nemnegtív és mérhető függvény. kkor f Leesgue-integrálhtó pontosn kkor, h f Henstock-Kurzweil-integrálhtó. És een z eseten (L) f = (HK) f. Bizonyítás: lső esetként tegyük fel, hogy f korlátos is, és korlátj M, vlmint legyen =, egy korlátos intervllum. kkor Leesgue-integrál értelmezésénél láttuk, hogy vn φ k k=1 lépcsősfüggvényekől álló sorozt, melyre φ k f pontonként m.m. és φ k (x) M minden k (L) φ k = (HK) φ k. és x, esetén. Mivel φ k egy lépcsősfüggvény, ezért Alklmzhtó Korlátos Konvergenci tétele (mely mindkét integrálr fennáll), ezért zt kpjuk, hogy (L) f = (HK) f. Most tegyük fel, hogy f egy tetszőleges nemnegtív, mérhető, vlós értékű függvény, mely értelmezve vn egy tetszőleges -eli intervllumon. Definiáljuk z f k k=1 soroztot z f k x = min f x, k k,k x képlettel. Minden f k nemnegtív, mérhető

és korlátos, szóvl z első eset mitt (L) f k = (HK) f k k k k k. Mivel f k k=1 pontonként monoton növően trt z f-hez, ezért hsználni tudjuk Monoton Konvergenci tételét, mely szintén minden integrálr igz, és eől zt kpjuk, hogy f kkor és csk kkor Leesgue-integrálhtó, h Henstock-Kurzweil-integrálhtó. Amikor vlmelyik integrál véges, kkor fennállnk következő egyenlőségek. (L) f = lim k (L) f k = k k k k lim k (L) f k = lim k (HK) f k = lim k (HK) f k = (HK) f k. Következmény 5.1.3: Tegyük fel, hogy f: mérhető. kkor f Leesgue-integrálhtó pontosn kkor, h f szolút Henstock-Kurzweil-integrálhtó, és een z eseten két integrál megegyezik..) Tegyük fel, hogy f: * McShne-integrálhtó z -n. Következésképpen f is McShne-integrálhtó, tehát f és f is Henstock-Kurzweil-integrálhtó, zz f szolút Henstock-Kurzweil-integrálhtó z -n. Másrészről vnnk olyn Henstock-Kurzweilintegrálhtó függvények, melyek nem McShne-integrálhtók. A következő tételeket izonyítás nélkül közöljük. Tétel 5.1.4: Legyen f:. kkor f McShne-integrálhtó kkor és csk kkor, h f szolút Henstock-Kurzweil-integrálhtó. ől és.)-es pontn említett tényől, miszerint Leesgue-integrál szolút integrál már következik Tétel 5.1.5: Legyen f: Leesgue-integrálhtó és két integrál megegyezik. Árázoljuk ezeket z észrevételeket:. kkor f McShne-integrálhtó pontosn kkor, h f 36