Kombiatoria (017 február 8 Bogya Norbert, Kátai-Urbá Kamilla 1 Kombiatoriai alapfeladato A ombiatoriai alapfeladato léyege az, hogy bizoyos elemeet sorba redezü, vagy éháyat iválasztu belőlü, és esetleg utáa redezzü sorba Mide ilye feladatál fel lehet tei a övetező érdéseet Sorba ell-e redezi az összes elemet? (Permutáció Ki ell-e választai özülü valameyit? (Variáció vagy ombiáció Az eleme ülöbözőe, vagy azoosa is vaa özöttü? (Ismétlés élüli vagy ismétléses A iválasztás utá számít a sorred vagy em? (Variáció vagy ombiáció A övetezőbe a feti felsorolás zárójelbe lévő fogalmait fogju potosa defiiáli 11 Variáció 1 Defiíció Egy elemű halmaz elemeiből épezhető -tagú ismétlődést megegedő sorozatot az elem -tagú ismétléses variációjáa Példa A H = {1,,, 7, 8, 10} halmaza az 1, 8, 7, 1, 10 sorozat egy 5-tagú ismétléses variációja Megjegyzés Az elem -tagú ismétléses variációját egy -elemű halmaza egy -elemű halmazba való leépezésée is teithetjü Az előző példáál = 5, tehát az a 1,, a 5 elemehez hozzáredeljü a H elemeit úgy, hogy leépezést (ϕ apju, azaz mide eleme potosa egy épe va: a 1 ϕ = 1, a ϕ = 8, a ϕ = 7, a 4 ϕ = 1, a 5 ϕ = 10 4 Defiíció Egy elemű halmaz elemiből épezhető -tagú ismétlés élüli sorozatot az elem -tagú ismétlés élüli variációjáa Ilye csa aor létezi, ha 5 Példa A H = {1,,, 7, 8, 10} halmaza a, 10, 7, 1, sorozat egy 5-tagú ismétlés élüli variációja 6 Megjegyzés Az elem -tagú ismétlés élüli variációját egy -elemű halmaza egy -elemű halmazba való ijetív leépezésée is teithetjü Az előző példáál = 5, tehát az a 1,, a 5 elemehez hozzáredeljü a H elemeit úgy, hogy ijetív leépezést (ψ apju, azaz mide eleme potosa egy épe va, és ülöböző elemee ülöböző a épe: a 1 ψ =, a ψ = 10, a ψ = 7, a 4 ψ = 1, a 5 ψ = Felmerül a érdés, hogy háy ülöböző variációja és ismétléses variációja va egy elemű halmaza Azaz ülöböző elemből iválasztva darabot, majd ezeet sorba redezve háy ülöböző sorozatot aphatu Erre ad választ a övetező ét tétel 7 Tétel Legye, N Eor elem -tagú ismétléses variációia száma 8 Tétel Legye, N és Eor elem -tagú ismétlés élüli variációia száma ( 1 ( ( + 1 =! (! 9 Példa Háyféleéppe tölthetü i egy totószelvéyt? (A magyar totó 14 meccs végeredméyére lehet fogadi, és midegyi meccs imeetele háromféle lehet: 1, 0 vagy x A {0, 1, x} halmaz elemeiből ell épezü egy 1 + 1 hosszú sorozatot Nyilvá ét meccs eredméye lehet ugyaaz is, ezért ismétléses variációt apu Mivel = és = 14, így 14 -féleéppe tölthetü i egy totószelvéyt 10 Példa Egy taácsba 10 ember ül, és i aarjá magu özött sorsoli, hogy i legye az igazgató és az igazgató helyettese Háyféleéppe végződhet a sorsolás? Ismétlés élüli variációról va szó = 10 és = paramétereel (A sorred valóba számít a isorsolta özött, mert em
midegy, i lesz az igazgató, és i lesz a helyettese Tehát a sorsolás 10 9, azaz 90-féleéppe végződhet 11 Példa Háy ülöböző égybetűs szó épezhető a SAJTÓ szó betűiből? Az 5 ülöböző betű özül ell iválasztai 4-et (a feladat em modja, hogy em ismétlődhete, és ezeet ell sorbaredezi, tehát ismétléses variációt ell alalmazi = 5 és = 4 paramétereel, így 5 4 szó épezhető 1 Példa Egy erépárlaato egy 4 számjegyből álló ombiáció yitja és zárja a zárszerezetet Elfelejtettü ezt a ombiációt Legrosszabb esetbe háy ombiációt ell végigpróbáli? Ismétléses variáció = 10 és = 4 paramétereel, mivel a 10 ülöböző számjegyből ell 4-et iválasztai, és azoból sorozatot épezi (A laat az ismétlődő számjegyeet em tiltja Így 10 4 ombiáció lehetséges 1 Példa Egy bajoságo 8 csapat idult Háyféle sorred alaulhat i a dobogó, ha sehol sem lehet holtversey, és mide csapat csa egy darab helyezést érhet el Ismétlés élüli variációt ell alalmazi, mert a 8 csapatból ell iválasztai -at, őet sorba redezi, mert a dobogó számít a sorred, és az ismétlést a feladat szövege tiltja Összese 8 7 6 sorred lehetséges 1 Permutáció 14 Defiíció Adott ülöböző elem eseté azoa egy sorba redezését az elem (ismétlés élüli permutációjáa 15 Példa A H = {1,,, 7, 8, 10} halmaza a 8, 1,, 7, 10, sorozat egy permutációja 16 Megjegyzés Középisolába általába a permutációat elülöítve taítjá a variációtól, pedig észre ell veü, hogy az ismétlés élüli permutáció egy olya variáció, ahol egy elemű halmazból elemet választu i, és ezeet raju sorba Tehát olya, mit az ismétlés élüli variáció = paramétereel A permutációa is létezi ismétléses változata, azoba ee defiiálásához vissza ell emléezü a redszer fogalmára A redszer a halmazhoz hasoló fogalom, ayi a ülöbség, hogy a redszerbe egy elemet többször is felsorolhatu Például az 1, 1,, 4, 6, 6, 7 egy 7-elemű redszer A redszere elemeit szádéosa em tesszü apcsos zárójelbe, mert azt halmazo eseté haszálju, és a redszer em halmaz 17 Defiíció Egy elemű redszer elemeie sorozatba redezését az elem ismétléses permutációjáa 18 Példa A,, 4, 4, 4, 5, 5 redszere a 4,, 5, 4, 5,, 4 sorozat egy ismétléses permutációja 19 Tétel Legye N 0 Eor elem ismétlés élüli permutációia száma ( 1 ( 1 =!, megállapodás szerit 0! = 1! = 1 0 Tétel Teitsü egy elemű redszert, melybe r ülöböző elem va, és mide ülöböző elemből 1,,, r darab va a redszerbe Tehát = 1 + + + r Eor az elem ismétléses permutációia száma! 1! r! A i számoat az i-edi elem multiplicitásáa evezzü, ez mutatja, hogy az i-edi eleme háy példáya va a redszerbe 1 Példa Háyféleéppe tudu 6 ülöböző öyvet sorba redezi a öyvespolco? A válasz 6! = 70 Példa Háy ülöböző 5-betűs szó észíthető az ABLAK szó betűiből, midegyiet felhaszálva? Azaz 5 elemet ell sorba redezi, ám az eleme özött vaa egyformá Eor ismétléses permutációt haszálu, a válasz 5!! = 5 4 = 60 Példa Háyféleéppe lehet egy 5 lapos póer-palit megeveri? A válasz 5!, ami egy 68 jegyű szám
4 Példa Háyféle ülöböző sorredje va a MATEMATIKA szó betűie? Azaz 10 elemet ell sorba redezi, ám az eleme özött vaa egyformá Eor ismétléses permutációt haszálu, a válasz 10!!!! = 15100 5 Példa Háy 10 jegyű szám észíthető 6 darab ettes, darab hetes és darab hatos számjegyből, ha midegyiet fel aarju haszáli? Ismétléses permutációról va szó, ahol a redszer 10 elemű, azaz = 10 Továbbá három darab ülöböző elem va a redszerbe:, 7, 6 Az ezehez tartozó multiplicitáso: = 6, 7 = és 6 = Tehát a válasz a érdésre: 10! 6!!! 1 Kombiáció 6 Defiíció Egy -elemű halmaz -elemű részhalmazait az elem -tagú ismétlés élüli ombiációia 7 Példa A H = {1,,, 7, 8, 10} halmaza a {, 7, 8} halmaz egy -tagú ombiációja Vegyü észre, hogy egy -elemű halmaz -elemű részhalmazáa megadása azt jeleti, hogy elemből iválasztu darabot, mivel részhalmazról va szó, eze iválasztásál az eleme sorredje em számít 8 Defiíció Egy elemű halmaz elemű részredszereit az elem -tagú ismétléses ombiációia 9 Példa A H = {1,,, 7, 8, 10} halmaza a, 7,, 1, 10, 1, redszer egy 7-tagú ismétléses ombiációja 0 Megjegyzés Az előző defiícióba a részredszer épzése azt jeleti, hogy egy elemet többször is iválaszthatu a halmazból Az eleme sorredje most sem számít, mivel a redszerbe em számít az eleme sorredje 1 Tétel Legye, N és Eor elem -adosztályú ismétlés élüli ombiációia száma (! ( 1 ( + 1 = =!(! 1 Defiíció Az előző tételbe szereplő ( ifejezést biomiális együtthatóa Tétel Legye, N, eor elem -adosztályú ismétléses ombiációia száma ( + 1 4 Példa Háyféleéppe tudju itöltei az ötöslottót? (Magyarországo 90 számból 5-öt ell megtippeli Mivel a sorsolás utá a megjelölt számo sorredje teljese irrelevás, így a 90 számból 5 darab iválasztásáál a sorred em számít Tehát ( 90 5 -féleéppe tölthető i egy ötöslottószelvéy 5 Példa Háyféleéppe osztható szét 100000 forityi jutalom dolgozó özött, ha midei csa 10000-rel osztható összeget aphat? (Természetese az is megegedett, hogy valai em ap semmit Ismétléses ombiációról va szó, mert mide tízezresre i ell választai egy embert a három özül Tehát -ból választu 10 helyre, és egy-egy embert yilvá több tízezreshez is i lehet választau, így a megoldás ( ( +10 1 10 = 1 10 6 Példa Háy olya domió va, amelye midét felé a poto száma 0-tól 6-ig terjed? Így 7 elemből ell iválasztai -t, de egy elemet midét oldalra is iválaszthatu, azaz ismétléses ombiációt ell haszáli Így ( ( 7+ 1 = 8 = 8 domió va, ami a feladat feltételée eleget tesz
Emléezzü vissza a özépisolába is tault Biomiális tétel (a + b = a + ab + b és (a + b = a + a b + ab + b azoosságora Mit ahogy az a övetező tételből látható lesz, ez a -es és -as itevő általáosítható tetszőleges természetes itevőre 7 Tétel (Biomiális tétel Ha N, továbbá a és b valós számo, aor ( ( ( ( (a + b = a + a 1 b + a b + + ab 1 + 0 1 1 vagy rövidebbe (a + b = =0 ( a b ( b, Azért, hogy lássu, a biomiális tétel hogya apcsolódi a ombiatoriai problémához, vizsgálju meg a jobboldali összegbe fellépő általáos ( a b tagot Képzeljü el, hogy az darab (a + b téyezőt elezdjü összeszorozi egymással Azoat a tagoat számolju, ahol darab b-t, és darab a-t szorzu össze Háyféleéppe tehettü ezt meg? Potosa ayiféleéppe, aháyféleéppe ( az darab (a+b téyezőből i tudju választai az darab b-t Ez pedig potosa Ȧ biomiális együtthatóból felépíthető Pascal-háromszögből azoal látszóda a biomiális együttható legfotosabb tulajdoságai Az alábbi ábrá látható a Pascal-háromszög első éháy sora, melybe az ( értée vaa feltütetve ( 0 = 0, = 0 ( 1 0 ( 1 1 = 1, = 0, 1 ( 0 =, = 0, 1, ( 1 ( 1 1 ( 0 1 =, = 0, 1,, ( ( ( 1 1 0 1 1 1 ( = 4, = 0, 1,,, 4 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 1 4 6 4 1 ( 0 1 4 = 5, = 0, 1,,, 4, 5 5 ( 5 ( 5 ( 5 ( 5 ( 5 1 5 10 10 5 1 0 1 4 5 A biomiális együttható és a Pascal-háromszög legfotosabb tulajdoságait az alábbi tétel foglalja össze 8 Tétel Legye, N 0 és Eor érvéyese az alábbi összefüggése (1 ( ( 0 = = 1 (A háromszög ét oldalá 1-ese álla ( ( ( = (A háromszög tegelyese szimmetrius ( Ha 0 < <, aor ( ( = 1 ( 1 + 1 (A háromszögbe bármelyi elem a felette lévő ét elem összege, feltéve, hogy va felette ét elem (4 Bármely N 0 -ra ( =0 = (A Pascal-háromszögbe az -adi sor összege 1 Természetese adódi a érdés, hogy a itevő általáosítása utá, tudju-e tovább általáosítai a problémát, modju a változó számát teitve A választ az alábbi tétel adja meg 9 Tétel (Poliomiális tétel Ha N, továbbá a 1,, a valós számo, aor (a 1 + + a = i 1,,i N 0 i 1 ++i =! i 1! i! ai 1 1 a i a i 4
Szitaformula Köye megfigyelhető a halmazora voatozó alábbi állítás 40 Tétel Ha A, B véges halmazo, aor A B = A + B A B A feti állítás szemléletese öye igazolható, ugyais az A B halmazba azo az eleme vaa, amelye legalább az egyibe bee vaa Így megszámolju azoat, amelye bee vaa A-ba, illetve ülö, ami bee vaa B-be, de mivel a metszetüet étszer számoltu, így a metszet elemszámát egyszer le ell voi, hogy mide elemet csa egyszer számolju Természetese a feti állítás iterjeszthető több halmazra is 41 Tétel Legyee A 1, A véges halmazo Eor A 1 A = ( 1 r 1 r=1 {i 1,i r} {1,,} {i 1,,i r} =r A i1 A ir A feti tétel első ráézésre egyáltalá em tűi éyelmese Segíthet, ha megértjü, mi törtéi a épletbe Va darab véges halmazu, és eressü az uióju elemszámát Az r = 1 eseté összeadju a halmazo elemszámát Így éháy elemet étszer számoltu ezért le ell vou belőle bizoyos elemszámoat, például r = eseté a ettős metszete elemszámát Ezutá hozzáadju a hármas metszete elemszámát, levoju a égyes metszete elemszámát, és ezt folytatju, míg el em jutu az r = esethez, ami az összes halmaza a metszete A feti tétel övetezméye a szitaformula 4 Tétel (Szitaformula Legyee A 1, A halmazo a véges U uiverzum részhalmazai Eor A 1 A = U + ( 1 r A i1 A ir r=1 {i 1,i r} {1,,} {i 1,,i r} =r A szitaformula a 41 Tétel egyees övetezméye, ugyais A1 A = U A1 A 4 Példa A Szegedi Tudomáyegyetem matematia taszécsoportja 100 matematia, 00 biológia és 400 iformatia szaos hallgatót otat Ai egyszerre matematia és biológia szaosa, azoa a száma 1, a matematia és iformatia szaosoé 44, illetve a biológia-iformatia szaos hallgató száma 6 Négy fő végzi egyszerre mid a három szaot Háy hallgatót otat a matematia taszécsoport? Jelölje I, B, M redre az iformatia, biológia és matematia szaos hallgató halmazát Eor a 41 Tétel szerit I B M = I + B + M I B I M B M + I B M = 400 + 00 + 100 6 44 1 + 4 = 64 5