AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Speciálisa az építészmérök hallgatók számára felépített elméleti ayag az elmélet megértését segítő feladatokkal. A taayag az építészekek szükséges mélységbe és részletezettséggel tárgyalja a következő témaköröket: umerikus sorozatok; egyváltozós függvéyek határértéke, differeciálszámítás és alkalmazásai, itegrálszámítás és alkalmazásai, vektoralgebra, a tér aalitikus geometriája, mátrialgebra, lieáris egyeletredszerek. Kulcsszavak: umerikus sorozat, függvéy határérték, folytoosság, differeciálszámítás, differeciálszámítás alkalmazási, éritő, szélsőérték, itegrálszámítás, terület, térfogat, ívhossz, súlypot, felszí, görbület, paraméteres görbék, mátri, lieáris egyeletredszer. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

Támogatás: Készült a TÁMOP-4..-8//A/KMR-9-8 számú, a Természettudomáyos (matematika és fizika) képzés a műszaki és iformatikai felsőoktatásba című projekt keretébe. Készült: a BME TTK Matematika Itézet godozásába Szakmai felelős vezető: Fereczi Miklós Lektorálta: Sádor Csaba Az elektroikus kiadást előkészítette: Erő Zsuzsa Címlap grafikai terve: Csépáy Gergely László, Tóth Norbert ISBN: 978-963-79-464-8 Copyright: 6, Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME A termiusai: A szerző evéek feltütetése mellett em kereskedelmi céllal szabado másolható, terjeszthető, megjeletethető és előadható, de em módosítható. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

Tartalomjegyzék TARTALOMJEGYZÉK. Bevezetés...3. Numerikus sorozatok fogalma, határértéke... 6.. Koverges és diverges sorozatok... 6.. Néháy evezetes sorozat határértéke... 9 3. Függvéyek... 3.. Elemi függvéyek... 3.. Iverz elemi függvéyek... 6 3.3. Függvéyhatárérték-defiíciók... 9 3.4. Függvéyhatárértékkel kapcsolatos tételek... 3.5. Folytoos függvéyek... 3 3.6. Zárt itervallumo folytoos függvéyek tulajdoságai... 4 4. Differeciálszámítás... 5 4.. A differeciálháyados fogalma, differeciálási szabályok... 5 4.. Elemi függvéyek deriváltja és egyéb deriválási szabályok... 6 4.3. Középértéktételek, L Hospital-szabály... 9 4.4. A differeciálháyados alkalmazásai... 3 4.5. Szélsőértékek és ifleiós potok létezéséek szükséges és elégséges feltételei... 3 4.6. Alkalmazott optimalizációs problémák: szöveges szélsőérték-feladatok... 33 4.7. Függvéyábrázolás az eddig taultak haszálatával... 33 4.8. Egyéb alkalmazások: függvéyek éritkezése, Taylor-poliom... 35 5. Itegrálszámítás... 37 5.. Rövid áttekités... 37 5.. Primitív függvéyek... 37 5.3. Itegrálási techikák... 38 5.4. Határozott itegrál... 45 5.5. A határozott itegrál rövid geometriai iterpretációja... 48 5.6. A határozott itegrállal kapcsolatos legfotosabb tételek... 49 5.7. Az aalízis alaptétele... 49 5.8. Improprius itegrál... 5 5.9. Az itegrálszámítás alkalmazásai... 5 6. Vektorok... 54 6.. Lieáris tér (vektortér)... 54 6.. Lieáris altér... 55 7. Mátriok... 58 7.. Az m -es mátriok vektortere a valós számhalmaz felett... 58 7.. Mátriok szorzása... 59 7.3. Lieáris traszformációk (leképezések)... 6 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

Az építészek matematikája, I 8. Determiások... 63 8.. Másod- és harmadredű determiások... 63 8.. A másod- és harmadredű determiások alkalmazásai, geometriai iterpretációk... 64 8.3. Az -edredű determiás és tulajdoságai... 65 8.4. Mátri iverzéek kiszámolása a determiás segítségével... 66 9. Koordiátageometria... 67 9.. Egyees és sík... 67 9.. Illeszkedési és metszési feladatok a térbe... 68 9.3. Térelemek távolsága... 69 9.4. Hajlásszögek... 7 PÉLDATÁR... 7 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

. Bevezetés 3. Bevezetés Amikor mi, laikusok távolról közelítük meg egy építméyt, figyelmük fokozatosa terelődik át az egészről a részletekre, szem előtt tartva a teljes egységet, a kocepciót, a fizikai köryezet által meghatározott feltételeket, az aráyokat, a szimmetriát, a szíeket, fiomságot, féy és áryék kölcsöhatását és a harmóiát. Az ókori görögök, főleg Püthagorasz és követői, a püthagoreusok szerit a tökéletes harmóia (azaz kapocs) a legkisebb természetes számok aráyaival fejezhető ki. A püthagoraszi harmóiára egyik legszebb példák a következő: ha egy háromszög oldalaiak aráya 3:4:5, akkor a háromszög derékszögű. Ez éppe Püthagorasz tételéből következik, mert 3 4 5. Az igazság kedvéért meg kell itt említeük, hogy bár a matematikatörtéet ezt Püthagoraszak tulajdoítja (hisze ő bizoyította), a babiloiak is haszálták ezt egy évezreddel Püthagorasz előtt, azzal a külöbséggel, hogy ők em tudták, hogy ez igaz valameyi derékszögű háromszögre. A Püthagorasz-tétel (másképpe írva Pitagorasz-tétel) tulajdoképpe közvetle őse a agy Fermat-sejtések (amit érdekes módo, bár 994-be boyolult matematikai módszerekkel bizoyítottak, előszeretettel továbbra is sejtések evezük). Ez a sejtés a püthagoraszi alapokat kapcsolja össze a matematika legboyolultabb elképzeléseivel, ami több mit három évszázado át leyűgözte a matematikustársadalmat. Maga a feladat olya egyszerű, hogy egy kisiskolás is megértheti. 67-be Toulouse-ba Pierre de Fermat (6 665) fracia matematikus és jogász halála utá megjelet a Diophatosz Arithmeticája Pierre Fermat megjegyzéseivel című kötet, melybe Fermat a 8. probléma tőszomszédságába széljegyzetkét kijeletette, hogy az Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

4 Az építészek matematikája, I y z egyeletek bármilye rögzített 3,4,5,... számra icse pozitív egész, yz, megoldása. Matematikusok emzedékeit őrjítette meg igerkedő megjegyzésével, amit szité ide írt be: Igazá csodálatos bizoyítást találtam erre a tételre, de ez a margó túl keskey, semhogy ideírhatám. (Lásd Simo Sigh, A agy Fermat-sejtés, Park Köyvkiadó, Budapest, 999.) Hogy miért említjük ilye részletességgel ezt az érdekes, püthagoraszi gyökerekkel redelkező, de csak a múlt évszázad végé bizoyított feladatot? Többek között azért, mert az előadáso elhagzó tételeket (legtöbbjüket itt em is bizoyítjuk) évek múltá köye elfelejthetik, ezt valószíűleg em. Míg az itt tault matematikatételek agy többségéek az utca embere hátat fordítaa, még a Fermat-sejtés bizoyítása előtti időkbe, New Yorkba, a Nyolcadik utcai metróállomás falá a következő falfirka jelet meg: y z : ics megoldás. Igazá csodálatos megoldást találtam erre a tételre, de most ics időm ideíri, mert jö a metró. Az aráy (pl. 3:4) eve görögül logosz, az aráypáré (pl. 6:8=9:) pedig aalógia. A görögök szerit világszemléletük három alapfogalma a harmóia, a logosz és a szimmetria. Adrea Palladio (58 58) észak-itáliai építész hitvallása szerit egy valamirevaló épületek hármas követelméyek kell megfelelie: kéyelem, tartósság, szépség, ha ezek közül valamelyik is hiáyzik, az épület em méltó evére. Palotáival és villáival, új aráyaival, tiszta voalvezetésével a reeszász építészet egyik legtermékeyebb mesterévé vált, megszámlálhatatla követővel. A Villa Capra La Rotoda matematikai precizitással kiszámolt aráyossággal redelkező Palladio-villa terveit a római Patheo ihlette és Viceza városá kívül, egy dombtetőre épült. Elevezése, a La Rotoda a közpoti, kör alakú kupolás hallra utal. Az épület a fet említett credo mide egyes potjáak megfelel, szimmetrikus szerkezeteit, díszítőelemeit, klasszikus formáit több mit égyszáz évig utáozták. Amikor Püthagorasz Hippaszosz evű fiatal taítváya felfedezte, hogy a (pl. az egységyi oldalú égyzet átlójáak hossza) em fejezhető ki két természetes szám háyadosakét, tehát a püthagoreus értelembe véve em szám, a püthagoreusok egész világszemlélete összeomlott. Úgyhogy ikább vízbe fojtották Hippaszoszt és továbbra sem vettek tudomást az ilye számok létezéséről. Talá ez az egyetle dicstele tett, ami a evükhöz kapcsolható. A -t és az irracioális számokat csak a mester halála utá merték újra életre keltei. Vegyük most egy és oldalú téglalapot. Megkétszerezve a rövidebbik oldalt, és oldalú téglalapot kapuk, ami ugyaolya aráyú, mert : :. Ez azt mutatja, hogy két egyforma papírlapot ügyese egymás mellé rakva olya agyobb lapot kapuk, mely hasoló az eredetihez. Ha egy egységyi hosszúságú szakaszt úgy osztuk két részre, hogy a kisebbikek és a agyobbikak az aráya egyelő legye a agyobbikak és az egészek az aráyával, azaz a agyobbik részt -szel jelölve, másodfokú egyeletet kapuk, melyek egyetle 5 pozitív megoldása az és ekkor a agyobbik és kisebbik aráya 5, az araymetszési aráy. Az araymetszésről Velecébe, 59-be Fra Luca Paccioli De Divia Proportioe címmel köyvet írt, melyet barátja, Leoardo da Vici illusztrált. Nézzük meg az araymetszés egyéb előfordulását is. Fiboacci, a középkor kiemelkedő matematikusa, körül, yulak szaporodását vizsgálva, bevezette és taulmáyozta a következő umerikus sorozatot:,,,3,5,8,3,,, azaz általáosa u u u. A Fiboacci-sorozat egymást követő tagjaiak háyadosa: ; ;,5;,666;,6;,65;,653,..., az araymetszés értékéhez tart. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

. Bevezetés 5 A Fiboacci-számok aráyai a természetbe is megtalálhatók: a szilvafa gallyai a levelek általába félfordulatra követik egymást, a bükkél, mogyoróál ez /3, a tölgyél, sárgabarackál /5, körtefáál, yárfáál 3/8, maduláál, fűzfáál 5/3, és így tovább. Ezek az aráyok éppe a másodszomszéd Fiboacci-számok aráyai. Kepler szerit éppe az araymetszés adta az ötletet a Teremtőek, hogy bevezesse a hasoló dolgokak hasoló dolgokból való származtatását. Bevezetők em teljes, ha em teszük említést a párhuzamos egyeeseket időkét metszőkek ábrázoló perspektivitásról. A perspektív traszformáció a reeszász ideje alatt terjedt el, főkét a firezei Filippo Bruelleschiek köszöhetőe. Taítváya, Masaccio olya Szetháromság-képet festett a firezei Sata Maria Novella templom falára, hogy azt hitték, áttörték a templom falait. Ahogy a perspektivitás em a végső szó a traszformációk világába, úgy Bruelleschi sem az az építészetbe. Azóta is agyszerű megoldások, kocepciók születek, egyre újabb harmóiákat teremtük, igyekezvé miél jobba kihaszáli a redelkezésükre álló matematikai eszközöket, lehetőségeiket és képzeletüket. I am certai of othig, but the holiess of the heart s affectios ad the truth of Imagiatio What the Imagiatio seizes as Beauty must be Truth. (Joh Keats, Letter, November, 87.) Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

6 Az építészek matematikája, I. Numerikus sorozatok fogalma, határértéke.. Koverges és diverges sorozatok... Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R valós értékű függvéyeket sorozatokak evezzük. Például: a) b),,,,..., azaz 3 4,,,,..., azaz 3 4 c),,,,..., azaz a a, ( ), d),4,9,6,..., azaz a, a, e),, 3, 4,.. 3 4 5., azaz a, f) 3 4,,,,... 3 4 5, azaz a g),,,,... 4 8 6, azaz a.,... Megjegyzés: A sorozat ideezését kezdhetjük -val, sőt, egy,,,... mm m R függvéyt is sorozatak evezük, ameyibe m tetszőleges természetes szám. Ekkor az jelölést haszáljuk. a m..3. Defiíció: Az a m sorozat (mooto) övekedő, ha mide N eseté szigorúa övekedő, ha mide a a, N eseté a a, a a, N eseté a a. (mooto) csökkeő, ha mide N eseté szigorúa csökkeő, ha mide..4. Megjegyzés: A feti példákba az a) és g) szigorúa csökkeő, d) és e) szigorúa övő, b), c) és f) sorozat alteráló előjelű, tehát em mooto. a..5. Defiíció: Az sorozat korlátos, ha létezik olya A és B szám, amelyekkel mide N eseté teljesül az Aa B egyelőtleség (ekkor az A-t a sorozat egy alsó korlátjáak, B-t pedig egy felső korlátjáak evezzük)...6. Megjegyzés: A feti példákba a d) sorozat em korlátos, a többi ige...7. Defiíció: A h R számot az a sorozat határértékéek (vagy limeszéek) evezzük, ha tetszőleges pozitív -hoz található mide eseté az a h egyelőtleség teljesül. N természetes szám (küszöbszám) úgy, hogy Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

. Numerikus sorozatok fogalma, határértéke 7..8. Megjegyzés: A határérték előbbi defiíciója úgy is megfogalmazható, hogy mide ide eseté a sorozat tagjaiak a h, h yílt itervallumba kell esi. Ez egybe azt is jeleti, hogy eze az itervallumo kívül legfeljebb darab, azaz véges sok sorozatelem lehet. A határérték jelölésére az alábbi kifejezést haszáljuk: lim a h vagy a h. Szokás ilyekor azt modai, hogy a tart h-hoz, vagy a kovergál h-hoz...9. Megjegyzés: Ha egy sorozatak va határértéke, akkor azt modjuk, hogy koverges, ha ics, akkor divergesek evezzük. Hagsúlyozzuk, hogy a végtele em valós szám, tehát a feti defiíció értelmébe em lehet egy sorozat határértéke. Eek elleére szoktuk arról beszéli, hogy egy sorozat végtelehez tart. Ezt a következőképpe kell értei:... Defiíció: Az a bármely valós k számhoz található az a k sorozat végtelehez tart, (avagy mide határo túl övő) ha N természetes szám úgy, hogy mide eseté egyelőtleség feáll. Jelölése: lim a. Hasolóa defiiálható a mide határo túl csökkeő sorozat (azaz amikor bármely valós K számhoz található természetes szám úgy, hogy mide lim a.... Példa: Igazoljuk, hogy lim. eseté az a N K egyelőtleség feáll. Jelölése: Megoldás: Tekitsük egy tetszőleges számot. Belátjuk, hogy találuk olya N természetes számot, hogy mide eseté az (mivel ). Ameyibe az N küszöbszámot -ak választjuk, ez telje- sül, tehát lim.... Tétel: Ha az a sorozat koverges, akkor korlátos. Bizoyítás: Legye egyelőtleség teljesül. lim a h és tekitsük az számot. A határérték defiíciója értelmébe létezik N természetes szám (küszöbszám) úgy, hogy mide eseté az h a h egyelőtleség teljesül. Vezessük be a következő jelöléseket: a,..., a, h és M : ma a,...,, h m: mi a. Ekkor yilvá ma M N...3. Defiíció: A t számot a sorozat torlódási potjáak evezzük, ha va a sorozatak a t számhoz kovergáló részsorozata. A -t és -t is a sorozat torlódási potjáak tekitjük, ha va a sorozatak mide határo túl övő illetve csökkeő részsorozata...4. Következméyek:. Mide határérték egybe torlódási pot is. (Ez a defiíciók azoali következméye.) Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

8 Az építészek matematikája, I. Ha egy t szám torlódási potja az a t t sorozatak, akkor bármely eseté a, itervallumba (azaz a t szám sugarú yílt köryezetébe) végtele sok sorozatelem va. 3. Ha egy sorozatak va határértéke, akkor egyetle egy va. Bizoyítás: Tegyük fel idirekt, hogy az a sorozatak két külöböző határértéke is va, k l jelölje ezeket l és k és legye l k. Tekitsük az : számot. Ekkor yilvá az l sugarú yílt köryezete és a k sugarú yílt köryezete diszjuktak (em metszik egymást). lim a l, így az előbb rögzített -hoz létezik egy N küszöbszám, hogy mide ide eseté a sorozat tagjaiak a, l l yílt itervallumba kell esi. De k is az a sorozat határértéke, ezért ugyaahhoz az -hoz létezik egy m N küszöbszám, hogy mide m ide eseté a sorozat tagjaiak a k, k yílt itervallumba kell esi. Le- N. Ekkor mide eseté az a midkét köryezetek eleme, gye : ma, m ami elletmodás, hisze azok diszjuktak voltak. N 4. Ha egy korlátos sorozatak egyetle torlódási potja va, akkor koverges. 5. Ha egy sorozat mooto és korlátos, akkor koverges. 6. Mide a sorozatból kiválasztható mooto (övekedő vagy csökkeő) részsorozat...5. Bolzao Weierstrass-tétel: Korlátos sorozatak va koverges részsorozata. Bizoyítás: A 6. tulajdoság alapjá az adott korlátos sorozatak va mooto részsorozata. Nyilvá e mooto részsorozat is korlátos, tehát az előbbi következméyek közül az 5. miatt koverges is...6. Cauchy-féle kritérium: Az a sorozat akkor és csak akkor koverges, ha tetszőleges pozitív -hoz található N természetes szám (küszöbszám) úgy, hogy mide m, eseté az a a egyelőtleség teljesül. m..7. Megjegyzés: Cauchy-sorozatokak evezzük azokat a sorozatokat, amelyek redelkezek a Cauchy-féle kritériumba szereplő tulajdosággal. Ezek szerit a Cauchy-kritérium azt modja ki, hogy egy sorozat akkor és csak akkor koverges, ha Cauchy-sorozat. A Cauchy-féle kritérium bizoyítását itt most em adjuk meg, bár az egyik iráy (a szükségesség) a háromszög egyelőtleség miatt rögtö adódik. Eek elleére szükségesek éreztük magát a kritériumot megemlítei, mert a szakirodalomba számos helye találkozhatak a Cauchy-sorozat elevezéssel...8. Tétel (Összeg, külöbség, szorzat, háyados határértéke): Ha az sorozat koverges és határértéke a, valamit a b lim a b lim a lim b a b, a sorozat is koverges és határértéke b, akkor: Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

. Numerikus sorozatok fogalma, határértéke 9 lim a b lim a lim b ab, lim a b lim a lim b a b. Ha még az is teljesül, hogy b, akkor a lim b lim a a. limb b Határérték-számításál először is behelyettesítük. Ameyibe kokrét szám, vagy a helyettesítés-eredméy, késze vagyuk. Legtöbbször azoba a,,,,,, alakú határozatla kifejezések (esetek) valamelyike áll fe, a feladat megoldása em ilye egy- szerű, szükségük lehet a következőkre:..9. Tétel ( redőrelv vagy szedvicstétel ): Ha mide N eseté az a u b egyelőtleség teljesül és lim a lim b u, akkor létezik az sorozat határértéke és lim u u. si... Példa: Számítsuk ki a lim határértéket. si Megoldás: Mivel si, ezért. Tudjuk, hogy lim lim, így a redőrelv miatt.. Néháy evezetes sorozat határértéke u si lim.... Tétel: A következő állítások midegyike igaz:., haq lim q, haq, diverges, egyébkét. lim k a, ha a és k N, a 3. lim, tetszőleges a R eseté,! 4. lim e. Néháy bizoyítás: Az. bizoyításához felhaszáljuk a Beroulli-egyelőtleséget: Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

Az építészek matematikája, I... Segédtétel (Beroulli-egyelőtleség): Ha N tetszőleges természetes szám, és a h R valós szám eleget tesz a h és h feltételekek, akkor h 3 Bizoyítás: A q q q qq q q q h. azoosságba a jobb oldalo álló db. zárójeles kifejezés között a q a legkisebb, akár q, akár q. Ezért midkét esetbe q q. Ie q h helyettesítéssel kapjuk a bizoyítadó állítást.. bizoyítása q eseté (a többi eset triviális). Vezessük be az h jelölést. Nyilvá q q miatt h. Továbbá Most q q. h h h h lim miatt a jobb oldal -hoz tart. Ezzel bizoyítottuk az állítást. A 4. határérték létezéséek bizoyítása 3 lépésből áll: Az. lépésbe megmutatjuk, hogy az u sorozat szigorúa övő. A. lépésbe megmutatjuk, hogy a v sorozat szigorúa csökkeő. Az u v egyelőtleségből következik, hogy midkét sorozat korlátos, tehát koverges. lim v u, azaz a két sorozatak közös határ- A 3. lépésbe megmutatjuk, hogy értéke va, ezt pedig e-vel jelöljük, tehát lim e. Az. lépésbe igazoluk kell, hogy Szorozzuk meg midkét oldalt -gyel. Ekkor kapjuk, hogy, azaz ugyaaz, mit. Ez pedig a Beroulli-egyelőtleség miatt igaz. A. lépés igazolása ugyaígy törtéhet: az állítás a következő, azaz.., ami Szorozva -el, adódik, hogy. Ez pedig azért igaz, mert ha a bal oldalra alkalmazzuk a Beroulli-egyelőtleséget, akkor Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

. Numerikus sorozatok fogalma, határértéke. Végül a 3. lépés: v u 4. Az utolsó egyelőtleségél felhaszáltuk, hogy u v v 4. Megjegyzés: Az e~,78888 szám a természetes logaritmus alapja, irracioális szám (köyű megjegyezi az első tizedesjegy utái 8888 számjegyeket, mert a Háború és béke írója, Lev Nikolajevics Tolsztoj születési éve 88). 873-ba Charles Hermite (8 9) fracia matematikus bizoyította, hogy az e szám egybe traszcedes is (azaz em gyöke egyetle racioális együtthatójú poliomak sem)...3. Megjegyzés: A. és 3. határértékeket köyebb megjegyezi (sőt újakat is felírhatuk), ha figyelembe vesszük, hogy «e «! «k...4. Példák: Számítsuk ki a b sorozat határértékét, ha. b 4 4 4 3 4 4 4 3 4 4 4 3 3 7 4 44 3 7 (mid a számlálóba, 4 4 4 3 4 3 4 4 4 mid pedig a evezőbe előforduló legmagasabb hatváyát emeltük ki, ez midkét helye volt, így egyszerűsítettük -el). Megoldás: b 4 4 4 3 Számítsuk ki a 3 c sorozat határértékét, ha 3 75 c 56 9. 9 5 9 3 93 75 7 3 75 8 8 6 8 9 6 7 56 9 5 5 8 5 Megoldás: c 6 9 5 6 9 6 6 6 (itt pedig a számlálóba is és a evezőbe is a 6 -t emeltük ki, mert aak volt abszolút értékbe legagyobb az alapja, ezzel egyszerűsítettük itt is). Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

Az építészek matematikája, I 3. Függvéyek 3.. Elemi függvéyek 3... Defiíció: Legyeek H R és K R valós számhalmazok. Redeljük hozzá mide H számhoz egyetle y K számot. Az ilye egyértelmű hozzáredelést függvéyek evezzük. ab itervallumo kove, ha bármely és ab, és f f, eseté a következő egyelőtleség áll fe: f f. 3... Defiíció: Az f függvéy az, Hasolóa defiiáljuk a kokáv függvéyt is, csak ott az egyelőtleség fordított iráyú. Szoktuk még modai, hogy kove egy függvéy, ha grafikoja megtartja a vizet, pl. az 3 csak a itervallumo kove, a, itervallumo pedig kokáv., ab, Ameyibe bármely eseté az f grafikojához létezik egyértelmű éritő egyees, az f függvéyt lokálisa koveek evezzük egy adott ab, potba, ha létezik -ak olya köryezete, melybe a függvéy grafikoja az éritő fölött helyezkedik el, lokálisa kokávak pedig abba az esetbe, ha ha létezik -ak olya köryezete, melybe a függvéy grafikoja az éritő alatt helyezkedik el. 3..3. Elemi függvéyek grafikojai: A most következő elemi függvéyek grafikojából következteti lehet értelmezési tartomáyukra ( D f ), értékkészletükre ( R f ), esetleg mootoitásukra, paritásukra és periodicitásukra. (Feltételezzük, hogy a függvéy fogalma a középiskolai taulmáyok alapjá mideki előtt ismert, mit ahogy az alábbi függvéytai fogalmak is: értelmezési tartomáy, értékkészlet, kölcsööse egyértelmű leképezés, páros, illetve páratla függvéy, periodikus függvéy.) k Hatváyfüggvéyek: f f f 3 f 3 4 f 4 5 f 5 6 f 6 7, ahol k pozitív egész szám Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

3. Függvéyek 3 Páratla gyökfüggvéyek: 3 3 5 5 7 7 f() f() f() 3 f 4 () Páros gyökfüggvéyek: 4 4 f() f() 6 6 f() 3 Midegyik páros gyökfüggvéy kokáv az értelmezési tartomáyá. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

4 Az építészek matematikája, I Trigoometrikus függvéyek (si, cos, ta): A si és cos függvéyek periodikusak, főperiódusuk T, míg a tg és ctg (melyek szité periodikusak) főperiódusa T. Epoeciális függvéyek: f a (a>) y y e 3 y f()=^ f()=e^ f()=(/)^ y -8-6 -4-4 6 8 - - -3 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

3. Függvéyek 5 Érdemes megjegyezi, hogy az epoeciális függvéy mootoitása az alaptól függ: ameyibe a függvéy alapja a, az epoeciális függvéy szigorúa övekvő, míg a a alap eseté az epoeciális függvéy szigorúa csökkeő. Értelmezési tartomáya R, értékkészlete pedig, (vigyázat, az ábráko úgy éz ki, mitha a függvéy metszeé az tegelyt, valójába csak egyre jobba közeledik hozzá). Természetes alapú epoeciális függvéy: y e, ahol az alapszám (az e) egy, az előző fejezetbe vizsgált evezetes sorozat határértéke: lim e. Hiperbolikus függvéyek e e Kosziusz hiperbolikusz függvéy: ch :, szokásos jelölés még y cosh. A grafikoja az y e és y e grafikookból következik: 3.5 y f()=cosh() f()=e^ f()=e^(-) 3.5.5.5-9 -8-7 -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7 8 9 -.5 - -.5 - -.5-3 -3.5 e e Sziusz hiperbolikusz függvéy: sh :, szokásos jelölés még y sih. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

6 Az építészek matematikája, I sh e e Tages hiperbolikusz függvéy: th :, szokásos jelölés még y tah, az ch e e alábbi közös ábrá a, értékkészletű (em metszi az y illetve y egyeeseket, csak egyre jobba közeledik hozzájuk), szigorúa mooto övekvő függvéy. 3.5 3 y f()=tah() f()=sih() f()=cosh() f()=- f()=.5.5.5-9 -8-7 -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7 8 9 -.5 - -.5 - -.5-3 -3.5 3.. Iverz elemi függvéyek Az f függvéy iverz függvéyéek evezzük és f -gyel jelöljük azt a függvéyt, mely mide valós b számhoz (mely az eredeti f függvéy értékkészletéhez ( Rf -hez ) tartozik), azt az a számot redeli az f értelmezési tartomáyából ( D f -ből ), melyhez az f a b -t redelte, vagyis ha f b a. f a b, akkor Ie következik, hogy f f b b és f f a a, mit ahogy az is, hogy az f értelmezési tartomáya az f értékkészlete, és f értékkészlete az f értelmezési tartomáya. Tehát csak kölcsööse egyértelmű függvéyek va iverze, hisze szükséges, hogy a egyértelmű legye. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

3. Függvéyek 7 3... Tétel: Az f függvéy ivertálhatóságáak elégséges feltétele a függvéy szigorú mootoitása. Az iverz függvéy megőrzi a mootoitást (azaz pl. szigorúa övekvő függvéy iverze is szigorúa övekvő). f függvéy és az f függvéy grafikoja egymásak az y egyeesre vett tü- Az körképei. Az ábrá az y 3 függvéy és iverze, az 3 látható. y 3 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

8 Az építészek matematikája, I A természetes alapú logaritmusfüggvéy f R f e Az :,, (e alapú) epoeciális függvéy szigorúa övekvő, tehát midehol létezik az iverze, ezt a függvéyt evezzük természetes alapú logaritmusfüggvéyek, f :, R f l. Mivel az e alapú epoeciális függvéy szigorúa övekvő,, ezért a természetes logaritmusfüggvéy is az. (Az egyéb alapú ( a, a ) logaritmusfüggvéy mootoitása megegyezik az ugyaolya alapú epoeciális függvéy mootoitásával.) Az y si függvéy em ivertálható a, itervallumo, mert em kölcsööse egyértelmű. Ivertálható a, tartomáyo, itt szigorúa mooto ő. Az iverz függvéyét arkusz sziusz (arcus sius) függvéyek evezzük, jele arcsi. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

3. Függvéyek 9 Az y arcsi értelmezési tartomáya a, itervallum, értékkészlete pedig,. Hasolóa ábrázolhatjuk a többi trigoometrikus és hiperbolikus függvéy iverzeit is szigorúa mooto szakaszoko: a cos függvéyt a, itervallumo ivertáljuk, így az arccos :,, a tagest a, itervallumo, így arctg :, R, R,, a kotagest a, itervallumo, így arcctg : a kosziusz hiperbolikuszt a, itervallumo, így ar ch, :,, (area kosziusz hiperbolikuszak evezzük), a sziusz hiperbolikuszt R-e, így ar sh : R R (area sziusz hiperbolikuszak modjuk),, R (area tages hiperbolikusz, szoktuk a tages hiperbolikuszt R-e, így ar th : még arta h -val jelöli), míg ch e e a kotages hiperbolikuszt az R halmazo, így sh e e,, R (area kotages hiperbolikusz). arcth : Megjegyezzük még, hogy a th és cth függvéyek iverzei redelkezek még logaritmusos alakkal is, mely a következő: arth l, arcth l. 3.3. Függvéyhatárérték-defiíciók Tegyük fel, hogy az potjába ( lehet kivétel). f értelmezve va valamely, az 3.3.. Defiíció: Az f függvéyek az R körüli yílt itervallum mide R helye létezik a határértéke és az a h R valós szám, ha bármely számhoz található szám úgy, hogy a egyelőtleséget kielégítő értékek mid bee vaak az f függvéy értelmezési tartomáyába és teljesül az f h egyelőtleség. 3.3.. Defiíció (határérték II.): Az f függvéyek az az a h R hoz kovergáló lim f h. valós szám, ha bármely, az sorozat eseté az R helye létezik a határértéke és f függvéy értelmezési tartomáyából választott és - f függvéyérték sorozat kovergál h -hoz. Jelölés: A két defiíció ekvivales (itt em bizoyítjuk). A második defiíció olya feladatokál haszálható eredméyese, ahol várhatóa ics határérték. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

Az építészek matematikája, I 3.3.3. Példa: Számítsuk ki a lim si határértéket. Megoldás: Vegyük az alábbi két, ullához tartó számsorozatot:,,,,..., 5 4,,,,..., 3 7 4 3 lim si, míg lim si, így a feladatba kért határérték em létezik. 3.3.4. Defiíció: Az f függvéyek az R helye létezik a jobb oldali határértéke és az a h R valós szám, ha bármely számhoz található szám úgy, hogy a egyelőtleséget kielégítő értékek bee vaak az f függvéy értelmezési tartomáyába és teljesül az f h egyelőtleség. Hasolóa értelmezzük a függvéy 3.3.5. Defiíció: Az f függvéyek az R helye vett bal oldali határértékét: R helye létezik a bal oldali határértéke és az a h R valós szám, ha bármely számhoz található szám úgy, hogy a egyelőtleséget kielégítő értékek bee vaak az f függvéy értelmezési tartomáyába és teljesül az f h egyelőtleség. Jelölés: lim f h ill. lim f h. 3.3.6. Defiíció: Azt modjuk, hogy az f függvéyek az R helye végtele a határértéke, ha tetszőleges pozitív A számhoz létezik olya szám úgy, hogy a egyelőtleséget kielégítő értékek bee vaak az f függvéy értelmezési tartomáyába és teljesül az f > A egyelőtleség. Jelölés: lim f. (Hasolóa defiiáljuk a lim f esetet is.) 3.3.7. Tétel: Az f függvéyek az szám, ha lim f lim f h. R helye létezik a határértéke és az a h R valós Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

3. Függvéyek 3.3.8. Defiíció: Az f függvéy határértéke eseté a h R valós szám, ha bármely számhoz található k valós szám úgy, hogy a függvéy értelmezve va k eseté és eze értékekre teljesül az egyelőtleség. f h Jelölés: lim f h. (Hasolóa defiiáljuk a lim f h esetet is.) 3.4. Függvéyhatárértékkel kapcsolatos tételek 3.4.. Tétel (Összeg, külöbség, szorzat, háyados határértéke): Ha létezik lim f lim g, akkor létezik a két függvéy összegéek, külöbségéek, szorzatáak a határértéke is és a következők érvéyesek: és továbbá, ha lim f g lim f lim g lim f g lim f lim g lim f g lim f lim g lim lim g, akkor létezik az f g lim f. lim g f,,, g függvéy határértéke is, és 3.4. Tétel (Összetett függvéy határértéke): Ha lim g a b és lim f b olya szám, hogy a eseté g b, akkor lim f g c. a c, továbbá va 3.4.3. Tétel (redőrelv vagy szedvicstétel függvéyhatárértékekre): Ha az f, g és h függvéyek értelmezve vaak az pot egy köryezetébe és itt f g h, valamit lim f lim h L lim g L., akkor Határérték-számításál először is behelyettesítük. Ameyibe kokrét szám, vagy a helyettesítés eredméye, késze vagyuk. Legtöbbször azoba a,,,,,, alakú határozatla kifejezések (esetek) valamelyike áll fe, a feladat megoldása em ilye egyszerű, szükségük lehet a következőkre: 3.4.4. Tétel (Nevezetes függvéyhatárértékek):. Ha az szöget radiába adjuk meg, akkor igaz), si lim (természetese lim is si Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

Az építészek matematikája, I tg. ugyaakkor igaz, hogy lim (természetese lim is igaz), tg 3. lim e képletet, mit egy...... (természetese, lim y y alakot, ahol... ), y e is igaz, a léyeg, hogy úgy tekitsük a 4. 5. 6. loga lim loga e, ameyibe a, a, speciális esetbe l a a e lim l a, ha a, a, speciális esetbe lim, lim, ahol R. l lim, Bizoyítai csak az. tulajdoságot fogjuk a redőrelv segítségével: Ívmértekkel mérve az szöget, a mellékelt ábra területeiből látszik, hogy si tg, ie si -szel osztva: si cos. Mivel lim, ezért a redőrelv szerit cos si lim. Ekkor lim lim. si si 3.4.5. Néháy példa függvéyhatárérték-számításra Szimbolikusa példa 4 3 3 4 ) lim lim 3. (Kiemeltük előforduló legmagasabb hatváyát (ugyaezt tettük vola, ha ), majd leegyszerűsítettük.) si si si ) lim lim lim 3.4.4. Tétel. képletét.). (Haszáltuk a 3) 5 4 3 ( ) lim lim 6 4, valamit 5 4 (5 4) 4 4 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

3. Függvéyek 3 5 4 3 ( ) 4) lim lim 3. (Vegyük észre, ( ) hogy ameyibe, előforduló legalacsoyabb hatváyát emeljük ki.) 5) lim lim ( ). (Haszáltuk, hogy és.) si 6) lim si lim si lim. 5 5 5 7) lim lim e. 3.5. Folytoos függvéyek 3.5.. Defiíció: Az f függvéy folytoos az helye, ha értelmezett az helye, és aak egy köryezetébe, létezik a lim f lim f f. és 3.5.. Defiíció: Az f függvéy folytoos az, folytoos. 3.5.3. Defiíció: Az f függvéy balról folytoos az helye, ha ab itervallumo, ha aak mide potjába értelmezett az helye, és aak egy bal oldali köryezetébe, azaz lim f és létezik a lim f f., -ba, A jobb oldali folytoosságot hasolóa defiiáljuk, csak ott jobb oldali köryezetet tekitük és -ba jobb oldali határértéket. 3.5.4. Defiíció: Az f függvéy folytoos az [a,b] itervallumo, ha folytoos az (a,b) itervallumo és az a potba jobbról, b potba pedig balról folytoos. 3.5.5. Példák: az f az, ha Q Dirichlet-függvéy sehol sem folytoos,, ha R Q f abszolút érték függvéy pedig mideütt folytoos függvéy. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME