Debreceni Egyetem. Kalkulus II. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológii Kr Klkulus II. Gselmnn Eszter Debrecen, 22

Azoknk, kik nem ismerik mtemtikát, nehézséget okoz keresztüljutni szépség vlódi érzéséhez, legmélyebb szépséghez, természethez... H természetről krsz tnulni, méltányolni krod természetet, hhoz szükség vn rr, hogy értsd nyelvét, min szól hozzád. (Richrd Feynmn)

Trtlomjegyzék. Htároztln integrál.. Alpfoglmk...............................................2. Alpintegrálok..............................................3. Integrálási szbályok.......................................... 2.4. Integrálási módszerek......................................... 4.4.. Rcionális törtfüggvények integrálás............................ 4.4.2. Trigonometrikus függvények rcionális kifejezéseinek integrálás............ 7.4.3. Az R(sin(x), cos(x))dx lkú integrálok......................... 8.4.4. Az R(e x )dx lkú integrálok................................ 8.4.5. Az R(x, n x + b)dx lkú integrálok........................... 8 2. Riemnn-integrál 2.. A Riemnn-integrálhtóság foglm................................. 2.2. A Riemnn-integrálhtóság kritériumi és elegendő feltételei................... 5 2.3. A Riemnn-integrál tuljdonsági................................... 6 2.4. A Newton Leibniz-formul...................................... 7 2.5. Improprius integrálok......................................... 2 3. Vektorterek, euklideszi terek 27 3.. Vektorterek, euklideszi terek...................................... 27 3.2. Az R n tér................................................. 28 3.3. Soroztok z R n térben......................................... 3 4. Többváltozós és vektorértékű függvények folytonosság 32 4.. Alpfoglmk.............................................. 32 4.2. Folytonosság és műveletek...................................... 33 4.3. Folytonosság és topologikus foglmk................................ 34 5. Többváltozós és vektorértékű függvények htárértéke 35 5.. Alpfoglmk.............................................. 35 5.2. Htárérték és műveletek........................................ 35 6. Többváltozós és vektorértékű függvények differenciálhtóság 39 6.. Fréchet-differenciálhtóság...................................... 39 6.2. Iránymenti és prciális differenciálhtóság.............................. 4 6.3. Mgsbbrendű deriváltk....................................... 42 6.4. Lokális szélsőértékszámítás...................................... 44 6.5. Feltételes szélsőértékszámítás..................................... 46 7. Riemnn-integrál R n -ben 5 7.. Riemnn-integrál téglán........................................ 5 7... A Riemnn-integrálhtóság foglm téglár........................ 5 7..2. A Riemnn-integrálhtóság kritériumi és elegendő feltételei.............. 53 7..3. A Riemnn-integrál tuljdonsági.............................. 53 7.2. Riemnn-integrál korlátos R n beli hlmzokon........................... 55 2

7.2.. Jordn-mérhető hlmzok R n -ben.............................. 56 8. Differenciálegyenletek 64 8.. Differenciálegyenletek osztályozás................................. 64 8.2. Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek............................ 65 8.3. Fontos differenciálegyenlet típusok................................. 67 8.3.. Az y = f (x) lkú differenciálegyenletek......................... 67 8.3.2. Szeprábilis differenciálegyenletek............................. 68 8.3.3. Homogén differenciálegyenletek............................... 69 8.3.4. Szeprábilis differenciálegyenletre visszvezethető differenciálegyenletek....... 69 8.3.5. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek.......................... 7 8.3.6. Egzkt differenciálegyenletek................................ 73 8.4. Elsőrendű differenciálegyenlet rendszerekre vontkozó egzisztenci és unicitás tételek.... 75 Függelék 84 Tárgymuttó 93 Irodlomjegyzék 94

. fejezet Htároztln integrál.. Alpfoglmk... Definíció. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f ], b[ R függvény. Az F ], b[ R függvényt z f függvény primitív függvényének vgy htároztln integráljánk nevezzük, h z F függvény differenciálhtó z ], b[ intervllumon és F (x) = f (x) teljesül minden x ], b[ esetén. Az F függvényre továbbikbn z f vgy z f (x)dx jelölést hsználjuk.... Tétel. H f, F ], b[ R és F = f, kkor G ], b[ R pontosn kkor primitív függvénye f -nek, h létezik olyn C R, hogy F(x) = G(x) + C (x ], b[).2. Alpintegrálok. e x dx = e x 9. ctg(x) dx = ln sin(x) 2. x dx = ln x. rccos(x) dx = xrccos(x) x 2 3. ln(x) dx = x ln(x) x. rcsin(x) dx = xrcsin(x) + x 2 4. 5. 6. log (x) dx = (x ln(x) x) ln x α dx = α+ xα+ h α, ln x h α =, cos(x) dx = sin(x) 2. 3. 4. rctg(x) dx = xrctg(x) 2 ln( + x2 ) rcctg(x) dx = xrcctg(x) + 2 ln( + x2 ) cosh(x) dx = sinh(x) 7. sin(x) dx = cos(x) 5. sinh(x) dx = cosh(x) 8. tg(x) dx = ln cos(x) 6. tnh(x) dx = ln cosh(x)

7. coth(x) dx = ln sinh(x) 25. dx = rccos(x) x 2 8. rcosh(x) dx = x rcosh(x) x 2 + 26. dx + x 2 = rctg(x) 9. 2. rsinh(x) dx = x rsinh(x) x 2 + 27. 28. dx + x 2 = rcctg(x) dx cosh 2 x = tnh(x) 2. rtnh(x) dx = x rtnh(x) + 2 ln x2 rcoth(x) dx = x rcoth(x) + 2 ln x2 29. 3. dx sinh 2 x = coth(x) dx x 2 + = rsinh(x) 22. dx cos 2 x = tg(x) 3. dx x 2 = rcosh(x) 23. 24. dx sin 2 x = ctg(x) dx = rcsin(x) x 2 32. 33. dx x 2 = rtnh(x) dx x 2 = rcoth(x).3. Integrálási szbályok.3.. Tétel (A htároztln integrál lineritás). Legyenek f, g ], b[ R olyn függvények, melyekre létezik f és g, legyenek továbbá α, β R tetszőleges konstnsok. Ekkor létezik α f + β g is, és létezik olyn C R, hogy.3.. Péld. 3x + 4x 2 + 5x 3 + 2 sinh(x)dx α f (x) + β g(x)dx = α f (x)dx + β g(x)dx + C. = 3 xdx + 4 x 2 dx + 5 x 3 dx + 2 sinh(x)dx = 3 x2 2 + 4 x3 3 + 5 x4 4 + 2 cosh(x) + C.3.2. Tétel (A prciális integrálás tétele). H z f, g ], b[ R függvények differenciálhtók ], b[-n, és létezik f g, kkor létezik f g is, és létezik olyn C R konstns, hogy f (x) g (x)dx = f (x) g(x) f (x) g(x)dx + C. (x ], b[).3.2. Péld. xe x dx =? 2

Legyen Ekkor Így, prciális integrálás tétele mitt f (x) = x és g (x) = e x. f (x) = és g(x) = e x. xe x dx = xe x e x dx = xe x e x + C..3.3. Péld. Legyen Ekkor ln(x)dx =? f (x) = ln(x) és g (x) =. f (x) = x és g(x) = x. Így, prciális integrálás tétele mitt ln(x)dx = x ln(x) x x dx = x ln(x) dx = x ln(x) x + C..3.4. Péld. x 2 sinh(x)dx =? Alkmzzuk prciális integrálás tételét z f (x) = x 2 és g (x) = sinh(x). válsztássl. Ekkor f (x) = 2x és g(x) = cosh(x), így x 2 sinh(x)dx = x 2 cosh(x) 2x cosh(x)dx = x 2 cosh(x) [2x sinh(x) 2 sinh(x)dx] = x 2 cosh(x) 2x sinh(x) + 2 cosh(x) + C..3.3. Tétel (A helyettesítéses integrálás tétele). H f ], b[ R, g ]c, d[ ], b[ olyn függvények, melyek esetén létezik g ]c, d[ R és létezik f is, kkor létezik ( f g) g is, és vn olyn C R, hogy.3.5. Péld. f (g(x)) g (x)dx = (( f ) g) (x) + C = f (t)dt + C. (x ]c, d[) t=g(x) Legyen t = 2 7x, zz, x = t 2, 7 Ekkor sinh(2 7x)dx =? g(t) = t 2 7 és g (t) = 7. sinh(2 7x)dx = sinh(t) ( 7 ) dt = f (g(t)) =g (t) t=2 7x = 7 sinh(t)dt = cosh(t) + C = t=2 7x 7 t 2 7x 3 cosh(2 7x) 7 + C

.3.4. Tétel. Legyen f ], b[ R differenciálhtó ], b[-n, α R { }, ekkor f α f függvénynek létezik primitív függvénye ], b[-n és f α (x) f (x)dx = f α+ (x) α + + C, teljesül vlmely C R konstnssl..3.6. Péld. A fenti tétel jelöléseivel, (tg(x) + ctg(x)) 3 ( cos 2 (x) sin 2 ) dx =? (x) f (x) = tg(x) + ctg(x), f (x) = cos 2 (x) sin 2 (x), α = 3, így, (tg(x) + ctg(x)) 3 ( cos 2 (x) (tg(x) + ctg(x))4 sin 2 ) dx = (x) 4 + C..3.5. Tétel. H f [, b] R folytonos [, b]-n, f (x) (x [, b]), f differenciálhtó ], b[-n, kkor z f függvénynek létezik primitív függvénye, és létezik olyn C R, hogy f f (x) dx = ln ( f (x) ) + C. f (x).3.7. Péld. A fenti tétel jelöléseivel így e 2x e 2x dx =? + 3 f (x) = e 2x + 3 és f (x) = 2e 2x, e 2x e 2x + 3 dx = 2 2e 2x e 2x + 3 dx = 2 ln ( e2x + 3 ) + C..3.6. Tétel. Legyen f R R függvény, α, β R, α tetszőlegesek. H létezik f, kkor létezik f (αx + β) dx is, és létezik olyn C R konstns, hogy f (αx + β) dx = hol F jelöli z f függvény primitív függvényét. F (αx + β) α + C, (x R).4. Integrálási módszerek.4.. Rcionális törtfüggvények integrálás Egyszerűbb speciális típusok.4.. Állítás. Legyenek A,, b R, tetszőlegesek, ekkor A x + b dx = A ln ( x + b ) + C..4.2. Állítás. Legyenek A,, b R, és n N, n tetszőlegesek, ekkor A (x + b) n dx = A + C. ( n) (x + b) n 4

.4.3. Állítás. Legyenek A,, b R, és n N {, 2} tetszőlegesek, ekkor Ax (x + b) n dx = A (x + b) 2 n 2 Ab (x + b) n 2 n 2 + C. n.4.4. Állítás. Legyenek A,, b, c R, tetszőlegesek és D = b 2 4c. Ekkor, h D <, kkor A x 2 + bx + c dx = A b rctg x + b 2 b + C; D =, kkor D >, kkor A x 2 + bx + c dx = A A x 2 + bx + c dx = x + b + C; D 3 8 2 rtnh 2 (x + b D 2 ) + C..4.5. Állítás. Legyen R {} tetszőleges, és Ekkor, I n (x) = (x 2 + 2 ) n (n N). I = rctg ( x ) és minden n N esetén teljesül. I n+ = 2n 2 x (x 2 + 2 ) n + 2n 2n I n A prciális törtekre bontás módszere.4.. Definíció. Azt mondjuk, hogy z f vlós függvény rcionális törtfüggvény, h léteznek olyn P és Q vlós polinomok, hogy f (x) = P(x) (x R, Q(x) ) Q(x) teljesül..4.. Megjegyzés. A továbbikbn z áltlánosság csorbítás nélkül feltehető, hogy f úgynevezett vlódi rcionális törtfüggvény, zz, h f (x) = P(x) Q(x), kkor deg(p) < deg(q) teljesül. Ellenkező esetben ugynis (z osztás elvégzése után) f felírhtó egy polinom és egy vlódi rcionális törtfüggvény összegeként. Feltehető továbbá z is, hogy nevezőben szereplő Q polinom egy főegyütthtójú..4.. Tétel. Legyen f egy rcionális törtfüggvény. Ekkor z f függvénynek létezik F primitív függvény, továbbá ez z F függvény elemi függvény. A továbbikbn Q polinom gyökeitől függően három különböző esetet kell megkölönböztetnünk. I. eset H Q polinomnk csk egyszeres multiplicitású, vlós gyökei vnnk, zz Q(x) = (x x ) (x x n ), kkor f (x) = P(x) Q(x) = P(x) (x x ) (x x n ) = A (x x ) + + A n, x x n hol z A,..., A n együtthtók egyértelműen meg vnnk htározv. Ezeket konkrét feldtokbn z együtthtók egyeztetésével lehet meghtározni. 5

.4.. Péld. Tekintsük z (x 2)(x + 4) dx htároztln integrált. Az előzőek szerint, keresendőek zok A és B vlós számok, melyekre teljesül. Közös nevezőre hozv, zz, (x 2)(x + 4) = A x 2 + B x + 4 (x 2)(x + 4) A(x + 4) + B(x 2) =, (x 2)(x + 4) = A(x + 4) + B(x 2) kell, hogy teljesüljön, minden x R {2, 4} esetén. Ez csk úgy lehetséges, h A és B megoldás z lábbi egyenletrendszernek, A + B = 4A 2B = Ennek z egyenlet megoldás A = 6 és B = 6, ezért Mindebből, (x 2)(x + 4) = 6 x 2 2 x + 4. (x 2)(x + 4) dx = 6 x 2 6 x + 4 dx = 6 ln( x 2 ) ln( x + 4 ) + C 6 dódik. II. eset H Q polinomnk csk vlós gyökei vnnk, de gyökök között vnnk többszörös multiplicitásúk is, zz, Q polinom Q(x) = (x x ) α (x x 2 ) α 2 (x x k ) α k, lkú, hol k i= α i = n. Ebben z esetben f (x) = P(x) Q(x) = P(x) (x x ) α (x x2 ) α 2 (x xk ) α k A = (x x ) + A 2 + (x x ) 2 + + A α (x x ) α A 2 (x x 2 ) + A 22 (x x 2 ) 2 + + A 2α2 (x x 2 ) α 2 + + A k (x x k ) + A k2 (x x k ) 2 + + A kαk (x x k ) α k. Az előállításbn szerepl A iαi, i =,..., k vlós számokt ebben z esetben is z együtthtók egyeztetésével tudjuk meghtározni..4.2. Péld. Tekintsük z htároztln integrált. A fentiek szerint 3x2 + 4x 6 (x + 2) 3 dx 3x 2 + 4x 6 (x + 2) 3 = A x + 2 + B (x + 2) 2 + C (x + 2) 2, 6

z együtthtók egyeztetése után z A, B és C számokr z lábbi egyenletrendszert kpjuk, Vgyis, A = 3, B = 8 és C = 2. Midezekből, A = 3 4A + B = 4 4A + 2B + C = 6 3x2 + 4x 6 (x + 2) 3 dx = 3 x + 2 8 (x + 2) 2 2 8 dx = 3 ln( x + 2 ) + (x + 2) 3 x + 2 + x + 2 + C. III. eset H Q polinomnk vn komplex gyöke is. Ekkor, h például z C gyke Q polinomnk, kkor z is gyöke Q-nk, vgyis komplex gyökök konjugáltjikkl együtt lépnek fel. Ezen z eseten belül még további két esetet kell megkülönböztetnünk. III. ) eset H Q polinomnk többszörös vlós és egyszeres komplex gyöktényezői vnnk, zz, kkor Q(x) = (x x ) α (x x 2 ) α 2 (x x k ) α k (x 2 + b x + c ) (x 2 + b s x + c s ), f (x) = P(x) Q(x) = α i= A α (x x ) i + + αr j= A s r j (x x r ) j + k= B k x + C k x 2 + b k x + c k. III. b) eset H Q polinomnk többszörös vlós és többszörös komplex gyöktényezői vnnk, zz, kkor f (x) = P(x) Q(x) = α i= Q(x) = (x x ) α (x x 2 ) α 2 (x x k ) α k (x 2 + b x + c ) β (x 2 + b s x + c s ) βs, A α (x x ) i + + αr j= A r j (x x r ) j + β k= B k x + C k (x 2 + b x + c ) k + + βs l=.4.2. Trigonometrikus függvények rcionális kifejezéseinek integrálás Egyszerűbb speciális típusok Az sin 2n+ (x) cos k (x)dx lkú integrálok Mivel sin 2n+ (x) = sin(x) sin 2n (x) = sin(x) ( cos 2 (x)) n, ezért z integrndus lkj sin 2n+ (x) cos k (x)dx = sin(x) ( cos 2 (x)) n cos k (x). B sl x + C sl (x 2 + b s x + c s ) l mi szorzások és z n-edik htványr emelés után olyn összegre vezet, melynek (legfeljebb egy kivétellel) mindegyik tgj f n (x) f (x) lkú..4.3. Péld. sin 3 (x)dx = sin(x) sin 2 (x)dx = sin(x)( cos 2 (x))dx Az cos 2n+ (x) sin k (x)dx lkú integrálok Hsonlón z elősző esethez, = sin(x) sin(x) cos 2 (x)dx = cos(x) + cos3 (x) x cos 2n+ (x) sin k (x) = cos(x) cos 2n (x) sin k (x) = cos(x)( sin 2 (x)) n sin k (x), mi szorzások és z n-edik htványr emelés után olyn összegre vezet, melynek (legfeljebb egy kivétellel) mindegyik tgj f n (x) f (x) lkú. + C 7

Az cos 2n+ (x) sin 2k+ (x)dx lkú integrálok H z integrndus mind sinus, mind cosinus függvény pártln htványon trtlmzz, kkor teljesen mindegy, hogy melyiket lkítjuk át, de fent ismeretett átlkítások vlmelyikét célszerű lklmzni. Az cos 2n (x) sin 2k (x)dx lkú integrálok Ebben z esetben sin(x) cos(x) = 2 sin(2x) sin 2 (x) = 2 2 cos(2x) cos 2 (x) = 2 + 2 cos(2x) trigonometrikus zonosságok közül megfelelőt hsználv z integrndus már olyn lkú lesz, melyet korábbn ismeretett módszerek vlmelyikével kezelni tudunk..4.4. Péld. sin 2 (x)dx = 2 2 cos(2x)dx = x 2 sin(2x) 4 + C..4.3. Az R(sin(x), cos(x))dx lkú integrálok A sinus és cosinus függvények tetszőleges R(sin(x), cos(x)) rcionális kifejezése esetén t = tg ( x 2 ) helyettesítés mindig célrvezető. Ezen helyettesítés elvégzése után ugynis, dx = 2 2t dt sin(x) = + t2 + t 2 és cos(x) = t2 + t 2, miből zt látjuk, hogy ezzel helyettesítéssel z integrndus egy rcionális törtfüggvénybe megy át..4.5. Péld. + cos(x) dx = t=tg( x 2 ) + t2 +t 2 2 + t 2 dt = dt = t + C = tg ( x 2 ) + C..4.4. Az R(e x )dx lkú integrálok Abbn z esetben, h z integrndus z exponenciális függvény egy rcionális törtfüggvény, t = e x dx = t dt helyettesítéssel z integrndus t-nek rcionális törtfüggvényébe megy át..4.6. Péld. 3 e x dx = + e x t=e x 3 t + t t dt = 3 + t 2 dt = 3rctg(t) + C = 3rctg(ex ) + C..4.5. Az R(x, n x + b)dx lkú integrálok H z integrndus x-nek és n x + b-nek rcionális törtfüggvénye, kkor z x = tn b és dx = n tn dt helyettesítéssel z integrndus rcionális törtfüggvénnyé lkíthtó. 8

.4.7. Péld. Az x 5x + 3dx integrál kiszámításához végezzük el z helyettesítéseket. Ekkor x = t2 3 5 és dx = 2t 5 dt x 5x + 3dx = t2 3 5 t 2t 5 dt = 2 25 t 4 3t 2 dt = 2 25 t5 2 25 t3 + C = 2 25 ( 5x + 3) 5 2 25 ( 5x + 3) 3 + C 9

2. fejezet Riemnn-integrál 2.. A Riemnn-integrálhtóság foglm A továbbikbn legyen [, b] R egy zárt intervllum és f [, b] R egy korlátos függvény. 2... Definíció. Legyen n N. A P = {x i = x < x <... < x i <... < x n = b} hlmzt z [, b] intervllum egy felosztásánk nevezzük. Az x i pontokt P felosztás osztópontjink hívjuk, míg z [x i, x i ], i =,..., n intervllumokt felosztás részintervllumink mondjuk. Továbbá, x i = x i x i (i =,..., n) jelölés bevezetése mellett számot felosztás finomságánk nevezzük. P = sup { x i i =,..., n} 2..2. Definíció. Felosztások egy (P k ) k N soroztát normális felosztássoroztnk mondjuk, hogy lim P k =. k 2..3. Definíció. Legyen P, illetve P 2 z [, b] intervllum felosztási. Abbn z esetben, h P P 2 teljesül, zt mondjuk, hogy P 2 felosztás finomítás P felosztásnk. 2..4. Definíció. Legyen P z [, b] intervllum egy felosztás és M i = sup f (x) és m i = inf f (x) (i =,..., n). x [x i,x i ] x [x i,x i ] 2... Megjegyzés. Az f függvény korlátosság mitt minden i =,..., n esetén léteznek és végesek. 2..5. Definíció. A fenti jelölések megtrtás mellett legyenek és σ( f, P) = Σ( f, P) = O( f, P) = n i= n i= n i= m i i M i i (M i m i ) i. Ezeket mennyiségeket rendre z f függvény P felosztásához trtozó lsó, felső, illetve oszcillációs összegének nevezzük.

2..6. Definíció. Továbbá, h minden i =,..., n esetén ξ i [x i, x i ], kkor z I( f, P) = n f (ξ i ) x i i= számot z f függvény P felosztásához és ξ,..., ξ n pontokhoz trtozó integrálközelítő összegének mondjuk. y f = x x x n b = x n x 2.. ábr. Integrálközelítő összeg y f x = x x... x n b = xn 2.2. ábr. Alsó integrálközelítő összeg 2... Állítás. Az [, b] intervllum tetszőleges P felosztás és tetszőleges ξ,..., ξ n [, b] pontok esetén σ( f, P) I( f, P) Σ( f, P). H P és P 2 olyn felosztási z [, b] intervllumnk, hogy P P 2, kkor σ( f, P ) σ( f, P 2 ) és Σ( f, P 2 ) Σ( f, P ). Az [, b] intervllum tetszőleges P és P 2 felosztási esetén σ( f, P ) Σ( f, P 2 ).

y f = x x x n b = x n x 2.3. ábr. Felső integrálközelítő összeg 2

2..7. Definíció. Legyen f [, b] R egy korlátos függvény. Ekkor z illetve z I( f ) = sup {σ( f, P) P z [, b] felosztás}, I( f ) = inf {Σ( f, P) P z [, b] felosztás}, számokt z f függvény [, b] intervllum feletti lsó, illetve felső Drboux-integráljánk nevezzük. 2..2. Állítás. Tetszőleges f [, b] R esetén z I( f ), illetve z I( f ) Drboux-integrálok léteznek és végesek, vlmint I( f ) I( f ) teljesül. 2... Következmény. Tetszőleges f [, b] R korlátos függvény és z [, b] intervllum tetszőleges P felosztás esetén σ( f, P) I( f ) I( f ) Σ( f, P), így, teljesül. I( f ) I( f ) O( f, P) 2..8. Definíció. Azt mondjuk, hogy z f [, b] R függvény Riemnn-integrálhtó, h I( f ) = I( f ) teljesül. Ezt közös értéket z f függvény [, b] intervllum feletti Riemnn-integráljánk mondjuk és rá z b f (x)dx jelölést hsználjuk. 2..2. Megjegyzés (A Riemnn-integrál geometrii jelentése). Az b f (x)dx Riemnn-integrál nnk trtománynk z előjeles területe, melyet z y = f (x) görbe, z x-tengely, vlmint z x = és y = b egyenletű egyenes htárol. y f b x 2.4. ábr. A Riemnn-integrál geometrii jelentése 3

2... Tétel (Drboux). Legyen f [, b] R korlátos függvény. Ekkor bármely ε > esetén vn olyn δ > úgy, hogy h P olyn felosztás z [, b] intervllumnk, melyre P < δ, kkor teljesül. Σ( f, P) I( f ) < ε és σ( f, P) I( f ) < ε 2..2. Következmény. Legyen f [, b] R korlátos függvény. Ekkor z [, b] intervllum tetszőleges (P k ) k N normális felosztássorozt esetén teljesül. 2... Péld. Az lim σ( f, P k) = I( f ), lim Σ( f, P k ) = I( f ) és lim O( f, P k ) = I( f ) I( f ) k k k f (x) = x 2 (x [, ]) függvény Riemnn-integrálhtó [, ] intervllumon. Az előző következmény szerint z lsó és felső Drboux-integrálok kiszámításához elegendő z lsó- és felső-integrálközelítő összegeket normális felosztássoroztr meghtározni. Legyen n N és tekintsük felosztásokt. Ekkor P n = { i i =,,..., n} n P n = n teljesül minden n N esetén, vgyis (P n ) n N felosztássorozt normális. Továbbá, h n N rögzített, kkor Ezért és Mindezekből és dódik, vgyis M i = Σ( f, P n ) = σ( f, P n ) = sup x [ i n, i n ] x 2 = n i= n i= m i x i = i 2 M i x i = n 2 és m i = inf x [ i n, i n ] x 2 = n i 2 i= n 2 n = n 3 n (i ) 2 i= n 2 n = n 3 n i= n i= (i )2 n 2 (i =,..., n). i 2 = n 3 n(n + )(2n + ) 6 (i ) 2 = (n )n(2n ) n 3 6 I( f ) = lim n Σ( f, P n ) = lim n n(n + )(2n + ) 6n 3 = 3 I( f ) = lim n σ( f, P n ) = lim n (n )n(2n ) 6n 3 = 3 I( f ) = I( f ) = 3, mi zt jelenti, hogy z f függvény Riemnn-integrálhtó [, ] intervllumon és x 2 dx = 3. (n N) (n N) 4

2..2. Péld. Az, x Q f (x) = χ Q (x) =, x Q függvény nem Riemnn-integrálhtó [, ] intervllumon. Az előző következmény szerint z lsó és felső Drboux-integrálok kiszámításához elegendő z lsó- és felső-integrálközelítő összegeket normális felosztássoroztr meghtározni. Legyen n N és tekintsük felosztásokt. Ekkor P n = { i i =,,..., n} n P n = n teljesül minden n N esetén, vgyis (P n ) n N felosztássorozt normális. Továbbá, h n N rögzített, kkor Ezért és Mindezekből és dódik, vgyis M i = sup x [ i χ Q (x) = és m i = inf χ Q (x) = (i =,..., n). n, i n ] x [ i n, i n ] Σ( f, P n ) = n i= σ( f, P n ) = M i x i = n i= n i= m i x i = n = n = (n N) n n i= = (n N) n I( f ) = lim n Σ( f, P n ) = lim n = I( f ) = lim n σ( f, P n ) = lim n = I( f ) = = I( f ) mi zt jelenti, hogy z f függvény nem Riemnn-integrálhtó [, ] intervllumon. 2.2. A Riemnn-integrálhtóság kritériumi és elegendő feltételei 2.2.. Tétel (Oszcillációs kritérium). Legyen f [, b] R korlátos függvény. Az f függvény kkor, és cskis kkor Riemnn-integrálhtó, h bármely ε > esetén vn olyn P felosztás z [, b] intervllumnk, melyre O( f, P) < ε teljesül. 2.2.2. Tétel. Legyen f [, b] R korlátos függvény. Az f függvény kkor, és cskis kkor Riemnnintegrálhtó, h vn olyn I vlós szám, hogy bármely ε > esetén vn olyn P felosztás z [, b] intervllumnk, melyhez trtozó I( f, P) integrálközelítő összegre teljesül. Továbbá, ebben z esetben I( f, P) I < ε I = b f (x)dx. 2.2.3. Tétel. Legyen f [, b] R folytonos függvény. Ekkor f Riemnn-integrálhtó. 2.2.4. Tétel. Legyen f [, b] R monoton függvény. Ekkor f Riemnn-integrálhtó. 2.2.5. Tétel. Legyen f [, b] R olyn függvény, mely legfeljebb megszámlálhtón végtelen sok [, b]-beli pontbn nem folytonos. Ekkor f Riemnn-integrálhtó. 5

2.3. A Riemnn-integrál tuljdonsági 2.3.. Tétel (Riemnn-integrál és műveletek). Legyenek f, g [, b] R Riemnn-integrálhtó függvények, λ R. Ekkor z f + g függvény is Riemnn-integrálhtó és b ( f + g)(x)dx = λ f függvény is Riemnn-integrálhtó és b b (λ f )(x)dx = λ h minden x [, b] esetén f (x) g(x) teljesül, kkor f (x)dx + b b f (x)dx; g(x)dx; b f (x)dx b g(x)dx; h [c, d] [, b], kkor z f függvény Riemnn-integrálhtó [c, d] intervllumon is; h c ], b[, kkor h K olyn, hogy kkor b f (x)dx = c f (x)dx + c f (x) K (x [, b]), b b f (x)dx; f (x)dx K(b ). 2.3.. Megjegyzés. Az előző tételben szereplő első és második állítást együttesen Riemnn-integrál lineritásánk, hrmdikt Riemnn-integrál monotonitásánk, míg z ötödiket Riemnn-integrál intervllumdditivitásánk mondjuk. 2.3.2. Tétel (Középértéktétel). Legyenek f, g [, b] R Riemnn-integrálhtó függvények. Tegyük fel továbbá, hogy z f függvény folytonos, g függvény pedig nemnegtív. Ekkor vn olyn ξ ], b[, melyre teljesül. b f (x)g(x)dx = f (ξ) b g(x)dx 2.3.. Következmény (Középértéktétel II.). Legyen f [, b] R folytonos, Riemnn-integrálhtó függvény. Ekkor vn olyn ξ ], b[, melyre teljesül. f (ξ) = b b f (x)dx 2.3.3. Tétel. Legyen f [, b] R egy Riemnn-integrálhtó függvény. Ekkor z f függvény is Riemnnintegrálhtó és teljesül. b f (x)dx b f (x) dx 6

y f (ξ) f f (ξ)(b ) ξ b x 2.4. A Newton Leibniz-formul 2.5. ábr. A Középértéktétel geometrii jelentése 2.4.. Definíció. Legyen f [, b] R egy Riemnn-integrálhtó függvény. Ekkor z F(x) = x f (t)dt (x [, b]) módon megdott F [, b] R függvényt z f függvény felsőhtárfüggvényének vgy integrálfüggvényének hívjuk. 2.4.. Tétel. Legyen f [, b] R egy Riemnn-integrálhtó függvény. Ekkor z f függvény felsőhtárfüggvénye folytonos z [, b] intervllumon. 2.4.2. Tétel. Legyen f [, b] R egy Riemnn-integrálhtó függvény. H z f függvény folytonos z ], b[ intervllum vlmely x pontjábn, kkor ebben pontbn z f függvény F felsőhtárfüggvénye differenciálhtó és F (x ) = f (x ). 2.4.3. Tétel (Newton Leibniz). Legyen f [, b] R egy folytonos függvény és jelölje F [, b] R z f függvény egy primitív függvényét. Ekkor 2.4.. Péld. Számítsuk ki z integrált. A Newton Leibniz formul jelöléseivel így b f (x)dx = [F(x)] b = F(b) F(). e e 2 2 x dx f (x) = 2 x, F(x) = 2 ln x és = e, b = e2, e e 2 dx = [2 ln x ]e2 e x = ln e2 ln e = 4 2 = 2. 2.4.4. Tétel (Prciális integrálás tétele). Legyenek f, g [, b] R olyn differenciálhtó függvények, melyek deriváltji Riemnn-integrálhtók. Ekkor b f (x)g (x)dx = [ f (x)g(x)] b b f (x)g(x)dx. 7

2.4.2. Péld. 2 xe x =? Az integrál kiszámításához lklmzzuk z előző tételt z válsztássl, ekkor így 2 xe x dx = [xe x ] 2 2 f (x) = x és g (x) = e x f (x) = és g(x) = e x, e x dx = [xe x ] 2 [ex ] 2 = (2e2 ) (e 2 ) = e 2 +. 2.4.5. Tétel (Helyettesítéses integrálás tétele). Legyen ϕ [, b] [A, B] egy olyn szigorún monoton növekedő, folytonosn differenciálhtó függvény, melyre ϕ() = A és ϕ(b) = B. H z f [ϕ(), ϕ(b)] R függvény folytonos, kkor ϕ(b) ϕ() f (x)dx = b f (ϕ(t)) ϕ (t)dt. 2.4.3. Péld. Alklmzzuk z előző tételt válsztássl, ekkor továbbá ezért = 7 és b =, így 2 2 (3x + 4) 3 dx =? ϕ(t) = t 4 3 ϕ (t) = 3, és ϕ (t) = 3t + 4, (3x + 4) 3 dx = ϕ() = és ϕ(b) = 2, 7 t 3 t4 dt = [ 3 2 ] = 4 7 4. 2 A Riemnn-integrál néhány lklmzás Területszámítás Legyenek ϕ, ψ [, b] R olyn folytonos függvények, melyekre ϕ(x) ψ(x) (x [, b]) teljesül és jelölje S nnk síkidomnk területét, melyet z y = ϕ(x), y = ψ(x) görbék vlmint z x = és x = b egyenesek htárolnk. ψ ϕ b 8

Ekkor z S síkidom területe 2.4.4. Péld. Legyenek A(S ) = b ψ(x) ϕ(x)dx. ϕ(x) = x és ψ(x) = x + sin 2 (x) (x [, π]). Ekkor ϕ(x) ψ(x) teljesül minden x [, π] esetén, így ϕ, ψ görbék, illetve z x = és x = π egyenesek áltl meghtározott trtomány területe π T(S ) = (x + sin2 (x)) xdx = π sin 2 (x)dx = [ x 2 sin(2x) 4 π ] = π 2. Görbék ívhossz Legyen ϕ [, b] R egy folytonosn differenciálhtó függvény, ekkor ϕ függvény áltl meghtározott görbedrb ívhossz, b L(ϕ) = + (ϕ (x)) 2 dx. ϕ b 2.4.5. Péld. Legyen α > rögzített és ϕ(x) = α cosh ( x ) (x [, α]). α Ekkor ϕ [, α] R folytonosn differenciálhtó függvény áltl meghtározott görbedrb hossz, α L(ϕ) = + (ϕ (x) 2 α )dx = + (sinh 2 ( x ))dx = α cosh ( x α ) dx = [α sinh ( x α α )] = α sinh(). 9

Forgástestek térfogt Legyen ϕ [, b] R egy folytonos függvény és forgssuk meg z x tengely körül z x b y ϕ(x) trtományt. A forgás során súrolt pontok egy S forgástestet lkotnk, melynek térfogt V(S ) = π b ϕ 2 (x)dx. ϕ b 2.4.6. Péld. Legyen r > dott és ϕ(x) = r 2 x 2 (x [ r, r]). Ekkor ϕ függvény x tengely körüli megforgtásávl nyert forgástest éppen z origó középpontú r sugrú gömb. A fentiek szerint ennek forgástestnek térfogt r r V(S ) = π r ϕ2 (x)dx = π ( r 2 x 2 ) 2 r dx = π r r r2 x 2 dx = π [r 2 x x3 r 3 ] 2.5. Improprius integrálok r = 4r3 π 3. 2.5.. Definíció. Legyen vlós, b pedig bővített vlós szám, úgy, hogy < b teljesül. Legyen továbbá f [, b[ R egy olyn függvény, mely minden x [, b[ esetén Riemnn-integrálhtó z [, x] intervllumon. Értelmezzük z F [, b[ R függvényt z F(x) = x f (t)dt (x [, b[) formulávl. H z F függvénynek b pontbn létezik és véges bloldli htárértéke, kkor zt mondjuk, hogy z b f (x)dx improprius integrál konvergens és ebben z esetben b f (x)dx = lim x b F(x). 2

2.5.2. Definíció. Legyen bővített vlós, b pedig vlós szám, úgy, hogy < b teljesül. Legyen továbbá f ], b] R egy olyn függvény, mely minden x ], b] esetén Riemnn-integrálhtó z [x, b] intervllumon. Értelmezzük z F ], b] R függvényt z F(x) = x b f (t)dt (x ], b]) formulávl. H z F függvénynek z pontbn létezik és véges jobboldli htárértéke, kkor zt mondjuk, hogy z b f (x)dx improprius integrál konvergens és ebben z esetben b f (x)dx = lim x + F(x). 2.5.3. Definíció. Legyenek, b bővített vlós számok úgy, hogy < b. Legyen továbbá f ], b[ R egy olyn függvény, mely z ], b[ intervllum minden zárt részintervllumán Riemnn-integrálhtó. Tegyük fel, hogy vn olyn c ], b[, mely esetén z c f (x)dx és z c b f (x)dx improprius integrálok konvergensek. Ebben z esetben zt mondjuk, hogy z b is konvergens és b f (x)dx = c f (x)dx + c b f (x)dx. f (x)dx improprius integrál 2.5.. Tétel (Összehsonlító kritérium I.). Legyen R és ϕ, Φ [, + [ R olyn függvények, melyek z [, + [ intervllum minden zárt részintervllumán Riemnn-integrálhtók. Tegyük fel továbbá, hogy ϕ(x) Φ(x) (x [, + [). Ekkor, h z + Φ(x)dx improprius integrál konvergens, kkor z + ϕ(x)dx improprius integrál bszolút konvergens. 2.5.2. Tétel (Összehsonlító kritérium II.). Legyen R és ϕ, ψ [, + [ R olyn függvények, melyek z [, + [ intervllum minden zárt részintervllumán Riemnn-integrálhtók. Tegyük fel továbbá, hogy ψ(x) > teljesül minden x [, + [ esetén és létezik és nullától különböző ϕ(x) lim x + ψ(x) htárérték. Ebben z esetben z + ϕ(x)dx és z + ψ(x)dx improprius integrálok egyszerre konvergensek, illetve divergensek. 2.5.3. Tétel. Legyenek, p R és ϕ [, + [ R olyn függvény, mely z [, + [ intervllum minden zárt részintervllumán Riemnn-integrálhtó. Tegyük fel továbbá, hogy létezik és nullától különböző htárérték. Ekkor lim x + xp ϕ(x) p > esetén z + ϕ(x)dx improprius integrál konvergens; 2

p esetén z + ϕ(x)dx improprius integrál divergens. 2.5.4. Tétel. Legyenek f, ϕ [, + [ R, melyekre (i) x + esetén ϕ függvény monoton csökkenően nullához konvergál; (ii) z F(x) = x f (t)dt módon megdott F [, + [ R függvény korlátos. (x [, + [) Ekkor z + f (x)ϕ(x)dx improprius integrál konvergens, zonbn bszolút konvergenci áltlábn nem teljesül. 2.5.. Következmény. Legyenek, α ], + [ tetszőlegesek. Ekkor z integrálok konvergensek. + cos(x) x α dx és z + sin(x) x α dx 2.5.. Péld. Az előző következmény lklmzásávl zonnl dódik, hogy z improprius integrál konvergens. + sin(x) dx x 2.5.2. Péld. + dx =, x2 ugynis tetszőleges x [, + [ esetén z f (t) = t 2 (t [, x]) 22

függvény Riemnn-integrálhtó z [, x] intervllumon. Továbbá, F(x) = x f (t)dt = x t 2 dt = [ x t 2 ] = x + = x, ezért vgyis z + x 2 dx improprius integrál konvergens és lim F(x) = lim ( x x x ) =, + x 2 =. 2.5.3. Péld. ugynis tetszőleges x [, + [ esetén z + dx = +, x f (t) = t (t [, x]) függvény Riemnn-integrálhtó z [, x] intervllumon. Továbbá, F(x) = x f (t)dt = x t dt = [ln x ]x = ln x ln = ln x, ezért vgyis z + x dx improprius integrál divergens. lim F(x) = lim ln x = +, x x 2.5.4. Péld. ugynis tetszőleges x [, [ esetén z dx = +, x f (t) = t (t [x, ]) függvény Riemnn-integrálhtó z [x, ] intervllumon. Továbbá, F(x) = x f (t)dt = x t dt = [ln t ] x = ln ln x = ln x ezért vgyis z x dx improprius integrál divergens. lim F(x) = lim ( ln x ) = +, x + x + 23

2.5.5. Péld. ugynis tetszőleges x [, [ esetén z x dx = 2, f (t) = t (t [x, ]) függvény Riemnn-integrálhtó z [x, ] intervllumon. Továbbá, F(x) = x f (t)dt = x t dt = [2 t] x = 2 2 x ezért vgyis z x dx improprius integrál konvergens és lim F(x) = lim (2 2 x) = 2, x + x + x dx = 2. 2.5.6. Péld. + dx = π, + x2 ugynis tetszőleges, b R, < b esetén z f (t) = + t 2 (t [, b]) függvény Riemnn-integrálhtó z [, b] intervllumon és b + t 2 dt = [rctg(t)]b = rctg(b) rctg(), így + dx = lim + x2 b + b dx = lim + x2 b + (rctg(b) rctg()) = π 2 ( π 2 ) = π. 2.5.7. Péld. Az improprius integrál bszolút konvergens. + cos 2 (x) x 2 dx 24

Ugynis tetszőleges x ], + [ esetén cos2 (x) x 2 x 2 teljesül, vlmint 2.5.2. Péld szerint + dx =. x2 2.5.8. Péld. Az 3 + dx x e x improprius integrál divergens, hiszen minden x [3, + [ esetén teljesül. Továbbá, x e x > x 3 + x = +, miből z Összehsonlító kritérium felhsználásávl dódik fenti improprius integrál divergenciáj. 2.5.9. Péld. Az + e x2 dx improprius integrál konvergens, hiszen, h x ], + [, kkor e x2 < e x. Továbbá, z improprius integrál konvergens. 2.5.. Péld. Az improprius integrál konvergens. + + e x dx e x2 dx 25

Ebben z esetben zonbn nem hsználhtó z előző gondoltmenet, hiszen, h x [, ], kkor e x2 > e x. Hsználjuk zt, hogy Az előző péld lpján z + e x2 dx = + e x2 dx + e x2 dx improprius integrál konvergens. Továbbá, minden x [, ] esetén e x2, + e x2 dx. így miből dódik. e x2 dx + dx =, e x2 dx < + 26

3. fejezet Vektorterek, euklideszi terek 3.. Vektorterek, euklideszi terek 3... Definíció. Legyen X egy nemüres hlmz, melyen értelmezve vn egy + X X és egy X R, melyeket rendre összedásnk, illetve sklárrl vló szorzásnk nevezünk, úgy, hogy teljesülnek z lábbik (i) minden x, y X esetén x + y = y + x (kommuttivitás); (ii) minden x, y, z X esetén (x + y) + z = x + (y + z) (sszocitivitás); (iii) létezik egy olyn -vl jelölt elem X-ben, melyre minden x X esetén x + = x teljesül (zéruselem létezése); (iv) minden x X esetén létezik olyn x-szel jelölt X-beli elem, hogy x + ( x) = (inverzelem létezése); (v) minden x X esetén x = x; (vi) tetszőleges λ, µ R konstnsok és x X esetén λ (µ x) = (λµ) x; (vii) tetszőleges λ, µ R és x, y X esetén (λ + µ)x = λx + µx és λ(x + y) = λx + λy teljesül. Ebben z esetben zt mondjuk, hogy (X, +, ) vektortér vgy zt, hogy lineáris tér R felett. Az X hlmz elemeire továbbikbn vektorok, míg R elemeire sklárok elnevezést fogjuk hsználni. 3..2. Definíció. Legyen X egy vektortér. Azt mondjuk, hogy, X X R függvény belsőszorzt vgy skláris szorzt X-en, h teljesülnek következők. (i) tetszőleges x, y X esetén x, y = y, x ; (ii) minden x, y, z X esetén x + y, z = x, z + y, z ; (iii) minden x, y X és λ R esetén λx, y = λ x, y ; (iv) tetszőleges x X esetén x, x és x, x = pontosn kkor teljesül, h x =. Azt mondjuk továbbá, hogy z X vektortér belsőszorzttér vgy euklideszi tér, h X-en dv vn egy belsőszorzt. 3... Péld. Az X = C([, b]) téren z formul belsőszorzt definiál. f, g = b f (x)g(x)dx 3..2. Péld. Legyen n N, ekkor z X = M n n (R) lineáris téren z A, B = tr(a B) (A, B M n n (R)) formul belsőszorztot d meg. 27

3..3. Definíció. Legyen X egy belsőszorzttér, ekkor z x X elem normáján z számot értjük. x = x, x 3... Állítás (A norm tuljdonsági). Legyen X egy belsőszorzttér és X elemeinek normáját értelmezzük z előző definíció szerint. Ekkor (i) tetszőleges x X esetén x és x = pontosn kkor teljesül, h x = ; (ii) minden x X és λ R esetén λx = λ x ; (iii) bármely x, y X esetén x + y x + y. 3.2. Az R n tér 3.2.. Definíció. Legyen R = R és h n N, kkor legyen R n+ = R n R. Az R n tér elemeit rendezett szám n-eseknek nevezzük. H x = (x,..., x n ) R n, kkor z x i vlós számot z x vektor i-edik koordinátájánk mondjuk, i =,..., n. 3.2.. Állítás. Az R n térben értelmezzük következő két műveletet, h x = (x,..., x n ), y = (y,..., y n ) R n és x + y = (x + y,..., x n + y n ), λ x = (λx,..., λx n ), h x = (x,..., x n ) R n és λ R. Ekkor (R n, +, ) lineáris tér. 3.2.2. Állítás. H x = (x,..., x n ), y = (y,..., y n ) R n, kkor legyen Ekkor, belsőszorzt R n téren. x, y = x y + x n y n. 3.2.2. Definíció. Legyenek x = (x,..., x n ), y = (y,..., y n ) R n, ekkor z x = n xi 2 i= számot z x R n vektor normájánk hívjuk, hogy x y = n (x i y i ) 2 i= mennyiséget z x és z y vektorok távolságánk mondjuk. 3.2.3. Definíció. Legyen x R n és r >, ekkor illetve G(x, r) = {x R n x x < r}, B(x, r) = {x R n x x r}, hlmzokt rendre z x pont r sugrú nyílt, illetve zárt környezeteinek nevezzük. 28

3.2.4. Definíció. Legyen D R n egy nemüres hlmz. Azt mondjuk, hogy z x D pont belső pontj D-nek, h vn olyn r >, hogy G(x, r) D teljesül. A D hlmz belső pontjink hlmzár továbbikbn D jelölést fogjuk hsználni. 3.2.5. Definíció. Legyen D R n egy nemüres hlmz. Azt mondjuk, hogy z x R n pont külső pontj D-nek, h x belső pontj R n D-nek. 3.2.6. Definíció. Legyen D R n egy nemüres hlmz. Azt mondjuk, hogy z x D pont htárpontj D-nek, h tetszőleges r > esetén G(x, r) D és G(x, r) (R n D) teljesül. A D hlmz belső pontjink hlmzár továbbikbn D jelölést fogjuk hsználni. 3.2.7. Definíció. Legyen D R n egy nemüres hlmz. Azt mondjuk, hogy z x R n pont érintkezési pontj D-nek, h tetszőleges r > esetén G(x, r) D. Azt mondjuk, hogy z x R n pont D hlmznk torlódási pontj, h minden r > esetén G(x, r) (D {x }) teljesül. A D hlmz torlódási pontji hlmzár továbbikbn D jelölést fogjuk hsználni. Azt mondjuk, hogy z x D pont D hlmznk izolált pontj, h vn olyn r >, hogy G(x, r) D = {x } teljesül. x 3 D x 2 x 3.. ábr. Az x pont belső, z x 2 pont htár-, z x 3 pont pedig külső pontj D hlmznk 3.2.8. Definíció. Azt mondjuk, hogy D R n hlmz nyílt, h D hlmz minden pontj belső pont. Azt mondjuk, hogy H R n hlmz zárt, h H trtlmzz z összes torlódási pontját. 3.2.. Tétel. Legyen D R n egy hlmz. Ekkor z lábbi állítások ekvivlensek. (i) A D hlmz nyílt. (ii) Az R n D hlmz zárt. 3.2.9. Definíció. Azt mondjuk, hogy K R n hlmz korlátos, h vn olyn r > és olyn x R n, hogy K G(x, r) teljesül. 3.2.2. Tétel (Bolzno Weierstrss). Az R n tér minden korlátos, végtelen hlmzánk vn torlódási pontj. 3.2.. Definíció. Azt mondjuk, hogy D R n hlmz kompkt, h D hlmz minden, nyílt hlmzokból álló lefedéséből kiválszthtó véges lefedés. 3.2.3. Tétel (Heine Borel). A D R n hlmz pontosn kkor kompkt, h korlátos és zárt. 29

B(x, r) x K 3.2. ábr. Korlátos hlmz 3.3. Soroztok z R n térben 3.3.. Definíció. Legyen k N, R k -beli sorozton egy természetes számok hlmzán értelmezett f N R k függvényt értünk. Legyen n N tetszőleges, ekkor f (n) helyett áltlábn z x n jelölést hsználjuk, mgár soroztr pedig z (x n ) n N jelölést lklmzzuk. Továbbá, z x n R k -beli vektort z (x n ) n N sorozt n-edik elemének mondjuk. 3.3.2. Definíció. Legyen k N és (x n ) n N egy sorozt R k -bn. Azt mondjuk, hogy z (x n ) n N sorozt htárértéke (vgy limesze) x R k, h bármely ε > számhoz tlálhtó olyn N > szám, hogy h n N és n > N, kkor x n x < ε. Erre lim n x n = x jelölést hsználjuk. 3.3.3. Definíció. Egy soroztot konvergensnek nevezünk, h vn olyn x R, mi szóbn forgó sorozt limesze. Ellenkező esetben divergens soroztról beszélünk. 3.3.. Tétel (A htárérték egyértelműsége). Legyen (x n ) n N egy olyn sorozt z R k térben, mely egyránt trt z x és y R k -beli elemekhez. Ekkor x = y. 3.3.4. Definíció. Azt mondjuk, hogy z (y n ) n N sorozt z (x n ) n N sorozt részsorozt, h létezik egy olyn ϕ N N szigorún monoton függvény, hogy minden n N esetén teljesül. y n = x ϕ(n) 3.3.2. Tétel. Legyen x R k és (x n ) n N egy olyn sorozt R k -bn, melyre lim n x n = x. Ekkor z (x n ) n N sorozt tetszőleges (y n ) n N részsorozt esetén teljesül. lim y n = x n 3.3.5. Definíció. Legyen k N, z R k -beli (x n ) n N soroztot korlátosnk nevezzük, h z hlmz korlátos. {x n n N} R k 3.3.3. Tétel (Konvergenci korlátosság). Bármely konvergens R k -beli sorozt korlátos. 3

3.3.4. Tétel (Bolzno Weierstrss-féle kiválsztási tétel). Legyen k N. Az R k tér minden korlátos soroztánk létezik konvergens részsorozt. 3.3.6. Definíció. Legyen k N. Azt mondjuk, hogy z (x n ) n N R k -beli sorozt Cuchy-sorozt, h tetszőleges ε > szám esetén vn olyn N > szám, hogy h n, m N, n, m > N, kkor x n x m < ε. 3.3.5. Tétel (Cuchy-féle konvergencikritérium). Egy R k -beli sorozt kkor és cskis kkor konvergens, h Cuchy-sorozt. 3.3.6. Tétel. Legyen k N. Az lábbi állítások ekvivlensek. z (x n ) n N sorozt konvergens és htárértéke x; minden i =,..., k esetén z (x n (i) ) n N úgynevezett i-edik koordinátsorozt konvergens és htárértéke x (i), hol x = (x (),..., x (k) ) és x n = (x () n,..., x (k) ), (n N). n 3

4. fejezet Többváltozós és vektorértékű függvények folytonosság 4.. Alpfoglmk 4... Definíció. Legyenek k, m N, D R k nemüres hlmz, f D R m függvény. Azt mondjuk, hogy z f függvény folytonos z x D pontbn, h bármely ε > esetén létezik olyn δ >, hogy h x D olyn, hogy x x R k < δ, kkor f (x) f (x ) R m < ε. H z f függvény D hlmz minden pontjábn folytonos, kkor zt mondjuk, hogy z f függvény folytonos D hlmzon. 4... Tétel (Átviteli elv). Legyenek k, m N, D R k nemüres hlmz, f D R m. Az f függvény kkor és cskis kkor folytonos z x D pontbn, h tetszőleges (x n ) n N D hlmzbeli elemekből álló, x -hoz konvergáló sorozt esetén z ( f (x n )) n N sorozt f (x )-hoz konvergál. 4... Megjegyzés. A fenti definíció jelölései és feltételei mellett, z f függvény kkor és cskis kkor nem folytonos z x D pontbn, h vn olyn (x n ) n N D hlmzbeli elemekből álló, x -hoz konvergáló sorozt, melyre z ( f (x n )) n N sorozt nem f (x )-hoz konvergál. 4... Péld. Az f (x, y) = x 2 + y 2 ((x, y) R 2 ) módon megdott f R 2 R függvény z R 2 hlmz minden pontjábn folytonos. Legyen ugynis (x, y ) R 2 tetszőleges és ((x n, y n )) n N egy tetszőleges, olyn R 2 -beli sorozt, mely z (x, y ) ponthoz konvergál. Ebben z esetben teljesül, ezért lim x n = x és lim y n = y n n f (x n, y n ) = x 2 n + y 2 n n x 2 + y 2 = f (x, y ). Így, z Átviteli elv mitt z f függvény folytonos z (x, y ) pontbn. Mivel z (x, y ) R 2 pont tetszőleges volt, ezért z f függvény z R 2 hlmz minden pontjábn folytonos. 4..2. Péld. Tekintsük z xy f (x, y) = x 2 + y 2 (x, y) (, ) (x, y) = (, ) módon megdott f R 2 R függvényt. Ekkor f nem folytonos (, ) pontbn, zonbn z R 2 {(, )} hlmz minden pontjábn folytonos. Tekintsük ugynis z (x n, y n ) = ( n, ) (n N) n 32

4.. ábr. Az f (x, y) = x 2 + y 2 függvény soroztot. Ekkor lim n (x n, y n ) = (, ), továbbá, f (x n, y n ) = f ( n, n ) = n n n 2 + n 2 = 2 n = f (, ). 2 Ez pedig z Átviteli elv értelmében zt jelenti, hogy z f függvény nem folytonos (, ) pontbn. Legyen most (x, y ) R 2 {(, )} tetszőleges és ((x n, y n )) n N egy tetszőleges, olyn R 2 -beli sorozt, mely z (x, y ) ponthoz konvergál. Ebben z esetben lim x n = x és lim y n = y n n teljesül továbbá (x n, y n ) (, ) legfeljebb véges sok n N kivételével, ezért f (x n, y n ) = x ny n xn 2 + y 2 n n x y x 2 + = f (x, y ). y2 Így, z Átviteli elv mitt z f függvény folytonos z (x, y ) pontbn. Mivel z (x, y ) R 2 pont tetszőleges volt, ezért z f függvény R 2 {(, )} hlmz minden pontjábn folytonos. 4.2. ábr. A 4..2. Példábn szereplő függvény 4.2. Folytonosság és műveletek 4.2.. Tétel. Legyenek k, m N, D R k nemüres hlmz. H z f, g D R m függvények folytonosk z x D pontbn, kkor 33

(i) z f + g függvény is folytonos z x pontbn; (ii) tetszőleges λ R esetén λ f függvény is folytonos z x pontbn; 4.2.2. Tétel (Az összetett függvény folytonosság). Legyenek n, m, k N, D R n nemüres hlmz és legyenek f D R m és g f (D) R m R k dott függvények. H z f függvény folytonos z x D pontbn, g pedig z f (x ) f (D) pontbn, kkor g f D R k függvény folytonos z x pontbn. 4.3. Folytonosság és topologikus foglmk 4.3.. Tétel. Legyen D R k nemüres hlmz, ekkor z f D R m függvény pontosn kkor folytonos D hlmzon, h tetszőleges V R m nyílt hlmz esetén z f (V) R k hlmz nyílt. 4.3.2. Tétel. Legyen D R k kompkt hlmz, f D R m folytonos függvény. Ekkor z f (D) R m hlmz kompkt. 4.3.. Definíció. Legyen D R k nemüres hlmz, f D R m. Azt mondjuk, hogy z f függvény D hlmzon egyenletesen folytonos, h bármely ε > esetén vn olyn δ > úgy, hogy h x, y D olynok, hogy x y R k < δ, kkor f (x) f (y) R m < ε. 4.3.. Állítás (Egyenletes folytonosság folytonosság). Legyen D R k nemüres hlmz, f D R m. H z f függvény D hlmzon egyenletesen folytonos, kkor f D hlmz minden pontjábn folytonos. 4.3.3. Tétel. Legyen D R k kompkt hlmz, f D R m folytonos függvény. Ekkor z f függvény egyenletesen folytonos D hlmzon. 34

5. fejezet Többváltozós és vektorértékű függvények htárértéke 5.. Alpfoglmk 5... Definíció. Legyenek n, m N, D R n, f D R m, x D és α R m. Azt mondjuk, hogy z f függvénynek z x pontbn htárértéke α, h tetszőleges ε > esetén létezik olyn δ >, hogy h x D és x x R n < δ, kkor f (x) α R m < ε. Erre lim x x f (x) = α jelölést lklmzzuk. 5... Tétel (Átviteli elv). Legyenek n, m N, D R n, f D R m, illetve x D és α R m. Ekkor lim x x f (x) = α pontosn kkor teljesül, h tetszőleges (x n ) n N D beli, x hoz konvergáló sorozt esetén lim n f (x n ) = α teljesül. 5.2. Htárérték és műveletek 5.2.. Tétel (Htárérték és műveletek). Legyenek n, m N, D R n, x D f, g D R m, illetve α, β R m. H z f és g függvényeknek létezik htárértéke z x pontbn és kkor lim f (x) = α és lim g(x) = β, x x x x (i) z f + g függvénynek is létezik z x pontbn htárértéke lim ( f (x) + g(x)) = α + β; x x (ii) tetszőleges λ R esetén λ f függvénynek is létezik z x pontbn htárértéke és lim λ f (x) = λ α. x x 5.2.2. Tétel (Htárérték és folytonosság). Legyenek n, m N, D R n, f D R m és x D. Ekkor z f függvény pontosn kkor folytonos z x pontbn, h létezik lim x x f (x) htárérték, és 5.2.. Péld. lim x x f (x) = f (x ). x 4 y 4 lim (x,y) (,) x 2 + y 2 =. A htárérték kiszámításához z Átviteli elvet fogjuk hsználni, ezért legyen (x n, y n ) n N egy tetszőleges R 2 - beli, (, ) ponthoz konvergáló sorozt. Ekkor xn 4 y 4 n (xn 2 + y 2 lim n xn 2 + y 2 = lim n) (xn 2 y 2 n) n n xn 2 + y 2 = lim (x 2 n n n y 2 n ) =. 35

5.. ábr. Az f (x, y) = x4 y 4 x 2 + y 2 függvény 5.2.2. Péld. Az f (x, y) = sin ( xy ) ((x, y) R2, xy ) függvénynek nem létezik (, ) pontbn htárértéke. Ehhez tekintsük ugynis z (x n, y n ) = (, ) (n N) n n módon megdott R 2 -beli, (, ) ponthoz konvergáló soroztot. Ekkor f (x n, y n ) = f ( n, n ) = sin n = sin(n) (n N). n Mivel (sin(n)) n N sorozt divergens, ezért zt kptuk, hogy vn olyn (x n, y n ) n N, R 2 -beli, (, ) ponthoz konvergáló sorozt, melyre függvényértékekből álló ( f (x n, y n )) n N sorozt divergens. Így, z Átviteli elv értelmében fent megdott függvénynek nem létezik htárértéke (, ) pontbn. 5.2. ábr. Az f (x, y) = sin ( xy ) függvény 5.2.3. Péld. lim x sin ( (x,y) (,) y ) + y sin ( x ) = 36

Legyen (x n, y n ) n N egy tetszőleges R 2 -beli, (, ) ponthoz konvergáló sorozt. Ekkor f (x n, y n ) = x n sin ( y n ) + y n sin ( x n ) (n N). Mivel minden z R esetén sin(z), ezért x n sin ( y n ) + y n sin ( x n ) x n + y n n, így, lim f (x n, y n ) =. n 5.3. ábr. Az f (x, y) = x sin ( y ) + y sin ( x ) függvény 5.2.. Definíció. Legyenek D, D 2 R, x D, y D 2 és f D D 2 R. Rögzített y D 2 esetén tekintsük z D x f (x, y) függvényt. Tegyük fel, hogy ennek függvénynek létezik z x pontbn htárértéke. Ekkor lim x x f (x, y) érték függ y-tól. Tekintsük most z D 2 y lim x x f (x, y) függvényt. H ennek függvénynek létezik z y pontbn htárértéke, kkor zt mondjuk, hogy létezik lim y y lim x x f (x, y) iterált htárérték. A lim x x lim y y f (x, y) iterált htárérték nlóg módon értelmezhető. 5.2.3. Tétel. Legyenek D, D 2 R, x D, y D 2 és f D D 2 R. Tegyük fel, hogy z f függvénynek z (x, y ) pontbn létezik htárértéke. (i) H minden rögzített x D esetén z f (x, ) D 2 R függvénynek létezik z y pontbn htárértéke, kkor létezik lim x x lim y y f (x, y) htárérték is és lim x x lim y y f (x, y) = lim y y lim x x f (x, y). (ii) H minden rögzített y D 2 esetén z f (, y) D R függvénynek létezik z x pontbn htárértéke, kkor létezik lim y y lim x x f (x, y) htárérték is és lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y). x x y y y y x x 37

5.2.4. Péld. Tekintsük z függvényt. Ekkor és f (x, y) = x y x + y ((x, y) R 2, x + y ) x y lim (lim x y x + y ) = lim = x lim (lim x y y x x + y ) = lim =. y 5.2.5. Péld. Legyen Ekkor f (x, y) = y x + y lim (lim y x + xy sin ( ) ((x, y) R 2, x + y, y ). y y x + y + xy sin ( )) = lim sin ( y y y ), mi nem létezik, így nem létezik lim y lim x f (x, y) htárérték. Azonbn, lim (lim x y y x + y Vgyis, z egyik iterált htárérték létezik, míg másik nem. + xy sin ( )) = lim =. y x 5.2.6. Péld. Legyen Ekkor zonbn htárérték nem létezik. f (x, y) = xy x 2 + y 2 ((x, y) R 2 {(, )}). lim (lim f (x, y)) = lim (lim f (x, y)) =, y x x y lim f (x, y) (x,y) (,) 38

6. fejezet Többváltozós és vektorértékű függvények differenciálhtóság 6.. Fréchet-differenciálhtóság 6... Definíció. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt hlmz, f D R m függvény. Azt mondjuk, hogy z f függvény Fréchet-differenciálhtó z x D pontbn, h létezik egy olyn A L(R n, R m ) lineáris leképezés, hogy f (x) f (x ) A(x x ) lim R m x x x x R n teljesül. Ebben z esetben z A lineáris leképezést z f függvény x pontbeli differeciálhánydosánk nevezzük és rá továbbikbn z f (x ) jelölést hsználjuk. 6... Megjegyzés. A Fréchet-differenciálhtóság helyett totális differenciálhtóság elnevezés is hsználtos. 6..2. Definíció. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt hlmz, f D R m függvény. Azt mondjuk, hogy z f függvény lineárisn pproximálhtó z x D pontbn, h létezik egy olyn A L(R n, R m ) lineáris leképezés és egy olyn ω D R m leképezés, melyre lim x x ω(x) = teljesül, úgy, hogy = f (x) = f (x ) + A(x x ) + ω(x) x x R n (x D). 6... Tétel (Fréchet-differenciálhtóság lineáris pproximálhtóság). Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt hlmz, f D R m függvény. Ekkor z f függvény pontosn kkor Fréchet-differenciálhtó z x D pontbn, h f lineárisn pproximálhtó ebben pontbn. 6... Állítás (A differenciálhánydos egyértelműsége). Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt hlmz, f D R m függvény. H A, A 2 L(R n, R m ) olyn lineáris leképezések, hogy f (x ) = A és f (x ) = A 2 is teljesül, kkor A = A 2. 6..2. Tétel (Differenciálhtóság folytonosság). Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt hlmz, f D R m függvény. H z f függvény Fréchet-differenciálhtó z x D pontbn, kkor f folytonos z x D pontbn. 6..2. Megjegyzés (Folytonosság Fréchet-differenciálhtóság). Az előző tétel megfordítás nem igz, hiszen z xy, h (x, y) (, ) f (x, y) = x 2 + y2, h (x, y) = (, ) módon megdott f R 2 R függvény folytonos (, ) pontbn, zonbn ebben pontbn nem differenciálhtó. 39

6.2. Iránymenti és prciális differenciálhtóság 6.2.. Definíció. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt hlmz, x D f D R m függvény és v R n. H létezik f (x + tv) f (x ) lim t t htárérték, kkor zt mondjuk, hogy z f függvény z x pontbn v irány mentén differenciálhtó. Ebben z esetben fenti htárértékre D v f (x ) jelölést lklmzzuk. 6.2.. Tétel (Fréchet-differenciálhtóság iránymenti differenciálhtóság). Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt hlmz, f D R m függvény. H z f függvény z x pontbn Fréchet-differenciálhtó, kkor ebben pontbn tetszőleges v R n irány mentén is differenciálhtó és teljesül. D v f (x ) = f (x ) v 6.2.. Megjegyzés (Iránymenti differenciálhtóság Fréchet-differenciálhtóság). Az előző tétel megfordítás nem igz, mert például z x 3 f (x, y) = x 2, (x, y) (, ) + y2, (x, y) = (, ) módon megdott f R 2 R függvény minden v = (v, v 2 ) R 2 irány mentén differenciálhtó (, ) pontbn és v 3 D v f (, ) = v 2 +, v2 2 zonbn z f függvény nem Fréchet-differenciálhtó (, ) pontbn. 6.2.2. Definíció. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt hlmz, f D R m függvény. Legyen továbbá minden i =,..., n esetén e i = (,...,,, i,..., ). H létezik D ei f (x ) iránymenti derivált, kkor zt mondjuk, hogy z f függvény z x pontbn z i-edik változój szerint prciálisn differenciálhtó z x D pontbn. Ebben z esetben D ei f (x ) jelölés helyett áltlábn f x i (x ) jelölést fogjuk hsználni. 4

6.2.2. Tétel (Fréchet-differenciálhtóság prciális differenciálhtóság). Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt hlmz, f D R m függvény. H z f függvény z x D pontbn Fréchet-differenciálhtó, kkor z f függvény ebben pontbn mindegyik változój szerint prciálisn is differenciálhtó és f (x )... f x (x ) = f m (x )... x f x n (x ) f m x n (x ) 6.2.2. Megjegyzés (Prciális differenciálhtóság folytonosság). A prciális differenciálhtóságból nem feltétlenül következik folytonosság, ugynis z módon megdott függvény esetében xy f (x, y) = x 2, (x, y) (, ) + y2, (x, y) = (, ) f x (, ) = és f (, ) =, y zonbn z f függvény nem folytonos (, ) pontbn. 6.2.3. Megjegyzés (Prciális differenciálhtóság iránymenti differenciálhtóság). A prciális differenciálhtóságból nem következik z iránymenti differenciálhtóság, ugynis például z módon megdott függvény esetében f (x, y) = xy ((x, y) R 2 ) f x (, ) = és f (, ) = y h zonbn v R 2 olyn, mely nem párhuzmos z e és e 2 irányok egyikével sem, kkor nem létezik D v f (, ) iránymenti derivált. 6.2.4. Megjegyzés (Iránymenti differenciálhtóság prciális differenciálhtóság). Az iránymenti differenciálhtóságból nem következik prciális differenciálhtóság. Ehhez legyenek u = (u, u 2 ), v = (v, v 2 ) R 2 olyn vektorok melyekre {u, v} {e, e 2 } és tekintsük z. f (x, y) = (u x + v y)(u 2 x + v 2 y) ((x, y) R 2 ) módon megdott f R 2 R függvényt. Ekkor D u f (, ) és D v f (, ) iránymenti deriváltk léteznek, zonbn z f függvény egyik változój szerint sem differenciálhtó prciálisn (, ) pontbn. 4

6.2.3. Tétel (Folytonos prciális differenciálhtóság Fréchet-differenciálhtóság). Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt hlmz, f D R m függvény. H z f függvény z x D pont egy környezetében mindegyik változój szerint prciálisn differenciálhtó és ezek prciális deriváltk folytonosk z x D pontbn, kkor z f függvény z x D pontbn differenciálhtó. 6.2.4. Tétel (Differenciálhtóság és műveletek). Legyenek n, m N, λ R, D R n nemüres, nyílt hlmz, x D. H z f, g D R m függvények differenciálhtók z x D pontbn, kkor z f + g függvény is differenciálhtó z x pontbn és ( f + g) (x ) = f (x ) + g (x ); λ f függvény is differenciálhtó z x pontbn és (λ f ) (x ) = λ f (x ). 6.2.5. Tétel (Az összetett függvény differenciálási szbály). Legyenek n, m, k N, D R n nemüres, nyílt hlmz, x D, f D R m és g f (D) R k függvények. H z f függvény differenciálhtó z x D pontbn, g függvény pedig z f (x ) f (D) pontbn, kkor g f függvény differenciálhtó z x pontbn és (g f ) (x ) = g ( f (x )) f (x ). 6.3. Mgsbbrendű deriváltk 6.3.. Definíció. Legyen n N, D R n egy nyílt hlmz, x D, f D R pedig egy függvény. H f z x pont egy környezetében prciálisn differenciálhtó, és vlmely i n és j n esetén f x i -nek z x pontbn létezik j-edik változó szerinti prciális deriváltj, tehát 2 f x j x i (x ), kkor zt mondjuk, hogy f z x pontbn j-edik változó szerint kétszer prciálisn differenciálhtó. H ez minden j n esetén teljesül, kkor zt mondjuk, hogy f z x pontbn kétszer prciálisn differenciálhtó. H f x i függvények minden i n esetén z x pontbn differenciálhtók, kkor zt mondjuk, hogy f z x pontbn kétszer differenciálhtó. 6.3.. Megjegyzés. A korábbikból világos, hogy h z f egy pontbn kétszer differenciálhtó, kkor ott kétszer prciálisn differenciálhtó, de ez fordítv nem igz. 6.3.2. Definíció. H D R n nyílt hlmz és f D minden pontjábn kétszer differenciálhtó, kkor zt mondjuk, hogy f kétszer differenciálhtó. A 2 f (x ) számokt z f függvény x -beli másodrendű prciális deriváltjink nevezzük. x j x i H D R n nyílt hlmz, és ezek D minden pontjábn léteznek, kkor értelemszerűen definiáljuk z 2 f f másodrendű prciális deriváltjit, mint D R függvényeket. Ezek szám áltlábn n 2, és x j x i előfordulht, hogy vlmely pontbn 2 f (x ) 2 f. H D hlmz nyílt, z f kétszer prciálisn x j x i x i x j differenciálhtó D-n, és z összes másodrendű prciális deriváltji folytonosk D-n, kkor zt mondjuk, hogy f kétszer folytonosn prciálisn differenciálhtó D-n. Egy korábbi tétel lpján z is világos, hogy h f kétszer folytonosn prciálisn differenciálhtó, kkor kétszer folytonosn differenciálhtó. Könnyű látni, hogy ezzel módszerrel rekurzív módon értelmezhetjük egy f D R függvénynek D hlmz x belső pontjábn z l-szeri prciális differenciálhtóságát, z l-szeri differenciálhtóságát és z l-szeri folytonos differenciálhtóságát. A mgsbbrendű prciális deriváltk jelölésére zt módszert hsználjuk, hogy h l 2 pozitív egész, és i, i 2,..., i l k, kkor (x ) jelenti l f x i x i2... x il l f x i2... x il (x ) 42

függvénynek (mely szükségképpen értelmezve vn x egy környezetében) z x i -edik változó szerinti prciális deriváltját. H k, l N, D R n nyílt hlmz és z f D R függvény l-szer folytonosn differenciálhtó, kkor zt mondjuk, hogy z f függvény C l -osztályú. A C -osztályú függvények ltt folytonos függvényeket értjük. H f D R m vektor-vektor függvény, kkor f -et C l -osztályúnk mondjuk, h minden komponense C l - osztályú. Az összes f D R m típusú C l -osztályú függvények hlmzát C l (D, R m ) jelöli, melyet m = esetén egyszerűen C l (D) módon rövidítünk. H f minden l pozitív egész esetén C l -osztályú, kkor zt mondjuk, hogy C -osztályú, vgy kárhányszor differenciálhtó. Az ilyen függvények hlmzát C (D, R m ), illetve z m = esetben C (D) jelöli. 6.3.. Tétel (Schwrz Young). Legyen D R 2 nyílt hlmz, f D R pedig egy függvény, melyre D minden pontjábn léteznek f x, 2 f y x és f y prciális deriváltk. H 2 f y x D hlmz x pontjábn folytonos, kkor létezik 2 f x y (x ), és 2 f y x (x ) = 2 f x y (x ). 6.3.2. Megjegyzés. A tétel szerint tehát, h l pozitív egész, és f egy nyílt hlmzon l-szer folytonosn differenciálhtó, kkor legfeljebb l-edrendű vegyes prciális deriváltjibn prciális differenciálások sorrendje tetszőlegesen felcserélhető. Ez következő jelölés hsználtát teszi lehetővé: legyenek l, α, α 2,..., α l pozitív egészek, i i 2 i l k egészek. Ekkor α + +α l f x α i x α 2 i 2... x α l i l z f függvénynek zt z α + α 2 + + α l -edrendű prciális deriváltját jelenti, melynél z i -edik változó szerint α -szer, z i 2 -edik változó szerint α 2 -ször, stb., differenciáltunk, tetszőleges sorrendben. 6.3.3. Megjegyzés. Legyen Ekkor xy x2 y 2 f (x, y) = x 2 + y 2 (x, y) (, ) (x, y) = (, ) 2 f x y (, ) = = 2 f y x. Ez zt jelenti, hogy Schwrz Young-tételben szereplő feltételek egyike sem gyengíthető. 6.3.3. Definíció. Legyen n, k N, D R n nemüres, nyílt hlmz, f D R egy k-szor folytonosn differenciálhtó függvény. Ekkor z f függvény k-edik differenciálját módon értelmezzük. d k x f (h) = j,..., j n k, j + + j n=k k! j!... j n! x j k f (x)... x jn n h j... h jn n. 43

lokális mximumhelyek nyeregpontok lokális lokális szélsőértékhelyek minimumhelyek 6.. ábr. A stcionárius helyek osztályozás 6.3.2. Tétel (Tylor). Legyenek n, k N, D R n konvex, nyílt hlmz, x, x + h D pontji, f D R pedig C k+ -osztályú függvény. Ekkor létezik olyn θ szám, hogy f (x + h) = k i= i! di f (x )(h) + (k + )! dk+ f (x + θh)(h). 6.3.4. Megjegyzés. A fenti tételben szereplő egyenlőséget Tylor-formulánk, míg formul jobb oldlán álló k P(x) = i= i! di f (x )(h) függvényt z f függvény x pontbeli k-drendű Tylor-polinomjánk hívjuk. H x =, kkor Mclurinformul, Mclurin-polinom elnevezéseket szoktuk hsználni. 6.4. Lokális szélsőértékszámítás 6.4.. Definíció. Legyen D R n egy hlmz, x D hlmz egy pontj, f D R pedig egy függvény. Akkor mondjuk, hogy z f függvénynek z x pontbn lokális minimum (mximum) vn, h vn z x -nk olyn környezete, melynek D-beli x pontjibn f (x) f (x ) ( f (x) f (x )) teljesül. Más szóvl, létezik olyn δ >, hogy h x D hlmz olyn pontj, melyre fennáll z x x < δ egyenlőtlenség, kkor f (x) f (x ), illetve f (x) f (x ) teljesül. H itt x x esetén szigorú egyenlőtlenség teljesül, kkor szigorú minimumról, illetve szigorú mximumról beszélünk. A lokális jelzőt globális váltj fel, h ezek feltételek bármely δ > esetén, zz, D hlmz minden x pontjábn teljesülnek. A lokális (globális) minimumhelyet és mximumhelyet közösen szélsőértékhelynek nevezzük, mgát z f (x ) függvényértéket pedig megfelelő szélsőérték értékének mondjuk. 6.4.. Tétel. Legyen D R n egy hlmz, x D hlmz egy belső pontj, f D R pedig egy x -bn prciálisn differenciálhtó függvény. H z f függvénynek z x pontbn lokális szélsőértéke vn, kkor f (x ) =. 6.4.2. Definíció. Legyen D R n egy hlmz, x D hlmz egy belső pontj, f D R pedig egy x -bn prciálisn differenciálhtó függvény. H z x pontbn z f függvény összes prciális deriváltj null, kkor z x pontot z f függvény stcionárius pontjánk nevezzük. 6.4.. Megjegyzés. A fenti tétel feltételei mellett tehát z f függvénynek csk stcionárius pontokbn lehet lokális szélsőértéke. 44

6.4.2. Tétel. Legyen D R n nyílt hlmz, f D R egy C 2 (D)-osztályú függvény, s D-beli x pont legyen z f stcionárius pontj. H z f (x ) = 2 f 2 f x 2 (x )... x x n 2 f 2 f... x n x xn 2 mátrix pozitív definit, kkor z f függvénynek z x pontbn lokális minimum vn; negtív definit, kkor z f függvénynek z x pontbn lokális mximum vn; indefinit, kkor z f függvénynek z x pontbn nincs lokális szélsőértéke. 6.4.. Péld. Legyen Ekkor f (x, y) = x 2 + 2y 2 3x + y + ((x, y) R 2 ). f (x, y) = 2x 3 x f (x, y) = 24y + y ((x, y) R 2 ) A fentiek lpján z (x, y ) R 2 pont pontosn kkor stcionárius pontj z f függvénynek, h f x (x, y ) = f y (x, y ) =. Így, ebben z esetben 2x 3 = 24y + = Ebből z dódik, hogy z (x, y ) = ( 3 2, 5 ) pont stcionárius pontj f -nk. Továbbá, 2 f (x, y) = 2, x2 2 f x y (x, y) = 2 f (x, y) =, x x 2 f (x, y) = 24 y2 Így, f (x, y ) = ( 2 24 ). Mivel z f (x, y ) mátrix pozitív definit, ezért z (x, y ) pont z f függvénynek lokális minimumhelye. 45

6.4.2. Péld. Legyen Ekkor f (x, y) = x 2 y 2 ((x, y) R 2 ). f (x, y) = 2x x f (x, y) = 2y y ((x, y) R 2 ) A fentiek lpján z (x, y ) R 2 pont pontosn kkor stcionárius pontj z f függvénynek, h f x (x, y ) = f y (x, y ) =. Így, ebben z esetben 2x = 2y = Ebből z dódik, hogy z (x, y ) = (, ) pont stcionárius pontj f -nk. Továbbá, 2 f (x, y) = 2, x2 2 f x y (x, y) = 2 f (x, y) =, x x 2 f (x, y) = 2 y2 Így, f (x, y ) = ( 2 2 ). Mivel z f (x, y ) mátrix indefinit, ezért z (x, y ) pont z f függvénynek nem lokális szélsőértékhelye. Így, z (x, y ) pont z f függvénynek nyeregpontj. 6.5. Feltételes szélsőértékszámítás Az lklmzások során gykrn tlálkozunk olyn problémávl, melynél egy dott függvény szélsőértékeit kell meghtározni, de nem z egész értelmezési trtományán, hnem nnk csk egy bizonyos feltételt teljesítő pontjiból álló részhlmzán. Ez feltétel gykrn bizonyos egyenletek, illetve egyenlőtlenségek formájábn vn megdv. Most pontosn megfoglmzzuk problémát z egyenlőségekkel dott feltételek esetére, s egy megoldási módszert is dunk. 6.5.. Definíció. Legyen D R n egy hlmz, x D, f D R és g D R m pedig dott függvények. Akkor mondjuk, hogy z f függvénynek z x pontbn g = feltétel mellett feltételes minimum (mximum) vn, h g(x ) =, és vn z x pontnk olyn környezete, melynek minden D-be eső olyn x pontjábn, melyre g(x) = teljesül, ugyncsk fennáll f (x) f (x ) ( f (x) f (x )). A feltételes minimumot és mximumot közösen feltételes extrémumnk, vgy feltételes szélsőértéknek nevezzük. 6.5.2. Definíció. Legyen D R n egy hlmz, f D R és g D R m pedig dott függvények. Legyen minden D-beli x és minden R m -beli λ esetén F(x, λ) = f (x) + λ, g(x). 46

Az F függvényt z f, g függvényekhez trtozó Lgrnge-függvénynek, λ koordinátáit pedig Lgrnge-féle multiplikátoroknk nevezzük. z f y x g(x, y) = 6.2. ábr. Feltételes szélsőértékproblém 6.5.. Tétel (Lgrnge-féle multiplikátor elv). Legyen D R n R m nyílt hlmz, (x, y ) D, f D R és g D R m pedig C -osztályú függvények. H z f függvénynek z (x, y ) pontbn g = feltétel mellett feltételes szélsőértéke vn, és z A = g (x, y ) jelöléssel z A(, y) mátrix invertálhtó, kkor létezik R m -ben olyn λ, hogy (x, y, λ) z f, g függvényekhez trtozó Lgrnge-függvénynek stcionárius pontj. 6.5.. Megjegyzés. A tétel lpján módszert kpunk lehetséges feltételes szélsőértékhelyek meghtározásár. Ehhez ugynis z F (x, x 2,..., x n, λ, λ 2,..., λ m ) x = F (x, x 2,..., x n, λ, λ 2,..., λ m ) x n = F (x, x 2,..., x n, λ, λ 2,..., λ m ) λ = F (x, x 2,..., x n, λ, λ 2,..., λ m ) λ m = egyenletrendszert kell megoldni, mely n + m egyenletből áll, és n + m ismeretlent trtlmz. Ennek z egyenletrendszernek z utolsó m egyenlete éppen feltételi egyenletek teljesülését jelenti. A feltételes szélsőértékproblém megoldási ezen egyenletrendszer (x, x 2,..., x n ) megoldási közül kerülnek ki. Az egyenletrendszer megoldás során tehát elsősorbn z x, x 2,..., x n ismeretlenek meghtározásár kell törekednünk, λ, λ 2,..., λ m ismeretlenek értékei problém szempontjából érdektelenek. 6.5.. Péld. Tekintsük z f (x, y) = x 2 y 2 g(x, y) = x 2 + y 2 = feltételes szélsőérték problémát. Ekkor z f és g függvények Lgrnge-függvénye F(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y) = (λ + )x 2 + (λ )y 2 λ ((x, y, λ) R 3 ). Ebben z esetben F F (x, y, λ) = 2(λ + )x, x F (x, y, λ) = 2(λ )y, y 47 λ (x, y, λ) = x2 + y 2.

A egyenletrendszer megoldási 2(λ + )x = 2(λ )y = x 2 + y 2 = (,, ), (,, ), (,, ), (,, ). Könnyen láthtó, hogy fenti f függvények g(x, y) = feltételre vontkozón z (, ) és (, ) pontokbn lokális mximum, míg (, ) és (, ) pontokbn lokális minimum vn. 6.5.2. Péld. Egy 4 m 3 űrtrtlmú, felül nyitott tégltest lú trtályt szeretnénk készíteni. Hogyn válsszuk meg trtály méreteit, hogy trtály elkészítése során felhsznált nyg lehető legkevesebb legyen? c b A trtály oldlhosszit jelöljék, b, c. Mivel 4m 3 űrtrtlmú trtályt szeretnénk készíteni, így bc = 4. Ehhez f (, b, c) = 2b + 2bc + c mennyiségű nygr vn szükségünk. Így feldt z f (, b, c) = 2b + 2bc + c g(, b, c) = bc 4 feltételes szélsőérték problémár vezethető vissz. Az f és g függvények Lgrnge-függvénye F(, b, c, λ) = f (, b, c) + λg(, b, c) = 2b + 2bc + c λbc 4λ. Ekkor, F (, b, c, λ) = 2b + c + λbc F (, b, c, λ) = 2 + 2c + λc b F (, b, c, λ) = 2b + + λb c F (, b, c, λ) = bc 4 λ 48

Az egyenletrendszer egyetlen megoldás 2b + c + λbc = 2 + 2c + λc = 2b + + λb = bc 4 = = 2, b =, c = 2, λ = 2 zz, kkor hsználjuk fel legkevesebb nygot, h trtály oldlhosszit rendre 2, és 2 méternek válsztjuk. 49

7. fejezet Riemnn-integrál R n -ben 7.. Riemnn-integrál téglán 7... A Riemnn-integrálhtóság foglm téglár 7... Definíció. Legyen n N, ekkor Q = [, b ] [ n, b n ] R n hlmzt n dimenziós téglánk nevezzük. Ennek téglánk mértékén mennyiséget értjük. V(Q) = n i= (b i i ) 7..2. Definíció. Legyen Q = [, b ] [ n, b n ] egy tégl R n -ben. Azt mondjuk, hogy P = P P n felosztás Q téglánk, h bármely j =,..., n esetén P j felosztás z [ j, b j ] intervllumnk. H rögzített j =,..., n esetén I ji = [x j,i, x j,i ] (i =,..., k j ) jelöli z [ j, b j ] intervllumnk P j felosztás áltl meghtározott részintervllumit, kkor T i,...,i n = I, j I n, jn (i ν =,..., k ν, ν =,..., n) téglákt Q tégl P felosztás áltl meghtározott résztégláink nevezzük, míg mennyiséget P felosztás finomságánk hívjuk. P = sup i,...,i n dim (T i,...,i n ) 7..3. Definíció. A fenti jelölések megtrtás mellett legyenek P és R Q tégl felosztási. Azt mondjuk, hogy R finomítás P-nek, h P R teljesül. A P R hlmzt pedig P és R felosztások egyesítésének mondjuk. H (P k ) k N Q tégl felosztásink egy sorozt, kkor zt mondjuk, hogy ez felosztássorozt normális, h lim k P k = teljesül. 7..4. Definíció. Legyen Q R n tégl, f Q R korlátos függvény, P Q tégl egy felosztás, míg T i,...,i n ezen felosztás résztéglái. Legyenek ebben z esetben M i,...,i n = sup { f (x) x T i,...,i n } és m i,...,i n = inf { f (x) x T i,...,i n } 5

b 2 2 b 7.. ábr. Az [, b ] [ 2, b 2 ] kétdimenziós tégl egy felosztás 7..5. Definíció. Az előző definíció feltételei és jelölései mellet σ( f, P) = m i,...,i n V (T i,...,i n ), illetve Σ( f, P) = M i,...,i n V (T i,...,i n ), O( f, P) = Σ( f, P) σ( f, P) mennyiségeket rendre z f függvény P felosztásához trtozó Ezeket mennyiségeket rendre z f függvény P felosztásához trtozó lsó, felső, illetve oszcillációs összegének nevezzük. 7..6. Definíció. Továbbá, h ξ i,...,i n T i,...,i n, kkor z I( f, P) = n f (ξ i,...,i n )V (T i,...,i n ) i= számot z f függvény P felosztásához és ξ i,...,i n (i ν =,..., k ν, ν =,..., n) pontokhoz trtozó integrálközelítő összegének mondjuk. 7... Állítás. Legyen Q R n tégl, f Q R korlátos függvény. Ekkor z lábbi állítások érvényesek. Az Q tégl tetszőleges P felosztás és tetszőleges ξ i,...,i n (i ν =,..., k ν, ν =,..., n) pontok esetén σ( f, P) I( f, P) Σ( f, P). H P és P 2 olyn felosztási Q téglánk, hogy P P 2, kkor Az Q tégl tetszőleges P és P 2 felosztási esetén σ( f, P ) σ( f, P 2 ) és Σ( f, P 2 ) Σ( f, P ). σ( f, P ) Σ( f, P 2 ). 5

f Q R 2 7..7. Definíció. Legyen Q R n tégl és f Q R egy korlátos függvény. Ekkor z illetve z I( f ) = sup {σ( f, P) P Q tégl felosztás}, I( f ) = inf {Σ( f, P) P Q felosztás}, számokt z f függvény Q tégl feletti lsó, illetve felső Drboux-integráljánk nevezzük. 7..2. Állítás. Legyen Q R n tégl, f Q R korlátos függvény. Ekkor z I( f ), illetve z I( f ) Drbouxintegrálok léteznek és végesek, vlmint I( f ) I( f ) teljesül. 7... Következmény. Legyen Q R n tégl, f Q R korlátos függvény. A Q tégl bármely P felosztás esetén σ( f, P) I( f ) I( f ) Σ( f, P), így, teljesül. I( f ) I( f ) O( f, P) 7..8. Definíció. Legyen Q R n tégl, f Q R korlátos függvény. Azt mondjuk, hogy z f függvény Riemnn-integrálhtó, h I( f ) = I( f ) teljesül. Ezt közös értéket z f függvény Q tégl feletti Riemnn-integráljánk mondjuk és rá z jelölést hsználjuk. Q f (x)dx 7... Tétel (Drboux). Legyen Q R n tégl, f Q R korlátos függvény Ekkor bármely ε > esetén vn olyn δ > úgy, hogy h P olyn felosztás Q téglánk, melyre P < δ, kkor teljesül. Σ( f, P) I( f ) < ε és σ( f, P) I( f ) < ε 7..2. Következmény. Legyen Q R n tégl, f Q R korlátos függvény. Ekkor Q tégl tetszőleges (P k ) k N normális felosztássorozt esetén teljesül. lim σ( f, P k) = I( f ), lim Σ( f, P k ) = I( f ) és lim O( f, P k ) = I( f ) I( f ) k k k 52

7..2. A Riemnn-integrálhtóság kritériumi és elegendő feltételei 7..2. Tétel (Oszcillációs kritérium). Legyen Q R n tégl, f Q R korlátos függvény. Az f függvény kkor, és cskis kkor Riemnn-integrálhtó, h bármely ε > esetén vn olyn P felosztás Q téglánk, melyre O( f, P) < ε teljesül. 7..3. Tétel. Legyen Q R n tégl, f Q R korlátos függvény. Az f függvény kkor, és cskis kkor Riemnn-integrálhtó, h vn olyn I vlós szám, hogy bármely ε > esetén vn olyn P felosztás Q téglánk, melyhez trtozó I( f, P) integrálközelítő összegre I( f, P) I < ε teljesül. Továbbá, ebben z esetben I = Q f (x)dx. 7..4. Tétel. Legyen Q R n tégl, f Q R korlátos és folytonos függvény. Ekkor f Riemnn-integrálhtó. 7..5. Tétel. Legyen Q R n tégl, f Q R pedig olyn korlátos függvény, mely legfeljebb megszámlálhtón végtelen sok Q-beli pontbn nem folytonos. Ekkor f Riemnn-integrálhtó. 7..3. A Riemnn-integrál tuljdonsági 7..6. Tétel (Riemnn-integrál és műveletek). Legyen Q R n tégl és legyenek f, g Q R Riemnnintegrálhtó függvények, λ R. Ekkor z f + g függvény is Riemnn-integrálhtó és Q ( f + g)(x)dx = Q f (x)dx + Q g(x)dx; λ f függvény is Riemnn-integrálhtó és Q (λ f )(x)dx = λ Q f (x)dx; h minden x Q esetén f (x) g(x) teljesül, kkor Q f (x)dx Q g(x)dx; h Q és Q 2 Q tégl olyn résztéglái, melyekre Q Q 2 = Q és Q Q 2 =, kkor z f függvény Riemnn-integrálhtó Q és Q 2 téglákon is és Q f (x)dx = Q f (x)dx + Q 2 f (x)dx; 7... Megjegyzés. Az előző tételben szereplő első és második állítást együttesen Riemnn-integrál lineritásánk, hrmdikt Riemnn-integrál monotonitásánk, míg negyediket Riemnn-integrál téglák feletti dditivitásánk mondjuk. 53

7..7. Tétel (Középértéktétel). Legyen Q R n tégl és legyenek f, g Q R Riemnn-integrálhtó függvények. Tegyük fel továbbá, hogy vnnk olyn m, M konstnsok, hogy m f (x) M (x Q) teljesül, továbbá zt is, hogy g nemnegtív függvény. Ekkor m Q g(x)dx Q f (x)g(x)dx M Q g(x)dx. teljesül. 7..3. Következmény. Legyen Q R n tégl és f Q R olyn Riemnn-integrálhtó függvény, melyre m f (x) M (x Q) teljesül vlmely m és M konstnsokkl. Ekkor m V(Q) Q f (x)dx M. 7..4. Következmény. Legyen Q R n tégl és egy f Q R folytonos, Riemnn-integrálhtó függvény. Ekkor vn olyn ξ Q pont, hogy f (ξ) = V(Q) f (x)dx Q teljesül. 7..8. Tétel (Szukcesszív integrálás). Legyen n N, n 2, Q = n i= [ i, b i ] f Q R egy Riemnnintegrálhtó függvény, vlmint tételezzük fel zt is, hogy z x n f (x, x 2,..., x n, x n ) függvény minden rögzített Q R n -beli (x, x 2,..., x n ) esetén Riemnn-integrálhtó. Ekkor z f n (x, x 2,..., x n ) = n b n f (x, x 2,..., x n, x n ) dx n módon megdott f n R n R függvény Riemnn-integrálhtó Q n = n i= [ i, b i ] (n )-dimenziós téglán, és Q n f n (x, x 2,..., x n )d(x, x 2,..., x n ) = Q f (x, x 2,..., x n )d(x, x 2,..., x n ). 7..2. Megjegyzés. A tétel segítségével tehát egy n-dimenziós Riemnn-integrál kiszámítás visszvezethető egy egydimenziós és egy n -dimenziós Riemnn-integrál kiszámításár. H ez z utóbbi integrálr ismét lklmzhtó, kkor ezt z eljárást folyttv z eredeti többszörös integrált ismételt egyszeres integrálásokkl számíthtjuk ki. Az ismertetett eljárást szukcesszív integrálásnk szokás nevezni. Az eljárás lklmzás során nem feltétlenül szükséges változók megdott sorrendjéhez rgszkodni, hnem z integrálások sorrendje tetszőlegesen felcserélhető. 7... Péld. [,] [2,3] (x 2 + 4y) dxdy A Szukcesszív integrálás tételét felhsználv, [,] [2,3] (x 2 + 4y) dxdy = ( 2 3 x 2 + 4ydy) dx = [x 2 y + 2y 2 ] 3 2 dx = x 2 + dx = [ x3 3 + x] = 3 3 54

Q H 7..9. Tétel (Fubini). Legyenek n, m N és A R n és B R m téglák, vlmint Q = A B. H f Q R Riemnn-integrálhtó függvény, és z x f (x, y) függvény minden rögzített B-beli y mellett, vlmint z y f (x, y) függvény minden rögzített A-beli x mellett Riemnn-integrálhtó, kkor Q f (x, y)d(x, y) = B A f (x, y) dx dy = A B 7.2. Riemnn-integrál korlátos R n beli hlmzokon f (x, y) dy dx. 7.2.. Definíció. Legyen H R n korlátos hlmz, Q R n olyn tégl, hogy H Q, f H R pedig egy korlátos függvény és f (x), h x H f (x) =, h x Q H. H z f Q R függvény Riemnn-integrálhtó Q téglán, kkor zt mondjuk, hogy z f függvény Riemnn-integrálhtó H hlmzon, és z H f (x)dx = Q f (x)dx mennyiséget z f függvény H hlmz feletti Riemnn-integráljánk nevezzük. 7.2.. Megjegyzés. Az előző definícióbn Riemnn-integrálhtóság foglm független definícióbn szereplő Q tégl megválsztásától. 7.2.. Tétel (A Riemnn-integrál tuljdonsági). Legyen H R n korlátos hlmz, f, g H R pedig olyn függvények, melyek Riemnn-integrálhtók H hlmzon. Ekkor, z f + g függvény is Riemnn-integrálhtó H hlmzon és H ( f + g)(x)dx = H f (x)dx + H g(x)dx; 55

tetszőleges λ R esetén λ f függvény is Riemnn-integrálhtó H hlmzon és H (λ f )(x)dx = λ H f (x)dx; h minden x H esetén f (x) g(x) teljesül, kkor H f (x)dx H g(x)dx; h minden x H esetén f (x), K R n olyn korlátos hlmz, hogy K H és z f függvény integrálhtó K hlmzon, kkor K f (x)dx H f (x)dx. h H, H 2 H, kkor f integrálhtó H H 2 hlmzon is és f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx f (x)dx. H H H H 2 H H 2 7.2.. Jordn-mérhető hlmzok R n -ben 7.2.2. Definíció. Legyen H R n korlátos hlmz. H z f (x) = (x R n ) függvény Riemnn-integrálhtó H hlmzon, kkor zt mondjuk, hogy H hlmz Jordn-mérhető, és ebben z esetben µ J (H) = dx H mennyiséget H hlmz Jordn-mértékének nevezzük. 7.2.. Állítás. Legyen Q R n egy tégl. Ekkor Q hlmz Jordn-mérhető és 7.2.. Péld. Legyen Ekkor H hlmz nem Jordn-mérhető. µ J (Q) = V(Q). H = {(x, y) R 2 x, y Q [, ]}. 7.2.2. Péld. Egy szbályos háromszög oldlit elhrmdoljuk, mjd középső hrmdár ismét egy szbályos háromszöget rjzolunk. Ezen háromszögek oldlit szintén hrmdoljuk, és háromszöget rjzolunk rájuk. Ezt végtelenségig folyttjuk. Az eljárás végén nyert lkztot Koch-féle hópehelynek hívjuk. Ez z R 2 -beli hlmz Jordn-mérhető és Jordn-mértéke 8 T, h T jelöli kiindulási szbályos háromszög Jordnmértékét. 5 7.2.2. Tétel. Legyen H R n korlátos hlmz. Ekkor z lábbi állítások ekvivlensek. H hlmz Jordn-mérhető és µ J (H) = ; bármely ε > esetén létezik véges sok olyn Q,..., Q n R n tégl, hogy H n Q i i= és n i= µ J (Q i ) < ε 56

7.2. ábr. A Koch-féle hópehely elkészítésének első lépései 7.2.3. Definíció. Legyen D R n egy nemüres hlmz. Azt mondjuk, hogy h x R n pont htárpontj D hlmznk, h bármely r > esetén B(x, r) D és B(x, r) (R n D) teljesül. A D hlmz htárpontji hlmzár D jelölést fogjuk hsználni. 7.2.3. Tétel (Jordn-mérhetőség kritérium). Legyen H R n korlátos hlmz. Ekkor H hlmz pontosn kkor Jordn-mérhető, h µ J ( H) = teljesül. 7.2.4. Tétel (Jordn-mérték tuljdonsági). h H R n hlmz Jordn-mérhető, kkor µ J (H) ; h H R n hlmz Jordn-mérhető, kkor tetszőleges x R n esetén H + x = {h + x R n h H} hlmz is Jordn-mérhető és µ J (H) = µ J (H + x ); h H, H 2 R n hlmzok Jordn-mérhetőek és H H 2 teljesül, kkor µ J (H ) µ J (H 2 ); h H R n hlmz Jordn-mérhető, kkor tetszőleges λ R n esetén λ H = {λh h H} hlmz is Jordn-mérhető és µ J (λ H) = λ n µ J (H); h H, H 2 R n olyn Jordn-mérhető hlmzok, hogy H H 2 hlmznk nincs belső pontj, kkor µ J (H H 2 ) = µ J (H ) + µ J (H 2 ); 7.2.4. Definíció. Legyen K R n kompkt, Jordn-mérhető hlmz, Φ, Ψ K R pedig olyn folytonos függvények, hogy Φ(x) Ψ(x) teljesül minden x K esetén. Ekkor hlmzt egyszerű trtománynk nevezzük. S = {(x, y) R n x K és Φ(x) y Ψ(x)} 7.2.2. Állítás. H S R n egyszerű trtomány, kkor S kompkt és Jordn-mérhető. 57

H x x + H 7.3. ábr. A H és z x + H hlmzok Ψ S Φ 7.4. ábr. Egyszerű trtomány 58

7.2.5. Tétel (Fubini-tétel egyszerű trtomány). Legyen S R n egyszerű trtomány, f S R pedig egy olyn függvény, mely Riemnn-integrálhtó S -en, ekkor S f (x, y)d(x, y) = x K y=ψ(x) y=φ(x) f (x, y)dy dx 7.2.3. Péld. Htározzuk meg z Riemnn-integrált, h S x 3 cos(xy)dxdy S = {(x, y) R 2 x [, 2], y x 2 } H felhsználjuk Szukcesszív integrálás tételét, kkor S x 3 cos(xy)dxdy = 2 ( x 2 x 3 cos(xy)dy) dx = = 2 2 [x 2 sin(xy)] x2 dx x 2 sin(x 3 )dx = [ cos(x3 ) 3 2 ] = cos(8), 38833 3 y = x 2 S 7.2.4. Péld. Htározzuk meg z S x 2 + y 2 dxdy Riemnn-integrált, h S z y =, y = 3, y = x és z y = x + görbék áltl htárolt korlátos trtomány. Ebben z esetben S = {(x, y) R 2 y [, 3], y x y}, így Szukcesszív integrálás tételét hsználv, S (x 2 + y 2 )dxdy = 3 y ( y x2 + y 2 dx) dy = = 3 [ x3 3 y 3 + xy2 ] y y 3 (y ) 3 3 dy y 2 dy = [ y4 (y ) 4 2 + y3 3 ] = 73 2 7.2.6. Tétel (Integráltrnszformáció). Legyen f R n R Riemnn-integrálhtó függvény, E egy Jordnmérhető trtomány z R n térben, Φ E R n pedig olyn folytonosn differenciálhtó függvény, mely E belsejében kölcsönösen egyértelmű, s melynek J Φ = det(φ ) Jcobi-determináns z E belsejében sehol sem null. Ekkor f (x)dx = ( f Φ)(t) J Φ (t) dt. E Φ(E) 59

y = 3 S y = y = x + y = x 7.2.2. Megjegyzés. Az n = esetben folytonos f mellett éppen helyettesítéses integrálás tételét kpjuk. 7.2.3. Megjegyzés (Síkbeli polárkoordináttrnszformáció). Legyen R > dott szám és tekintsük T = [, R] [, 2π] zárt tégllpon zt Φ(r, ϕ) = (x, y) leképezést, melynél x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Ekkor Φ T tégllpot (, ) középpontú R sugrú B(, R) zárt körlemezre képezi le, és T belsejében kölcsönösen egyértelmű, továbbá teljesül J Φ (r, ϕ) = r, h < r < R és < ϕ < 2π. Az integráltrnszformációs tételből kpjuk polárkoordinátás integrálás lábbi képletét: R 2π (PT) B(,R) f (x, y) dx dy = f (r cos ϕ, r sin ϕ)r dr dϕ. Ez formul z integráltrnszformációs tétel lpján minden olyn f Riemnn-integrálhtó függvényre lklmzhtó, mely egy B(, R)-beli zárt hlmzon kívül eltűnik. Ezen formul segítségével kiszámíthtjuk z R 3 tér egységgömbjének V 3 térfogtát. Vlóbn, z R 3 -beli B(, ) egységgömb (x, y, z) pontji z lábbi egyenlőtlenségekkel jellemezhetők: x, x 2 y x 2, x 2 y 2 z x 2 y 2. Tehát B(, ) normálhlmz [, ] intervllumon. H K jelöli R 2 egységgömbjét, kkor z egyszerű trtományokr vontkozó Fubini-tétel, (PT) formul és Newton Leibniz-formul felhsználásávl x 2 y 2 V 3 = B(,) = K dz dy dx = x 2 y 2 = 2π 2r r 2 dϕ dr = 4π r r 2 dr = = 4π 3 [( r2 ) 3 2 ] = 4π 3. Hsonlón kpjuk, hogy R 3 -bn z r > sugrú gömbök térfogt 4r3 π 3. 7.2.5. Péld. Htározzuk meg z H e (x2 +y 2) dxdy 6

Φ [, R] [, 2π] B(, R) 7.5. ábr. Síkbeli polárkoordináttrnszformáció integrál értékét, h Tekintsük Φ(r, ϕ) = (r cos(ϕ), r sin(ϕ)) leképezést. Ekkor Φ Fréchet-differenciálhtó és Ekkor det(φ (r, ϕ)) = r, továbbá, h kkor H = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 }. Φ (r, ϕ) = ( így z integráltrnszformációs tétel szerint, ((r, ϕ) ], + [ [, 2π]) cos(ϕ) sin(ϕ) r sin(ϕ) r cos(ϕ) ) E = [, ] [, 2π], Φ(E) = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 }, H e (x2 +y 2) dxdy = [,] [,2π] e ((r cos(ϕ)2 +(r sin(ϕ)) 2 )) rdrdϕ 7.2.6. Péld. Számítsuk ki z = ( 2π re r2 dϕ) dr = 2π f (x, y) = ((x, y) R 2 ) re r2 dr = 2π [ 2 e r2 ] = π ( e ). függvénynek H hlmz feletti Riemnn-integrálját, h H z y = x, y = 2x, y = x és z y = 2 x htárolt korlátos trtomány. Legyen Φ(u, v) = ( u uv, v ) ((u, v) ], + [2 ). Ekkor Φ ], + [ 2 R 2 függvény Fréchet-differenciálhtó és Φ (u, v) = v 2 u 2 uv u 2 v. u 2 v 3 görbék áltl Ekkor det(φ (u, v)) =, továbbá, h 2v E = [, 2] [ 2 ], 6

Φ E = [, 2] [ 2, ] Φ(E) y = 2x y = x y = 2/x y = /x kkor teljesül, így z integráltrnszformációs tétel szerint Φ(E) = H H f (x, y)dxdy = Φ(E) dxdy = E 2v dudv = [,2] [/2,] 2v dudv = 2 ln(2). 7.2.7. Péld. Számítsuk ki z integrált, h és Tekintsük H f (x, y)dxdy f (x, y) = ln(x 2 + y 2 ) ((x, y) R 2 {(, )}) H = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 4}. Φ x 2 + y 2 = 4 E = [, 2] [, 2π] x 2 + y 2 = Φ(r, ϕ) = (r cos(ϕ), r sin(ϕ)) leképezést. Ekkor Φ Fréchet-differenciálhtó és ((r, ϕ) ], + [ [, 2π]) Ekkor det(φ (r, ϕ)) = r, továbbá, h Φ (r, ϕ) = ( cos(ϕ) sin(ϕ) r sin(ϕ) r cos(ϕ) ) E = [, 2] [, 2π], kkor Φ(E) = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 4}, 62

így z integráltrnszformációs tétel szerint, H f (x, y)dx = H ln(x 2 + y 2 )dxdy = E ln((r cos(ϕ) 2 + (r sin(ϕ)) 2 )) rdrdϕ = [,2] [,2π] r ln(r 2 )drdϕ = 2π 2 r ln(r 2 )dr = 2π [r 2 (ln(r) 2 2 )] = 4π (2 ln(2) 3 4 ) 63

8. fejezet Differenciálegyenletek 8.. Differenciálegyenletek osztályozás Differenciálegyenlet ltt olyn egyenletet értünk, melyben z ismeretlen egy differenciálhtó egy- vgy többváltozós függvény és z egyenlet ezen függvényen kívül trtlmzz ennek függvénynek deriváltját, illetve deriváltjit is. H differenciálegyenletben egyetlen független változó vn, kkor derivált közönséges derivált. Ebben z esetben közönséges differenciálegyenletről beszélünk. H differenciálegyenletben kettő vgy több független változó vn, kkor derivált prciális derivált. Ekkor szóbn forgó egyenlet egy prciális differenciálegyenlet. H z ismeretlen függvények szám egynél több, kkor z ismeretlen függvények számávl egyenlő számú differenciálegyenletből álló differenciálegyenlet rendszerrel vn dolgunk. A differenciálegyenlet rendje z egyenletben szereplő legmgsbb rendű derivált rngjávl egyenlő. A közönséges differenciálegyenletek közül zokt, melyekben z ismeretlen függvény és ennek deriváltji legfeljebb csk első htványon fordulnk elő és szorztuk nem szerepel, lineáris differenciálegyenleteknek nevezzük. Ellenkező esetben nemlineáris differenciálegyenletekről beszélünk. H közönséges differenciálegyenletben vn olyn tg, mely állndó, vgy melyben csk független változó szerepel, kkor differenciálegyenlet inhomogén differenciálegyenlet. Ellenkező esetben zt mondjuk, hogy differenciálegyenlet homogén differenciálegyenlet. H közönséges differenciálegyenletben függvényt és deriváltjit trtlmzó tgok állndók, kkor z egyenletet állndó együtthtós differenciálegyenletnek nevezzük. Ellenkező esetben függvényegyütthtós differenciálegyenletből beszélünk. 8... Péld. Az egyenlet egy x y 2 + y + x y y x y = közönséges elsőrendű homogén függvényegyütthtós differenciálegyenlet. 64

8..2. Péld. A egyenlet egy 4 (y ) 2 + 4x y 3x y + x 2 3 = közönséges másodrendű inhomogén függvényegyütthtós differenciálegyenlet. 8.2. Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek 8.2.. Definíció. Legyen D R 3 nemüres, nyílt, F D R, ekkor z () F(x, y, y ) = egyenletet elsőrendű közönséges implicit differenciálegyenletnek nevezzük. 8.2.2. Definíció. Egy ϕ I R függvény z () differenciálegyenlet megoldás Cuchy féle értelemben, h (i) I R vlódi intervllum, ϕ differenciálhtó I n; (ii) minden x I esetén (x, ϕ(x), ϕ (x)) D; (iii) F (x, ϕ(x), ϕ (x)) = teljesül minden x I esetén. 8.2.3. Definíció. Az (2) { F(x, y, y ) = y(ξ) = η egyenletekből álló rendszert kezdeti érték problémánk vgy Cuchy feldtnk nevezzük. 8.2.4. Definíció. Azt mondjuk, hogy ϕ I R függvény megoldás (2) Cuchy feldtnk, h ϕ megoldás z () egyenletnek, ξ I és ϕ(ξ) = η. 8.2.5. Definíció. Legyen D R 2 nemüres, nyílt, f D R, ekkor z (3) y = f (x, y) egyenletet elsőrendű közönséges explicit differenciálegyenletnek nevezzük. 8.2.6. Definíció. Azt mondjuk, hogy ϕ I R függvény (3) differenciálegyenlet megoldás, h (i) I R vlódi intervllum, ϕ differenciálhtó I n; (ii) (x, ϕ(x)) D minden x I esetén; (iii) ϕ (x) = f (x, ϕ(x)) teljesül minden x I esetén. 8.2.7. Definíció. H (ξ, η) D, kkor z y(ξ) = η egyenletet (3) differenciálegyenletre vontkozó kezdeti érték feltételnek nevezzük, míg (4) { y = f (x, y) y(ξ) = η egyenletrendszert (3) egyenletre vontkozó kezdeti érték problémánk vgy Cuchy feldtnk hívjuk. 65

8.. ábr. Iránymező és egy integrálgörbéje 8.2.. Péld (Az iránymező integrálgörbéi). Tegyük fel, hogy sík vlmilyen trtományán minden pontbn dv vn egy, z dott ponton átmenő egyenes. Ebben z esetben zt mondjuk, hogy ezen trtományon egy iránymező vn dv. Azt görbét, mely minden pontjábn érinti z iránymezőt, z iránymező integrálgörbéjének hívjuk. Ez z elnevezés rr utl, hogy néhány esetben ezeket görbéket integrálás útján htározhtjuk meg. 8.2.2. Péld (A normális szporodás egyenlete). Tegyük fel, hogy egy biológii populáció ngyság t időpillntbn x(t), és populáció növekedési sebessége rányos populáció számávl. Ez feltevés közelítőleg teljesül, h elegendő táplálék áll rendelkezésre populáció számár. Ekkor minden t időpillntbn x (t) = k x(t) teljesül vlmely k > esetén. Ennek z egyenletnek megoldás x(t) = C e k(t t ), következésképpen normális szporodás egyenletének megoldás exponenciálisn nő t + esetén. Az is könnyen láthtó, hogy populáció megkettőződéséhez mindedig unynnnyi idő (jelen esetben ln(2)/k) idő szükséges, ez Földünk esetében ngyjából 4 év. 8.2. ábr. Az x (t) = k x(t) differenciálegyenlet iránymezője 8.2.3. Péld (A logisztikus egyenlet). A szokásos szporodás modelljének fenti egyenlete csk ddig felel meg, míg populációbn lévő egyedek szám nem túl ngy. Az egyedek számánk növekedésekor z élelemért folyttott versengés növekedés csökkenéséhez vezet. Az ezt figyelembe vevő legyegyszerűbb feltevés z, hogy k együtthtó z x inhomogén lineáris függvénye, vgyis k = ( b x(t)). Az egyszerűség kedvéért legyenek = b =, ekkor z úgynevezett logisztikus egyenlethez jutunk x (t) = ( x(t)) x(t). 66