. Adott z =, =,3, + 3 soozt. Számíts ki lim 3 htáétéket. Megoldás: Előszö lkítsuk át z k kifejezést: k = + k 3 = k3 k 3 + = (k (k + k + (k + (k k + = k k + k + k + k k +, k =,3, Ez lpjá z szozt átíhtó következő lk = ( k + k3 = k + k + k + k k + k= k= = k k + k + k + k. k + k= Az első téyezőbe lévő szoztól köye látszik, hogy teleszkópikus. Belátjuk, hogy második téyező is teleszkópikus, ehhez egy ögzített k esetée tekitsük két egymást követő tg szoztát: Ezek lpjá k= k + k + k k + (k + + (k + + (k + (k + + = k + k + k k + k + 3k + 3 k + k +. = ( 3 3 5 3 + így kédéses htáéték ( 7 3 3 7 ( + ( + ( ( + + + + = ( + + +, 3 lim ( + + = lim 3( = + 3.
. Htáozz meg z, b, c vlós számok étékét, hogy z f( = + b + c, R\{,} függvéy leggyobb lsó kolátj, legkisebb felső kolátj legye. Megoldás: Az f kolátos, ezét számlálók is zéushelye kell legye z és -. Ezét z b c 0 c b feltételek teljesüli kell. H számlálót és evezőt is leosztjuk z ( kifejezéssel, kko g b függvéyt kpjuk. Tudjuk, hogy b g f, h. Számoljuk ki deiváltját: g b b b b, kko H 0 g függvéy kosts, ez em felel meg feltételeikek. H b 0, kko g függvéyek z 0 helye szélsőétéke v, hb 0, kko mimum, h b 0, kko miimum. A feltételek szeit miimum étéke - kell legye, mimum étéke pedig. Tehát, hb 0, kko hb 0, kko Ekko g 0 b b, g 0 b b. g, h 0 Mivel g Tehát z b, illetve g,h b 0. lim, ezét, h mimum, kko, h - miimum, kko kell legye..
f, illetve z f függvéy eleget tesz feltételekek. Ugyis midkét függvéy szigoú mooto ;0, illetve ; 0 itevllumoko és lim lim lim lim Az is látszik, hogy midkét függvéy htáétéke --be és -be 0.
3. Az 0 sugú 0 K kö belsejébe jzoluk egybevágó kis köt, melyek belülől éitik 0 K köt, és sob egymást is éitik, végül. éiti z. kis köt. A kis kölpokt befestjük pios. Ezutá megjzoljuk 0 K köel kocetikus, kis pios kööket belülől éitő K köt, és z előbbi eljáást megismételjük új és új. Háydik lépésél éhető el, hogy 0 K kö teületéek 80 %- pios lesz festve? Megoldás: A mellékelt áb lpjá 0, hol kis köök sug, pedig K köé. Másészt si5. Ezekből: 0, illetve 0. Az. lépés utá 0, illetve 0. A 0 K kö teülete 0 0 T. A pios köök összes teülete (k iteációt feltételezve: k k k p T 0 0 k T 0. H z összegzést végteleig folyttjuk, kko egy méti so összegét kell kiszámíti: ( ( ( ( ( ( (.
Tehát végtele sok iteációt feltételezve: T ( p T0 T 3 ( 0. Mivel 3 3si5 0, 8, soh em fogjuk eléi, hogy K 0 kö teületéek 80%- pios legye.
. Milye < p pméte eseté v potos egy vlós megoldás egyeletek? Megoldás: log p = p Ételmezési ttomáy vizsgált: > 0. A log p és p függvéyek egymás ivezei, ezét z egyeletek potos kko v egy megoldás, miko log p = 0 egyeletek. Vizsgáljuk meg z f( = log p függvéyt szélsőéték szempotjából! A szélsőéték létezéséek szükséges feltétele: ho f ( = (log p = lp lp = 0 = lp D f f ( = ( lp A szélsőéték létezéséek elégséges feltétele teljesül: f ( lp = lp 0 = lp Mivel f ( lp = lp < 0, z f( = log p függvéyek mimum v z = lp helye. Mivel f ( = lp < 0 mide D f-e, függvéy z ételmezési ttomáyá szigoú kokáv, tehát z = lp helye függvéyek bszolút mimum v. A log p = 0 egyeletek kko v egyételmű megoldás, h z f( mimum étéke 0. Ie z lábbi egyeletet kpjuk p-e: f ( lp = log p lp lp = 0 log p lp = lp log p lp = lp l(lp lp = lp
l(lp = A logitmus defiíciój lpjá: lp = e p = e e Ekko z egyelet megoldás = e D f. Az egyeletek vlób ez z egy megoldás v, met z f ( = log ( és z f ( = (e e e e húzott éitőik egybeesek: e ( = f (e ( e + f (e = e l (e e függvéyek gfikojihoz z = e bszcisszájú potb ( e + log (e = ( e + e = e e e ( = f (e ( e + f (e = e l (e e ( e + (e e e = ( e + e = Továbbá z f ( kokáv, z f ( kove, így közös éitő z éitési pot kivételével elválsztj gfikook potjit.
5. Az ABCD tégllp lkú ppílp szélessége AB= cm és mgsság BC= cm. A lp B skát behjtjuk úgy, hogy B sok eléje szembe levő AD oldlt vlmely B potb. Hol hjtsuk be B skot, hogy hjtásvol l hossz miimális legye? Mekko miimális hosszúságú hjtásvol hossz? Megoldás Jelölje L hjtásvol hosszát, és y behjtás távolságát B csúcstól méve z AB illetve BC oldlo, w z AB szksz hosszát! Pitgoász-tétel lpjá L = + y hjtás hosszák égyzete, melyek miimum ugyott v, hol L miimum! A hjtás soá keletkezett fül egybevágó z eedeti füllel, ezét ( ( + w = Aho w = 6 ( 6, ezét 6 < <. Az és y változók között kpuk összefüggést, h tégllp T = = 88 [cm ] teületét felíjuk, mit behjtási fül teületéek kétszeese, tpéz teületéek és z A csúcsál keletkezett deékszögű háomszög teületéek összege ( 88 = y + ( w+ y + ( w Helyettesítsük w helyée z ( képletet ( be és egyszeűsítsük 88 = y + ( 6 ( 6 + y 6 + ( 6 ( 6. Aho 88 = y + 88 6y 6 ( 6. 6 ( 6 6 y = = 6 6 Íjuk L képletébe y feti lkját L = + y = + 6 6 = 3 6 = f(
hol 6 < <. Deiváljuk z f függvéyt, hogy szélsőétékét meghtáozzuk f ( = 3 ( 6 3 ( 6 = ( 8 ( 6 = ( 9 ( 6 A feldt szempotjából deivált zéus helyée csk z = 9 megfelelő éték. A deivált képletéből láthtó, hogy h 6 < < 9, kko f ( < 0 és ezét f( szigoú mooto csökkeő. H 9 < <, kko f ( > 0 és ezét f( szigoú mooto övekvő. Tehát = 9 helye vlób miimum helye v hjtásvol hosszégyzetéek (lásd z. ábát. Tehát, h z AB szkszo z A pottól 3 cm-e, B pottól 9 cm-e hjtjuk be lpot, kko kpjuk miimális hjtásvol hosszúságot. H = 9, kko y = 9 6 9 6 = 9, ezét L mi = + y = 9 + 9 = 9 3 5.588 miimális hjtásvol hossz.. áb. Az L ( = 3 6 függvéy gfikoj