Kalkulus 2. Andai Attila április 29.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kalkulus 2. Andai Attila április 29."

Átírás

1 Klkulus 2 Andi Attil április 29.

2

3 Trtlomjegyzék 1. Véges dimenziós terek topológiáj Skláris szorzás és norm Topológii lpfoglmk Soroztok Cuchy-soroztok Kompkt hlmzok Heine Borel-tétel Kompkt hlmzok jellemzése soroztokkl Függvények htárértéke Függvények folytonosság Kompkt hlmzon értelmezett folytonos függvények Egyenletesen folytonos függvények Normák ekvivlenciáj Normák ekvivlenciájánk következményei Sorok Lineáris leképezések Multilineáris leképezések Kontrkciók és Bnch-féle fixponttétel Konvex hlmzok szétválsztás Az lgebr lptétele Függvénysoroztok, függvénysorok véges dimenzióbn Pontonkénti és egyenletes konvergenci A korlátos folytonos függvények tere Függvénysorozt és függvénysor deriválás és integrálás Htványsorok Abel-tétel Approximáció polinomokkl Differenciálszámítás véges dimenzióbn Differenciálhtóság Differenciálás műveleti tuljdonsági Iránymenti derivált Néhány speciális függvény deriváltj Vektor-vektor függvény deriváltj Grdiens, divergenci és rotáció Folytonosn differenciálhtó függvények Függvénysorozt és függvénysor differenciálhtóság Inverzfüggvény tétel Implicitfüggvény tétel Többszörös deriváltk Tylor-sorfejtés Lokális szélsőérték jellemzése Feltételes szélsőérték Konvexitás differenciális jellemzése Fourier-sorok Trigonometrikus polinomok Fourier-féle ortogonális függvényrendszer Függvény Fourier-sor Tárgymuttó

4

5 A BME mtemtikus hllgtóink trtott Anlízis és Klkulus tárgyk motiválták jelen jegyzet megírását. Ez okttási segédnyg, melyben előfordulhtnk hibák. Ezért h hibát tlál szövegben, kérem jelezze szerzőnek. Köszönettel trtozom Dr. Tóth Jánosnk z előzetes verziókbn szereplő elírások kijvításáért és értékes megjegyzéseiért, Joó Attilánk, ki felhívt figyelmem hlmzelmélet részben pár ponttlnságr jegyzet előzetes változtábn, vlmint Lovs Attilánk függelék gondos átnézéséért. Különböző jelölések bevezetése és definíciók során = szimbólumot fogjuk hsználni definiáló egyenlőségként. Az = b zt jelenti, hogy már ismert b kifejezést továbbikbn jelöli március 7. Andi Attil Ez dokumentum elektronikus és nyomttott formábn szbdon hsználhtó, de csk sját célokr, nem-kereskedelmi jellegű lklmzásokhoz, tevékenységekhez. A dokumentum internetre vló feltöltése és mások áltl elérhetőve tétele csk szerző engedélyével lehetséges. Minden más terjesztési és felhsználási form esetében is szerző engedélyét kell kérni. Copyright, 2022 Andi Attil

6

7 1 1. Véges dimenziós terek topológiáj Jelölés. A jelen fejezetben véges dimenziós euklidészi tér elemi tuljdonságit tekintjük át. A fejezetben végig feltesszük z n és z m szimbólumról, hogy szigorún pozitív természetes számot jelölnek. H nem teszünk rá kikötést, kkorn és m tetszőleges eleme z N + hlmznk. Ugynezekkel feltételezésekkel élünk, h n 1,...,n k szimbólumokr vontkozón. Jelölés. A fejezet elején emlékeztetünk projekció függvényre, mit fejezetben többször fogunk hsználni. A projekció függvény hlmzok Descrtes-szorztán értelmezett z lábbi módon. H A i ) i I hlmzrendszer és j I, kkor pr j : i IA i A j x xj). Speciálisn K n téren minden i {1,...,n} index esetén pr i : K n K x 1,...,x n ) x i. Az egyszerűség kedvéért x K n és i {1,...,n} esetén hsználjuk z x i = pr i x) jelölést. Ezt jelölést függvényekre is lklmzzuk. Tehát h vlmely T hlmz esetén f : T K n függvény és i {1,...,n}, kkor f i = pr i f, zz f i : T K t ft) i. Jelölés. A K n vektortérben továbbikbn e k k {1,...,n}) fogj jelölni zt vektort, melynek k-dik komponense 1, többi 0. Az K n térben nyilván bázis e k ) k {1,...,n} vektorrendszer Skláris szorzás és norm 1.1. Definíció. A K n téren z lábbi műveleteket értelmezzük. + : K n K n K x 1,...,x n ),y 1,...,y n )) x 1 +y 1,...,x n +y n ) : K K n K λ,x 1,...,x n )) λx 1,...,λx n ) 1.2. Tétel. A K n tér fenti műveletekkel vektortér. Bizonyítás. A vektortér tuljdonsági nyilvánvló módon teljesülnek fenti műveletekre Definíció. A K n téren műveletet skláris szorzásnk nevezzük., : K n K n K x,y) x k y k 1.4. Tétel. A K n téren skláris szorzásr z lábbik teljesülnek. 1. x K n : x,x R x K n : x,x = 0 x = 0 3. x,y,z K n : x+y,z = x,z + y,z 4. x,y K n λ K : λx,y = λ x,y 5. x,y K n : x,y = y,x Bizonyítás. A definíció nyilvánvló következménye Tétel. Cuchy Schwrz Bunykovszkij-egyenlőtlenség.) Minden x,y K n vektorr teljesül. x,y 2 x,x y,y k=1

8 2 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA Bizonyítás. Legyen x,y K n. H x = y = 0, kkor nyilván teljesül z egyenlőtlenség, ezért tegyük fel, hogy y 0. Tekintsük minden t K esetén z = x ty vektort. Ekkor skláris szorzás lptuljdonság mitt 0 z,z = x ty,x ty = x,x t y,x t x,y + t 2 y,y. Behelyettesítve fenti egyenlőtlenségbe t = y,x y,y értéket dódik. 0 x,x x,y y,x y,x x,y y,x x,y + y,y y,y y,y y,y y,y = = 1 x,x y,y x,y 2) y,y 1.6. Definíció. Az x,y R n \{0} vektorok áltl bezárt szög 1.7. Definíció. A K n téren értelmezett α = rccos x,y x,x y,y. : K n R + 0 x x függvényt normánk nevezzük, h z lábbik teljesülnek rá. x K n : x = 0 x = 0 x K n, λ K : λx = λ x x,y K n : x+y x + y Azt mondjuk, hogy K n, ) normált tér, h norm K n téren Tétel. Minden p [1, [ esetén K n téren p : K n R + x x p = k=1 x k p ) 1 p : K n R + x x = mx{ xk k {1,...,n}} leképezések normák melyet p-normánk vgy sup-normánk vgy mximum-normánk nevezünk). Bizonyítás. Egyedül normákr vontkozó háromszög-egyenlőtlenség nem dódik rögtön definícióból. Legyen x,y K n tetszőleges. Adott p [1, [ esetén x+y p x p + y p Minkowski-egyenlőtlenség következménye. Mivel z x, y vektor minden k {1,..., n} komponensére x k +y k x k + y k teljesül, ezért x+y = mx{ x k +y k k {1,...,n}} mx{ x k + y k k {1,...,n}} mx{ x k k {1,...,n}}+mx{ y k k {1,...,n}} = x + y Tétel. A K n téren minden x K n vektorr x 2 = x,x teljesül. Bizonyítás. A definíciók lpján nyilvánvló Tétel. Minden x,y R n \{0} vektorr teljesül, hol α vektorok áltl bezárt szög. x,y = x 2 y 2 cosα

9 1.2 TOPOLÓGIAI ALAPFOGALMAK 3 Bizonyítás. A vektorok áltl bezárt szög definíciój és fenti tétel k lpján nyilvánvló Tétel. Legyen K n, ) normált tér. Ekkor minden x,y K n esetén x y x y teljesül. Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér és x,y K n tetszőleges. A norm tuljdonság lpján x = x y)+y x y + y x y x y, z x és y szerepét felcserélve és kihsználv, hogy x y = y x y x x y dódik. Vgyis ± x y ) x y, miből következik bizonyítndó állítás Topológii lpfoglmk Definíció. Legyen K n, ) normált tér. Minden r R számr és x K n pontr B r x) = {y K n x y < r} hlmzt z x pont körüli r sugrú nyílt gömbi környezetnek nevezzük. Amennyiben nem okoz félreértést, normát nem írjuk ki, tehát csk B r x) szimbólumot fogjuk hsználni. Megjegyzés. A továbbikbn számtlnszor fogjuk hsználni áltlábn hivtkozás nélkül z lábbi egyszerű, de fontos tényt Tétel. Legyen K n, ) normált tér, x K n és r R +. Ekkor minden y B r x) pontr és ρ ]0,r x y [ számr B ρ y) B r x) teljesül. Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér, x K n, r R +, y B r x) és ρ ]0,r x y [. H z B ρ y), kkor y z < ρ, miből következik, zz z B r x). Tehát B ρ y) B r x). x z x y + y z < x y +ρ < r Tétel. Legyen K n, ) normált tér. Ekkor d : K n K n R x,y) x y leképezésre z lábbik teljesülnek. 1. x,y K n : dx,y) = 0 x = y 2. x,y K n : dx,y) = dy,x) 3. x,y,z K n : dx,z) dx,y)+dy,z) Bizonyítás. A norm definíciój lpján mindegyik tuljdonság nyilvánvló. Jelölés. Adott K n, ) normált tér és x,y K n pontok esetén továbbikbn dx,y) = x y jelölést hsználjuk.

10 4 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA Definíció. Legyen K n, ) normált tér. Az X K n hlmz nyílt, h minden x X ponthoz létezik r R +, hogy B r x) X teljesül. Az X K n hlmz zárt, h K n \X nyílt. Az X K n hlmz korlátos, h létezik olyn r R + és x K n, hogy X B r x) teljesül Tétel. Korlátos hlmz részhlmz korlátos. Véges sok korlátos hlmz uniój korlátos. Bizonyítás. Az első állítás definíció lpján nyilvánvló. A második állításhoz vegyük K n, ) normált tér A 1,...,A n korlátos részhlmzit, és legyen r i,x i ),...,n olyn rendszer, hogy minden i = 1,...,n esetén A i B ri x i ), legyen továbbá minden i = 1,...,n esetén legyen R i = r i + x i x 1. Ekkor minden i számr z 1.13 tétel mitt B ri x i ) B Ri x 1 ) teljesül. Tehát z R = n mx{r i i = 1,...,n} számr teljesül, hogy A i B R x 1 ) Tétel. Legyen K n, ) normált tér. Minden x K n pont és r R + szám esetén B r x) korlátos, nyílt hlmz. Bizonyítás. A definíció lpján B r x) hlmz korlátosság nyilvánvló. legyen R ]0,r x y [. Ekkor z 1.13 tétel mitt B R y) B r x) teljesül. Legyen y B r x) és Tétel. Nyílt hlmzok rendszere.) Legyen K n, ) normált tér. 1. Az üres hlmz és K n nyílt. 2. Véges sok nyílt hlmz metszete nyílt. 3. Nyílt hlmzok tetszőleges rendszerének z uniój nyílt. Bizonyítás. 1. A definíció lpján nyilvánvló. 2. Legyen A i ),...,n nyílt hlmzok tetszőleges véges rendszere és legyen továbbá x minden i = 1,...,n számhoz létezik olyn r i R +, hogy B ri x) A i teljesül. H kkor R R + és B R x) n A i teljesül. R = min{r i i = 1,...,n}, n A i. Ekkor 3. Legyen A i ) i I nyílt hlmzok tetszőleges rendszere és legyen továbbá x i IA i. Ekkor létezik olyn i 0 I melyre x A i0 teljesül. B r x) A i0, vgyis B r x) i IA i. Mivel A i0 nyílt hlmz, így létezik olyn r R +, melyre Tétel. Zárt hlmzok rendszere.) Legyen K n, ) normált tér. 1. Az üres hlmz és K n zárt. 2. Véges sok zárt hlmz uniój zárt. 3. Zárt hlmzok tetszőleges rendszerének metszete zárt. Bizonyítás. 1. A definíció lpján nyilvánvló. 2. Legyen Z i ),...,n zárt hlmzok tetszőleges véges rendszere. Ekkor minden i {1,...,n} esetén K n \Z i nyílt hlmz. A n n K n \ Z i = K n \Z i ) de Morgn zonosság mitt mitt z is nyílt. Vgyis n Z i komplementere véges sok nyílt hlmz metszete, így z előző állítás n Z i hlmz zárt.

11 1.2 TOPOLÓGIAI ALAPFOGALMAK 5 3. Legyen Z i ) i I zárt hlmzok tetszőleges rendszere. Ekkor minden i {1,...,n} esetén K n \Z i nyílt hlmz. A K n \ Z i = K n \Z i ) i I i I de Morgn zonosság mitt i IZ i komplementere nyílt hlmzok uniój, így z előző állítás mitt z is nyílt. Vgyis i IZ i hlmz zárt Tétel. Legyen K n, ) normált tér és Z,U K n. H Z zárt hlmz és U nyílt hlmz, kkor Z \U zárt hlmz és U \Z nyílt hlmz. Bizonyítás. A K n, ) normált térben legyen Z K n zárt hlmz és U K n nyílt hlmz. Ekkor z Z \U = Z K n \U) zonosság lpján z Z \U két zárt hlmz metszete, ezért zárt. Az U \Z = U K n \Z) egyenlőség szerint z U \ Z hlmz két nyílt hlmz metszete, ezért nyílt Definíció. Legyen K n, ) normált tér, X K n és x K n. Azt mondjuk, hogy x belső pontj z X hlmznk, h r R + : B r x) X; htárpontj z X hlmznk, h r R + : B r x) X B r x) K n \X) ; torlódási pontj z X hlmznk, h r R + : B r x)\{x}) X ; izolált pontj z X hlmznk, h r R + : B r x) X = {x} Definíció. Legyen K n, ) normált tér, X K n és x X. Azt mondjuk, hogy X környezete z x pontnk, h x belső pontj z X hlmznk Definíció. Legyen K n, ) normált tér. Az X K n hlmz belsejének nevezzük z IntX = {x K n r R + : B r x) X} hlmzt, zz belső pontok hlmzát; lezártjánk pedig z X = {x K n r R + : B r x) X } hlmzt, zz z érintési pontok hlmzát. Az X hlmz htáránk nevezzük hlmzt. FrX) = X \IntX Tétel. Legyen K n, ) normált tér. Tetszőleges X K n hlmz esetén 1. Int X hlmz nyílt; 2. Int X z legbővebb nyílt hlmz, melyet X trtlmz; 3. X hlmz zárt; 4. X z legszűkebb zárt hlmz, mely trtlmzz X-et. Bizonyítás. 1. Legyen x IntX. Ekkor létezik olyn r R +, melyre B r x) X. Mivel B r x) hlmz minden pontj belső pontj z X hlmznk, ezért B r x) IntX teljesül. 2. Jelölje U zt legbővebb nyílt hlmzt, melyet X trtlmz. Ekkor nyilván Int X U teljesül. Legyen z U. Ekkor z U hlmz nyíltság mitt létezik olyn r R +, hogy B r x) U miből U X felhsználásávl B r x) X dódik, vgyis x IntX. Tehát z U IntX trtlmzás is fennáll. 3. Legyen z K n \X. Ekkor lezárt definíciój lpján létezik olyn r R +, melyre B r z) X =.

12 6 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA teljesül. Megmuttjuk, hogy ekkorb r z) K n \X, vgyis z X hlmz komplementere nyílt. Tegyük fel, hogy létezik y B r z) X elem. Ekkor ρ = r y z > 0 számr B ρ y) X teljesül lezárás definíciójából. A B ρ y) B r z) trtlmzás felhsználásávl z B ρ y) X B r z) X = ellentmondás dódik. 4. Jelölje Z zt legszűkebb zárt hlmzt, mely z X hlmzt trtlmzz. Ekkor nyilván Z X teljesül. Tegyük fel, hogy létezik y X \Z elem. A Z hlmz zártság és y / Z mitt létezik olyn r R +, melyre B r y) Z =. A lezárás értelmezése lpján B r y) X. Az X Z trtlmzás felhsználásávl z B r y) X B r y) Z = ellentmondás dódik Tétel. Legyen K n, ) normált tér. Tetszőleges X K n hlmz esetén 1. z X hlmz pontosn kkor nyílt, h X = IntX; 2. z X hlmz pontosn kkor zárt, h X = X. Bizonyítás. Az előző tétel lpján nyilvánvló Tétel. Legyen K n, ) normált tér. Az X K n hlmz pontosn kkor zárt, h z összes torlódási pontját trtlmzz. Bizonyítás. Legyen X K n zárt hlmz és legyen x K n z X hlmz torlódási pontj. Ez zt jelenti, hogy minden r R + számr Vgyis minden r R + számr B r x)\{x}) X. B r x)\{x}) X B r x) X, miből definíció szerint x X következik. Mivel X zárt hlmz, ezért z előző állítás mitt x X. Legyen X K n olyn hlmz, mely trtlmzz z összes torlódási pontját. Megmuttjuk, hogy ekkor X = X teljesül, mely ekvivlens z X hlmz zártságávl. Az X X trtlmzás nyilvánvló ezért csk zt kell igzolni, hogy X X. Tegyük fel, hogy létezik x X \ X elem. Ekkor x X mitt minden r R + esetén B r x) X, továbbá x / X mitt B r x)\{x}) X, vgyis x z X hlmz torlódási pontj. Mivel X trtlmzz z összes torlódási pontját, ezért z x X ellentmondást kpjuk Tétel. Legyen K n, ) normált tér és X K n. Ekkor IntX = K n \K n \X, X = K n \IntK n \X). Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér és X K n. Legyen x IntX. Ekkor létezik olyn r R +, hogy B r x) X teljesül. Vgyis K n \ X) B r x) =. Ebből x / K n \X következik. Fordítv, h x / K n \X, kkor létezik olyn r R +, melyre K n \X) B r x) =. Ebből B r x) X következik, vgyis x Int X. A második egyenlőség következik z elsőből, hiszen ) K n \IntK n \X) = K n \ K n \K n \K n \X) = K n \K n \X) = X Definíció. Legyen K n, ) normált tér és X,Y K n. Azt mondjuk, hogy z X hlmz sűrű z Y hlmzbn, h X = Y ; sűrű, h X = K n.

13 1.3 SOROZATOK Soroztok Definíció. Soroztok htárértéke.) Legyen K n, ) normált tér. Az : N K n függvényeket soroztoknk nevezzük. Azt mondjuk, hogy x K n z : N K n sorozt htárértéke, h ε R + N N n N n > N n B ε x)). Azt mondjuk, hogy z : N K n sorozt konvergens, h létezik htárértéke. Azt mondjuk, hogy z : N K n sorozt divergens, h nem konvergens Tétel. A K n, ) normált térben hldó konvergens sorozt htárértéke egyértelmű. Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér és z : N K n soroztnk legyen x,y K n htárértéke. Tegyük fel, hogy x y. Ekkor létezik olyn N N, hogy n > N esetén d n,x) < dx,y) és 2 d n,y) < dx,y). Amiből 2 ellentmondás dódik. dx,y) dx, n )+d n,y) < dx,y) Mgyrázt. Tehát K n, ) normált térben, h létezik egy soroztnk htárértéke, kkor z egyértelmű Definíció. A lim művelet.) Legyen K n, ) normált tér. Az : N K n konvergens sorozt htárértékét lim vgy lim n n jelöli Definíció. Legyen K n, ) normált tér. Az : N K n sorozt korlátos, h Rn korlátos hlmz. Legyen σ : N N olyn függvény, melyre minden n N esetén σn) < σn + 1) teljesül z ilyen σ függvény neve indexsorozt), és legyen : N K n tetszőleges sorozt. Ekkor z σ : N K n soroztot z sorozt részsoroztánk nevezzük Tétel. Minden konvergens sorozt korlátos. Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér, : N K n konvergens sorozt és legyen lim = A. Ekkor létezik olyn N N, küszöbindex, hogy minden n N, N < n számr n B 1 A), vgyis z { n n > N} hlmz korlátos. Minden 0 n N esetén z egyetlen pontból álló { n } hlmz N ) korlátos. Mivel Rn B 1 A) { n } és jobb oldlon álló hlmz véges sok korlátos hlmz n=0 uniój, vgyis korlátos, ezért Rn hlmz is korlátos Tétel. Konvergens sorozt minden részsorozt konvergens és htárértéke ugynz, mint z eredeti sorozt htárértéke. Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér, : N K n konvergens sorozt, σ : N N indexsorozt, és legyen ε R +. Ekkor létezik olyn N N, küszöbindex, hogy minden n N, N < n számr n lim < ε teljesül. Mivel σn) n, ezért minden n N, N < n számr σn) lim < ε teljesül, vgyis z σ sorozt konvergens és lim σ) = lim Tétel. Legyen K n, ) normált tér, A K n és x K n. 1. Az A hlmznk x pontosn kkor torlódási pontj, h létezik olyn : N A\{x} sorozt, melyre lim = x. 2. Az A hlmz pontosn kkor zárt, h minden konvergens : N A soroztr lim A.

14 8 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér, A K n és x K n. 1. Tegyük fel, hogy x z A hlmz torlódási pontj. Ekkor minden n N esetén ) B 1 x)\{x} A. n+1 A kiválsztási xióm lpján n N B 1 n+1 x)\{x} ) A. Legyen egy tetszőleges eleme ennek hlmznk. Ekkor egy N A \ {x} sorozt, melyre lim = x, hiszen minden n N számr d n,x) < 1 n+1 teljesül. Tegyük fel, hogy : N A \ {x} olyn sorozt, melyre lim = x, és legyen r R + tetszőleges prméter. Az sorozt konvergenciáj mitt létezik olyn N N küszöbindex, hogy minden n N, N < n számr d n,x) < r, vgyis N+1 B r x). Az N+1 elemre N+1 A\{x} is teljesül, ezért ) N+1 B1 x)\{x} A. r 2. Legyen A K n zárt hlmz, : N A konvergens sorozt és lim = α. Tegyük fel, hogy α / A. Mivel α eleme nyílt K n \A hlmznk, ezért létezik olyn r R +, hogy B r α) K n \A), miből B r α) A = dódik. Az sorozt konvergenciáj mitt viszont z r számhoz létezik olyn N N küszöbindex, hogy minden n N, N < n esetén n B r α). Ekkor viszont z N+1 B r α) A = ellentmondás dódik. Legyen A K n olyn hlmz, hogy minden : N A konvergens sorozt esetén lim A. Tegyük fel, hogy z A hlmz nem zárt és legyen α A\A. A lezárt definíciój lpján α torlódási pontj z A hlmznk. Ezért létezik olyn : N A sorozt, melyre lim = α, vgyis z α A ellentmondást kpjuk Tétel. Legyen K n, ) normált tér, c K,,b : N K n és λ : N K konvergens sorozt. 1. Az +b sorozt konvergens és lim+b) = lim)+limb). 2. A c sorozt konvergens és limc) = clim). 3. A λ sorozt konvergens és limλ) = limλ)lim). 4. Az sorozt konvergens és lim = lim. Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér,,b : N K n és λ : N K konvergens sorozt z A = lim, B = limb és Λ = limλ htárértékekkel, vlmint legyen ε R + tetszőleges szám. 1. A ε 2 számhoz létezik olyn N,N b N küszöbindex, melyre minden n > N számr n A < ε 2 és minden n > N b számr b n B < ε 2. Ekkor z N = mx{n,n b } küszöbindexre teljesül z, hogy minden n > N esetén n +b n ) A+B) n A + b n B < ε 2 + ε 2 = ε. 2. Ac = 0 számr nyilván igz z állítás, ezért feltehető, hogyc K\{0}. Azsorozt konvergenciáj mitt létezik olyn N N küszöbindex, hogy minden n > N esetén n A < ε. Ekkor minden c n > N számr ε c n ca = c n A < c c = ε. 3. Mivel λ sorozt korlátos ezért létezik olyn K R +, hogy minden n N számr λ n < K. Tegyük fel, hogy A 0. Legyen N N olyn küszöbindex, hogy minden n > N esetén n A < ε 2K és legyen N λ N olyn küszöbindex, hogy minden n > N λ esetén λ n Λ < ε. Ekkor z 2 A N = mx{n,n b } küszöbindexre teljesül z, hogy minden n > N esetén λ n n ΛA = λ n n λ n A+λ n A ΛA λ n n A + A λ n Λ <

15 1.4 CAUCHY-SOROZATOK 9 < K ε 2K + A ε 2 A = ε. H A = 0, kkor létezik olyn N N olyn küszöbindex, hogy minden n > N esetén n < ε K. Ekkor ε λ n n 0 K K = ε. 4. H N N olyn küszöbindex, hogy minden n > N esetén n A < ε, kkor minden n > N számr n A n A < ε Tétel. Legyen n N +, p [1, [ { }, és : N K n sorozt. Az sorozt pontosn kkor konvergens K n, p ) térben, h minden i {1,...,n} esetén z i = pr i sorozt konvergens és ekkor minden i {1,...,n} indexre teljesül. pr i lim) = limpr i ) Bizonyítás. Legyen n N +, p [1, [ { }, és : N K n sorozt. H z sorozt konvergens, kkor legyen x = lim, i {1,...,n} tetszőleges index és ε R + tetszőleges prméter. Mivel konvergens, ezért létezik olyn N N küszöbindex, hogy minden n N, N < n számr d p n,x) < ε. Ekkor pr i n ) pr i x) < ε, vgyis limpr i ) = pr i lim). Most tegyük fel, hogy minden i {1,...,n} esetén pr i sorozt konvergens és legyen ε R + tetszőleges prméter. Legyen x = limpr 1 ),...,limpr n )) K n. Minden i {1,...,n} esetén létezik olyn N i N küszöbindex, hogy minden N i < n természetes számr pr i n ) x i < ε n. Legyen N = mx{n i i {1,...,n}}. Ekkor minden N < n természetes számr p esetben p = esetben pedig d p n,x) = n p pr i n ) x i p < n ε ) p ε p = n p 1 = ε n n d n,x) = mx{ pr i n ) x i i {1,...,n}} < ε n ε teljesül, tehát lim = x, vgyis z sorozt konvergens. p n n ε, 1.4. Cuchy-soroztok Definíció. Legyen K n, ) normált tér. Az : N K n sorozt Cuchy-sorozt, h ε R + N N n,m N N < n N < m) n m < ε ) Tétel. Minden Cuchy-sorozt korlátos. Bizonyítás. LegyenK n, ) normált tér és : N K n Cuchy-sorozt. Ekkor létezik olynn N, küszöbindex, hogy minden n,m N, N < n,m számr d n, m ) < 1 teljesül, vgyis minden N < n természetes szám esetén n B 1 N+1 ), vgyis z { n n > N} hlmz korátos. Minden 0 n N esetén z egyetlen pontból álló { n } hlmz korlátos. Mivel Rn véges sok korlátos hlmz uniój, ezért korlátos Tétel. Minden konvergens sorozt Cuchy-sorozt.

16 10 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér, : N K n konvergens sorozt, melynek htárértéke A K n és legyen ε R +. Ekkor létezik olyn N N, hogy minden n N, N < n számr d n,a) < ε teljesül, vgyis minden N < n,m természetes szám esetén 2 d n, m ) d n,a)+d m,a) < ε 2 + ε 2 = ε Tétel. Egy Cuchy-sorozt pontosn kkor konvergens, h létezik konvergens részsorozt. Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér, : N K n Cuchy-sorozt, σ : N N olyn indexsorozt, melyre σ konvergens, és legyen továbbá A = lim σ. H ε R +, kkor létezik olyn N 1 N küszöbindex, hogy minden n,m N, N 1 < n,m esetén d n, m ) < ε 2 és létezik olyn N 2 N küszöbindex, hogy minden n N, N 2 < n esetén d σn),a) < ε 2. H N = mx{n 1,N 2 } és n N, N < n, kkor d n,a) d n, σn) )+d σn),a) < ε 2 + ε 2 = ε, hol kihsználtuk, hogy σn) n Definíció. Legyen K n, ) normált tér és A K n. Azt mondjuk, hogy z A hlmz teljes, h minden : N A Cuchy-sorozt konvergens és htárértéke z A hlmzbn vn. Azt mondjuk, hogy K n, ) normált tér teljes, h K n teljes hlmz Tétel. A K n, ) normált tér teljes, továbbá minden A K n zárt hlmz teljes. Bizonyítás. Legyen : N K n Cuchy-sorozt K n, ) térben. Mivel minden i {1,...,n} és n,m N index esetén pr i n ) pr i m ) n m, ezért pr i : N K Cuchy-sorozt Kszámtestben vgyis konvergens. Amiből z 1.37 tétel lpján dódik, hogy z sorozt konvergens. Legyen A K n zárt hlmz. Ekkor minden : N A Cuchy-sorozt konvergens K n térben, zonbn zárt hlmzbn hldó konvergens sorozt htárértéke is hlmzbn vn, ezért A teljes. Kiegészítés. A normávl ellátott vektorterek teljessége nem szükségszerű Definíció. A teljes normált tereket Bnch-tereknek nevezzük Tétel. A K n, ) normált tér Bnch-tér Kompkt hlmzok Definíció. Legyen K n, ) normált tér. Az X K n hlmz kompkt, h minden nyílt fedésének létezik véges részbefedése. Azz, h minden X A i esetén létezik olyn véges I I hlmz, melyre X A i teljesül, hol i I i I minden i I esetén z A i nyílt részhlmz z K n térnek Tétel. A K n, ) normált térben 1. minden véges hlmz kompkt; 2. véges sok kompkt hlmz uniój kompkt. Bizonyítás. A kompktság definíciójánk közvetlen következménye Tétel. Legyen K n, ) normált tér és X K n kompkt hlmz. 1. Ekkor X korlátos és zárt. 2. Az Y X hlmz pontosn kkor kompkt, h zárt.

17 1.5 KOMPAKT HALMAZOK 11 Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér és X K n kompkt hlmz. 1. Megmuttjuk, hogy X korlátos. Legyen p K n tetszőleges pont. Mivel X K n = B n p), n N + ezért létezik olyn véges I N + hlmz, hogy X n IB n p). Ekkor z r = mx{i} számr X B r p) teljesül. Most igzoljuk, hogy X zárt. Ehhez legyen p K n \X tetszőleges pont. Minden x X pont esetén h rx) = dx,p), kkor B rx) x) B rx) p) =. Mivel 2 X B rx) x) z X kompkt hlmz nyílt fedése, ezért létezik olyn H X véges hlmz, melyre X B rx) x) x X x H teljesül. Legyen r = min{rx) x H}. Ekkor minden x H esetén B rx) x) B r p) =, vgyis ) X B r p) B rx) x) B r p) = Brx) x) B r p) ) =. x H Ez zt muttj, hogy B r p) K n \X. Tehát K n \X hlmz minden pontj belső pont, ezért K n \X nyílt hlmz, vgyis X zárt. 2. Legyen Y X zárt hlmz és legyen U i ) i I z Y hlmz nyílt fedése és legyen V = K n \ Y. Ekkor V,U i ) i I z X hlmz nyílt fedése X V i IU i ), ezért létezik olyn I I véges hlmz, melyre X V U i. A V hlmz definíciójából dódik, hogy ekkor Y U i is teljesül, vgyis i I i I z Y hlmz kompkt. H Y X kompkt hlmz, kkor z első pont lpján zárt Tétel. Cntor-féle közösrész-tétel.) Legyen K n, ) normált tér és K i ) i I K n kompkt, nem üres hlmzink olyn rendszere, hogy minden i,j I esetén létezik olyn k I index, hogy K k K i K j teljesül. Ekkor K i. i I Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér és K i ) i I K n kompkt, nem üres hlmzink olyn rendszere, hogy minden i,j I esetén létezik olyn k I, hogy K k K i K j teljesül, vlmint rögzítsünk egy i 0 I indexet. Minden i I esetén legyen U i = K n \K i K i0 ), mely nyílt hlmz. A bizonyítndó állítássl ellentétben tegyük fel, hogy i IK i =. Ekkor i IU i = i I x H ) K n \K i K i0 ) = K n \ K i K i0 ) = K n, vgyis K i0 U i. Mivel K i0 kompkt, ezért létezik olyn I I véges hlmz, hogy K i0 U i. i I i I Ebből K i0 ) U i = K n \K i K i0 ) = K n \ K i K i0 ) i I i I i I dódik. A feltevés mitt véges sok K i kompkt hlmz metszete sem üres, tehát létezik j I, melyre K j K i K i0 ). Erre hlmzr fenti trtlmzás lpján i I K j K i0 K n \ i I i I K i K i0 ) ) K n \K j

18 12 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA következik, mi nyilvánvló K j K n \K j ellentmondásr vezet Heine Borel-tétel Tétel. Minden R R + esetén [ R,R] n hlmz kompkt z R n, ) normált térben. Bizonyítás. Legyen R R + és tekintsük T 0 = [ R,R] n hlmzt z R n, ) normált térben. A T 0 hlmz nyilván korlátos, hiszen z r 0 = 1 + 2R számr teljesül, hogy bármely x T 0 esetén T 0 B r0 x). Most megmuttjuk, hogy zárt is. Ehhez legyen c : N T 0 tetszőleges konvergens sorozt, limc = C htárértékkel. Ekkor z 1.37 tétel lpján minden i {1,...,n} indexre limpr i c) = C i teljesül. Mivel pr i c) konvergens sorozt z [ i,b i ] zárt hlmzbn hld, ezért C i [ i,b i ]. Tehát C T 0. Indirekt módon tegyük fel, hogy T 0 hlmz nem kompkt. Ekkor létezik olyn U k ) k K nyílt hlmzokból álló lefedése T 0 hlmznk, melynek nem létezik véges részbefedése. Vegyünk egy ilyen U k ) k K hlmzrendszert. Most definiáljuk T n ) n N hlmzokt z lábbi rekurzióvl. A T 0 hlmzt már fent definiáltuk. Tegyük fel, hogy vlmely n N esetén T n hlmz ismert és i) h n 1, kkor T n T n 1 ; ii) z U k ) k K hlmzrendszernek nem létezik olyn véges részhlmz, mely lefedi T n hlmzt; n iii) T n = [α i,β i ] lkú, hol minden i {1,...,n} esetén α i,β i R. Ezek feltételek teljesülnek T 0 hlmzr. Legyen j {0,1} n és definiáljuk hlmzokt. Ekkor A j = n [ β i α i α i +j i, α ] i +β i β i α i +j i T n = j {0,1} n A j felbontás nem más mint T n hlmz 2 n drbr vló felosztás z élek felezésével. Minden j {0,1} n esetén z U k ) k K hlmzrendszer lefedi z A j hlmzt. H minden j {0,1} n esetén z U k ) k K hlmzrendszernek létezne olyn véges részhlmz, mely lefedi z A j hlmzt, kkor T n hlmznk is létezne véges részbefedése. Tehát létezik leglább egy olyn j {0,1} n index, melyre z teljesül, hogy U k ) k K hlmzrendszernek egyetlen véges részhlmz sem fedi be za j hlmzt. Válsszunk egy ilyen j indexet és legyen T n+1 = A j. Ekkor z így definiált T n+1 hlmzr teljesülnek z i) iii) tuljdonságok. Tekintsük T n ) n N hlmzokt. Minden n N + esetén legyen r n = r 0. Egyszerűen igzolhtó, 2n hogy ekkor minden n N + és x T n esetén T n B rn x) teljesül. Minden i {1,...,n} esetén pr i T n )) n N hlmzrendszerre teljesülnek Cntor-féle közösrésztétel feltételei, ezért pr i T n ). n N Legyen x i n Npr i T n ) és x = x 1,...,x n ). Ekkor minden n N esetén x T n. Mivel x T 0, ezért létezik olyn k 0 K index, melyre x U k0 teljesül. Az U k0 hlmz nyíltság mitt létezik olyn R R +, melyre B R x) U k0. Mivel lim r n = 0, ezért létezik olyn n N, melyre r n < R teljesül. n Ekkor x T n B rn x) B R x) U k0 mitt zt kptuk, hogy T n hlmz lefedhető véges sok, nevezetesen egyetlen U k0 nyílt hlmzzl, ellentmondv ezzel feltételezésünknek Tétel. Heine Borel-tétel végtelen normár.) Az R n, ) normált tér egy részhlmz pontosn kkor kompkt, h korlátos és zárt.

19 1.7 KOMPAKT HALMAZOK JELLEMZÉSE SOROZATOKKAL 13 Bizonyítás. H K R n R n, ) normált tér egy kompkt részhlmz, kkor K z 1.48 tétel lpján korlátos és zárt. Most tegyük fel, hogy K R n korlátos és zárt hlmz. A K hlmz korlátosság mitt létezik olyn n R R +, hogy K B R 0) teljesül. Ekkor végtelen norm definíciój lpján K [ R,R]. Az 1.50 tétel lpján lpján K kompkt. n [ R,R] kompkt hlmz és K ennek zárt részhlmz, tehát z 1.48 tétel 1.7. Kompkt hlmzok jellemzése soroztokkl Tétel. Bolzno Weierstrss-tétel euklidészi terekben végtelen normár.) Legyen A R n. Az R n, ) normált térben z A hlmz pontosn kkor kompkt, h minden A hlmzbn hldó soroztnk létezik olyn konvergens részsorozt, melynek htárértéke eleme z A hlmznk. Bizonyítás. Legyen A R n kompkt hlmz és : N A tetszőleges sorozt. Definiáljuk minden n N esetén z A n = { k k n} hlmzt. Az A n ) n N hlmzrendszerre teljesülnek Cntor-tétel feltételei, ezért létezik x n NA n. Ekkor minden n N esetén x { k k n} teljesül. Ebből lezárt definíciój lpján következik, hogy minden ε R + és n N esetén B ε x) { k k n}, ezért létezik olyn k n, melyre k B ε x). Definiáljuk σ : N N indexsoroztot z lábbi iterációvl. Legyen σ0) = min{k N k B 1 x)}. { } H σn) már ismert, kkor legyen σn+1) = min k N σn) < k k B 1 x). n+2 Ekkor z σ sorozt konvergens, htárértéke x. Ekkor lim σ) K, vgyis K hlmz zártság mitt lim σ) K. Most legyen A R n nem kompkt hlmz. Ekkor z 1.51 tétel lpján A vgy nem zárt vgy nem korlátos. H A nem zárt, kkor létezik egy x A \ A pont és ehhez egy : N A konvergens sorozt, melyre lim = x teljesül. Ekkor z egy olyn A hlmzbn hldó sorozt, melynek nincsen olyn konvergens részsorozt, mely htárértéke z A hlmzbn lenne. H A nem korlátos, minden n N esetén A B n+1 0) teljesül. Legyen n NA \ B n+1 0) tetszőleges. Ekkor z egy olyn A hlmzbn hldó sorozt, melyre minden n N esetén n+1 n teljesül. Tehát egyetlen részsorozt sem korlátos, ezért konvergens sem lehet. Vgyis z egy olyn A hlmzbn hldó sorozt, melynek nincsen konvergens részsorozt Függvények htárértéke Definíció. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m függvény és z K n pont z f függvény értelmezési trtományánk torlódási pontj. Azt mondjuk, hogy z f függvény htárértéke z pontbn A K m, h ε R + δ R + ) fb δ )\{}) B ε A) Tétel. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m függvény, z K n pont z f függvény értelmezési trtományánk torlódási pontj és legyen A,B K m z f függvény htárértéke z pontbn. Ekkor A = B.

20 14 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m, K n Domf hlmz torlódási pontj, és A,B K m legyen z f függvény htárértéke z pontbn. Tegyük fel, hogy A B. Ekkor létezik olyn δ A,δ B R +, hogy minden x Domf esetén 0 < dx,) < δ A d fx),a) < d A,B) 2 0 < dx,) < δ B d fx),b) < d A,B) 2 teljesül, hol d jelöli norm szerinti távolságot, zz d A,B) = A B. Ami zt jelenti, hogy h δ = min{δ A,δ B }, kkor minden x Domf) B δ )\{}) elemre ellentmondás teljesül, tehát A = B. d A,B) d A,fx))+d fx),b) < d A,B) Definíció. A lim művelet.) LegyenK n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m függvény és z K n pont Domf hlmz torlódási pontj. H létezik z f függvénynek htárértéke z pontbn, kkor zt lim f vgy lim x fx) jelöli Tétel. Átviteli elv htárértékre.) Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m függvény és z K n pont Domf hlmz torlódási pontj. A limf htárérték pontosn kkor z létezik, h minden olyn : N Dom f \ {z} soroztr, mely z ponthoz konvergál, létezik limf htárérték. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m és z M Domf hlmz torlódási pontj. Tegyük fel, hogy létezik lim z f = F K m htárérték. Legyen : N Domf\{z}, z ponthoz konvergáló sorozt és ε R + tetszőleges prméter. Ekkor z f függvény htárértéke mitt létezik olyn δ R +, hogy x Domf : 0 < dx,z) < δ d fx),f) < ε. Ehhez δ számhoz z sorozt konvergenciáj mitt létezik olyn N N küszöbindex, hogy minden n N, N < n számr d n,z) < δ. Ekkor minden n N, N < n számr d f n ),F) < ε, vgyis lim f n) = F. n Most tegyük fel, hogy limf létezik minden : N Domf \ {z}, z ponthoz konvergáló sorozt esetén. Legyen b,c : N Domf \ {z} két olyn tetszőleges sorozt, mely z ponthoz konvergál, vlmint legyen { b n h n páros; 2 : N Domf \{z} n cn 1 2 h n pártln. Ekkor f b és f c is részsorozt konvergens f soroztnk, tehát htárértékük is megegyezik. Vgyis létezik olyn A K m pont, hogy minden : N Domf \{z}, z ponthoz konvergáló sorozt esetén limf = A. Megmuttjuk, hogy ekkor lim z f = A. Tegyük fel ugynis, hogy lim z f A. Ekkor ε R + δ R + x B δ z)\{z} : fx) / B ε A). Rögzítsünk egy ilyen ε R + számot. Mivel minden n N esetén { } x Domf \{z} x B 1 z)\{z}, d fx),a) ε, n+1 ezért n N { } x Domf \{z} x B 1 z)\{z}, d fx),a) ε. n+1 H egy tetszőleges eleme fenti hlmznk, kkor : N Domf \ {z} olyn sorozt, melynek minden n N esetén d n,z) < 1 teljesül z elemeire, vgyis lim = z. Ekkor limf = A nem n+1

21 1.8 FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE 15 teljesül, ugynis z ε számhoz nem létezik olyn N N küszöbindex, hogy minden n N, N < n 2 számr d f n ),A) ε teljesül, ugynis z sorozt konstrukciój mitt minden n N számr 2 d f n ),A) ε. Tehát zt z ellentmondást kptuk, hogy nem minden : N Domf \ {z}, z ponthoz konvergáló sorozt esetén teljesül, hogy limf = A Tétel. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f,g : K n K m, ϕ : K n K, λ K és K n torlódási pontj Domf Domg Domϕ hlmznk. Tegyük fel, hogy létezik lim f, lim g és lim ϕ. Akkor z pont torlódási pontj Domf +g), Domλf), Domϕf) és Dom f ) hlmznk, vlmint 1. lim f +g) = lim f +lim g; 2. lim λf) = λlim f); 3. limϕf) = limϕ)limf); 4. lim f = limf. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f,g : K n K m, ϕ : K n K λ K, K n torlódási pontj H = Domf Domg Domϕ hlmznk, legyen F = lim f, G = lim g, Φ = lim ϕ, vlmint legyen ε R + tetszőleges prméter. 1. Az ε 2 számhoz létezik olyn δ f,δ g, hogy Ekkor δ = min{δ f,δ g } számr x H : 0 < x < δ f fx) F < ε 2 x H : 0 < x < δ g gx) G < ε 2. x H : 0 < x < δ f +g)x) F +G) fx) F + gx) G < ε teljesül, vgyis lim f +g) = F +G. 2. H λ = 0, kkor nyilván igz z állítás. Tegyük fel, hogy λ 0. Az ε λ R+ számhoz létezik olyn δ R +, hogy minden x H számr, h 0 < x < δ, kkor fx) F < ε λ. Ezek lpján h x H, 0 < x < δ, kkor vgyis lim λf) = λf. 3. Létezik olyn δ 1 R +, hogy λfx) λf = λ fx) F < λ vgyis, h x H olyn, hogy x < δ 1, kkor ε λ = ε, x H : 0 < x < δ 1 fx) F < 1, fx) < F +1. Minden ε R + számhoz létezik olyn δ f,δ ϕ, hogy x H : 0 < x < δ f fx) F < ε, x H : 0 < x < δ ϕ ϕx) Φ < ε. Ekkor δ = min{δ f,δ ϕ,δ 1 } számr, h x H olyn, hogy 0 < x < δ, kkor ϕf)x) ΦF = ϕx)fx) Φfx)+Φfx) ΦF

22 16 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA fx) ϕx) Φ + Φ fx) F F +1) ε + Φ ε = ε F + Φ +1) < ε, teljesül, h 0 < ε ε < F + Φ +1. Ezek lpján z ε, F és Φ számokhoz válsztunk olyn ε prmétert, melyre teljesül fenti egyenlőtlenség, mjd válsztunk δ 1,δ f, δ ϕ mennyiségeket és ezekből kpjuk meg ε számhoz trtozó δ mennyiséget. 4. Az ε R + számhoz létezik olyn δ R +, hogy x H : 0 < x < δ fx) F < ε. Ekkor δ számr igz, hogy minden 0 < x < δ esetén teljesül, vgyis lim f = F. fx) F fx) F < ε 1.9. Függvények folytonosság Definíció. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m és Domf. Az f függvény folytonos z pontbn, h ε R + δ R + ) fb δ )) B ε f)). Az f függvény folytonos, h minden Domf pontbn folytonos. Jelölés. Adott K n, ) és K m, ) normált terek és U K n és V K m részhlmzok esetén jelölést fogjuk hsználni. CU,V) = {f : U V f folytonos} Tétel. Átviteli elv folytonosságr.) Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m és z Domf. A f függvény pontosn kkor folytonos z pontbn, h minden olyn : N Domf soroztr, mely z ponthoz konvergál, létezik limf htárérték és megegyezik z fz) elemmel. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m és z Domf. Tegyük fel, hogy z f függvény folytonos z pontbn és legyen : N Domf, z ponthoz konvergáló sorozt. Az f függvény z pontbeli folytonosság mitt tetszőleges ε R + prméterhez, létezik olyn δ R +, hogy x Domf : dx,z) < δ d fx),fz)) < ε. Ehhez δ számhoz z sorozt konvergenciáj mitt létezik olyn N N küszöbindex, hogy minden n N, N < n számr d n,z) < δ. Ekkor minden n N, N < n számr d f n ),fz)) < ε, vgyis lim n f n) = fz). Tegyük fel, hogy f nem folytonos z pontbn. Ekkor ε R + δ R + x Domf B δ z) : fx) / B ε fz)). Rögzítsünk egy ilyen ε R + számot. Mivel minden n N esetén { } x Domf x B 1 z), d fx),fz)) ε, n+1 ezért n N { } x Domf x B 1 z), d fx),fz)) ε. n+1

23 1.9 FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA 17 H egy tetszőleges eleme fenti hlmznk, kkor : N Domf olyn sorozt, melynek minden 1 n N esetén d n,z) < teljesül z elemeire, vgyis lim = z. Ekkor limf = fz) n+1 nem teljesül, ugynis z ε számhoz nem létezik olyn N N küszöbindex, hogy minden n N, 2 N < n számr d f n ),fz)) ε, ugynis z sorozt konstrukciój mitt minden n N számr 2 d f n ),fz)) ε. Tehát zt z ellentmondást kptuk, hogy nem minden : N Domf, z ponthoz konvergáló sorozt esetén teljesül, hogy limf = fz) Tétel. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m, és z Domf pont Domf hlmz torlódási pontj. Az f függvény pontosn kkor folytonos z pontbn, h lim f létezik és lim f = f). Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m, és z Domf pont Dom f hlmz torlódási pontj. Egymás lá írv lim f = f) és z f függvény pontbeli folytonosságánk jelentését ε R + δ R + x Domf : ε R + δ R + x Domf : 0 <dx,) < δ d fx),f)) < ε dx,) < δ d fx),f)) < ε rögtön dódik, hogy z Domf esetben két formul ekvivlens Tétel. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f,g : K n K m, ϕ : K n K, λ K és Domf Domg Domϕ. Tegyük fel, f, g és ϕ folytonos z pontbn. Ekkor z pontbn 1. f +g; 2. λf; 3. ϕf; 4. f folytonos. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f,g : K n K m, ϕ : K n K, λ K, H, hol H = Domf Domg Domϕ. Tegyük fel, f, g és ϕ folytonos z pontbn. Legyen ε R + tetszőleges prméter. 1. Az ε 2 számhoz létezik olyn δ f,δ g, hogy Ekkor δ = min{δ f,δ g } számr x H : x < δ f fx) f) < ε 2, x H : x < δ g gx) g) < ε 2. x H : x < δ f +g)x) f +g)) fx) f) + gx) g) < ε teljesül, vgyis f +g folytonos z pontbn. 2. H λ = 0, kkor nyilván igz z állítás. Tegyük fel, hogy λ 0. Az ε λ R+ számhoz létezik olyn δ R +, hogy minden x H számr, h x < δ, kkor fx) f) < ε. Ezért h λ x < δ, kkor vgyis λf folytonos z pontbn. 3. Létezik olyn δ 1 R +, hogy λfx) λf) = λ fx) f) < λ ε λ = ε, x H : x < δ 1 fx) f) < 1,

24 18 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA vgyis, h x H olyn, hogy x < δ 1, kkor fx) < F +1. Minden ε R + számhoz létezik olyn δ f,δ ϕ, hogy x H : x < δ f fx) F < ε x H : x < δ ϕ ϕx) ϕ) < ε. Ekkor δ = min{δ f,δ ϕ,δ 1 } számr, h x H olyn, hogy 0 < x < δ, kkor ϕf)x) ϕ)f) = ϕx)fx) ϕ)fx)+ϕ)fx) ϕ)f) fx) ϕx) ϕ) + ϕ) fx) f) f) +1) ε + ϕ) ε = ε f) + ϕ) +1) < ε, teljesül, h 0 < ε ε <. Tehát z ε, f) és ϕ) számokhoz válsztunk olyn f) + ϕ) +1 ε prmétert, melyre teljesül fenti egyenlőtlenség, mjd válsztunk δ 1, δ f, δ ϕ mennyiségeket és ezekből kpjuk meg ε számhoz trtozó δ mennyiséget. 4. Az ε R + számhoz létezik olyn δ R +, hogy x H : x < δ fx) f) < ε. Ekkor δ számr igz, hogy minden x < δ esetén teljesül, vgyis f folytonos z pontbn. fx) f) fx) f) < ε Tétel. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, λ K, vlmint f,g : K n K m és ϕ : K n K folytonos függvény. Ekkor f +g, λf, ϕf és f is folytonos. Bizonyítás. Az előző állítást kell lklmzni minden K n pontr Tétel. A folytonosság topologikus jellemzése.) Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, vlmint f : K n K m. Ekkor z lábbik ekvivlensek. 1. Az f függvény folytonos. 2. Minden A K m nyílt hlmzr létezik olyn U K n nyílt hlmz, melyre 1 f A) = U Domf teljesül. 3. Minden A K m zárt hlmzr létezik olyn Z K n zárt hlmz, melyre 1 f A) = Z Domf teljesül. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m és K = Domf. 1 2 Legyen f : K K m folytonos függvény és A K m nyílt hlmz. Ekkor minden z 1 f A) esetén létezik olynεz) R +, melyreb εz) fz)) A. Ekkor z f függvényz pontbeli folytonosság mitt létezik olyn δz) R +, melyre fk B δz) z)) B εz) fz)). Ezekből K B δz) z) 1 f A) dódik. Tehát z U = B δz) z) nyílt hlmzr K U = 1 f A) teljesül. z 1 f A) 2 1 Legyen f : K K m olyn függvény, hogy minden A K m nyílt hlmz esetén létezik olyn U K n nyílt hlmz, melyre 1 f A) = U K teljesül. Legyen z K és ε R + tetszőleges. Ekkor B ε fz)) nyílt hlmz, ezért létezik olyn U K m nyílt hlmz, melyre 1 f B ε fz))) = U K teljesül. A z U mitt létezik olyn δ R +, hogy B δ z) U. Ez zt jelenti, hogy minden x K pontr x B δ z) esetén fx) B ε fz)) teljesül, ebből pedig következik z f függvény z pontbeli folytonosság, bból pedig folytonosság.

25 1.9 FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA Legyen A K m zárt hlmz. Ekkor K m \ A nyílt hlmz, így létezik olyn U K n nyílt hlmz, hogy 1 f K m \A) = U K. Ezért ) 1 f A) = K K n \ 1 f K m \A) = K K n \U K)) = K K n \U) teljesül, hol felhsználtuk, hogy minden A K m hlmzr 1 f A ) K. Vgyis Z = K n \ U hlmz zárt és 1 f A) = Z K. 3 2 Legyen A K m nyílt hlmz. Ekkor K m \ A zárt hlmz, így létezik olyn Z K n zárt hlmz, hogy 1 f K m \A) = Z K. Ezért ) 1 f A) = K K n \ 1 f K m \A) = K K n \Z K)) = K K n \Z) teljesül, hol felhsználtuk, hogy minden A K m hlmzr 1 f A ) K. Vgyis z U = K n \ Z hlmz nyílt és 1 f A) = U K Tétel. A folytonosság topologikus jellemzése.) Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, vlmint f : K n K m. Ekkor z lábbik ekvivlensek. 1. Az f függvény folytonos. 2. Minden A K m nyílt hlmzr 1 f A) nyílt. 3. Minden A K m zárt hlmzr 1 f A) zárt. Bizonyítás. Az előző állítás közvetlen következménye Tétel. Véges dimenziós normált terek között htó folytonos függvények kompozíciój folytonos függvény. Bizonyítás. LegyenK ni, i) ) normált tér mindeni = 1,2,3 esetén,f : K n1 K n2, g : K n2 K n3 folytonos függvény, és Domf olyn pont, melyre f) Domg teljesül. Megmuttjuk, hogy g f függvény folytonos z pontbn. Legyen ε R + tetszőleges prméter. Mivel g függvény folytonos z f) pontbn, ezért létezik olyn δ g R +, hogy y Domg : d 2 y,f)) < δ g d 3 gy),gf))) < ε. Mivel z f függvény folytonos z pontbn, ezért δ g számhoz létezik olyn δ R + prméter, hogy x Domf : d 1 x,) < δ d 2 fx),f)) < δ g. Egymás után írv fenti két egyenlőtlenséget zt kpjuk, hogy minden x Domg f) esetén d 1 x,) < δ d 3 g f)x),g f))) = d 3 gfx)),gf))) < ε Definíció. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér. Azt mondjuk, hogy z f : K n K m függvény nyílt, h minden U K n nyílt hlmz esetén fu) nyílt hlmz Tétel. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér és f : K n K m bijekció. Az f függvény pontosn kkor nyílt, h f 1 folytonos. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér és f : K n K m bijekció. A folytonosság topologikus jellemzése lpján z f 1 függvény pontosn kkor folytonos, h minden U K n nyílt 1 hlmz esetén ) f 1 U) K m nyílt hlmz, zz fu) K m nyílt hlmz, vgyis mikor f nyílt Definíció. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér U K n és V K m. Az f : U V függvény homeomorfizmus, h folytonos bijekció és z inverze is folytonos. Azt mondjuk, hogy z U és U részhlmzok homeomorfk, h létezik f : U V homeomorfizmus.

26 20 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA Kompkt hlmzon értelmezett folytonos függvények Tétel. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér K K n kompkt hlmz és f : K K m folytonos függvény. Ekkor z fk) hlmz is kompkt. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér K K n kompkt hlmz, f : K K m folytonos függvény és tekintsük z fk) hlmz fk) i IU i nyílt fedését. Ekkor folytonosság topologikus jellemzése 1.63) tétel) lpján minden i I esetén létezik olyn V i nyílt hlmz, melyre 1 f U i ) = V i K teljesül. Vgyis K 1 f i I U i ) = i I 1 f U i ) = i IV i K) = i I V i ) K i IV i K kompkt hlmz nyílt fedése. A K hlmz kompktság mitt létezik olyn J I véges hlmz, melyre K i JV i, ezért fk) i J fv i ) = i JU i z fk) hlmz véges nyílt fedése Tétel. Weierstrss-tétel.) Legyen K n, ) normált tér, K K n kompkt hlmz és f : K R folytonos függvény. Ekkor létezik x,y K, melyekre fx) = inffk) és fy) = supfk) teljesül. Bizonyítás. Legyen K n, ) normált tér, K K n kompkt hlmz és f : K R folytonos függvény. Az előző 1.69 tétel lpján fk) kompkt hlmz, vgyis Borel Lebesgue-tétel mitt korlátos és zárt részhlmz vlós számoknk. Az fk) hlmz korlátosság mitt létezik infimum és szuprémum, vlmint z fk) hlmz zártság mitt inffk),supfk) fk). Ezért létezik olyn x,y K, melyre fx) = inffk) és fy) = supfk) teljesül Tétel. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, K K n kompkt hlmz és f : K K m folytonos injektív függvény. Ekkor z f 1 függvény is folytonos. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, K K n kompkt hlmz, f : K K m folytonos injektív függvény és legyen Z K n zárt hlmz. Ekkor Z K K kompkt hlmz zárt részhlmz, ezért kompkt. Felhsználv, hogy kompkt hlmz folytonos függvény áltli képe kompkt, vlmint z 1 f 1 ) Z) = fz) = fz K) 1 egyenlőséget z dódik, hogy minden Z zárt hlmzr ) f 1 Z) hlmz zárt, tehát z 1.63 tétel lpján f 1 folytonos függvény Tétel. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, K K n kompkt hlmz, V K m és f : K V folytonos bijekció. Ekkor f homeomorfizmus. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, K K n kompkt hlmz, V K m és f : K V folytonos bijekció. Ekkor z 1.69 tétel lpján V kompkt hlmz, és z 1.71 állítás lpján z f 1 függvény is folytonos.

27 1.11 EGYENLETESEN FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK Egyenletesen folytonos függvények Definíció. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér. Azt mondjuk, hogy z f : K n K m függvény egyenletesen folytonos z A hlmzon, h A Domf és ε R + δ R + x,y A : dx,y) < δ d fx),fy)) < ε ) teljesül. Az f függvény egyenletesen folytonos, h egyenletesen folytonos Dom f hlmzon Tétel. Normált terek között htó egyenletesen folytonos függvény folytonos. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, f : K n K m egyenletesen folytonos függvény és x Domf. Ekkor z f függvény egyenletes folytonosság lpján ε R + δ R + y Domf : d1 x,y) < δ d 2 fx),fy)) < ε ), mi zf függvényxpontbeli folytonosságát jelenti. Vgyis zf mindenx Domf pontbn folytonos, tehát folytonos Tétel. Heine-tétel.) Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, K K n kompkt hlmz és f : K K m folytonos függvény. Ekkor f egyenletesen folytonos. Bizonyítás. Legyen K n, ) és K m, ) normált tér, K K n kompkt hlmz, f : K K m folytonos függvény és ε R + tetszőleges rögzített prméter. Az f függvény folytonosság lpján minden x K ponthoz létezik olyn δx) R + szám, melyre teljesül. Ekkor f B δx) x) ) Bε 2 fx)) K x K Bδx) x), 2 vgyis K hlmz kompktság mitt létezik olyn H K véges hlmz, melyre { δx) Legyen δ = min K x H Bδx) x). 2 } 2 x H. Megmuttjuk, hogy ekkor minden x,y K pontr d 1 x,y) < δ esetén d 2 fx),fy)) < ε teljesül. Legyen x,y K olyn, melyre d 1 x,y) < δ teljesül. Az x K p) teljesül. A háromszög-egyenlőtlenség lpján mitt létezik olyn p H, melyre x Bδp) 2 vgyis d 1 y,p) d 1 y,x)+d 1 x,p) < δ + δp) 2 δp), d 1 x,p) < δp) d 2 fx),fp)) < ε 2 d 1 y,p) < δp) d 2 fy),fp)) < ε 2. Ezekből viszont bizonyítndó d 2 fx),fy)) d 2 fx),fp))+d 2 fp),fy)) < ε 2 + ε 2 = ε egyenlőtlenség következik.

28 22 1 VÉGES DIMENZIÓS TEREK TOPOLÓGIÁJA Normák ekvivlenciáj Tétel. Legyen és norm K n vektortéren. Az lábbi állítások ekvivlensek. 1. Minden norm szerinti X K n nyílt hlmz nyílt norm szerint is. 2. Minden x K n és r R + prméterekhez létezik olyn R R +, melyre B R x) B r x). 3. Létezik olyn K R + szám, hogy minden x K n vektorr x K x. Bizonyítás. Legyen és norm K n vektortéren. 1 2 Minden x K n és r R + esetén B r x) nyílt norm szerint, ezért norm szerint is nyílt. Mivel x belső pontj B melyre B R x) B r x) teljesül. r x) hlmznk norm szerint, ezért létezik olyn R R +, 2 3 Az x = 0 vektorhoz és z r = 1 számhoz létezik olyn R R +, melyre B R 0) B 1 0). Vgyis minden y K n vektor esetén h y < R, kkor y < 1. Legyen z K n tetszőleges vektor. H z 0, kkor Z = R 2 z z olyn vektor, melyre Z = R 2 R < R, vgyis Z = z < 1, 2 z miből z 2 R z dódik. H z = 0, kkor is teljesül z 2 R z egyenlőtlenség. Vgyis K = 2 R jelöléssel z dódik, hogy minden x Kn esetén x K x. 3 1 Legyen K R + olyn szám, hogy minden x K n vektorr x K x teljesül és legyen X K n norm szerint nyílt hlmz. H z X, kkor létezik olyn r R +, hogy B r z) X. esetén B R z) B r z) teljesül, vgyis z belső pontj z X hlmznk Megmuttjuk, hogy R = r K norm szerint is. y z < r teljesül. Ez rögtön dódik egyenlőtlenségből. H y B R z), kkor nyilván y z < R és zt kell igzolni, hogy y z K y z < K R = K r K = r Definíció. Azt mondjuk, hogy K n téren értelmezett és normák ekvivlensek egymássl, h ugynzok nyílt hlmzok térben, zz, h minden norm szerint nyílt hlmz nyílt norm szerint és minden szerint nyílt hlmz nyílt norm szerint is Tétel. Legyen és norm K n vektortéren. A és normák pontosn kkor ekvivlensek, léteznek olyn K 1,K 2 R + prméterek, hogy minden x K n vektorr x K 1 x és x K 2 x teljesül, melyet úgy is megfoglmzhtunk, hogy léteznek olyn α,β R + prméterek, hogy minden x K n vektorr α x x β x. Bizonyítás. Az előző állítás közvetlen következménye Tétel. Minden n N + és p [1, [ esetén p és normák ekvivlensek K n téren. Bizonyítás. Egyszerűen igzolhtó, hogy minden x K n vektor esetén x x p p n x teljesül, ezért z előző állítás lpján p és normák ekvivlensek. Mgyrázt. Ennél többet is tudunk igzolni, nevezetesen következő állítás zt muttj, hogy véges dimenziós vektortereken létezik egy kitüntetett nyílt zárt, kompkt, korlátos, stb.) hlmz foglom, melyet normák indukálnk Tétel. Minden n N esetén K n vektortéren bármely két norm ekvivlens. Bizonyítás. Megmuttjuk, hogy minden n N + esetén K n téren végtelen norm ekvivlens bármely más normávl. Legyen tetszőleges norm. Legyen továbbá e i ),...,n K n tér knonikus bázis, zz minden i {1,...,n} esetén e i legyen z vektor, melynek z i-edik komponense 1,

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n

Részletesebben

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így

Részletesebben

Absztrakt vektorterek

Absztrakt vektorterek Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és

Részletesebben

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn

Részletesebben

4. Absztrakt terek elmélete

4. Absztrakt terek elmélete 56 MAM112M elődásjegyzet, 2008/2009 4. Absztrkt terek elmélete 4.1. Lineáris terek 4.1. Definíció. Az X hlmzt lineáris térnek vgy vektortérnek nevezzük vlós számtest (komplex számtest) felett, h bármely

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik

Részletesebben

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.) Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I. LOSONCZI LÁSZLÓ ANYAGAINAK FELHASZNÁLÁSÁVAL. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek,

Részletesebben

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

2010/2011 es tanév II. féléves tematika 2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis

Részletesebben

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0 Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum

Részletesebben

Mérték- és integrálelmélet

Mérték- és integrálelmélet Debreceni Egyetem Mérték- és integrálelmélet Jegyzet Készítette: Ngy Gergő Dr. Molnár Ljos elődási lpján Trtlomjegyzék Bevezetés 3 1. Mértékterek, mértékek 3 1.1. Alpfoglmk 3 1.2. Mértékek konstruálás,

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Bevezetés a funkcionálanalízisbe

Bevezetés a funkcionálanalízisbe Bevezetés funkcionálnlízisbe Krátson János elődási lpján írt: Kurics Tmás Trtlomjegyzék Előszó 3 1. Normált terek 5 1.1. Normált terek és tuljdonságik............................ 5 1.2. Metrikus és normált

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Gazdasági matematika I. tanmenet

Gazdasági matematika I. tanmenet Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

3.1. Halmazok számossága

3.1. Halmazok számossága 38 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 3. Mérték- és integrálelmélet 3.1. Hlmzok számosság Azt mondjuk, hogy egy véges A hlmz számosság n, h z A hlmz n db elemből áll.

Részletesebben

4. Hatványozás, gyökvonás

4. Hatványozás, gyökvonás I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)

Részletesebben

Analízis II. harmadik, javított kiadás

Analízis II. harmadik, javított kiadás Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet

Részletesebben

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett

Részletesebben

Matematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2

Matematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2 Mtemtik 4 gykorlt Földtudomány és Környezettn BSc II/2 1. gykorlt Integrálszámítás R n -ben: vonlintegrál, primitív függvény, Newton Leibniz-szbály. Legyen Ω R n egy trtomány, f : Ω R n folytonos függvény

Részletesebben

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26. Anlízis elődások Vjd István 9. február 6. Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,

Részletesebben

KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I.

KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I. Írt: GYŐRI ISTVÁN PITUK MIHÁLY KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I. Egyetemi tnnyg 20 COPYRIGHT: 20 206, Dr. Győri István, Dr. Pituk Mihály, Pnnon Egyetem Műszki Informtiki Kr Mtemtik Tnszék LEKTORÁLTA: Dr. Molnárk

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

VI. Deriválható függvények tulajdonságai 1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn

Részletesebben

Analízis jegyzet. Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék augusztus 31.

Analízis jegyzet. Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék augusztus 31. Anlízis jegyzet Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 207. ugusztus 3. Trtlomjegyzék. Bevezetés.. Logiki állítások, műveletek, tgdás.....................2. Bizonyítási módszerek............................

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Vektorok (folytatás)

Vektorok (folytatás) Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

BSc Analízis II. előadásjegyzet 2009/2010. tavaszi félév

BSc Analízis II. előadásjegyzet 2009/2010. tavaszi félév BSc Anlízis II. elődásjegyzet 2009/200. tvszi félév Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 20. jnuár 7. ii Trtlomjegyzék Előszó v. Differenciálhtóság.. A derivált foglm és

Részletesebben

1. Halmazelméleti alapok

1. Halmazelméleti alapok 1. Hlmzelméleti lpok A Mtemtiki kislexikonbn hlmz foglmár következ deníciót tláljuk: A hlmz tetsz leges természet dolgoknk vlmilyen módon összegy jtött összessége. Ez deníció zonbn nem hsználhtó, ugynis

Részletesebben

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológii Kr Klkulus II. Gselmnn Eszter Debrecen, 22 Azoknk, kik nem ismerik mtemtikát, nehézséget okoz keresztüljutni szépség vlódi érzéséhez, legmélyebb szépséghez,

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha Vegyük észre, hogy egy mérhet f függvény pontosn kkor integrálhtó, h f dµ =. lim N Ez indokolj következ deníciót. { f α >N}. Deníció. Egy X, A, µ téren értelmezett mérhet függvényekb l álló vlmely f α

Részletesebben

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =

Részletesebben

Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz

Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben

Részletesebben

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke ( 9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék ii Trtlomjegyzék 1. Előszó 1 2. Hlmzok, relációk, függvények 3

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma

Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Analízis jegyzet Matematikatanári Szakosok részére

Analízis jegyzet Matematikatanári Szakosok részére Anlízis jegyzet Mtemtiktnári Szkosok részére Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 203. július 2. Előszó Ez jegyzet elsősorbn z áltlános iskoli és középiskoli Mtemtiktnári

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén 1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Jegyzetek és példtárk mtemtik egyetemi okttásához sorozt Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultság Anlitikus módszerek pénzügyben és közgzdságtnbn Anlízis feldtgyűjtemény I Anlízis

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat . Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

Matematika BSc tanárszak Analízis IV. előadásjegyzet 2010/2011. tavaszi félév

Matematika BSc tanárszak Analízis IV. előadásjegyzet 2010/2011. tavaszi félév Mtemtik BSc tnárszk Anlízis IV. elődásjegyzet 2010/2011. tvszi félév Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 2011. október 11. ii Trtlomjegyzék Előszó v 1. Differenciálegyenletek

Részletesebben

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL HAJDER LEVENTE 1. Bevezetés A Lgrnge-féle multiplikátoros eljárást Joseph Louis Lgrnge (1736-1813) olsz csillgász-mtemtikus (eredeti nevén Giuseppe

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ

KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ BSC MATEMATIKATANÁR SZAKIRÁNY 28/29. TAVASZI FÉLÉV Az lábbikbn z el dáson vonlinterálról ill. primitív füvényr l elhnzottk közül zok olvshtók, mik Lczkovich-T. Sós: Anlízis

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges

Részletesebben

ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így dd tovább! 3.0

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása) Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel Els gykorlt Egyszer egyenletek, EHL PDE A gykorlt elején megismerkedünk prciális dierenciálegyenletek (mostntól: PDE-k) lpfoglmivl. A félév során sokt fog szerepelni z ún. multiindex jelöl, melynek lényege,

Részletesebben