ÜTKÖZÉSEK ELEMZÉSE ENERGIA-IMPULZUS DIAGRAMOKKAL
|
|
- Benjámin Horváth
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 FIZIK TNÍTÁS ÜTKÖZÉSK LMZÉS NRGI-IMPULZUS DIGRMKKL okor Nándor M, Fizika Tanszék Köszöneteet fejeze ki Hraskó Péternek táogató bírálatáért és hasznos javaslataiért. Hasznosak lehetnek a relativisztikus ütközések tanításánál az energia-ipulzus diagraok [], aelyekben a szokásos Minkowski-diagraokon szereplô idô- és a helykoordináták szerepét az energia és az ipulzus veszi át. Mint az alábbiakban látható lesz, az ilyen diagraok fô vonzereje abban rejlik, hogy az ütközés elôtti és utáni állapotokat egyszerre jeleníti eg, és hogy az összes lényeges fizikai paraéter (a töegpontok töege, sebessége, ipulzusa, energiája) azonnal leolvasható az ábráról. z egyszerûség kedvéért a képleteket végig c = egységekben fogo felírni []. z azt jelenti, hogy a t idôt hosszúságegységben érjük (például éterben), a v sebesség nagysága pedig 0 és közé esô dienzió nélküli szá. Ugyanebbôl a konvencióból az is következik, hogy az töeg, az energia és a p ipulzus ind ugyanabban az egységben érendôk. z az egység lehet például kilogra, joule, erg, elektrontöeg stb. Hogy konkrétan elyiket választjuk, annak a jelen cikkben nincs jelentôsége, ezért hacsak külön ne jelölö, indenütt az a.u. ( arbitrary unit, azaz tetszôleges egység ) egjelölés értendô a száérték után. téridô-beli Minkowski-diagraokat széles körben alkalazzák a relativitáselélet tanításában. zeken egy-egy pont egy-egy eseényt jelöl, aelynek koordinátáit (t, x) alakban, vagy (t, x, y) alakban szokás egadni, attól függôen hogy két- vagy hárodienziós diagraról, azaz egy vagy kettô térbeli dienziójú tárgyalásódról van szó. Megállapodás szerint a függôleges tengelyen szokás a t idôkoordinátát, a vízszintes tengely(ek)en pedig a térbeli koordinátá(ka)t ábrázolni. Háro térbeli dienziójú Minkowski-diagraot ne tudunk készíteni, hiszen négydienziós ábrázolásra lenne hozzá szükség. Szerencsére a relativisztikus jelenségek nagy részének tárgyalásához nyugodtan elhagyható a haradik térbeli dienzió. Minkowski-diagraokat az energia-ipulzus térben is konstruálhatunk []; ekkor a függôleges tengelyen az energia, a vízszintes tengely(ek)en pedig a p ipulzus szerepel. z ilyen diagraokon egy-egy (, p) vagy (,, ) pont valailyen töegpont adott állapotát jelöli: egadja energiáját és azt az ipulzust, aellyel a töegpont éppen ozog. z energia és az ipulzus alább felírt relativisztikus képleteibôl egérthetjük a diagraok néhány általános jellezôjét: és dienzióban illetve dienzióban = = p = v v v, v v x és = v v y, () () (3) aelyek a töeg, energia és ipulzus közötti jól isert összefüggéshez vezetnek: p =. (4) (4) egyenlet a töeg invarianciáját fejezi ki. gy adott töegpont energiájára különbözô inerciarendszer-beli egfigyelôk különbözô száértékeket fognak kapni, int ahogyan az ipulzusára is; az eltérô száoknak az a különleges algebrai kobinációja azonban, aely a (4) egyenlet bal oldalán szerepel, inden egfigyelô száára ugyanazt a száértéket szolgáltatja: a töeg invariáns. (4) egyenletbôl leolvasható, hogy az energia-ipulzus diagraokon egy adott töegû töegpont összes lehetséges állapota ugyanazon a hiperbolán illetve D ozgásnál ugyanazon a forgási hiperboloidon fekszik. (z a tény terészetesen szoros kapcsolatban van a téridô-intervallu invarianciájával; a téridôbeli Minkowski-diagraokon analóg ódon hiperbolákat használunk például arra, hogy a különbözô vonatkoztatási rendszerekhez tartozó koordinátatengelyeket egyáshoz kalibráljuk.) z a vektor, aelyet az origóból e hiperbola vagy hiperboloid egfelelô pontjához húzunk, az adott töegpont energia-ipulzus vektora. z energia-ipulzus vektor közvetlen vizuális inforációt ad a töegpontnak az ütközés szepontjából lényeges összes tulajdonságáról: a vektor által eghatározott hiperbola vagy hiperboloid és az -tengely etszéspontja egadja a részecske töegét; a vektor -tengelyhez képesti eredeksége pedig a részecske sebességét. Különösen vonzó tulaj- 54 FIZIKI SZML 0 /
2 donsága az ilyen diagraoknak az, hogy például egy töegpontrendszer teljes energiáját és teljes ipulzusát egyetlen lépésben láthatóvá lehet tenni: csupán eg kell szerkeszteni az egyes energia-ipulzus vektorok vektori összegét, és leolvasni az összegvektor függôleges, illetve vízszintes koponenseit. z alábbiakban azt tekinte át, hogyan olvasható le egyetlen pillantással ind a rugalatlan, ind a rugalas ütközések szinte valaennyi fontos adata az energia-ipulzus diagraokról. Ütközések z ütközésekkel kapcsolatos szápéldákban általában adottak az ütközésben résztvevô töegek és kezdeti sebességeik; a diákoknak ezután az a feladatuk, hogy kiszáítsák a) az ütközéskor keletkezett egyetlen test töegét és sebességét (tökéletesen rugalatlan ütközés esetén, ait az egyszerûség kedvéért röviden rugalatlan ütközésnek fogok nevezni) b) az ütközô töegpontok végsebességét (rugalas ütközés esetén) Rugalatlan ütközés két töegpont között z. ábra egy olyan rugalatlan ütközés energiaipulzus diagraját utatja, aelyben egy és egy töegû részecske vesz részt. töegek és a sebességek a következôk: = [a.u.], = [a.u.], v =, v = 0,6. z ütközés során a két töegpont összetapad egyetlen, töegû (továbbra is pontszerûnek tekintett) testté, aely v sebességgel indul tovább. z összetapadt test energia-ipulzus vektora a két ütközô töegpont energia-ipulzus vektorának összege. Ha felírjuk és egoldjuk az energiaegaradás és az ipulzusegaradás egyenletét, az = 3,536 [a.u.] és v = száértékeket kapjuk. ár az. ábráról ne látszanak ilyen sok tizedesjegyre a fenti száértékek, de azért az ütközés teljes sztorija leolvasható belôle, ráadásul kvantitatív válaszokat kapunk inden lényeges kérdésre: indháro test töegét látjuk, ha leolvassuk, hol etszi az -tengely a egfelelô hiperbolákat; a háro töegpont sebességét a egfelelô energia-ipulzus vektor ( -tengelyhez képesti) eredeksége utatja; energiájukat és ipulzusukat pedig ugyanezen a vektorok függôleges, illetve vízszintes koponense. z ütközés kienetele, így és v értéke is egyértelûen eghatározott. rugalatlan ütközések szokásos, algebrai tárgyalásakor ezt a tényt általában úgy agyarázzuk, hogy két iseretlen eghatározásához éppen két független egyenlet (az energiaegaradás és az ipulzusegaradás) áll rendelkezésünkre. Ha azonban az. ábrához hasonló energiaipulzus diagraot használunk, a egoldás egyértelûségének oka triviálisan látszik: az összetapadt testet az ábrán egy olyan vektor képviseli, aelyet két vektor összegeként kaptunk, és terészetesen ennek az összegvektornak ind hossza (azaz ), ind iránya (azaz v ) egyértelûen eghatározott. rugalatlan ütközések során a végállapot, azaz a keletkezett test töege és v sebességvektora a térbeli dienziók száától függetlenül indig egyértelû. lgebrai tárgyalásód esetén ezt úgy agyarázzuk, hogy a dienziószá növelésekor ailyen értékben növekszik az iseretlenek száa (azaz v koponenseinek száa), ugyanolyan értékben növekszik a független egyenletek száa is (indig egy-egy újabb koponensegyenlethez jutunk az ipulzusvektor egaradásából). Így az iseretlenek száa indig egegyezik a független egyenletek száával. z energia-ipulzus diagraos tárgyalásódban isét egyszerûbb az érvelés: a keletkezett test energia-ipulzus vektorát két energia-ipulzus vektor összegeként kapjuk, tehát hossza (azaz ) és iránya (ai v koponenseit adja) egyértelûen eghatározott. z. ábra töegpontok összetapadására, fúziójára nyújt példát. z ilyen kölcsönhatások egyik legfontosabb jellezôje a töegnövekedés: > +, hiszen a kezdeti ozgási energia egy része az új test nyugali energiájának töegének növelésére fordítódott. z ábra ezt a jelenséget is közvetlenül utatja, sôt az ( + ) töegnövekedés értéke is szászerûen leolvasható. töegnövekedés értéke annál kisebb, inél inkább közelítenek a függôlegeshez az. ábra energia-ipulzus vektorai, azaz inél kisebbek az ütközésben elôforduló sebességek. (Teljesen függôleges vektorok álló töegpontok összekobinálása az -tengely entén zajlik, ilyenkor a tengely lineáris kalibrálása iatt triviálisan teljesül a töegegaradás: az összetapadt test töege egyenlô a két kiin-. ábra. gydienziós rugalatlan ütközés. 3 0 p FIZIK TNÍTÁS 55
3 dulási töeg összegével.) z. ábra alapján így érthetô például az is, hogy bár a középiskolában rugalatlan ütközési típuspéldaként tárgyalt ballisztikus inga esetében is van töegnövekedés a lövedék kezdeti ozgási energiájának hôvé (a zsák-lövedék rendszer belsô energiájává) alakuló része valóban egnöveli a rendszer töegét, azt a töegnövekedést teljes joggal hanyagoltuk el. z. ábrán beutatott rugalatlan ütközést idôben visszafelé is lejátszhatjuk, ez olyan jelenségek tárgyalásához vezet inket, int a aghasadás, vagy egy boba felrobbanása darabokra stb. Terészetesen ilyen esetekben is az. ábrához hasonló diagraot kapunk; ekkor azonban a töegdefektus lesz leolvasható az ábráról ábra. gydienziós rugalas ütközés. gy dienziós rugalas ütközés két töegpont között Tekintsünk ost egy rugalas ütközést ugyanolyan kezdôfeltételekkel, int az. ábrán. Feladat: eghatározni a két töegpont v és v végsebességét, iután visszapattantak egyásról. z energia-ipulzus diagra nyelvére fordítva ez azt jelenti, hogy két olyan energia-ipulzus vektort keresünk, aelyek kielégítik az alábbi feltételeket:. összegük ugyanazt az energia-ipulzus vektort kell adja, int az kiindulási két energia-ipulzus vektor összege (azaz összegük a pontba kell hogy utasson);. a két keresett vektor végpontja az, illetve jelzésû hiperbolára kell utasson, hiszen az ütközés után az eredeti két töegpont halad tovább. probléa egyszerûen egoldható a következô geoetriai ódszerrel (. ábra): a pontból, int origóból, rajzoljuk fel az hiperbolát fejtetôn. z az invertált hiperbola (aelyet a. ábrán felirattal jelölte) az hiperbolát két pontban etszi. Mindkét etszéspont teljesíti a fenti feltételeket; ráadásul csak ez a két etszéspont ilyen. két etszéspont fizikai jelentése: ezek képviselik azokat az állapotokat, aelyeket ebben a kölcsönhatásban az töegû töegpont felvehet. gyikük (a. ábrán -vel jelölt pont) az ütközés elôtti állapotát jelzi; a ásikuk (az ábrán -vel jelölt pont) ugyanezen töegpont ütközés utáni energia-ipulzus vektorát adja. Mint az ábrán látszik, a vektorösszeadás paralelograa-szabályát alkalazva egyszerûen egrajzolható ezek után az töegû töegpont ütközés utáni energia-ipulzus vektora is (ezt jelzi az ábrán). Isét az ütközés teljes történetét egtudjuk egyetlen ábrából: az összes sebesség-, energia- és ipulzusadat, ind ütközés elôtt, ind ütközés után, kvantitatíven látszik az ábrán. ( keresett két végsebesség, v és v például a végsô energia-ipulzus vektorok eredeksége.) gy dienziós rugalas ütközés esetén v -ra és v -re egyértelû egoldást kapunk. sakúgy, int a rugalatlan ütközéseknél, algebrai okoskodással ezt úgy agyarázzuk, hogy az iseretlenek és a független egyenletek száa egegyezik: két egyenlet (energiaegaradás és ipulzusegaradás) két iseretlenre.. ábra energia-ipulzus diagraja azonban a sztorinak ezt a részét is elsô pillantásra eleséli : ha két hiperbola etszi egyást, pontosan két etszéspontjuk van. z egyik etszéspont a töegpontok kiindulási állapotának felel eg. ásik egyértelûen eghatározza a töegpontok ütközés utáni állapotát. Két dienziós rugalas ütközés két töegpont között z elôzô gondolatenet egyszerûen általánosítható olyan ütközésekre, aelyek két térbeli dienzióban zajlanak. z energia-ipulzus diagra háro dienziós ábrává alakul, aelyben az ütközô töegpontokat ne egy-egy hiperbola, hane egy-egy forgási hiperboloid jelképez, int az a (3) és (4) egyenletekbôl leolvasható. 3.a ábrán egy ilyen diagra látható, ugyanazokra a kezdôfeltételekre, int az. és. ábrák. ( töegpontok ütközés elôtt az x -tengely entén ozogtak.). ábra agától értetôdô általánosításaként ost az hiperboloidot rajzoljuk fel fejtetôn (isét a pontot origónak tekintve). nnek az invertált hiperboloidnak (aelyet az ábrán felirat jelöl) és az hiperboloidnak etszésgörbéje adja azon energia-ipulzus vektorok végpontjait, aelyekkel az töegpont ebben a kölcsönhatásban rendelkezhet. Két dienziós rugalas ütközéseknél végtelen sok végállapot lehetséges. zt algebrai úton úgy szoktuk agyarázni, hogy négy iseretlenünk van (a v és v végsebességek x- és y-koponensei), viszont eghatározásukhoz csak háro független egyenlet áll rendelkezésünkre (az energiaegaradás, illetve az ipulzusegaradás indkét koponensre). z energia-ipulzus diagrara azonban isét elég egyetlen pillantást vetnünk, hogy szeléletes agya- p 56 FIZIKI SZML 0 /
4 a) b) c) p p p p 3 p p p 3. ábra. Kétdienziós rugalas ütközés. p rázatot kapjunk a lehetséges végállapotok végtelen száára: a két hiperboloid folytonos görbe entén etszi egyást (ne csupán két pontban, int az egy dienziós esetben, lásd. ábra), és a etszetgörbe inden pontja egy-egy lehetséges egoldást ad. 3.b ábrán a két hiperboloid etszetgörbéje, egy egdöntött ellipszis látható. z ábrán szereplô és energia-ipulzus vektorok a két töegpontnak csupán egy ütközés utáni konfigurációját jelenítik eg a végtelen sok lehetséges esetbôl. (Éppen azt az esetet, aikor az töegpont a negatív y irányban ozog az ütközés után.) z ábrán láthatók az -val és -vel jelölt, ütközés elôtti energia-ipulzus vektorok is. etszetgörbét levetítve a (, ) síkba egy újabb ellipszist kapunk, ez a 3.b ábra szaggatott görbéje. 3.c ábra részletesebben utatja ezt a (, ) síkba levetített ellipszist. p alsó indexszel jelölt pontok ind a 3.b ábra egfelelô pontjainak levetítései a (, ) síkba. ( p pont egy újabb lehetséges végállapotot utat, aely ne szerepelt a 3.b ábrán.) z a fajta részleges ipulzus-diagra is hasznos lehet pedagógiai szepontból. Ha az origót összekötjük az ellipszis bárely pontjával, az töegpont egy lehetséges ipulzusvektorát kapjuk, az abból az ellipszispontból p -be húzott vektor pedig az az ipulzusvektor, aellyel ugyanekkor az töegpont rendelkezik. rendszer teljes ipulzusvektora inde kobinációra az p vektor. (z illusztráció kedvéért az ábrán kis körökkel feltüntette az ellipszis két fókuszpontját is.) Speciális esetek Kétdienziós ütközés két azonos töegpont között, aelyek közül az egyik nyugaloban van kétdienziós ütközések gyakran tárgyalt speciális esete, aikor két azonos töegû részecske ütközik össze (azaz = ), és egyikük az ütközés elôtt nyugaloban van. newtoni echanikából könnyen levezethetô ezen ütközéstípusnak az az érdekes tulajdonsága, hogy ütközés után a két töegpont ozgása egyásra erôleges. Ipulzus-diagraok segítségével szépen illusztrálható, hogy ez az eredény csak kis kezdôsebességeknél érvényes. 4. ábra ilyen ütközésekre utatja az ipulzusdiagraokat, a következô paraéterek ellett: = = [a.u.], és v = 0,9, és 0, (ilyen sorrendben az a), b) és c) ábrákon). 3.c ábrához hasonlóan és a relativisztikus tárgyalásnál indig itt is indenütt egy-egy ellipszis írja le az ütközés utáni lehetséges állapotokat. (z ellipszisek fókuszpontjait isét kis körök jelzik az ábrán.) bben a speciális esetben azonban és p (a teljes ipulzusvektor kezdôpontja és végpontja) ne ás, int az adott ellipszis nagytengelyének két végpontja. 4. ábrán a teljes ipulzust vastag vonallal húzott vízszintes vektor ábrázolja; a két töegpont ütközés utáni ipulzusainak néhány FIZIK TNÍTÁS 57
5 a) b) c) 0, 0,0 0, 0, 0, 0,0 4. ábra. Kétdienziós rugalas ütközés két azonos töegû részecske között, aelyek közül az egyik nyugaloban volt. lehetséges konfigurációját pedig pontozott vonalú vektorok jelzik. 4.a ábrá ból látható, hogy nagy kezdôsebességnél az ütközés utáni ipulzusvektorok egyással bezárt szöge jelentôsen eltérhet a 90 -tól. hogy közelítünk a klasszikus esethez (azaz ahogy v csökken), az ütközés utáni ipulzusok relatív helyzete egyre inkább közelít a erôlegeshez: csökkenô v ellett ugyanis az ellipszis excentricitása csökken, a diagra pedig egyre inkább körhöz kezd hasonlítani. Newtoni közelítésben a diagra pontosan kör, aelynek p az átérôje; így bárely lehetséges ipulzus-konfiguráció egy kör átérôje fölé húzott két szoszédos húrnak felel eg, aelyekrôl Thalész tételébôl tudjuk, hogy erôlegesek. 4. ábráról az is leolvasható, hogy a teljes ipulzus v newtoni képlete ennyiben tér el a helyes relativisztikus eredénytôl, és hogyan közelíti eg azt kis sebességeknél. teljes ipulzus, azaz az és p pontok közötti távolság, a 4.a, 4.b és 4.c ábrán,06, 8 és 0,0 értékûnek adódik. egfelelô newtoni száértékek: 0,90, 0 és 0,0. p p p opton-szórás két dienziósként tárgyalható ütközések egy ásik speciális esete a opton-szórás: itt egy foton ütközik egy nyugaloban levô elektronnal. foton energiájának egy része átadódik az elektronnak, így az ozgásba lendül valailyen irányban, íg aga a foton egy ásik irányba szóródik. nergiavesztesége abban nyilvánul eg, hogy hulláhossza eltolódik (nagyobb hulláhosszak felé). Fotonra p = 0, tehát a fotonokat az energiaipulzus diagraon egy kúpfelület reprezentálja (lásd a ph -val jelölt kúpot az 5.a ábrán). Fontos egjegyezni, hogy a téridôbeli Minkowski-diagraok jól isert fénykúpjaival ellentétben az 5.a ábrán szereplô kúp az összes fotont jelképezi, aelyek az (x, y) síkban bárikor, bárhol ozognak. fotonok nulla töegû részecskék, ez a tulajdonságuk azonnal látszik az 5.a ábrán, hiszen a kúp olyan elfajult hiperboloidnak tekinthetô, aely az -tengelyt = 0-ban etszi. z elektront az jelû hiperboloid jelképezi. z egyszerûség kedvéért az ebben a példában elôforduló összes töeg-, energia- és ipulzusértéket az elektrontöeg egységeiben (u.e.., units of electron ass ) fejeze ki, azaz például = [u.e..]. bejövô fotonról feltesszük, hogy a pozitív x -tengely entén ozog, = = [u.e..] energiával. lehetséges végállapotok egtalálásának geoetriai ódszere hasonló a 3.a ábrán szereplô eljáráshoz. lôször eghatározzuk a rendszer teljes energiaipulzus vektorát (jelen paraétereinkkel ennek -koponensére,5, -koponensére pedig adódik). vektor csúcsát a pont jelzi az 5.a ábrán. -bôl ezután egrajzoljuk a foton-kúpot fejjel lefelé (ezt ph jelöli az ábrán). z hiperboloid és a ph invertált kúp etszetgörbéje utatja az elektron lehetséges végállapotait a kölcsönhatás után. z 5.b ábrán a etszetgörbe látható (aely isét egy egdôlt ellipszis). Ugyanezen az ábrán az és pontok a foton és az elektron kezdeti energia-ipulzus vektorát jelölik, az és pontok pedig a foton és az elektron egy lehetséges végállapot-konfigurációját. 3.b ábrához hasonlóan a etszet-ellipszist ezután levetíthetjük a (, ) síkra. levetített ellipszist az 5.c ábra utatja. zen az ellipszisen két feltûnô sajátosság figyelhetô eg a 3.c ábrához képest (aely egy általánosabb ütközést írt le két töegpont között):. a nagytengely bal oldali végpontja az origóban van;. a p pont, vagyis a pont levetítése az ellipszis jobb oldali fókuszpontjába esik. z 5.c ábrán a p és a p pontok két lehetséges végállapotot jelölnek. Ha az origót összekötjük az ellipszis bárely pontjával, az elektron egy lehetséges ipulzusvektorát kapjuk, az abból az ellipszispontból p -be húzott vektor pedig a szóródott foton egfelelô ipulzusvektorát. z elektron és foton egyáshoz viszonyított lehetséges ozgásirányai tehát azonnal lát- 58 FIZIKI SZML 0 /
6 ph ph a) szanak az ábrából. foton különleges részecske: ipulzusvektorának hossza egyben egadja energiájának száértékét is. (Mint arról az alábbiakban ég szó lesz, az ellipszis pontos alakja függ a bejövô foton energiájától. Ugyanakkor a fotonenergiától függetlenül inden opton-ellipszis rendelkezik a fent felsorolt két geoetriai sajátossággal.) opton-szórás néhány kvalitatív jellezôje közvetlenül leolvasható az 5.c ábráról:. a szóródott fotonoknak feltétlenül kisebb az energiája (azaz nagyobb a hulláhossza), int a bejövô fotonnak;. a szórási szög növekedésével csökken a szóródott foton energiája, iniális energiája (azaz axiális hulláhossza) a hátrafelé szóródott fotonnak van. Folytassuk az 5.c ábrán szereplô opton-ellipszis elezését. hhez egy kis száolásra is szükségünk van. lôször határozzuk eg az ellipszis egyenletét. z hiperboloid egyenlete = p x p y, (5) a ph invertált kúpé pedig = p y. (6) z (5) és (6) egyenletek jobb oldalát egyenlôvé téve, és a kapott összefüggést átrendezve egkapjuk a etszetellipszis (, ) síkba levetített képe, azaz a opton-ellipszis az egyenletét: a p y =, a b (7) ahol a fél nagytengelyre b) a fél kistengelyre pedig a =, (8) c) b = (9) p adódik. fókusztávolság: 0, p 0, 0, p Q p f = a b = p. (0) (8) (0) összefüggéseket felhasználva az ellipszis e excentricitására és Π paraéterére a következô egyszerû képleteket kapjuk: p e f a =, () 5. ábra. opton-szórás. Π b a =. () FIZIK TNÍTÁS 59
7 z e excentricitás azt fejezi ki, hogy ellipszis alakja ennyire tér el a körtôl (ha e 0, az ellipszisbôl kör lesz, a két fókuszpont pedig egybeesik a kör középpontjával). () egyenletbôl ezek után látható, hogy a opton-ellipszis excentricitásának fizikai tartala is van: ha a bejövô foton energiája sokkal kisebb, int az elektron töege (azaz / << ), az ellipszisbôl kör lesz, a szóródó foton lehetséges ipulzusvektorai pedig ezen kör a rádiuszai entén helyezkednek el (lásd 5.c ábra). Ilyen esetekben tehát a foton csak ozgási irányát változtatja eg, iközben energiája gyakorlatilag változatlan arad. z ellipszis egyenlete egy olyan polárkoordinátarendszerben veszi fel legegyszerûbb és legelegánsabb algebrai alakját, aelynek origója az egyik fókuszpontban van. z egyenlet ekkor az origóból húzott rádiuszvektor r hosszát adja eg a θ polárszög függvényében: r = Π e cosθ. (3) int az 5.c ábrából látszik, a opton-ellipszis esetében a Θ fotonszórási szöghöz tartozó rádiuszvektor hossza éppen az ehhez a szórási szöghöz tartozó fotonipulzus. Így a (3) egyenletet a opton-ellipszisre felírva, és e és Π értékét a () és () kifejezésekbôl behelyettesítve a = cosθ (4) összefüggés adódik. Helyettesítsük be a kölcsönhatás elôtti és utáni fotonipulzusra a = h λ és = h λ de roglie-összefüggéseket (ahol h a Planck-állandó), és szorozzuk be (4) indkét oldalát a jobb oldal nevezôjével. zzel adódik, azaz h λ cosθ = λ λ Δλ = h cosθ. λ (5) (6) opton-szórás jól isert hulláhossz-eltolódási képletét tehát integy a opton-ellipszis geoetriai tulajdonságaiból kaptuk eg, ne pedig a szokásos tisztán algebrai ódszerrel (aelyben felírjuk az energiaegaradás és az ipulzusegaradás egyenletrendszerét, ajd kiküszöböljük belôlük az elektron végsebességét és haladási irányszögét). z itt felvázolt levezetés ugyan ne feltétlenül egyszerûbb, int a tisztán algebrai ódszer, de valószínû, hogy sok diák száára vonzóbb és elegánsabb ez a fajta geoetriai okoskodás, annál is inkább, ert az elektron végsebessége és szóródási szöge fel se bukkan benne. Összefoglalva: az energia-ipulzus diagraok az algebrai tárgyalás kiegészítôjeként hasznos pedagógiai segédeszközt nyújthatnak különféle kölcsönhatások elezéséhez. diákok egyetlen ábrára rápillantva ellenôrizhetik a kölcsönhatás inden fontos fizikai sajátosságát, sôt a lényeges fizikai ennyiségek közelítô száértékét is leolvashatják róla. Irodalo.. J. Saletan: Minkowski diagras in oentu space.. J. Phys. 65/8 (997) lásd például:. F. Taylor, J.. Wheeler: Téridôfizika. Typotex, udapest, FIZIKI SZML 0 /
Ütközések elemzése energia-impulzus diagramokkal II. A relativisztikus rakéta
Ütközések elemzése energia-impulzus diagramokkal II. A relativisztikus rakéta Bokor Nándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Fizika Tanszék 1111 Budapest, Budafoki u. 8. Ebben a cikkben olyan
Részletesebben3. 1 dimenziós mozgások, fázistér
Drótos G.: Fejezetek az eléleti echanikából 3. rész 3. dienziós ozgások, fázistér 3.. Az dienziós ozgások leírása, a fázistér fogala dienziós ozgás alatt egy töegpont olyan ozgását értjük ebben a jegyzetben,
RészletesebbenNéhány mozgás kvantummechanikai tárgyalása
Néhány ozgás kvantuechanikai tárgyalása Mozzanatok: A Schrödinger-egyenlet felírása ĤΨ EΨ Hailton-operátor egállapítása a kinetikus energiaoperátor felírása, vagy 3 dienziós ozgásra, Descartes-féle koordinátarendszerben
Részletesebbena) Az első esetben emelési és súrlódási munkát kell végeznünk: d A
A 37. Mikola Sándor Fizikaverseny feladatainak egoldása Döntő - Gináziu 0. osztály Pécs 08. feladat: a) Az első esetben eelési és súrlódási unkát kell végeznünk: d W = gd + μg cos sin + μgd, A B d d C
RészletesebbenRugalmas megtámasztású merev test támaszreakcióinak meghatározása I. rész
Rugalas egtáasztású erev test táaszreakióinak eghatározása I. rész Bevezetés A következő, több dolgozatban beutatott vizsgálataink tárgya a statikai / szilárdságtani szakirodalo egyik kedvene. Ugyanis
RészletesebbenHullámtan. A hullám fogalma. A hullámok osztályozása.
Hullátan A hullá fogala. A hulláok osztályozása. Kísérletek Kis súlyokkal összekötött ingasor elején keltett rezgés átterjed a többi ingára is [0:6] Kifeszített guikötélen keltett zavar végig fut a kötélen
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Fizika középszint 08 ÉRESÉGI VIZSGA 008. ájus 4. FIZIKA KÖZÉPSZINŰ ÍRÁSBELI ÉRESÉGI VIZSGA JAVÍÁSI-ÉRÉKELÉSI ÚMUAÓ OKAÁSI ÉS KULURÁLIS MINISZÉRIUM A dolgozatokat az útutató utasításai szerint, jól követhetően
RészletesebbenOktatási Hivatal. A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló FIZIKA I. KATEGÓRIA. Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 05/06. tanévi Országos Középiskolai Tanulányi Verseny ásodik forduló FIZIKA I. KATEGÓRIA Javítási-értékelési útutató. feladat: Vékony, nyújthatatlan fonálra M töegű, R sugarú karikát
RészletesebbenA hajlított fagerenda törőnyomatékának számításáról II. rész
A ajlított fagerenda törőoatékának száításáról II. rész Bevezetés Az I. részben egbeszéltük a úzásra ideálisan rugalas, oásra ideálisan rugalas - tökéletesen képléke aag - odell alapján álló törőoaték
RészletesebbenFIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Fizika eelt szint 171 ÉRETTSÉGI VIZSGA 017. október 7. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA A dolgozatokat az útutató utasításai szerint, jól
RészletesebbenFIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Fizika középszint 4 ÉRETTSÉGI VIZSGA 04. október 7. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA A dolgozatokat az útutató utasításai szerint,
RészletesebbenMágneses momentum, mágneses szuszceptibilitás
Mágneses oentu, ágneses szuszceptibilitás A olekuláknak (atooknak, ionoknak) elektronszerkezetüktől függően lehet állandóan eglévő, azaz peranens ágneses oentua (ha van bennük párosítatlan elektron, azaz
RészletesebbenBevezető fizika (infó), 3. feladatsor Dinamika 2. és Statika
Bevezető fizika (infó),. feladatsor Dinaika. és Statika 04. október 5., 4:50 A ai órához szükséges eléleti anyag: ipulzus, ipulzusegaradás forgatónyoaték egyensúly és feltétele Órai feladatok:.5. feladat:
RészletesebbenÁltalános Kémia. Dr. Csonka Gábor 1. Gázok. Gázok. 2-1 Gáznyomás. Barométer. 6-2 Egyszerű gáztörvények. Manométer
Gázok -1 Gáznyoás - Egyszerű gáztörvények -3 Gáztörvények egyesítése: Tökéletes gáz egyenlet és általánosított gáz egyenlet -4 tökéletes gáz egyenlet alkalazása -5 Gáz halazállapotú reakciók -6 Gázkeverékek
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű
RészletesebbenFluidizált halmaz jellemzőinek mérése
1. Gyakorlat célja Fluidizált halaz jellezőinek érése A szecsés halaz tulajdonságainak eghatározása, a légsebesség-nyoásesés görbe és a luidizációs határsebesseg eghatározása. A érésekböl eghatározott
Részletesebbenkörsugár kapcsolata: 4 s R 8 m. Az egyenletből a B test pályakörének sugara:
8 évi Mikola forduló egoldásai: 9 gináziu ) Megoldás Mivel azonos és állandó nagyságú sebességgel történik a ozgás a egtett utak egyenlők: sa sb vat vbt 4 π s 4π 57 s Ha a B testnek ne nulla a gyorsulása
RészletesebbenOktatási Hivatal FIZIKA I. KATEGÓRIA. A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló. Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 13/14. tanévi Országos Középiskolai Tanulányi Verseny ásodik forduló FIZIKA I. KATEGÓRIA Javítási-értékelési útutató 1.) Hőszigetelt tartályban légüres tér (vákuu) van, a tartályon kívüli
RészletesebbenAz egyenes vonalú egyenletes mozgás
Az egyenes vonalú egyenletes ozgás Az egyenes vonalú ozgások egy egyenes entén ennek végbe. (Ki hitte volna?) Ha a ozgás egyenesét választjuk az egyik koordináta- tengelynek, akkor a hely egadásához elég
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Fizika eelt szint Javítási-értékelési útutató 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. ájus 5. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fizika eelt szint Javítási-értékelési
RészletesebbenTömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások
2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel
Részletesebben36. Mikola verseny 2. fordulójának megoldásai I. kategória, Gimnázium 9. évfolyam
6 Mikola verseny fordulójának egoldásai I kategória Gináziu 9 évfolya ) Adatok: = 45 L = 5 r = M = 00 kg a) Vizsgáljuk a axiális fordulatszáú esetet! r F L f g R Az egyenletes körozgás dinaikai alapegyenletét
Részletesebben20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.
. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat
Részletesebben1. ábra. 24B-19 feladat
. gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,
RészletesebbenA 2010/2011. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai és megoldásai fizikából. II.
Oktatási Hivatal A 010/011. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulányi Verseny első fordulójának feladatai és egoldásai fizikából II. kategória A dolgozatok elkészítéséhez inden segédeszköz használható.
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
RészletesebbenFizika I. Dr. Gugolya Zoltán egyetemi adjunktus. Pannon Egyetem Fizika Intézet N. ép. II. em. 239. szoba E-mail: gug006@almos.vein.
Fzka I. Dr. Gugolya Zoltán egyete adjunktus Pannon Egyete Fzka Intézet N. ép. II. e. 39. szoba E-al: gug006@alos.ven.hu Tel: 88/64-783 Fzka I. Ajánlott rodalo: Vondervszt-Néeth-Szala: Fzka I. Veszpré Egyete
RészletesebbenAz egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről
1 Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről Vegyünk egy a és b féltengelyekkel bíró ellipszist a vezérgörbét, majd az ellipszis O centrumában állítsunk merőlegest az ellipszis síkjára. Ez a merőleges
RészletesebbenMechanikai munka, energia, teljesítmény (Vázlat)
Mechanikai unka, energia, eljesíény (Vázla). Mechanikai unka fogala. A echanikai unkavégzés fajái a) Eelési unka b) Nehézségi erő unkája c) Gyorsíási unka d) Súrlódási erő unkája e) Rugóerő unkája 3. Mechanikai
RészletesebbenA +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra
. Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától
Részletesebben2. Rugalmas állandók mérése
. Rugalas állandók érése PÁPICS PÉTER ISTVÁN csillagász, 3. évfolya 00.10.7. Beadva: 00.1.1. 1. A -ES, AZAZ AZ ABLAK FELLI MÉRHELYEN MÉRTEM. Ezen a laboron a férudak Young-oduluszát értük, pontosabban
Részletesebben5. Pontrendszerek mechanikája. A kontinuumok Euler-féle leírása. Tömegmérleg. Bernoulli-egyenlet. Hidrosztatika. Felhajtóerő és Arhimédesz törvénye.
5 Pontrenszerek echankája kontnuuok Euler-féle leírása Töegérleg Bernoull-egyenlet Hrosztatka Felhajtóerő és rhéesz törvénye Töegpontrenszerek Töegpontok eghatározott halaza, ng ugyanazok a pontok tartoznak
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenRezgések. x(t) x(t) TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 1
TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 1 Rezgések A rezgés általános érteleben valailyen ennyiség értékének bizonyos határok közötti periodikus vagy ne periodikus ingadozását jelenti. Mivel az ilyen
RészletesebbenEgy újabb látószög - feladat
1 Egy újabb látószög - feladat A feladat Adott az O középpontú, R sugarú körön az α szöggel jellemzett P pont. Határozzuk meg, hogy mekkora ϑ szög alatt látszik a P pontból a vízszintes átmérő - egyenes
RészletesebbenBevezető fizika (vill), 4. feladatsor Munka, energia, teljesítmény
Bevezető fizika (vill), 4. feladatsor Munka, energia, teljesítény 4. október 6., : A ai óráoz szükséges eléleti anyag: K unka W F s F s cos α skalárszorzat (száít az irány!). [W ] J F szakaszokra bontás,
Részletesebben1. Az adott kifejezést egyszerűsítse és rajzolja le a lehető legkevesebb elemmel, a legegyszerűbben.
1 1. z adott kifejezést egyszerűsítse és rajzolja le a lehető legkevesebb eleel, a legegyszerűbben. F függvény 4 változós. MEGOLÁS: legegyszerűbb alak egtalálása valailyen egyszerűsítéssel lehetséges algebrai,
RészletesebbenA szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez
1 A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez A síkmértani szerkesztések között van egy kedvencünk: a szabályos n - szög közelítő szerkesztése. Azért vívta ki nálunk ezt az előkelő helyet, mert nagyon
RészletesebbenM13/II. javítási-értékelési útmutatója. Fizika II. kategóriában. A 2006/2007. tanévi. Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny
M3/II. A 006/007. tanévi Országos Középiskolai Tanulányi Verseny első (iskolai) fordulójának javítási-értékelési útutatója Fizika II. kategóriában A 006/007. tanévi Országos Középiskolai Tanulányi Verseny
RészletesebbenA mágneses kölcsönhatás
TÓTH A.: Mágneses erőtér/1 (kibővített óravázlat) 1 A ágneses kölcsönhatás Azt a kölcsönhatást, aelyet később ágnesesnek neveztek el, először bizonyos ásványok darabjai között fellépő a gravitációs és
Részletesebben2.9. Az egyszerű, tiszta anyagok fázisátalakulásai
Kéiai potenciál Fejezetek a fizikai kéiából 2.9. Az egyszerű, tiszta anyagok fázisátalakulásai A indennapi életben találkozunk olyan kifejezésekkel, int fagyás, forrás, párolgás, stb. Mint a kifejezésekből
RészletesebbenA Lenz - vektorról. Ha jól emlékszem, először [ 1 ] - ben találkoztam a címbeli fogalommal 1. ábra.
1 A Lenz - vektorról Ha jól emlékszem, először [ 1 ] - ben találkoztam a címbeli fogalommal 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ez nem régen történt. Meglepett, hogy eddig ez kimaradt. Annál is inkább, mert
RészletesebbenAnyagi pont dinamikája
TÓTH A.: Pontdinaika (kibővített óravázlat 1 Anyagi pont dinaikája Mi a ozgás oka? Arisztotelész 1 : a ozgás fenntartásához külső hatás kell. (Ezt a feltevést a felületes egfigyelés alátáasztja, hiszen
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenOktatási Hivatal. A 2007/2008. tanévi. Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny. első (iskolai) fordulójának. javítási-értékelési útmutatója
Oktatási Hivatal A 007/008. tanévi Országos özépiskolai Tanulányi Verseny első (iskolai) fordulójának javítási-értékelési útutatója FIZIÁBÓ I. kategóriában A 007/008. tanévi Országos özépiskolai Tanulányi
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Fizika középszint 81 ÉRETTSÉGI VIZSGA 9. ájus 1. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útutató utasításai szerint,
Részletesebben45 különbözô egyenest kapunk, ha q! R\{-35}. b) $ =- 1& = 0, nem felel meg a feladat feltételeinek.
Az egyenes egyenletei 8 67 a), n( -) x - y b) x - y c) n( ) x+ y- d) n( -), x- y 7 67 a) y x b) n(b a), nl(a - b) ax - by 0 c) n( -) nl( ) 7 x + y 7 d) x - y e) x - 9y f) x + y g) x - h) - O, 77 n( ) nl(
RészletesebbenEllipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához
1 Ellipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához Előző dolgozatunkkal melynek címe: A ferde körkúp palástfelszínének meghatározásához már mintegy megágyaztunk a jelen írásnak. Több mindent
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenA szinuszosan váltakozó feszültség és áram
A szinszosan váltakozó feszültség és ára. A szinszos feszültség előállítása: Egy téglalap alakú vezető keretet egyenletesen forgatnk szögsebességgel egy hoogén B indkciójú ágneses térben úgy, hogy a keret
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenA kvantummechanika kísérleti előzményei A részecske hullám kettősségről
A kvantummechanika kísérleti előzményei A részecske hullám kettősségről Utolsó módosítás: 2016. május 4. 1 Előzmények Franck-Hertz-kísérlet (1) A Franck-Hertz-kísérlet vázlatos elrendezése: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/frhz.html
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
Részletesebben19. Alakítsuk át az energiát!
Függ-e a unkavégzés az úttól? Ugyanazt az töegű testet lassan, egyenletesen ozgassuk először az ábrán látható ABC törött szakaszon, ajd közvetlenül az AC szakaszon. Mindkét alkaloal a ozgatott test h-val
RészletesebbenKoordináta-geometria. Fogalom. Jelölés. Tulajdonságok, definíciók
Koordináta-geometria Fogalom Ezen a helyen találkozik össze a számtan és a mértan. Körök, egyenesek, háromszögek és más egyéb alakzatok, de nem szerkesztenünk kell, vagy méricskélni, hanem számolni, viszont
Részletesebben1. feladat. 2. feladat
1. feladat Jelölje θ az inga kitérési szögét az ábrán látható módon! Abban a pillanatban amikor az inga éppen hozzáér a kondenzátor lemezéhez teljesül az l sin θ = d/2 összefüggés. Ezen felül, mivel a
RészletesebbenAz R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész
Az R forgató mátri [ ] - beli képleteinek levezetése: I rész Az [ ] forrás kötetében a ( 49 ), ( 50 ) képletek nyilván mint közismertek nem lettek levezetve Minthogy az ottani további számítások miatt
Részletesebben13. Román-Magyar Előolimpiai Fizika Verseny Pécs Kísérleti forduló május 21. péntek MÉRÉS NAPELEMMEL (Szász János, PTE TTK Fizikai Intézet)
3. oán-magyar Előolipiai Fizika Verseny Pécs Kísérleti forduló 2. ájus 2. péntek MÉÉ NAPELEMMEL (zász János, PE K Fizikai ntézet) Ha egy félvezető határrétegében nok nyelődnek el, akkor a keletkező elektron-lyuk
RészletesebbenKinematikai alapfogalmak
Kineatikai alapfogalak a ozgások leíásáal foglalkozik töegpont, onatkoztatási endsze, pálya, pályagöbe, elozdulás ekto a sebesség, a gyosulás Egyenes Vonalú Egyenletes Mozgás áll. 35 3 5 5 5 4 a s [] 5
Részletesebben2, = 5221 K (7.2)
7. Gyakorlat 4A-7 Az emberi szem kb. 555 nm hullámhossznál a Iegnagyobb érzékenységű. Adjuk meg annak a fekete testnek a hőmérsékletét, amely sugárzásának a spektrális teljesitménye ezen a hullámhosszon
RészletesebbenA szállítócsigák néhány elméleti kérdése
A szállítócsigák néhány eléleti kédése DR BEKŐJÁOS GATE Géptani Intézet Bevezetés A szállítócsigák néhány eléleti kédése A tanulány tágya az egyik legégebben alkalazott folyaatos üzeűanyagozgató gép a
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenMechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó
Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kúpszeletek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 6 TARTALOMJEGYZÉK Azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete
RészletesebbenA brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
RészletesebbenKomplex számok trigonometrikus alakja
Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =
RészletesebbenKÖZBESZERZÉSI ADATBÁZIS
14. elléklet a 44/2015. (XI. 2.) MvM rendelethez KÖZBESZERZÉSI DTBÁZIS Összegezés az ajánlatok elbírálásáról I. szakasz: kérő I.1) Név és cíek 1 (jelölje eg az eljárásért felelős összes ajánlatkérőt) Hivatalos
RészletesebbenBor Pál Fizikaverseny 2016/17. tanév DÖNTŐ április évfolyam. Versenyző neve:...
Bor Pál Fizikaverseny 2016/17. tanév DÖNTŐ 2017. április 22. 8. évfolya Versenyző neve:... Figyelj arra, hogy ezen kívül ég a további lapokon is fel kell írnod a neved! Iskola:... Felkészítő tanár neve:...
Részletesebben7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015
7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015 Évi óraszá: 108 óra Heti óraszá: 3 óra 1. téa: Racionális száok, hatványozás 11 óra 2. téa: Algebrai kifejezések 12 óra 1. téazáró dolgozat 3. téa: Egyenletek,
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenVektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
RészletesebbenHarmonikus rezgőmozgás
Haronikus rezgőozgás (Vázat). A rezgőozgás fogaa. Rezgőozgás eírását segítő ennyiségek 3. Kapcsoat az egyenetes körozgás és a haronikus rezgőozgás között 4. A haronikus rezgőozgás kineatikai egyenetei
RészletesebbenEgy általános helyzetű lekerekített sarkú téglalap paraméteres egyenletrendszere. Az egyenletek felírása
1 Egy általános helyzetű lekerekített sarkú téglalap paraméteres egyenletrendszere Az egyenletek felírása Korábbi dolgozataink már mintegy előkészítették a mostanit; ezek: ~ KD - 1: Általános helyzetű
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenSzá molá si feládáttí pusok á Ko zgázdásá gtán I. (BMEGT30A003) tá rgy zá rthelyi dolgozátá hoz
Szá molá si feládáttí pusok á Ko zgázdásá gtán I. (BMEGT30A003) tá rgy zá rthelyi dolgozátá hoz 1. feladattípus a megadott adatok alapján lineáris keresleti, vagy kínálati függvény meghatározása 1.1. feladat
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenUjfalussy Balázs Idegsejtek biofizikája Első rész
Ujfalussy Balázs Idegsejtek biofizikája Első rész MI A TITA? Ez a négyrészes sorozat azt a célt szolgálja, hogy az idegsejtek űködéséről ateatikai, fizikai odellekkel alkossunk képet középiskolás iseretekre
RészletesebbenA rezgések dinamikai vizsgálata, a rezgések kialakulásának feltételei
A rezgések dinaikai vizsgálata a rezgések kialakulásának feltételei F e F Rezgés kialakulásához szükséges: Mozgásegyenlet: & F( & t kezdeti feltételek: ( v t & v( t & ( t Ha F F( akkor az erőtér konzervatív.
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenKÖRNYEZETVÉDELMI- VÍZGAZDÁLKODÁSI ALAPISMERETEK
Környezetvédeli-vízgazdálkodási alaiseretek közészint Javítási-értékelési útutató 141 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. október 13. KÖRNYEZETVÉDELMI- VÍZGAZDÁLKODÁSI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA
RészletesebbenGeometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMUNKAANYAG. Szabó László. Áramlástani alaptörvények. A követelménymodul megnevezése:
Szabó László Áralástani alaptörények A köetelényodul egneezése: Kőolaj- és egyipari géprendszer üzeeltetője és egyipari technikus feladatok A köetelényodul száa: 07-06 A tartaloele azonosító száa és célcsoportja:
RészletesebbenMatematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenA kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről
1 A kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről Előző dolgozatunkban melynek címe: Megint a két csavarfelületről levezettük a cím - beli körös felület - család paraméteres egyenletrendszerét,
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenEGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA
EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA Írta: Hajdu Endre A számítógépemhez tartozó két hangfal egy-egy négyzet keresztmetszetű hasáb hely - szűke miatt az ablakpárkányon van elhelyezve (. ábra).. ábra Hogy az
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenEgy mozgástani feladat
1 Egy mozgástani feladat Előző dolgozatunk melynek jele és címe: ED ~ Ismét az ellipszis egyenleteiről folytatásának tekinthető ez az írás. Leválasztottuk róla, mert bár szorosan kapcsolódnak, más a céljuk.
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenFizika példák a döntőben
Fizika példák a döntőben F. 1. Legyen két villamosmegálló közötti távolság 500 m, a villamos gyorsulása pedig 0,5 m/s! A villamos 0 s időtartamig gyorsuljon, majd állandó sebességgel megy, végül szintén
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
Részletesebben