Anyagi pont dinamikája

Átírás

1 TÓTH A.: Pontdinaika (kibővített óravázlat 1 Anyagi pont dinaikája Mi a ozgás oka? Arisztotelész 1 : a ozgás fenntartásához külső hatás kell. (Ezt a feltevést a felületes egfigyelés alátáasztja, hiszen egy test ozgásban tartásához általában tényleg erőt kell kifejteni. alilei : egyenes vonalú egyenletes ozgás és nyugalo külső hatás nélkül zajlik, a ozgásállapot egváltozásához kell külső hatás. (A részletesebb vizsgálat során kiderült, hogy a testek egállását külső hatás okozza, aelynek csökkentésekor a test egyre hosszabb ideig arad ozgásban. Ebből extrapolálható, hogy ha nincs külső hatás, akkor a test ne áll eg. Alapkérdések: Hogyan jelleezhető szászerűen a külső hatás? Milyen a külső hatás és a ozgásállapot egváltozása közti kapcsolat? Külső hatás okozhat alakváltozást vagy sebességváltozást. A külső hatás nnek alapján érhető. Erő és töeg, a dinaika alaptörvényei Az erő és töeg bevezetésének a külső hatás által okozott változások típusa szerint két fő útját választhatjuk, ost röviden vázoljuk a két lehetőséget. Erő- és töegdefiníció a külső hatás alakváltoztató képessége alapján Alakváltozás alapján történő érésnél pl. egy a hatás és a töegpont közé helyezett tehát a hatásnak kitett rugalas test (rugó egnyúlása lehet a hatás értéke. Elég kézenfekvő, hogy a hatásnak iránya van: különböző irányú hatások esetén egy test különböző irányokban indul el. A hatás irányát a közbeiktatott rugó tengelyének irányával adhatjuk eg. Ahhoz, hogy a hatást érni tudjuk, tudnunk kell, hogy ilyen összefüggés van a hatás nagysága és a érésre használt rugalas test egnyúlása között: ez az ún. skálatörvény. A skálatörvényt önkényesen választhatjuk eg, de a szokásos (és célszerű választás az, hogy ne túl nagy hatások esetén a hatás nagyságát arányosnak tekintjük az általa okozott egnyúlással, vagyis lineáris skálatörvényt használunk. Nulla értékűnek azt a hatást tekintjük, aely ne okoz egnyúlást. A hatás egysége önkényesen választható (pl. a nehézségi erőtérben felfüggesztett, jól definiált test által a felfüggesztő testre kifejtett hatás, aihez a közbeiktatott rugalas érő test eghatározott kitérése tartozik. Ezután inden olyan hatást, aely a érő testen ugyanekkora kitérést okoz, egységnyi hatásnak tekintünk. A fenti ódon definiált, érhető, iránnyal is rendelkező ennyiség az erő, jelölése rendszerint. Newton 3 II. törvénye A következő lépés a (ost ár érhető erő és a töegpont gyorsulása közötti összefüggés kiérése. A érések szerint földi körülények között jó közelítéssel 1 ARISZTOTELÉSZ (i.e.384 i.e.3 görög filozófus alileo ALILEI ( olasz fizikus, ateatikus, csillagász 3 Isaac NEWTON ( angol terészettudós

2 TÓTH A.: Pontdinaika (kibővített óravázlat érvényes, hogy az erő által létrehozott gyorsulás az erővel egyirányú, nagysága pedig arányos az erő nagyságával: ~ a. Ebből következik, hogy adott test esetén az /a hányados állandó, a test jellezője, gyorsítással szebeni ellenállásának, tehetetlenségének értéke. Ez a tehetetlen töeg, aelyet betűvel szokás jelölni: =. a (Megjegyezzük, hogy van egy ásik töeg is, az ún. súlyos töeg, ai a gravitációs kölcsönhatásban való részvételt jellezi. Ez, bár alapvetően ás jellezőnek tűnik, a tapasztalat szerint égis arányos a tehetetlen töeggel. Ezzel kapcsolatos téák: gravitációs kölcsönhatás, Eötvös-kísérlet, általános relativitáselélet. Az erő és sebességváltozás kapcsolatát egadó törvény tehát (a öldön nyugvó rendszerben közelítőleg = a alakba írható, ait Newton II. törvénye néven iserünk. A gyorsulást idő- és távolságérés segítségével határozhatjuk eg, az erő érése rugóval, a töeg érése a fenti összefüggés alapján történik. A fenti eljárás során először az erő érési utasítását adtuk eg, és ennek segítségével száraztattuk a töeget, az egységeket azonban eddig ne rögzítettük. Mivel az = a összefüggésben két új ennyiség szerepel, az egyiknek az egységét önkényesen egválaszthatjuk, a ásik egység ezután ár az összefüggésből következik. A gyakorlatban először a töeg egységét rögzítették. A töeg egységeként 1 l térfogatú 4 0 C-os tiszta víz töegét választották, és ezt 1 kg-nak nevezik. Ezután az erő egysége ait Newtonról neveztek el ár száraztatható: 1 erőegység = 1kg 1 = 1Newton = 1N. Eszerint az az erő 1 N nagyságú, aely pl. 1 s kg töegű testet 1 /s gyorsulással ozgat. Ez azt jelenti, hogy az erőérő eszköz (rugó skáláját ennek az egységnek a felhasználásával kell elkészítenünk. Az, hogy egy test gyorsításához erő kell, látványos, kvalitatív kísérletekkel szeléltethető. KÍSÉRLETEK: Cérnaszálra felfüggesztett fahengert az aljára erősített cérnaszál eghúzásával próbálunk gyorsítani. Ha az alsó cérnaszálat hirtelen, nagy erővel egrántjuk, vagyis a fahengert nagy gyorsulással akarjuk ozgatni, akkor a fahengerre kifejtendő az alsó cérnaszálban ébredő erő olyan nagy, hogy az alsó (gyorsító cérnaszál ne bírja ki, és elszakad. Ha az alsó cérnaszálat lassan, egyre nagyobb erővel húzzuk (a hengert kis gyorsulással akarjuk ozgatni, akkor az alsó cérnaszálban fellépő erő kicsi, viszont a hengert tartó cérna előbbutóbb elszakad, ert a rá áttevődő erőt (húzóerő + a henger súlya ne bírja ki. Nehezebb tárgyat (pl. pezsgősüveg papírlapra helyezünk, ajd a papírlapot lassan húzni kezdjük. Ekkor az üveg a papírlappal együtt ozog. Ha a papírlapot hirtelen egrántjuk, akkor az üveg ne követi, és a papírlapot ki tudjuk húzni az üveg alól. Magyarázat: a gyors rántás esetén az üveg csak akkor tudná követni a papírt, ha ugyanolyan gyorsulással ozogna, ehhez azonban nagy erőre lenne szükség, ait a súrlódás ne képes biztosítani. Lassú indításnál a súrlódási erő elegendő az üveg gyorsításához. A kísérletek jól utatják, hogy a testek tehetetlenek, gyorsításukhoz erő kell.

3 TÓTH A.: Pontdinaika (kibővített óravázlat 3 Newton III. törvénye Tapasztalati tény, hogy két egyással kölcsönhatásban álló (egyásra erőt kifejtő test indegyike ugyanakkora nagyságú, ellentétes irányú (azonos táadásvonalú erőt fejt ki a ásikra (ábra: 1 = Ez Newton III. törvénye, aelynek lényeges fizikai tartala az, hogy az erőhatás indig kölcsönhatás eredénye: ne tudunk kifejteni seilyen hatást 1 úgy, hogy ne lépne fel rajtunk az ellenhatás. Ha a testekre az egyásra hatáson kívül seilyen ás erő ne hat, akkor a III. törvény és a II. törvény kobinációjából azt kapjuk, hogy fennállnak az dv1 dv 1 a 1 = - a, 1 =, dt dt összefüggések, illetve a töeget állandónak tekintve, a d ( 1v1 d( v = dt dt összefüggés. Ebből következik, hogy az v ennyiség változása a kölcsönható testeken azonos nagyságú és ellentétes irányú, vagyis d ( v + v 1 v 1 + v = állandó. ( = dt Látható, hogy az v ennyiség itt különleges szerepet játszik: a kölcsönható testekre ennek a ennyiségnek az összege ne változik, ezért külön fizikai ennyiségként vezették be. A p = v ennyiség az töegpont lendülete vagy ozgásennyisége (gyakran az ipulzus elnevezést is használják Ezzel a fenti eredény így írható: p 1 + p = állandó, vagyis, ha a két test csak egyással áll kölcsönhatásban, akkor összes lendületük (ozgásennyiségük ne változik. Ez a lendület-egaradás (ozgásennyiségegaradás, ipulzus-egaradás törvénye két egyással kölcsönhatásban álló töegpont esetén. KÍSÉRLET_1: Két szebeállított, egyás felé gurulni képes zsáolyon álló két szeély egy kötél két végét fogva egyást el akarja húzni. Bárilyen ódon húzzák egyást (csak az egyik húz, a ásik csak tartja a kötelet, csak a ásik húz, az egyik csak tartja a kötelet vagy indketten húzzák a ásikat indkét zsáoly elozdul, égpedig nagyjából ugyanúgy. Az egyik test a ásikra ne tud úgy erőt kifejteni, hogy a ásik ne fejtene ki rá erőt. KÍSÉRLET_: Két kiskocsi közé rugót helyezünk, ait összenyounk, és a rugót összenyoott állapotban cérnaszállal rögzítjük. A cérnaszálat elégetve a rugó indkét kocsit eglöki. Ha az egyik kocsi töege lényegesen nagyobb, int a ásiké, akkor ez a kocsi lassabban indul (kisebb távolságra egy el. Eredetileg a két kocsi összes lendülete nulla volt, ezért a cérnaszál elégetése után is nullának kell lennie. Eiatt a két kocsi lendületváltozása ellenkező irányú (és ait itt pontosan ne tudunk igazolni azonos nagyságú.

4 TÓTH A.: Pontdinaika (kibővített óravázlat 4 KÍSÉRLET_3: Műanyag zsinórra csúsztatható tartóban rögzítve szódavíz-patront helyezünk, ajd a patront erre szolgáló tűs eszközzel kiszúrjuk. A CO gáz nagy sebességgel kiáralik a patronból, a patron pedig ellenkező irányban végigcsúszik a zsinóron (rakéta. Eredetileg nulla lendületű rendszerben belső kölcsönhatással lendületet létrehozva (gáz kiáralása, ellenkező irányú lendületnek kell keletkeznie (patron ozgása. A lendülettel Newton II. törvénye (a töeget állandónak tekintve átírható ég az dv d( v dp = = = dt dt dt alakba is. Ebből a felírásból látható, hogy ha egy töegpontra ne hat erő, akkor a lendülete egarad (ai nyilvánvaló, hiszen ilyenkor a sebessége állandó. Az erőhatások függetlenségének elve (Newton IV. törvénye Newton II. törvényét eddig úgy fogalaztuk eg, hogy a töegpontra egyetlen erő hat. Külön vizsgálandó az az eset, aikor a töegpont ne egyetlen erő hatásának van kitéve, hane több test fejt ki rá erőt egyidejűleg. A kísérletek azt utatják, hogy ilyenkor az egyes erőkre külön-külön teljesül Newton II. törvénye, vagyis az egyes erők egyástól függetlenül fejtik ki a hatásukat a töegpontra. Ez az erőhatások függetlenségének elve (gyakran nevezik Newton IV. törvényének is. Ennek következénye, hogy ha pl. egy töegpontra két erő hat, akkor az egyik erő által okozott gyorsulás 1 a 1 =, függetlenül attól, hogy űködik-e ásik erő, a ásik erő által okozott gyorsulás pedig a =. Mivel a gyorsulás vektorennyiség, a pont eredő gyorsulása: a = a1 + a = + =, vagyis a töegpont úgy ozog, intha a rá ható erők vektori összege hatna rá. Több erő együttes hatása esetén ennek egfelelően Newton II. törvénye az erők vektori összegére, az ún. eredő erőre érvényes: n = a 1 + a +... a n = a eredő = a. Az tehát, hogy az erők egyástól függetlenül fejtik ki hatásukat, azzal egyenértékű, hogy az erők vektorként viselkednek, vektorként összegezhetők, int a gyorsulások. Ha tehát egy töegpontra több erő hat egyidejűleg, akkor a II. Newton-törvénnyel kapcsolatos összes fenti egállapításunk érvényes arad, csak a töegpontra ható erők helyére az erők vektori összegét, az eredő erőt kell beírni. A IV. törvényből az is látszik, hogy egy eredetileg nyugvó töegpont ne csak akkor arad egyensúlyban (nyugaloban, ha ne hat rá erő, hane akkor is, ha a rá ható erők eredője nulla. A fenti esetben a töegpont helyén ható erők dinaikai szepontból egyás hatását kioltják. Ezt gyakran úgy fogalazzák eg, hogy ebben az esetben az egy pontban ható erők egyensúlyban vannak.

5 TÓTH A.: Pontdinaika (kibővített óravázlat 5 KÍSÉRLETEK: Ha az erő a többi hatástól függetlenül fejti ki hatását egy töegpontra, akkor a különböző hatásokra bekövetkező ozgások is egyástól függetlenül ennek végbe. Két egyfora golyó egyikét vízszintesen elhajítva, a ásikat pedig ugyanakkor elejtve, a két golyó egyszerre koppan a talajon. A golyók függőleges irányú ozgása ugyanúgy egy végbe, bár az egyik vízszintes irányban is ozog. Ugyanezt igazolja az a kísérlet, aikor egy nehezékkel ellátott posztó darabot elejtünk, és ugyanakkor a posztódarab eredeti helye felé kilövünk egy nyilat. A nyíl indig eltalálja a posztódarabot. Könnyen belátható, hogy ez csak úgy lehetséges, hogy a nyíl vízszintes és függőleges ozgása egyástól függetlenül zajlik. KÍSÉRLET: Két azonos agasságban elhelyezett csigán egy kötelet vetünk át, és a kötél egyik végére 3 egységnyi-, a ásik végére 4 egységnyi-, a közepére pedig 5 egységnyi töeget erősítünk (ábra. A súlyokat elengedve, azok beállnak egy egyensúlyi helyzetbe, aelyben a két csiga közti kötélszakasz a középső súlynál egtörik. Bárilyen kezdő állapotból hagyjuk agára a rendszert, a két csiga közti kötélszakasz két része egyással derékszöget zár be. A függőlegesen lefelé utató (súly erőt tehát az adott súlyok esetében az 1 és erő csak akkor tudja kopenzálni, ha egyásra erőlegesek o A erőleges beállást könnyen értelezhetjük, ha feltételezzük, hogy az erők vektorként viselkednek 1. A választott súlyok (erők esetén fennáll az = 1 + összefüggés ( 1 =3 egység, =4 egység, és =5 egység, ai a derékszögű beállás iatt egfelel a vektorábrából kapható összefüggésnek. Ez azt jelenti, hogy a súllyal valóban a két ásik erő vektori összege tart egyensúlyt 1 + =. Az erők tehát vektorként összegezhetők. Newton I. törvénye, az inerciarendszer fogala A dinaika alaptörvényeit a öldhöz képest nyugvó vonatkoztatási rendszerekben végzett kísérletek többékevésbé alátáasztják. Könnyen belátható azonban, hogy vannak olyan vonatkoztatási rendszerek, aelyekben a törvények biztosan ne teljesülnek. Ennek deonstrálására végezzük el az alábbi gondolatkísérletet. Egy egfigyelő egy lefedett kocsiban ül, aelyből a =0 a=-a 0 a 0 1 A kísérlet értelezéséhez tudni kell, hogy a testek súlya arányos a töegükkel, továbbá, hogy a csigán átvetett kötélre akasztott súlyok a csiga ásik oldalán is a súlyukkal azonos erőt fejtenek ki, aelynek iránya a kötél irányával egyezik.

6 TÓTH A.: Pontdinaika (kibővített óravázlat 6 környezetét ne látja (ábra. A kocsiban van egy vízszintes, sia asztallap, aelyen egy sia felületű, göb alakú golyó áll. Ha a kocsit óvatosan gyorsítjuk úgy, hogy a egfigyelő ne érezze a gyorsulást akkor a egfigyelő azt fogja tapasztalni, hogy a golyó gyorsul, és álló helyzetből elindulva az ölébe esik. Newton II. törvénye szerint, a egfigyelő ezt úgy értelezi, hogy a golyóra fellépett egy erő. Ilyen erőt azonban ne talál (a külső szelélő tudja, hogy nincs is ilyen erő, ezért ne érti, hogy a golyó iért gyorsult. (A külső szelélő azt állapítja eg, hogy hozzá képest a golyó ne gyorsul, és helyben arad, a kocsiban ülő egfigyelő azért látja gyorsulni a golyót, ert a kocsi gyorsul, és kiszalad a golyó alól. Vagyis egy gyorsuló testhez rögzített vonatkoztatási rendszerben olyan testeket is gyorsulni látunk, aelyekre ható erők eredője nulla, ilyen rendszerben tehát Newton II. törvénye (eredeti forájában ne érvényes. Eiatt szükség van annak lerögzítésére, hogy ilyenek azok a vonatkoztatási rendszerek, ahol a Newton-törvények használhatók. Aikor Newton I. törvénye (a tehetetlenség törvénye azt ondja ki, hogy inden test egtartja nyugali állapotát vagy egyenes vonalú egyenletes ozgását, aíg valailyen külső hatás ne éri, lényegében azt fogalazza eg, hogy olyan rendszerekkel foglalkozunk, aelyekben a fenti állítás, azaz a tehetetlenség törvénye igaz. Az ilyen rendszereket tehetetlenségivagy inerciarendszereknek nevezik. Az I. törvény tehát azt fogalazza eg, hogy inerciarendszerek léteznek, és a többi Newton-törvények eredeti forájukban inerciarendszerekben érvényesek. A fentiek alapján az inerciarendszer kiválasztásának ódszere elvileg abban áll, hogy egfigyelünk egy agára hagyott testet, és egnézzük, hogy gyorsul-e vagy ne. A dolog, sajnos ne ilyen egyszerű, ugyanis ne könnyű azt egállapítani, hogy a egfigyelt testre valóban ne hat seilyen erő. A öld szigorúan véve ne inerciarendszer (forog és kering, tehát bárely pontjának gyorsulása van, de különleges pontosságot igénylő esetektől eltekintve, közelítőleg annak tekinthető. Erő- és töegdefiníció a külső hatás ozgásállapot-változtató képessége alapján A külső hatás ásik könnyen észlelhető eredénye az, hogy egváltoztatja a testek ozgásállapotát (azaz gyorsulást okoz. Ennek felhasználásával a töeg definícióját lehet egyszerűbben egadni. A tehetetlen töeg bevezetése Mozgásállapot-változás alapján a töeg (és az erő definíciója úgy történhet, hogy egyással kölcsönhatásban álló két testnek a kölcsönhatás által okozott sebességváltozását (Δv 1 és Δv érjük eg különböző esetekben. A érésekből kiderül, hogy a két test sebességváltozása indig ellenkező irányú, a változások nagyságának aránya pedig ugyanazon két test esetén indig ugyanakkora, függetlenül a két test kezdeti sebességétől. Δv1 Δv1 Δv 1 = K1Δv, = =... = K1 = állandó. Δv Δv Az ütközésben a tapasztalat szerint indig a "kisebb" ill. "könnyebb" test sebességváltozása nagyobb, ennek egfelelően a sebességváltozás-arány nő, ha a test éretét növeljük (pl. ütköző kocsik esetén a kocsira rakott test ellé további

7 TÓTH A.: Pontdinaika (kibővített óravázlat 7 testeket helyezünk, és csökken, ha az 1 test éretét növeljük. Durván szólva: a K 1 ennyiség arányos a és 1 testek "anyagennyiségének" hányadosával. Ennek alapján bevezethetünk egy ennyiséget, ai az egyes testeknek az ütközésben tanúsított viselkedését jellezi. Ezt a ennyiséget a testek tehetetlen töegének nevezzük, -el jelöljük, és úgy definiáljuk, hogy a két kölcsönható test töegének hányadosa az ütközésben eghatározható K 1 ennyiséggel egyenlő: Δv 1 K 1 = =. Δ v 1 Az ütközéses kísérlet alapján tehát csak a két kölcsönható test töegének arányát tudjuk definiálni. Ahhoz, hogy egy test töegét eghatározzuk, választani kell egy testet, aelynek töegét önkényesen egységnyinek tekintjük: 0 = 1töegegység. Δv Az iseretlen töegű testet ezzel a testtel ütköztetve, egérjük a K = 0 Δv ennyiséget, és ebből az iseretlen töeg a K = összefüggés alapján: = K 0 = K töegegység. A lendület és az erő bevezetése, a Newton-törvények száraztatása A töeg bevezetése után az ütközésre vonatkozó tapasztalatainkat az Δv = Δv, 1 1 1( v 1 v1 = ( v v 1v1 + v = 1v 1 + v összefüggésekkel írhatjuk le, ahol a vesszőtlen sebességek az ütközés előtti, a vesszős sebességek az ütközés utáni sebességeket jelentik. Az utolsó összefüggés az p=v ennyiség egaradásának tételét fejezi ki. Ezt a ennyiséget nevezzük ost is lendületnek. Az ütközési kísérletben két kölcsönhatásban álló test ozgását vizsgáltuk. yakran azonban csak a kölcsönható testek egyikének ozgása érdekel bennünket, ezért felerül a kérdés, hogyan lehet egy test ozgásállapot-változását eghatározni úgy, hogy a ásik test jelenlétét külső (erőhatásnak tekintjük. Ehhez először azt kell tisztázni, hogy ilyen összefüggés van a test ozgásállapot-változása és a hétköznapi érteleben rá gyakorolt erő között. Ha egy vízszintes terepen lassan felénk gördülő kocsit eg akarunk állítani, és ne száít, hogy ezt ennyi idő alatt tesszük eg, akkor a célt viszonylag kis erőfeszítés árán elérhetjük, ha a kocsival együtt hátrálva hosszabb idő alatt lassítjuk le. Ha azonban a egállításra csak rövid idő áll rendelkezésre (pl. a kocsi vészesen közeledik a falhoz, akkor a egállítás nagy erőfeszítést kíván. Másrészt az erőkifejtés indkét esetben függ attól is, hogy ekkora a egállítandó kocsi töege (kis töegnél nyilván kisebb a szükséges erőfeszítés. Vagyis a ozgásállapot-változtatáshoz szükséges erőfeszítést egyrészt a lendületváltoztatás nagysága, ásrészt a változtatásra fordított idő szabja eg. Az erőfeszítés nagysága a tapasztalat szerint arányos a d ( v lendületváltoztatással és fordítva arányos a változtatás idejével, vagyis a dt hányadossal jelleezhető. Ha egy és egy M töegű töegpont kölcsönhatását vizsgáljuk, akkor a fentiek alapján a kölcsönhatás során fennáll a Δ v = Δ( Mv ( M 0

8 TÓTH A.: Pontdinaika (kibővített óravázlat 8 összefüggés. Az egyenletet Δt-vel osztva, ajd végtelenül kicsi időtartara áttérve, a d( v d( MvM =, dt dt illetve d( p d( pm = dt dt összefüggést kapjuk. Ez azt jelenti, hogy az töeg lendületváltozásának sebessége, ai a változáshoz szükséges "erőfeszítést" adja eg, kifejezhető a M töeg adataival. Ezek alapján az töegre ható erőt úgy definiálhatjuk, hogy dp M =. dt Az erőnek ezt a definícióját használva, az töegre felírhatjuk az dp dv = = = a dt dt összefüggést, ai azt fejezi ki, hogy a töegpontra ható erő arányos a töegpont gyorsulásával. Ez Newton II. törvénye. Mivel két test kölcsönhatására a fentiek szerint indig érvényes, hogy d ( p 1 d( p =, dt dt az erő fenti definíciója alapján teljesül a d( p1 d( p 1 = = = 1 dt dt összefüggés, ai Newton III. törvénye. Ha egy töegű töegponttal egyidejűleg több töegpont ( 1,, 3, áll kölcsönhatásban, akkor a tapasztalat szerint az egyes kölcsönhatásokra továbbra is érvényesek a két töegpont kölcsönhatására vonatkozó korábbi egállapításaink, vagyis a kölcsönhatások egyást ne befolyásolják. Ha az egyes kölcsönhatásokra vonatkozó ( Δv i = Δ( i vi egyenleteket összeadjuk, akkor egkapjuk a töegpont teljes sebességváltozására vonatkozó összefüggést: Δ v Δ( v. = i Itt ( Δ v i a töegnek az i-edik töeggel való kölcsönhatásából szárazó sebességváltozása, a teljes sebességváltozás pedig ezek vektori összege: Δ v = ( Δv i. A fenti egyenletet Δt-vel osztva, ajd végtelenül kicsi időtartara i áttérve, az dv d( = = ivi a = i dt i dt i egyenletet kapjuk, ahol i az i-edik töeg által a töegre kifejtett erő. Vagyis a töegpont ozgására Newton II. törvényét ilyenkor a töegpontra ható erők vektori összegével kell felírni, ai Newton IV. törvénye. A ozgásegyenlet és alkalazásai Newton II. törvénye összefüggést ad a töegpontra ható erők és a töegpont gyorsulása között. Mivel ez az összefüggés teszi lehetővé a ozgás leírását, ozgásegyenletnek is nevezik. A ozgásegyenletet két célra használhatjuk fel. i i

9 TÓTH A.: Pontdinaika (kibővített óravázlat 9 A legkézenfekvőbb és leggyakoribb felhasználás az, hogy a töegpontra ható erő(k iseretében a ozgásegyenlet segítségével eghatározzuk a ozgó pont helyvektorának időfüggését, vagyis ateatikailag leírjuk a ozgást. A ozgásegyenlet egy ásik lehetséges felhasználása az, hogy isert ozgáshoz eghatározzuk azt az erőt, aely az adott ozgást létrehozza. Az erőhatások legfontosabb típusai Ahhoz, hogy a ozgásegyenletet egoldjuk, isernünk kell a töegpontra ható erőket. Most röviden foglalkozunk néhány fontos erőtípussal, aelyeket a klasszikus fizikai ozgásprobléák egoldásánál gyakran használnak. Kényszererő Az erőnek egy sajátos, konkrét kölcsönhatási típustól független és gyakran előforduló fajtája lép fel akkor, ha egy test ozgását valailyen külső kényszerítő körülény korlátozza. Ez történik például akkor, aikor egy testet valailyen külső hatás olyan felülethez nyo, aelyen ne tud áthatolni. A gyakorlatban előforduló ilyen eset, hogy a testre a nehézségi erő hat, és ozgását egy vízszintes sík felület vagy egy lejtő jelenléte korlátozza. Az ilyen felület egakadályozza, hogy a test a felület alá kerüljön, vagyis a test ne ozdulhat el a síkra erőlegesen lefelé (a ábra. Az ilyen ozgást korlátozó külső feltételeket kényszereknek nevezzük. A kényszer űködését az elített esetekben úgy foghatjuk fel, hogy a testre egy N tartó erő lép fel, ait kényszererőnek nevezünk. A test ozgását ilyenkor úgy írhatjuk le, hogy a kényszer (az áthatolhatatlan sík hatását a ozgásegyenletben az N kényszererővel vesszük figyelebe (b ábra. Súrlódási erő Ha egy kényszernek kitett testre a kényszerfeltétel által egengedett elozdulás irányában ható erő is űködik, akkor fellép egy sajátos fékező erő, az ún. súrlódási erő. Ennek közisert példája az az eset, aikor a vizsgált testet egy külső hatás egy felülethez N nyoja (pl. az ábrán a nehézségi erő, és s ( t űködik a felülettel párhuzaos erő ( is. Ilyenkor a felület egy az elozdulást fékező, súrlódási erőt fejt ki. Kis erőnél a test odatapad a felülethez, és - N ne ozdul el, ert egy ún. tapadási erő ( t kopenzálja a külső erőt (tapadási súrlódás. A tapadási erőnek azonban van egy az érintkező felületek inőségétől függő axiális értéke ( ax t, ezért ha ennél nagyobb erőt fejtünk ki, akkor a test csúszni kezd. A csúszás közben fellép egy állandó fékező erő, az ún. csúszási súrlódási erő ( s, aely indig a ozgásiránnyal ellentétes (csúszási súrlódás. A tapadási erő axiális értéke és a csúszási súrlódási erő is közelítőleg arányos a testet a felülethez nyoó erővel ( N. Az álló test esetén fellépő axiális tapadási erőt az ax t = μtn, a ozgó test esetén fellépő csúszási súrlódási erőt pedig az a N b N

10 TÓTH A.: Pontdinaika (kibővített óravázlat 10 s = μ N alakban írhatjuk fel, ahol μ t illetve μ a felületek inőségétől függő szá, az ún. tapadási- illetve csúszási súrlódási együttható. A tapasztalat szerint μ t >μ, vagyis a tapadási erő axiális értéke indig nagyobb, int a csúszási súrlódási erő. ravitációs kölcsönhatás, a súlyos töeg A tapasztalat szerint bárely két test között fellép egy olyan kölcsönhatás, aelynél a testekre ható erő azonos anyagú és állapotú testeket feltételezve a kölcsönható testek térfogatával arányos. Ezt a kölcsönhatást gravitációs kölcsönhatásnak nevezik. A öldön egy test súlyát a öld és a test között fellépő gravitációs kölcsönhatás okozza. Ha a két test kölcsönhatást okozó anyagi tulajdonságát s1 -gyel illetve s -vel jelöljük, akkor két pontszerűnek tekinthető (azaz a távolságukhoz képest elhanyagolható éretű test között fellépő erő nagyságát a Newton által egállapított törvény szerint az s1s g = γ r összefüggés adja eg, ahol r a két pontszerű test távolsága. Az erő vonzó, és a két testet összekötő egyenes entén hat. Az s tulajdonságot a kölcsönható test súlyos töegének nevezik. Az összefüggésben két iseretlen ennyiség van: az s súlyos töeg és a γ arányossági tényező, az ún. gravitációs állandó. A törvény igaznak bizonyult ne pontszerű, de göb alakú testekre is, ha távolságukat a centruuk távolságával azonosnak tekintjük. Ha önkényesen definiáljuk, hogy ennyi az s súlyos töeg egysége (pl. azt ondjuk, hogy 1 liter víz súlyos töegét tekintjük egységnyinek, és ezt az egységet 1 kg-nak nevezzük, akkor az egységnyi töegek között eghatározott távolságban fellépő erőt egérve, kiszáítható a γ arányossági tényező egysége és nagysága (ezt a érést először Cavendish 1 végezte el. A jelenleg használt kg-definíció esetén a 11 érések szerint γ = 6,67 10 N / kg. A tapasztalat szerint a öld felszínéhez közel a testekre ható gravitációs erő jó közelítéssel g = g alakban adható eg, ahol g egy adott helyen inden testre ugyanaz az érték. (Megjegyezzük, hogy egy test adott helyen ért súlya ne pontosan a gravitációs erővel egyenlő, ert a öld forgása iatt fellépő ún. centrifugális erő ezt kissé ódosítja. Ezzel később foglalkozunk. ******************* ********************** ******************** Az g = g összefüggés a gravitációs törvénnyel összhangban van. A öld (M és a test ( között fellépő erő a gravitációs törvény alapján (a öldet göbnek tekintve, és a töegét a középpontban elképzelve M g = γ, ( R + h ahol R a öld sugara, h a testnek a öld felszínétől ért agassága. Ha a test a felszín közelében van, akkor R + h R, tehát a gravitációs erő az g = γ M R 1 Henry CAVENDISH ( angol fizikus, kéikus, csillagász

11 TÓTH A.: Pontdinaika (kibővített óravázlat 11 M alakba írható. A g ennyiséget ezek szerint közelítőleg a g γ összefüggés adja eg, ai csak a R öld adataitól és a gravitációs állandótól függ (az adatok behelyettesítésével 9,81 /s értéket kapunk. ******************** ********************** ******************* A testekre ható erő ( a testeket gyorsítja (a, és ennek alapján bevezettük a tehetetlen töeget az t = összefüggéssel. Ez a töeg adott anyagú test esetén a szintén a térfogattal arányosnak utatkozik. elerül a kérdés, hogy a két teljesen különböző ódon bevezetett töeg azonos vagy különböző. A közelítő vizsgálat alapján a két töeg azonosnak látszik, ugyanis a tapasztalat szerint a öldön a gravitációs erő által gyorsított test gyorsulása (a g ne függ a test anyagától és éretétől, és ugyanaz a g érték, int ait a testre ható gravitációs erő éréséből kapunk: g = sg illetve g = tag t g. Ennek egfelelően s sg t g 1. t A kérdés azonban elvi jelentőségű, ezért pontos vizsgálatnak is alávetették. Az első kooly érést ezzel kapcsolatban Eötvös Loránd 1 végezte el, és nagy pontossággal egállapította a súlyos és tehetetlen töeg azonosságát: a kétféle töeg hányadosa a érési hiba figyelebe vételével csak a 9-edik tizedes jegyben térhet el az 1-től. Elektrosztatikus kölcsönhatás Egyáshoz képest nyugaloban lévő, elektroosan töltött testek között a töltésük iatt fellép egy ún. elektrosztatikus kölcsönhatás, aelynek eredényeként a két test között vonzó vagy taszító erő lép fel, attól függően, hogy töltésük ellentétes- vagy azonos előjelű. A Coulob által egállapított törvény szerint két pontszerűnek tekinthető töltés között fellépő erő nagysága: Q1Q elszt = Ke, r ahol Q 1 és Q a töltések nagysága, K e a töltés egységétől függő állandó, r pedig a töltések közötti távolság. A törvény forailag egegyezik a gravitációs kölcsönhatást leíró törvénnyel, ezért a kétféle kölcsönhatás között száos analógia áll fenn. A töltés 9 jelenleg használatos egysége (1 C=1 As esetén az állandó = 9 10 N / C. A ozgás leírása az erő iseretében Ha iserjük a töegpontra ható erőket, akkor a ozgásegyenlet segítségével eghatározhatjuk a töegpont gyorsulását: eredő ( t a ( t =. A gyorsulásból a korábban egisert ódon kiszáíthatjuk a töegpont sebességének és helyvektorának időfüggését integrálás integrálás a(t v(t r(t K e 1 EÖTVÖS Loránd ( agyar fizikus Charles Auguste COULOMB ( francia fizikus, hadérnök

12 TÓTH A.: Pontdinaika (kibővített óravázlat 1 Ezt az eljárást a ozgásegyenlet egoldásának vagy a ozgásegyenlet integrálásának nevezzük, ainek során ha iserjük a kezdeti feltételeket eljutunk a ozgás teljes leírásához. Példaként vizsgáljunk eg, néhány ozgást, aelyet isert erőhatás okoz. Ezekben az esetekben a valóságban többnyire ne pontszerű testek ozgásáról van szó. Később látni fogjuk, hogy bizonyos esetekben (haladó ozgás a kiterjedt testek ozgása is leírható a töegpontra vonatkozó összefüggésekkel. Az alábbiakban indig azt tételezzük fel, hogy ez az egyszerűsítés alkalazható. Mozgás állandó erő hatására ( t Ilyenkor ( t = = állandó, tehát a ( t = = = a = állandó, aiből a sebesség és a helyvektor időfüggése a ár isert ódon kapható eg. Ilyen erő lép fel a öld felszínéhez közeli testekre, aely függőlegesen lefelé hat, és nagysága = g. Mozgás súrlódással A csúszó testek ozgását a fentiek alapján egyszerűen leírhatjuk. Mivel a csúszási súrlódási erő indig a testnek a felülethez viszonyított sebességével ellentétes irányú, az x-tengely entén súrlódva ozgó, töegű test ozgásegyenlete N nagyságú nyoóerő esetén x = μ N = a x. Itt a testre ható x-irányú állandó erő (ábra. Eszerint μn a x = = állandó, aiből a sebesség és a helykoordináta időfüggése a ár isert ódon egkapható. Az N erőt indig a konkrét körülények határozzák eg. yakori eset, hogy érintkezési felületre erőleges koponense csak a nehézségi erőnek van, ilyenkor a nyoóerő éppen ez a koponens lesz. Vízszintes érintkezési síknál (ábra ezért N = g, így a N ozgás gyorsulás: S a x = μg. x - Lejtőn ozgó test esetén a helyzet annyival N bonyolultabb, hogy ekkor a felületeket összenyoó erő nagysága ne azonos a nehézségi erővel (ábra. A test y-irányban ne ozog, tehát az e eredő erő y-koponensére a ozgásegyenlet alapján fennáll, hogy ey = N N = a y = 0, így y N = N = cosα = g cosα. N A ozgásegyenlet x-koponense pedig s ex = T s = a x vagyis T N g sinα s = a x. α x igyelebe véve a súrlódási erőre vonatkozó összefüggést és a nyoóerőre kapott kifejezést, a gyorsulás x-koponense = g(sinα μ cosα. a x

13 TÓTH A.: Pontdinaika (kibővített óravázlat 13 Mozgás közegellenállással Vizsgáljuk eg ost azt, hogy egy levegőben közegellenállással ozgó, szabadon eső test sebessége hogyan változik az időben. A közegellenállás ne túl nagy sebességeknél arányos a test sebességével és azzal ellentétes irányú: ke = kv. A ozgás függőleges egyenes entén zajlik, így a koordinátarendszerünk z-tengelyét függőlegesen lefelé irányítva a ozgásegyenlet: a z = g kv z. Az egyenletből világosan látszik, hogy a test sebessége ne érhet el akárekkora értéket, hiszen egy idő után a növekvő sebesség iatt a fékező erő nagysága eléri az állandó nehézségi erő értékét. Ekkor az eredő erő nulla lesz, a test ne gyorsul tovább: a z = 0. Ekkor a ozgásegyenlet a 0 = g kvz alakot ölti, aiből az állandósult g sebesség egkapható: v áll z =. (Ez a probléa ún. asziptotikus egoldása. k ******************* ************************ ********************* A ozgásegyenlet egoldásával terészetesen ne csak a végsebesség, hane a sebesség (illetve a z- koordináta időfüggése is egkapható. Ehhez írjuk át az egyenletet az alábbi ódon: dvz = g kvz, dt dvz k = g vz, dt dvz = dt. k g vz Ez az egyenlet (ai egy ún. szétválasztható differenciálegyenlet a két oldal integrálásával könnyen egoldható. Szabadesést feltételezve ( v 0 = 0, a végeredény: g k v z ( t = 1 exp t. k g A sebesség a t >> esetben egy állandósult v z ( = értékhez tart. k k ******************* ******************* ******************* Mozgás gravitációs erő hatása alatt A gravitációs kölcsönhatás iseretében leírhatjuk egy töegnek ( egy ásik töeg (M jelenlétében történő ozgását. Ennek tipikus példája a bolygók Nap körüli ozgása. Mivel a Nap töege (M sokkal nagyobb, int a bolygóé (, a probléa úgy tárgyalható, intha a Nap ne ozogna. Ekkor a bolygó Naphoz viszonyított helyét egadó r helyvektorra felírható az d r M r = γ dt r r ozgásegyenlet, aelyből a bolygó pályája, keringési ideje és a Kepler által r egállapított törvényszerűségek levezethetők (itt a Naptól a bolygó felé utató r egységvektor.

14 TÓTH A.: Pontdinaika (kibővített óravázlat 14 A öld felszínéhez közel a gravitációs erő függőlegesen lefelé ható, állandó erő, aelynek nagyságát közelítőleg az isert, =g összefüggés adja eg. A ozgásegyenlet ilyenkor a =. Ha a koordinátarendszert úgy választjuk eg, hogy a z-tengely függőlegesen lefelé utat, akkor az egyenletben szereplő erő-vektor koponensei: ( 0,0, g. Így a gyorsulásra az a ( 0 0,, g eredény adódik, aiből a kezdősebesség iseretében a ár tárgyalt hajítások egyenleteit kapjuk. Isert ozgást létrehozó erő eghatározása a ozgásegyenlet alapján Előfordul, hogy a ozgást agát ár iserjük (pl. állandó gyorsulású ozgás, körozgás, rezgőozgás, és kíváncsiak vagyunk, hogy ilyen ozgás létrehozásához ilyen erőre van szükség. Állandó gyorsulású ozgás Ha a gyorsulás állandó, akkor az e = a ozgásegyenlet alapján az eredő erőnek is időben állandónak kell lennie, vagyis ilyen ozgást e =állandó erő hoz létre. Körozgás dv A körozgás esetén a pálya egy adott helyén egy érintő irányú a T = u T és egy dt centru felé utató a N = rω u N gyorsuláskoponens lép fel. yorsuló körozgás létrehozásához tehát a töegpontra az adott helyen egy érintő irányú dv T = at = ut és egy centru felé utató N = a N = rω u N dt erőkoponens szükséges. Utóbbi, a körpálya középpontja felé utató erőt v centripetális erőnek ( cp nevezik. Ennek nagysága cp = N = rω =. Ha a r sebesség nagysága ne változik (egyenletes körozgás, akkor a körozgás egyedül az állandó nagyságú (de változó irányú! centripetális erő hatására alakul ki. Ez az az erő, aely a körpályán való haladáshoz szükséges irányváltozást létrehozza. Haronikus rezgőozgás Egy egyenes (pl. az x-tengely entén haronikus rezgőozgást végző töegpontnál a helyvektor időfüggése definíció szerint: x ( t = Acos( ω t + α, aiből a gyorsulásra azt kapjuk, hogy a = ω x. A ozgásegyenlet alapján tehát ilyen ozgást x = a x x = ω x = Dx alakú erő hoz létre (itt bevezettük a D = ω jelölést. Ez az erő a kitéréssel arányos és indig azzal ellentétes irányú (tehát az egyensúlyi helyzet felé utat.