Fizikai mérmódszerek jegyzet

Átírás

1 Fzka mérmódszerek jegyzet. Bevezetés Az ember léthez szorosan kötdk a környez vlág megsmerésének, alakításának célja. Az smeretszerzés tudományos módja mellett a hétköznap életben s fontos szerep jut a külvlág jelek érzékelésének, mérésének és feldolgozásának s. Általánosabban s gaz, hogy az éllények számára nélkülözhetetlen a külvlág jelenek érzékelése, az így nyert nformácó feldolgozása és ennek eredménye gyakran a külvlágra gyakorolt hatás s. Érzékszervenkkel képesek vagyunk fényntenztás, er, nyomás és sok más jel egységes, az agy által feldolgozható jellé alakítására. A fordított folyamat s létezk, hszen az agy mozgást, hmérsékletváltozást és sok más folyamatot képes rányítan. Ha például fázunk, akkor a hmérsékletet érzékeljük, mely az degrendszer számára feldolgozható kéma és elektromos folyamatokon keresztül válk az agy által s érzékelhet jellé, majd az agy az nformácó feldolgozásának eredményeképpen az zmokat elektromos mpulzusok segítségével mozgatn kezd, am által h fejldk. Amkor az ember eszközöket fejleszt k mérések elvégzésére, gépek készítésére, tulajdonképpen ugyanezt a sémát másolja le. Egy mérmszernek fontos feladata, hogy a mérend mennységet olyan formába alakítsa, mely számunkra olvasható. Egy hmérben például a hmérséklettel arányos térfogatváltozás, áram mérésekor mechanka forgatónyomaték jöhet létre. Egy gép esetén gyakran beavatkozó folyamatra s szükség lehet, hszen a gépeket az ember azért készít, hogy saját tevékenysége egy részét végeztesse el. Egyszer példa a ftésszabályozás, amkor a hmérséklet elektromos jellé alakul, így a szabályozó központ azt fogadn képes, szükség esetén h termelésére adhat utasítást, knytja a gázszelepet, begyújtja a kazánban a lángot, elndítja a vzet kernget szvattyút.

2 Vlágosan látható, hogy egy mszer, gép hatékonyságát az érzékelés és beavatkozás mechanzmusok mellett legnkább az szabja meg, hogy a feldolgozó rész mennyre hatékony, azaz az eszköz mlyen ntellgens. A fejldés során elször gen ötletes megoldásokkal, mechanka módszerekkel készítettek gépeket, de gazán nagy lépést az elektronka megjelenése jelentett, mvel elektronkával sokféle mvelet és számítás elvégezhetvé vált. Az elektronkus eszközök tovább elnye volt, hogy a különböz fzka jeleket elég könnyen elektromos jelekké lehetett alakítan (gondoljunk csak a termoelemre, fotocellára, potencométerre). A dgtáls elektronka, és különösen a szoftvereket futtatn képes programozható dgtáls elektronka hhetetlen lendületet adott a méréstechnkának és a gépek fejldésének. Ma már az eszközök jelents része szoftver, melyet gen egyszeren kcserélhetünk és nagyon hatékonnyá tehetünk.

3 Ennek érzékeltetéseként nézzük meg, mt s tud a zsebünkben lev mobltelefon! Képes mérn hangot (leveg nyomását), elmozdulást (bllenty lenyomása), elektromágneses hullámokat, fényntenztást (fényképezhetünk s vele). A telefonba szerelt processzor felsmerhet hangunkat, nformácót tárol, számoln képes, dt mér, és még rengeteg, a számunkra nem s látható mveletet végez, másodpercenként több mllót. De a telefonunk jeleket s kelt: nformácót jelenít meg a képernyn, fényt generál, hangot (azaz légnyomásváltozást) hoz létre, mechanka rezgést produkál, és elektromágneses hullámokat s kbocsát. Mndezt egy elenyészen ks tömeg akkumlátorról táplálva...

4 . A méréselmélet szerepe, legfontosabb feladata A fentebb vázolt érzékelés, beavatkozás folyamatok tudományos módjaval foglalkozk a méréselmélet. A mérés lényegében olyan nformácószerzés, mely a valóságban zajló folyamatokról ad képet. Ennek célja sokrét lehet, a létfenntartás, komfort, technka és mszak alkalmazások mellett természetesen a tudományos megsmerés s. A természettudományok, de sok humán tudomány sem létezhetne mérések nélkül. A mérés am az objektív valóság és szubjektív vlágunk között teremt hdat általános jellege matt gen sok alapvet kérdéssel hozható kapcsolatba, a technka jelleg feladatoktól a flozófa problémák érntéség. A következkben a méréselmélet legfontosabb feladata közül sorolunk fel néhányat... A mérés feltételrendszere A méréselmélet fontos feladata tsztázn, hogy a mérés mlyen körülmények között ad megbízható eredményt. Ha megvzsgáljuk a fzka és természettudományos törvények érvényességét, gen gyakran azt találjuk, hogy a törvény korlátozott érvényesség és korlátozott pontossággal teljesül. Gondolhatunk például a klasszkus ewton-féle törvényekre, melyekrl kderült, hogy nagyobb sebességek mellett már relatvsztkus korrekcóra szorulnak. Ugyanakkor senknek sem jut eszébe, hogy például egy járm mozgásának leírásánál relatvsztkus korrekcókat használjon. Ez szorosan kötdk a méréselmélethez s, hszen a mérést egy fzka modell, fzka törvény alapján végezzük el, am tehát az érvényesség kört korlátozhatja. Tegyük fel például, hogy ellenállást szeretnénk mérn. Ehhez felhasználhatjuk az Ohm-törvényt, így megfelel áramot átvezetve a mntán feszültséget mérhetünk, majd az ellenállást a feszültség és áram hányadosából kszámítjuk. A mérés eredmény ersen épül egy fzka törvényre, melynek érvényessége kérdéses lehet, hszen az áram az ellenálláson Joule-ht fejleszt, am a mntát melegít, az ellenállás pedg valamennyre mndg hmérsékletfügg. A méréselmélet az lyen jelleg problémák esetén gen szorosan kapcsolódk más természettudományokhoz, melyek feladata modelleket megadn, fejleszten és érvényesség köröket tsztázn. Gyakran elfordulhat az s, hogy egy kísérlet során egy bzonyos vzsgálandó q mennység függ az x,y,z más mennységektl. Ha az x-tl való függést szeretnénk vzsgáln, akkor az y,z mennységeket állandó értéken kell tartanunk. A legtöbb fzka mennység például függ a hmérséklettl, ezért ha nem a hmérsékletfüggést mérjük, akkor a hmérsékletet állandó értéken kell tartanunk. Emellett a kísérlet kmenetele függhet az dtl, anyag mnség változásatól (kéma folyamatok, öregedés), a földrajz helytl, és még sok mástól s... A mérés pontosság becslése A mérés pontosságot számos tényez befolyásolja. Egyrészt kérdéses, hogy a mérés alapjául szolgáló fzka törvény mlyen pontossággal teljesül, és általában persze nem éles a törvény érvényesség határa sem. Emellett azt s vzsgálnunk kell, hogy mennyre tudjuk garantáln a nem kívánt hatások kszrését, például a hmérsékletvagy dfüggés hatását. A pontosság becslése technka problémákat s felvet, a mérmszer tulajdonsága természetesen alapveten fontosak ebbl a szempontból.

5 .3. Állandók, etalonok defnálása Egy mérés során az smeretlen mennységet mndg egy jól smert, állandónak gondolt mennységgel hasonlítjuk össze. Természetesen a mérés során ennek az állandónak valamlyen formában jelen kell lenne, hszen a mszer másképp nem tudná meghatározn a kérdéses arányt. A méréshez használt referencának deálsan dtl, hmérséklettl, földrajz helytl függetlenül állandónak és ugyanolyannak kell lenne. Mvel több mérmszerre van szükségünk, a könnyen és megbízhatóan reprodulkálható referenca alapkövetelmény. A mérésekhez használt, nemzetközleg elfogadott alapvet etalonok, állandók hét különböz részre bonthatók és két kegészít állandót s defnálhatunk. Ezek a következk Tömeg. A klogramm a Francaországban rzött 90% platna, 0% rdum ötvözet tömegével defnált egység. Az etalon másolata több országban s megtalálható. Hosszúság. A méter defnícó szernt az hosszúság, melyet a fény vákuumban / másodperc alatt tesz meg. Id. A másodperc defnícója szernt az az d, am a cézum atom pontosan defnált körülmények között oszcllácós peródusdejének szerese. Áram. Az amper az az állandó áram, mely ha két egyenes, vákuumban lev, végtelen hosszú, egymástól párhuzamosan méterre lev elhanyagolható körkeresztmetszet vezetn át folyk, akkor a fellép er méterenként 0-7. Hmérséklet. A kelvn úgy defnált, hogy a víz hármaspontjánál a hmérséklet értéke 73.6K. A hármaspontnál a víz három különböz halmazállapota egyensúlyban jelenk meg. Fényntenztás. Egy candela fényntenztás esetén az Hz frekvencájú monokromatkus fény egy adott rányban egységny szteradán térszögbe sugárzott teljesítménye /683 Watt. Anyagmennység. Egy mól anyag defnícó szernt anny azonos elem részt tartalmaz, mnt ahány atom található 0.0kg szén -es zotópban. A kegészít állandók: Síkszög. A radán a kör két sugara által bezárt szög, melyek a körbl éppen egy sugárny ívet jelölnek k. Térszög. A szteradán annak a kúpnak a térszöge, melynek a csúcsát a gömb középpontjába helyezve a gömb felületébl éppen a sugár négyzetével egyenl területet jelöl k a gömb felszínén. A több fzka mennység egysége vsszavezethet ezekre az egységekre. Az ellenállás etalonjaként használt mangán tekercsnél használjuk például a hosszúság, tömeg, d és áram alapvet etalonokat..4. Mérés módszerek megadása, fejlesztése Egy mérés konkrét kvtelezésének gyakorlat és elmélet kérdése s felmerülnek. A teljessé génye nélkül felsorolunk néhányat ezek közül. Technka problémák közé tartozk a méréshez szükséges d és ráfordítások csökkentése, a pontosság gazdaságos növelése, a mszer realzálásának egyszersítése. Fontos a zajok, zavarok szrése, melyek a véletlenszer küls és bels folyamatok hatására óhatatlanul megjelennek. Megjegyezzük, hogy a véletlenszer jelek nformácóforrást s jelenthetnek, például ha a vzsgált rendszer mködésével függenek össze. Szntén gyakorlatas probléma megtaláln az optmáls mérés

6 eljárást, am a mérés pontosság, gazdaságosság és más szempontok megfelel kompromsszuma alapján adható meg. Elv probléma annak tsztázása, hogy a használt fzka modell érvényes-e a vzsgált esetben. Használhatjuk-e például az Ohm-törvényt ellenállásmérésre bzonyos áramok, bzonyos anyagok esetén? Van-e a fzka mennységnek úgynevezett egzakt értéke? Elég, ha csak a határozatlanság relácóra gondolunk, mely kmondja, hogy elvleg sem mérhet tetszleges pontossággal egy részecske mpulzusa és helye egyszerre. Ez s aláhúzza, hogy a véletlenszerség a természet folyamatanak alapvet sajátossága, mellyel mndg számolnunk kell, mérésenket mndg fogja valamlyen véletlenszer hba terheln..5. Mérés adatok, nformácó feldolgozása, kértékelése, értelmezése A mérés során nyert adatok feldolgozása szntén fontos feladat, hszen az nformácó ez alapján jut el a felhasználóhoz. A feldolgozásnak lényeges alapja az elmélet modell, melynek érvényessége befolyásolja

7 3. A mérberendezés felépítése A mérberendezés általános felépítése bár sokszor nehezen húzható meg éles határ három f részre bontható, melyek sok tovább komponenst s tartalmazhatnak. A következ ábra ezt szemléltet. Az érzékel elem a mérend jelet olyan formába általában egy másfajta fzka jellé alakítja, mely lehetséget ad arra, hogy a mérláncban szerepl tovább egységek kezeln tudják. Például hmérséklet mérésekor a mszerben a hmérséklettl függen gyakran hosszváltozás, térfogatváltozás esetleg elektromos ellenállás változás jön létre, melyet már a mszer képes felhasználn a kjelzésre. Az érzékelés után fázs a jelkondconálás, mely a jelet tulajdonképpen mnségleg mnségleg javítja és elkészít kjelzésre vagy feldolgozásra. A jel tovább konverzója s szükséges lehet, gondoljunk például arra az esetre, amkor az érzékel elem kmenet jele elektromos ellenállás, amt célszer rajta átbocsátott áram segítségével feszültséggé alakítan, melyet már könny kezeln. Jelfeldolgozás funkcók közé tartozk a jel ersítése, szrése s, hszen az érzékel elem után a jel kcs lehet és tartalmazhat számos zavaró komponenst s. Dgtáls mérmszereknél a jeleket emellett számokká kell alakítan, melyet a tovább dgtáls elektronka kezeln tud ezt a feladatot végz el az úgynevezett analóg-dgtál konverter (rövden A/D konverter). A kjelzés és feldolgozás rész rendkívül sokféle, nagyon egyszer és nagyon bonyolult s lehet. Példaként vehetjük a hganyos hmért, ahol a kjelz egy egyszer skála, a Deprez-mszert, ahol a kjelzést egy skála és egy vékony mutató végz el, ugyanakkor gondolhatunk egy dgtáls bolt mérlegre, amnek kjelzjén a mért tömeg mellett a kszámított ár és a vonalkód s megjelenk, vagy az ultrahangos orvos mszerre s, ahol egy komoly számítógépes feldolgozás eredményeképp a montoron d függvényében nyomon követhetjük a szervezetben zajló folyamatokat grafkus formában. A modern dgtáls mszereknél a jelfeldolgozás és kjelzés funkcók gyakran nem s választhatók szét élesen. A feldolgozó egység a kjelzésen, megjelenítésen kívül rendkívül sok matematka számítást, konverzót végezhet el, a mérés kértékelés funkcót s tartalmazhatja gondoljunk csak az utóbb említett ultrahangos mszerre. Egy mérmszer mnségét természetesen az egyes funkcókat végz részegységek teljesítménye együttesen határozza meg, de a hatékonyságot legnkább a feldolgozó egység szabja meg, am ma már a legtöbb esetben dgtáls, st, programozható azaz szoftvereket futtató ntellgens egységekbl épül fel.

8 4. A mérmszerek, mérrendszerek legfontosabb jellemz A következkben a mérmszerek és mérrendszerek néhány fontos tulajdonságát tekntjük át, melyek a mérés pontosságát, a reáls mködésbl fakadó különböz lehetséges hbákat és más paramétereket érntk. Pontosság. A mérmszer pontossága az maxmáls érték, amennyvel a kjelzett érték eltérhet a valód értéktl. Ez az érték függhet magától az értéktl s, néha abszolút, néha relatív módon adjuk meg. Például a hosszúságmérés pontossága m-es méréshatár esetén megadható mm-el, de 0,0 vagy % formában s. Felbontás. A felbontás az a legksebb változás a mérend mennységben, melyet a mszer még követn képes. Fontos, hogy ne keverjük össze a felbontást a pontossággal, különösen azért, mvel a gyakorlatban eléggé elterjedt az a helytelen szokás, hogy a pontosság szót használják a felbontás helyett. Például egy dgtáls hmér kjelezhet a mért adatot 0,K felbontással, ez azonban nem jelent azt, hogy a mérés pontossága s 0,K. ullponthba. Az a hba (a valód és mért érték különbsége) mely a mért értéktl függetlenül mndg ugyanakkora. Ez azonos azzal az értékkel, amt a mszer jelez 0 valód értéknél. Skálahba. Ideáls esetben a valós és mért érték hányadosa éppen lenne. A gyakorlatban ez az érték kcst különbözk -tl, ezt a hbát nevezzük skálahbának. Ez a hba annál nagyobb, mnél nagyobb a mért érték.

9 Lneartáshba. Ideáls esetben a valód és mért érték egymás lneárs függvénye. Reáls esetekben ettl eltér összefüggés gaz, amt lneartáshbának, vagy nemlneartásnak nevezünk. Hszterézs. Ha a mérend mennység a növekszk, majd csökken, a mszernek ugyanolyan értékeket kellene mutatna mndkét rány esetén. Reáls esetekben a mérés hba függhet attól, hogy a mért mennység a mérés során növekedett vagy csökkent, ezt hszterézshbának nevezzük. Mechankus kjelzés mszerben lyen jelleg hbát okoz a súrlódás.

10 Reprodukálhatóság. A mérmszernek azonos értékre mndg azonos értéket kellene mutatna. Az mszer hbája (nullhba, skálahba, stb.) azonban dben változhat, amnek következtében ez nem pontosan teljesül. Reagálás d. Ha a mért mennység megváltozk, egy bzonyos d szükséges ahhoz, hogy a mért érték ezt kövesse. Ezt az dt reagálás dnek nevezzük. Sávszélesség. A sávszélesség defnálásához sznuszosan változó mérend jelet feltételezünk. A sávszélesség az a frekvencasáv, amn belül a mért jel ampltudója a maxmáls mért ampltúdóhoz képes nem ksebb, mnt a maxmáls ampltúdó -ed log /. része, azaz a változás mértéke -3dB ( ( ) 0 0 A fentekben megadott jellemzk mellett még sok más paraméter s megadható, melyeket a megadott szakrodalmak részletesebben tárgyalnak.

11 5. Determnsztkus és véletlenszer mérés hbák A méréseket mndg hba terhel, azaz a mért érték eltér a valód értéktl. A mérés hbákat két csoportba soroljuk, a determnsztkus és véletlenszer vagy statsztkus hbák csoportjába. A determnsztkus hbák közé tartozk például az elzekben tárgyalt nullponthba, skálahba s. A determnsztkus hba elvleg mndg meghatározott, nagysága és eljele s meghatározható, így ez a hba kompenzálható s ezt az eljárást kalbrálásnak hívják. A hba oka a mérmszer tökéletlenségében keresend. A véletlenszer hba teljesen más természet. Ez a hba mnden egyes mérésnél más és más érték, sem a nagyságát sem az eljelét nem lehet elre kszámítan, így ez a hba nem kompenzálható semmlyen módon. A véletlenszer hbák egyk f oka az dben véletlenszeren változó küls zavarjelek jelenléte, melyek a mérmszer mködését befolyásolják, elssorban elektromágneses vagy mechankus hatásuk útján. Egy másk lehetséges ok magában a mszerben lev számos komponens mködése során fellép véletlen jelek keletkezése. Sznte mnden fzka folyamat során számolnunk kell a véletlenszer vselkedéssel, melynek legjobb példája talán a kvantummechanka, ahol eleve csak valószínség kjelentéseket szokás tenn. A fentekbl s látszk, hogy a véletlenszer hbák kezelése gen fontos, mvel alapveten befolyásolhatják a mérés pontosságát. A hba nagyságának becsléséhez a valószínségszámítás ad segítséget, melynek néhány fontosabb elemét áttekntjük a következkben. Ha egy mennység véletlenszeren ngadozk, akkor értékét többször mérve különböz adatokat kapunk.

12 6. A mérés eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérend fzka mennység valód értékétl. Alapveten kétféle mérés hbát különböztetünk meg: a determnsztkus és a véletlenszer hbát. A determnsztkus hba melyet általában a mérmszer torzítása okoz - nagysága elvleg meghatározható, ezért ezt a hbafajtát sok esetben korrgálhatjuk. Egészen más a helyzet a statsztkus hba esetén, amkor a hba véletlenszer, tehát nagyságát, de még eljelét sem tudjuk megjósoln. Mvel a determnsztkus hba kompenzálható, ezért a következkben a statsztkus hba kezelésével foglalkozunk. A mérés eredmény a mérés adatok és a hba nagyságának smeretében adható meg, a hba smerete nélkül a mérés adat önmagában elégtelen nformácót ad. Statsztkus hba esetén a mérés hbájához csak valószínség értelmezést adhatunk, tehát azt mondjuk, hogy a valód érték - amt az <x> várhatóértékkel azonosítunk - adott valószínséggel esk az úgynevezett megbízhatóság, úgynevezett konfdenca ntervallumba: < x >= x ± x (.) Itt x a mért adat, x pedg a statsztkus hba. Megjegyezzük, hogy x értéke természetesen függ attól, hogy mekkora valószínséggel tartalmazza a valód értéket a fent ntervallum. A következkben megmutatjuk, hogyan adhatjuk meg a mérés eredményt a legfontosabb esetekben. A véletlenszer ngadozások mértékét a szórással jellemezzük és így a mérés eredmény statsztkus hbájának megadásához s a szórást használjuk fel. A mérés eredmények megadásakor két alapvet esetet különböztetünk meg A szórás értéke smert Ez az eset gyakran elfordul, amkor a mérmszer okozza a statsztkus hbát, és a mszer gyártója a szórást az adatlapban megadja. A mérés eredmény megadása ekkor a következ alakú: < x >= x ± λσ (.) Itt x a mért adat, pedg az elírt valószínségtl függ szám. értékét általános esetben a Csebsev-egyenltlenségbl adjuk meg, mely szernt annak a valószínsége, hogy <x>-x <, nagyobb mnt -/. Tehát annak a valószínsége, hogy az <x> várható érték a mért érték körül sugarú ntervallumban helyezkedk el nagyobb, mnt -/ : P ( < x > x < λσ ) (3.) λ Általában természetesen a p valószínség, vagy az =-p szgnfkancasznt értékét adjuk meg elre és ebbl számítjuk k -t. Például:

13 p = 0.95 p = λ λ = = 0 p Ha tudjuk, hogy a statsztkus ngadozás normáls eloszlású, akkor értékét a következ összefüggés adja meg: + = p λ F (5.) ahol F - a [0,] paraméter normáls eloszlás eloszlásfüggvényének nverze. Egyszeren juthatunk ehhez az összefüggéshez, ha észrevesszük, hogy < x > x p = P( < x > x < λσ ) = P < λ = λ σ (6.) λ x = e dx = F( λ) π λ Tudjuk, hogy az <x> várhatóértéket jobban közelít a több mért adatból kszámított középérték, mely a következ formulával adható meg: x = x (7.) = Természetesen az mért adatból számított középérték s egy véletlenszeren ngadozó mennység, melynek várható értéke szntén <x>, szórása vszont az eredet szórás -ed része. Ebbl következen a mérés eredmény megadása több mért adat esetén a következ alakú: λσ < x >= x ± (8.) Látható tehát, hogy azonos szgnfkancasznt mellett több mérés adat középértékének kszámításával csökkenthet a mérés statsztka hbája. (4.) 6... A szórás értéke smeretlen Ha a szórás értékét nem smerjük, akkor az eddgek szernt nem s adhatnánk meg a mérés eredményt, mvel nem tudjuk megadn a statsztkus hbát. Ebben az esetben a szórás szerepét a korrgált emprkus szórás vesz át, melyet az x mért adatokból számítunk k a következ formulával: ( x - x ) = x - x * σ = - = - = = (9.) Ha az x fzka mennység normáls eloszlású, akkor az < x > x * σ (0.) mennység t-eloszlású =- szabadság fokkal. Ekkor helyett t - -et használva kapjuk, hogy:

14 p = P t t p * ( < x > x < t σ ) t, ( t ) ( x) dx = Ft, < x > x = P < t * σ = (.) ahol p t,- (x) és F t,- (x) az - szabadság fokú t-eloszlás valószínség srséglletve eloszlásfüggvénye. Innen kapjuk t - értékét: + = p t Ft, (.) A mérés eredmény megadása tehát: * t σ x = x ± (3.) Vegyük észre, hogy a korrgált emprkus szórás defnícójából következen nem adhatjuk meg a mérés eredményt egyetlen mért adat esetén, mert nullával kellene osztanunk. Ez a tény s jól mutatja, hogy ha a szórás smeretlen, egyetlen mért adattal nem adható meg a mérés eredménye. A következkben összefoglaljuk a mérés eredmény megadását az elzekben tárgyalt esetekre. Ha a szórás smert, és egy mért adatunk van: < x >= x ± λσ (4.) Ha a szórás smert, és mért adatunk van: λσ < x >= x ± (5.) Ha a szórás smeretlen és > mért adatunk van: * t σ < x >= x ± (6.) Megjegyzés: a kszámolt hbát két vagy három értékes jegyre kell kerekíten, és a középértéket s ugyananny tzedes jegy pontossággal kell feltüntetn. A következ táblázatok segítséget adnak és t - értékenek meghatározásához normáls eloszlású, véletlenszer mérés hba esetére. I. Táblázat: értéke a p valószínség lletve =-p szgnfkancasznt függvényében normáls eloszlás esetére p II. Táblázat: t - értéke a p valószínség lletve =-p szgnfkancasznt és az mérés adatok száma, lletve =- szabadság fok függvényében t-eloszlás esetére

15 p=0.9 =0. p=0.95 =0.05 p=0.99 =0.0 p=0.995 =0.005 p=0.999 = Példák. Tömegmérés mérés adata: m=.kg A szórás smert, értéke =0.07kg Adjuk meg az =0.0 szgnfkancasznthez tartozó mérés eredményt! p=-=0.99 =.5764 m=*=.5764*0.07kg= kg0.044kg m =.00kg ± kg (7.). Az elz feladatban megadott feltételek mellett hány mérés adatot kell gyjtenünk ahhoz, hogy a mérés hbája 0.0kg alá csökkenjen? m<0.0kg / <0.0kg >( /0.0) (8.) 3. Egy mérést többször elvégezve kaptuk: R =7.0 R =7.9 R 3 =7.9 R 4 =7.

16 R 5 =7.3. Adjuk meg az =0.05 szgnfkancasznthez tartozó mérés eredményt! A középérték: R = 7. 06Ω * A korrgált emprkus szórás: σ = Ω =0.05, =5 (=4), így t - = A hba értéke t σ * Ω R = 7.06 ± 0. 03Ω (9.)

17 7. A mérés eredmény megadása közvetett mérés esetén. A mérés hba terjedése Ha egy fzka mennység függ más fzka mennységektl, azaz q=q(x,y,...), akkor x,y,... mérésével q mérés eredménye s megadható. Ha az x,y,... mennységeket kcs hbával mértük, akkor jó közelítéssel gaz, hogy q q q = x + y +... (0.) x x= x,y= y,... y x= x,y= y,... és q = q( x, y,...) (.) ahol a felülvonás a középértéket jelöl. Mvel a szórásnégyzetekre teljesül, hogy σ így a mérés hbára adódk, hogy q = q q q = σ x + y x x= x,y= y,... y x= x,y= y,... q x x= x,y= y,... q x + y x= x,y= y,... σ +... y +... (.) (3.) Ez a képlet alkalmas arra, hogy az x,y,... fzka mennységek középértékének és hbának smeretében meghatározzuk a származtatott q mennység középértékét és hbáját. Egyváltozós függvény esetén a származtatott mennység hbáját megadó formula a következképpen egyszersödk: dq q = x (4.) dx x= x Példa: m=3.kg±0.05kg v=7.3m/s±0.m/s E= mv E=? E = mv = J J (5.) E v E = = mv m v (6.) E = v m + m v v = 7.3 = ( ) J Az E knetkus energa mérés eredménye tehát: 4 J = (7.)

18 E = 85.76J ±. 9J (8.)

19 8. A legksebb négyzetek módszere A mérések elvégzése során gyakran elfordul, hogy két vagy több egymástól függ fzka mennységet mérünk meg. Tegyük fel például, hogy megmértük az y és x mennységeket, amelyek között a következ függvénykapcsolat van: y = f(x,a,b,...), (9.) ahol a,b,... smeretlen paraméterek. Hogyan határozhatók meg ezek a paraméterek? Mvel az y és x mérések során kapott értékek mérés hbával terheltek, ezért nem tudunk olyan a,b,... paramétereket választan, hogy a kapott függvény tökéletesen lleszkedjen a mérés pontokra. Találnunk kell tehát egy feltételt, amnek teljesülése esetén kapott paraméterekkel a legjobbnak ítéljük meg a görbe mérés pontokra való lleszkedését. A paraméterek meghatározására az egyk legegyszerbb és leggyakrabban alkalmazott eljárás a legksebb négyzetek módszere. A legksebb négyzetek módszere szernt az lleszkedés akkor a legjobb, ha S(a, b,...) = [ y f(,a,b,...)] = mn. (30.) = Itt a mérés adatpárok száma, x és y a mérések során kapott értékek. A paramétereket tehát úgy kell meghatároznunk, hogy a (3) egyenletben szerepl négyzetösszeg mnmáls legyen. A (3) egyenlet megoldása általános esetben gen bonyolult szélsérték keresés problémához vezet. Sok esetre léteznek kdolgozott elmélet és numerkus módszerek. Ezek közül az egyk legegyszerbb és legfontosabb esetet, az egyenes llesztést smertetjük. Ebben az esetben az f függvény alakja a következ: y = a x + b (3.) így tehát olyan a és b paramétereket kell keresnünk, hogy a S(a, b) x = [ y (a + b) ] (3.) = négyzetösszeg mnmáls legyen. A szélsérték helyén az S(a,b) összeg a és b szernt parcáls dfferencálhányadosa nulla értéket vesz fel, így jutunk a következ egyenletekhez: S( a, b) = [ y ( a x + b) ]( x ) a = (33.) S( a, b) = [ y ( a x + b) ]( ) b = (34.) Ebbl a két egyenletbl már kfejezhet a és b értéke: b = y a (35.) a = = x x y x x y (36.) x x = ahol a felülvonás a középértéket jelöl. Az lleszkedés mnségét szokás az úgynevezett korrelácós együtthatóval vagy annak négyzetével jellemezn, melynek defnícója a következ:

20 R = = ( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y ) = = (37.) R értéke 0 és között található. Tökéletes lleszkedés esetén értéke, és mnél ksebb a pontok szórása, értéke annál közelebb esk -hez. Fontos megkülönböztetnünk azt az esetet, amkor tudjuk, hogy az egyenesnek át kell menne az orgón - lyen például az Ohm-törvény esete. A b paraméter értéke ekkor azonosan zérus, és elv hbát követünk el, ha llesztés paraméterként kezeljük. A legjobb lleszkedés feltétele a következ alakú: S(a, b) Ebbl kapjuk: ds( a) = da tehát a értéke így adható meg: = [ y a )] (38.) = a = x ( y a x )( x ) = = = x y x (39.) (40.) Az egyenes llesztését ma már célszeren számítógépen elérhet adatfeldolgozó programok segítségével végezzük el. Ekkor s legyünk fgyelemmel arra, hogy az orgón átmen llesztésnél a b paraméter azonosan nulla legyen. A legksebb négyzetek módszere alapján nemlneárs llesztés s megvalósítható. Ebben az esetben gyakran súlyozott llesztés végzünk, azaz a következ mennység mnmumát keressük: S(a, b,...) = w [ y f(,a,b,...)] (4.) = A w súlyfaktorok bevezetésére általában azért van szükség, mert nemlneárs görbe széles dnamkatartománnyal rendelkezhet, így a nagyobb értékeknél néhány pont s sokkal nagyobb súllyal szerepel a négyzetösszegben, mnt ksebb y értékek esetén, így ks értékekre az lleszkedés nem lesz megfelel. Egyszer példa erre az exponencáls függvény, am gen gyakran fordul el görbellesztés feladatok során. A w súlyfaktorok megválasztása függ az llesztend görbe alakjától, általában gyakran alkalmazzák a w = / y alakot, így tehát a következ mennység mnmuma keresend: S(a, b,...) = [ y f(,a,b,...)] x (4.) = y Sajnos a nemlneárs llesztéseknél nem kapunk analtkus összefüggést a paraméterekre, így az llesztést numerkus, terácók segítségével végezzük el. Az terácóhoz meg kell adnunk a paraméterek becsült, kndulás értékét, a szükséges pontosságot, és néha még más feltételeket s, melyek segítségével elkerülhet, hogy az terácó dvergáljon. x