. feladatsor: szeparábilis és els rend lineáris dierenciálegyenletek x. Mutassuk meg, hogy y = e x e t2 dt + 3e x megoldása az alábbi dierenciálegyenletnek: y y = e x+x2. 2. Adjuk meg az y = e 3x + 2x dierenciálegyenlet általános megoldását. Adjuk meg azt a partikuláris megoldást, amely eleget tesz az y() =, y () = 2 kezdeti feltételeknek. 3. Adjuk meg az y = x y e2x 3y2 (y ) dierenciálegyenlet általános megoldását. 4. Adjuk meg az y = y 2 xy, (x, y ) dierenciálegyenlet általános megoldását. Oldjuk meg az y() = 2, y() = 3, illetve az y( ) = 3 kezdetiérték-problémákat. 5. Oldjuk meg a következ szétválasztható változójú egyenleteket: y = y2 + 4y + 9, (x, x 5) (x )(x + 5) b) y = (3x ) 5 (y 2 4y) c) y = 2y2 + 3 2xe 4x2, (y ) y 6. A rádium bomlási sebessége arányos a pillanatnyi rádiummennyiséggel. udjuk, hogy a rádium felezési ideje 6 év. A kiindulási anyag mennyiségének hány százaléka bomlik el év alatt? 7. Oldjuk meg az alábbi kezdetiérték-problémát: y x y = 6x, y() = x 2 4. + 4 8. Adjuk meg az y 2 y = x dierenciálegyenlet általános megoldását. Oldjuk meg az y() = 3, x illetve az y( e) = 3e 2 kezdetiérték-problémákat. 9. Oldjuk meg az alábbi els rend egyenleteket: y 3x 2 y = 6x 2 b) y + 2 x y =, (x ) + x2 c) y + 5 x y = ex x 4, (x ) d) y + x y = 2 x + 3 2, y() = Szétválasztható változójú a dierenciálegyenlet, ha y = f(x)g(y) alakú. Ha g sehol sem nulla, akkor ekvivalens az g(y) dy = f(x) dx integrálegyenlettel. Lineáris a dierenciálegyenlet, ha y + g(x)y = f(x) alakú. Ennek összes megoldása y iá = y há + y ip alakú, ahol y há az y + g(x)y = homogén egyenlet általános megoldása, y ip pedig az inhomogén egyenletnek egy partikuláris megoldása. y ip -t az állandó variálásával y ip = c(x)ϕ(x) alakban keressük, ahol ϕ az y + g(x)y = homogén egyenlet egy sehol sem nulla megoldása.
2. feladatsor: új változó bevezetése, iráymez, izoklínák; vektorterek, lineáris függetlenség. Oldjuk meg új változó bevezetésével az alábbi dierenciálegyenleteket. Az, b), c) esetben alkalmazzuk az u(x) = y(x), a d) esetben pedig az u(x) = x + y(x) helyettesítést: x y = 2y2 + x 2 xy c) xy = y( + ln y ln x) d) y = x + y b) x 2 y + xy = x 2 + y 2, y() = 2 2. Írjuk fel az y = e y+2 x dierenciálegyenlet izoklínáinak egyenletét, és rajzoljunk fel kett t. Van-e lokális széls értéke az P (e, ) ponton áthaladó megoldásnak a P pontban? 3. ekintsük a következ dierenciálegyenletet: y = (y 2 4)x + x. A sík mely pontjaiban párhuzamos az iránymez az y = x egyenessel? Vázoljuk ezeket a pontokat és jelöljünk be néhány vonalelemet! b) Van-e lokális széls értéke vagy inexiós pontja az (, 2) ponton átmen megoldásnak ebben a pontban? (Feltéve, hogy van ilyen megoldás.) 4. Írjuk fel az y = y 3 x 2, y() = Cauchy-feladat megoldásának másodrend aylorpolinomját az a = körül! 5. Valós vektorterek-e a következ halmazok? Ha igen, határozzuk meg a dimenziójukat, adjuk meg egy bázisukat! Adjunk meg néhány alteret bennük! egész számok b) valós számok c) a valós számpárok d) P n = maximum n-edfokú polinomok e) a legalább n-edfokú polinomok f) a folytonos függvények g) a páros függvények h) a felülr l korlátos függvények i ) a korlátos függvények j) (x, y, z) R 3 x = y 6. Lássuk be, hogy R 2 -ben bázist alkot a (2, 3), (, 2) vektorpár. Állítsuk el e két vektor lineáris kombinációjaként a következ vektorokat: (, ) b) (9, 4) c) (, ) 7. Írjuk át a következ vektorokat a [(2,, ), (,, ), (,, 2)] bázisba! (,, ) b) (,, ) c) (3,, 7) 8. Egy vektortérben a, b, c lineárisan független vektorok. Lineárisan független-e az (a + b + c), (a + 2b + 3c), (a + 4b + 5c) rendszer? A sík minden pontjához, amelyen átmegy a dierenciálegyenlet egy megoldása, illesszünk egy kis szakaszt, amely az adott ponton átmen megoldást érinti. Az így kapott R 2 R 2 függvény a d.e. iránymez je. Ha a dierenciálegyenlet y = f(x, y) alakú, akkor az (x, y ) R 2 pontban az iránymez meredeksége f(x, y ). Az izoklína azon pontok halmaza a síkon, melyekben az iránymez azonos irányba mutat. Ha a dierenciálegyenlet y = f(x, y) alakú, akkor az izoklínák egyenlete f(x, y) = K, ahol K R az iránymez kérdéses meredeksége. V altér, ha v, v 2 V esetén (v + v 2 ) V, és v V, α R esetén (αv) V is.
3. feladatsor: mátrixok, determináns, mátrixok rangja, Gauss-elimináció. Végezzük el az összes lehetséges szorzást A, B, C, A, B, C között! [ ] 2 3 4 3 2 A = B = C = 2 3 2 4 3 5 6 2 [ 2 3 4 5 6 7 8 ] 2. Számoljuk ki a következ mátrixok determinánsát: [ ] 2 2 [ ] 3 b) 4 4 5 sin α cos α c) 2 3 cos α sin α 7 8 d) 2 3 5 6 7 e) 9 5 4 4 2 3 4 3 3. Számítsuk ki a következ mátrixok rangját! [ ] 2 3 2 3 2 A = B = C = D = 7 5 2 4 5 3 5 6 2 5 5 3 6 9 [ 7 ] 2 7 5 2 9 8 E = 3 4 3 4 9 8 2 4. Számítsuk ki a következ mátrixok determinánsát, rangját, és inverzét! [ ] 2 3 4 2 3 2 A = B = 2 4 5 C = 2 2 7 5 D = 2 3 2 3 5 6 3 3 3 3 5. Legyen a = ( 2, 4), b = (4, 3, 2), c = (2, 4, 6, 8). Oldjuk meg az. feladatbeli A, B, C és D mátrixokkal az Ax = a, Bx = b, Cx = c és Dx = c egyenletrendszert. 6. Hány független vektor választható ki közülük? Mennyi a generált altér dimenziója? (2,, 6), (,, 3), (7, 7, 7) b) (, 2,, ), (2,, 2, ), (, 3, 2, ), (, 5, 2, ) Elemi sortranszformációk: ) Egy mátrix sorának beszorzása egy λ skalárral. 2) Egy mátrix egyik sorához egy másik sor λ-szorosának hozzáadása. 3) Két sor felcserélése. Elemi oszloptranszformációk: mint fent, csak oszlopokkal.
4. feladatsor: lineáris egyenletrendszerek; sajátérték, sajátvektor. Oldjuk meg az Ax = b egyenletrendszert a Gauss-eliminációval! Rang[A] =? 2 3 3 2 3 A = 4 5 b = 6 b) A = 4 4 5 b = 6 c) A = 5 6 7 b = 7 8 9 7 7 8 2. Hogyan kell α, β-t megválasztani, hogy az egyenletrendszernek ne legyen megoldása? Hát hogy végtelen sok megoldása legyen? 9 3 4 5 y + 2z = 3 x + 3y = β 2x + αy + z = 2 5 x 3. Legyen A = 3 2, b = 8, x = x 2. Hogyan válasszuk meg az α és β α 2 β x 3 paraméterek értékét úgy, hogy az Ax = b egyenletnek egyértelm megoldása legyen; végtelen sok megoldása legyen; illetve ne legyen megoldása? 4. Határozzuk meg a sajátértékeket, sajátvektorokat! [ ] 3 3 3 2 2 b) 4 2 3 c) 4 3 d) 2 2 2 5 4 2 3 4 [ ] 5 5. udjuk, hogy az A = mátrix egyik sajátvektora v a = (, ). Határozzuk meg az a paraméter értékét, a sajátértékeket, és a másik sajátvektort! 4 8 2 6 Elemi sortranszformációk: ) Egy mátrix sorának beszorzása egy λ skalárral. 2) Egy mátrix egyik sorához egy másik sor λ-szorosának hozzáadása. 3) Két sor felcserélése. Elemi oszloptranszformációk: mint fent, csak oszlopokkal. Egy A n n-es mátrixnak λ a sajátértéke, és v a λ-hoz tartozó sajátvektora, ha A(v) = λv.
5. feladatsor: Magasabbrend lineáris dierenciálegyenletek. Oldjuk meg a következ homogén lineáris állandó együtthatós egyenleteket! y 8y + 5y = b) y + 2y = c) y 8y + 6y = d) y + 4y + 3y = e) y + 25y = f) y + 2y + y = g) y + 4y + 3y = h) y (4) y = i ) y (4) y (3) = 2. Oldjuk meg az alábbi kezdetiérték-problémákat! y + 2y + 2y =, y() = 2, y () = b) y + 3y 4y =, y() = 3, y () = 4 c) y + y + 25y =, y() =, y () = 7 3. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrend valós konstans együtthatós homogén lineáris dierenciálegyenletet, melynek megoldásai az alábbi függvények! Írjuk fel a dierenciálegyenlet általános megoldását is! 2e 5x e 3x b) 6x 2 + 5e 2x c) 7x, sin 5x d) 3x 2 e 2x, e 3x e) 6 + e 3x sin x 4. Oldjuk meg a következ inhomogén lineáris, állandó együtthatós egyenleteket! y 5y + 6y = 2 sin 2x b) y 5y + 6y = 2xe x c) y 6y + 3y = 39 d) y y 2y = 3e 2x, y() = 3, y () = e) y 3y + 2y = e 3x + 4x 2 6 f) y 3y + 2y = x + e x g) y 2y + y = 6e x h) y + 8y + 25y = e 4x i ) y + 2y = 2x + 3 j) y + y = sin x 5. Oldjuk meg a következ dierenciálegyenleteket! y (4) 8y + 6y = 2x 9 b) y + y = 2 sin x cos x, y() =, y () = c) y 2y y + 2y = 2 e2x + 2 e 2x A másodrend homogén lineáris állandó együtthatós dierenciálegyenlet y +ay +by = alakú (a, b R). Ha ennek egy megoldását e λx alakban keressük, akkor ezt visszaírva az egyenletbe, az egyszer sítések után λ-ra a λ 2 + aλ + b = karakteriszitkus polinom adódik. Legyen ennek két megoldása λ és λ 2. Ekkor az általános megoldások: Ha λ, λ 2 R, λ λ 2 : y(x) = c e λx + c 2 e λ 2x (c, c 2 R). Ha λ, λ 2 R, λ = λ 2 : y(x) = c e λx + c 2 xe λ x (c, c 2 R). Ha λ, λ 2 C, λ = p + qi, λ 2 = p qi: y(x) = c e px cos qx + c 2 e px sin qx (c, c 2 R). Az n-edrendú inhomogén lineáris egyenlet y (n) + a n y (n ) +... + a y = f(x) alakú. Ekkor a megoldások y h + y p alakúak, ahol y h a homogén egyenlet általános megoldása, y p pedig az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása. Ha f(x) speciális, akkor y p -t az alábbi alakban keressük (próbafüggvény módszere): f(x) = Ke αx esetén y p = Ae αx alakú, (A R) f(x) = a m x m +... + a x + a esetén y p = B m x m +... + B x + B alakú, (B i R) f(x) = K sin αx vagy f(x) = K cos αx esetén y p = A sin αx + B cos αx alakú. (A, B R). Ha f a fenti típusú függvények összege, szorzata, akkor a kísérletez függvényeket is össze kell adni, szorozni. Ha a kísérletez függvény szerepel a homogén egyenlet megoldásai között is (küls rezonanci, akkor ez nem lesz jó. Ekkor y p -t x els olyan hatványával kell megszorozni, hogy már ne szerepeljen a homogén megoldások között.
6. feladatsor: Laplace-transzformáció. A deníció alapján számoljuk ki a következ függvények Laplace-transzformáltját: ha t = a(t) = különben ha t > c) c(t) = ha t 3 ha t [, 2] b) b(t) = különben t ha t > d) d(t) = ha t 2. Keressük meg a következ függvények Laplace-transzformáltját: 7 sin 3t b) 6t 2 + 3t 2 c) t cos 7t d) e 2t sin 3t 3. * Keressük meg a következ függvények Laplace-transzformáltját: te t cos 4t b) t 2 sin 5t 4. Számoljuk ki a következ függvények inverz Laplace-transzformáltját: 3 s + s 5 7 e) 3 s 2 + 4s + 4 s 2 b) f) s 3 + 4 s 2 25 4 s 2 + 2s c) g) 7 s 2 + 4 3 s 3 + 2s 2 d) s + 4 s 2 + 9 5. Oldjuk meg a következ dierenciálegyenleteket. (Segítség: vegyük mindkét oldal Laplacetranszformáltját, oldjuk meg az így kapott algebrai egyenletet, majd a megoldásnak keressük meg az inverz Laplace-transzformáltját!) y = y, y() = 3 b) y = 7y, y() = c) y = y, y() =, y () = 2 d) y = y, y() =, y () = e) 2y y =, y() = /2 f) y + 7y = 6, y() = g) 2y + y = e 2t, y() = h) y + 3y + 2y = e t, y() =, y () = i) y + 2y + 5y =, y() =, y () = j) y + y = sin 3t, y() = 6. Oldjuk meg Laplace-transzformációval az alábbi kezdetiérték-problémákat: x = x + 4y, y = 2x y, x() = 2, y() = 2 b) x = 2x 3y, y = 3x + 2y, x() =, y() = 4 c) x = 5x y, y = 3x + y, x() =, y() = 2 d) x = 8y, y = 2x, x() =, y() = 2
A Laplace-transzformált deníciója Az f(t) függvény Laplace-transzformáltja: F (s) = Lf(t)(s) = e st f(t) dt. étel: Ha f(t) szakaszonként folytonos, és alkalmas M, α R-el f(t) < Me αt, akkor f(t)-nek létezik Laplace-transzformáltja. A Laplace-transzformáció tulajdonságai Jelölje f(t) Laplace-transzformáltját F (s). Ekkor: Laf(t) + bg(t)(s) = af (s) + bg(s) (a, b R) Le at f(t)(s) = F (s Lf(at)(s) = ( s a F a f(t) L (s) = F (r) dr t Lt n f(t)(s) = ( ) n F (n) (s) s ) Lf (t)(s) = sf (s) f() Lf (n) (t)(s) = s n F (s) s n f() s n 2 f ()... f (n ) () Néhány alapfüggvény Laplace-transzformáltja L(s) = Lt n (s) = n! s s n+ Le at (s) = Lt n e at n! (s) = s a (s n+ a s Lsin(at)(s) = Lcos(at)(s) = s 2 + a 2 s 2 + a 2 Lt sin(at)(s) = Le bt sin(at)(s) = Lsh(at)(s) = 2as (s 2 + a 2 ) 2 Lt cos(at)(s) = s2 a 2 (s 2 + a 2 ) 2 a (s b) 2 + a 2 Le bt cos(at)(s) = a s 2 a 2 Lch(at)(s) = (n N, a, b R) s b (s b) 2 + a 2 s s 2 a 2 (shx = ex e x 2 ) chx = ex + e x 2
7. feladatsor: numerikus sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, mennyi az összegük? ( n ) ( + n b) c) hf n(n + ) n ) n + 2 2. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, mennyi az összegük? + n= 2 2n ( 5) n+2 b) + 2 3n+ + ( 5) n d) hf 3 2n+2 e) hf + n=2 + n=2 3 2n+ 2 3n 2 c) ( ) n 3 n+ n=2 3 2n+ f) hf 3. Konvergens? (Használjuk a majoráns, minoráns kritériumokat.) 2n + n 2 b) e) hf n 2 n + 3 2n 5 + 2n 2 + 7 5n + 2 n 7 c) + + 7n 3 7 n 5 + 2n 4 d) 2 n + 3 n+ 5 n 2 3n 2 n 4 2n 2n 3 n + 3 3n 4 + 2n 2 + 7 f) hf 2 n + 3 n+ + 6 n g) hf 3 2n + h) hf n 2n + 4. Konvergens? (Használjuk a hányados- és gyökkritériumot.) d) 7 n 2 (n + )! b) 5 3n 2 2n n 5 2 3n+ e) hf 2 3n n 7 g) hf (n + 2) 4 n (n + 5) n! 5. Igaz? Hamis? h) hf (n + )! n n n 4 c) ( 4n 4n + ) 3n 2 (n + 5) 3 n 3 2n+ f) hf 5 n+ ( ) n 2 3n + 3 i ) hf 3n + a n konvergens lim a n = b) lim a n = a n konvergens c) a n konvergens a 2 n konvergens 6 ḥf Lássuk be, hogy.23232323... racionális szám, és írjuk fel mint két egész szám hányadosa. Ha (a n ) egy sorozat, akkor a a n neve sor. A sor összege: A geometriai sor összege: aq n = n= aq n = + a n := a, ha q <. q Majoráns kritérium: Ha a n b n, és b n konvergens, akkor a n is. Minoráns kritérium: Ha a n b n, és a n divergens, akkor b n is. ( k lim a i ). k + i= Gyökkritérium: Ha lim n a n <, akkor a n konvergens; ha lim n a n >, akkor divergens. Hányadoskritérium: Ha lim <, akkor an konvergens; ha lim >, akkor div. a n+ a n a n+ a n
8. feladatsor: Abszolút és feltételes konvergencia, hatványsorok, aylor-sorok. Konvergens? Abszolút konvergens? ( ) n ( ) n+ b) n n c) n d) hf ( ) n 2 n 3 n + e) hf ( )n 2n + 3n 2 ( )n n + f) hf ( ) n n 2 ( n + n + 5 ) n 2. Határozzuk meg a következ sorok konvergenciatartományát! ( ) n n 2 (x n )n b) ( ) n 2n + (2n)! (x + 7)n c) d) (2x + 4) n n 2 3 n e) n 2 n x3n f) ( 2) n (n + 3) x n n 2 + 3 n + (x 2)2n 9n 3. Határozzuk meg a következ sorok konvergenciasugarát! (n + 2) n2 (n + ) n (n + 6) n2 + xn b) n! 4. Adjuk meg az alábbi függvények x bázispontú aylor-sorfejtését és annak konvergenciatartományát! f(x) = x 3, x = ; x = 5 b) f(x) = x + 2, x = 2; x = 5 c) f(x) = x5 x 2, g(x) = + 3 x 2 + 3, x = d) f(x) = 3x4, g(x) = x + 7 x + 7, x = 5. Írjuk fel az alábbi függvények x pontbeli aylor-sorát és annak konvergenciatartományát! f (x) = sin 3x 2 x = b) f 2 (x) = e 4x x = ; x = 3 c) f 3 (x) = sh 2x 4, x = d) f 4 (x) = e 2x ch 5x, x = x n Majoráns kritérium: Ha a n b n, és b n konvergens, akkor a n is. Minoráns kritérium: Ha a n b n, és a n divergens, akkor b n is. Gyökkritérium: Ha lim n a n <, akkor a n konvergens; ha lim n a n >, akkor divergens. Hányadoskritérium: Ha lim <, akkor an konvergens; ha lim >, akkor div. a n+ a n a n+ a n Ha a n mon. csökken, lim a n =, és a n el jele váltakozó, akkor a n Leibniz-sor, ami konv. A c n (x n a körüli hatványsor konvergenciahalmaza egy intervallum, melynek végpontjai ( a r és a + r, ahol r = lim sup n a n ) a konvergenciasugár. r = lim a n, a n+ ha ez létezik. Az f függvény a R pont körüli aylor-sora: n= f (n) ( (x n. n!
9. feladatsor: aylor-sorok, binomiális sorfejtés. Adjuk meg az f(x) = 5x 3 e 3x2 függvény x = bázispontú aylor-sorfejtését és annak konvergenciatartományát! Számítsuk ki f () () és f () () értékét! 2. Írjuk fel az f(x) = x + 3 függvény x = bázispontú aylor-sorfejtését, és határozzuk meg a konvergenciasugarat (R -et)! Az f függvény sorfejtésére támaszkodva írjuk fel az alábbi függvények x = bázispontú sorfejtését! g(x) = ln(x + 3), R 2 =? b) h(x) = (x + 3), R 3 3 =? 3. udjuk, hogy ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 ) 4 +..., R =. Írjuk fel az f(x) = ln ( + x2 függvény x = bázispontú aylor-sorát, és adjuk meg 3 a konvergenciasugarat! ) b) Az f függvény sorfejtését felhasználva adjuk meg az ln ( + x2 dx integrál értékét 3 az f függvény negyedfokú aylor-polinomjának felhasználásával, és becsüljük meg a hibát! 4. Írjuk fel az f(x) = és g(x) = függvények x = bázispontú aylor-sorát 4 x 4 x 2 és a sor konvergenciasugarát! Adjuk meg elemi m veletekkel az a 4 együtthatót! 5. Legyen f(x) = 5 32 2x 2 és x =. Írjuk fel az f függvény x bázispontú aylor-sorát és a sor konvergenciasugarát! b) a 8 =? (Elemi m veletekkel adjuk meg!) c) f (26) () =?, f (25) () =? 6. Írjuk fel a g(x) = 2x 3 5 32 2x 2 konvergenciasugarát! Számítsuk ki g (2) () és g (3) () értékét! 7. Adjuk meg az /2 függvény x = bázispontú aylor-sorát és a sor dx integrál értékét az integrandus nyolcadfokú aylor- + x 4 polinomjának felhasználásával, és becsüljük meg a hibát! 8. Írjuk fel az f(x) = 4 + 2x 3 függvény x = bázispontú aylor-sorát és a sor konvergenciasugarát! Számítsuk ki f (9) () és f () () értékét! Az f függvény a R pont körüli aylor-sora: At f(x) = ( + x) α R =. n= f (n) ( (x n. n! függvény MacLaurent-sora k= ( α k) x k, melynek konvergenciasugara
. feladatsor: R 2 R függvények, határérték, folytonosság. Szemléltessük térbeli koordináta-rendszerben az alábbi felületeket: ax + by + cz = d b) x 2 + y 2 z = c) z = 6 x 2 y 2 d) x 2 y 2 z = e) z = xy f) x 2 + y 2 z 2 = g) x 2 + y 2 + z 2 = 4 h) x 2 + y 2 = 4 2. Számoljuk ki a következ határértékeket: xy + 3 sin x lim x 2 b) lim y + 4 cos y d) sin xy lim e) lim (x,y) (,3) x x 2 + y 2 f) lim g) xy 3xy 3 lim 2x 2 + 2y 2 h) lim j) lim 3. Legyen f(x, y) = 3x2 y 2 3x 2 + 5y 2 2x 2 + y 2 k) lim (x,y) (2, 2) sin(x 2 y) c) lim x 2 cos y 2 2x 2 + 2y 2 i ) lim x 2 + 2xy + y 2 x 2 y 2 l ) lim x y xy 2 2x 2 + 3y 2 x + xy y x + xy + y 4x 4 ha (x, y) (, ), és különben. Mely pontokban folytonos? + 7y4 4. Legyen f(x, y) = arctg x 2 ha (x, y) és legyen f(, ) = c. Adjuk meg c értékét úgy, + y2 hogy f minden pontban folytonos legyen. 5. ovábbi gyakorló feladatok: lim x y x 3 y d) lim (x,y) (,) x y g) lim =? b) lim =? e) lim x 2 sin 2y =? x 2 h) lim + y2 x 2 y(x + y) 4x + 3y 2x + 8y e x2 3y =? c) lim (x,y) (2,) + 2x 2 + 3y =? 2 =? f) lim (3x2 + 4y 2 ) arctg x y =? x 2 sin 2y =? 2x 2 i ) lim + 5y2 x 5 y 3 2x 8 + y 8 =? 6. Legyen f(x, y) = x4 + x 2 y + y 2 x 4 + y 2 ha (x, y) (, ), és különben. Mutassuk meg, hogy az origón átmen bármely egyenes mentén felvéve egy origóhoz tartó pontsorozatot, az ezekhez tartozó függvényértékek sorozatának mindig ugyanaz a határértéke. Vizsgáljuk meg a függvényértékek sorozatának határértékét akkor is, ha az y = x 2 egyenlet parabolán közelítünk az origóhoz. Van-e a függvénynek határértéke az origóban? Egy f : R n R függvénynek a R a határértéke az x R n pontban, ha minden ε > -hoz létezik δ, hogy < x x < δ esetén f(x) a < ε. f : R n R folytonos az x pontban, ha lim x x f(x) = f(x ).
. feladatsor: R n R függvények deriválása. Számoljuk ki a következ függvények parciális deriváltjait! f(x, y) = x2 e x+y2 2x 2 + + ln(x4 + ) + (2y + ) 6 b) f(x, y) = x 3 3xy 2 + 2x 5y + ln 2 2. Legyen f(x, y) = 5(x ) 4 + 4y 2. Írjuk fel az els rend parciális deriváltfüggvényeket! (Az (, ) pontban használjuk a deníciót.) 3. Legyen f(x, y) = (2x y) 4 + 4x 3 8y 2. Számoljuk ki az els és másodrend parciális deriváltakat! Hol deriválható (totálisan) a függvény? Mivel egyenl grad f(, 2)? (x 2)y2 4. Legyen f(x, y) = x 2 + y + 6x + 2 3y, ha (x, y) (, ) és f(, ) =. Mivel egyenl f x(x, y) és f x(x, y)? Hol dierenciálható f? 5. Legyen f(x, y) = sin(y2 + 2x 2 ), ha (x, y) (, ) és f(, ) =. y2 + 2x2 lim f(x, y) =? Folytonos-e f az origóban? b) f x(, ) =? (Használjuk a deníciót!) c) otálisan deriválható-e f az origóban? 6. Adott az f(x, y, z) = x 3 +y 4 +x 2 ye 2z függvény. Mivel egyenl grad f(,, )? Miért létezik? f xxz =? f xzx =? 7. Írjuk fel f(x, y) = (2x y) 2 + 4x 2 8y függvény P (, 2) pontbeli érint síkjának egyenletét! 8. Írjuk fel az f(x, y, z) = x 2 y + yz 5z 2 függvény gradiensét! Miért létezik a gradiens? Számítsuk ki az f függvény P (,, ) pontbeli v = ( 3, 4, ) irányú deriváltját! 9. Adott az f(x, y) = 3y + e xy2 2y arctg x y függvény és a P (, ) pont. f x(x, y) =?; f y(x, y) =?, ha y b) Írjuk fel az f függvény P pontbeli érint síkjának egyenletét! c) Mennyi az f függvény P pontbeli v = (2, 7) irányú deriváltja? d) Adjuk meg az f függvény P pontbeli iránymenti deriváltjának maximumát (minimumát), és adjuk meg a maximumhoz (minimumhoz) tartozó irányt.. Az f(x, y) = y3 e 2x+ képlettel megadott felületre a ( 2, ) pont fölött egy vízcseppet ejtünk. Merre fog elindulni? Mekkora az adott pontban a maximális meredekség?. Legyen f(x, y) = x2 3y 2 2x 2, ha (x, y) (, ) és f(, ) = 3. + y2 lim f(x, y) =? Folytonos-e f az origóban? b) f x(x, y) =? f y(x, y) =? (Az origóban használjuk a deníciót!) c) Mennyi az f függvény (, ) pontbeli v = ( 5, ) irányú deriváltja? d) Adjuk meg az f függvény (, ) pontbeli iránymenti deriváltjának maximumát és minimumát! e) Írjuk fel az f függvény (, ) pontbeli érint síkjának egyenletét!
2. feladatsor: széls értékszámítás; kett s integrál téglalap- és normáltartományon. Keressük meg a következ függvények lokális széls értékeit! f(x, y) = (x 3y + 3) 2 + (x y ) 2 b) f(x, y) = (x y + ) 2 (x 2 2) 2 c) f(x, y) = x 3 3x 2 + 2xy + y 2 4 d) f(x, y) = 2 x + 5 y + xy e) f(x, y) = 4xy x 4 y 4 2. Keressük meg az x 2 +y 2 +y függvény maximumát és minimumát az (x, y) x 2 +y 2 halmazon! 3. Legyen f(x, y) = x 3 y 5. Keressük meg f lokális széls értékeit! Keressük meg f minimumát és maximumát a (, ), (, ), (, ) csúcsok által meghatározott háromszöglapon! 4. Géza a pajtája falához egy m 3 térfogatú, felülr l nyitott, téglatest alakú szénatárolót szeretne építeni. A tároló egyik oldalát a pajta fala alkotja, csak a maradék 3 oldalát és az alját kell elkészítenie. Hogyan méretezze a téglatestet, hogy a lehet legkevesebb anyagot kelljen felhasználnia? Oldjuk meg a feladatot úgy is, hogy a tároló alját a föld alkotja! 5. Számoljuk ki: xy d(x, y) =? A = (x, y) x, y A b) x sin xy d(x, y) =? A = (x, y) x 3, y π A 2 c) x d(x, y) =? = (x, y) x 2 y x + 2 x 2 d) d(x, y) =? = (x, y) y2 x y x, x 2 6. Cseréljük fel az integrálás sorrendjét, és számoljuk ki az alábbi integrálokat: c) 2 y 2 y sin x 2 dx dy =? b) y/2 e x2 dx dy =? d) 2 2y 8 2 4 cos(x 2 ) dx dy =? 3 x y 4 + dy dx =? Az f : R 2 R kétszer deriválható függvénynek lokális széls értéke x -ban csak úgy lehet, ha x -ban minden parciális deriváltja. Annak [ eldöntésére, hogy] x -ban tényleg széls értéke f van-e, nézzük ezt a determinánst: D(x ) = det xx(x ) f xy(x ) f yx(x ) f yy(x. Ha D(x ) >, akkor x - ) ban lokális széls érték van: ha f xx(x ) > akkor minimum, ha f xx(x ) < akkor maximum. Ha D(x ) <, akkor x -ban nincs lokális széls érték, míg D(x ) = esetén bármi el fordulhat.
3. feladatsor: integrálás több dimenzióban. Számoljuk ki: y 2 d =? = (x, y) x 2 + y 2 4, y x b) x 2 y d =? = (x, y) x 2 + y 2 4, x, y c) 7xy 4 d =? = (x, y) 4 x 2 + y 2 9, x, y 3x 2. Számítsuk ki az xy x2 + y 2 d integrál értékét, ha az 4 x2 + y 2 25, x, y egyenl tlenségekkel adott tartomány. 3. Számítsuk ki az xy 2 z 3 dv integrál értékét, ha az els térnyolcadba es V korlátos V térrész határai a z = xy egyenlet felület, valamint a z =, x =, y =, y = x egyenlet síkok. 4. Számoljuk ki az x 2 + y 2 = egyenlet henger és a z =, valamint a z = 2 x y egyenlet síkok által határolt térrész térfogatát! 5. A V korlátos térrész határai a z = x 2 + y 2, illetve a z = egyenlet felületek. Számítsuk ki az x2 + y 2 dv integrál értékét! V 6. Számoljuk ki a z = x 2 + y 2 és a z = 6 x 2 y 2 egyenlet felületek által határolt korlátos térrész térfogatát! 7. Számítsuk ki az xyz dv integrál értékét, ahol a V korlátos térrész az x 2 + y 2 + z 2 V gömb belsejének az x, y, z térnyolcadba es része. 8. Számoljuk ki az x 2 + y 2 + z 2 és a x 2 + y 2 z 3 x 2 + y 2 egyenl tlenségekkel adott térrész térfogatát! Integráltranszformáció: Legyen A, B R n, f : A R, ϕ = (ϕ,... ϕ n ) : B A deriválható, kölcsönösen egyértelm függvény. Ekkor ϕ (x) egy olyan n n-es mátrix, amelynek (i, j) eleme (ϕ j ) i(x). Igaz a következ : A f(x) da = B (f ϕ)(y) det ϕ (y) db. Egy gyakori integráltranszformáció a ϕ : R + [, 2π] R 2 polártranszformáció. Ekkor ϕ(r, α) = (r cos α, r sin α), és det ϕ(r, α) = r. Azaz, ha A R 2 egy R sugarú körlap, akkor R 2π f(x, y) d(x, y) = f(r cos α, r sin α) r dα dr. A A henger-koordinátarendszer R 3 -ban: (r, ϕ, z) (r cos ϕ, r sin ϕ, z). A hengerkoordinátákra való áttérés Jacobi-determinánsa: det J = r.
gyakorló feladatok. Határozzuk meg az alábbi függvények lokális széls értékeit! f(x, y) = x 3 9x + y 2 6y b) f(x, y) = 2x + y + 4 xy c) f(x, y) = x + 3 y3 3y x e) f(x, y) = xy + 8y x d) f(x, y) = y 3 2y + 2(x + y) 2 8(x + y) f) f(x, y) = x2 + y 2 + 4xy + 9y 2. Határozzuk meg a z = 4 x 2 y 2 egyenlet felület z része és az xy sík által határolt térrészbe írható maximális térfogatú téglatest oldalait, ha a téglatest lapjai a koordinátasíkokkal párhuzamosak. 3. Egy téglatest egy pontban összefutó éleinek összege 6 cm. Mekkorák az élek, ha a téglatest térfogata maximális? 4. Számítsuk ki az 2yx 4 d integrál értékét, ha az A(, ), B(2, ), C(2, 6) és a D(, 8) pontok által meghatározott trapéz. 5. Cseréljük fel az integrálás sorrendjét: e 2x e x f(x, y) dy dx b) 6. * Legyen = (x, y) x 2 4x + y 2, y. Mennyi 2 x x f(x, y) dy dx f(x, y) d(x, y) értéke, ha f(x, y) = y(x 2 + y 2 ) 3, b) f(x, y) = (x 2 4x + y 2 ) 5. 7. Számítsuk ki az x 2 d integrál értékét, ha = (x, y) x 2 + y 2 4, x, y b) = (x, y) x 2 + y 2 4, x 8. Számoljuk ki: (x 2 + y 2 4) 5 d =? = (x, y) x 2 + y 2 4, y b) ( + 2x 2 + 2y 2 ) d =? = (x, y) x 2 + y 2 4, x 5 c) ln(x 2 + y 2 ) d =? = (x, y) x 2 + y 2 d) e 3x 5y d =? = (x, y) x, y 9. Számítsuk ki az és a z 2 egyenl tlenségekkel adott.. Számoljuk ki az R sugarú gömb térfogatát. V 2z dv integrál értékét, ahol a V korlátos térrész az z 3 x 2 + y 2