AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

Speciálisa az építészmérök hallgatók számára felépített elméleti ayag az elmélet megértését segítő feladatokkal. A taayag az építészekek szükséges mélységbe és részletezettséggel tárgyalja a következő témaköröket: umerikus sorozatok; egyváltozós függvéyek határértéke, differeciálszámítás és alkalmazásai, itegrálszámítás és alkalmazásai, vektoralgebra, a tér aalitikus geometriája, mátrialgebra, lieáris egyeletredszerek. Kulcsszavak: umerikus sorozat, függvéy határérték, folytoosság, differeciálszámítás, differeciálszámítás alkalmazási, éritő, szélsőérték, itegrálszámítás, terület, térfogat, ívhossz, súlypot, felszí, görbület, paraméteres görbék, mátri, lieáris egyeletredszer. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

Támogatás: Készült a TÁMOP-4..-8//A/KMR-9-8 számú, a Természettudomáyos (matematika és fizika) képzés a műszaki és iformatikai felsőoktatásba című projekt keretébe. Készült: a BME TTK Matematika Itézet godozásába Szakmai felelős vezető: Fereczi Miklós Lektorálta: Sádor Csaba Az elektroikus kiadást előkészítette: Erő Zsuzsa Címlap grafikai terve: Csépáy Gergely László, Tóth Norbert ISBN: 978-963-79-464-8 Copyright: 6, Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME A termiusai: A szerző evéek feltütetése mellett em kereskedelmi céllal szabado másolható, terjeszthető, megjeletethető és előadható, de em módosítható. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

Tartalomjegyzék TARTALOMJEGYZÉK. Bevezetés...3. Numerikus sorozatok fogalma, határértéke... 6.. Koverges és diverges sorozatok... 6.. Néháy evezetes sorozat határértéke... 9 3. Függvéyek... 3.. Elemi függvéyek... 3.. Iverz elemi függvéyek... 6 3.3. Függvéyhatárérték-defiíciók... 9 3.4. Függvéyhatárértékkel kapcsolatos tételek... 3.5. Folytoos függvéyek... 3 3.6. Zárt itervallumo folytoos függvéyek tulajdoságai... 4 4. Differeciálszámítás... 5 4.. A differeciálháyados fogalma, differeciálási szabályok... 5 4.. Elemi függvéyek deriváltja és egyéb deriválási szabályok... 6 4.3. Középértéktételek, L Hospital-szabály... 9 4.4. A differeciálháyados alkalmazásai... 3 4.5. Szélsőértékek és ifleiós potok létezéséek szükséges és elégséges feltételei... 3 4.6. Alkalmazott optimalizációs problémák: szöveges szélsőérték-feladatok... 33 4.7. Függvéyábrázolás az eddig taultak haszálatával... 33 4.8. Egyéb alkalmazások: függvéyek éritkezése, Taylor-poliom... 35 5. Itegrálszámítás... 37 5.. Rövid áttekités... 37 5.. Primitív függvéyek... 37 5.3. Itegrálási techikák... 38 5.4. Határozott itegrál... 45 5.5. A határozott itegrál rövid geometriai iterpretációja... 48 5.6. A határozott itegrállal kapcsolatos legfotosabb tételek... 49 5.7. Az aalízis alaptétele... 49 5.8. Improprius itegrál... 5 5.9. Az itegrálszámítás alkalmazásai... 5 6. Vektorok... 54 6.. Lieáris tér (vektortér)... 54 6.. Lieáris altér... 55 7. Mátriok... 58 7.. Az m -es mátriok vektortere a valós számhalmaz felett... 58 7.. Mátriok szorzása... 59 7.3. Lieáris traszformációk (leképezések)... 6 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

Az építészek matematikája, I 8. Determiások... 63 8.. Másod- és harmadredű determiások... 63 8.. A másod- és harmadredű determiások alkalmazásai, geometriai iterpretációk... 64 8.3. Az -edredű determiás és tulajdoságai... 65 8.4. Mátri iverzéek kiszámolása a determiás segítségével... 66 9. Koordiátageometria... 67 9.. Egyees és sík... 67 9.. Illeszkedési és metszési feladatok a térbe... 68 9.3. Térelemek távolsága... 69 9.4. Hajlásszögek... 7 PÉLDATÁR... 7 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

. Bevezetés 3. Bevezetés Amikor mi, laikusok távolról közelítük meg egy építméyt, figyelmük fokozatosa terelődik át az egészről a részletekre, szem előtt tartva a teljes egységet, a kocepciót, a fizikai köryezet által meghatározott feltételeket, az aráyokat, a szimmetriát, a szíeket, fiomságot, féy és áryék kölcsöhatását és a harmóiát. Az ókori görögök, főleg Püthagorasz és követői, a püthagoreusok szerit a tökéletes harmóia (azaz kapocs) a legkisebb természetes számok aráyaival fejezhető ki. A püthagoraszi harmóiára egyik legszebb példák a következő: ha egy háromszög oldalaiak aráya 3:4:5, akkor a háromszög derékszögű. Ez éppe Püthagorasz tételéből következik, mert 3 4 5. Az igazság kedvéért meg kell itt említeük, hogy bár a matematikatörtéet ezt Püthagoraszak tulajdoítja (hisze ő bizoyította), a babiloiak is haszálták ezt egy évezreddel Püthagorasz előtt, azzal a külöbséggel, hogy ők em tudták, hogy ez igaz valameyi derékszögű háromszögre. A Püthagorasz-tétel (másképpe írva Pitagorasz-tétel) tulajdoképpe közvetle őse a agy Fermat-sejtések (amit érdekes módo, bár 994-be boyolult matematikai módszerekkel bizoyítottak, előszeretettel továbbra is sejtések evezük). Ez a sejtés a püthagoraszi alapokat kapcsolja össze a matematika legboyolultabb elképzeléseivel, ami több mit három évszázado át leyűgözte a matematikustársadalmat. Maga a feladat olya egyszerű, hogy egy kisiskolás is megértheti. 67-be Toulouse-ba Pierre de Fermat (6 665) fracia matematikus és jogász halála utá megjelet a Diophatosz Arithmeticája Pierre Fermat megjegyzéseivel című kötet, melybe Fermat a 8. probléma tőszomszédságába széljegyzetkét kijeletette, hogy az Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

4 Az építészek matematikája, I y z egyeletek bármilye rögzített 3,4,5,... számra icse pozitív egész, yz, megoldása. Matematikusok emzedékeit őrjítette meg igerkedő megjegyzésével, amit szité ide írt be: Igazá csodálatos bizoyítást találtam erre a tételre, de ez a margó túl keskey, semhogy ideírhatám. (Lásd Simo Sigh, A agy Fermat-sejtés, Park Köyvkiadó, Budapest, 999.) Hogy miért említjük ilye részletességgel ezt az érdekes, püthagoraszi gyökerekkel redelkező, de csak a múlt évszázad végé bizoyított feladatot? Többek között azért, mert az előadáso elhagzó tételeket (legtöbbjüket itt em is bizoyítjuk) évek múltá köye elfelejthetik, ezt valószíűleg em. Míg az itt tault matematikatételek agy többségéek az utca embere hátat fordítaa, még a Fermat-sejtés bizoyítása előtti időkbe, New Yorkba, a Nyolcadik utcai metróállomás falá a következő falfirka jelet meg: y z : ics megoldás. Igazá csodálatos megoldást találtam erre a tételre, de most ics időm ideíri, mert jö a metró. Az aráy (pl. 3:4) eve görögül logosz, az aráypáré (pl. 6:8=9:) pedig aalógia. A görögök szerit világszemléletük három alapfogalma a harmóia, a logosz és a szimmetria. Adrea Palladio (58 58) észak-itáliai építész hitvallása szerit egy valamirevaló épületek hármas követelméyek kell megfelelie: kéyelem, tartósság, szépség, ha ezek közül valamelyik is hiáyzik, az épület em méltó evére. Palotáival és villáival, új aráyaival, tiszta voalvezetésével a reeszász építészet egyik legtermékeyebb mesterévé vált, megszámlálhatatla követővel. A Villa Capra La Rotoda matematikai precizitással kiszámolt aráyossággal redelkező Palladio-villa terveit a római Patheo ihlette és Viceza városá kívül, egy dombtetőre épült. Elevezése, a La Rotoda a közpoti, kör alakú kupolás hallra utal. Az épület a fet említett credo mide egyes potjáak megfelel, szimmetrikus szerkezeteit, díszítőelemeit, klasszikus formáit több mit égyszáz évig utáozták. Amikor Püthagorasz Hippaszosz evű fiatal taítváya felfedezte, hogy a (pl. az egységyi oldalú égyzet átlójáak hossza) em fejezhető ki két természetes szám háyadosakét, tehát a püthagoreus értelembe véve em szám, a püthagoreusok egész világszemlélete összeomlott. Úgyhogy ikább vízbe fojtották Hippaszoszt és továbbra sem vettek tudomást az ilye számok létezéséről. Talá ez az egyetle dicstele tett, ami a evükhöz kapcsolható. A -t és az irracioális számokat csak a mester halála utá merték újra életre keltei. Vegyük most egy és oldalú téglalapot. Megkétszerezve a rövidebbik oldalt, és oldalú téglalapot kapuk, ami ugyaolya aráyú, mert : :. Ez azt mutatja, hogy két egyforma papírlapot ügyese egymás mellé rakva olya agyobb lapot kapuk, mely hasoló az eredetihez. Ha egy egységyi hosszúságú szakaszt úgy osztuk két részre, hogy a kisebbikek és a agyobbikak az aráya egyelő legye a agyobbikak és az egészek az aráyával, azaz a agyobbik részt -szel jelölve, másodfokú egyeletet kapuk, melyek egyetle 5 pozitív megoldása az és ekkor a agyobbik és kisebbik aráya 5, az araymetszési aráy. Az araymetszésről Velecébe, 59-be Fra Luca Paccioli De Divia Proportioe címmel köyvet írt, melyet barátja, Leoardo da Vici illusztrált. Nézzük meg az araymetszés egyéb előfordulását is. Fiboacci, a középkor kiemelkedő matematikusa, körül, yulak szaporodását vizsgálva, bevezette és taulmáyozta a következő umerikus sorozatot:,,,3,5,8,3,,, azaz általáosa u u u. A Fiboacci-sorozat egymást követő tagjaiak háyadosa: ; ;,5;,666;,6;,65;,653,..., az araymetszés értékéhez tart. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

. Bevezetés 5 A Fiboacci-számok aráyai a természetbe is megtalálhatók: a szilvafa gallyai a levelek általába félfordulatra követik egymást, a bükkél, mogyoróál ez /3, a tölgyél, sárgabarackál /5, körtefáál, yárfáál 3/8, maduláál, fűzfáál 5/3, és így tovább. Ezek az aráyok éppe a másodszomszéd Fiboacci-számok aráyai. Kepler szerit éppe az araymetszés adta az ötletet a Teremtőek, hogy bevezesse a hasoló dolgokak hasoló dolgokból való származtatását. Bevezetők em teljes, ha em teszük említést a párhuzamos egyeeseket időkét metszőkek ábrázoló perspektivitásról. A perspektív traszformáció a reeszász ideje alatt terjedt el, főkét a firezei Filippo Bruelleschiek köszöhetőe. Taítváya, Masaccio olya Szetháromság-képet festett a firezei Sata Maria Novella templom falára, hogy azt hitték, áttörték a templom falait. Ahogy a perspektivitás em a végső szó a traszformációk világába, úgy Bruelleschi sem az az építészetbe. Azóta is agyszerű megoldások, kocepciók születek, egyre újabb harmóiákat teremtük, igyekezvé miél jobba kihaszáli a redelkezésükre álló matematikai eszközöket, lehetőségeiket és képzeletüket. I am certai of othig, but the holiess of the heart s affectios ad the truth of Imagiatio What the Imagiatio seizes as Beauty must be Truth. (Joh Keats, Letter, November, 87.) Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

6 Az építészek matematikája, I. Numerikus sorozatok fogalma, határértéke.. Koverges és diverges sorozatok... Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R valós értékű függvéyeket sorozatokak evezzük. Például: a) b),,,,..., azaz 3 4,,,,..., azaz 3 4 c),,,,..., azaz a a, ( ), d),4,9,6,..., azaz e),, 3, 4,... 3 4 5 f) 3 4,,,,... 3 4 5, azaz a, a,, azaz a g),,,,... 4 8 6, azaz a,, a.... Megjegyzés: A sorozat ideezését kezdhetjük -val, sőt, egy,,,... mm m R függvéyt is sorozatak evezük, ameyibe m tetszőleges természetes szám. Ekkor az jelölést haszáljuk. a m..3. Defiíció: Az a m sorozat (mooto) övekedő, ha mide N eseté szigorúa övekedő, ha mide a a, N eseté a a, a a, N eseté a a. (mooto) csökkeő, ha mide N eseté szigorúa csökkeő, ha mide..4. Megjegyzés: A feti példákba az a) és g) szigorúa csökkeő, d) és e) szigorúa övő, b), c) és f) sorozat alteráló előjelű, tehát em mooto. a..5. Defiíció: Az sorozat korlátos, ha létezik olya A és B szám, amelyekkel mide N eseté teljesül az Aa B egyelőtleség (ekkor az A-t a sorozat egy alsó korlátjáak, B-t pedig egy felső korlátjáak evezzük)...6. Megjegyzés: A feti példákba a d) sorozat em korlátos, a többi ige...7. Defiíció: A h R számot az a sorozat határértékéek (vagy limeszéek) evezzük, ha tetszőleges pozitív -hoz található mide eseté az a h egyelőtleség teljesül. N természetes szám (küszöbszám) úgy, hogy Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

. Numerikus sorozatok fogalma, határértéke 7..8. Megjegyzés: A határérték előbbi defiíciója úgy is megfogalmazható, hogy mide ide eseté a sorozat tagjaiak a h, h yílt itervallumba kell esi. Ez egybe azt is jeleti, hogy eze az itervallumo kívül legfeljebb darab, azaz véges sok sorozatelem lehet. A határérték jelölésére az alábbi kifejezést haszáljuk: lim a h vagy a h. Szokás ilyekor azt modai, hogy a tart h-hoz, vagy a kovergál h-hoz...9. Megjegyzés: Ha egy sorozatak va határértéke, akkor azt modjuk, hogy koverges, ha ics, akkor divergesek evezzük. Hagsúlyozzuk, hogy a végtele em valós szám, tehát a feti defiíció értelmébe em lehet egy sorozat határértéke. Eek elleére szoktuk arról beszéli, hogy egy sorozat végtelehez tart. Ezt a következőképpe kell értei:... Defiíció: Az a bármely valós k számhoz található az a k sorozat végtelehez tart, (avagy mide határo túl övő) ha N természetes szám úgy, hogy mide eseté egyelőtleség feáll. Jelölése: lim a. Hasolóa defiiálható a mide határo túl csökkeő sorozat (azaz amikor bármely valós K számhoz található természetes szám úgy, hogy mide lim a.... Példa: Igazoljuk, hogy lim. eseté az a N K egyelőtleség feáll. Jelölése: Megoldás: Tekitsük egy tetszőleges számot. Belátjuk, hogy találuk olya N természetes számot, hogy mide eseté az (mivel ). Ameyibe az N küszöbszámot -ak választjuk, ez telje- sül, tehát lim.... Tétel: Ha az a sorozat koverges, akkor korlátos. Bizoyítás: Legye egyelőtleség teljesül. lim a h és tekitsük az számot. A határérték defiíciója értelmébe létezik N természetes szám (küszöbszám) úgy, hogy mide eseté az h a h egyelőtleség teljesül. Vezessük be a következő jelöléseket: a,..., a, h és M : ma a,...,, h m: mi a. Ekkor yilvá ma M N...3. Defiíció: A t számot a sorozat torlódási potjáak evezzük, ha va a sorozatak a t számhoz kovergáló részsorozata. A -t és -t is a sorozat torlódási potjáak tekitjük, ha va a sorozatak mide határo túl övő illetve csökkeő részsorozata...4. Következméyek:. Mide határérték egybe torlódási pot is. (Ez a defiíciók azoali következméye.) Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

8 Az építészek matematikája, I. Ha egy t szám torlódási potja az a t t sorozatak, akkor bármely eseté a, itervallumba (azaz a t szám sugarú yílt köryezetébe) végtele sok sorozatelem va. 3. Ha egy sorozatak va határértéke, akkor egyetle egy va. Bizoyítás: Tegyük fel idirekt, hogy az a sorozatak két külöböző határértéke is va, k l jelölje ezeket l és k és legye l k. Tekitsük az : számot. Ekkor yilvá az l sugarú yílt köryezete és a k sugarú yílt köryezete diszjuktak (em metszik egymást). lim a l, így az előbb rögzített -hoz létezik egy N küszöbszám, hogy mide ide eseté a sorozat tagjaiak a, l l yílt itervallumba kell esi. De k is az a sorozat határértéke, ezért ugyaahhoz az -hoz létezik egy m N küszöbszám, hogy mide m ide eseté a sorozat tagjaiak a k, k yílt itervallumba kell esi. Le- N. Ekkor mide eseté az a midkét köryezetek eleme, gye : ma, m ami elletmodás, hisze azok diszjuktak voltak. N 4. Ha egy korlátos sorozatak egyetle torlódási potja va, akkor koverges. 5. Ha egy sorozat mooto és korlátos, akkor koverges. 6. Mide a sorozatból kiválasztható mooto (övekedő vagy csökkeő) részsorozat...5. Bolzao Weierstrass-tétel: Korlátos sorozatak va koverges részsorozata. Bizoyítás: A 6. tulajdoság alapjá az adott korlátos sorozatak va mooto részsorozata. Nyilvá e mooto részsorozat is korlátos, tehát az előbbi következméyek közül az 5. miatt koverges is...6. Cauchy-féle kritérium: Az a sorozat akkor és csak akkor koverges, ha tet- N természetes szám (küszöbszám) úgy, hogy mide egyelőtleség teljesül. szőleges pozitív -hoz található m, eseté az a a m..7. Megjegyzés: Cauchy-sorozatokak evezzük azokat a sorozatokat, amelyek redelkezek a Cauchy-féle kritériumba szereplő tulajdosággal. Ezek szerit a Cauchy-kritérium azt modja ki, hogy egy sorozat akkor és csak akkor koverges, ha Cauchy-sorozat. A Cauchy-féle kritérium bizoyítását itt most em adjuk meg, bár az egyik iráy (a szükségesség) a háromszög egyelőtleség miatt rögtö adódik. Eek elleére szükségesek éreztük magát a kritériumot megemlítei, mert a szakirodalomba számos helye találkozhatak a Cauchy-sorozat elevezéssel...8. Tétel (Összeg, külöbség, szorzat, háyados határértéke): Ha az sorozat koverges és határértéke a, valamit a b lim a b lim a lim b a b, a sorozat is koverges és határértéke b, akkor: Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

. Numerikus sorozatok fogalma, határértéke 9 lim a b lim a lim b a b, lim a b lim a lim b a b. Ha még az is teljesül, hogy b, akkor a lim b lim a a. limb b Határérték-számításál először is behelyettesítük. Ameyibe kokrét szám, vagy a helyettesítés-eredméy, késze vagyuk. Legtöbbször azoba a,,,,,, alakú határozatla kifejezések (esetek) valamelyike áll fe, a feladat megoldása em ilye egy- szerű, szükségük lehet a következőkre:..9. Tétel ( redőrelv vagy szedvicstétel ): Ha mide N eseté az a u b egyelőtleség teljesül és lim a lim b u, akkor létezik az sorozat határértéke és lim u u. si... Példa: Számítsuk ki a lim határértéket. si Megoldás: Mivel si, ezért. Tudjuk, hogy lim lim, így a redőrelv miatt.. Néháy evezetes sorozat határértéke u si lim.... Tétel: A következő állítások midegyike igaz:., haq lim q, haq, diverges, egyébkét. lim k a, ha a és k N, a 3. lim, tetszőleges a R eseté,! 4. lim e. Néháy bizoyítás: Az. bizoyításához felhaszáljuk a Beroulli-egyelőtleséget: Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

Az építészek matematikája, I... Segédtétel (Beroulli-egyelőtleség): Ha N tetszőleges természetes szám, és a h R valós szám eleget tesz a h és h feltételekek, akkor h 3 Bizoyítás: A q qq q q q h. q q azoosságba a jobb oldalo álló db. zárójeles kifejezés között a q a legkisebb, akár q, akár q. Ezért midkét esetbe q q. Ie q h helyettesítéssel kapjuk a bizoyítadó állítást.. bizoyítása q eseté (a többi eset triviális). Vezessük be az h jelölést. Nyilvá q q miatt h. Továbbá Most q q. h h h h lim miatt a jobb oldal -hoz tart. Ezzel bizoyítottuk az állítást. A 4. határérték létezéséek bizoyítása 3 lépésből áll: Az. lépésbe megmutatjuk, hogy az u sorozat szigorúa övő. A. lépésbe megmutatjuk, hogy a v sorozat szigorúa csökkeő. Az u v egyelőtleségből következik, hogy midkét sorozat korlátos, tehát koverges. lim v u, azaz a két sorozatak közös határ- A 3. lépésbe megmutatjuk, hogy értéke va, ezt pedig e-vel jelöljük, tehát lim e. Az. lépésbe igazoluk kell, hogy Szorozzuk meg midkét oldalt -gyel. Ekkor kapjuk, hogy, azaz ugyaaz, mit. Ez pedig a Beroulli-egyelőtleség miatt igaz. A. lépés igazolása ugyaígy törtéhet: az állítás a következő, azaz.., ami Szorozva -el, adódik, hogy. Ez pedig azért igaz, mert ha a bal oldalra alkalmazzuk a Beroulli-egyelőtleséget, akkor Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

. Numerikus sorozatok fogalma, határértéke. Végül a 3. lépés: v u 4. Az utolsó egyelőtleségél felhaszáltuk, hogy u v v 4. Megjegyzés: Az e~,78888 szám a természetes logaritmus alapja, irracioális szám (köyű megjegyezi az első tizedesjegy utái 8888 számjegyeket, mert a Háború és béke írója, Lev Nikolajevics Tolsztoj születési éve 88). 873-ba Charles Hermite (8 9) fracia matematikus bizoyította, hogy az e szám egybe traszcedes is (azaz em gyöke egyetle racioális együtthatójú poliomak sem)...3. Megjegyzés: A. és 3. határértékeket köyebb megjegyezi (sőt újakat is felírhatuk), ha figyelembe vesszük, hogy «e «! «k...4. Példák: Számítsuk ki a b sorozat határértékét, ha. b 4 4 4 3 4 4 4 3 4 4 4 3 3 7 4 44 3 7 (mid a számlálóba, 4 4 4 3 4 3 4 4 4 mid pedig a evezőbe előforduló legmagasabb hatváyát emeltük ki, ez midkét helye volt, így egyszerűsítettük -el). Megoldás: b 4 4 4 3 Számítsuk ki a 3 c sorozat határértékét, ha 3 75 c 56 9. 9 5 9 3 93 75 7 3 75 8 8 6 8 9 6 7 56 9 5 5 8 5 Megoldás: c 6 9 5 6 9 6 6 6 (itt pedig a számlálóba is és a evezőbe is a 6 -t emeltük ki, mert aak volt abszolút értékbe legagyobb az alapja, ezzel egyszerűsítettük itt is). Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

Az építészek matematikája, I 3. Függvéyek 3.. Elemi függvéyek 3... Defiíció: Legyeek H R és K R valós számhalmazok. Redeljük hozzá mide H számhoz egyetle y K számot. Az ilye egyértelmű hozzáredelést függvéyek evezzük. ab itervallumo kove, ha bármely és ab, és f f, eseté a következő egyelőtleség áll fe: f f. 3... Defiíció: Az f függvéy az, Hasolóa defiiáljuk a kokáv függvéyt is, csak ott az egyelőtleség fordított iráyú. Szoktuk még modai, hogy kove egy függvéy, ha grafikoja megtartja a vizet, pl. az 3 csak a itervallumo kove, a, itervallumo pedig kokáv., ab, Ameyibe bármely eseté az f grafikojához létezik egyértelmű éritő egyees, az f függvéyt lokálisa koveek evezzük egy adott ab, potba, ha létezik -ak olya köryezete, melybe a függvéy grafikoja az éritő fölött helyezkedik el, lokálisa kokávak pedig abba az esetbe, ha ha létezik -ak olya köryezete, melybe a függvéy grafikoja az éritő alatt helyezkedik el. 3..3. Elemi függvéyek grafikojai: A most következő elemi függvéyek grafikojából következteti lehet értelmezési tartomáyukra ( D f ), értékkészletükre ( R f ), esetleg mootoitásukra, paritásukra és periodicitásukra. (Feltételezzük, hogy a függvéy fogalma a középiskolai taulmáyok alapjá mideki előtt ismert, mit ahogy az alábbi függvéytai fogalmak is: értelmezési tartomáy, értékkészlet, kölcsööse egyértelmű leképezés, páros, illetve páratla függvéy, periodikus függvéy.) k Hatváyfüggvéyek: f f f 3 f 3 4 f 4 5 f 5 6 f 6 7, ahol k pozitív egész szám Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

3. Függvéyek 3 Páratla gyökfüggvéyek: 3 3 5 5 7 7 f() f() f() 3 f 4 () Páros gyökfüggvéyek: 4 4 f() f() 6 6 f() 3 Midegyik páros gyökfüggvéy kokáv az értelmezési tartomáyá. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

4 Az építészek matematikája, I Trigoometrikus függvéyek (si, cos, ta): A si és cos függvéyek periodikusak, főperiódusuk T, míg a tg és ctg (melyek szité periodikusak) főperiódusa T. Epoeciális függvéyek: f a (a>) y y e 3 y f()=^ f()=e^ f()=(/)^ y -8-6 -4-4 6 8 - - -3 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

3. Függvéyek 5 Érdemes megjegyezi, hogy az epoeciális függvéy mootoitása az alaptól függ: ameyibe a függvéy alapja a, az epoeciális függvéy szigorúa övekvő, míg a a alap eseté az epoeciális függvéy szigorúa csökkeő. Értelmezési tartomáya R, értékkészlete pedig, (vigyázat, az ábráko úgy éz ki, mitha a függvéy metszeé az tegelyt, valójába csak egyre jobba közeledik hozzá). Természetes alapú epoeciális függvéy: y e, ahol az alapszám (az e) egy, az előző fejezetbe vizsgált evezetes sorozat határértéke: lim e. Hiperbolikus függvéyek e e Kosziusz hiperbolikusz függvéy: ch :, szokásos jelölés még y cosh. A grafikoja az y e és y e grafikookból következik: 3.5 y f()=cosh() f()=e^ f()=e^(-) 3.5.5.5-9 -8-7 -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7 8 9 -.5 - -.5 - -.5-3 -3.5 e e Sziusz hiperbolikusz függvéy: sh :, szokásos jelölés még y sih. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

6 Az építészek matematikája, I sh e e Tages hiperbolikusz függvéy: th :, szokásos jelölés még y tah, az ch e e alábbi közös ábrá a, értékkészletű (em metszi az y illetve y egyeeseket, csak egyre jobba közeledik hozzájuk), szigorúa mooto övekvő függvéy. 3.5 3 y f()=tah() f()=sih() f()=cosh() f()=- f()=.5.5.5-9 -8-7 -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7 8 9 -.5 - -.5 - -.5-3 -3.5 3.. Iverz elemi függvéyek Az f függvéy iverz függvéyéek evezzük és f -gyel jelöljük azt a függvéyt, mely mide valós b számhoz (mely az eredeti f függvéy értékkészletéhez ( Rf -hez ) tartozik), azt az a számot redeli az f értelmezési tartomáyából ( D f -ből ), melyhez az f a b -t redelte, vagyis ha b f b a. f a, akkor Ie következik, hogy f f b b és f f a a, mit ahogy az is, hogy az f értelmezési tartomáya az f értékkészlete, és f értékkészlete az f értelmezési tartomáya. Tehát csak kölcsööse egyértelmű függvéyek va iverze, hisze szükséges, hogy a egyértelmű legye. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

3. Függvéyek 7 3... Tétel: Az f függvéy ivertálhatóságáak elégséges feltétele a függvéy szigorú mootoitása. Az iverz függvéy megőrzi a mootoitást (azaz pl. szigorúa övekvő függvéy iverze is szigorúa övekvő). f függvéy és az f függvéy grafikoja egymásak az y egyeesre vett tü- Az körképei. Az ábrá az y 3 függvéy és iverze, az 3 látható. y 3 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

8 Az építészek matematikája, I A természetes alapú logaritmusfüggvéy f R f e Az :,, (e alapú) epoeciális függvéy szigorúa övekvő, tehát midehol létezik az iverze, ezt a függvéyt evezzük természetes alapú logaritmusfüggvéyek, f :, R f l. Mivel az e alapú epoeciális függvéy szigorúa övekvő,, ezért a természetes logaritmusfüggvéy is az. (Az egyéb alapú ( a, a ) logaritmusfüggvéy mootoitása megegyezik az ugyaolya alapú epoeciális függvéy mootoitásával.) Az y si függvéy em ivertálható a, itervallumo, mert em kölcsööse egyértelmű. Ivertálható a, tartomáyo, itt szigorúa mooto ő. Az iverz függvéyét arkusz sziusz (arcus sius) függvéyek evezzük, jele arcsi. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

3. Függvéyek 9 Az y arcsi értelmezési tartomáya a, itervallum, értékkészlete pedig,. Hasolóa ábrázolhatjuk a többi trigoometrikus és hiperbolikus függvéy iverzeit is szigorúa mooto szakaszoko: a cos függvéyt a, itervallumo ivertáljuk, így az arccos :,, a tagest a, itervallumo, így arctg :, R, R,, a kotagest a, itervallumo, így arcctg : a kosziusz hiperbolikuszt a, itervallumo, így ar ch, :,, (area kosziusz hiperbolikuszak evezzük), a sziusz hiperbolikuszt R-e, így ar sh : R R (area sziusz hiperbolikuszak modjuk),, R (area tages hiperbolikusz, szoktuk a tages hiperbolikuszt R-e, így ar th : még arta h -val jelöli), míg ch e e a kotages hiperbolikuszt az R halmazo, így sh e e,, R (area kotages hiperbolikusz). arcth : Megjegyezzük még, hogy a th és cth függvéyek iverzei redelkezek még logaritmusos alakkal is, mely a következő: arth l, arcth l. 3.3. Függvéyhatárérték-defiíciók Tegyük fel, hogy az potjába ( lehet kivétel). f értelmezve va valamely, az 3.3.. Defiíció: Az f függvéyek az R körüli yílt itervallum mide R helye létezik a határértéke és az a h R valós szám, ha bármely számhoz található szám úgy, hogy a egyelőtleséget kielégítő értékek mid bee vaak az f függvéy értelmezési tartomáyába és teljesül az f h egyelőtleség. 3.3.. Defiíció (határérték II.): Az f függvéyek az az a h R hoz kovergáló lim f h. valós szám, ha bármely, az sorozat eseté az R helye létezik a határértéke és f függvéy értelmezési tartomáyából választott és - f függvéyérték sorozat kovergál h -hoz. Jelölés: A két defiíció ekvivales (itt em bizoyítjuk). A második defiíció olya feladatokál haszálható eredméyese, ahol várhatóa ics határérték. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

Az építészek matematikája, I 3.3.3. Példa: Számítsuk ki a lim si határértéket. Megoldás: Vegyük az alábbi két, ullához tartó számsorozatot:,,,,..., 5 4,,,,..., 3 7 4 3 lim si, míg lim si, így a feladatba kért határérték em létezik. 3.3.4. Defiíció: Az f függvéyek az R helye létezik a jobb oldali határértéke és az a h R valós szám, ha bármely számhoz található szám úgy, hogy a egyelőtleséget kielégítő értékek bee vaak az f függvéy értelmezési tartomáyába és teljesül az f h egyelőtleség. Hasolóa értelmezzük a függvéy 3.3.5. Defiíció: Az f függvéyek az R helye vett bal oldali határértékét: R helye létezik a bal oldali határértéke és az a h R valós szám, ha bármely számhoz található szám úgy, hogy a egyelőtleséget kielégítő értékek bee vaak az f függvéy értelmezési tartomáyába és teljesül az f h egyelőtleség. Jelölés: lim ill. lim f h f h. 3.3.6. Defiíció: Azt modjuk, hogy az f függvéyek az R helye végtele a határértéke, ha tetszőleges pozitív A számhoz létezik olya szám úgy, hogy a egyelőtleséget kielégítő értékek bee vaak az f függvéy értelmezési tartomáyába és teljesül az f > A egyelőtleség. Jelölés: lim f. (Hasolóa defiiáljuk a lim f esetet is.) 3.3.7. Tétel: Az f függvéyek az szám, ha lim f lim f h. R helye létezik a határértéke és az a h R valós Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

3. Függvéyek 3.3.8. Defiíció: Az f függvéy határértéke eseté a h R valós szám, ha bármely számhoz található k valós szám úgy, hogy a függvéy értelmezve va k eseté és eze értékekre teljesül az egyelőtleség. f h Jelölés: lim f h. (Hasolóa defiiáljuk a lim f h esetet is.) 3.4. Függvéyhatárértékkel kapcsolatos tételek 3.4.. Tétel (Összeg, külöbség, szorzat, háyados határértéke): Ha létezik lim f lim g, akkor létezik a két függvéy összegéek, külöbségéek, szorzatáak a határértéke is és a következők érvéyesek: és továbbá, ha lim f g lim f lim g lim f g lim f lim g lim f g lim f lim g lim lim g, akkor létezik az f g lim f. lim g f,,, g függvéy határértéke is, és 3.4. Tétel (Összetett függvéy határértéke): Ha lim g a b és lim f b olya szám, hogy a eseté g b, akkor lim f g c. a c, továbbá va 3.4.3. Tétel (redőrelv vagy szedvicstétel függvéyhatárértékekre): Ha az f, g és h függvéyek értelmezve vaak az pot egy köryezetébe és itt f g h, valamit lim f lim h L lim g L., akkor Határérték-számításál először is behelyettesítük. Ameyibe kokrét szám, vagy a helyettesítés eredméye, késze vagyuk. Legtöbbször azoba a,,,,,, alakú határozatla kifejezések (esetek) valamelyike áll fe, a feladat megoldása em ilye egyszerű, szükségük lehet a következőkre: 3.4.4. Tétel (Nevezetes függvéyhatárértékek):. Ha az szöget radiába adjuk meg, akkor igaz), si lim (természetese lim is si Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

Az építészek matematikája, I tg. ugyaakkor igaz, hogy lim (természetese lim is igaz), tg 3. lim e (természetese, lim y y... képletet, mit egy... alakot, ahol... ), y e is igaz, a léyeg, hogy úgy tekitsük a 4. 5. 6. loga lim loga e, ameyibe a, a, speciális esetbe l a a e lim l a, ha a, a, speciális esetbe lim, lim, ahol R. l lim, Bizoyítai csak az. tulajdoságot fogjuk a redőrelv segítségével: Ívmértekkel mérve az szöget, a mellékelt ábra területeiből látszik, hogy si tg, ie si -szel osztva: si cos. Mivel lim, ezért a redőrelv szerit cos si lim. Ekkor lim lim. si si 3.4.5. Néháy példa függvéyhatárérték-számításra Szimbolikusa példa 4 3 3 4 ) lim lim 3. (Kiemeltük előforduló legmagasabb hatváyát (ugyaezt tettük vola, ha ), majd leegyszerűsítettük.) si si si ) lim lim lim 3.4.4. Tétel. képletét.). (Haszáltuk a 3) 5 4 3 ( ) lim lim 6 4, valamit 5 4 (5 4) 4 4 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

3. Függvéyek 3 5 4 3 ( ) 4) lim lim 3. (Vegyük észre, ( ) hogy ameyibe, előforduló legalacsoyabb hatváyát emeljük ki.) 5) lim lim ( ). (Haszáltuk, hogy és.) si 6) lim si lim si lim. 5 5 5 7) lim lim e. 3.5. Folytoos függvéyek 3.5.. Defiíció: Az f függvéy folytoos az helye, ha értelmezett az helye, és aak egy köryezetébe, létezik a lim f lim f f. és 3.5.. Defiíció: Az f függvéy folytoos az, folytoos. 3.5.3. Defiíció: Az f függvéy balról folytoos az helye, ha ab itervallumo, ha aak mide potjába értelmezett az helye, és aak egy bal oldali köryezetébe, azaz lim f és létezik a lim f f., -ba, A jobb oldali folytoosságot hasolóa defiiáljuk, csak ott jobb oldali köryezetet tekitük és -ba jobb oldali határértéket. 3.5.4. Defiíció: Az f függvéy folytoos az [a,b] itervallumo, ha folytoos az (a,b) itervallumo és az a potba jobbról, b potba pedig balról folytoos. 3.5.5. Példák: az f az, ha Q Dirichlet-függvéy sehol sem folytoos,, ha R Q f abszolút érték függvéy pedig mideütt folytoos függvéy. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

4 Az építészek matematikája, I 3.5.6. Tétel: Folytoos függvéyek összege, szorzata, háyadosa (ha a evező em zérus) folytoos. 3.5.7. Példa: Határozzuk meg az a valós paraméter értékét úgy, hogy az cos, ha R f aha,. Megoldás: f si lim f lim, cos a, így folytoosság csak az a esetbe lehetséges. 3.5.8. Tétel (Összetett függvéy folytoossága): Ha egy g függvéy folytoos a b potba, f pedig folytoos a gb potba és létezik az f g kompozíció (azaz f g ), akkor az f g is folytoos a b helye. 3.5.9. Tétel (Iverz függvéy folytoossága): Ha f : Df Rf függvéy szigorúa mooto és folytoos, akkor létezik az f : Rf Df iverz függvéy, ami megőrzi a mootoitást és szité folytoos. 3.6. Zárt itervallumo folytoos függvéyek tulajdoságai 3.6.. Tétel: Az ab, zárt itervallumo folytoos függvéy korlátos. 3.6.. Weierstrass-tétel: Az ab, zárt itervallumo folytoos függvéy felveszi legagyobb és legkisebb értékét. 3.6.3. Bolzao Darbou-tétel vagy Bolzao-féle közbülsőpot-tétel: Ha az f függvéy folytoos az ab, zárt itervallumo és f a c f b, akkor létezik olya ab,, hogy f c. 3.6.4. Bolzao Weierstrass-tétel: Ha az f függvéy folytoos az, ab zárt itervallumo, akkor a miimuma és maimuma között mide értéket felvesz. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

4. Differeciálszámítás 5 4. Differeciálszámítás 4.. A differeciálháyados fogalma, differeciálási szabályok 4... Defiíció: Ha az f függvéy értelmezve va az, f h f h eseté az F h függvéyt az : f függvéy -hoz tartozó differeciaháyadosáak evezzük. h f h f 4... Defiíció: A lim F h lim határértéket az itervallumo, akkor f függvéy h helyhez h h tartozó differeciálháyadosáak (vagy deriváltjáak) evezzük. Ha ez létezik, azt modjuk, hogy az f függvéy akkor deriválható az potba. Jelölése: ' f vagy df d. 4..3. Defiíció: Az f f h f ': lim függvéyt az f derivált függvéyéek evezzük. h h 4..4. Példa: Számítsuk ki a derivált defiíciójával az f si függvéy deriváltját. Megoldás: ' si h si si cosh+ cos si hsi si lim lim h h h h h h cosh si si si h si h lim si cos lim si cos cos h h h h h h cos si h ahol haszáltuk a si, valamit a lim képleteket. h h 4..5. Megjegyzés: A h összefüggést figyelembe vételével felírhatjuk, hogy. Egy f függvéy akkor deriválható az potba, ha ez a határér- f f f ' lim ték létezik. 4..6. Defiíció: Az f függvéy helyhez tartozó jobb és bal oldali differeciálháyadosát f f az f ' lim és f f f ' lim függvéyhatárértékekkel defiiáljuk. j b Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

6 Az építészek matematikája, I 4..7. Tétel: Ha egy függvéy differeciálható az potba, akkor itt folytoos is. 4..8. Defiíció (a derivált geometriai értelmezése): Ha az f függvéy differeciálható az potba és eek köryezetébe folytoos, akkor a függvéy grafikojáak éritője az egyeletű egyees, tehát az f ' em más, mit az, f y f f ' potba a függvéy grafikojához húzott éritő iráytagese. 4..9. Tétel (Differeciálási szabályok): Ha az f és g függvéyek differeciálhatók az helye, akkor az f g az f g is differeciálható és is differeciálható és f g továbbá, ha g, akkor ' f f ' g f g g g ' f g ' f ' g' f g ' f ' g f g', valamit, is differeciálható és 4.. Elemi függvéyek deriváltja és egyéb deriválási szabályok. függvéy Deriváltja Feltételek y cost. y ' - y y ' N, R r y r y ' r r R, y a y ' a la R, a R, a speci. y e y ' e R y log a, a R, a, y ' l a a speci. y l y ' y si y ' cos R y cos y ' si R y tg y ' k cos y ctg k y ' si y arcsi y ' y arccos y ' y arctg R y ' Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

4. Differeciálszámítás 7 y arcctg R y ' y sh y' ch R y ch y' sh R y th R y ' c h y cth y ' sh y arsh R y ' y ar ch y ' y arth y ' y arcth R, y ' 4... Tétel (Összetett függvéy deriválása, azaz lácszabály ): Ha a g függvéy differeciálható az helye és az f függvéy differeciálható a f g öszszetett függvéy differeciálható az helye és ' g helye, akkor az ' f g f g g. ' 4... Példa: Deriváljuk az f leképezéssel megadott függvéyt (ahol lehetséges). si l Megoldás: ' ' df f ' cos l l cosl d cosl (lácszabállyal). 4..3. Tétel (Iverz függvéy differeciálási szabálya): Ha az f függvéy a t Df potba és köryezetébe szigorúa mooto és differeciálható, valamit f ' t, akkor az iverz függvéye f ' is differeciálható az f t helye és f. f ' t f ' f 4..4. Példa: Iverz függvéy differeciálási szabályával, felhaszálva, hogy ' meg, hogy l '. e e mutassuk Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

8 Az építészek matematikája, I Megoldás: f l, azaz f e, l ' e '. l e 4..5. Defiíció: Az f függvéy másodredű deriváltja (ameyibe létezik) em más, mit ' ', az f f '' f Egyéb jelölése: d f d. -edredű deriváltja (ameyibe létezik) pedig ' f f. 4..6. Példa: Számítsuk ki az f si egyedredű deriváltját az potba. Megoldás: Haszáljuk a 4..-beli, elemi függvéyek deriváltját tartalmazó táblázatot, így f ' cos, '' si, f ''' cos, 4 f f si. Behelyettesítve az értéket, kapjuk, hogy 4 f si. t 4..7. Paraméterese megadott függvéy deriválása: Ha az függvéyek értelmezési y y t tartomáya ugyaaz az itervallum, akkor ezek egy görbét írak le. Ilyekor azt modjuk, hogy a görbét paraméterese adtuk meg, a feti egyeleteket pedig a görbe paraméteres egyeleteiek evezzük. Ilyekor y' dt. dy dy d d dt 3 acos t 4..8. Példa: Írjuk fel az asztrois (azaz, t, egyeletredszerrel megadott görbe) t paraméter értékkel meghatározott potjába a görbéhez húzott éritő egyeletét. 3 y asi t 4 a a Megoldás: a t paraméterérték a, 4 4 4 potot jeleti az asztroiso. Az éritő egyees iráytagesét a következőképpe számoljuk ki: dy dy 3 si cos ' dt a t t y tgt, eek a t -be vett értéke. d d 3a cos t sit 4 dt a a a Így a kért éritő egyees egyelete: y 4 4, azaz y. 4..9. Implicit függvéy deriváltja: Ha a görbét em y f eplicit formába adjuk meg, haem G, y képlet alakba, akkor az implicit alakot haszáljuk. Ebbe az alakba, derivá- láskor figyelembe kell veük, hogy az y mideütt függvéye, tehát midkét oldalt szerit Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

4. Differeciálszámítás 9 deriváljuk (többyire lácszabályt haszálva), redezzük az pedig kifejezzük y ' -t az és y függvéyébe. y ' -t tartalmazó tagok szerit, a végé y 4... Példa: Tekitsük az egyelettel megadott, a és b féltegelyű ellipszist. Ez a b tulajdoképpe két függvéyt jelet, amit akkor látuk, ha kifejezzük az egyeletből az y -t ( függvéyekét), ez a két függvéy potosa az ellipszis alsó és felső ívét írja le. Adjuk meg az a b, potba az éritő egyees iráytagesét! yy' Megoldás: Az implicit deriválást elvégezve kapjuk, hogy, ahoa az y ' -t kifejezve a b b y ' a y, ahová behelyettesítve az, y a b, értékeket, kapjuk, hogy az éritő b egyees iráytagese. a 4.3. Középértéktételek, L Hospital-szabály ab itervallumo folytoos és az a,b iterval- 4.3.. Rolle tétele: Ha az f függvéy az, lumo differeciálható, valamit f a f b, akkor létezik olya a,b sül, hogy f'. ( Michel Rolle 65 79, fracia matematikus.) 4.3.. Lagrage-középértéktétel: Ha az f függvéy az, a,b itervallumo differeciálható, akkor létezik olya a,b f b f a f' b a szám, amelyre telje- ab itervallumo folytoos és az szám, amelyre teljesül, hogy. (Joseph Louis Lagrage 736 83, fracia-olasz természettudós.) f b f a Bizoyítás: Tekitsük az b a segédfüggvéyt. Fa Fb a,b, amelyre teljesül, hogy f b f a F' f ', azaz f' F f f a a leképezési szabállyal defiiált b a miatt alkalmazhatjuk Rolle tételét, mely szerit létezik olya f b f a b a 4.3.3. Cauchy-féle középértéktétel: Ha az f és folytoosak és az a,b itervallumo differeciálhatók, továbbá g' f' f b f a a,b szám, amelyre teljesül, hogy g' gb ga fracia matematikus.). g függvéyek az ab, itervallumo, akkor létezik olya. (Augusti Cauchy 789 857, Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

3 Az építészek matematikája, I 4.3.4. L Hospital-szabály (Egyszerű L Hospital-szabály): Legyeek az f és g függvéyek differeciálhatók valamely, az -t tartalmazó I yílt itervallumo kivéve esetleg az potot, és legye g' az I -, ha. Legye továbbá lim f lim g vagy lim f lim g. Ha létezik f ' lim g ' f, akkor lim g, ahol (Guillaume Fracois Atoie De L Hospital 66 74, fracia matematikus.) és lehet valós szám vagy. 4.3.5. Megjegyzések: A tétel igaz akkor is, ha határérték helyett mideütt csak jobb vagy bal oldali határértéket íruk. f ' Fotos a lim g ' létezéséek megkövetelése, ellekező esetbe em haszálhatjuk az egyszerű L Hospital-szabályt. si cos Pl. a lim lim egyelőséggel azt kapák, hogy a limesz em létezik, si si másfelől lim lim, ami elletmodás lee. Ezért is fotos elleőrizi még haszálat előtt, hogy teljesülek-e a tétel feltételei. 4.3.6. Példa L Hospital-szabályra: Számítsuk ki a si cos Megoldás: lim lim. si lim függvéyhatárértéket. g függvéyek -szer differeciálhatók valamely, az -t tartalmazó I yílt itervallumo kivéve esetleg az potot és 4.3.7. Tétel (Erős L Hospital-szabály): Legyeek az f és legye g k az I -, ha. Legye továbbá mide k,..., számra k lim f lim g vagy végig, mide f lim g k,...,, akkor számra lim f lim g k k f lim g. Ha létezik, ahol és lehet valós szám vagy. 4.4. A differeciálháyados alkalmazásai 4.4.. Tétel: Ha az f függvéy értelmezve va az potba és aak egy köryezetébe, valamit itt differeciálható is, továbbá teljesül, hogy f ', akkor f lokálisa övekvő az potba (azaz övekvő az említett köryezetbe). Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

4. Differeciálszámítás 3 4.4.. Tétel: Ha az f függvéy értelmezve va az potba és aak egy köryezetébe, valamit itt differeciálható is, továbbá teljesül, hogy f ', akkor f lokálisa csökkeő az potba (azaz csökkeő az említett köryezetbe). Fordítva: 4.4.3. Tétel: Ha az f függvéy értelmezve va az potba és aak egy köryezetébe, valamit itt differeciálható is, továbbá teljesül, hogy f lokálisa övekvő az potba, akkor f '. 4.4.4. Tétel: Ha az f függvéy értelmezve va az potba és aak egy köryezetébe, valamit itt differeciálható is, továbbá teljesül, hogy f lokálisa csökkeő az potba, akkor f '. 4.4.5. Tétel: Ha az f függvéy értelmezve va az potba és aak egy köryezetébe, valamit itt differeciálható is, továbbá az f függvéyek az potba lokális szélsőértéke va (azaz létezik -ak egy köryezete, melybe az összes -re f f (vagy f f )), akkor f '. 4.4.6. Tétel: Ha az f függvéy értelmezve va az potba és aak egy köryezetébe, valamit itt kétszer differeciálható is, továbbá teljesül, hogy f ' és f '', akkor az f függvéyek lokális miimuma va ebbe a potba. 4.4.7. Tétel: Ha az f függvéy értelmezve va az potba és aak egy köryezetébe, valamit itt kétszer differeciálható is, továbbá teljesül, hogy f ' és f '', akkor az f függvéyek lokális maimuma va ebbe a potba. 4.4.8. Tétel: Ha az f függvéy az, ha '', akkor az ha f '', akkor az f f f függvéy kove, ab itervallumo kétszer differeciálható és függvéy kokáv. 4.4.9. Tétel: Ha az f függvéy az, az f függvéy kove, akkor f az ab itervallumo kétszer differeciálható és '', f függvéy kokáv, akkor f ''. f függvéyek ifleiós potja va az eseté, ha itt a függvéy grafikojáak va éritője és ugyaitt a függvéy átvált koveből kokávba, vagy fordítva (azaz megváltozik a görbe koveitása). 4.4.. Defiíció: Az 4.4.. Tétel: Ha az függvéyek ifleiós potja va potba és aak egy köryezetébe kétszer differeciálható eseté, akkor f ''. f Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

3 Az építészek matematikája, I 4.5. Szélsőértékek és ifleiós potok létezéséek szükséges és elégséges feltételei 4.5.. Tétel (Szélsőérték létezéséek szükséges és elégséges feltétele): Az köryezetébe - szer differeciálható f függvéyek az helye lokális szélsőértéke va (vagy egy f ', továbbá z lokális szélsőértékhely, vagy ", ''',... f egy lokális szélsőérték) f f derivált ak közül az első el em tűő (azaz em ulla) f páros redű (azaz páros). Ameyibe az f, akkor f-ek -ba lokális miimuma, míg ha f, akkor f-ek -b a lokális maimuma va. a 4.5.. Tétel (Ifleiós pot létezéséek szükséges és elégséges feltétele): Az köryezetébe - szer differeciálható f függvéyek az helye ifleiós potja va (más szóval 4, '' f ''', f,... deriváltak közül f egy ifleiós pot) f, valamit az az első el em tűő (azaz em ulla) f páratla redű (azaz páratla). 4.5.3. Megjegyz és: Az f függvéyek csak olya helyeke lehet szélsőértéke, amelyek a függvéy értelmezési tartomáyáak belső potjai, ahol f ', f ' em létezik (ics egyértelmű éritők a függvéyhez az belső potok, melyekre, f potba), az értelmezési tartomáy végpotjai. Az D f függvéy egy kritikus potja, ha f ' em létezik. 4.5.4. Defiíció: f pot az f ' vagy Tehát egy tetszőleges f függvéyek csak a kritikus potokba vagy az értelmezési tar- tomáy végpotjaiba lehet szélsőértéke. 4.5.5. M egjegyzések: A 4.5.. tételből következik, hogy ics mideütt ifleiós potuk, ahol 4 y''. Például, az y görbéek az helye ics ifleiós potja aak elleére, hogy y ''. Továbbá, ifleiós pot ott is lehet, ahol y'' em is értelmezett. Például, y 3 eseté az helye ifleiós potuk va, bár y '' em létezik y'' 9 4.5.6. Abszolút szélsőérték véges zárt itervallumo folytoos f függvéy eseté: A következőt tesszük: kiszámoljuk f értékét a kritikus potokba és az értelmezési tartomáy végpotjaiba, megállapítjuk ezek maimumát, illetve miimumát. 5 3. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

4. Differeciálszámítás 33 4.6. Alkalmazott optimalizációs problémák: szöveges szélsőérték-feladatok Külöféle, az építészetből, az üzleti életből, a közgazdaságtaból, a fizikából, a mideapokból vett optimalizálási (miimalizálási vagy maimalizálási) feladatokat ezetúl köyedé meg tuduk oldai a differeciálszámítás alkalmazásával, ameyibe sikerül felíri a vizsgáladó függvéyt. 4.6.. Példa: Határozzuk meg az R sugarú gömbbe írható maimális térfogatú kúp adatait. Meyi ez a maimális térfogat? Megoldás: a kúp alapkörét -szel, a magasságát pedig y R -rel jelölve, kapjuk, hogy a beíradó ( R ) kúp térfogata V y, ahoa Pitagorász tétele ( y R ) miatt a maimalizáladó 3 R y ( R y) térfogat egyváltozós függvéykét írható fel, Vkúp alakba. Ezt deriválva, 3 majd az eredméyt ullával egyelővé téve kapjuk, hogy V ' kúp yr y R y 3. R Megoldva az egyeletet, y R (ez em lehet) és y megoldást kapjuk. Ez utóbbi az 3 3 R 4R 3 R és h értékeket voja maga utá, melyekre a térfogat Vma. Ahhoz, hogy 3 3 8 belássuk, hogy ez valóba maimum, két lehetőségük is va: vagy vizsgáljuk a térfogatfüggvéy elsőredű deriváltjáak előjelét, megkapva így a V mootoitásával kapcsolatos összes iformációt, R vagy (amit most is tei foguk) kiszámoljuk a V '' értéket. V '' y R 6 y, behelyettesítve az y értéket, V '' R R, azaz a kapott térfogat valóba ma- 3 3 R R 4R 3 3 3 3 imális. 4.7. Függvéyábrázolás az eddig taultak haszálatával Most már bármilye függvéyt ábrázoli tuduk. A függvéyvizsgálat meete a következő: meghatározzuk a függvéy értelmezési tartomáyát, megvizsgáljuk a paritását (ez segíthet, mert a páros függvéy szimmetrikus az y tegelyre, a páratla pedig az origóra, csak legtöbb esetbe a függvéyek se em párosak, se em páratlaok), megézzük, va-e periodicitás, meghatározzuk a függvéy határértékeit a kritikus helyeke ( -be, és ahol határozatla alakot kapuk), tjuk az f ' derivált függvéyt, előállí előállítjuk az f '' meghatározzuk az f ' és az '' második derivált függvéyt, f gyökhelyeit, a kapott gyökhelyeket sorba redezzük agyság szerit, Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

34 Az építészek matematikája, I f ' és f '' felosztjuk az értelmezési tartomáyt olya szakaszokra, ahol előjele álladó. Ha f ' is és '' f is folytoos függvéyek, akkor a gyökhelyeiket sorba redezve ilye felbotást kapuk. Vigyázat, ha pé ldául valahol a derivált függvéyek a határértéke, akkor előjelet tud váltai aélkül, hogy ulla lee. Pl.: f eseté. A felbotás szakaszai, megállapítjuk a függvéy övés/fogyás és kokáv/kove vi- például ahol a te- selkedését, ezek alapjá megállapítjuk az ifleiós és a szélsőérték-potokat, felvázoljuk a függvéyt. A felvázolásál segítség a függvéy értékéek meghatározása egy-két potba, gelyeket metszi, már ha vaak ilyeek. Megállapítjuk az értékkészletet. 4.7.. P élda: Vizsgájuk meg a következő függvéyt: f 5. Megoldás: Df R, ézzük az aszimptotikus vizsgálatot: lim 5 5. Tehát -be az y 5 vízszites aszimptoták va. Függvéyük em páros és em páratla, ám f 5 már páratla lee, ami origóra való cetrális szimmetriát jeletee. f ', 3 f '', 4 3,, f előjelét, ha vagy ha 3. Sorba redezve a gyököket és megvizsgálva ' és f '' kapjuk a következő táblázatot:, 3 3 3,,,, 3 3 3, f ma ifleió ifleió mi ifleió f + + + - - - + + + f + - - - + + + - Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

4. Differeciálszámítás 35 Az ábra pedig a következő : 4 y f ()=5-(*/(^+)) f()=5 8 6 R f, 4-8 -6-4 - - -8-6 -4-4 6 8 4 6 8 - -4-6 -8 4.8. Egyéb alkalmazások: függvéyek éritkezése, Taylor-poliom g az - szer differeciálható függvéyek. A két függvéy grafikoja az helye -edredbe ér itkezik, f g, f ' g',..., f g, de f g. 4.8.. Defiíció: Legyeek f és ha helye és eek egy köryezetébe Például az f és g az helye ulladredbe éritkezek, ha a két grafiko metszi egymást az helye, de ott már ics közös éritőjük. Ha az is lee, akkor legalább elsőredbe éritkezéek. Másodredbe éritkezik az előbb említett két függvéy, ameyibe f g, f ' g', f '' g'', de f ''' g'''. 4.8.. Defiíció: Az f függvéy helyhez ta rtozó simuló (vagy görbületi) köre egy olya kör, mely az adott függvéyt másodredbe ériti..8.3. Tétel: A simuló kör sugara r f '' tartozó görbületek evezzük és G -vel jelöljük. f ' 4 3. Eek reciprokát pedig az helyhez 4.8.4. A Taylor-poliom defiíciója és személetes bevezetése: Tekitsük egy f függvéyt, m helye és eek egy köryezetébe -szer differeciálható. Olya poliomot ely az Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

36 Az építészek matematikája, I keresük, mely az éritkezik f függvéyel (ami esetleg lehet ehezebbe kezelhető ) -edredbe az helye. Ez lesz a keresett Taylor-poliomuk. Jelöljük a keresedő poliomot f,, f,, hogy T a a a... a T -al. Mivel az gyöke a poliomak, felírhatjuk,. Felhaszálva, hogy a f,, '... T a a, a 6a... a f,, '' 3 T, 6 a... a 3 f,, ''' 3 T, T a. f,,! Behelyettesítve a fetiekbe az értéket, megkapjuk midegyik Taylor-poli om : T 4.8.5. Defiíció: A Ez tehát a '' a i együtthatót, így a keresett f ' f f.!!! f,, f... z helye felírt Taylor-poliomot Mac Lauri-poliomak is evezzük. f ' f '' f poliom.!!! Tf,, f... 4.8.6. Néháy péld a Mac Lauri-poliomra: e... (triviális beláti, hisze az!!! e epoeciális függvéy bármilye redű deriváltjába ullát beírva -et kapuk). Ebből az helyettesítéssel kapjuk, hogy e....!!! A kettőt összeadva és -vel elosztva felírhatjuk, hogy 4 k ch....! 4! ( k )! Kivoással és -vel való osztással felírhatjuk a sh függvéy Mac Lauri-poliomját is: 3 5 k sh....! 3! 5! (k )! Köyű beláti (deriválással), hogy 3 5 k k si...! 3! 5! (k )! 4 k, míg cos....! 4! ( k)! k Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

5. Itegrálszámítás 37 5. Itegrálszámítás 5.. Rövid áttekités Az itegrálszámítás a statisztikába, műszaki tudomáyokba, közgazdaságtaba egyik leggyakrabba haszált matematikai eszköz. Az előző fejezetbe tárgyalt differeciálszámítás és a mostaiba bemutatásra kerülő itegrálszámítás szoros kapcsolatba állak egymással. Eek a kapcsolatak egyik bizoyítéka a Newto Leibiz-tétel, melyek segítségével a határozott itegrált, legye az kiszámítadó terület, síkgörbe hossza, forgásfelületek felszíe, forgástest térfogata, fémhuzal vagy pálca tehetetleségi yomatéka, tömege és tömegközéppotja, változó agyságú erő által egy egyees meté végzett muka, folyadék által a belemerülő lemez egyik oldalára kifejtett erő stb. köyű kiszámoli az itegradus primitív függvéyéek segítségével, azaz a határozatla itegrállal. Épp ezért, a határozatla itegrálokkal és a leggyakrabba haszált itegrálási techikák bemutatásával kezdük, aak elleére, hogy a határozott itegrál defiíciójához, geometriai értelmezéséhez, tulajdoságaihoz igazából ics szükségük a primitív függvéyekre. 5.. Primitív függvéyek 5... Defiíció: Az F függvéyt az itervallumo, ha F ' f mide I deriváltjából atideriválásak is evezzük.) f eseté. (Emiatt az függvéy primitív függvéyéek evezzük az I F kiszámolását aak A primitív függvéyek jelölésére általába agybetűket haszáluk: FGH,,,..., míg a ekik megfelelő függvéyeket (az előbb említettek deriváltjait) f, gh,,...-val jelöljük. 3 5... Példa: Az f 3 függvéyek az F primitív függvéye, mert F' f mide R eseté. Számtala esetbe I R, úgyhogy ezutá midig egy alkalmasa választott I itervallum fölött számoluk. Ugyaígy, az F is primitív függvéye az 3 előbbi f függvéyek, mert bármilye kostas deriváltja. függvéy hatá- 5..3. Defiíció: Az f függvéy primitív függvéyeiek összességét az f rozatla itegráljáak evezzük. Jelölése: f d. f tétel: Egy függvéy primitív függvéyei csak kostasba külöbözhetek, azaz igaz a következő 5..4. Tétel: Ha F ' G' f, akkor F G c, ahol c egy kostas. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

38 Az építészek matematikája, I Bizoyítás (idirekt): Tegyük fel, hogy a H : F G olya és, hogy H H, amelyre ' H H és közé eső Ha tehát F az H összes kostas halmazát jelöli. Az függvéy em kostas. Ekkor va. De akkor a Lagrage-középértéktétel alapjá va olya '. Ez elletmod a H feltételek. f egyik primitív függvéye, akkor f f d F c, ahol c az függvéyt itegradusak is szoktuk evezi. 5.3. Itegrálási techikák A defiícióból következik azoal, hogy f gd f d g d és ahol c tetszőleges kostas. 5.3.. Elemi függvéyek határozatla itegrálja: cf d c f d, f függvéy f d Feltételek y c - y c R r r y R, r R, c r l c y y a a c l a R, a R, a, a speci. y e e c R y si cos c R y cos si c R y cos tg c k y si ctg c k y arcsi c Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

5. Itegrálszámítás 39 y arsh c R y arctg c R y, arth c ha itervallumfüggő ar cth c, ha y sh ch c R y ch sh c R y c y sh h th c R cth c 5.3.. Elemi itegrálási szabályok: differeciálható függvéyre igazak a következők: ' d l c, r r ' d c, ahol r R r si ' dcos c, cos ' dsi c, ' d arctg c., Folytathaták még, tulajdoképpe az 5.3..-beli táblázat mide képletét köye átírhaták, figyelembe véve a következőt: 5.3.3. Tétel (Helyettesítéses itegrálás módszere I.): Ha differeciálható függvéy, melyek értékkészlete az I itervallum, és eze az itervallumo az f függvéy folytoos, és f udu Fuc, akkor f ' d F c., ahol g differeciálható függvéy, amelyek értékkészlete az I itervallum, és eze az I itervallumo az f folytoos, akkor f g g ' dt f u du. 5.3.4. Tétel (Helyettesítéses itegrálás módszere II.): Ha u g Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

4 Az építészek matematikája, I 5.3.5. Megjegyzések: Az 5.3.3. tétel szerit ahhoz, hogy az f összetett függvéyt az F segítségével itegrálhassuk, szorzótéyezőkét szerepelie kell az itegradusba (a számlálóba) a ' -ek is. A két tétel tulajdoképpe ugyaazt modja ki azzal a kis külöbséggel, hogy míg az 5.3.4. tételbe kokréta ki is cseréljük a változót, addig az 5.3.3. tételbe midezt csak fejbe tesszük meg, maradvá a régi változókál. Az 5.3.4. tételbe megtörtéik az u g változócsere, ami a voja maga utá, azaz az 5.3.3. tétel jelöléseivel du ' külö szorzótéyezőkét a ', hogy meglegye a du. du g ' d egyelőséget d. Ott tehát azért kellett még Ameyibe itegráláskor új változót vezetük be, azt a feladat végéig ki is kell iktatuk, visszatérve az eredeti -hez. Az 5.3.3. tétel bizoyítása: ez a tétel tulajdoképpe a lácszabály megfelelője, amit abból is látuk, hogy bizoyításakor csak az összetett függvéyek deriváltjára lesz szükségük. Rövide, deriválva a koklúzióba található jobb oldalt, azoal kapjuk, hogy ' ' F c F F'. ' f ', ami em más, mit az itegradus, tehát a tételt egy lácszabállyal és a feltétel felhaszálásával be is bizoyítottuk. 5.3.6. Példa: Határozzuk meg az f a bd itegrált, ha f d F c. Megoldás: Az előbbiek ismeretébe már köyű dolguk va. Ahhoz, hogy a helyettesítés módszerét alkalmazhassuk, szükségük va az itegradus függvéybe szorzótéyezőkét az a b deriváltjára, ami jele esetbe egy kostas. Ez igecsak megköyíti a dolgukat, mert az itegradust szorozva, míg az itegrálo kívül osztva vele semmi sem változik, ám itegrálhatjuk az előző tétel szerit a függvéyt. Kapjuk, hogy ' f a bd f a bad f a ba b d F a bc. a a a 5.3.7. Megjegyzés: A kostassal való belül és kívül szorzást függvéyével már em tehetjük meg, ami igecsak megehezíti a dolgukat. Ezért szükségük lesz újabb és újabb trükkökre, techikákra a határozott itegrál kiszámításához. Lássuk előtte azoba még éháy példát, melyek az eddigi iformációik ismeretébe már köye kiszámíthatók: 5.3.8. Néháy egyszerűbb példa határozatla itegrál számításhoz: ) 5 3 4 d d c, 5 3 ) d d c c, Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

5. Itegrálszámítás 4 3) 4) 5) 4 3 3 d d l c, 3 6 3 d d 3d 3 c, 47 47 3 d d d 3l c, 6) 3 4 3 3 3 d 3 3 4 c. 3 5.3.9. Példák változócsere élküli helyettesítésre (azaz az 5.3.3. tétel alkalmazására): ' 3 3 3 5 3 ) d d d l 5 c, 5 5 5 itt az utolsóál haszáluk kellett a helyettesítés módszerét, azaz az itegradusba, fet a számlálóba szoroztuk -vel, majd az itegrálo kívül osztottuk is vele (hogy e változtassuk meg a feladatukat), hisze szükségük volt a 5 deriváltjára, ) cos3 3cos3 8 si3 ' d d d l 8 si 3 c, 8si3 3 8si3 3 8si3 3 3) 3 ' d d d 3 c, 4) cos si si ' si si cos d d d c. si Csak abba az esetbe érdemes helyettesítést végezi, ameyibe a feladatot ezzel léyegese leegyszerűsítettük. 5.3.. Példák változócserés helyettesítésre (azaz az 5.3.4. tétel alkalmazására): 6 5 u si u 6 d u du c c, du cos d 6 6 5 ) si cos si 4 u 5 3 4 4 4 ch 5 d chudu shu c sh 3 5 c. du 4 d ) Majd lássuk két olyat, ahol kimodotta jól járuk a változócserével: Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

4 Az építészek matematikája, I 3) Ameyibe,,... R e e d típusú itegráluk va, ahol R egy racioális törtfügg- l u u e véy, akkor az helyettesítést alkalmazzuk, azaz. Például du e d d du u l u e u d du e d du uu u u u du du du u l u c e le c. u u u 4) Ha, a R b c d dtípusú itegráluk va, ahol R szité egy racioális törtfüggvéy, akkor az a u b helyettesítést alkalmazzuk, például c d u 4 u 6 4, 6 u 4 d u du 6 4 u 3 u 3 d du 3 6 4 3 3 u u 4du 4u c 4 6 4 c. 9 9 3 9 3 A legtöbb esethez em elegedő az eddigieket tudi, szükségük lehet a következő módszerre. 5.3.. Parciális itegrálás módszere: A logaritmusokat, a trigoometrikus függvéyeket és iverzeiket epoeciális függvéyeket tartalmazó függvéyek sok esetbe csak a parciális itegrálás módszerével vagy eek a módszerek többszöri egymás utái alkalmazásával itegrálhatók. Maga formula agyo egyszerű, a szorzatfüggvéy deriváltjából következik. ' f g -t kapjuk, hogy ' f g f g f g, majd midkét oldalt tagokét kiitegrálva f g f ' g f g', ahoa kifejezve ' ' ' ' ' f g d f g f g d (parciális itegrálás képlete). A parciális itegrálásál agyo fotos a szereposztás, azaz melyik függvéy játssza az melyik a g' f és szerepét. Hibás szereposztással az itegrált em tudjuk kiszámoli, ikább boyolultabb itegrálokhoz jutuk. Ezért érdemes megjegyezi, hogy parciálisa itegráluk, ameyibe: Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

5. Itegrálszámítás 43 az itegradus poliom- és epoeciális vagy trigoometrikus, esetleg hiperbolikus függvéy szorzata (ekkor a poliomfüggvéy játssza az f szerepét; az itegradus poliom- és logaritmusfüggvéy szorzata, vagy poliom- és trigoometrikus függvéy iverzéek (arkuszfüggvéyek) a szorzata, esetleg poliom- és hiperbolikus függvéy iverzéek (areafüggvéyek) a szorzata (ekkor a poliomfüggvéy játssza a g szerepét; ' az itegradus epoeciális és trigoometrikus függvéy szorzata (ekkor igazából midegy a szereposztás, csak következetese kell csiáli, mert az ilye feladatokál egymás utá kétszer kell parciálisa itegráli, és ha em vagyuk következetesek, sok számolás utá visszajutuk az eredeti itegrálukhoz. 5.3.. Példák parciális itegrálásra: l d l d ' l d l d l c l c 3 ' 3 3 3 3 3 l d l d l d l d l c 3 3 3 3 3 3 9 arctgd ' arctgd arctg d arctg d arctg l( ) c arccos d ' arccos d arccos d 3 3 3 3 3 9 arccos darccos d 3 3 3 3 9 9 9 3 arccos c. 3 9 5.3.3. Racioális törtfüggvéyek itegrálása: bármelyik alapesetbe, ameyibe a számláló fokszáma agyobb vagy egyelő a evező fokszámáál, a legelejé midig maradékosa osztuk. (ld. pl. az 5.3.8. feladatsor 5) feladatát, vagy az 5.3.. feladatsor 3) példáját a változócsere utá). Tehát igazából elég azt tekitei, amikor a evező foka agyobb a számlálóéál. Egyszerű alapesetek: A A ) ha a evező elsőfokú, ekkor az d l a b c a b a a helyes megoldás, ) A A d a b c, ha, a b a Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

44 Az építészek matematikája, I 3) kostas számláló és másodfokú evező eseté, ameyibe a evező diszkrimiása b 4ac a következő a teedő: visszavezetjük az du arctgu c itegrálra, u 4) ameyibe a másodfokú evezők diszkrimiása b 4ac, akkor a ) esetre vezetjük vissza itegrálukat, 5) ha b 4ac, akkor vagy u du alakra hozzuk, vagy parciális törtekre botjuk az itegradust, 6) Ameyibe elsőfokú a számláló, visszavezetjük a feladatot két itegrál összegére, amit az eddigiekkel köye ki tuduk számoli, éspedig: ab a b b A B A d A d, a b c a a b c Pk 7) Általáos esetbe, ha az itegráluk d, ahol a k és ideek a poliomok fokszámait jelzik, a következőket modhatjuk el: P ha k, akkor első lépés egy maradékos poliom osztás, mely szerit Pk Rl Qk, ahol l, P P ha k, akkor a evezőt szorzattá alakítjuk, majd az itegradust parciális törtekre botjuk. Ameyibe a evezőek csak egyszeres valós gyökei vaak, és ezeket,..., jelöli, felírhatjuk, hogy Pk A A d... d.... Ha a evezőek többszörös valós gyöke va, felírhatjuk, hogy Pk A A A d... d, ( ) ( ) ha pedig va fel em botható másodfokú faktor a evezőbe, akkor P k p r a b c s d A A p B Br C D C s Ds =......... p r a b c a b c 5.3.4. Példák racioális törtfüggvéy itegrálására: ) Számítsuk ki az 65 d határozatla itegrált. Megoldás: Tekitve, hogy ics a evezőek valós gyöke, em lehet szorzattá alakítai. d s. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

5. Itegrálszámítás 45 A 3) alapesetük va, így d d d d 65 3 95 3 6 6 3 4 4 3 d arctg c 4 3 4 4 4 ) Számítsuk ki az 65 d határozatla itegrált. Megoldás: Tekitve, hogy va a evezőek valós gyöke, parciális törtekre botható: d d 6 5 5 A B A 5 B AB 5AB 5 5 5 5 5 AB 5AB A B 4 4 d d d l l 5 c l c. 5 4 4 5 4 4 4 5 5.4. Határozott itegrál Az itegrálszámítás alapötlete az, hogy sok meyiséget hatékoya kiszámíthatuk úgy, hogy kis részekre botjuk, majd összegzük. Természetese felvetődik az a kérdés, hogy mi törtéik, ha egyre jobba fiomítjuk a felosztást, azaz egyre több tagból álló összegekkel számoluk, sőt, mi va akkor, ha a az összeadadók száma a végtelehez tart. A válasz egyszerű: ekkor kapjuk meg a határozott itegrál értékét. A véges közelítések határértékéek elméletét Berhard Riema émet matematikusak köszöhetjük. Tekitsük az ab, zárt itervallumo egy tetszőleges f korlátos függvéyt ( f -ek ezt a tulajdoságát többet em említjük, magától értetődőek tekitjük). Osszuk fel az ab, itervallumot em feltétleül egyelő hosszúságú részitervallumokra, legyeek az osztópotok övekvő sorredbe a következők (most az a -t és a b -t is ezek közé soroljuk): a... b. Az osztópotok halmazát P,,...,, felosztásak evezzük, a P felosztás ormája pedig em más, mit a leghosszabb részitervallum hoszsza. Jelölése: P. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

46 Az építészek matematikája, I 5.4.. Defiíció: A f összeget, ahol tetszőleges közbülső értékek, i i i i i i i itegrál közelítő összegek vagy az f függvéy ab, itervallumra voatkozó Riemaösszegéek evezzük. Sok ilye összeg va, attól függőe, hogya választjuk ki a felosztást és az, részitervallumok közbülső i potjait. i i i i i i 5.4.. Defiíció: Az s m összeget, ahol, i i m i if i, i f, azaz az f függvéy itervallum fölötti legagyobb alsó korlátját jelöli, alsó közelítő összegek evezzük. Grafikusa: 5.4.3. Defiíció: Az S M összeget, ahol i i i i i, i M sup f i, azaz az f függvéy, i i itervallum fölötti legkisebb felső korlátját jelöli, felső közelítő összegek evezzük. Grafikusa: 5.4.4. Defiíció: Az f függvéy ab, itervallumo vett határozott itegrálja em más, mit a i f Riema-összegek határértéke, amikor a felosztás ormájával ullához tartuk i i i Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

5. Itegrálszámítás 47 (végtele részitervallumuk va). Jelölése: f d lim f úgy kell, hogy itegrál a-tól b-ig f b a, kimodai pedig P i i i i dé vagy f szeriti itegrálja a-tól b-ig. A feti ábra em más, mit az 3 f 3 függvéy és,9 között vett, 9 részitervallummal (téglalappal) felírt Riema-összeg geometriai iterpretációja, melybe a közbülső k értékek a megfelelő itervallumok felezőpotjai. A 9 tagú összeg 4,84699, míg a terület maga 4,8598. 5.4.5. Lemma: Ha az ab, itervallum egy meglévő felosztásához új osztópotokat veszük (azaz a felosztást fiomítjuk), akkor az alsó közelítő összeg mooto ő (em csökke). 5.4.6. Lemma: Ha az ab, itervallum egy meglévő felosztásához új osztópotokat veszük, akkor a felső közelítő összeg mooto csökke (em ő). 5.4.7. Lemma: Nics olya alsó közelítő összeg, amelyik agyobb lee, mit egy felső közelítő összeg, azaz tetszőleges m és eseté sm S. 5.4.8. Következméy: sup s if S. m ab iterval- ab iterval- Két eset lehetséges tehát: vagy sup sm if S, vagy sup sm if S. Az első esetbe, azaz ha sup sm if S lumo. A második esetbe, azaz ha sup s if S lumo és ekkor a határozott itegrál sup i, az f függvéy em itegrálható az,, az f függvéy itegrálható az, m b f d sm f S a. (Akár így is bevezethető a határozott itegrál fogalma.) Tehát bármely felosztáshoz hozzáredelt Riema-összeg em lehet agyobb a felső közelítő összegél, és em lehet kisebb az alsó közelítő összegél. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

48 Az építészek matematikája, I 5.4.9. Példák: a kostas függvéy az, ab itervallumo itegrálható,, ha, Q, ha, R Q em itegrálható az értelmezési tartomáyá. a, itervallumo értelmezett d Dirichlet függvéy 5.5. A határozott itegrál rövid geometriai iterpretációja A határozott itegrál geometriai szemléltetése fotos eljárás, mert megköyíti az itegrálok tulajdoságaiak felismerését, émely esetekbe akár igazolását is. A defiícióból adódik, hogy egy em egatív értékű folytoos f függvéy ab, itervallumo vett határozott itegrálja tulajdoképpe az f grafikoja, az -tegely, az a és b egyeesek által közrezárt területrészt jeleti, rövide, az f grafikoja alatti területet jeleti. Úgy is modjuk még, hogy az a és b között az f grafikoja által meghatározott görbe voalú trapéz területét méri. Ameyibe a függvéyük egatív, a határozott itegrál egyelő az f grafikoja, az - tegely, az a és b egyeesek által közrezárt terület elletettjével. Ezek szerit a határozott itegrál valójába előjeles területet jelet. Ha függvéyük (mit a legtöbb esetbe) akár többször is belemetsz az -tegelybe, tehát ab, itervallumbeli -ekre pozitív és egatív értékeket egyarát felvesz, akkor más a helyzet. Ilyekor az f függvéy ab, itervallumo vett határozott itegrálját akkor kapjuk meg, ha öszszeadjuk az -tegely feletti területrészeket (azaz a pozitív értékű grafikorészek és az -tegely közötti területeket) az -tegely alatti területrészek elletettjeivel (azaz a egatív értékű grafikorészek és az -tegely közötti területek elletettjeivel). Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME