Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23
paramétervonalak, szintvonalak Legyen D R 2 összefüggő nyílt halmazt jelöl. Az f : D R függvényt kétváltozós valós értékű függvénynek nevezzük. Grafikus képe a Gr f = {(x, y, z) R 3 (x, y) D, z = f (x, y)} térbeli pontok halmaza. A grafikus kép általában egy térbeli felületet határoz meg. Példa: f (x, y) = x 2 + y 2, (x, y) R 2 A függvény grafikus képének egy pontja például P 0 = (1, 2, 5), mivel f (1, 2) = 1 2 + 2 2 = 5. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 2 / 23
Ha y = y 0, azaz rögzítjük a második változót, akkor a G 1 = {(x, y 0, z) R 3 (x, y 0 ) D, z = f (x, y 0 )} halmaz általában egy görbét határoz meg a térben, melyet az y változó rögzítésével kapott paramétervonalnak szokás nevezni. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 3 / 23
Ha x = x 0, azaz rögzítjük az első változót, akkor a G 2 = {(x 0, y, z) R 3 (x 0, y) D, z = f (x 0, y)} halmaz általában egy görbét határoz meg a térben, melyet az x változó rögzítésével kapott paramétervonalnak szokás nevezni. Példa: f (x, y) = x 2 + y 2, (x, y) R 2 Ha y = 2, akkor az y változó rögzítésével kapott paramétervonal f (x, 2) = x 2 + 2 2 = x 2 + 4, melynek képe parabola az xz-koordinátasíkkal párhuzamos síkban. Ha x = 1, akkor az x változó rögzítésével kapott paramétervonal f (1, y) = 1 2 + y 2 = 1 + y 2, melynek képe parabola az yz-koordinátasíkkal párhuzamos síkban. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 4 / 23
Definíció Ha c eleme az f : D R 2 R függvény értékkészletének, akkor a Γ = {(x, y) R 2 (x, y) D, f (x, y) = c} halmazt a grafikus kép c paraméterhez tartozó szintvonalának nevezzük. A szintvonalas ábrázolást a többek között a térképészetben használják. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 5 / 23
Iránymenti derivált Legyen adott egy f : D ( R 2 ) R függvény, egy r 0 belső pontja D-nek, valamint egy v R n nemzérus vektor. Legyen továbbá a v vektor v-vel egyező irányú és egységnyi nagyságú, azaz v = 1 v v. Az f függvény r 0 pontbeli, v irányban vett iránymenti deriváltján a v f (r 0 ): = lim λ 0 f (r 0 + λ v ) f (r 0 ) λ határértéket értjük, amennyiben létezik. Ha f differenciálható r 0 -ban, akkor ( ) v f (r 0 ) = grad f (r 0 ) v. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 6 / 23
A v irányban vett iránymenti derivált skalármező esetén szemléletesen azt fejezi ki, hogy az értelmezési tartományban a r 0 pontból a v irányban "haladva" mennyi a függvényértékek változásának gyorsasága. Ha az adott irányban az iránymenti derivált negatív, akkor az adott irányba elindulva a függvényértékek csökkennek. Ha az iránymenti derivált pozitív, akkor az adott irányba elindulva a függvényértékek nőnek. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 7 / 23
Amennyiben a függvény első változóját x jelöli, az e 1 = (1, 0) iránymenti deriváltat (mint már az első előadásban láttuk) szokás x változó szerinti parciális deriváltnak is nevezni. Definíció szerint ha r 0 = (x 0, y 0 ), akkor f x (x f (x 0, y 0 ) = lim 0 +λ,y 0 ) f (x 0,y 0 ) λ 0 λ mely bevezetve az x = x 0 + λ jelölést f x (x 0, y 0 ) = lim x x0 f (x, y 0 ) f (x 0, y 0 ) x x 0 alakban írható. Az első változó szerinti parciális derivált geometriai jelentése kétváltozós valós értékű függvény esetén: az y változó rögzítésével előálló felületi görbe érintőjének meredeksége az xz - koordinátasíkkal párhuzamos síkban. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 8 / 23
Jelölések az első változó szerinti parciális deriváltra: 1 f (r 0 ), f 1 (r 0), x f (r 0 ), f x(r 0 ), D 1 f (r 0 ), f x (r 0) Amennyiben a függvény második változóját y jelöli, az e 2 = (0, 1) iránymenti deriváltat szokás y változó szerinti parciális deriváltnak is nevezni. Definíció szerint ha r 0 = (x 0, y 0 ), akkor f y (x f (x 0, y 0 + λ) f (x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim λ 0 λ mely bevezetve az y = y 0 + λ jelölést alakban írható. f y (x 0, y 0 ) = lim y y0 f (x 0, y) f (x 0, y 0 ) y y 0 Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 9 / 23
A második változó szerinti parciális derivált geometriai jelentése kétváltozós valós értékű függvény esetén: az x változó rögzítésével előálló felületi görbe érintőjének meredeksége az yz - koordinátasíkkal párhuzamos síkban. Jelölések a második változó szerinti parciális deriváltra: 2 f (r 0 ), f 2 (r 0), y f (r 0 ), f y(r 0 ), D 2 f (r 0 ), f y (r 0) Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 10 / 23
Legyen az f : D R 2 R differenciálható függvény adott, c eleme az f értékkészletének, és tekintsük a c-hez tartozó szintvonalat, mint síkgörbét, az r(t) = (x(t), y(t)) alakban, ahol t [a, b]. Ekkor t [a, b] esetén az érintővektor és a gradiensvektor merőlegesek. Indoklás: Azt kell megmutatni, hogy r (t) grad f (r(t)) = 0. Ez az összetett függvény deriválási szabályából következik is: f (r(t)) = c grad f (r(t)) r (t) = 0. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 11 / 23
Példa Az (x, y) R 2, f (x, y) = x 2 + y 2 függvény képe forgási paraboloid. A c = 1 értékhez tartozó szintvonal egy kör, így felírható t [0, 2π[, r(t) = (cos t, sin t) alakban. Ekkor r (t) = ( sin t, cos t), és grad f (x, y) = (2x, 2y) miatt grad f (r(t)) = (2 cos t, 2 sin t). Így r (t) grad f (r(t)) = 2 sin t cos t + 2 sin t cos t = 0. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 12 / 23
Megjegyzés A skaláris szorzat definícióját figyelembe véve v f (r 0 ) = grad f (r 0 ) v o cos ϕ, }{{} 1 így a függvényértékek változási gyorsasága a gradiensvektor irányában a legnagyobb. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 13 / 23
Érintősík Ha egy f : D R 2 R függvény differenciálható a D értelmezési tartomány r 0 = (x 0, y 0 ) belső pontjában, akkor a r 0 egy elegendően kis környezetében lévő r = (x, y) pontra az f (r) függvényérték lineáris közelítése f (r) f (r 0 ) + grad f (r 0 ) (r r 0 ), és az r 0 -beli érintősíkot az S : R 2 R, függvény adja meg. S(x, y) = f (r 0 ) + f x(r 0 ) (x x 0 ) + f y(r 0 ) (y y 0 ) Az érintősík egyenlete az r 0 helyen: z = f (r 0 ) + f x(r 0 ) (x x 0 ) + f y(r 0 ) (y y 0 ) azaz f x(r 0 ) (x x 0 ) + f y(r 0 ) (y y 0 ) (z f (r 0 )) = 0 Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 14 / 23
Mivel az n = (A, B, C) normálvektorú r 0 = (x 0, y 0, z 0 ) pontra illeszkedő sík egyenlete A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0, az r 0 = (x 0, y 0 ) helyen az (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) pontra illeszkedő érintősík egy normálvektora leolvasható a fenti egyenletből: f x(r 0 ), f y(r 0 ), 1 }{{} grad f (r 0 ) Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 15 / 23
Emlékeztető (Matematika II.) Egy f : R R függvény értékének lineáris közelítése az x 0 belső pont egy elegendően kis környezetében az érintőegyenest meghatározó függvény segítségével történik. Például az { } (x, y) R 2 x 2 + y 2 = 4, y 0 ponthalmaz, az origó középpontú 2 egység sugarú "felső" félkör, az x [ 2, 2], f (x) = 4 x 2 függvény képe. Adjunk becslést f ( 2 + 0.01) értékére! Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 16 / 23
... folytatás x Mivel f (x) = 4 x, az x 2 0 = 2 helyen az érintőegyenest megadó függvény: e(x) = f ( 2) + f ( 2) (x 2) = 2 (x 2) és így f ( 2 + 0.01) e( 2 + 0.01) = 2 0.01. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 17 / 23
Ha például az f : R 2 R függvény értelmezési tartománya a { } D f = (x, y) R 2 x 2 + y 2 4 halmaz és (x, y) D f esetén f (x, y) = 4 x 2 y 2, akkor f grafikus képe az origó középpontú, kettő sugarú "felső" félgömb. Mint ponthalmaz: { } (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 4, z 0. Az r 0 = (x 0, y 0 ) belső pont egy elegendően kis környezetében lévő r = (x, y) pontra az f (r) függvényérték lineáris közelítése (az érintősíkot megadó függvény segítségével): f (r) S(r). Adjunk becslést az f ( 0.95, 2 + 0.01) értékre! Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 18 / 23
f (x, y) f ( 1, 2) + f x( 1, 2) (x + 1) + f y( 1, 2) (y 2) az r 0 = ( 1, 2) pont egy kis környezetében. Mivel f ( 1, 2) = 1, f x(x, x y) = és f y(x, y y) =, így 4 x 2 y 2 4 x 2 y 2 f (x, y) 1 + (x + 1) 2 (y 2). Tehát f ( 0.95, 2 + 0.01) 1 + 0.05 2 0.01 = 1.05 + 2 0.01. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 19 / 23
Háromváltozós valós értékű függvények Definíció Ha c eleme az f : D R 3 R függvény értékkészletének, akkor a F = {(x, y, z) R 3 (x, y, z) D, f (x, y, z) = c} halmazt a c paraméterhez tartozó szintfelületnek nevezzük. Példa: f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 20 / 23
A gradiensvektorral kapcsolatos észrevételek a háromváltozós skalármezők esetén is érvényben maradnak. Magasabbrendű parciális deriváltak Tegyük fel, hogy az f : D R n R függvénynek az r 0 D belső pont egy környezetében létezik például az i-edik változó szerinti i f parciális deriváltja. Ha ez parciálisan differenciálható például a j -edik változó szerint, úgy a deriválást elvégezve kapjuk a j i f (r 0 ) := j ( i f (r 0 )) második parciális deriváltját f -nek az r 0 pontban az i-edik és j-edik változók szerint (ebben a sorrendben). Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 21 / 23
Hasonlóan, ha a j i f derivált létezik r 0 egy környezetében és ez parciálisan differenciálható például a k-adik változó szerint úgy a deriválást elvégezve kapjuk a k j i f (r 0 ) := k ( j i f (r 0 )) harmadik parciális deriváltat. Hasonlóan értelmezhetjük a negyed- és magasabbrendű parciális deriváltakat is. Egyéb jelölések a magasabbrendű deriváltakra: f ji (r 0), f x j x i (r 0 ), xj xi f (r 0 ), 2 f x j x i (r 0 ) Young tétel Ha az f : D R n R függvénynek az r 0 D belső pont egy környezetében az összes m 2-edik parciális deriváltjai léteznek és folytonosak az r 0 pontban, akkor a függvény m-edik parciális deriváltjai az r 0 pontban a differenciálás sorrendjétől függetlenek. Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 22 / 23
A másodrendű parciális deriváltak jelölése, amennyiben x az első változó és y a második: Az első változó szerinti parciális deriváltfüggvény első változó szerinti parciális deriváltja: f xx, xx f, 11 f, D 11 f, 2 f, x 2 1 1 f A második változó szerinti parciális deriváltfüggvény első változó szerinti parciális deriváltja: f xy, xy f, 12 f, D 12 f, 2 f x y, 1 2 f Az első változó szerinti parciális deriváltfüggvény második változó szerinti parciális deriváltja: f yx, yx f, 21 f, D 21 f, 2 f y x, 2 1 f A második változó szerinti parciális deriváltfüggvény második változó szerinti parciális deriváltja: f yy, yy f, 22 f, D 22 f, 2 f, y 2 2 2 f Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 23 / 23