Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február
Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla itegrálok........... 7.. A deíciók egyszer következméyei.................. 7.. Primitív függvéyek meghatározására voatkozó módszerek................................. 8... Alapitegrálok.......................... 8... Alapitegrálokra vezet típusok................. 8... Itegrálás ügyese.........................4. Parciális itegrálás..........................5. Itegrálás helyettesítéssel.......................6. Racioális függvéyek itegrálása..................7. Racioális függvéyek itegrálására vezet helyettesítések........................... 8. A határozott itegrál............................. A határozott itegrál értelmezése...................... A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása............. A határozott itegrál alkalmazásai.................... 5.4. Improprius itegrálok............................5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz... 4 II. Megoldások 7. Primitív függvéyek határozatla itegrálok........... 9.. A deíciók egyszer következméyei.................. 9.. Primitív függvéyek meghatározására voatkozó módszerek................................. 4... Alapitegrálok.......................... 4... Alapitegrálokra vezet típusok................. 4... Itegrálás ügyese....................... 44..4. Parciális itegrálás........................ 46
Tartalomjegyzék..5. Itegrálás helyettesítéssel..................... 49..6. Racioális függvéyek itegrálása................ 5..7. Racioális függvéyek itegrálására vezet helyettesítések........................... 55. A határozott itegrál........................... 6.. A határozott itegrál értelmezése.................... 6.. A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása........... 64.. A határozott itegrál alkalmazásai.................... 7.4. Improprius itegrálok........................... 7.5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz... 7
4 Tartalomjegyzék
I. rész Feladatok 5
. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok 7. Primitív függvéyek határozatla itegrálok.. A deíciók egyszer következméyei F. Határozza meg az alábbi függvéyek összes primitív függvéyét: a f :, + ; b f :, ; c f :, π ; d f : si + R. F. Határozza meg az f : I R függvéy I potba elt primitív függvéyét, ha a f : cos R, : π 4 ; b f : R +, : 8. F. Keresse meg azt a f függvéyt, amelyre a f R+, f4 ; b f >, f ; + c f R, f, f ; d f R +, f, f ; e f e + 5 si R, f, f ; f f si, R, f, f, f. F4. Igazolja, hogy a sig függvéyek ics primitív függvéye. F5. a Bizoyítsa be, hogy ha az I R itervallumo értelmezett f : I R függvéyek az F, F : I R primitív függvéyei, akkor c R, hogy F F c I.
8. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok b Mutassa meg, hogy az el z állításba az a feltétel, hogy D f itervallum legye, léyeges: Adjo meg olya emüres H R yílt halmazt, olya F, F : H R diereciálható függvéyeket, amelyre F F teljesül mide H eseté, ugyaakkor F és F em kostasba külöbözek egymástól... Primitív függvéyek meghatározására voatkozó módszerek... Alapitegrálok F6. Számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat az adott I itervallumoko: 6 a 8 + d, I : R; b + d, I : R + ; c + d, I : R + ; d d, I : R + ; 5 e + d, I :,. f f... Alapitegrálokra vezet típusok alakú itegrálok F7. Mutassa meg, hogy ha f : I R pozitív és diereciálható az I itervallumo, akkor f f d l f + c I. F8. Az el z feladat segítségével számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat az adott I itervallumoko: a d, I : R; + b d, I : R; 6 + 7 c tg d, I : π, π e ; d d, I : R; e + 5 d e, I :, ; l f d, I :, + ; l
.. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 9 f α f alakú itegrálok F9. Tegyük fel, hogy az f : I R függvéy pozitív és diereciálható az I itervallumo és α valós szám. Mutassa meg, hogy f α f d f α+ α + + c I. F. Az el z feladat eredméyéek felhaszálásával számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat az adott I itervallumoko: a +4 4 d, I : R; b 6 + 4 d, I : R + ; c e e d, I : R; d si cos d, I : R; l 5 arsh e d, I : R+ ; f + d, I : R+ ; 4 + 7 g + 7 + 5 d, I : 5, + ; 5 h 4 cos tg d, I :, π ; fa + b d alakú itegrálok F. Legye I R egy itervallum és F : I R a f : I R függvéyek egy primitív függvéye. Mutassa meg, hogy ekkor bármely a R \ {}, b R eseté F a + b fa + b d + c I. a F. Az el z feladat eredméyéek felhaszálásával számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat: a d > ; b d < ;
. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok c + d R; d d > ; e d < ; f d >. F. Számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat: d a + R; b d + + 6 d c R; + + d d 5 < < + 5. 4 + f g g d alakú itegrálok F4. Tegyük fel a következ ket: i a g : I R függvéy deriválható az I itervallumo, ii J R egy itervallum és R g J, iii az f : J R függvéyek létezik primitív függvéye. Ekkor az f g g függvéyek is létezik primitív függvéye és f g g d F g + c J, R; ahol F a f egy primitív függvéye. Godolja meg, hogy ez az állítás speciális esetkét tartalmazza az F7., F9. és F. feladatok eredméyeit! F5. Az el z feladat segítségével számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat az adott I itervallumoko: a si d, I : R; b c 6 + si + d, I : R; d + l d, I : R+ ; sh d, I : R + ;
.. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek e cos + tg d, I : π, π ; e tg f cos d, I : π, π.... Itegrálás ügyese F6. Az itegradus alkalmas átalakítása utá számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat a megadott I itervallumoko: a + + d, I : R; b d, I :, + ; c 4 + d, I : R; d + d, I : R; 4 e tg d, I : π, π ; f tg d, I : π, π ; g si d, I : R; h cos d, I : R; i si cos 7 d, I : R; j cos cos d, I : R; k si d, I :, π; cos l 5 + cos d, I : π, π; m si d, I :, π; cos d, I : π, π ; o si cos d, I : R; p si cos 4 d, I : R. q + tg tg d, I : π 4, π 4...4. Parciális itegrálás Parciális itegrálás: Tegyük fel, hogy az f és a g függvéyek deriválhatók az I itervallumo és f g-ek va primitív függvéye. Ekkor az fg függvéyek is va
. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok primitív függvéye az I itervallumo és fg d fg f g d I. F7. A parciális itegrálás szabályát alkalmazva számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat a megadott I itervallumoko: a e d, I : R; b si d, I : R; c e si d, I : R; d e ch d, I : R; e l d, I : R + ; f arctg d, I : R; g l d, I : R + ; h 5 e d, I : R. F8. Számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat a megadott I itervallumoko: a cos + e + d, I : R; b d, I : R; c 4 + arcsi d, I :, ; d cosl d, I : R + ; e l d, I : R + ; f cos lsi d, I :, π; l g d, I : R+ ; h l d, I : R +. F9. Legye N, és tegyük fel, hogy az f, g : a, b R függvéyek -szer deriválhatók és f, g folytoosak. Mutassa meg, hogy fg fg f g + + f g.
.. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek F. Igazolja, hogy tetsz leges,,... eseté si d cos si + cos d si cos +..5. Itegrálás helyettesítéssel si d cos d. A második helyettesítési szabály: Tegyük fel a következ ket: i I és J R-beli itervallumok, ii g : I J egy bijekció tehát g-ek va iverze és g DI, iii f : J R és az f g g függvéyek létezik primitív függvéye az I itervallumo. Ekkor az f függvéyek is létezik primitív függvéye a J itervallumo és f d f gt g t dt tg J. Ilyekor azt modjuk, hogy az gt helyettesítést alkalmazzuk. F. Állítsa el helyettesítéses itegrálással a következ határozatla itegrálokat: a d, ; b + d R; c d > ; d d < ; e + d R; f + 5 d R; a g + b + c d a, b, c R...6. Racioális függvéyek itegrálása Racioális függvéyek evezzük két poliom háyadosát, azaz az R : P Q
4. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok alakú függvéyeket, ahol P és Q poliomok. A három alaptípus itegrálása El ször azt jegyezzék meg, hogy az alábbi három típusú racioális függvéy primitív függvéyét hogya lehet meghatározi.. alaptípus: α d α, +, ahol α R és N adott számok. Ez egy alapitegrál: { α d l α + c, ha α + + c, ha,,... +. alaptípus: a + b a + b + c d I, ahol I egy olya itervallum, amelye a + b + c >, azaz a számlálóba a evez deriváltja szerepel; az itegradus tehát f f Eek is tudjuk már a primitív függvéyét: a + b a + b + c d la + b + c + C I. alakú.. alaptípus: A + B a + b + c d, ahol b 4ac < és R. A evez be lev másodfokú poliomak ics valós gyöke, ezért az itegradus az egész R-e értelmezve va. A számláló tehát egy tetsz leges els fokú poliom, a evez pedig olya másodfokú poliom, amiek ics valós gyöke. Ez már ehezebb!!!. A midig alkalmazható eljárást a d feladatba mutatjuk be.
.. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 5 F. Számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat a megadott itervallumoko: a d, > ; b d, < ; + c + + d, I : R; d + d, I : R; + + e + + d, I : R; f + 5 d, I : R; + 5 6 g + 7 d, I : R; h d, I : R. + F. Igazolja, hogy tetsz leges,,... eseté d + + + + + d. Határozza meg az f : R függvéy primitív függvéyét. + Parciális törtekre botás módszere Tetsz leges R P racioális függvéy primitív függvéyéek meghatározását az a fotos észrevétel teszi lehet vé, hogy mide ilye tört egyszer alakú Q törtek az ú. parciális törtek összegére botható. Eek az eljárásak az egyes lépései a következ k:. lépés: A P törtet egy poliomak és egy olya racioális törtek az összegekét Q írjuk fel, amelybe a számláló fokszáma már kisebb, mit a evez fokszáma: P Q T + P Q, ahol T és P poliomok, de P fokszáma kisebb, mit Q fokszáma. Ezt sok esetbe egyszer átalakításokkal, az általáos esetbe pedig poliomosztással végezhetjük el. Például: 4 + + + + + 5 + 6 + 7 + + + ; az + 5 + 6 + 7 + 5 + 7 + alapjá + 5 + 7 +
6. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok. lépés: Itt már feltesszük, hogy a P törtbe a P fokszáma kisebb, mit Q Q fokszáma. A evez be lev poliomot ameddig csak tudjuk szorzatra alakítjuk. Emlékezzeek a korábba megismert techikákra!!! Például: Q 5 + 4 4; Q + + ; Q + 6 + + 8 + ; Q 7 + + + 5; Q 4 + +. Figyeljük meg, hogy a felbotásba els fokú téyez k, illetve olya másodfokú téyez k szerepelek, amelyekek icseek valós gyökei. Általába is bizoyítható, hogy mide Q valós együtthatós poliomot fel lehet íri valós együtthatós els - és másodfokú téyez k szorzatakét, ahol a másodfokú téyez kek már icseek valós gyökeik. Adott Q poliom eseté egy ilye felbotás meghatározása em midig egyszer feladat!!!. lépés: a parciális törtekre botás. A evez t l függ e keressük az egyszer alakú törteket mégpedig határozatla együtthatókkal. Például: 4 A + A 4 ; + + + A + B + C + + ; 4 8 + A + A + B + C + B + C + +. Itt vegyék észre, hogy az els fokú téyez k eseté a számlálóba egy álladót, a másodfokú téyez k eseté pedig a számlálóba egy els fokú poliomot kell vei. Általába:
.. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 7 Ha a evez be szerepl Q poliomba az r els fokú téyez az m-edik hatváyo szerepel, akkor ehhez a téyez höz A r + A r + + A m r m alakú törtek tartozak. Ha a evez be szerepl Q poliomba a + p + q másodfokú téyez ez tehát már egy olya poliom, amiek ics valós gyöke, mert a p 4q diszkrimiása egatív az -edik hatváyo szerepel, akkor ehhez a téyez höz B + C + p + q + B + C + p + q + + B + C + p + q alakú törtek tartozak. Az R P racioális tört az ilye parciális törtek összege. Q Az A i, B i, C i együtthatók meghatározására egy természetes módszer kíálkozik: a jobb oldalo hozzuk közös evez re, majd a számlálót hatváyai szerit redezzük. Az így adódó tört számlálója egyel a bal oldalo lev tört számlálójával. Tudjuk már azt, hogy két poliom akkor és csak akkor egyel, ha a megfelel együtthatói megegyezek. A két oldal számlálójába az együtthatók egyel ségéb l a határozatla együtthatókra egy egyeletreszert kapuk. Eek megoldásai a keresett A i, B i, C i együtthatók. F4. Parciális törtekre botással számítsa ki a következ határozatla itegrálokat a megadott itervallumoko: a d, I :, 4; 4 b d e f d, I :, + ; c 6 + d, 5 + + d, + 4 d, I : R+ ; I :, + ; I :, + ; d, I :, ;
8. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok g + d, I :, + ; h 4 5 d, I :, 5 ; 4 i 8 + d, I :, ; 4 j 8 d, I :, + ; + k d, I : R. + 4 R,..7. Racioális függvéyek itegrálására vezet helyettesítések a+b c+d d alakú itegrálok, ahol Ru, v kétváltozós poliomok háyadosa. Ezekbe a gyökös kifejezést egy új változóval helyettesítve racioális törtfüggvéy itegrálására jutuk. Potosabba: legye t : a + b c + d. A gt helyettesít függvéyt úgy kapjuk meg, hogy ebb l az -et kifejezzük, majd a második helyettesítési szabályt alkalmazzuk. F5. Alkalmas helyettesítéssel vezesse vissza az alábbi itegrálokat racioális függvéyek itegráljára: a + d > ; b + d > ; c d > ; d + + 4 d > ; + e d < ; f d < < ; g d > ; h d < ;
.. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 9 i d < <. + R si, cos d alakú itegrálok, ahol Ru, v kétváltozós poliomok háyadosa. Ebbe az esetbe a t tg helyettesítést, azaz az arctg t : gt helyettesít függvéyt alkalmazzuk, és felhaszáljuk az alábbi azoosságokat: si si cos si + cos cos cos si si + cos tg + tg tg + tg t + t, t + t. Mivel g t t R, + t ezért a g függvéy szigorúa mooto öveked, ezért va iverze és az a t g tg π, π függvéy. F6. Alkalmas helyettesítéssel számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat úgy, hogy visszavezeti racioális függvéyek itegráljára: a d < < π; si b cos d π < < π; + si c d < < π; cos cos d d π < < π; + cos e + tg d < < π. F7. Oldja meg az el z feladatot ügyese is. Alkalmazza a következ azoosságokat: a...
. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok b... c + si cos cos + si cos si + si cos ; cos d + cos + cos cos ; e + tg cos cos + si si + cos +. 5 cos + si A végeredméyeket hasolítsa össze az el z feladatba kapott végeredméyekkel. F8. Számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat: a + si + cos d π < < π; b + si + cos d π < < π; c + 5 cos d < < π; d L-Sch 64. oldal 8. feladat. S e d alakú itegrálok, ahol Su egyváltozós poliomok háyadosa. Ebbe az esetbe a t e helyettesítést, azaz az l t : gt helyettesít függvéyt alkalmazzuk. Mivel g t >, ha t >, ezért g szigorúa öveked, ezért va iverze, és az a t t e g > függvéy. F9. Alkalmas helyettesítéssel számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat úgy, hogy visszavezeti racioális függvéyek itegráljára: 4 a d > l ; e 4 b e d R; e + e c + 4 d R; e + 4e +
. A határozott itegrál. A határozott itegrál.. A határozott itegrál értelmezése F. Mutassa meg, hogy a Dirichlet-függvéy em Riema-itegrálható a [, ] itervallumo. F. Adjo meg olya f : [a, b] R függvéyt, amelyik em Riema-itegrálható [a, b]-, de f már Riema-itegrálható [a, b]-. F. A deíció alapjá számítsa ki a következ határozott itegrálokat: a d, b d. F. Mutassa meg, hogy az f : [a, b] R korlátos függvéy akkor és csak akkor Riema-itegrálható a kompakt [a, b] itervallumo, és az itegrál értéke az I valós szám, ha az [a, b] itervallumak va olya felosztássorozata, amelyhez tartozó alsó- és fels közelít összegek sorozata koverges, és midkett ek az I szám a határértéke. Jelekkel: f R[a, b] és b a f I { ha [a, b]-ek τ felosztássorozata, amelyre F4. Az el z feladat állítását felhaszálva igazolja, hogy a b b a b a b e d e b e a α d bα+ a α+ α + a < b; lim sf, τ lim Sf, τ I. + + < a < b, α valós szám; c d l b l a a < b. a F5. Mutassa meg, hogy ha f akkor és csak akkor Riema-itegrálható a kompakt [a, b] itervallumo és az itegrál értéke I, ha bármely mide határo túl omodó τ felosztássorozat eseté lim s f, τ lim S f, τ I. + +
. A határozott itegrál F6. Bizoyítsa be, hogy + + + + l. F7. Lássa be, hogy az, ha R \ Q f : q, ha p Q \ {}, p, q q, ha Riema-függvéy Riema-itegrálható [, ]-e és f... A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása F8. Adjo meg olya Riema-itegrálható függvéyt, amelyikek ics primitív függvéye. F9. Mutassa meg, hogy ha f folytoos az [a, b] itervallumo és itt f, akkor b a f f az [a, b]-. F4. A NewtoLeibiz-tétel felhaszálásával számítsa ki az alábbi határozott itegrálokat: a c e g 5 4 π 5 d 5 + 4 ; d + ; e si d; e b sil d; d d + 4 + 5 ; f e d + + ; h l l d; e d.
.. A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása F4. Alkalmasa megválasztott függvéyek határozott itegráljáak felhaszálásával számítsa ki az alábbi határértékeket: a lim + k + k ; b k 9 ; c d e lim + lim + lim + k + + + + + + + + + + + α + α + + α lim α >. + α+ ; + ; F4. CauchyBuyakovszkijSchwarz-egyel tleség: Tetsz leges f, g R[a, b] függvéyek eseté F4. Számítsa ki az b a b b fg d f d g d. I : a d,,,... itegrálokat. Keresse I -re rekurziós formulát. F44. Bizoyítsa be, hogy ha f folytoos a [, ] itervallumo, akkor f d a f d. F45. Lássa be, hogy m d m d m, N.
4. A határozott itegrál F46. Bizoyítsa be, hogy Bm, : m d m!! m + +! m, N. F47. Igazolja, hogy ha f : [, ] R egy folytoos függvéy, akkor fu u du u ft dt du. F48. Bizoyítsa be az alábbi egyel tleségeket: a b c e π 8 + 6 d 4, e r si d π r e r, si + d, 7, d π π 4 si d 6. F49. Határozza meg az alábbi miimumokat: a mi { c d : c R } ; b mi { π/ π/ si a b d : a.b R }. ahol r > valós szám, + 4 d 6 5, F5. Keresse meg azokat az a < b valós számokat, amelyekre az b a + d itegrál értéke maimális. F5. Igazolja, hogy f D[, ], f > eseté { mi } f c : c R f f.
.. A határozott itegrál alkalmazásai 5 F5. Keresse meg a következ határértékeket: +h a lim + t dt, h h b lim si t t dt. F5. Mutassa meg, hogy az f : sit dt R függvéy deriválható, és számítsa ki a deriváltfüggvéyt. F54. Tegyük fel, hogy f : R R olya folytoos függvéy, amelyre si π teljesül. Meyi az f értéke a 4 potba? F55. Bizoyítsa be a következ állításokat: a Ha f mooto öveked, akkor f d k f k ft dt R f f N. b Ha f diereciálható és f korlátos a [, ] itervallumo, akkor va olya -t l függetle c > valós szám, amellyel az f d k f c k egyel tleség mide N számra teljesül... A határozott itegrál alkalmazásai Síkidom terülte A Ha a korlátos f : [a, b] R függvéy Riema-itegrálható az [a, b] itervallumo és f [a, b], akkor az f grakoja alatti A : {, y R a b, y f}
6. A határozott itegrál síkidom területét így értelmezzük: ta : b a f d. Ha f az [a, b] itervallumo, akkor a B : {, y R a b, f y } síkidom területe: B Legye tb : b a f d. ϕ t y ϕ t t [α, β], t [α, β] a sima elemi Γ R görbe egy paraméteres el állítása. Tegyük még fel azt is, hogy ϕ szigorúa mooto öv és ϕ t t [α, β]. Ekkor a C : {, y R ϕ t, y ϕ t, t [α, β]} síkidom területe: C Az tc r ϱϕ, β α ϕ tϕ t dt. α ϕ β polárkoordiátás alakba megadott görbe által meghatározott E : {, y R r cos ϕ, y r si ϕ; r ϱϕ, α ϕ β} szektorszer tartomáy területe, ha ϱ itegrálható: T E β α ϱ ϕ dϕ. F56. Számolja ki az y egyelet egyees és a az y + 6 egyelet parabola által közrezárt síkidom területét.
.. A határozott itegrál alkalmazásai 7 F57. Határozza meg az y 4 és az y 4 görbék által meghatározott síkidom területét. F58. Határozza meg az y 4 és az y görbék által meghatározott síkidom területét. F59. Számítsa ki az alábbi síkbeli halmazok területét: a {, y R 4, y 4 4 }, b {, y R a e, y l }, c {, y R + y, a, b > }. a b F6. Határozza meg az f ás a g függvéyek grakoja által határolt síkrész területét: a f : p >, g : p R, p > ; b f : R, g : 4 R. F6. Szemléltesse az alábbi paraméteres alakba megadott síkbeli görbéket: a ϕ t : cos t t [, π, y ϕ t : si t t [, π asztrois; b ϕ t : cos t cos t t [, π, y ϕ t : si t si t t [, π kardiodid; Számítsa ki a görbék által meghatározott síkidomok területét. F6. Szemléltesse az alábbi polárkoordiátákba megadott síkbeli görbéket: a r ϱϕ : cos ϕ ϕ [ π, π ] kör; b r ϱϕ : cos ϕ ϕ [ π 4, π 4 ] lemiszkáta. Számítsa ki a görbék által meghatározott síkidomok területét. Síkbeli görbe ívhossza B Legye Γ R egy sima elemi görbe és ϕ ϕ, ϕ : [α, β] R a Γ egy paraméterezése. Ekkor a Γ görbe rektikálható, és Γ ívhossza: lγ β α [ϕ t ] + [ ϕ t ] dt.
8. A határozott itegrál A Legye Γ az f : [a, b] R folytoosa diereciálható függvéy grakoja. Ekkor a Γ görbe rektikálható, és ívhossza: lγ b a + [ f t ] dt. C Ha ϱ : [α, β] R folytoosa diereciálható, akkor az r ϱϕ α ϕ β polárkoordiátás alakba megadott Γ görbe rektikálható és az ívhossza: lγ β α ϱ ϕ + [ ϱ ϕ ] dϕ. F6. Határozza meg az alábbi függvéyek grakojáak a hosszát: a f 4, b f lcos π, c f, d f / 5, e f l 8 4, f f 6 +. F64. Számítsa ki az alábbi paraméteres alakba megadott görbék ívhosszát: a ϕ t : e t si t, y ϕ t : e t cos t t [, π/; b ϕ t : cos t, y ϕ t : si t t [, π/. F65. Határozza meg az alábbi polárkoordiátás alakba megadott görbék ívhosszát: a r ϱϕ : si ϕ ϕ [, π]; b r ϱϕ : ϕ [π/, π]. ϕ
.. A határozott itegrál alkalmazásai 9 Forgástest térfogata Legye f : [a, b] R folytoos függvéy és tegyük fel, hogy f az [a, b] itervallumo. Az f grakojáak az -tegely körüli forgatásával adódó forgástest térfogata: H : {, y, z R a b, y + z f} V H : π b a f d. F66. Határozza meg az f : [a, b] R függvéy grakojáak az -tegely körüli megforgatásával adódó forgástest térfogatát: a f : [, ]; 4 Forgástest felszíe b f : si [, π]; c f : e [, ]. Legye f : [a, b] R egy folytoosa diereciálható függvéy és tegyük fel, hogy f az [a, b] itervallumo. Az f grakojáak az -tegely körüli forgatásával adódó H : {, y, z R a b, y + z f} forgásfelület felszíe: F H : π b a f + [ f ] d. F67. Határozza meg az f : [a, b] R függvéy grakojáak az -tegely körüli megforgatásával adódó forgástest felszíét: a f : [, ]; b f : si [, π]; c f : [, 4].
. A határozott itegrál.4. Improprius itegrálok D. Tegyük fel, hogy az f függvéy Riema-itegrálható a tetsz leges a, b R itervallum a lehet és b lehet + is mide kompakt [α, β] a, b részitervallumá, és legye c a, b egy tetsz leges, de rögzített pot. Az f függvéyt impropriusa itegrálhatóak evezzük az a, b itervallumo vagy azt modjuk, hogy f improprius itegrálja koverges a, b-, ha létezek és végesek az alábbi határértékek: lim t a+ c t f d és lim s b s és f improprius itegráljá ezek összegét értjük: b a f d : lim t a+ c t f d + lim s b c f d, s c f d. T. Ha f impropriusa itegrálható az a, b itervallumo, akkor az improprius itegráljáak az értéke függetle a deíciójába szerepl c a, b pot megválasztásától. T. Tegyük fel, hogy a korlátos f függvéy Riema-itegrálható a kompakt [a, b] R itervallumo. Ekkor f impropriusa is itegrálható a, b- és eze az itervallumo az improprius itegrálja megegyezik az f függvéy [a, b]- vett Riema-itegráljával. F68. Vizsgálja meg az alábbi improprius itegrálok kovergeciáját. Ha koverges, akkor határozza meg az értékét: a c e + + d α R, b α + d α R, d α d, f d α R, α + d, d. F69. Dötse el, hogy az alábbi improprius itegrálok közül melyek a kovergesek. A kovergesek eseté számolja ki az itegrál értékét.
.4. Improprius itegrálok a c e e d, l, d, l d, b d f e d, l d, l p d p R. T. Az összehasolító kritérium: Legye a, b R ahol lehet a és lehet b +, és tegyük fel, hogy f is és g is Riema-itegrálható a, b-ek mide kompakt részitervallumá, továbbá f g a, b. Ha az b g d improprius itegrál koverges, akkor az b f d improprius itegrál is koverges majoráskritérium. a a Ha az b f d improprius itegrál diverges, akkor az b g d improprius itegrál is diverges mioráskritérium. a a F7. Dötse el, hogy az alábbi improprius itegrálok kovergesek-e: a c e + e d + + 4 +, b cos + + d, d d, f + d + + + 5, + d, 5 + d. D. Akkor modjuk, hogy az b f d improprius itegrál abszolút kover- ges, ha az b T4. Ha az b a a a f d improprius itegrál koverges. f d improprius itegrál abszolút koverges, akkor koverges is. F7. Mutassa meg, hogy az alábbi improprius itegrálok kovergesek: a cos d, b + si d.
. A határozott itegrál F7. Bizoyítsa be, hogy + si + a d koverges, b si d diverges. T5. Tegyük fel, hogy az f : [, + R + függvéy folytoos, mooto csökke. Mutassa meg, hogy a f számsor koverges vagy diverges aszerit, hogy az + f d improprius itegrál koverges vagy diverges. A tétel érvéybe marad abba az esetbe is, amikor f a feti tulajdoságokkal a [k, + itervallumo k N redelkezik. Ebbe az esetbe f, illetve + f d helyébe f, illetve + f d érted. k k F7. Az el z tétel felhaszálásával vizsgálja meg kovergecia szempotjából az alábbi számsorokat: a α R; b α l. F74. Mutassa meg, hogy + + d 4 5. F75. Mutassa meg, hogy a b lim d határérték létezik és véges, de a b + b + + + d improprius itegrál diverges. Emlékeztet ül: a + fd improprius itegrált akkor modjuk kovergesek, ha a fd és + fd improprius itegrálok midegyike koverges, és ebbe az esetbe + fd : fd + + fd.
.4. Improprius itegrálok F76. A valószí ségszámításba a λ > paraméter epoeciális eloszlás s r ségfüggvéye így va deiálva: f λ : λe λ [, +. Néháy λ > paraméter eseté szemléltesse az f λ függvéyt, és mutassa meg, hogy az f grakoja alatti terület a [, + itervallumo mide λ > eseté -gyel egyel, azaz + f λ d F77. Számítsa ki a következ itegrálokat: a b + + λe λ d; mide λ > számra. /λ λe λ d λ > paraméter. F78. Milye a, b R eseté lesz + fd, ha a f : e a R; { e b a b, ha [, + f :, ha,. F79. Mutassa meg, hogy + e a mide a, + paraméterre. F8. A statisztikába és a valószí ségszámításba fotos szerepet játszó Gaussféle haraggörbét így deiálják: f : e R. Ez a függvéy az ú. stadard ormális eloszlás s r ségfüggvéye. Szemléltesse a függvéy grakoját. Mutassa meg, hogy a + / e d improprius itegrál koverges. Jegyezze meg, hogy + e d π.
4. A határozott itegrál A Φ : π e t dt R függvéyt valószí ségitegrálak, illetve Gauss-hibaitegrálak evezik. F8. Legye µ tetsz leges valós és σ pozitív valós paraméter, és tekitse az f : σ µ π e σ R, függvéyt. Mutassa meg, hogy a + b + c + fd haszálja fel, hogy + fd µ; fd σ + µ. e d π; F8. a Bizoyítsa be, hogy mide > valós számra az + t e t dt improprius itegrál koverges. A Γ : + függvéyt gammafüggvéyek evezzük. t e t dt R + b Igazolja, hogy i Γ + Γ R +, ii ha,,,..., akkor Γ +!..5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz F8. A biomiális sor. Tetsz leges α R eseté az α k : αα α k + k! k,,,...
.5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz 5 biomiális együtthatókkal képzett k α k k hatváysor ezt evezzük biomiális sorak mide < eseté koverges, és az összegfüggvéye az + α, függvéy: + k F84. A Wallis-formula: F85. A Stirlig-formula: α k + α,. k lim + 4 + π. lim +! e π, azaz! közelítésére az alábbi formula érvéyes:!, π ha +. e F86. Mutassa meg, hogy π irracioális szám.
6. A határozott itegrál
II. rész Megoldások 7
. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok 9 M. a b c d M. a b M. a f. Primitív függvéyek határozatla itegrálok.. A deíciók egyszer következméyei d l + c, + ; d l + c, ; si d ctg + c; d arctg + c. + cos d si + c és si π + c c ; 4 cos d si. 4 π d + c. d f + c és f4 4 + c + c c, azaz f. + d f l + + c és f + l + + c + c c, azaz f l + +. d f + c és f + c c és f + + d f + + c és f 6 + + c c és f +. 6 b f c f
4. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok d f d f + c és f + c c és f + + d f l + + c és f l + + c c és f l +. e f e + 5 si e + 5 si d f e 5 cos + c és f e 5 cos + c c 4 és f e 5 cos + 4 e 5 cos + 4 d f e 5 si + 4 + c és f e 5 si + 4 + c c és f e 5 si + 4. si d f cos + c és f cos + c c és f cos + cos d f f si f si + c és f si + c c és f si + si + d f + cos + + c és f + cos + + c c és f + cos +... Primitív függvéyek meghatározására voatkozó módszerek... Alapitegrálok M6. a 6 8 + d 4 + + c, b + d + 4 + c, 4 c d 7 8 d 5 8 5 + c, 8
.. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 4 + d d + + d 5 + 4 + + c, 5 f f e + 5 d d+5 d +5 arcsi +c.... Alapitegrálokra vezet típusok alakú itegrálok M7. Az f függvéy egy primitív függvéye l f, mert l f f. Mivel f f f f itervallumo értelmezett, ezért mide primitív függvéye l f-t l egy kostasba külöbözik. M8. a + d + d l + + c, b 6 + 7 d 6 6 + 7 d l 6 + 7, si si c tg d cos d d lcos + c, cos d e f e e + 5 d d l d l f α f alakú itegrálok c e e + 5 d le + 5 + c, d l l + c, l d l l + c. l M9. M7-hez hasolóa. M. a + 4 4 d 6 b 6 + 4 d 8 e e d, 6 + 4 4 + 4 5 + c, 6 5 8 6 + 4 d 6 + 4 8 e e d e 4 + c, 4 + c,
4. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok d si cos d si cos d si4 + c, 4 l e 5 d l5 d l6 + c, 6 arsh f + d, arsh arsh d + + c arsh + c, 4 + 7 + 7 + 5 d 4 + 7 + 7 + 5 5 5 4 d g h 4 4 4 + 7 + 5 + c, cos tg d fa + b d alakú itegrálok M. M7-hez hasolóa. M. a d b c d d + d arctg + c, d arth + + cos tg d + c d 4 4 + c, + d d tg + c. + c, +c 4 4 +c, d + d
.. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 4 e d d arcsi +c, f M. a d d + 5 5 5 arctg 5 + d 5 + c, 5 d b + + 6 4 [ + 4 ] + c d d + + 8 [ + 8 ] + d 4 + 5 [ ] 5 f g g d alakú itegrálok d arch + c. 6 + d [ 5 ] + + 4 + 6 d + 5 d d arctg + + c, + + 8 d d + + 4 d d arsh 8 + + c, + 5 d d arcsi 5 + c. M4. M7-hez hasolóa. M5. a si d si cos d + c,
44. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok sh b d sh d ch + c, c 6 + si + d cos + + c, d + l d d arctgl + c, + l e d arshtg + c, cos + tg f M6. a b c d e f g e tg cos d cos etg d e tg + c.... Itegrálás ügyese + d + d d arctg+c, + + + 4 + 7 d d + 7 d d + 7 d + 7 l + c, 4 + d 4 4 + 4 + 4 4 arctg + c, + d [ + ] + d + + d + d + 4 d + d + 7 7 + 4 4 + c, si si tg d cos d d l cos + c, cos si tg cos d cos d d cos cos d tg + c, cos cos si d d d d si +c, 4
.. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 45 h cos d cos cos d cos si d cos d cos si d si si + c, siα + β + siα β i a si α cos β azoosság alapjá si + si 4 si cos 7 d d si si4 d si d si 4 d cos cos 4 + c, 4 cosα + β + cosα β j most a cos α cos β azoosságot alkalmazzuk: cos cos d [cos + + cos ] d 5 si 5 6 + si 6 + c, k si d si cos d cos + si si cos d si cos d si { cos cos si, ha π d 4 si cos, ha π π ; { 4 si + cos, ha az π 4 f : cos si +, ha π π 4 függvéy egy primitív függvéy. cos l 5 + cos d cos 5 cos + si + cos si d cos 5 cos d cos cos d 5 cos d 5 tg + c, m si d si cos d d cos tg d ltg + c. si cos cos
46. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok M7. a b c d..4. Parciális itegrálás e d f f, g e g e e e e d 4 e + c. si d f f, g si g cos + cos d f f, g cos g cos + [ si ] si d cos + 9 si + cos + c. 9 e si d cos si f e f e, g si g cos e cos + e cos d f e f e, g cos g si e cos + e si e si d; redezés utá kapjuk, hogy e si d e cos + e si + c. e ch d parciális itegrálással is meghatározható, de egyszer bb a következ : e ch d e5 e + c; e e + e e 5 d + e d
.. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 47 e l d l d g, g ; f l, f l d l + c; f arctg d arctg d g, g, f arctg, f + arctg + d arctg 8 6 + 9 d arctg l + 6 9 + c; g l d g, g ; f l, f l d l 9 + c; h 5 e d e d g e, g e ; f, f e d e e d e + c. M8. a cos + e + d f e +, f e + ; g si + cos +, g e+ si + e + si + d f e +, f e + ; g cos + si +, g + si + e [ e + cos + e + cos + d ] + si + e + 4 e+ cos + 9 e + cos + d, 4
48. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok redezés utá azt kapjuk, hogy cos + e + d e+ si + + e + cos + + c; b + 4 4, c arcsi d arcsi d g, g ; f arcsi, f arcsi d arcsi + d arcsi + + c; d cosl d cosl d g cosl, g sil ; f, f sil sil d sil + sil d g sil, g cosl ; f, f sil + cosl cosl d cosl d sil + cosl + c; e l d l d l d l +c F 7/e; f cos lsi d g cos, g si ; f lsi, f cos si si lsi si cos d si lsi cos d si si lsi si + c; g l d l d l + c;
.. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 49 h l d g, g ; f l, f l l l d l l d g, g ; f l, f l l d l l + 4 + c...5. Itegrálás helyettesítéssel M. Az elkövetkez feladatok megoldásához az alábbi összefüggés yújt segítséget: f d fgtg t dt tg Itt f egy I itervallumo adott pl. folytoos függvéy, g : J I pedig egy szigorúa mooto öveked vagy csökke diereciálható függvéy a J itervallumo. Ilyekor azt modjuk, hogy az gt helyettesítést alkalmazzuk. Figyeljük majd a g helyettesít függvéy szigorú mootoitásáak az elle rzésére! a Most az si t : gt helyettesítést alkalmazzuk. Mivel, ezért, ha g-t a π, π itervallumo tekitjük, akkor itt g szigorúa mooto öveked, ezért a feti képlet alkalmazható: d si t cos t dt cos t tarcsi tarcsi t si t 4 + c arci siarcsi cosarcsi + c tarcsi arcsi b Itt az + c sh t : gt t R; g, g t ch t t R helyetesítést alkalmazzuk:
5. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok ch + d + sh t ch t dt t ch t dt tarsh tarsh M. a ch t + dt sh t tarsh 4 + t ch t sh t +c + t tarsh +c tarsh ch arsh + arsh + c + + arsh + c; d > itegrál kiszámításához alkalmazza az c Az ch t : gt t > helyettesítést. f Alkalmazhatjuk az sh : gt t R helyettesítést. A feladatot megoldhatjuk az 5 4 [ + + + ] azoosság felhaszálásával is. b c d e f..6. Racioális függvéyek itegrálása d l + c, ha, +, d l + c, ha,, + + + d + + + d l + + + c, + + + + d + + + d + + l + + + + + d l + + + + [ + ] + d l + + + arctg + + c, + + d + + d 4 [ ] d 4 4 + + [ arctg + ] + c, + 5 + + 5 d [ d + + 5 + 5 d + 5 d] [l + 5 +
.. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 5 + + 9 d] [l + 5 + 4 + 4 9 [ 9 ] + d] l + 5 + 9 + arcta[ 9 9 ] + c, 6 + g + 7 d + 7 d [ + 7 d + + + 6 d] [l +7 + 6 [ 6 ] + d M.... l + 7 + 6 arcta[ 6 ] + c. M4. a Az itegradus felbotása kis próbálkozással is meghatározható:... 4... 4, 4 de a biztos módszert is alkalmazhatjuk: az 4 A + B A 4 + B 4 4 A + B 4A + B 4 alapjá A + B, 4A + B adódik, amib l A, B következik. Ezért 4 d d + 4 d l + l4 + c, ha < < 4.
5. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok b d A + d + B + + d + d + l + l + + c + l + c, ha,. d + d c Az l függvéy értelmezési tartomáyára kell gyeli! A számolások az el z feladathoz hasolók; a változások: d 6 + d d d + d + + d + d l + l + + c + l + c, ha, +. + d 5 + + d A + + B d 5 l + + l + c ha, +. e 5 5 + + d + d A + + 8 d + + + A + d l + + 8 + c ha, +. +
.. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 5 f Az itegradus így botható fel: + 4... +... + 4 4. + 4 Ezt a felbotást a biztos módszerükkel így határozhatjuk meg: az + 4 A + B + C + 4 A + 4 + B + C + 4 A + B + C + 4A + 4 alapjá A + B, C, 4A, azaz A, B. Ezért 4 4 + 4 d 4 d 8 + 4 d g Az + d + 4 l 8 l + 4 + c, ha >. + d + + d l + + + + + d A + + d + 4 B + C d + a. alaptípusak megfelel törtfüggvéy. A primitív függvéye: + d + d d + 4 l + + [ ] d l + arctg + c l + arctg + c ha, +.
54. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok Ezért + d l + arctg + c ha, +. j Az itegradus felbotása: 4 8 + A + A + B + C + + B + C +. Közös evez re hozás, majd a számlálóba a változó együtthatóiak összehasolítása utá egy 6 ismeretlees egyeletredszert kapuk az A i, B i, C i ismeretleekre. A szóba forgó felbotást azoba így is meghatározhatjuk: [ ] 4 8 + 4 + + 4 + + + 4 + + + + + + 4 + + + + + + + + 4 +. Az egyes tagok primitív függvéyei ie már a szokásos módo határozhatók meg. k El ször a evez t kell felbotai tovább már em botható valós téyez k szorzatára. A felbotásba els fokú téyez k yilvá em leszek az + 4 egyeletek ui. ics valós gyöke, ezért + 4 összeget két másodfokú téyez szorzatára kell felbotauk. Ezt émi ügyeskedéssel így tehetjük meg: + 4 + + 4 + + + +.
.. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 55 Így amib l a szokásos módszerrel adódik. Ezért + d 4 + A + B 4 + + C + D + +, A, B, C, D + + d + + + + d + + + + d + d 4 l + + + d+ + 4 l + + + + + d 4 l + + + + + + d + + + + d 4 l + + + + arctg + arctg + + c...7. Racioális függvéyek itegrálására vezet helyettesítések M5. a Legye t. A helyettesít függvéy t : gt t >.
56. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok Mivel g t t >, ha t >, ezért g szigorúa mooto öveked, következésképpe a második helyettesítési szabály alkalmazható: + d + t + t t dt dt t + t t dt + t t t l + t + c t l + + c, ha >. b t, > ; t : gt t > és g t t t > miatt g szigorúa mooto öveked. Így t + d t t t + t t dt t + + dt t t + t [ t + t + ] dt t [ t ] t + lt + + c t 4 + 4 l + + c, > c d + + 6 d t : 6 ; t 6 : gt t > ; g t 6t 5 t >, g t t + t 6t5 dt 6 t 6 + t dt t 6 t + 6 dt t + t 6 t t + dt 6 t + t 6 6 t 6 t + 6t 6 l + t + c t 6 6 6 + 6 l + 6 + c;
.. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 57 d + 4 d 4 + 4 d t : 4 ; t 4 : gt t > ; g t 4t t > ; g t t + t 4t dt + t 4 t dt 4 t + t 4 4 t + t dt t 4 t t dt 4 t + t 4 4 t 4 t t + dt 4 t 4 t 4 lt + + c t 4 4 4 4 l 4 + + c g Tudjuk, hogy a t helyettesítés racioális törtfüggvéy itegrálására vezet. Ha >, akkor yilvá < t <, ami azt jeleti, hogy az t : gt t, helyettesít függvéyt alkalmazzuk. Mivel g t 6t t > t,, ezért g szigorúa mooto öveked, így a határozatla itegrálokra voatkozó második helyettesítési szabályuk valóba alkalmazható: t 6t d t t dt t. Mivel t 6t t t dt t + 4 t t dt + + dt t + l t + t 4 t dt + t + t + c, t
58. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok ezért d + + l + c >. M6. a si d t +t + t dt ttg t dt ttg l t + c ttg l tg + c, ha < < π. b... c + si cos d + Most az t+t t +t +t t t ttg + + t dt ttg t + t dt ttg törtet parciális törtekre botjuk: t + t A t + Bt + C + t alapjá C, A, B, tehát Ezért t + t t t + t. t + t t + + t t + t dt ttg A + Bt + Ct + A t + t t ttg + t t + l t l + t + c ttg ctg + l tg l + tg +
.. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 59 M7. M8. a + si + cos d dt + t + t +t +t ttg + t + t + t dt ttg + t dt ttg lt + + c ttg l tg + + c, ha π, π. M9. a 4 e 4 d 4 t 4 t dt te A 4 t + B t + 4 C dt t + te tt t + dt te 4 8 4 + t t + 8 dt t + te l t + lt + lt + + c te + l e 4 + c, ha > l. b e e + d e + e + 4 le + + c R
6. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok c e + 4 e + 4e + d t + 4 t + 4t + t dt te t + 4 tt + t + dt te 4 t + t + + 6 t + dt te 4 l e + 6 l e + + c R
. A határozott itegrál 6. A határozott itegrál.. A határozott itegrál értelmezése M.... M. Legye f, ha [a, b] Q és f, ha [a, b] Q. M. A feladat a részébe tekitse az [, ] itervallum egyeletes felosztásait. A b részbe mide N eseté vegye az [, ] itervallumak azt a felosztását, amelyet az i i,,,..., potok határozak meg. b megoldása: Legye f : [, ], q :, és tekitsük az [, ] itervallum τ : { i : q i i,,..., } felosztását. Az ehhez tartozó alsó közelít összeg: sf, τ q q i f i i i i q i q i, Hasolóa a τ felosztáshoz tartozó fels közelít összeg: Mivel Sf, τ q i f i i i i i q i q i q i ha +. q i q i q i i q q, ha +. lim sf, τ I f I f lim Sf, τ + +, ezért I f I f. Az f függvéy tehát itegrálható az [, ] itervallumo, és f.
6. A határozott itegrál M. Ha f R[a, b] és b a f I, akkor I f I f I, ezért mide N számhoz létezik [a, b]-ek olya τ felosztása, amelyre I sf, τ I f I f Sf, τ I +. A τ felosztássorozatra tehát lim sf, τ lim Sf, τ I teljesül. + + Ha [a, b]-ek va olya τ felosztássorozata, amelyre teljesül, akkor az lim sf, τ lim Sf, τ I + + I lim sf, τ I f I f lim Sf, τ I + + egyel tleségekb l következik, hogy I f I f I, azaz f Riemaitegrálható az [a, b] itervallumo és b f I. a M4. A feladat a részébe tekitse az [a, b] itervallum egyeletes felosztásait. A b és c részbe mide N eseté vegye az [a, b] itervallumak azt a felosztását, amelyet az b i a i,,,..., potok határozak meg. c megoldása: Legye f : [a, b], q : b, és tekitsük az [a, b] a itervallum τ : { i : q i i,,..., } felosztását. Az ehhez tartozó alsó közelít összeg: sf, τ f i i i i i q i q i a. q i q b A sorozat határértékéek a meghatározásához vegyük észre, hogy a b a b, és eek határértéke a g : a b R epoeciális függvéy potbeli deriváltjával hozható kapcsolatba. Mivel g D{} és g l a b, ezért a lim sf, τ lim g l a + + b b l b a.
.. A határozott itegrál értelmezése 6 A τ felosztáshoz tartozó fels közelít összeg: Sf, τ f i i i i i q i q i q b q i a. Mivel a h : b a R függvéy deriválható, és h l b, ezért a a lim Sf, τ lim b / lim a h l b + + b + / a. Azt kaptuk tehát, hogy az [a, b] itervallumak va olya felosztássorozata, a- melyhez tartozó alsó- és fels közelít összegek sorozata ugyaahhoz a számhoz tart. Alkalmazzuk most az el z feladat állítását. M5.... M6. A sor Leibiz-típusú sor, tehát koverges. Itt a hagsúly az összeg meghatározásá va. Ehhez tekitse a következ cseles átalakításokat: + 4 + + + + + + 4 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Ez utóbbi az R+ függvéyek az [, ] itervallum egyel részre való felosztásával vett alsó közelít összege. Az F4. feladat c része alapjá ez a függvéy itegrálható, és d l. Az el z feladat állítását felhaszálva kapjuk a bizoyítadó egyel séget. M7. Mivel mide itervallumba va irracioális szám és így olya, ahol f értéke, ezért a [, ] itervallum tetsz leges τ felosztása eseté sf, τ, tehát I f sup{sf, τ τ F[a, b]}. Azt kell megmutati, hogy is igaz. I f azt jeleti, hogy I f if{sf, τ τ F[a, b]} ε > -hoz τ F[, ] : Sf, τ < ε..
64. A határozott itegrál Adott ε > számhoz egy ilye τ felosztást a következ képpe adhatuk meg. Vegyük egy olya N számot, amelyre < ε teljesül. Vegyük észre, hogy a függvéy -él agyobb értéket -él kevesebb helye veszi fel. Ugyais, ha f, akkor p és q kell, hogy legye, márpedig q mide q -hez -él kevesebb p va, amelyre < p < és p, q. q Ezért tekitsük [, ]-ek az egyel részre való τ felosztását. Mutassa meg, hogy Sf, τ <... A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása M8.... M9.... M4. a d 5 + 4 5 d arcsi + c, 9 d [ arcsi ] 5 5 + 4 arcsi arcsi π. b sil d cosl + c, e sil d cos. c Mivel + d ezért 4 d d l + c, ha >, [ + d l ] 4 l l l 4. d Mivel + 4 + 5 d d arctg + + c, ha R, + +
.. A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása 65 ezért [ ] + 4 + 5 d arctg + arctg arctg π. e Parciális itegrálással e si d adódik, ezért π [ si cos ] π e si d e eπ +. si cos e + c R si π cos π e π f Parciális itegrálással l d l + c > adódik, ezért e l d si cos e [ ] e l e l e e l. g El ször az itegradus primitív függvéyeit határozzuk meg. Alkalmazzuk a t +, 5, t 4 helyettesítést, azaz tekitsük az t : gt t 4 helyettesít függvéyt. A g függvéy szigorúa mooto öveked az [, 4] itervallumo, deriválható és g t t t [, 4], ezért a határozatla itegrálokra voatkozó második helyettesítési szabályt alkalmazhatjuk: d + + t + t t dt. t +
66. A határozott itegrál Mivel ezért t + t t dt t t + t dt [ A t + B t + t dt + 4 5 5 ] dt t t t + dt t + dt 5 lt + 4 lt + + C, 5 d + + d 5 l + + 4 5 l + + + C. A NewtoLeibiz-tétel alapjá tehát 5 d + + d [l + + 4 l + + ] 5 5 h El ször az itegradus primitív függvéyeit határozzuk meg. Most a t e, l, t helyettesítéssel próbálkozuk, azaz vesszük az l + t : gt t l. 5 helyettesít függvéyt. A g függvéy deriválható és g t t t [, ], g +t tehát szigorúa mooto öveked. A határozatla itegrálokra voatkozó második helyettesítési szabály tehát alkalmazható: e t d t + t dt dt t e + t t e t arctg t t e arctg e + C. e A NewtoLeibiz-tétel alapjá tehát l e d [ e arctg ] l e π.
.. A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása 67 M4. a megoldása: Mivel + + + + + + + + +, + + + ezért ezt az összeget felfoghatjuk úgy is, mit az f : + > függvéyek a [, ] itervallum egyeletes felosztásához tartozó közelít összege. S t ez f mooto csökkeése miatt egy alsó közelít összeg. Az f függvéy folytoos, tehát itegrálható, és + d. Az F5. feladat állítását felhaszálva kapjuk, hogy a kérdezett sorozat határértéke. e megoldása: Mivel ezért a : α + α + + α α+ lim a + i α, i α d + α. Megjegyzés. Ez az eredméy azt jeleti, hogy mide ε > valós számhoz létezik olya N ide, hogy mide természetes számra feállak az ε α+ α + α + α + + α + ε α+ α + egyel tleségek. Nagy -ekre tehát az α + α + + α összeg az α+ α+ számmal jól közelíthet. Ezt úgy is ki szoktuk fejezi, hogy α + α + + α aszimptotikusa egyel α+ α+ -gyel, ha +, és ezt rövide így szokás jelöli: α + α + + α α + α+ +.
68. A határozott itegrál Vagy azt modjuk, hogy az α + α + + α összeg α+ agyságred. Figyelje meg, hogy ha α, vagy, akkor a szóba forgó összegeket zárt alakba is fel tudjuk íri, és ebb l kaphatuk iformációt arról, hogy az összeg agy -ekre mekkora. Más α-kra pl. α zárt alak vagy ics vagy pedig eheze adható meg. A feladatba mutatott egyszer eszközökkel tehát mide α > valós szám eseté a zárt alak ismerete élkül kaptuk iformációt az összeg agy -ekre való viselkedésér l. M4. Ha b a f b a g, akkor az fg f + g [a, b] egyel tleségb l b b fg d fg d [ b f d+ a a a b a ] g d következik, tehát ekkor igaz az állítás. Tegyük fel, hogy b f és b a a g közül legalább az egyik -tól külöböz, például b f >. Mide λ valós paraméter eseté az F : λf + g a függvéy itegrálható [a, b]-, és az itegrálja emegatív, azaz b a b λf + g λ f + λ a b a fg + b g a λ R. A jobb oldal λ-ak egy másodfokú poliomja, és ez a poliom mide λ R eseté emegatív, ami csak úgy lehetséges, ha a diszkrimiása, azaz b b b fg 4 f g, amib l már következik az állítás. M4. I d. Ha, akkor I I + a d I I + [ ] a a d d d I I,
.. A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása 69 azaz Ezért I I + I,,.... +,,.... M44. Végezze el az t gt t [, ] helyettesítést. M45.... M46. Parciálisa itegrálva azt kapjuk, hogy [ m+ m + Ezért Bm, ] Bm, + m + Bm +, m +! m + m + M47. Itegráljo parciálisa. M48. a d + 6 m d m+ d d 4. b Mivel si [, π ], ezért π π e r si d π d er si π Bm +,. m + m + m + Bm +, m + m+!m! d m + +!. e r π d π r [ ] e r π π π r e r. c Az itegrálszámítás középértéktétele szerit létezik olya ξ [, ], amellyel si d si ξ + + d si ξ[ arctg ] π 4 si ξ π si <, 7. 4
7. A határozott itegrál d A CauchyBuyakovszkij-Schwarz-egyel tleség alapjá 6 + 4 d + 4 d d 5. e Legye f : si, π. Mivel f cos tg, π és tg mide, π potba a tg függvéy ui. kove, π/- e és a grakojáak az érit je a potba az y egyees, ezért f mooto csökke, π/-e, ezért 8 f π π π 4 π π 4 si M5. a Az itegradus folytoos, ezért az F : d f π π 4 π 4 + t dt R 6. itegrálfüggvéye mide R potba diereciálható és F + R, következésképpe F lim h F + h F h h lim h h +h + t dt. M55. b Jelölje M az f egy fels korlátját: f M [, ]. Legye egy rögzített természetes szám, és tekitsük a [, ] itervallum k k,,,..., osztópotokkal vett egyeletes felosztását. Ekkor ezért : f d k k k [ k f d f k k k f f k ] d k k k k k f d, f d k k k k k f f k f k d d.
.. A határozott itegrál alkalmazásai 7 Alkalmazzuk most az f függvéyre a [ k, k ] itervallumo a Lagrage-féle középértéktételt: va olya ξ [ k, k ], amelyre Az f korlátossága miatt f f k f ξ k. Ezért a k k k f f d M k k M M egyel tleség mide N eseté teljesül. k t dt M... A határozott itegrál alkalmazásai M6. a Az ívhossz kiszámolásához szükségük va a deriváltra: Ezért l 4 f. + [ f ] 4 d 8. 7 + 9 4 d [ 8 7 b Mivel f si tg, ezért cos l π π + [ f ] d π cos + si d cos + 9 4 ] 4 + tg d π cos d.
7. A határozott itegrál Az cos, π függvéy primitív függvéyét a már ismert t tg -es helyettesítéssel számítjuk ki: Ezért cos d l π t +t + t dt ttg t dt ttg t + + t dt ttg [ cos d l + tg tg t + t dt ttg ] π l M66. b A si 4 R függvéy primitív függvéye: l + t si 4 d si cos d si d cos d si d 4 si cos 4 d 4 4 si si 4 + + c, 8 4 ezért a keresett térfogat: π π f d [ si + 8 4.4. Improprius itegrálok t + c ttg +. si 4 ] π 8 π. si cos d.5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz M8. Ha α emegatív egész szám, akkor a tagok bizoyos idet l kezdve -val egyel k, így a sor koverges. Ha α em ilye, akkor egyik együttható sem.
.5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz 7, ezért a D'Alembert-féle háyadoskritérium és α α k α k + k + k alapjá α k+ α k k+ k α α k k α kk+ α k k +, ha k +, ezért a sor valóba koverges mide, eseté. Jelöljük f-fel a sor összegét: f : + k α k,. k Megmutatjuk, hogy f hasoló deriválási szabály érvéyes, mit az + α < függvéyre. Erre a függvéyre ugyais + α α + α, azaz + + α α + α teljesül mide, potba. Ehhez hasolóa feáll az + f αf, egyel ség. Ez a hatváysor deriválására voatkozó állítás és felhaszálásával így igazolható: + α + α + f + k k k k k k k + [ α α ] k + + k k α k + k k + k + α k + k k k α k αf. k k Ebb l most már az f + α egyel ség köye bizoyítható. Legye ugyais g : f,. + α
74. A határozott itegrál A g függvéy deriválható és miatt g f + α fα + α + α + f αf + α, ezért g álladó, -e. Az potba g, ezért valóba feáll az f + α, egyel ség. M84. Az állítást az I : π si d,,,... itegrálok kiszámításá keresztül látjuk be. Világos, hogy I π d π és I π si d ha >, akkor parciálisa itegrálva azt kapjuk, hogy I amib l adódik. π cos si d I [ si ] π I cos π π [ ] π cos. cos si cos d si si d I I, I I,,... I I I π, I + + I I. Mivel mide természetes számra ezért si + si + si I + I + I, π/, N,
.5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz 75 azaz + + π + π. Ebb l + + π 4 + π M85. Az alapötlet az, hogy az l d itegrált, azaz az l függvéy [, ] itervallumo vett grakoja alatti területet a beírt trapézok területéek összegével közelítjük. A szóba forgó itegrál köye meghatározható: l d [ l ] l + l l e +l e l e. e Tekitsük most az l kokáv! függvéy grakojába beírt azo töröttvoalat, amelyek szögpotjai a görbe,,..., abszcisszákhoz tartozó potjai. Az e töröttvoal alatti síkidom területe egy háromszögek és trapézak a területéb l tev dik össze, és az értéke: l + l + l + + l + l l + l + + l l l!, ezért a területek külöbsége: : l e! e e l l > N. e! azért pozitív, mert az l függvéy kokáv az egész R + -o. A geometriai tartalomból yilvávaló, hogy a sorozat mooto öveked. Egy szellemes geometriai megfotolásból az is következik, hogy a sorozat felülr l korlátos és l mide N eseté. Ezért a sorozat koverges. Az ep függvéy szigorúa mooto öveked, ezért az e e e!
76. A határozott itegrál sorozat is koverges, és a határértéke pozitív. A sorozat reciproka, tehát az a :! e N sorozat is koverges. Feladatuk a határértékéek a kiszámolása. Ehhez két észrevételt érdemes megjegyezi: egyrészt azt, hogy ami az a a a a a másik észrevétel az, hogy a a < lima lim a a, és lima lima yilvávaló következméye. A a Wallis-formulával hozható kapcsolatba: a a [ 4 6 ] [ ]! e! e [! ]! 4 6 + +. A Wallis-formula alapjá ezért lim + lim + 4 6 lima lim + 4 6 π +,! e lim a + a + π π, ami azt jeleti, hogy lim +! e π.
.5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz 77 M86. Elég igazoli azt, hogy π irracioális. Ezt idirekt módo látjuk be. Ha π racioális lee, akkor létezéek olya p, q N számok, amelyre π p q teljesüle. Vegyük most egy olya N számot, amelyre ilye va, miért?, és tekitsük az πp <! f :! R függvéyt. Az iderekt feltételt felhaszálva parciális itegrálással mutassa meg, hogy A : πp f si π d egy egész szám. Ez viszot elletmodás, mert < A πp! d πp! <.