I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i. Határozza meg az alábbiakat: (a) z + z (b) z + z (c) z + z (d) z z (e) z + z (f) z + z (g) z z (h) z z (i) z 3 z (j) z z (k) z z (l) z z (m) z z (n) z (o) z (p) z z z z 3 (q) ( z ) (r) (s) z (t) z z 3 z 3 z z z (u) z + z 3 z (3) Legyen z = 3(cos 60 + i sin 60 ) valamint z = (cos 0 + i sin 0 ). Határozza meg az alábbiakat: (a) z (b) z (c) z z (d) z z (e) z 3 (f) 3 z (g) 4 z (h) z z (4) Töltse ki az alábbi táblázatot: Algebrai alak Trigonometrikus alak + i 3i (cos 35 + i sin 35 ) i (5) Oldja meg az alábbi egyenleteket a komple számok halmazán: (a) ( + 3i)z + 4 = 5 + i (b) z z + 0 = 0 (c) z iz = 3 + 3i (d) z = 9 (e) z = 6 (f) z 3 i + = 0 (g) ( + i)z 6 = + 4i (h) z 6 + iz 3 + 3 = 0 (i) z 8 z 4 ( + i) + i = 0 (j) z 6 ( + 4i)z 3 + 4i 4 = 0 (6) Végezze el a kijelölt műveleteket: (a) (cos 5 + i sin 5 ) + (4 3i)i (b) 3 4 4 3i 3 + 3i (c) (cos 330 + i sin 330 ) (d) i3 i 7 4 i ( i) + (cos 0 + i sin 0 ) (e) i009 i 00 3 i
(7) Oldja meg az alábbi egyenleteket a komple számok halmazán: (a) i z 3 + i 3 = 4 (b) (i 3)z 5 + i 5 = (c) 3z + 4z = + i (d) z iz i 3 = 3 + i (e) z + iz = 0 (f) z{ z = 0 ( + i)z + (i + )z = i (g) ( i)z (3 i)z = + 5i { z iz = 3i (h) ( + i)z + ( + 3i)z = 8 + 6i (8) Határozza meg az alábbi komple számok trigonometrikus alakját: (a) z = (cos 45 i sin 45 ) (b) z = (sin 35 + i cos 35 ) (c) z = 4(cos 300 + i sin 50 ) (d) z = 4(cos 330 + i sin 50 ) (e) z = i cos 30 cos 0
II. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblátatot: f() g() f(g()) g(f()) f(f()) sin() 3 sin() + + 3 + + cos( 4 ) sin() lg( 3 + ) arcsin() ln() e ln() ln() ln() () Határozza meg a valós számok legbővebb részhalmazát, ahol az alábbi függvények értelmesek: ( + )( 5) (a) f() = + 4 (b) f() = arcsin( ) lg( + 4) (c) f() = + 3 (d) f() = + 4 + 4 (e) f() = lg ( ) + ( ) (f) f() = arcsin + 3 (g) f() = ln( + 36) arccos( + ) (h) f() = ln( + 4) (3) Ábrázolja az alábbi függvényeket: (a) f() = ( 4) 5 (b) f() = 3 arcsin( ) + π (c) f() = ln( + 3) 4 (d) f() = 3e + (e) f() = 3 + 4
(4) Határozza meg az alábbi függvények inverz függvényét, ha létezik. Ha nem létezik akkor határozza meg a valós számok legbővebb részhalmazát, ahol az inverz létezik és határozza is meg azt! (a) f() = 4 6 (b) f() = + 6 (c) f() = 3 + 5 6 (d) f() = 7 + 3 (e) f() = log 5 ( 0) + 6 (f) f() = ( 4) + 3 (g) f() = 4 + ( 3 ) 3 (h) f() = arcsin + π (i) f() = ( ) arctg π ( 4) 4 π (j) f() = cos 3 4 (5) Páros, páratlan vagy egyik sem az alábbi függvény: (a) f() = e (b) f() = e sin (c) f() = + cos +
III. feladatsor () Adja meg az a n = 5n n + sorozat következő elemeit: a, a, a n+, a n 3. () Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat monotonitás és konvergencia szempontjából: (a) a n = n + 4 (b) a n = n + n + 3 (c) a n = ( ) n (d) a n = 4n + 3n 7 (3) Adottak az alábbi konvergens sorozatok. Adja meg a határértéket, és azt a küszöbindeet, amelynél nagyobb indeű tagjai a sorozatnak ε = -nál kisebb hibával közelítik a határértéket! 00 (a) a n = 4n + (b) a n = 3n (c) a n = 3n n n + 4 4n (d) a n = 4n + 3n 7 (4) Határozza meg az alábbi nevezetes sorozatok határértéket: (a) a n = 3 (b) a n = n (c) a n = n (d) a n = n (e) a n = n (f) a n = ( 3 4 (g) a n = ( 3 n) n (h) a n = n (i) a n = n (j) a n = n n (k) a n = n (l) a n = ( + n n! (5) A nevezetes sorozathatárértékek ismeretével és a műveletekre vonatkozó tételek segítségével határozza meg mely sorozatok konvergensek és mi a határértékük! (a) a n = n 3n + (b) a n = 7n 3 5n (c) a n = 4n 4 n 3 + (d) a n = 6n 5 + 0n 4 + 00 (6) Határozza meg a következő sorozatok határértékét: (a) a n = 5n + (b) a n = 3n + n + 7n 5n 7n (c) a n = + 5n3 7n 4 (d) a 9n 4 4n n = n + + 3n n n + (e) a n = 5n + n + (f) a n 7n 4 n = n n 3 7n + (g) a n = n 7n4 (h) a 5n n = n3 7n + + n + n + 4n (i) a n = n + n + 7n (j) a n = n + 3n + n + n 3 + 3 5 n (k) a n = 4n + 9n + n + 3 (l) a 4 3n n = n + n 4 + n 3 + (7) Határozza meg a következő sorozatok határértékét: (n + ) (a) a n = 3 (b) a n = n + 5n6 + 4n n + 3n + 6n (c) a n = n + 4n 7 4n + (d) a n = 3n + 7 3n + 0 8n + (e) a n = 4n + 7 3n + 0 4n + n + (g) a n = 5n + n + 0 (8) Határozza meg a következő sorozatok határértékét: (a) a n = n+ 3 n (b) a + 3 n n = 3n+ 3 n+ n + 8 n+ (c) a n = 5n n (d) a 3 + 3 n n = 4n+ n+3 5 + 7 n+ (e) a n = 3n+ 4 3n (f) a + n n = 43n+ 3n+ 5 3n 3 + 8 n+ (g) a n = 4n 5 n 3 (h) a 4 n+ + 5 n n = 4n 4 3 n+3 5 + n+ ) n ) 3 (f) a n = n + 7n n + n (h) a n = n + n 3 + 3n n + 4
(9) Határozza meg a következő sorozatok határértékét: ( (a) a n = + n) n+3 ( (b) a n = + 4 ) n ( n (c) a n = + n ( (d) a n = ) ) ( n (e) a n = + n) 3n ( (f) a n = ) n 3 ( ) n n+ ( ) n 3 n + 5 n + 6 (g) a n = (h) a n = ( n + ) n + 8 n ( ) 3n n + 4 7n + 4 (i) a n = (j) a n = ( n 3 ) 7n + 5 n+ ( ) n 3 n + 5 n + 6 (k) a n = (l) a n = ( n + ) 4n + 8 n+ ( ) n 7 n + 4n + 8 (m) a n = (n) a n = n + 5 n + 6 ( ) n n ( + 3 n + (o) a n = (p) a n n = + 5 n + 5 ( ) n n n + 3 0 ( 3n + n 3 (q) a n = (r) a n n = + 5 3n + 7 ( ) n n + 3 + ( ) n+ n + (s) a n = (t) a n n = 4 n + 5 ) n + ) 7n 5
IV. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvényhatárértékeket a függvény grafikonjának ismeretében: (a) (b) (c) + 3, + +,, 3 (d), 0 0 + (e) +, (), (f) + 3 (g) lg, lg, 0 + (h) log 0 (i) (j) + 0, 0, 0 ( 3, 0 + log sin, tg π ) sin + lg, + log (k) arcsin, + (l) arctg, arctg + (m) arccos, arccos + (n) arcctg, arcctg + (o) (p) (q) arcsin, arcsin f() = f(), f(), f(), f() + f() = f(), f(), f(), f() + 0 9 { + 4 ha 4 ha < { ha < ha {( f() = 3) ha 3 ha < f(), f(), 0 f(), 0 f() () Határozza meg az alábbi függvények 0 -beli határértékét: (a) f() = 5 + 3 4 + 3 +, 0 =, + (b) f() = 3 0 + + 0, 0 =, + (c) f() = 3 5 + 4 + 7 + 3, 0 =, + (d) f() = 73 + 5 + 3 + 0, 0 =, + (e) f() = 3 + + 4 + + 0, 0 =, + (f) f() = 3 + 4 + 3 + 7, 0 =, + (g) f() = + 6 + 3, 0 =, +, 3, 0,
(h) f() = 3 + 6 8, 0 =, +, 0,,, 4 (i) f() = 4 + 3 6 + 9, 0 = 0,,, 3 (j) f() = 4 + 4, 0 =, (k) f() = 3 + 6 + 9 + 5 + 6, 0 = 3, 0 (l) f() = 3 6 + 8 8, 0 =, + + (m) f() =, 0 = 0, + + + (n) f() =, 0 =, + (3) Határozza meg az alábbi határértékeket: (a) (b) 0 5 5 + 0 sin() sin 5 (c) (d) 0 3 0 7 (e) 0 sin 5 sin 7 (f) 0 tg5 4 3 3 + e 5 e 4 (g) (h) 0 7 0 sin(3) ( ) (i) e e (j) arctg 0 ( (k) ) 5 ( ) + + 4 (l) + 3 ( ) + 6 +4 ( ) 3 3 + 5 (m) (n) 3 + ( ) 5 + 7 + ( ) 3 + + 5 (o) (p) + 3 ( ) 7 3 +3 ( ) 4 3 + 5 + (q) (r) + 3 ( ) +3 ( ) + 4 3 +3 (s) (t) ( ) 3 + +3 ( 3 + + 0 (u) (v) 3 3 + 0 ) +3
V. feladatsor () Adja meg az 0 helyhez tartozó differenciahányados függvényt, a differenciálhányados értékét a definíció alapján: (a) f() = 5, 0 =, 0 = 3 (b) f() =, 0 =, 0 = 3 (c) f() = +, 0 = 3, 0 =, 0 = 4 () Adja meg az alábbi függvények szelő egyeneseinek egyenletét, valamint az érintő egyenesek egyenletét: (a) f() = 4 +, P (0, ), P (, 5) (b) f() =, P (, ), P ( 3, ) 3 (3) Határozza meg az alábbi függvények deriváltfüggvényeit: (a) f() = 3 5 + + ( ) (b) f() = 4 sin 3 (c) f() = 3 + π + log 3 (d) f() = 3 4 cos + 5 (e) f() = sin tg (f) f() = e ln (g) f() = lg arcsin (h) f() = lg (i) f() = 4 5 arctg (j) f() = ln sin (k) f() = tg (l) f() = ctg (m) f() = e sin (n) f() = tg ln (o) f() = 4 + 3 + 5 (p) f() = (q) f() = cgt 3 sin e + 4 (r) f() = sin( 3 ) (s) f() = (sin ) 3 (t) f() = ln( + 4) (u) f() = e +3 (v) f() = e tg ln( +cos ) (w) f() = () f() = (sin ) cos ( ) + 3 (y) f() = sin + (z) f() = ( 3 + 3) arctg (aa) r(ϕ) = 4 ϕ ln ϕ + (ab) V (t) = t 6 cos(3t) (ac) h(t) = t p 5 p 7 + t, p valós paraméter (ad) h(p) = t p 5 p 7 + t, t valós paraméter (aa) f() = ctg ( + 3 ) +4 (4) Határozza meg az alábbi határértékeket:
(5) arcsin(5) 0 ( 3 e + ) + + 3 ( + + ln cos 0 ctg3 0 ) ln()) 0 +( sin 0 sin ln (sin ) 0+ 0 + 0 + 0 5 ln 0+ (e + ) ( ln( + )) Írja fel az alábbi f() függvények m meredekségű érintőinek egyenletét: (a) f() = 3 9 + 8 + 0, m = 6 (b) f() = +, m = 0 + ( ) sin arctan 3 0 +(ctg) ln tg 0+ (c) f() = arctg( + 3), m = 6 (6) Hol növekvő, hol csökkenő, hol van lokális szélsőértéke és milyen a szélsőérték jellege az f() függvénynek, ha a derivált függvénye az alábbi: (a) f () = ( + 4)( 3) (b) f () = ( + 5) ( ) 3 (c) f () = ln ( ) ( 5) ( + 3)( 4) (7) Hol konve, hol konkáv, hol van infleiós pontja az f() függvénynek, ha a második derivált függvénye az alábbi: (a) f () = ( + 4)( 3) (b) f () = ( + 4)3 ( ) (c) f () = + ( 4) ( ) ( ) (8) Végezzen teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényeken: (a) f() = 3 3 (b) g() = + (c) h() = 4 + (d) i() = + 4 (e) j() = e (f) k() = lg (g) l() = ln( + 4) (h) m() = ln( ) (9) Határozza meg az alábbi függvények 0 küröli n-ed fokú Taylor poonját! (a) f() = 4 + 3 + + 3, 0 = 0, 0 =, n = 4 (b) f() = e, 0 = 0, 0 =, 0 =, n = 3, n = 4 (c) f() = ln( + ), 0 = 0, 0 =, n = 3 (0) Oldja meg a következő szöveges feladatokat! (a) Egy felül nyitott, négyzet alapú doboz készítéséhez m területű lemezt használhatunk fel. Hogyan válasszuk meg a doboz méreteit, hogy a térfogata a legnagyobb legyen, és mekkora ez a legnagyobb térfogat? (b) Egy folyó két partján van két város, a képen látható elrendezés szerint. Szeretnénk kábelt fektetni a két város között. A kábelfektetés költsége 000 peták méterenként a százatföldön, 000 peták méterenlánt a víz alatt. Milyen útvonal(ak) esetén minimális a költség?
(c) Egy felül nyitott henger alakú, / l térfogatú mérőedényt szeretnénk készíteni. Hogyan válasszuk az edény alapsugarát és magasságát, hogy minél kevesebb lemezt használjunk fel, és mennyi felhasznált lemezmennyiség? (d) Legfeljebb mekkora téglalap alakú területet lehet körbekerítani 400 méter kerítéssel? (e) Legalább mennyi kerítés kell egy 5 m alapterületű tégalap alakű telek körbekerítéséhez?
VI. feladatsor () Az alapfüggvények integrálja segítségével határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f() = 4 + (b)f() = 34 5 (c) f() = e 4 sin + cos (d) f() = 4 4 (e) f() = 3 + 3 + 4 (f) f() = 5 3 5 + + 3 (g) f() = 4 cos 3 sin (h) f() = 7 + 4 3 3 () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f() = ( 7) (b)f() = 3 + 3 (c) f() = e 4 (d) f() = sin(5 3) (e) f() = sin (f) f() = (4 + ) + (4 + 3) (g) f() = (h) f() = (5 + ) 3 5 + 3 (3) Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f() = 4 sin cos 5 (b) f() = 3 3 + 3 (c) f() = 4 (d) f() = tg3 + cos (e) f() = 5 3 arctg 3 (f) f() = + (g) f() = 3 ln4 4 (h) f() = (arccos ()) (i) f() = cos sin 3 (j) f() = + ( + ) 4 (4) Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f() = (b) f() = 7 4 + 4 3 (c) f() = 5 (d) f() = 4 cos + + 3 sin (e) f() = 4e (f) f() = 5 + 3e ( + )arctg() (5) Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f() = e +sin cos (b) f() = e 4 (c) f() = cos(5 ) (d) f() = 4 ( ) sin 3 (6) Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját parciális integrálással: (a) f() = ( 5) cos (b) f() = ( ) sin (c) f() = (4 + 3)e (d) f() = 4e (e) f() = sin()e (f)f() = arcsin (g) f() = ( + ) ln (h) f() = ln (i) f() = arctg (j) f() = arctg (k) f() = cos( + )e 3 4 (l) f() = ln () ( + + ) (7) Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját:
(a) f() = (b) f() = + 4 9 + (c) f() = (d) f() = 6 + 5 5 + 3 3 (e) f() = (f) f() = + + 5 6 + 3 (g) f() = (h) f() = 6 9 (i) f() = 4 8 (j) f() = 9 3
VII. feladatsor () Határozza meg az alábbi határozott integrálok értékét: 7 (a) d (b) 3 + d (c) e π + d (d) ln d (e) 4 + 8 + 0 d (f) sin d 0 () Határozza meg a területeket, ha: (a) f() =, és [ 6; 3] + (b) f() = e, és [0; ] (c) f() = + 3, és [ 3, ] (3) Határozza meg a két görbe által közrezárt területet! (a) f() =, g() = + (b) f() =, g() = 3 (c) f() =, g() = (4) Határozza meg az f() és az tengely által közbezárt területet! (a) f() = 5 (b) f() = 5 (c) f() = ( ) ln (5) Határozza meg az alábbi függvények ívhosszát! (a) f() = 3 [; 4] (b) f() = [0; ] (c) f() = +, [0; ] (6) Határozza meg az alábbi függvények tengely körüli megforgatásával keletkezett forgástest térfogatát! (a) f() = [0; ] (b) f() = + 3 [ ; 0] (c) f() =, [0; ] 4 (d) f() = e +, [0; ] (e) f() = ln, [; e] (f) f() = 4 + 4 + 0, [ ; ] (7) Határozza meg az alábbi függvények tengely körüli megforgatásával keletkezett forgástest palástjának felszínét! (a) f() = [0; ] (b) f() = 3 [0; ] (8) Határozza meg az alábbi függvények tengely körüli megforgatásával keletkezett forgástest teljes felszínét! (a) f() = [0; ] (b) f() = 3 [0; ]
VIII. feladatsor () Igazolja, hogy az y = + y differenciálegyenletnek megoldása az y = + 3e! () Igazolja, hogy az y 3y + y + 3 = 0 differenciálegyenletnek az y = 3e + e + függvény megoldása (3) Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y = cos +, y(0) = 5 y (b) + =, y(0) = 0 + (4) Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y + y = (b) y + y = e (c) y + y = (d) y y = (5) Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) ( + )y = y, y(0) = 3 (b) y = y (c) y y = (d) y = e +y (e) ( + )y = 3y, y(4) = 54 (f) y = (y + ) (g) ( + y ) = y( + )y (h) (y + ) = ( )yy (6) Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y + 4y + 3y = 0 (b) y 6y + 9y = 0 (c) y + 4y + 5y = 0 (d) y + 4y = 0 (e) y + 5y = 0 (f) y 4y = 0 (g) y 6y + 34y = 74 cos() (h) y + 5y + 6y = (i) y + 4y + 3y = + 3 (j) y 3y 0y = 30 sin() 46 cos() (k) y y 8y = 8 + + 70 (l) y + y + y = 6 cos(3) 8 sin(3) (m) y 0y + 5y = e 3 36e (n) y + y + 0y = 0 + (o) y + y + 6y = e + 6 + + (7) Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y y = 6e (b) y + 4y = (4 + 0)e 4 (c) y 4y + 4y = 0e (d) y + 9y = 7 sin 3