Kettős és többes integrálok ) f,) + + kettős integrálja az, tartománon Megoldás: + + dd 6 + 6 + 8 + 9 + ] + + ] d 8 + 8 + ) f,) sin + ) integrálja a, tartománon Megoldás: ] d + 9 + d + + 68 8 7,5 + sin + ) dd cos + ) + cos d cos d sin + sin + )] cos + )] cos + ) d+ ] + sin ) f,) e + integrálja az, tartománon Megoldás: e + dd e d e d e ] e ] e e ) e e ) e 6 e 5 e + e e e e e + ),95
) f,) + integrálja az, tartománon Megoldás: 5 5 7 + + 5 ) d 5 ] 6 + d 5 + 5 99 5) f,) integrálja a, tartománon Megoldás: A módszer: szerinti integrálás határozatlan integrál). ) d d Helettesítéses integrál: sin u cos u A csillagos egenletet tovább alakítva: + cos u cos u du ), d cos u du A visszahelettesítés: u arcsin, valamint sin u sin u cos u du + sin u ) ) Ezzel a két csillagos egenlet: ) )] arc sin + ) arcsin ) + }{{ } + 6 Az integrál ezzel: d + d + ) ] 9 + 6
Határozzuk meg az alábbi függvének kettős integrálját a rajzban megadott piros vonallal körbezárt) tartománon kétszeres integrálással! 6) f,) + + ) d d 5 5 7 + 7 7 + 5 5 7) f,) + + ] + d ] 5 + 7 + 5 6 5 6 + 5 + d
+ + ) d d + ] d + + ) d + + ln ] + + ln 8 + ln,86 8) f,) e e d d e ] d e e d e )] e e + + e A csillaggal jelölt átalakításhoz felhasználtuk az alábbi paricális integrált: e d e e d ) e 9) f,) +
A területet három részterületre bontjuk. Az eges területekre számolt integrálok: + d d + d d + d d A teljes integrál: 7 6 ] + d ] ] + d + d + ) d + ] 8 + 8 ] + d ) ] 6 + 6 6 + 7 6 5 6 ) + ) d d 7 8 8 + + Határozzuk meg az alábbi függvének kettős integrálját egenletük által megadott görbékkel határolt tartománon kétszeres integrálással! ) f,) +, T : ; ; + 5
+ ) d d ] + d 8 + ) 8 ) f,) +, T : ; ] + ) d 8 + + 8 6 + ) d d + ) ) ) + d ] d ) { } + + 6 + d d + + d 5 5 5 6 8 + 8 + 8 + 5 + 6 8 8 + 8,8 5, + 96 7,7 + + ] 6 5 6 + 96 6
) f,), T : ; ) d d Az szerint integrálva: ] ) ) ) ) + 6 6 + 6 ) A csillagos egenlet ezzel: 6 6 + 6 ) d 8 7 6 5 + 6 ) ] 7 7 65 5 + 6 8 + 7 6 )] 5 + 6 86 5 576 5 ) f,) + ; T :,),,),,) csúcsokkal rendelkező háromszög 7
+ d d ] + d 6 7 + 78 9 + 8 6 7 + 78 9 ) + ) d ) d ] + 8 6,5 ) Alakítsuk át az f,) dt kettős integrált kétszeres integrállá kétféleképpen, ha a T tartomán: a) A tartomán: R R R R 8
) T) f,) dt R R R R R R f,) d d + R f,) d d R R R f,) d d ) b) A tartomán: f,) dt R R R R f,) dd a + a ) ) c) A tartomán: a f,) dt f,) dt a a a a f,) d d f,) dd 9
+ ) ) f,) dt d d f,) dt f,) dd + f,) dd 5) Rajzoljuk fel az + f,) d d integrál integrálási tartománát! + 6) Meghatározandó a z függvén kettős integrálja a P,), P,5), P,) pontok által meghatározott tartománban. A P P oldal egenlete: ) ill.
A P P oldal egenlete: A P P oldal egenlete:. + d d 8 6 6 + ) ill. ] + ) + ) ] d d 6 9 8 9 + 9 9 9 ) d 9 5 ) d 5 ) d 5 ] 6 {5 6 5 )} 7,875 7) Számítsuk ki kettős integrállal az R sugraú gömb térfogatát! R R R R R R
Az -re és -ra az integrálás határai: R R és R R. A gömb koordinátasík fölé eső részének térfogata: V R R R R R d d Az R k jelölés bevezetésével ez az integrál: Az k R R R d k k k k d k k ) d k sin u helettesítés alkalmazásával a határok, a d és az intergrandus megváltozik: k sin u d k cos u du Ebből az integrálás: k k k k k k + cos u { + sin { ) du k du k k -ra sin u u +k -ra sin u u sin u k cos u du k u + ] sin u ))} + sin Visszahelettesítve a külső integrál: V R R R ) d { R R Tehát a térfogat: V R. ] R R R )} R R) R cos u du k + ) k + ) R 8) Számítsuk ki az R térfogatú gömb térfogatát úg is, hog polárkoordinátákra áttérünk!
A gömb egenlete: z R Az új koordináták: r cos ϕ, és r sin ϕ. Az egenlet az új koordinátákban: z R r. A Jacobi-determináns: r r ϕ ϕ cos ϕ sinϕ r sinϕ r cos ϕ r Az integrálás mértéke: dd r dr dϕ, és az új határok: r R, ϕ. V ϕ R r r R r dr dϕ R dϕ R ϕ ) R r ) R r dϕ 9) Kiszámítandó az egségsugarú pozitív negedkörben a következő integrál: + + dt. Polárkoordinátákat bevezetve: + + r +
A határok: r és ϕ ; dd r dr dϕ. r r + dr dϕ r r + ) dr dϕ ϕ ϕ r r + ) r ϕ dϕ ϕ r ) dϕ ) ϕ] ) ) Számítsuk ki az + + z a gömb és a) + a henger közös részének térfogatát! Viviani-féle test). ábra. A Viviani-féle test D modellje
a ρ acos ϕ ϕ a a a a a Az integrálandó függvén: z a + ). Az integrációs tartomán a a) + a kör belseje, azaz r aϕ és ϕ. Az integrálandó függvén tehát: A belső integrál: a cos ϕ 8a V ϕ a cos ϕ r a r r dr dϕ r a r dr a r ) ] a cos ϕ { } { } a a cos ϕ) a ) 8a cos ϕ) sin ϕ ) Ennek a tovább alakításához { szükségünk van a sin ϕ primitív függvénére, u cos ϕ amihez felhasználjuk a du sin ϕdϕ helettesítést: sin ϕdϕ sin ϕsin ϕdϕ cos ϕ ) sinϕdϕ u ) ) ) du u u cos ϕ cos ϕ 5
Innen az eredeti integrál: 8a 8a sin ϕ ) dϕ 8a + ) 8a ϕ + cos ϕ cos ϕ ), ] ahonnan V a ). ) Kiszámítandó a z hiperbolikus paraboloid térfogata az r acos ϕ lemniszkáta eg hurokja felett. a Polárkoordinátákra { térünk át. Az áttéréshez szükséges összefüggések: r cos ϕ r sin ϕ, a határok: ϕ, valamint r acos ϕ, és dd r dr dϕ. Az intergrandus: r cos ϕ sin ϕ ) r cos ϕ A kérdéses térfogat fele: V ϕ a cos ϕ r r cos ϕr dr dϕ A belső integrál: a cos ϕ r r r cos ϕdr ] a cos ϕ cos ϕ a cos 5 ϕ r 6
Az eredeti integrál: V a a cos 5 ϕdϕ a sin ϕ + ) a 6 + sin5 ϕ 5 sin ϕ ) a ] 8 a 5 A cos 5 ϕ primitív függvéne cos α sin α ) kifejtésével): cos 5 ϕdϕ cos ϕcos ϕdϕ cos ϕdϕ + cos ϕsin ϕdϕ cos ϕsin ϕdϕ ) Kiszámítandó a z sin ϕ egenletű kör belsejére vonatkozóan. + sin5 ϕ 5 sin ϕ + függvén integrálja az ) + ϕ A megadott tartomán határai polárkoordinátákkal: ϕ és r cos ϕ. Az integrál: cos ϕ r dr dϕ r r] cos ϕ dϕ cos ϕdϕ sin ϕ] ) Integráljuk a z + függvént az ) + ) egenletű kör belsejére! 7
{ + r cos ϕ A transzformáció: + sinϕ ϕ. A Jacobi determináns: r., amivel a határok: r és + + r cos ϕ) + + r sin ϕ) + 6r cos ϕ + r sin ϕ + r Az integrálás ezzel: + 6r cos ϕ + r sinϕ + r ) r dϕdr r + r ) dr r ] + r,5 ) Integráljuk a z függvént az 9 + egenletű ellipszis belsejére vonatkozóan! { r cos ϕ A transzformáció képletei:. Ezekből a határok: r r sin ϕ és ϕ. A Jacobi determináns:,) r,ϕ) Az integrál ezzel: 88 r r ϕ ϕ cos ϕ sin ϕ r cos ϕr sin ϕ6r dϕdr 88 ] r cos ϕ dr r sin ϕ r cos ϕ r dr 8 6r r sinϕdϕdr 5) Számítsuk ki a z, z, z nolcadgömbre vonatkozólag az z dv integrált! z z I z d d dz 8 { z z z z ) z } z z dz 8 z z + z 5) dz 8 + ) 6 8 8 z z d z z ) dz dz
6) Számítsuk ki az a + b + z a >,b >,c > ) egenletű sík és a c koordinátasíkok által határolt homogén test súlpontjának koordinátáit! A súlpont koordinátái: S dd dz dd dz, S dd dz z dd dz, z S dd dz dd dz Az S -t kiszámítjuk, a többi hasonlóan számítandó: dd dz a c c b z c) b z c) a b z c) d d dz b z c] d dz a belső integrál az u b z c helettesítéssel d bdu): b z c) b z ) d c z c bu du b z ) c Tehát a b c z ) a bc dz 6 c ) ] c z a bc c A tetraéder térfogata, azaz a súlpont koordinátáiban a nevező: dd dz abc 6 Ezzel a súlpont koordinátái: S a, S b, z S c. 9