EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR A htározott integrál lklmzási Szkdolgozt Készítette: Hbi Kitti Mtemtik BSc Mtemtiki elemző szkirány Témvezető: Gémes Mrgit Műszki gzdsági tnár Anlízis Tnszék Budpest 214
Trtlomjegyzék Bevezetés..................................... 3 1. Mple ismertető 4 2. Közelítés véges összegekkel, függvénygörbe ltti terület 7 2.1. Közelítőösszegek.............................. 7 2.2. A htározott integrál és tuljdonsági.................... 1 2.2.1. Newton-Leibniz-tétel........................ 12 3. A htározott integrál lklmzási 13 3.1. Forgástestek térfogt............................ 13 3.1.1. Korong-módszer.......................... 13 3.1.2. Gyűrűmódszer........................... 14 3.1.3. Hengerhéj-módszer......................... 15 3.2. Forgástestek felszíne............................ 15 3.3. Görbék ívhossz............................... 19 4. Integráltrnszformációk különböző koordinát-rendszerekben 25 4.1. Polár koordinát-rendszer.......................... 25 4.2. Henger koordinát-rendszer......................... 27 4.3. Gömbi koordinát-rendszer......................... 29 5. Függelék 31 Köszönetnyilvánítás................................ 33 Irodlomjegyzék................................. 34 2
Bevezetés Szkdolgoztom témájánk htározott integrál lklmzásit válsztottm. A htározott integrált mtemtikán és fizikán kívül még rengeteg szkterületen ngy szeretettel lklmzzák, és mivel ez témkör meglehetősen szerteágzó ezért szkdolgoztom célj nnk bizonyos szeleteinek bemuttás. Az lábbi fejezetekben szemléltetem zt, hogy htározott integrál, miként nyújtht segítséget terület, ívhossz, felszín, térfogt és egyéb gykorlti feldtok kiszámításánál. Több feldtot Mple mtemtiki progrmcsomg - mely többek között lklms grfikus megjelenítésre és dokumentumok készítésére is - segítségével, ábrákkl egészítettem ki, ezáltl egyszerűbbé téve zok szemléltetését. Az első fejezetben röviden ismertetem Mple lpjit és néhány fontosbb megjelenítő prncsát. A második fejezet első részében különböző közelítési módszereket ismertetek, melyeket ábrákon is szemléltetek. A második részben htározott integrálll kpcsoltos fontosbb definíciókt és tételeket gyűjtöttem össze, ezeket lklmzom továbbikbn. A hrmdik fejezetben htározott integrál különböző lklmzásit muttom be, többek között különböző módszereket forgástestek térfogtánk, vlmint ezek felszínének kiszámításár továbbá görbék ívhosszánk kiszámításáról is szót ejtek. A negyedik fejezetben htározott integrál lklmzásár muttok be területi, térfogti és ívhossz feldtmegoldásokt polár-, henger-, és gömbi koordinát-rendszerben. 3
1. fejezet Mple ismertető Miért válsztottm Mple-t? A Mple egy mtemtiki szoftver csomg, mit széles körben tudunk lklmzni mtemtik szkterületén belül. Többek között Mple hsznos segítség lehet számunkr, h függvények vizsgáltát és megjelenítését, felületek ábrázolását, különböző geometrii modellezéseket, továbbá differenciál és integrálszámítást, lineáris lgebr témköreit és még sorolhtnánk mi mindent szeretnénk lklmzni, szemléltetni. Egyetemi tnulmányim során szbdon válszthtó tntárgyon belül tlálkoztm Mple-lel, mit felhsználóbrátnk és hsznos tnulási segédletnek tláltm. Ezt progrmcsomgot szívesen jánlom középiskolától kezdve z egyetemi tnulmányokon át mindenkinek, hiszen fentebb felsorolt témkörökön belül rengeteg mindenben kphtunk szélesebb körű rálátást, h nem csk beszélünk és tnulunk ról, de sját szemünkkel is látjuk z dott feldt megoldását. A dolgoztombn Mple egyenletmegoldó, függvény és felületábrázoló progrmjit fogom hsználni. A dolgozt végén egy kis kitekintést teszek többes integrálok felé beleértve térfogtszámítást, polár-, henger-, és gömbi koordinát-rendszerek hsználtát is. Rövid Mple ismertető A Mple hsználhtó szimpl számológépként lp számításokr, műveleteket ";"-vel zárjuk (több prncsot is bevihetünk egy sorb, ezek eredménye egymás ltt lesz láthtó): > 3+5; 2-4; 5*56; 1^5; 3/5 + 5/9 + 7/12; sqrt(24); 8 2 28 1 313 18 2 6 4
A htározott integrál lklmzási H π -t szeretnénk hsználni "Pi" prncsot kell beírnunk. A trigonometrikus függvények értékét is visszdj Mple, h nem definiált értéket próbálunk kiszámítni hibüzetetet d vissz: > sin (5*Pi/3); rcsin(-1); tn(pi/2); 1/2 3 1/2 π Error, (in tn) numeric exception: division by zero A természetes lpú exponenciális függvény, z bszolút érték, és fktoriális: > exp(2*x+3); bs(-3); 5!; e 2 x+3 3 12 H nem törtlkbn szeretnénk visszkpni z eredményt, hnem lebegőpontos formábn, kkor z "evlf(x)" prncsot kell hsználni. Különböző változóneveket tudunk definiálni, mjd "restrt" prnccsl kitöröljük változókt (szinte új lpot kezdünk): > evlf(3/5 + 5/9 + 7/12); kitti:=2*21; restrt; 1.738888889 kitti := 42 Az "expnd" prncsot zárójelek felbontásár hsználhtjuk: > k:=(x+4)^2*(2*x-8)(x+6); expnd(k); > expnd(sin(2*x)); expnd(cos(2*x)); k := (x + 4) 2 (2 x (x + 6) 8) 2 x 2 x (x + 6) 8 x 2 + 16 xx (x + 6) 64 x + 32 x (x + 6) 128 2 sin (x) cos (x) 2 (cos (x)) 2 1 A "solve()" prncsot például hsználhtjuk legfeljebb negyedfokú lgebri egyenletek megoldásár: > solve(3*x^3-4*x^2-43*x+84=,x); 4, 3, 7/3 Függvények bevitele, és z bb vló behelyettesítés: > f:=x->3*x+x^2; f(x); f(-1); f := x 3 x + x 2 3 x + x 2 2 Az egyszerűbb függvények kirjzolásához "plot()" prncsot hsználjuk, bonyolultbb függvényekhez más csomgokt kellhet behívnunk. A csomgokt "with()" 5
A htározott integrál lklmzási prnccsl hívhtjuk be, mi kiírj csomgbn megtlálhtó prncsokt. Mivel ezeknek prncsoknk listáj elég hosszú lehet, ezért érdemes ":"-tl lezárni, így prncs végrehjtódik, de z eredmény nem látszódik lpon: > plot(x^2,x=-2..2): with(plots): A Mple ábrázolási és számolási prncsi közül sok fjtát hsználtm még ezeken felül, ezért további Mple-höz kpcsolódó információkt mindig z zt érintő nyg végén részletesebben kifejtem mjd. 1.1. ábr. Mple - Juhrflevél kirjzolás 6
2. fejezet Közelítés véges összegekkel, függvénygörbe ltti terület Az lábbikbn tégllpok területének összegével közelítjük egy görbe vonlll htárolt trtomány területét. A közelítés pontosságát úgy növeljük, hogy egyre több tégllpot lklmzunk. 2.1. Közelítőösszegek 2.1. Péld. Mekkor nnk T trtománynk területe, melyet z x-tengely, z y = x függvény grfikonj és z x = 1 függőleges egyenes htárol? Közelítsük megoldást más-más módszerekkel, mjd ábrázoljuk különböző megoldásokt. Felső összeg Egy egyszerű módszerrel közelítjük T trtomány területét. A 2.1. és 2.2. ábrákon kettő és négy tégllp együttesen trtlmzzák z egész kérdéses trtományunkt. A tégllpok mgsság zonos z f függvénynek [,1] intervllumon megdott részintervllumokon felvett mximális értékével, mely mximális értékeit mindig részintervllum jobb oldli végpontjábn veszi fel. A közelítő tégllpok x-tengelyen fekvő oldli dják ezeket részintervllumokt. A két tégllppl vló felső becslés: 1 1 2 + 2 2 1 2.853553395. 7
A htározott integrál lklmzási () Felső összeg két tégllppl (b) Két tégllpos felső közelítés 2.1. ábr. Két tégllpos közelítés Mple-ben A négy tégllppl már pontosbb felső becslés: ( ) 1 3 2 4 1 + 2 + 2 + 1.768283462. 2 () Felső összeg négy tégllppl (b) Négy tégllpos felső közelítés 2.2. ábr. Négy tégllpos közelítés Mple-ben Az előzőekben kpott értékeket felső összegeknek hívjuk. Ezek becsült értékek ngyobbk T trtomány pontos területénél, ugynis mind kettő és négy tégllp mgáb fogllj T-t. Alsó összeg Az eddigiek helyett most négy olyn tégllppl szeretnénk közelíteni, melyeknek szélessége ugyncsk 1/4, de trtomány belsejében, teljes egészében f grfikonj ltt helyezkedik el. A tégllpok mgsságát részintervllumok bl oldli végpontjábn felvett függvényérték dj meg, mivel z f(x) = x függvény csökkenő. A kpott lsó közelítő összeg: 1 4 ( + 3 2 + ) 2 2 + 1.518283462. 2 8
A htározott integrál lklmzási () Alsó összeg négy tégllppl (b) Négy tégllpos lsó közelítés 2.3. ábr. Négy tégllpos közelítés Mple-ben Mivel z összes tégllp T trtományon belül fekszik, ez kisebb, mint z eredeti terület, így T területének vlós értéke vlhol z lsó és felső közelítő összeg közé esik:.518283462 < T <.768283462 Felezőpont szbály Egy új egyszerű módszert kpunk, h tégllpok lpélének felezőpontjábn felvett f(x) értéket vesszük mgsságnk. Ezt közelítést nevezzük felezőpont szbálynk. Az ezzel módszerrel kpott érték z lsó és felső közelítő összeg értéke között helyezkedik el. Alklmzzuk szbályt ismét négy drb egyenként 1/4 szélességű tégllppl: 1 4 ( 2 6 1 4 + 4 + + 4 ) 14.672977397. 4 () Felezőpont-szbály négy tégllppl (b) Négy tégllpos közelítés 2.4. ábr. Felezőpont-szbály lklmzás Mple-ben A fent szemléltetett közelítésekben z [, b] intervllumot, hol z f függvény értelmezve vn, egyenlő x = (b )/n hosszúságú n drb részintervllumr bontottuk fel, és 9
A htározott integrál lklmzási ezeknek vlmely pontjábn vettük f értékét: z első részintervllumbn c 1 pontbn, másodikbn c 2 pontbn és így tovább. Így véges összeg f(c 1 ) x + f(c 2 ) x +... + f(c n ) x lkbn írhtó fel. H egyre több és több részintervllumr bontjuk z eredeti intervllumot, kkor egyre több és keskenyebb tégllpot hsználunk közelítő összegben, így láthtó, hogy ezek véges összegek egyre pontosbb közelítést dnk T trtomány tényleges területére. 2.2. A htározott integrál és tuljdonsági Tekintsünk egy f folytonos függvényt z [, b] zárt intervllumon. Osszuk fel z intervllumot n 1 belső pont felvételével n részintervllumr, legyenek ezek {x 1, x 2,, x n 1 }, melyekre teljesül, hogy = x < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b. A P = {x, x 1, x 2,, x n 1, x n } hlmzt z [, b] intervllum felosztásánk nevezzük. Egy felosztásbn k-dik részintervllum [x k 1, x k ], ennek hossz x k = x k x k 1. 2.2. Definíció. Mindegyik részintervllumon vlmely tetszőleges c k pontot kijelölve, x k 1 c k x k, z n S = f(c k ) x k összeg z f függvény egy Riemnn összege z [, b[ intervllumon. 2.3. Definíció. A P felosztás finomság: mx 1 k n x k = P. k=1 2.4. Definíció. A P felosztás δ-nál finombb, h P < δ. 2.5. Definíció. Tegyük fel, hogy f : [, b] R korlátos. Azt mondjuk, hogy z I z f függvény [, b] intervllumon vett htározott integrálj, h minden pozitív ε-hoz vn olyn pozitív δ, melyre minden P < δ esetén n f(c k ) x k I < ε, k=1 bárhogy is válsztjuk c k értékeket. 2.6. Definíció. Az f függvény integrálhtó (Riemnn-integrálhtó) z [, b] intervllumon, h vn htározott integrálj. 2.7. Definíció. A P n felosztássorozt végtelenül finomodó, h P n, h n. 2.8. Tétel. H z f korlátos függvény integrálhtó [, b]-n, P n pedig végtelenül finomodó felosztássorozt, S n P n felosztáshoz trtozó közelítő összeg vlmilyen c k (k = 1... n) pontokkl, kkor S n I, h n. 1
A htározott integrál lklmzási 2.9. Tétel. Folytonos függvény htározott integrálj H z f függvény folytonos z [, b] intervllumon, kkor z [, b] intervllumon létezik htározott integrálj. A htározott integrálr vontkozó szbályok: 1. Az integrálási htárok felcserélése: f(x) dx = b f(x) dx. b 2. Null hosszúságú intervllum: f(x) dx =. 3. Konstnssl vló szorzás: b kf(x) dx = k b f(x) dx. 4. Összeg és különbség: b (f(x) ± g(x)) dx = b f(x) dx ± b 5. Additivitás: b f(x) dx + c f(x) dx = c b f(x) dx g(x) dx. 6. Mximum-minimum egyenlőtlenség: H f-nek vn minimális és mximális értéke z [, b] intervllumon, kkor 7. Mjorizáció: minf (b ) b f(x) g(x) z [, b] intervllumon f(x) dx mxf (b ). b f(x) z [, b] intervllumon f(x) dx b b f(x) dx. g(x) dx. 2.5. ábr. A htározott integrálr vontkozó szbályok szemléletesen 11
A htározott integrál lklmzási 2.1. Definíció. A görbe ltti terület mint htározott integrál H y = f(x) z [, b] intervllumon nemnegtív és integrálhtó függvény, kkor z y = f(x) görbe ltti terület: 2.2.1. Newton-Leibniz-tétel A = b f(x) dx. 2.11. Tétel. A Newton-Leibniz-tétel 1.része H f folytonos [, b]-n, kkor F (x) = x f(t) dt is folytonos [, b]-n, differenciálhtó (, b)-n és derinváltj f(x): F (x) = d dx x f(t) dt = f(x). 2.12. Tétel. A Newton-Leibniz-tétel 2. része H f folytonos [, b] minden pontjábn, és F z f primitív függvénye z [, b]-n, kkor b f(x) dx = F (b) F (). Teljes terület: H Riemnn összegben szereplő f(c k ) negtív, kkor z f(c k ) x k szorzt tégllp területének z ellentettje. H egy negtív függvényre összegezzük ezeket, kkor megkpjuk függvénygörbe és z x-tengely áltl közbezárt terület ellentettjét, mjd vesszük ennek bszolút értékét, kkor megkpjuk helyes, pozitív területértékét. 2.13. Péld. Számoljuk ki M ple segítségével először z f(x) = sin x htározott integrálját [,2π] intervllumon, mjd függvény grfinkonj és z x- tengely áltl htárolt területét ugynezen z intervllumon! > int(sin(x), x =.. 2*Pi); > p := int(sin(x), x =.. Pi); p := 2 > n := bs(int(sin(x), x = Pi.. 2*Pi)); n := 2 > p+n; 4 2.6. ábr. Egymást kioltó területrészek 12
3. fejezet A htározott integrál lklmzási 3.1. Forgástestek térfogt 3.1.1. Korong-módszer Ezt módszert kkor lklmzzuk, h észrevesszük, hogy kérdéses test síkmetszetének A(x) területe nem más, mint egy R(x) sugrú körlemeznek területe, hol R(x) síktrtomány htárvonlánk forgástengelytől vló távolságát jelenti. Ezért terület: A(x) = π(sugár) 2 = π[r(x)] 2. A korong-módszer térfogtszámításr: V = b A(x) dx = b π[r(x)] 2 dx. 3.1. Péld. Htározzuk meg nnk testnek térfogtát, mit lulról z x-tengely, blról 3x függvény grfikonj, jobbról pedig z x 2 + y 2 = 1 kör áltl htárolt trtomány x-tengely körüli forgtásávl állítunk elő! 3.1. ábr. Forgástest, mire lklmzhtó korong módszer Megoldás: A trtományt két részre bontv hjtjuk végre z integrálást. A két függvény ( 1, 3) pontbn metszik egymást, így ott vágjuk félbe trtományt. 2 2 V = 1 2 π [ 3x] 2 dx + 1 1 2 ( [ x 3 = π 3 3 π [ ( 1 1 x 2 ] 2 2 dx = π 3 x 2 dx + ] 1 2 [x x3 3 ] 1 1 2 ) 1.47197551 1 1 2 1 x 2 dx ) = 13
A htározott integrál lklmzási 3.2. ábr. A megforgtndó trtomány 3.1.2. Gyűrűmódszer H kiindulási trtományunkt úgy válsztjuk, hogy egyik htárvonl sem esik forgástengelyre és nem is metszi zt, kkor forgástest közepén egy lyuk keletkezik. A forgástengelyre merőleges síkmetszetek nem körlpok, hnem körgyűrűk lesznek, minek prméterei következők: A gyűrűk területe: A térfogt: külső sugár: R(x), belső sugár: r(x). A(x) = π[r(x)] 2 π[r(x)] 2 = π([r(x)] 2 [r(x)] 2 ). V = b A(x) dx = b π([r(x)] 2 [r(x)] 2 ) dx. 3.2. Péld. Htározzuk meg lent megdott egyenesek és görbe áltl htárolt trtomány x-tengely körüli forgtásávl előálló forgástest térfogtát! Az első síknegyedbeli trtományt felülről z y = 2 egyenes, lulról z y = 2 x függvény grfikonj, blról pedig z x = egyenes hrátolj. Megoldás: Az integrálási htárok: függvény grfikonj z y = 2 egyenest (1,2) pontbn metszi z x = egyenest pedig (,) pontbn, tehát z integrál -tól 1-ig megy. A sugrk: Külső sugár: R(x) = 2. Belső sugár: r(x) = 2 x. 3.3. ábr. A megforgtndó trtomány 14
A htározott integrál lklmzási V = b π([r(x)] 2 [r(x)] 2 ) dx = = 1 3.1.3. Hengerhéj-módszer 1 π([2] 2 [2 x] 2 ) dx = π(4 4x) dx = π [ 4x 2x 2] 1 = 2π. Függőleges tengely körüli forgtásr vontkozó héjformul: Az x-tengely és folytonos y = f(x) 1, L x b függvény grfikonj áltl htárolt trtomány x = L függőleges egyenes körüli forgtásávl generált forgástest térfogt: V = b 2π( héj sugr) ( héj mgssg) dx. 3.3. Péld. A héjmódszerrel htározzuk meg nnk trtománynk z y-tengely körüli forgásávl generált térfogtát, melyet blról z y-tengely, jobbról z x = 2 egyenes, fentről pedig z y = 1 + x2 prbol görbe htárol! 4 Megoldás: V = b A héj sugr: x, héj mgsság: 1 + x2 4. 2π( héj sugr) ( héj mgssg) dx = V = = 2π 2 x + x3 4 3.2. Forgástestek felszíne 2 [ ] x 2 2 dx = 2π 2 + x4 = 6π. 16 2π(x)(1 + x2 4 ) dx = 3.4. Definíció. Az x-tengely körüli forgtássl előálló forgásfelület felszíne: H z f(x) függvény folytonosn differenciálhtó z [, b] intervllumon, kkor z y = f(x) görbe x-tengely körüli forgtásávl előálló felület felszíne: S = b 2πy 1 + ( ) 2 dy b dx = 2πf(x) 1 + (f dx (x)) 2 dx. 3.5. Definíció. Az y-tengely körüli forgtássl előálló forgásfelület felszíne: H z g(x) függvény folytonosn differenciálhtó z [c, d] intervllumon, kkor z x = g(y) görbe y-tengely körüli forgtásávl előálló felület felszíne: S = d c 2πx 1 + ( ) 2 dy d dy = 2πg(y) 1 + (g dx (y)) 2 dy. c 15
3.6. Péld. Tervezzünk egy serleg lkú, sütőserpenyőt(wokot)! A htározott integrál lklmzási 1. Egy kis kísérletezéssel meggyőződhetünk rról, hogy 9 cm mély és 16 cm sugrú wok űrtrtlm ngyjából 3 liter. Bizonyosságot úgy nyerhetünk, h wokot z lább láthtó módon forgástestnek fogjuk fel és térfogtát integrálássl htározzuk meg. Mjd számoljuk ki, hogy mekkor felülettel kell számolnunk, h be szeretnénk vonni serpenyőnket zománccl. Megoldás: Vegyük észre, hogy fent említett test úgy áll elő, hogy z f(x) = = 16 2 x 2 függvényt [7,16] trtományon megforgtjuk, és ezt tekintjük forgástestnek. f(x) = ( ) 16 2 x 2, f x (x) = 162 x 2 A korong-módszert felhsználv térfogt: 16 ] 16 V = π(16 2 x 2 )dx = π [16 2 x x3 = 153πcm 3 3.389765 liter. 3 7 Az x-tengely körüli forgtássl előálló forgásfelület felszíne: S = = 2π b 16 7 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx = 16 ( ) x (16 2 x 2 ) + (1 + = 2π 162 x 2 7 7 = 288 πcm 2. 2π ( ) 2 x 16 2 x 1 2 + dx = 162 x 2 16 7 [ ] 16 16 dx = 2π 16x = 7 () Megforgtndó függvényrészlet (b) Forgástest 3.4. ábr. A wok ábrázolás Mple-ben 2. Cégünk úgy dönt, hogy z előbb megtervezett és ngyon sikeres wokból picr dob egy luxusszériát. A terv z, hogy z edényt belülről fehér, kívülről kék zománccl vonjuk be. A zománcot kiégetés előtt,5 mm vstg rétegben kell felvinni felületre. A gyártás előkészítő csoport tudni szeretné, hogy mennyi zománcr lesz szükség 5 drbos mennyiség előállításához. Mit válszoljuk? 16
A htározott integrál lklmzási Megoldás: Ahhoz, hogy megkpjuk, hogy mennyi zománcr lesz szükségünk még további két térfogtot kell kiszámolnunk. A külső zománc mennyiséget úgy kpjuk meg, hogy egy,5 mm-el mélyebb wok térfogtáról kivonjuk z lp wokunk térfogtát. A belső zománc mennyiséget pedig úgy, hogy z lp térfogtból vonunk ki egy,5 mm-rel kisebb mélységű woknk térfogtát. f belső (x) = 15,95 2 x 2, f normál (x) = 16 2 x 2, f külső (x) = 16,5 2 x 2 A belső, kisebb wok térfogt: V belső = 15,95 7 π [ 15,95 2 x 2 ] 2 dx = π 15,95 7 15,95 2 x 2 dx = π = 138.662417 πcm 3 3.26354219 liter. ] 15,95 [15,95 2 x x3 = 3 7 A külső, ngyobb wok térfogt: V külső = 16,5 7 π [ 16,5 2 x 2 ] 2 dx = π 16,5 7 16,5 2 x 2 dx = π = 167.462583 πcm 3 3.35353269 liter. ] 16,5 [16,5 2 x x3 = 3 7 Az előbb már kiszámoltuk, hogy V normál 3,389765 liter. Ezért belső zománc mennyiség: V normál V belső = 3,389765 liter 3,26354219 liter.45 liter. Külső zománc mennyiség: V külső V normál 3,35353269 liter 3,389765 liter,46 liter. Az 5 drbos mennyiség előállításához V össz = 5.45 + 5.46 = 455 liter zománcfesték, pontosbbn 225 liter fehér és 23 liter kék festék szükséges. 1 3.7. Péld. Htározzuk meg 15 cm mgs egyenes csonkgúl lkú, lulról nyitott lámpbúr külső felszínét, h fedőköre 5 cm, lpköre 1 cm sugrú. Megoldás: Mivel fenti test egy forgástest, így meg kell htároznunk zt z egyenletet, z lkotót, minek forgtásávl megkpjuk lámpbúrát. H elhelyezzük megfelelő koordinát-rendszerben (egy egység 1 cm), kkor z lkotó egyenlete: f(x) = 1 6 x + 2.5, f (x) = 1/6, 1 + (f (x)) 2 = 37 36. 1 A Thoms-féle Klkulus II. kötetének feldt lpján (85.oldl 55.) 17
Helyettesítsük be: S = 2 π 15 ( ) 1 6 x + 2.5 = 2 π 37 [ x 2 6 12 + 2.5x 37 36 dx = 2 π 37 6 ] 15 = 2 π 37 A területegység 1cm 2, ezért plást 75 4 π 37cm 2. H megoldáshoz hozzádjuk fedőkört: 6 A htározott integrál lklmzási 15 A = S + 2 5 π = 75 4 π 37 + 25πcm 2 ( ) 1 6 x + 2.5 dx = 225 4 = 75 4 π 37 () Lámp felszínének kiszámítás (b) A lámp plástj 3.5. ábr. A lámpbúr Mple-ben MAPLE: A Mple-ben clcplot csomg beolvsás után tudjuk lklmzni rotxplot és rotyplot prncsokt. Mind kettő felépítése megegyezik, rotxplot(f, x=..b, y=c, opts), rotyplot(f, x=..b, x=c, opts). Definiálnunk kell megforgtndó függvényt, f-et, mjd megdjuk, hogy mettől meddig szeretnénk megforgtni, -tól b-ig, és végül forgtási tengelyt. Például: > f:=sin(x); 3.6. ábr. A rotxplot prncs eredménye f := sin(x) > rotxplot(f,x =..2*Pi,y = ) 18
A htározott integrál lklmzási 3.3. Görbék ívhossz 3.8. Tétel. Prméteresen dott görbe ívhossz Legyen C z x = f(t) és y = g(t), t b egyenletekkel prméteres lkbn megdott görbe, f és g folytonosk és egyidejűleg nem nullák z [, b] intervllumon. Akkor C hossz z b L = [f (t)] 2 + [g (t)] 2 dt htározott integrál. 3.9. Definíció. Logritmikus spirálnk nevezzük következő módon dott görbét: hol és b prméterek. c(t) = (e bt cos t, e bt sin t), 3.1. Péld. Számoljuk ki z x = 2e.8 t cos t, y = 2e.8 t sin t logritmikus spirál t 12π közé eső ívdrbjánk hosszát! Megoldás: dx dt = 2e.8t sin t.16e.8t dy cos t, dt = 2e.8t cos t.16e.8t sin t ( ) 2 dx = 4e.16t sin 2 t.64e.16t sin t cos t +.256e.16t cos 2 t dt ( ) 2 dy = 4e.16t cos 2 t +.64e.16t sin t cos t +.256e.16t sin 2 t dt ( ) 2 ( ) 2 dx dy + = 4e.16t (sin 2 t + cos 2 t) +.256e.16t (sin 2 t + cos 2 t) = 4.256e.16t dt dt 12π L = 4,256e.16t dt = 12π 4.256 e.8t dt = 4.256 [ 12.5e.8t] 12π 486.751174. 3.7. ábr. Az x = 2e.8 t cos t, y = 2e.8 t sin t logritmikus spirál 19
A htározott integrál lklmzási 3.11. Definíció. Cikloisnk nevezzük zt görbék, melyet egy egyenesen csúszásmentesen gördülő kör egy perempontj ír le. 3.12. Péld. Htározzuk meg z x = (ϑ sin ϑ), y = (1 cos ϑ) ciklois ϑ 2π közé eső ívdrbjánk hosszát! Megoldás: ( ) 2 dx dx = (1 cos ϑ), = 2 (1 2 cos ϑ + cos 2 ϑ) dϑ dϑ ( ) 2 dy dy = sin ϑ, = 2 sin 2 ϑ dϑ dϑ ( ) 2 ( ) 2 dx dy + = 2 2 (1 cos ϑ) dϑ dϑ 2π L = 22 (1 cos ϑ) dϑ = 2π 2π 2 1 cos ϑ dϑ = 2 sin ϑ 2 dϑ = [ = 2 2 cos ϑ 2 ] 2π = 8. 3.8. ábr. A ciklois egy ívdrbj 3.13. Definíció. Sim görbe ívhossz Az r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k, t [, b] sim görbe ívhossz, mennyiben r pontosn egyszer járj be görbét, miközben t -tól b-ig növekszik: L = b (dx ) 2 + dt ( ) 2 dy + dt ( ) 2 dz dt. dt A képletben szereplő négyzetgyökös kifejezés értéke v, zz dr/dt sebességvektor hossz. Sim görbe ívhossz rövidebb formábn L = b v dt. A következőkben olyn feldtokt oldunk meg, melyeknek megoldás során beleütközhetünk olyn integrálokb, miknek igencsk nehéz megoldás, vgy egyáltlán nem lehet elemi úton kifejezni primitív függvényüket. Megmuttjuk, hogy ezeknek megoldásábn hogyn nyújt segítséget Mple. 2
A htározott integrál lklmzási 3.14. Definíció. Egy gömb és egy egyenes körhenger metszésvonl Vivini görbe. H gömb egyenlete x 2 + y 2 + z 2 = 4 2 henger egyenlete pedig (x ) 2 + y 2 = 2, kkor Vivini görbe prméteres lkj: ( c(t) = + cos t, sin t, 2 sin t ). 2 3.15. Péld. Számoljuk ki nnk Vivini-görbének z ívhosszát, mi z x 2 +y 2 +z 2 = 4 egyenletű gömb és z (x 1) 2 + y 2 = 1 egyenletű henger metszésvonlként áll elő! Megoldás: L = 4π dx = sin t, (dx dt dt )2 = sin 2 t dy = cos t, (dy dt dt )2 = cos 2 t dz dt = cos t 2, (dz dt )2 = cos 2 t 2 sin 2 t + cos 2 t + cos t 4π 2 2 dt = 1 + cos t 2 2 dt Ezen ponton komolybb integrálási ismeretek nélkül nem tudunk továbbhldni, ezért itt lklmzzuk Mple-t: > with(student[vectorclculus]): > ArcLength(<1+cos(t),sin(t),2*sin(t/2)>,t=..4*Pi); 8 EllipticE (i) > ArcLength(<1+cos(t),sin(t),2*sin(t/2)>,t=..4*Pi,output=integrl); 4 π (sin (t)) 2 + (cos (t)) 2 + (cos (1 1/2 t)) 2 dt > evlf(int(sqrt(sin(t)^2+cos(t)^2+cos(1/2*t)^2),t=..4*pi)); 15.2879116.i > evlf(8*elliptice(i)); 15.2879116.i A Mple eredményeiből is látszik, hogy számolás közben z elliptikus integrálb botlottunk voln, miről kár Mple Help-jében is megfelelő leírást tlálunk: EllipticE(z, k) = z 1 k2 t 2 1 t 2 dt, EllipticE(k) = EllipticE(1, k) 21
A htározott integrál lklmzási (b) Vivini görbe () Vivini-féle test 3.9. ábr. Vivini test és görbe Mple-ben 3.16. Definíció. Gyűrűs spirálnk nevezzük zt görbét, mi körülcsvrodik egy origó középpontú tóruszon. A gyűrűs spirál prméteres lkj: c(t) = (( + b cos qt) cos pt, ( + b cos qt) sin pt, b sin qt), hol belső, b külső sugr tórusznk (z ábrán jól láthtó módon). A q értéke dj meg, hogy hányszor tekeredjen körbe görbe tórusz körül, és p htározz meg, hogy hányszor menjen z origó körül. () A tórusz sugri (b) A tóruszr rátekeredő spirál 3.1. ábr. A gyűrűs spirál szármzttás Mple-ben 3.17. Péld. Számoljuk ki c(t) = (( 1 + 1 cos 12t) cos t, ( 1 + 1 cos 12t) sin t, 1 sin t) 2 2 2 prméteresen dott gyűrűs spirál ívhosszát! Megoldás: A definíció lpján ez spirál z 1 belső és 1 külső sugrú tórusz körül 12 2 csvrrl 1-szer körbeforduló gyűrűs spirál. > with(student[vectorclculus]): 22
> ArcLength( <,> ((1+(1/2)*cos(12*t))*cos(t), > (1+(1/2)*cos(12*t))*sin(t), > (1/2)*sin(12*t)),.. 2*Pi,output=integrl); A htározott integrál lklmzási 2π ( ( 6 sin(12t) cos(t) (1 + 12 ) 2 ( sin(t)) cos(12t) + 6 sin(12t) sin(t) + (1 + 12 ) ) ) 2 cos(12t) cos(t) + 36 cos(12t) 2 dt > evlf(arclength( <,> ((1+(1/2)*cos(12*t))*cos(t), > (1+(1/2)*cos(12*t))*sin(t), (1/2)*sin(12*t)),.. 2*Pi)); 38.28186996 Már z elsőre kidott integrál lpján is látszik, hogy ennek feldtnk megoldásához is egy bonyolult integrált kellett voln kiszámítnunk, így ngy segítséget jelent Mple. () A spirál felülnézetből (b) A spirál más nézetből 3.11. ábr. A gyűrűs spirál Mple-ben MAPLE: A Mple-ben z ívhossz kiszámításához Student[Clculus1] csomgot kell előhívnunk. Ez csomg trtlmzz z ArcLength prncsot, ArcLength(f(x), x =..b, opts). Definiálnunk kell f(x)-et, meg kell dnunk htárokt, -t és b-t, mjd egyéb prmétereket is megdhtunk. Egyéb prméterként például meg lehet dni, hogy Descrtes-féle, vgy polár koordinátákt hsználjon, vgy, hogy szimplán z integrál formulát dj válszul. Például: > ArcLength(ln(x), x = 1.. 4); ( 2 + rctnh 1/2 ) 2 + 17 rctnh ( 1/17 ) 17 23
A htározott integrál lklmzási Még egy érdekes görbe, szívgörbe, minek ívhosszát Mple segítségével számoljuk ki: Betöltjük szükséges csomgokt: > with(plots): > with(student[vectorclculus]): A szív grfikonjánk kirjzolás: > plot([16sin(t)^3,13cos(t)-5cos(2t)-2cos(3t)-cos(4t), > t=-3..3],thickness=3); Kiszámoljuk görbe ívhosszát: 3 3 > ArcLength( <,> (16sin(t)^3,13cos(t)-5cos(2t)-2cos(3t) > -cos(4t)),-3..3,output=integrl); 234 (sin (t)) 4 (cos (t)) 2 + (( 13 sin (t)) + 1 sin (2t) + 6 sin (3t) + 4 sin (4t)) 2 dt > evlf(int(sqrt(234*sin(t)^4*cos(t)^2+ > (-13sin(t)+1sin(2t)+6sin(3t)+4sin(4t))^2),t=-3..3)); 11.544928 3.12. ábr. A szív grfikonj Mple-ben 24
4. fejezet Integráltrnszformációk különböző koordinát-rendszerekben 4.1. Polár koordinát-rendszer A polárkoordináták értelmezéséhez ki kell jelöljünk egy O kezdőpontot (pólust) és belőle induló kezdőirányt (polártengelyt). Ezután minden P ponthoz hozzárendeljük z (r, ϑ) polárkoordinátpárt. 4.1. Definíció. Polárkoordinát-rendszerben egy P pont helyét két dttl, (r, ϑ)-vl definiálhtunk, hol: 4.1. ábr. A polárkoordináták szármzttás 1. r sugár ( r), zz pontnk z origótól vett távolság, 2. ϑ pedig z OP-nk polártengellyel bezárt irányított szöge. A polár- és Descrtes koordinátákt összekpcsoló egyenletek x = r cos ϑ, y = r sin ϑ, x 2 + y 2 = r 2. Polárgörbe ívhossz: H r = f(ϑ)-nk vn első deriváltj, és z folytonos z α ϑ β intervllumon, és h P (r, ϑ) pont pontosn egyszer söpri végig z r = f(ϑ) görbét, miközben ϑ végigfut z α és β közötti értékeke, kkor görbe ívhossz: L = β α r 2 + ( ) 2 dr dϑ. dϑ 4.2. Definíció. A krdioid vgy szívgörbe zon pontok hlmz síkon, melyeket egy dott sugrú kör egy rögzített pontj ír le, miközben csúszás nélkül gurul végig egy rögzített, szintén sugrú körön. Egyenlete poláris koordinátákbn: r = (1 + cos ϑ) 25
A htározott integrál lklmzási 4.3. Péld. Számítsuk ki z r(ϑ) = (1 + cos ϑ)( ϑ 2π) egyenletű krdioid ívhosszát. Megoldás: L = 2π r 2 (ϑ) = 2 (1 + cos ϑ) 2 = 2 (1 + 2 cos ϑ + cos 2 ϑ) ( ) 2 dr dr = sin ϑ, = 2 sin ϑ dϑ dϑ ( ) 2 dr r 2 + = 2 2 (1 + cos ϑ) dϑ 22 (1 + cos ϑ) dϑ = 2π 2π 2 1 + cos ϑ dϑ = 2 cos ϑ 2 2 dϑ Felhsználtuk cos 2 ϑ = 1+cos ϑ összefüggést z integrál kiszámításához. A cos ϑ 2 2 2 [, π)-n pozitív, míg (π,2π]-n negtív. 2π L = 2 cos ϑ π 2 dϑ = 2 cos ϑ 2π 2 dϑ + 2 cos ϑ π π 2 dϑ = 4 cos ϑ 2 dϑ = [ = 4 2 sin ϑ ] π = 8. 2 Területszámítás polárkoordinátákkl: Az r = f(ϑ), α ϑ β görbevonlú szektortrtomány területe A = β α 1 2 r2 dϑ. 4.4. Péld. Számoljuk ki =1-re krdioid területét. Írjuk fel Descrtes-féle koordinátás egyenletét is! = 1 2 Megoldás: 2π T = krdioid 1 = 2π 1+cos ϑ 1 + 2 cos ϑ + cos 2 ϑ dϑ = 1 2 (1 r) dr dϑ = 2π 2π [ ] 1+cos ϑ 1 2 r2 1 + 1 2 (1 + cos 2ϑ) dϑ = 1 2 Itt felhsználtuk, hogy 2π cos ϑ dϑ =, cos 2 ϑ = 1 (1 + cos 2ϑ). 2 H r = (1 + cos ϑ), hol ( ngyít vgy kicsinyít): T r=(1+cos ϑ) = 2 3 2 π 2π dϑ = 3 2 dϑ = 3 2 π 26
A htározott integrál lklmzási () A krdioid előállítás (b) A krdioid görbe Mple polrplot prncsávl 4.2. ábr. Krdioid 4.2. Henger koordinát-rendszer Egyes fiziki, mérnöki jelenségek (mik hengerekkel, gömbökkel, kúpokkl fogllkoznk) leírás jelentősen egyszerűsödik, h jelenség szimmetriáját tükröző koordinátrendszert lklmzunk. Ilyenkor Descrtes-féle koordinát-rendszer gyökös kifejezéseit igen nehézkes kezelni, mit henger- és gömbi koordináták hsznált jelentősen leegyszerűsít. Azt, hogy melyik koordinát-rendszert érdemes lklmzni z ábrázolndó lkzt htározz meg. Természetesen bármely koordinát-rendszerről át lehet térni egy másikr megfelelő képletek segítségével, és ez megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű. 4.5. Definíció. A hengerkoordináták egy térbeli P pontot rendezett (r, ϑ, z) számhármssl definiálnk, hol: 1. r és ϑ P pont xy-síkr vló merőleges vetületének polárkoordinátái és 2. z derékszögű koordinát-rendszer hrmdik koordinátáj. 4.3. ábr. A P pont hengerkoordinátái Összefüggések z (x, y, z) derékszögű és z (r, ϑ, z) hengerkoordináták között: x = r cos ϑ, y = r sin ϑ, z = z, r 2 = x 2 + y 2, tg ϑ = y/x. Térfogtszámítás hengerkoordinátákkl: V = r dz dϑ dr, zz z f(r, ϑ, z) = 1 függvény integrálj D-n. D 27
A htározott integrál lklmzási 4.6. Péld. Oldjuk meg henger koordináták segítségével hengerhéj módszer fejezetben elhngzott feldtot, mi így szólt: A héjmódszerrel htározzuk meg nnk trtománynk z y-tengely körüli forgásávl generált térfogtát, melyet blról z y-tengely, jobbról z x = 2 egyenes, fentről pedig z y = 1 + x2 prbol görbe htárol! 4 Megoldás: Integrálási htárok: Htárok r-re: Mivel feldtbn (,2) intervllumon forgtunk, ezért z r sugár is -tól 2-ig hld. Htárok ϑ-r: Mivel egy teljes fordultot teszünk, így ϑ -tól 2π-ig hld. Htárok z-re: A testünk mgsság -tól indul és z y = 1 + x2 prbol forgtásávl 4 előálló prboloidig trt. Ez prboloid: ( g = f( x 2 + y 2 ) lpján ) g = 1 + x2 + y 2 4 Ezt áttrnszformálv hengerkoordinátákká x = r cos ϑ és y = r sin ϑ lpján: z = 1 + x2 + y 2 4 Tehát r -tól 1 + r2 -ig hld. 4 = 1 + r2 cos 2 ϑ + r 2 sin 2 ϑ 4 = 1 + r2 4. V = 2 2π 1+ r 2 4 r dz dϑ dr = 2 2π [r z] 1+ r 2 4 dϑ dr = 2 2π r + r3 4 dϑ dr = = 2 ] 2π [rϑ + r3 4 ϑ = 2 2πr + πr3 2 dr = ] 2 [r 2 π + πr4 = 6π. 8 4.4. ábr. A forgástest rjz CATIA progrm segítségével 28
A htározott integrál lklmzási 4.3. Gömbi koordinát-rendszer A gömbi koordináták tér pontjit két szöggel és egy távolsággl jellemzik. Az első koordinát P pontnk z origótól vett távolság, mi sosem negtív, második z OP vektornk z-tengely pozitív felével bezárt szöge, hrmdik pedig z (x, y) síkr vett vetítés szöge. Érdekesség, hogy földrjzi koordinát-rendszer is egyfjt gömbi koordinát-rendszer rávetítése Föld felszínére. Tengelye Föld forgástengelye, lpköre z Egyenlítő. A φ-t földrjzi hálóztbn hosszúsági foknk nevezik, továbbá ϑ = 9 δ, hol δ-t pedig szélességi foknk hívják. 4.7. Definíció. A gömbi koordináták tér egy P pontját egy rendezett (ρ, φ, ϑ) számhármssl dják meg, hol: 1. ρ P pont távolság z origótól; 2. φ z OP vektor szöge z-tengely pozitív felével ( φ π); 3. ϑ hengerkoordinátákból ismert szög. 4.5. ábr. A gömbi koordináták kpcsolt z x, y, z koordinátákkl Térfogtszámítás gömbi koordinátákkl: V = ρ 2 sin φ dρ dφ dϑ, zz z f(ρ, φ, ϑ) = 1 függvény integrálj D-n. D 4.8. Péld. Mennyi térfogt nnk D trtománynk, mit ρ 1 gömb vág ki φ = α kúpból ( < α < π 2 )? Megoldás: Integrálási htárok: Htárok ρ-r: Mivel ρ 1 gömb vágj ki trtományunkt, így és 1 közé esik. Htárok φ-re: A kúp lkotói α szöget zárnk be z-tengellyel, így z lsó és α felső htár. Htárok ϑ-r:végighld szögeken -től 2π-ig. A trtomány más felírássl: = V D = 1 = D = {(ρ, φ, ϑ) : ρ 1, φ α, ϑ 2π} 1 α 2π 1 α ρ 2 sin φ dϑ dφ dρ = 2π ρ 2 sin φ dφ dρ = 1 1 α [ ρ 2π ρ 2 3 (1 cos α) dρ = 2π (1 cos α) 3 29 [ ρ 2 sin φ ϑ ] 2π dφ dρ = [ 2π ρ2 ( cos φ) ] α dρ = ] 1 = 2π 3 (1 cos α).
A htározott integrál lklmzási H α = π, kkor z teljes gömböt dj eredményül: V = 4π 3 Ehhez hsonló testnek számoltuk ki térfogtát 3.1.1. fejezetben korong módszer lklmzásávl. Akkor úgy szólt feldt, hogy htározzuk meg nnk testnek térfogtát, mit lulról z x-tengely, blról 3x, jobbról pedig z x 2 + y 2 = 1 kör áltl htárolt trtomány x-tengely körüli forgtásávl állítunk elő. Könnyen beláthtó, hogy 3x egyenes 6 fokos szöget zár be z x-tengellyel, illetve h x 2 + y 2 = 1 kör forgtásávl visszkpjuk zt gömböt, minek segítségével kivágunk előbb kúpból. A kpott 2π (1 cos α) egyenletbe behelyettesítve π -t visszkpjuk másik 3 3 módszerrel kpott eredményt is: 2π 3 (1 cos π 3 ) = 1 3 π 1.47197551 Koordinát trnszformációs képletek: Hengerkoordinátákról Gömbi koordinátákról Gömbi koordinátákról derékszögűbe: derékszögűbe: hengerkoordinátákr: x = r cos ϑ x = ρ sin φ cos ϑ r = ρ sin φ y = r sin ϑ x = ρ sin φ sin ϑ z = ρ cos φ z = z z = ρ cos φ ϑ = ϑ A megfelelő formulák dv -re: dv = dx dy dz = dz r dr dϑ = ρ 2 sin φ dρ dφ dϑ. 3
5. fejezet Függelék Az lklmzott progrmok listáj A különböző közelítések: > with(student): > f:=sqrt(x): > rightbox(f,x=..1,2); > rightbox(sqrt(x),x=..1,4); > leftbox(sqrt(x),x=..1,4); > middlebox(sqrt(x),x=..1,4); Külön progrmcsomg betöltése forgtásokhoz: > red C:/clcpr5.txt ; Korong módszer ábr: > rotxplot(sqrt(x), x =.. 4, y =, color = red); A wok Mple-ben: > rotxplot(sqrt(16^2-x^2),x=7..16,y=); A lámp plástj: > rotxplot(1/6*x+2.5,x=..15,y=); A logritmikus spirál: > with(plots): > polrplot(-2*exp(.8e-1*phi), phi =.. 12*Pi); A Vivini görbe: > spcecurve([1+cos(t), sin(t), 2*sin((1/2)*t)], t =.. 4*Pi, color = red, thickness = 3); A Vivini-test és görbe egy rjzon: > with(plots): with(linlg): > p := spcecurve([1+cos(t), sin(t), 2*sin((1/2)*t)], t =.. 4*Pi, color = red, thickness = 3); > p1 := plot3d([2*cos(u)*cos(v), 2*cos(u)*sin(v), 2*sin(u)], u = -(1/2)*Pi.. (1/2)*Pi, v =.. 2*Pi, grid = [3, 6], style = ptch); 31
A htározott integrál lklmzási > p2 := plot3d([1+cos(u), sin(u), v], v = -2.2.. 2.2, u =.. 2*Pi, grid = [2, 45]); > disply3d({p, p1, p2}, scling = constrined); Szimpl fehér tórusz: > with(plottools): > disply(torus([1, 1, 1], 1, 2), scling = constrined, lightmodel = light1, shding = zgryscle,style=surfce); A gyűrűs spirál: > x := (1+(1/2)*cos(12*t))*cos(t); y := (1+(1/2)*cos(12*t))*sin(t); z := (1/2)*sin(12*t); with(plots): spcecurve([x, y, z], t =.. 2*Pi, numpoints = 1, xes = norml, thickness = 5, scling = CONSTRAINED, color = red); Curve := %: A gyűrűs spirál és tórusz: > Surf := torus([,, ],.5, 1, style = ptchnogrid, color = gold,style=hidden,xes=none): > disply(surf, Curve, lbels = [x, y, z],xes=none); A krdioid: > with(plots): > polrplot(1+cos(phi), phi =.. 2*Pi); 32
Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondni témvezetőmnek, Gémes Mrgitnk sok segítségért, vlmint szeretettel készítettem 3.12. ábrát köszönetként csládomnk támogtásukért, páromnk kitrtásáért és csoporttársimnk, brátimnk sok segítségért. 33
Irodlomjegyzék [1] George B. Thoms, Murice D. Weir, Joel Hss, Frnk R. Giordno: Thoms-féle Klkulus 2., Typotex, Budpest, 26. [2] George B. Thoms, Murice D. Weir, Joel Hss, Frnk R. Giordno: Thoms-féle Klkulus 3., Typotex, Budpest, 27. [3] Lczkovich Miklós,T.Sós Ver: Vlós Anlízis I., Typotex, Budpest, 212. [4] Bod Judit: Számítógéppel támogtott geometrii kuttás és okttás, Szkdolgozt, Debrecen, 29. [5] Mtthis Kwski: Horizontl nd Verticl cross-sections 29, https://mth.l.su.edu/~kwski/maple/272/c_curves/intro helix1.html [6] Progrmming Project 2, Toroidl Spirls 213, http://ezekiel.vncouver.wsu.edu/~cs442/rchive/projects/toroidl spirl/toroidl spirl.pdf 34