I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK

Sorozto, számti és mérti hldváyo 5 I FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK 7 Gyorlto és feldto ( oldl) Vjo milye törvéyszerűség lpjá épeztü z lábbi soroztot? Az áltld tlált szbályszerűség lpjá írd fel övetező ét elemet! ) Szé, szilícium, germáium, ó, ; b),, 6, 56, ; c),,,, 5, 8, ; d),, 6, 8,,, 6, ; e) 9, 7, 5, 90, 5, 89, ; f),, 6, 5, 5,,, ; g) 90, 9, 6, 66,,, 8, 0, ; h),, 6, 0, 5,, 8, ; i) 6, 80,, 6, 8, ; j),, 7, 50, 5, 9, ; ),,, 7, 8,,,, 6, 9, Megoldás ) A egyedi főcsoport elemeit ezdtü soroli, tehát cs egy elemmel folytthtju, és ez z ólom b) A másodi tgtól ezdődőe mide tg z előtte álló égyzete, tehát sorozt épezhető z reurzióvl Eszerit övetező ét tg: + 5 56 6556 és 6 6556 996796 Megjegyzés A másodi tgtól ezdődőe midegyi tg z előtte álló tgo szorztá étszerese, tehát, + A mtemtii idució módszerével igzolhtó, hogy, c) A hrmdi tgtól ezdődőe mide tg z előtte álló ét tg összege, tehát + + +, A övetező ét tg 7 és 8 Megjegyzés A soroztot Fibocci sorozt evezzü és igzolhtó, hogy z + 5 5 áltláos tg, 5 A töyv 0 oldlá megoldott feldtb hsoló tuljdoságú sorozt jelei meg Az otti jelölés szerit + d) H z egymás utái tgo özti ülöbségeet vizsgálju, láthtó, hogy eze ismétlőde Potosbb és + A övetező ét tg tehát 8 8 és 9 Megjegyzés A sorozt értelmezhető z + + 5 reurzióvl is, h z és értéeből idulu i A mtemtii idució segítségével igzolhtó, hogy + 5 + és 5 e) Az egymás utái tgo özti ülöbsége redre 8 9, 7 9, 6 9, 5 5 5 9 és 6 5 5 6 9 Ie övetezi, hogy egy lehetséges szbályszerűség z + ( + ) 9 reurzió Ez lpjá övetező ét tg 7 5 és

6 Sorozto, számti és mérti hldváyo ( + ) 8 Mtemtii iducióvl igzolhtó, hogy 9, vgyis sorozt tgji háromszögszámo (lásd töyv 8 oldlá megjegyzést) ilecszeresei f) Észrevehető, hogy és +, h Ez lpjá + + övetező ét tg 8 és 9 Igzolhtó, hogy + és +, h g) Aárcs z előbb, reurzió + és +, tehát övetező 0 6 89 ét tg 9 és 0 Igzolhtó, hogy + + és 89 és +, h h) A reurzió + ( + + ), és, tehát övetező ét tg 8 6 és 9 5 A mtemtii idució módszerével igzolhtó, hogy ( + ) (lásd töyv 7 és 8 oldlát) i) A számot úgy phtju meg, hogy leírju egymásutá (elválsztás élül) páros számot, mjd számjegyeet hármsávl csoportosítju A övetező ét tg 6 0 és 7 j) A másoditól ezdődőe mide tg z előtte álló szám számjegyeie égyzetösszege, tehát övetező ét tg 7 85 és 8 89 ) Azot számot soroltu fel övevő sorredbe, melyee ettes számredszerbe számjegye összege pártl Így és c) { } Számítsd i övetező sorozto első ht elemét, h z áltláos tg éplete: ), ; b) +, ; m 6, 5, ; cos( π) d), ; e), + Megoldás ),, 5, 9,, 5 5 7, és 6 b) + 0, 8 6+, 8 9 + 0, +, 5 50 5 + 6, és 6 7 8 + 55

Sorozto, számti és mérti hldváyo 7 c) m { 6, }, m {, }, { } m { 6, } 6, 5 m {, 0}, és 6 m {, } m 0, 0, d),,,, 5, és 6 5 6 7 cos π cos π cos π cos π e),,,, cos 5π cos 6π 5, és 6 5 5 6 6 Keresd meg párját! Az első oszlopbeli épleteel értelmezett sorozto midegyiée v egy párj másodi oszlopb ( ét sorozt megfelelő tgji egyelő) Bizoyítsd is be, hogy megfelelő sorozto tgji egyelő! + si π ) y, ; ), +, ; b) z +, ; ) b+ 5b + b,, b és b 5 ; u c), ; ) c, hol u + u+ u, v u, u, v+ v + v +, v, és v Megoldás Kiszámítju sorozto első ét tgját: π 5π si si ) y, y ; ), 0; b) z, z 0 ; ) b, b 5 ; u u c), 5 ; ) c és c v v A iszámolt értée lpjá (sőt már z első tgo összehsolítás is elégséges) övetezi, hogy z ( ) sorozt párj ( b ) sorozt, z N ( y ) N sorozt N párj ( c ) sorozt és ( z ) N sorozt párj z ( ) N N sorozt lehet A feldt megoldásához szüséges igzoli zt is, hogy megfelelő sorozto tgji egyelő, vgyis b, y c és z, eseté (Ez or is szüséges, h feldt szövegéből z utolsó modtot elhgyju) Ezeet z egyelőségeet mtemtii idució módszerével igzolhtju eseté P() állítás z, hogy b, eseté P() és P() igz számoláso lpjá H P() igz, or b és b, tehát b 5b b 5 ( ) + ( )

8 Sorozto, számti és mérti hldváyo + 5 5 + + Ebből övetezi, hogy P(+) is igz, tehát mtemtii idució elve szerit P() * igz, bármely eseté Így b, eseté Q() állítás z, hogy u ( ), és v, bármely eseté A Q() és Q() állításo (z dott értée szerit) igz H Q() igz, or u ( ), u ( ) v, és v (, ) Eszerit u u u ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] + + ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ), és v v v + ( ) + + + + + + ( + ), tehát Q(+) is igz Ebből övetezi, hogy Q() igz, bármely eseté, és u ( ) így c Másrészt v + π si π π si( π + ) cos π si ( ) y, tehát c y, Hsoló igzolhtó, hogy z, Számítsd i övetező reurziól dott sorozto első ht tgját: ) + +,, ; b),,, ; + +,, ; + c) + d),,, ; 0 + e),,,, 5 5 Az előbbi sorozto eseté, iszámított tgo lpjá próbáld meghtározi z áltláos tgot! Sejtésedet bizoyítsd is! Vizsgáld meg sorozto mootoitását! V-e öztü periodius sorozt? 5 Megoldás ),,,, 5, és 6 Az, és 5 -re pott értée lpjá z sejtésü lehetséges Ez helyes {,, 6} eseté is és mtemtii iducióvl igzolhtó A sorozt szigorú övevő, mert >, + b),,, 8, 5 6, és 6 A pott számdto lpjá megsejthető, hogy, Ez z összefüggés mtemtii

Sorozto, számti és mérti hldváyo 9 idució módszerével igzolhtó Az áltláos tg épletéből övetezi, hogy sorozt szigorú övevő c),,,, 5, és 6 Észrevehető, hogy 7 9 5 számláló midig és evező htoét öveszi, tehát z áltláos tg éplete + 6( ), -re Ez z összefüggés mtemtii iducióvl igzolhtó Az áltláos tg éplete szerit tehát sorozt szigorú + <, csöeő A sorozt mootoitását reurzió lpjá is vizsgálhtju, mivel + < + 0, mert sorozt pozitív tgú d) 0,, 5, 6, 7, és 5 8 A iszámolt értée lpjá sejthető, hogy + Ezt mtemtii iducióvl igzolhtju Az áltláos tg éplete lpjá > 0, tehát sorozt szigorú övevő + e),,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0, A iszámolt értée lpjá 8, 9, 0, és, tehát reurzió lpjá + 7, Így sorozt periodius és 7 főperiódus Az áltláos tg éplete:, h 7 +, 7 + 6 vgy 7, h 7 +, 7 +, 7 + vgy 7 + 5 6 Bizoyítsd be, hogy z I-es rész 6-os példájáb szereplő sorozt áltláos, h + tgjá éplete, h + Megoldás Mivel z első ét tg és épzési szbályo egyértelműe meghtározzá sorozt tgjit, elégséges igzoli, hogy z, h + sorozt teljesíti z és +, h + + reurziót, és, illetve A feldtb dott éplete lpjá 0 0 + 0, és + Továbbá 0 + + + ( ) + ( ) + + + ( ) ( ) Az előbbie lpjá töyv I prgrfusá 6 példájáb szereplő sorozt áltláos tgj z előbbi Megjegyzés A reurzió lpjá is eljuthtu z áltláos tg épletéhez Írju fel z ( + ) + egyelőséget {,,,, } +, és

0 Sorozto, számti és mérti hldváyo értéere, mjd szorozgssu z egyelőségeet úgy, hogy összedás és egyszerűsítés utá cs és mrdjo Ezt z lábbi digrm szemlélteti: + + + + + + + + + S S S + + + + + + + + + + + + + + + Ebből övetezi, hogy 7 Az A N hlmzról tudju, hogy ) A; b) A + A; c) + A A Igz-e, hogy 8 A? Megoldás Az lábbi yil egy öveteztetéslácot ábrázol A yil fölött szereplő betű muttj, hogy melyi tuljdoságot hszáltu b b b b b b c b b b 7 5 6 7 85 7 b c b c c c 9 76 5 8 8 Htározd meg zot z ( ) számsoroztot, melye teljesíti z ( + + + ) + + + egyelőséget, Megoldás -re -re, tehát 0, -re ( ) + + H 0, or, tehát { 0, } H,, or + + + tehát { 0,, } H, or meghtározásor ( ) + + + / + / 5 0, és Az eddigie lpjá z első három tgr övetező lehetősége dódt: 0, 0, 0, 0, 0, 0,,, 0,,,, 0 0,,,, 0,, 0,, 0, 0, 0,,, 0, + / 5 + / Az S + + + + összeget övetezőéppe számíthtju i: ( ) ( ) N { } eseté! vgy z, vgy z 0 egyelethez jutu H, or z egyelethez, h,, or z 0 egyelethez jutu ) 0 Végül, h, or ( + 9+ egyelethez jutu Ee megoldási

Sorozto, számti és mérti hldváyo Beláthtó, hogy z első tg meghtározás utá értéére teljesül z egyelőség ( + + -e legtöbb három lehetséges ( ) + + + + + + + + + + -be ez egy hrmdfoú egyelet) és három lehetséges érté özül z egyi 0, mási, és hrmdi +, h + és 0 Az első ét érté behelyettesítése eseté igz összefüggéshez jutu Az és ( ) + + + + + + ( ) + + + + + + összefüggéseből övetezi, hogy ( ) ( ) + + + + 0 Ez éppe zt fejezi i ( 0 és eseté), hogy z + + szám + + ++ + teljesíti z ( ) egyelőséget H, + + + or + + + + + + és így + cs 0 vgy lehet H 0, or ddig hldu vissz, míg elérü egy ullától ülöböző tgig Eszerit + { 0,, + } h 0 és { } 0, +, + h 0 és z előtti, -hez legözelebb eső, ullától ülöböző tg Láthtó, hogy végtele so ilye sorozt létezi és mide ilye sorozt geerálhtó övetező módo Az 5 6 7 8 sorozt bármely ét tetszőlegese válsztott egymás utái tgj özé beitthtu egy-egy véges soroztot, mely ullát em trtlmzz Például z 5 és 6 özé itthtju ( 5, 5) ; ( 5,,, 5) ; ( 5,,,,, 5) ; ( 5,,,,,,,,, 5) stb soroztot Ezt lépést egymásutá többször is megismételhetjü, mjd legvégé mide tg elé tetszőlegese so 0-t írhtu Megjegyzése H z dott összefüggés mide m -re és rögzített m-re ell teljesüljö, or z előbbi reurzív összefüggéseel z m hosszúságú soroztot ell épezi m Sejtésü, hogy eze szám em hldj meg m + összeget Érdeese trtju e szám potos meghtározását H z dott összefüggést cs egy -re teljesítő számsoroztot eresü, or z lábbi számelméleti tuljdoságot hszálhtju: válsszu egy tetszőleges számot (például -t) és írju le osztóit Mide osztó lá írju le z illető osztó osztói számát 6 6 H z így pott sorozt tgji összegét égyzetre emeljü, tgo öbeie összegét pju:

Sorozto, számti és mérti hldváyo ( + + + + + 6) 8 + + + + + 6 9 Bizoyítsd be, hogy, h z ( ) pozitív tgú számsorozt teljesíti z N + egyelőtleséget, eseté, or,! Megoldás 0, tehát ( ) Ebből övetezi, hogy 0 Az f :0,, f ( ) ( ) függvéy 0, itervllumo szigorú övevő, z, itervllumo szigorú csöeő, tehát mimum z 0 - be v Eszerit f ( ), 0,, tehát f ( ) < H 0 < és, or 0 <, tehát f ( ) f Ebből övetezi, hogy + Másrészt <, mert <, + tehát + + A mtemtii idució elve lpjá z egyelőtleség teljesül, bármely természetes szám eseté 0 Bizoyítsd be, hogy h z + + + reurziót teljesítő ( ) N sorozt első tgj és özt v, or <,,! Megoldás Az f :, f ( ) + + függvéyre Im f,, Im ( f f ) f, 8, és Im ( f f f) f,, 8 8 8 8 Mivel reurzió + f( ) lb írhtó, Im( f f f), és így 8 m, De 0< < (mert <, és 8 8 8 8 8 < ), és 8 0 < <, tehát A továbbib 8 8 mtemtii idució módszerét hszálju H, or + + +

Sorozto, számti és mérti hldváyo ( ) ( + ), + mert z ( + ) egyelőtleség evivles z + egyelőtleségeel, és z < + < + egyelőtlesége lpjá eze 8 teljesüle Az iduciós elv lpjá, Bizoyítsd be, hogy létezi oly ( ) számsorozt, melyre {, }, és z N szám oszthtó -el,! Megoldás és A továbbib igzolju, hogy h -el, or z A és + + megfelelőe H v, or A és B 0 + 0 + ( 5 B számo özül z egyi oszthtó -el, tehát megválszthtó feltételee B ( 5 0 + 0 + v v, tehát A + v ) és + v) H v páros, or B oszthtó + -el, míg h v pártl, z A oszthtó -el Az első esetbe -t, és másodib + -t válsztu + + A mtemtii idució elve lpjá z ( ) számsorozt megszereszthető N Bizoyítsd be, hogy egyetle oly ( ) számsorozt létezi, mely teljesíti övetező feltételeet: ) 5 ; b) bármely -be végződő szám égyzete is végződi, N -be Megoldás Mide -be végződő szám A 0 + lú, tehát égyzete A 0 + A 0 + Ie láthtó, hogy z utolsó számjegyet mide A N eseté cs z utolsó számjegye htározz meg, tehát végződi -be Tételezzü fel, hogy,,, -et már sierült meghtározi, és próbálju meghtározi -et! H, or 0 így ( ) 0 + 0 + 0 + 0, és 0 0, mert 5, és utolsó számjegye utolsó számjegyével egyezi meg, tehát z oszthtó 0-zel Eszerit éppe z

Sorozto, számti és mérti hldváyo szám jobbról számított -edi számjegye Mivel ez létezi és egyértelmű, z ( ) N 6 8 sorozt egyértelműe értelmezhető Így, 6, 0, 5 9, stb, mert: 5 5 5 65 65 90 065 0 9 65 65 9065 889065 stb + Bizoyítsd be, hogy z, + reurziót teljesítő ( ) sorozto periodius! + Megoldás Számolássl elleőrizhető, hogy +, +, és így + 8,, tehát sorozt periodius, és periódus 8 + I5 Gyorlto és feldto (0 oldl) Dötséte el, hogy övetező sorozto számti hldváyo-e vgy sem! ) 7, ; b) +, ; + c) +, + +, ; d) ; e), Megoldás ) + [ 7( + ) ] [ 7 ] 7, tehát sorozt számti hldváy b) + [ ( + ) + ] [ + ] + +, tehát sorozt számti hldváy c) + +, + +, 9+ 9+ 8 Mivel, és 8 ( ) 7, sorozt em lehet számti hldváy + + 8 9+ 6 5 d),, és Mivel +, + sorozt em számti hldváy 8 e),, és Mivel +, sorozt em számti hldváy

Sorozto, számti és mérti hldváyo 5 Dötséte el, hogy övetező sorozto mérti hldváyo-e vgy sem! ), ; b) 5, ; c) +, ; d), ; + e) +, Megoldás ) b) + +, tehát sorozt mérti hldváy + + + + 5 5 + + + + c) Az + + + 9 + + 5 5, tehát sorozt mérti hldváy ifejezés em osts, mert -re + 8+ 7 5, -re, és 5 + + 9 5 Így sorozt em mérti hldváy d),, és Mivel, sorozt em 8 mérti hldváy + e) +, + + + +, 7 5 7+ 5 7 és + Mivel, sorozt em mérti 8 8 hldváy Az előbb vizsgált soroztor vezessete le egy-egy reurziót! Megoldás / 7, tehát z + + + 7 összefüggés egy reurzió /b +, /c + ( ) ( ) + + + + + + Az +, + összefüggés egy reurzió Az elsőfoú tg iüszöbölhető övetezőéppe: + + / ( ) + + + / ( ) + + ( + ) + + + + + + + 0 + + + + +

6 Sorozto, számti és mérti hldváyo A sorozt tgjit szármztti tudju z reurzióból, h + + ismerjü z és tgot, vgy z + + + + reurzióból, h ismerjü z + r, és 8 tgot ( + ) ( + )( + ) /d, és +, tehát + ( + ), + + + + /e, tehát ( + ) + + egy + reurzió / +, /b + 5, /c Az + + + +, és + egyelőségeből iüszöböljü ettőe htváyit + + + + +, tehát + + egy lehetséges reurzió H htváyát is eltütetjü, egy más reurzióhoz jutu: + +, tehát 0 + + + + + ( ) Ie övetezi, hogy + 5 + 6, -re Megjegyzés Áltláb z c + cb sorozt tgji z + ( + b) + b reurziót teljesíti, h és c, c + + + /d +, tehát ( + ) +, egy reurzió sorozt tgjir /e Az előbbi megjegyzés értelmébe egy lehetséges reurzió z + + +, h Az ( ) számti hldváyb htározd meg N ) 0 -t, h, és r ; b) 00 -t, h 7, és 9 ; c) S0 -t, h S 50 0, és 5 5 ; d) z 0 + + + + 80 összeget, h + 7 6, és 0 5 00 ; e) z első tgot és z álldó ülöbséget, h + + + + 5 9, és 7 ; f) S -öt, h, és + + 5 5 0 Megoldás ) 0 + 9r + 9 5 6 ;

Sorozto, számti és mérti hldváyo 7 b) + r, és 9 + 8r, tehát z dott feltétele szerit + r 7, és 5 + 8r Ebből övetezi, hogy r, és, tehát 0 0 + 99 5 99 + 50 c) 5 + r, és S50 50 5 ( + + 9r) 50 + 5 9r H + r 5 megoldju z 59 0 egyeletredszert, z és r 50 + 5 9r 0 05 05 7898 értéehez jutu Ebből övetezi, hogy S0 0 + 5 9r d) + 7 ( + r) + ( + 6r) + 7r, és 0 5 ( + 9r) ( + r) 5r, tehát r és Így eresett összeg 0 + + + 80 S80 S9 + 80 + 9 80 9 5 ; e) 5 S 5 5 + r 5 + 00r, és ( + r) ( + 6r) r, 7 tehát 5 + 00r 9 egyeletredszert ell megoldi A megoldáso r 9 56 r, és 50 75 f) r, és + r, tehát + + Az + + 5 összefüggésből övetezi, hogy 5 Az 0 egyelőség 5 r egyelethez vezet, tehát r { ±} H r, or, és 5 S5 5 + r 00 + 5 00 H r, or 6, és S 5 5 6 5 50 5 A ( b ) mérti hldváyb htározd meg N ) b7 -et, h b 56, és q ; b) b50 -et, h b 5, és b ; c) S8 -t, h b + b 5 8, és b + b 7 756 ; d) z első tgot és vóciest, h b + b + b, és b + b 5 + b6 ; e) S -et, h b 7, és b00 b 000 ; 7 7 f) z első öt tgot, h b b + b, és b + b 8 6

8 Sorozto, számti és mérti hldváyo 6 6 8 Megoldás ) b 7 b q 56 6 8 56 ; b b q 8 b) q, tehát q { ± 8 } Ebből övetezi, hogy q, tehát b b q 5 5 5 9 8 8 8 6 8 8 b b50 b q ( ± ) ( ± ) ± ± c) b + b b + b q b 5 ( + q ), és b + b b + b q b ( + q 7 ), tehát b b + b7 756 b + b5 8 q 9 H q, or b, b b + b 8 q + q 8 tehát b 5 S 8 ( q ) ( ) 8 8 q b ( ) 80 H q, or q 8 b + b5 8 q + ( ) ( 6), tehát S 8 ( ) 960 d) b + b + b b + q + q, és b + b + b b ( + q + q ), tehát b b + b + b 8 b b + b + b + + 5 6 q b 5 6 Ebből övetezi, hogy q, tehát e) A ( b ) sorozt mérti hldváy, és b, tehát 000 N 0 q b000 ( ) 7 b Így q S b 7 ( ( ) ) q 7 ( ) f) b + b b ( + q ) és b b + b b ( q + q b + q 6 ), tehát 7 b ( q + q ) 8 egyeletredszer megoldásit eressü H ét egyelet megfelelő oldlit elosztju, övetezi, hogy q Így b, tehát b, b, b, és 8 6 b 5 6 Htározd meg övetező egyelete vlós megoldásit: ) ( + 6) + ( + ) + + ( + 7) 89 ; 6 00 9 9 b) + + + 0; c) + + + 8 + + 0 Megoldás ) Az S ( + 6) + ( + ) + + ( + 7) összegbe tgo ötösével öveede, 7 5 + és 6 5 +, tehát összese tgj v z

Sorozto, számti és mérti hldváyo 9 5 összege Így S + ( 5 + ) + 5 + + 59, 0 tehát 6 00 b) ( ) ( ) 0 0 ( ) 5 50 50 + + + 0 + 0, tehát z + 0 egyeletet ell megoldi vlós számo + 0 hlmzáb Másrészt mide vlós -re + > 0, tehát z egyelete ics vlós megoldás 9 ( ) 50 9 9 c) + + + + ( ), h em 0 50 megoldás z eredeti egyelete, tehát ( ) egyelet -től ülöböző 50 megoldásit eressü ( ) vgy Az em felel meg, tehát cs z megoldás 7 H S -el jelöljü z ( sorozt első tgjá összegét, vizsgáld meg, hogy ) N z lábbi S értée számti vgy mérti hldváyohoz trtoz ) S, ; b) S +, ; c) S, ; d) S +, ; + ( ) + e) S, + Megoldás ) S + + + S +, tehát S S, h Így ( + ) ( ) + ( ) +, h Másrészt S + +, tehát +, Ebből övetezi, hogy, bármely + eseté, tehát sorozt számti hldváy Megjegyzés Az ( S ) potos or lehet egy számti hldváy N részletösszegeie sorozt, h létezi oly és b osts, melyre S + b, ( + ) ( + ) Ie övetezi, hogy + ( + ), De ( + ) b) S S,, tehát, h S,

0 Sorozto, számti és mérti hldváyo ( + )( + ), és ( ) ( + + A sorozt tehát em mérti hldváy A reurzió muttj, hogy h z első tgtól elteitü, or mérti hldváyhoz jutu c) S S ( ), tehát, S, tehát sorozt osts Így sorozt számti hldváy is és mérti hldváy is d) Az S S összefüggés lpjá és 9 Mivel S + 0 és + illetve, sorozt se em számti, se em mérti hldváy 5 0 5 e), és Mivel + és, 6 sorozt se em számti, se em mérti hldváy 8 Bizoyítsd be, hogy h z ( ) sorozt számti (mérti) hldváy, or ( ) N + r + r Ebből övetezi, hogy z ( ) ( + ) + ), tehát hldváy és q vóciese, or ( + ) + + q + q q, tehát z ( ) sorozt is mérti hldváy és vóciese q is számti (mérti) hldváy! Megoldás H z ( ) N N + p Az dott feltétele szerit 6 és N számti hldváy és r z álldó ülöbsége, or számti hldváy és álldó ülöbsége r H z ( ) egyelőségből 9, tehát p H p, or számo, 7, és 5, míg h p, or 5,, 7 és 0 Az első természetes szám összege tízes számredszerbe oly háromjegyű szám, melye számjegyei egyelő Htározd meg z értéét! Megoldás A feltétele lpjá létezi oly {,,,, 9} számjegy, melyre ( + ) + + + De + + +, tehát ( + ) 7 Az előbbi egyelősége cs or teljesülhete, h 6 6 vgy 6 8 (7 osztój -e vgy (+)-e és 6 em gyobb, mit 6 9 5, tehát jobb N N sorozt is sorozt mérti 9 Htározd meg zt égy számti hldváyb levő vlós számot, melye összege 6 és szélső vlmit belső tgo szorzti ráy 5 77! Megoldás H hldváy álldó ülöbségée felét p-vel, másodi és hrmdi tg számti özepét -vl jelöljü, or tgo p, p, + p, 9p p 5 Az első 77

Sorozto, számti és mérti hldváyo oldlo cs or állht ét egymás utái szám szorzt, h ez szorzt 6 7 vgy 7 8 ) Láthtó, hogy cs z 6 felel meg, tehát 6 Az első természetes szám összege tízes számredszerbe oly háromjegyű szám, melye számjegyei vlmilye sorredbe számti hldváyt lot Htározd meg z értéét! ( + ) Megoldás + + +, tehát z ( + ) szorzt leglább 00 és legtöbb 998 lehet Ie övetezi, hogy Egy háromjegyű szám számjegyei három ülöböző módo lotht számti hldváyt H b c szám, or + c b, + b c, vgy b + c E három esete megfelelőe övetező egyeletehez jutu: ) + 6 ( 5 + c), h + c b; ) + 6 ( 7 + 7b), h + b c; ) + 6 ( 0b + 7c), h b + c Ie láthtó, hogy elégséges zot z értéeet megvizsgáli, melyere ( + ) Az előbbie lpjá {,5,7,8,0,,,, 6,7,9, 0,,, 5, 6, 8, 9,,, } Ezeet z értéeet ipróbálv, övetező eredméyehez jutu: ( + ) ( + ) 5 7 8 0 6 7 9 05 0 5 7 0 76 00 5 78 5 0 5 6 8 9 65 58 56 60 666 7 780 86 90 990 A tábláztb vstgbb jelöltü zot számot, melye teljesíti feldt feltételeit A megoldáshlmz tehát M {5,7,0,,6,9, 0,, 5, 6, 8} S S Bizoyítsd be, hogy m ( p) + ( p m) + S p ( m ) 0, hol S z m p ( ) számti sorozt első elemée összegét jelöli és m,,p! N

Sorozto, számti és mérti hldváyo S Megoldás Mivel + r, eseté, feldtbeli egyelőség övetező egyelőségeel evivles [( ) ( ) ( ) p + p m + m ] + r + [( m )( p) + ( )( p m) + ( p )( m ) ] 0, [ p + p m + m ] + r + [ m mp + p m + pm p + p p + m m + ] 0, és ez igz, mert midét szögletes zárójelbe z összeg 0 Az ( ) számti hldváy -edi tgj N m és m-edi tgj Számítsd i z első m tg összegét ( m )! Megoldás A feltétele szerit + ( ) r, és m m + ( m ) r, tehát r és Ebből övetezi, hogy m m m + Sm Az ( ) számti hldváy első tgjá összege em ull és egyelő N S övetező tg összegée felével Számítsd i z ráy értéét! S S S Megoldás S, tehát S S H z + + + egyelőségből ifejezzü + -t és {,,, } eseté pott egyelősége megfelelő oldlit összedju, z S 6S egyelőséghez jutu Ezt z lábbi digrm szemlélteti: + + + + S S ( S S ) S S S S ( S ) S 6 S S Megjegyzése Az S egyelőség evivles z egyelőséggel + r

Sorozto, számti és mérti hldváyo ( ) ( + ) ( ) + r r + r S Ez lpjá S ( ) ( + ) ( ) 6 + r r + r A feldtbeli összefüggés lpjá (m és p eseté) S S S S ( ) + ( ) + ( ) 0 S + S 0, tehát S ( S S) 6S * 5 Bizoyítsd be, hogy h ( ) egy számti hldváy és létezi m N úgy, hogy Sm m és S, or S,! Megoldás Az Sm m és S egyelősége lpjá r és, tehát ( ) S +, 6 Bizoyítsd be, hogy z, b és c számo potos or lot számti hldváyt, h ( + b + c) + 7bc 9 ( + b + c) ( b + bc + c)! Megoldás Az dott egyelőség ( b c)( b c)( c b) 0 lb b + c + c + b írhtó Ez potos or teljesül, h, vgy b, vgy c, zz potos or, h z, b és c számo vlmilye sorredbe számti hldváyt lot * 7 Bizoyítsd be, hogy h,, bc és z Ey (, ) b ( c ) + bc ( y ) + c ( by ) ifejezés mide, y eseté egy természetes szám égyzete, or, b és c számti hldváyt lot! * Megoldás Előbb igzolju, hogy h egy α + β y + γy (αβ,,γ ) lú ifejezés mide, y értére vlmely természetes szám teljes égyzete, or β αγ 0 Az 0 és y, illetve és y 0 számpáror ifejezés értée teljes égyzet, tehát α u és γ v, hol uv, Így α + βy + γ y u u + β + v β u + + v, + βy + v y H rögzítjü z y -et, z összefüggésből övetezi, hogy β Így z ifejezés értéészlete végtele so ülöböző teljes égyzetet trtlmz Az u + β + v egyelet diszrimiás teljes égyzet, mert, tehát β uv + u teljes égyzet Az előbbi ét észrevétel lpjá végtele so ülöböző teljes égyzet létezi, melyhez ( β u v )-et hozzádv

Sorozto, számti és mérti hldváyo teljes égyzetet pu Ez cs or lehetséges, h ( β u v szám végtele so osztój v, vgyis β u v Ez éppe ívát β α γ 0 összefüggés Az előbbi tuljdoság lpjá b ( c ) c( b c)( b) 0 Ez evivles átlításol övetezőéppe írhtó: ( ) b c + cb cb( + c) + c 0 b c ( + ) cb( + c) + c [ bc+ ( ) c] 0 + c b 8 Lehete-e, 7 és ugy számti sorozt tgji? Hát mérti hldváy? Megoldás Tételezzü fel, hogy, 7 és ugy számti hldváy m-edi, -edi illetve p-edi tgj Az m, 7 és egyelőségeből övetezi, hogy 7 ( m) r és p ( p m) r, hol r hldváy álldó ülöbsége Az r em lehet ull, tehát q H Másrészt 7 7 m p m Az m p m 0 ráyt jelöljü q-vl p, tehát q, or 7 + ( q ) q, és így q 7 ( q ) ( q ), tehát elletmodáshoz jutu Az előbbi elletmodás lpjá, 7 és em lehete ugy számti hldváy tgji Hsoló godoltmeet segítségével vizsgálhtju másodi érdést is H, 7 és egy ( b ) mérti hldváy m-edi, -edi illetve p-edi tgj vol, or N m p m és q egyelőségee ellee teljesüliü 7 q p m m 7 Ebből övetezi, hogy, és ez lehetetle, mert m p m 9 Igz-e, hogy h z ( ) sorozt tgji teljesíti z + ( ) + + + + + reurziót, bármely eseté, or sorozt vgy számti hldváy, vgy mérti hldváy? + + ( + ) 0 * + írhtó Ebből övetezi, hogy bármely N eseté + Megoldás Az dott összefüggés ( ) lb ) +, vgy

Sorozto, számti és mérti hldváyo 5 + A sorozt em ötelező módo számti vgy mérti hldváy, mert előfordulht, hogy bizoyos értéere z első, és más értéere másodi egyelőség teljesül Ilye például övetező sorozt:,,, 6, 9, 8, ( és ) + 0 Bizoyítsd be, hogy h b ( + b) > 0, or z b + b, + b b b b y és z + b + b + b b számo mérti hldváyt lot! b b + b b b Megoldás + z b + b b + b b b + b b b + b y, + b b + b tehát z, y és z számo számti hldváyb v (A feltétele lpjá, y és z létezi és egyi sem ull) Bizoyítsd be, hogy h ( b ) mérti hldváy, or N S ( S S) ( S S)! Megoldás A Tétel értelmébe ét esetet ell megvizsgálu szerit, hogy q, vgy q H q, or S b, S b és S b, tehát z egyelőség teljesül H q, or elleőrizi ell q q q q b b b b q q q q egyelőséget Ez számolássl elleőrizhető Htározd meg zot z,, és mérti hldváyb levő számot, melyere z,, és 8 számo számti hldváyb 9 v! Megoldás A eresett számo, q, q és q lú, mert mérti hldváyt lot Az,, 9 és 8 számo potos or lot számti hldváyt, h ( ) + 0 vgyis ( q q + ) 6 ( 9) + 0 q ( q q + ) Ebből övetezi, hogy q, tehát 6 és eresett számo: 6,, és 8 Htározd meg zt 6 tgú számti hldváyt, melye z első, egyedi és tizehtodi tgj mérti hldváyt lot (ebbe sorredbe)!

6 Sorozto, számti és mérti hldváyo Megoldás H sorozt első tgj és r z álldó ülöbsége, z ( ) ( ) + 5r + r egyelethez jutu Ebből övetezi, hogy r( r), tehát hldváy vgy osts sorozt, vgy,, 6 0 Bizoyítsd be, hogy, h,,, számti hldváyt lot, or ) + + + + + + +, eseté; ( ) + + + + + + b) + + + + + eseté Megoldás ) Átlítju z összeg áltláos tgját: + r ( ) + + + +, h > 0 h 0, +, tehát ( + + + + ) r ( ) r r + r + r + + ( ) ( ) b) Bővítjü z összeg áltláos tgját r-el: r( + + ) ( + )( + + ) + r r r r, + + + + + + tehát r Ebből övetezi, hogy + + + + + + + r + + + + + ( ) ( ) r + + + + r + r + + 5 Számítsd i övetező összegeet és szorztot, h,,,, számti hldváyt lot: ) S( ) + + +, i 0 i, + ; + b) S( ) + + +, i 0 i, + ; + +

Sorozto, számti és mérti hldváyo 7 c) S( ) + + +, i 0; + + + + d) O( ) + + + ; e) O( ) + + + ; f) N( ) + + + + + ; r r r g) P ( ) r, h 0, i i, ; r r r r h) P ( ) h i r, i, + r + r + r + r Megoldás ) r +, tehát + r + r + r + S ( ) + + + r + r + + + r r r + + + r + b) r r r + + + + + + + + + + + +, tehát S ( ) r + + + r + + ( ) r m+ m+ c) ( ) r ( ) r m+ m+ m+ m+ m+ m+ m+ m+ m+ ( ) r, tehát S m+ m+ m+ m+ m+ m+ ( ) ( ) r + + + d) ro ( ) r ( ) + + + ( ) ( r) + + + + + + + + + ( r), h r 0 +

8 Sorozto, számti és mérti hldváyo r 0 eseté O ( ) ( ) e) Az előbbihez hsoló: + ( r), h r 0 O ( ) r ( ), h r 0 ( ) ( ) r + r ( ) f) N ( ) ( + ( ) r) + ( ) r + ( ) r + ( ) ( ) ( ) + r + r 6 r ( )( ) r r + r + g), h, tehát 5 6 + + P ( ) 5 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) r r + r + r + r + r h) + r + r r + r r + r + + r + r ( r) + ( r) r + r r + r, tehát ( + r + r ) ( + r + r ) P ( ) ( r r ) + ( + r + r ) + +, h Másrészt + r + r + r + r + r + r + r + r + r + r + r + r 5 + + r+ r + + A feltétele lpjá 0 és 0, tehát z előbbi ifejezés jól értelmezett 6 Bizoyítsd be, hogy h pozitív tgú számti hldváy, or ; 5 ) 6 + + r r +,,,, b) + + + + ( r ) c) + + + + <, h, és r, h r > > r > 0; Megoldás ) H sorozt álldó tgú, midét oldl -gyel egyelő H r 0, mtemtii idució módszerét hszálju

Sorozto, számti és mérti hldváyo 9 ( r)( + r) r 0, tehát -re z egyelőtleség igz H, or + + + + Ez övetezőéppe líthtó: + + +, tehát be ellee láti, hogy + + + + + + ( r) ( + r) + r 0 + + A mtemtii idució elve lpjá z egyelőtleség teljesül bármely * eseté b) A 6 feldt ) potjáb láttu, hogy + + r Igzolu ell, hogy, ( r) r ( ) r + + ( r) Elleőrizhető, hogy z dott feltételeből övetezi e ét egyelőtleség c) A mtemtii idució módszerét hszálju eseté < egyelőtleséget ell igzolu < < ( ) < + r + ( r ) + r > 0 Az itt megjeleő másodfoú ifejezés diszrimiás r és ez isebb mit ull, tehát z egyelőtleség teljesül eseté + < egyelőtleséget ell igzolu H z -re igzolt egyelőtleséget z,, számti hldváyr írju fel, övetezi, hogy <, tehát + < + Így elégséges igzoli, hogy, vgyis + + r + r + r Az + ( r ) + r r 0 egyelet diszrimiás, tehát gyöö r és r A feltétele lpjá + r, tehát r Ebből övetezi, hogy z egyelőtleség teljesül H feltételezzü, hogy -re igz z egyelőtleség, or z,,,,, hldváyr llmzv övetezi, hogy + + + + < +

0 Sorozto, számti és mérti hldváyo Így + + + < + Az előbb igzoltu, hogy +, + tehát + + + + < 7 Bizoyítsd be, hogy övetező számo teljes égyzete ) 5 ; b) Megoldás ) + 5 5 ( 0 0 ) ( 0 0 ) 0 0 5 + 0 + 0 + 0 + + + + + + 5+ 0 + 0 9 9 9 ( ) ( ) 5 0 + 0 + 5 0 + 9 9 5 ( 0 + ), Elégséges igzoli, hogy 0 + A 0 + szám -re éppe három, míg -re -sel ezdődi, -sel végződi és többi számjegye 0, tehát számjegye összege Ebből övetezi, hogy ( 0 +, tehát ( ) 5 0 + és így vizsgált szám teljes égyzet Megjegyzés A feldt megoldhtó mérti hldváyo összegépletée hszált élül is {,,, } -re övetező számot pju: 5 5 5 5 5 5 5 5 Azt sejthetjü, hogy 5 Ezt igzolhtju úgy is, hogy elvégezzü jobb oldlo szorzást b) + 0 + 0 + + 0 + 0 + + 0 ( ) ( 0 0 0 0 ( 0 ) + 0, 9 9 9 9 0 99 9, tehát ( 0 ) és így vizsgált szám teljes égyzet 8 Számítsd i övetező összegeet ) ( ) S + + + + ; b) S ( ) + + + + ) )

Sorozto, számti és mérti hldváyo Megoldás ) módszer S ( ) + + + ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ( + + + ) + ( + ) +, h ( + ) eseté S ( ) + + + módszer (lásd feldtot, vgy z I prgrfusból feldtot) Kiszámítju z S ( ) ( ) S ülöbséget S ( ) + + + + ( ) + S ( ) ( ) ( ) + ( ) S ( ) + + + + + + + tehát ( ) S ( ), ho + + ( + ) + S ( ) Megjegyzés A poliomo formális deriváltjá értelmezése utá övetezőéppe is iszámíthtju z összeget + Az + + + + egyelőség midét oldlát deriválju: + ( + ) ( ) ( ) + + + +, tehát ( ) b) S + + ( + ) ( ) ( ) + + + + ( ) S ( ) ( ) + ( + ) + + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) ( ) + + + + + + +

Sorozto, számti és mérti hldváyo + ( + ) + +, ( + ) tehát ( ) ( + S ( ) ), h -re ( ) ( + )( + ) S ( ) + + + 6 9 Számítsd i z S( ) összeget! Megoldás (lásd z I prgrfus 5 feldtát, vgy 5 feldt ) lpotját) ( + ) ( ) ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) +, tehát + + + + + + 5 5 7 + + + 0 Bizoyítsd be, hogy + + + + + <! Megoldás Az < egyelőtleség és z I prgrfus z 5 feldt ( ) lpjá + < + ( ) * +, + + + + < Megjegyzése Néh hszos lehet övetező ötlet is Az egyelőtleséget úgy szigorítju, hogy z iduciós bizoyítás műödjö Az + + + < egyelőtleség helyett z + + + < E( ) egyelőtleséget próbálju igzoli, hol E() egy megfelelőe válsztott ifejezés Ahhoz, hogy z iduciós bizoyítás műödjö, szüséges, hogy teljesüljö E( ) + < E( + ) egyelőtleség, tehát z ( + )

Sorozto, számti és mérti hldváyo ( ) < E E( + ) egyelőtleség Itt láthtó, hogy E( ) megfelel, ( + ) tehát iducióvl igzolhtó, hogy, Igzolhtó övetező, potosbb egyelőtleség is: π * + + + <, 6 Egy -es táblázt mide soráb egy álldó ülöbségű és mide oszlopáb egy b álldó ülöbségű számti hldváyt írtu Bizoyítsd be, hogy bárhogy is válsztjáto i táblázt oly elemét, melye özt ics sem ettő egy sorb sem ettő egy oszlopb, iválsztott számo összege midig ugyyi! Megoldás Jelöljü -vel táblázt i-i soráb és j-i oszlopáb tlálhtó ij számot A feltétele szerit i + ( i ) b, i, és tehát ij i + ( j ), j,, ij + ( j ) + ( i ) b, i, j, Bárhogy is válsztu i elemet tábláztból, h zo özt icse ettő sem egy sorb sem egy oszlopb, or z összegübe megjelei -szer, és z illetve b együtthtójét 0-tól ( )-ig mide természetes szám megjelei, tehát z összeg értée ( ) + ( j ) + b ( i ) + ( + b ) j i Ez éppe tábláztb szereplő számo összegée -ed része és függetle számo iválsztásától Bizoyítsd be, hogy egy trpéz lpji és özépvolá hossz számti hldváyt lot! Megoldás I ábr Egészítsü i trpézt egy prlelogrmmár melléelt b ábrá megfelelőe Az MN szsz hossz z MP M P N özépvol étszerese Másrészt prlelogrmm egyi oldlávl + b b egyelő, tehát MP A mgyrázt, hogy miért éppe ezt válsztottu, meghldj X osztályos yg ereteit

Sorozto, számti és mérti hldváyo Egy ove égyszög ét szembe fevő oldlát osszu fel egyelő részre, mjd megfelelő osztópotot össü össze Bizoyítsd be, hogy z így pott diszjut belsővel redelező égyszög területe számti hldváyb v! Megoldás A feldtot elégséges -r megoldi, hisz egy sorozt potos or számti hldváy, h bármely három egymás utái tg számti hldváyb v A melléelt ábr jelölései szerit T[ B MC] T[ ABC] és T[ AQD] T[ ACD], tehát TBMC [ ] + TAQD [ ] ( T[ ABC] T[ ACD] ) + [ T ABCD ] Ebből övetezi, hogy T[ A MCQ] T[ ABCD] () Másrészt TM [ PQ] TMCP [ ] és T[ A QN] T[ MNQ], tehát T [ MCQA] T [ MNPQ] + T [ MPC ] + T [ ANQ] T [ MNPQ] + T [ MPQ] + T [ MNQ] T [ MNPQ] () Az () és () lpjá T[ M NPQ] T[ ABCD], tehát TBMPC [ ] + TANQD [ ] TABCD [ ] és így TBMPC [ ] + TANQD [ ] TMNPQ [ ] A jobb megértés céljából 7 -re is elvégezzü bizoyítást (ugyígy bármely - re elvégezhető) t + t t + t t + t5 A bizoyított tuljdoság lpjá t, t, t, t + t t5 6 5, és 6 t t + t7, tehát ( t ) számo számti hldváyb,7 v I ábr I ábr

Sorozto, számti és mérti hldváyo 5 Egy ove égyszög mide oldlát osszu fel egyelő részre, mjd szembe fevő oldl megfelelő osztópotjit össü össze (lásd melléelt ábrát) Az így eletezett égyszög özül válssz drbot úgy, hogy iválsztott égyszöge özt e legye ettő, mely ugyhhoz sávhoz trtozi ( sáv - evezzü -s feldtbeli égyszögeet; mivel mid égy oldlt felosztottu összese drb sáv v; melléelt ábrá beszíeztü egy sávot és egy lehetséges válsztás megfelelő három égyszöget) Bizoyítsd be, hogy iválsztott égyszöge területée összege z eredeti égyszög területée z -ed része! I ábr Megoldás Előbb megvizsgálju, hogy belső metszéspoto milye ráyb osztjá megfelelő szszot I5 ábr Az 5 ábrá BM CP és AB CD BN AQ l H l, or BC AD MN MN AC és AC, vlmit PQ PQ AC és AC, tehát MN MN PQ és PQ Ebből övetezi, hogy MR NR (lásd z I6 ábrát) H l, or jelöljü X -el MP NQ és X -vel z MN AC és PQ AC metszéspotot (lásd z I7 ábrát) Az ABC háromszögbe z MNX szelőre Cev tétel lpjá XA l Az ACD XC l háromszögbe PQ X szelőre XA l, tehát ét XC l metszéspot egybeesi Jelöljü továbbib X-el ezt ét I6 ábr

6 Sorozto, számti és mérti hldváyo metszéspotot Az MPX háromszögbe z NRQ szelőre llmzott Meelosz tétel MN XQ PR értelmébe A PQD háromszögbe z XAC szelőre ismét NX QP RM CP Meelosz tételét írju fel: DA QX, tehát QX AQ CD l és így CD AQ XP XP AD CP QX l NX MA BC NX l Másrészt, tehát és így QP l MX AB CN MX MN l MR l Ebből övetezi, hogy Hsoló igzolhtó, hogy NX RP l NR NR BM CP MR BN AQ, tehát és Eszerit megfelelő RQ NQ AB CD MP BC AD osztópotot összeötő szszoo eletező metszéspoto z illető szszt egyelő részre osztjá(*) Az AB és CD oldl megfelelő metszéspotji áltl I7 ábr meghtározott sávot evezzü függőlegese, míg BC és AD osztópotji áltl meghtározott sávot vízszitese H t -vel jelöljü z i-edi vízszites és j-edi függőleges sáv özös részée területét, or feldt és (*) lpjá ( tij ) ( tij ) i, ( tij ) számti hldváyo A továbbib igzolju, hogy hldváyo álldó j, ülöbsége ugyz szám mide i {,,, } eseté Vizsgálju előbb -r T[ BMN] T[ ABC] és 9 ij I8 ábr j, és

Sorozto, számti és mérti hldváyo 7 T[ PDQ] T[ ABC], tehát TB [ MN] + TPDQ [ ] TABCD [ ] 9 9 Továbbá TM [ NU] TUTR [ ] és TT [ RS] TSQP [ ], tehát TMUN [ ] + TSQP [ ] + TRSTU [ ] TRSTU [ ] Másrészt [ ] [ ] T RSTU T MXPY [ ] T ABCD T [ ABCD], tehát 9 T [ BMUN ] + T [ UTRS ] + T [ SQPD] + T [ ABCD] T [ ABCD] 9 9 Ebből övetezi, hogy t, és t is számti hldváyt lot Az eddigie (,, ) t ( t t ) ( t t ) ( ) lpjá t t t,,,t,,,t, t, t, t, (,, ), t, t, t, ( t, t, t ) és ( t, t, t ) számhármso elemei egy-egy számti hldváyt htároz meg Ez cs or lehetséges, h ( tij ) ülöbsége {, } j {,, } i, -r és ( ) ij i, j, t t t ( ) hldváyo álldó t hldváyo álldó ülöbsége -r ugyz Ezt tuljdoságot hszálv állíthtju, hogy z áltláos esetbe ( tij ) j, ülöbsége és ( t ij ) i, hldváyo {,,, } hldváyo j {,,, } álldó ülöbsége Az eddigie lpjá ( ij ) ij,, i eseté ugyz z álldó -re szité ugyz z t számo teljesíti feldt feltételeit, tehát feldt állítás igz 5 Az ABC háromszögből ivágju z oldl felezőpotji áltl meghtározott háromszöget A megmrdt három drb háromszög midegyiéből ismét ivágju z oldli felezőpotji áltl lotott háromszöget és z újo eletező háromszögere midig megismételjü ugyezt ) lépés utá háy háromszög eletezi? b) Számítsd i z -i lépés utá eletező háromszöge területée összegét z eredeti háromszög területée függvéyébe! (z első ét lépést z lábbi ábrá láthtod) I9 ábr Megoldás ) Jelöljü h -el és -el z -edi lépés utá megmrdt háromszöge illetve ivágott háromszöge számát Egy lépésbe mide háromszögből három más háromszög eletezi, tehát h h Mivel h, +

8 Sorozto, számti és mérti hldváyo övetezi, hogy h Az -edi lépésbe mide megmrdt háromszögből + + ivágu egy háromszöget, tehát + h Így + és + + + + b) Mide lépésbe megmrdt háromszöge összterülete -ére csöe, tehát z -edi lépés utá T háromszöge összterülete Így ivágott rész területe T 6 Htározd meg zot derészögű háromszögeet, melyee oldlhosszi számti hldváyb álló természetes számo! Megoldás Jelöljü háromszöge oldlhosszát -vl, b-vel és c-vel, övevő sorredbe A Pithgorász-tétel szerit + b c, tehát h + c b, or + c c + egyelethez jutu Ebből övetezi, hogy c és b 5 Ezee ifejezésee z értée cs or természetes szám, h oszthtó -ml, tehát, b és c 5 7 Keressete oly derészögű háromszögeet, melyee oldlhosszi számti hldváyt lotó számjegyebe végződő természetes számo és, melye em hsoló z előbbi feldtb tlált háromszögeel! Megoldás Ilye háromszöge például (, 9, 95), vgy (5, 90, 95) Igzolhtó, hogy végtele so ilye háromszög létezi A feldtot 999-be Tmási Csb tűzte i z Octogo (7(999):) folyóirtb és Tuzso Zoltá oldott meg (Octogo (7(999): 6-8 oldl)) 8 Bizoyítsd be, hogy egy háromszög oldlhosszi égyzetei potos or lot számti hldváyt, mior z oldlfelező hosszá égyzetei számti hldváyt lot! Megoldás Az oldlfelező hosszár votozó tétel értelmébe ( + c ) b ( b ) ( b + c ) + c m b m + m c + b +c 9 Az ABC háromszög AB és AC oldli vegyü fel z M és N tetszőleges potot, mjd BC- P potot úgy, hogy NP AB Bizoyítsd be, hogy z ABC és CNP háromszöge vlmit z MNCP égyszög területe mérti hldváyt lot!

Sorozto, számti és mérti hldváyo 9 NC Megoldás H, or AC TCNP [ ], tehát TC [ NP] TABC [ ] T[ ABC] Legye H z ABC háromszög C-ből iduló mgsságá hossz és h CNP háromszög C- ből iiduló mgsságá hossz H AB H NP ( H h) TMNP [ ] AB H T[ ABC] I0 ábr T [ MNCP] T [ CNP] + T [ MNP] T [ ABC ] + T [ ABC ] T [ ABC ] Az [ ] T ABC, T [ ABC ] és T[ A BC] számo mérti hldváyb v, tehát feldtot megoldottu 0 Keressete ét oly hsoló, de em ogrues háromszöget, melye özül z egyie ét oldl ogrues mási ét oldlávl! I ábr Megoldás Jelöljü eresett háromszöge ogrues oldlit -vl és b-vel és e ét oldl özös csúcsát C-vel, illetve C -tel (lásd z I ábrát ) A C és C szöge em ogruese (elleező esetbe ét háromszög ogrues lee), tehát övetező égy esetet ell vizsgáli C A, A B, B C C A, A C, B B C B, A A, B C C B, A C, B A c b c b b c és c Az előbbie lpjá c,, b c b c b b és c számo mérti hldváyt lot H q-vl jelöljü hldváy vóciesét,

0 Sorozto, számti és mérti hldváyo or z oldl hosszi c, cq, cq övetezi, hogy + q > q, q + q > és + q > q és cq A háromszög-egyelőtleségből 5 5 + Az előbbi egyelőtleségeből övetezi, hogy q, \{} Tehát c, cq, cq és cq, cq, cq oldll redelező háromszöge ielégíti ért 5 5 + feltételeet bármely q, \{ } eseté Beláthtó, hogy és eset elletmodáshoz vezet és eset ugyz, mit z eset, cs z és b szerepe felcserélődi Egy sejtből álló szövetteyészetbe beerül egy btérium A btérium (és mide utód) t idő ltt elpusztít egy sejtet és ettéosztódi H teyészet mide sejtje t idő ltt ettéosztódi mit állíthtu teyészet életbe-mrdásáról? Megoldás Jelöljü b -el és s -el z ( ) t idő utá létező btériumo illetve teyészetbeli sejte számát Az dott feltétele lpjá b b és b, tehát Másrészt s ( s b ) és s 0 Ebből b + övetezi, hogy s ( ), s ( s ) ( ) ( ), ( ) + s ( ) ( 8 ) 8 és áltláb s ( ) Láthtó, hogy t idő utá teyészet elpusztul A világűrből egy idege vírus érezi sztrtoszféráb A vírus p vlószíűséggel osztódi egy perc ltt etté (mgávl zoos vírust hoz létre) Jelöljü f(, )-vl vlószíűségét, hogy perc elteltével potos drb vírus v Bizoyítsd be, hogy f (, ) ( p) f (, ) + p f (, ), mjd számítsd i f (, ) -t, h (mide percbe cs egy vírus osztódht) Megoldás H z -edi perc utá potos drb vírus v, or z ( )- edi perc utá vgy drb lehet H drb v, or egyi sem osztódi, ee vlószíűsége f (, ) ( p) H drb v, or z egyi osztódi, ee vlószíűsége f (, ) p, tehát f (, ) f (, ) ( p) + f (, ) p Világos, hogy f ( 0, ), f (, ) p, f (, ) p, f (,) ( p), ( p) f (, ) ( p), f (,), f (, ) p, f (, ) p és f (, 5) p A reurzió lpjá f (, ) p( p) + p( p ) p( p), ) ( ) f (, p( p) + p p p( p), ) ( ) f (, p p + p ( p) p ( p), ) ( ) ( ) f (, p p + p p p( p), s

Sorozto, számti és mérti hldváyo f (, ) p ( p) + p ( p) 6p ( p), f (, ) p ( p) + p ( p) p ( p), és f (, ) p ( p) + p ( p) p ( p) Vlószíűleg hllottál rról, hogy egy őslelet életorát, C -es szé izotóp trtlm lpjá meg lehet állpíti Nézz utá öyvtárb, hogy milye eljárás lpjá törtée z ilye típusú életor becslése, mjd állpítsd meg, hogy milye idős z dioszurusz-lelet, melye szétrtlm g és, mely perceét 85 rdiotív bomlást mutt ( C -es szé izotóp felezési ideje 5568±0 év és z élő szervezete 5±0, bomlást mutt egy grmm szétrtlom eseté)! Megoldás Az 90-es éve végé chicgói egyetem egyi uttócsoportj, Willrd Libby vezetésével, idolgozt C -es izotópr lpozott életorbecslést Kuttásiért Willrd Libby 95-be Nobel díjt is pott A módszer léyege övetező ét tuljdoságo lpul: ) Az élő szervezetebe szé 5, ± 0,/ gr bomlást mutt perceét (és ez szit álldó) b) A C -es izotóp felezési ideje 5568 ± 0 év Így z lelet, mely 7,65 bomlást mutt, mide trtlmzott grmmyi szére perceét, örülbelül 5568 ± 0 éves A feldtbeli lelet 85 bomlást mutt perceét és 000 grmm szétrtlm, tehát,85-tel ell 5,-t eloszti Az eredméy, tehát C étszer ellett feleződjö, és így lelet életor 6 ± 60 év Bizoyítsd be, hogy h egy tgú számti hldváy mide tgj prímszám, or hldváy álldó ülöbsége oszthtó z -él isebb prímeel! Megoldás Legyee, + r, + r,, + ( ) r hldváyb szereplő prímszámo és p egy -él isebb prímszám Az, + r, + r,, + ( p ) r, + pr számo p-vel vló osztási mrdéi { 0,,,, p } hlmzb v, tehát létezi oly j < i, ij, { 0,,,,p}, melyre z osztási mrdé ugyz Így ( + ir) ( + jr) p, tehát ( i j) r p Nem lehetséges z i 0 és j p eset (mert eor + pr em lee prím), tehát 0 < i j < p Ebből övetezi, hogy r p 5 Az ( ) em osts sorozt tgji teljesíti z + + + + N összefüggést, -re Bizoyítsd be, hogy b sorozt számti hldváy (Megyei olimpi, 99, Călărşi) Megoldás Az dott reurzió lpjá: + i + + + + + + +, tehát + + + i

Sorozto, számti és mérti hldváyo ( + ) + Ebből övetezi, hogy, tehát b Láthtó, hogy ( b ) sorozt egy számti hldváy * N 6 Az ( ) N z lábbi egyelőtleséget: övevő számti hldváy első tgj -él gyobb Bizoyítsd be, <,! 5 (Grigore Moisil emléversey, 995, D Acu) Megoldás Jelöljü r-el hldváy álldó ülöbségét r 0 -r ( > ) + + + <,, tehát feltételezhetjü, hogy r > 0 -re < igz ( < ), tehát feltételezhetjü zt is, hogy > H b, b,, b, or + b S b b < + b < + b b b < + + + < < + + + + < b + < + + + + (mert < ) Tehát + r + r + ( ) r S < + + + + + + + + r + + + + + + + + + r + Be ellee láti, hogy: + r + < + r A feti egyelőtleség evivles övetezővel: ( + ) + r < r

Sorozto, számti és mérti hldváyo Mivel >, elégséges bebizoyítu, hogy <, + + + + + + + + + + + ( ) ( ) + <, mi teljesül mide eseté Megjegyzés A bizoyításból itűi, hogy érvéyes övetező szigorúbb egyelőtleség is: < Ee z egyelőtlesége egy sjátos esetét Fit Zoltá özölte 996-b Mtemtii Lpob (V6 feldt, /996)