ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add tovább! 3.0 Uported Licec feltételeiek megfelelőe szabado felhaszálható.
. A Beroulli-egyelőtleség és a számtai és a mértai közepek közötti egyelőtleség. Beroulli-egyelőtleség: Legye N és h R Ekkor: ( + h) + h és = = h = 0 Teljes idukció(-re):. = -re h R-re ( + h) + h + h + h 2. Idukciós feltevés: Tfh. valamely -re igaz: ( + h) + h 3. Kell, hogy + -re is igaz legye: ( + h) + + ( + ) h Ugyais ( + h) + = ( + h) ( + h) +h 0 id.felt.miatt ( + h) ( + h) = + h + h + h 2 = = + ( + )h + h 2 + ( + )h N, -re igaz. h 2 0 Egyelőség esete: Ha h = 0 vagy =, akkor yilvá ( + h) = + h Tegyük fel, hogy ( + h) = + h valamilye N és h [, + ) eseté. Tegyük még fel azt is, hogy 2. Azt kell igazoluk, hogy ekkor h csak 0-val lehet egyelő. Mivel ( + h) = + h h(( + h) + ( + h) 2 + + ) = h, ezért h > 0 em lehet, mert ekkor ( + h) + ( + h) 2 + + >. Viszot h < 0 sem lehet, mert ebbe az esetebe 0 ( + h) + ( + h) 2 + + <. Számtai és mértai közepek közötti egyelőtleség: Legye N 0 x... x R Ekkor x x 2...x ( x +x 2...+x ) és = x = x 2 =... = x Teljes idukció -re és Beroulli egyelőtleség:, = 0 x R : x ( x ) = x b, = 2 0 x, x 2 R kell: x x 2 ( x +x 2 ) 2 4x 2 x 2 x 2 + 2x x 2 + x 2 2 0 x 2 2x x 2 + x 2 2 0 (x x 2 ) 2 Sőt, itt = x x 2 = 0 x = x 2 2, Tegyük fel, hogy valamely N mellett x,..., x R eseté teljesül az egyelőtleség: x x 2...x ( x +x 2...+x ) Jelölés: P := x x 2... x, S = x +x 2 + +x Ekkor: P S Kell: + -re, azaz 0 x, x 2,..., x + számra: P + S+ + Bizoyítása: S+ + = ( x +x 2 + +x +x + ) + = ( S+x + ) + = ( S+S S+x + ) + = + + + (S + x + S ) + = + ( + x + S S + ( + ( + ) x + S (+)S ) = S 0 S+ S + (+ x+ S ) = S + x + (+) S =h ) + Beroulli S = S x + id feltevés miatt x + 0 P + Kell még: Ha S = 0 x = x 2 = = x = 0 2 P x + = x x 2... x x + =
illetve h = x + S (+)S /( + S ) x + S S S x + + S 0 és ez igaz. = bizoyítása: Ha x = x 2 = = x akkor a két oldal egyelő ezért az állítása igaz. Tegyük most fel, hogy az x k számok em mid egyelőek egymással. Jelölje x a legkisebb, x 2 pedig a legyagyobb számot az x k számok között. Legye továbbá: S := x +x 2 + +x. Ekkor x < S < x 2. Írjuk most x helyébe S -et, x 2 helyébe pedig (x + x 2 S )-et. Az így kapott S, x + x 2 S, x 3, x 4,..., x számok számtai közepe yilvá S, és a mértai közepükre az miatt az S (x + x 2 S ) x x 2 = (S x )(x 2 S ) > 0 S (x + x 2 S )x 3 x 4... x > x x 2 x 3... x egyelőtleség teljesül. Ez azt jeleti, hogy a számtai közép változatla maradt, a mértai közép pedig övekedett. Ha a S, x + x 2 S, x 3, x 4,..., x alatti számok em mid egyelők egymással, akkor folytatjuk az elárást. Végül legfeljebb lépésbe midegyik száms lesz. A számtai közép em változott, a mértai midigg őtt, most egyelőség lett, tehár eredetileg a mértai közép kisebb volt, mit a számtai közép. 2. A teljes idukció elve és a szuprémum elv. Teljes idukció elve: Legye A egy állítás. N Tfh.: A 0 igaz Ha A igaz, akkor A + is igaz N Ekkor A igaz N-re Legye S = { N : A igaz } = S N S iduktív halmaz, hisze 0 S, mert A 0 igaz, ha S, akkor A() igaz A (+) igaz + S S iduktív N a legkisebb iduktív halmaz N S S = N A igaz N-re.. Szuprémum elv: H R felülről korlátos halmaz felső korlátai között va legkisebb. H = A, B := {k R : k felső korlátja A-ak} a A k B : a k A, B, mert felülről korlátos teljességi axióma alapjá ξ R a A, k B : a ξ k a ξ a A-ra ξ felső korlát, és ξ a legkisebb felső korlát, mert ha k felső korlát és ξ k ξ a legkisebb felső korlát. 3
3. Az arkhimédeszi tulajdoság. a R, a > 0 b R : N : b < a Idirekt: Tfh. a R, a > 0 : b R N : b a H = {a : N} H felülről korlátos, hisze a b N ξ = suph ξ a legkisebb felső korlát ξ a em felső korlát N : a > ξ a ( + )a > ξ hisze ( + )a ξ mert ξ felső korlátja a H halmazak.. 4. A Cator tulajdoság. Legye [a, b ] R korlátos zárt itervallum Ha [a +, b + ] [a, b ] N-re, akkor N [a, b ] Legye A := {a : N}, B := {b : N} Ekkor a b m, m N, hisze: - m : a a m b m - > m a b b m Teljességi axióma miatt ξ R : a ξ b m ξ [a, b ] N ξ [a, b ]. N, m N a ξ b N 5. Sorozat határértékéek egyértelműsége. Az (a ) sorozatak határértéke, ha A R, ε > 0, 0 N, 0 : a K ε (A) Az elöző A szám az (a ) sorozat határértéke, és ez a szám egyértelmű. Idirekt: Tegyük, fel, hogy A és A 2 is kielégití a defiíciót. Legye ε A A 2 2 K ε (A ) K ε (A 2 ) = lim a = A ε-hoz N, : a K ε (A ) lim a = A 2 ε-hoz 2 N, 2 : a K ε (A 2 ) Legye 0 = max{, 2 } ε-hoz 0 N, 0 : a K ε (A ) K ε (A 2 ) = 4
6. A redőrelv. (a ), (b ), (c ) sorozatok. Tegyük fel, hogy: N N, N a b c ha lim a = lim c, akkor lim b = lim a Legye A = lim a = lim c, A R ε > 0 N : a K ε (A) = (A ε, A + ε) A R ε > 0 2 N 2 : c K ε (A) = (A ε, A + ε) Legye 0 = max{, 2, N} ε > 0 0 N, 0 : A ε < a b c < A + ε ε > 0 0 N, 0 b K ε (A) lim b = A 2, A = P R N, a > P Legye 0 = max{, N} P R 0 N, 0 : b a > P lim b = 3, A = P R N, c < P Legye 0 = max{, N} P R 0 N, 0 : b c < P lim b =. 7. Mit lehet modai két sorozat tagjairól, ha az egyik határértéke agyobb mit a másiké? (a ), (b ) sorozatok, A = lim a, B = lim b A > B N, N : a > b a, A, B R Legye ε A B K 2 ε (B) K ε (A) = lim a = A ε > 0 N, : a K ε (A) lim b = B ε > 0 2 N, 2 : b K ε (B) Legye N = max{, 2 } N N, N : b < B + ε A ε < a b, A =, B R Tetszőleges ε > 0-hoz 0 N 0 : b K ε (B) P = B + ε-hoz N : : a > P N = max{ 0, }, N : b < B + ε = P < a c, A =, B = Tetszőleges P R:, : b < P 2, 2 : a > P N = max{, 2 }, N : b < P < a d, A R, B = Tetszőleges ε > 0-hoz 0 N 0 : a K ε (A) P = A ε-hoz N : : b < P N = max{ 0, }, N : b < A ε = P < a. 5
8. Műveletek ullasorozatokkal. Tegyük fel, hogy (a ), (b ) is ullsorozat. Ekkor i, (a + b ) is ullsorozat. ii, Ha (c ) korlátos, akkor (a c ) is ullsorozat. iii, (a b ) is ullsorozat. i, lim a = 0, lim b = 0 ε > 0, : a < ε 2 ε > 0 2, 2 : b < ε 2 ε > 0 0 = max{, 2 }, 0 : a + b a + b < ε lim(a + b ) = 0 ii, (c ) korlátos K R, N : c K lim a = 0 ε > 0 0, 0 a < ε/k ε > 0 0, 0 : a c < ε K K = ε lim(a c ) = 0 iii, (b ) ullsorozat (b ) korlátos. Lásd ii, potot!. 9. Mooto övő sorozat határértéke (véges és végtele eset). Ha (a ) mooto ő és felülről korlátos, akkor koverges is, és lim a = sup{a : N} Ha (a ) mooto ő és em felülről korlátos, akkor lim a = (a ) felülről korlátos ξ = sup{a : N} R N : a ξ és ε > 0, 0, N 0 : ξ ε < a 0 a ξ lim a = ξ. (a ) em felülről korlátos K R 0 N : a 0 > K K R, 0 N 0 : K < a 0 < a lim a =. 6
0. A geometriai sorozat határértéke. Az e szám bevezetése az ( + /) ( N) sorozattal. Geometria sorozat: 0, ha q < lim q, ha q = =, ha q >, ha q i, q > q = + h, ahol h > 0 q = ( + h) + h (Beroulli) lim q = ii, q = iii, q < Ha q = 0 Legye q <, q 0 Ekkor > = + h, h > 0 q q ( q ) = ( + h) + h > h 0 < q < 0 lim h redorelv q = 0 iv, q =, ( ) diverges v, q < q > lim q = lim q 2 = és lim q 2+ = lim q. Az e szám bevezetése: Az a = ( + ) sorozat korlátos, és mooto ő, ezért koverges és e := lim( + ) 2, 7 Az (a ) sorozat mooto övekedéséek bizoyításához felhaszáljuk a számtai és mértai közepek közötti egyelőtleséget: ( + ( + a = ( + ) = ( + )( + )... ( + ) ) ) + = ( + + szer + )+ = a + Az (a ) sorozat korlátosságáak bizoyításához felhaszáljuk a számtai és mértai közepek közötti egyelőtleséget: ( + 4 ) = ( + 2 2 ) ( 2 + ( + ) 2 ) +2 = + 2 Ebből következik, hogy a 4 ( N) ezért a sorozat felülről korlátos. A mooto övekedés miatt yilvá alulról is korlátos. 7
. Az ( a, N), (, N), ( k q, N), (a /!, N), (!/, N) sorozat határértéke. a, N: a > 0 eseté lim a = i, a > a > a = + h, h > 0 a = ( a) = ( + h ) + h a 0 Ber. h > 0 0 lim h = 0 lim( a ) = 0 lim a = ii, a = iii, 0 < a < a > lim a = lim a = lim a =., N: lim = = + h, h > 0 = ( ) = ( + h ) ( ) h 2 = ( ) 2 0 2 2 h 2 h 2 > 0 0 lim h 2 = 0 lim h = 0 lim =. k q, N: k N q < rögzített: lim k q = 0 > = + h ( q q q ) = ( + h) ( ) k+ h k+ ( > k) =! = (k + )!( k + )! hk+ = hk+ ( k)... (k + )! 0 k q = (k + )! h k+ }{{} kostats (k + )! h k+ k ( k)( k + )... ( k k )(... ) }{{} (a /!, N: a R rögzített lim a = 0! Legye 0 a a = a a! 2... a a 0 +... 0. 0 = (k + )! h k+ k+ ( k 0 lim k q = 0. }{{} 0 a a < a a 2... a }{{ 0 } =c a = c a k )( k )... = 0 lim a! = 8
!/, N: lim! = 0 0 <! = 2 3... < 0 lim! = 0. 2. Nevezetes sorok: a geometria sor, a teleszkópikus sor, a sor, a harmoikus sor. 2 Geometriai sor: =0 q sor koverges q <. Ekkor =0 q = q q + s = q 0 + q +... q q q = + q = a + b + = (a b)(a + a b + + ab + b ) Legye a =, b = q. ( q + ) sorozat koverges q < Ekkor lim s = lim q+ q = q. Teleszkópikus sor: k= k(k+) k(k+) = k k+ = = sorozat koverges. s = + 2 2 3 (s ) koverges és lim s =. 2 = sor: 2 + + (+) = ( 2 )+( 2 3 )+( 3 4 )+ +( + ) = + sor koverges és = 2 2 < ( > ) 2 ( ) s = + +... < + +... = + = 2 2 (s 2 2 2 2 ( ) ) korlátos és szigorúa mooto övekvő (s ) koverges. 9
Harmoikus sor: = sor diverges és = = Legye 2 k < 2 k+ s = + + ( + ) + ( + + ) + + ( + + ) + ( + + ) > 2 3 4 5 8 2 k + 2 k 2 k+ k lim s 2 =. 3. Sorokra voatkozó Cauchy-féle kovergeciakritérium. A kovergecia egy szükséges feltétele. Cauchy-féle kovergeciakritérium: a sor koverges ε > 0 0 N, m > 0 (, m N) : =0 a koverges (s ) koverges s m s < ε De s m s = a + + + a m. Szükséges feltétel: Ha a koverges, akkor lim a = 0 a + + a +2 +... + a m < ε ε > 0 0, m > 0 (m, N) : cauchy a koverges ε > 0 0, N m > 0 : a + + + a m < ε Legye m = + ε > 0 0, N 0 : a + < ε lim a = 0. 0
4. Az e-re voatkozó e = Az e-re voatkozó: e = előállítás k! = + + + + = e k! 0!! 2!! s : k! ( N), elég beláti, hogy: k! előállítás. Az e irracioális szám. 2, 6 < e < 2, 8. s koverges, és lim(s ) = e s + = + = s k! (+)! + > s (+)! (s ) ; Elég beláti, hogy felső korlát: x := ( + ) ( ) : lim x = e Fejtsük ki biomiálisa az ( + ) -t! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) = + 0 + 2 + + 2 k + + k ( ) itt: k =! k k!( k)! = ( k)!( k + )!( k + 2)!... ( k + k)! = k k! ( k)! k = k + k + 2... k + k = ( k ) ( k 2 ) (... 0 ) = k! k! ( k! ) ( 2 ) (... k ) < k! ( Tehát: + ) = +! + ( ) + ( ) ( 2 ) + + 2! 3! }{{}}{{} < < + k! ( ) (... k ) < +! + 2! + 3! + + k! + +! = s + + ( ) (... ) <! }{{} ( ) Tehát : ( + ) < s Felső becslés s -re: Legye k N, és vegyük k természetes számokat! Ekkor ( + ) + + ( ) + + ( k )... ( )! 2! k! }{{} itt a ( )-beli pozitívszámokkal több va k fix, és lim ( + ) + + + + k N : + + + + = s! 2! k!! 2! k! k e Tehát N : ( + ) < s e (s ) koverges, és korl,mo lim( + ) lim(s ) e lim(s ) = e. kozr.fog Az e irracioális szám: e / Q Idirekt: Tegyük fel, hogy e Q p, q N, q 0 és lko(p, q) = e = p Q q A q N-hez θ q (0, ) e s q = θ q qq! θ q = q q! ( p q q ) k! θ q = pq! q q q! k! (k q)
θ q (0,) = pq! q q (k + )(k + 2)... q Z (0, ) itervallumba ics egész szám e / Q. 2
5. Pozitív tagú sorokra voatkozó összehasolító kritérium. Tekitsük a a és b pozitív tagú sorokat és tfh.: N N, N : 0 a b Ekkor: i, Ha b koverges, akkor a is koverges ii, Ha a diverges, akkor b is diverges. i, Tegyük fel, hogy b koverges Jelölés: =N b koverges. S := b N + b N+ + + b ( N) s := a N + a N+ + + a b koverges S () korlátos, de s S ( N) (s ) korlátos =N a koverges a koverges. =N =0 ii, Tegyük fel, hogy a diverges a diverges (s ) felülről em korlátos, =N de S s N (S ) felülről em korlátos b diverges =N b diverges. =0 6. A gyökkritérium. Tekitsük a a sort és tegyük fel, hogy lim a = A határérték. Ekkor: i, Ha 0 A <, akkor a abszolút koverges ii, Ha A >, akkor a diverges iii, Ha A =, akkor a lehet koverges vagy diverges is. i, Legye A < q <, lim a = A < q 0 N 0 : a < q 0 N 0 : a < q q geometriai sor koverges, mert q < a is koverges a abszolút koverges. ii, Legye < q < A, lim a = A 0 N 0 : a > q a > q > a diverges, hisze külöbe lim a = 0 iii, Pl. A = koverges. 2 a = = 2 ( = A ) 2 diverges, és = = A. 3
7. A háyadoskritérium. Tekitsük a a sort, a 0, ( N). Tegyük fel, hogy lim a + a = A határérték. Ekkor: i, Ha 0 A <, akkor a abszolút koverges ii, Ha A >, akkor a diverges iii, Ha A =, akkor a lehet koverges vagy diverges is. i, Legye A < q <, lim a + a = A 0 N 0 : a + a < q 0 : a + < q a a < q a < q 2 a 2 < q 3 a 3 < < q 0 a 0 = = q 0 a 0 q ( 0 ) a < K q ( 0 ) }{{} =K Kq koverges geometriai sor, hisze 0 < q < a sor a abszolút koverges. ii, Legye < q < A, lim a + a = A 0 N 0 : a + a > q a > q a > > q 0 a 0 = Kq > K > 0 lim a 0 a diverges. iii, diverges, de + = + = A ( ) 2 kovergs, de = A. 2 + (+) 2 2 = 8. A tizedes törtektre voatkozó két tétel. Tfh (a ) : N {0,,..., 9} Ekkor = a 9 a = a koverges és α = 0 9 0 0 9 sor koverges, hisze 0 = 9 0 0 = = a [0, ] 0 9 = 9 0 = = (geometriai sor). = 9 0 0 Ha α [0, ], akkor (a ) : N {0,,..., 9}, hogy α = = = 9 0 0 = a 0 = 0 k A [0, ] itervallumot 0 egyelő itervallumra osztjuk. I = [ a, a + ], α I 0 0 I -et osztjuk 0 egyelő itervallumra. I 2 = [ a + a 2, a + a 2+ ], α I 0 00 0 00 2. I = [ a + a 2 + + a, a 0 00 0 + a 2 + + a+ ], α I 0 00 0 ahol a, a 2,... a {0,,..., 9} Jel: s = a + a 2 + + a 0 00 0 α I s α s + 0 α s 0 0 lim s 0 = α a = α. 0 = 4
9. Sorok tégláyszorzatáak defiíciója. Két koverges sor tégláyszorzatáról szóló tétel. Defiíció: a és b két sor. =0 =0 Ekkor a t sort tégláyszorzatak evezzük, ahol t := a i b j max(i,j)= Ha a és b koverges, akkor a t tégláyszorzat is koverges, és t = ( a )( b ) =0 =0 N t = N =0 =0 =0 max(i,j)= t koverges és a i b j = =0 max(i,j) N t = ( =0 a i b j = ( N =0 a )( )b ). =0 a )( N =0 b ) ( =0 a )( =0 b ) 20. Torlódási pot fogalma. Függvéy határértéke egyértelmű. Defiíció: Az a R pot a H R halmaz torlódási potja, ha ε > 0-ra H K ε (a) végtele halmaz. A függvéy határértékéek egyértelműsége: Az f R R függvéyek az a D f potba va határértéke, ha A R, ε > 0 δ > 0, x D f (K δ (a) \ {a}) : f(x) K ε (A) és a határérték egyértelmű. lim a f = A. Idirekt: Tegyük fel, hogy A A 2 határértékei az f függvéyek az a D f-be ε > 0 δ > 0, x D f (K δ (a) \ {a}) : f(x) K ε (A ) ε > 0 δ 2 > 0, x D f (K δ2 (a) \ {a}) : f(x) K ε (A 2 ) ε > 0 : K ε (A ) K ε (A 2 ) = Legye δ = mi(δ, δ 2 ) ε-hoz δ > 0, x D f K δ (a) \ {a} : f(x) K ε (A ) x D f K δ (a) \ {a} : f(x) K ε (A 2 ) K ε (A ) K ε (A 2 ) =. 2. Az átviteli elv. f R R, a D f Ekkor lim f = A (x ) : N D f \ {a}, lim x = a : lim f(x ) = A a lim f = A ε > 0 δ > 0, x D f (K δ (a) \ {a}) : f(x) K ε (A) a Legye x : N D f \ {a} és lim x = a δ > 0 0 N, 0 : x K δ (a), x a ε > 0 0 N, 0 : f(x ) K ε (A) lim f(x ) = A Tegyük fel, hogy a jobb oldal tejlesül. Idirekt: Tegyük fel, hogy a bal oldal teljesülése mellett lim a f A. ε > 0 δ > 0, x D f (K δ (a) \ {a}) : f(x) / K ε (A) Legye δ = x D f (K lim x = a, x a lim f(x ) = A f(x ) / K ε (A), N. (a) \ {a}) : f(x) / K ε (A). De ekkor x K (a) 5
22. A közrefogási elv. A műveletek és a határérték kapcsolata(bizoyítással) Közrefogási elv: f, g, h R R a (D f D g D h ) Tegyük fel, hogy K(a) : f(x) g(x) h(x) x D f D g D h (K (a) \ {a}) Ha lim a f = lim a h, akkor lim a g = lim a f felhaszáljuk: átviteli elv + sorozatok (x ) : N D f \ {a}, lim x = a lim f(x ) = lim h(x ) lim g(x ) = lim f(x ) = lim a f atv.elv lim a g = lim a f. Műveletek és határérték kapcsolata f, g R R, a (D f D g ), lim a f, lim a g. Ekkor: i, lim a (f + g) = lim a f + lim a g, ha ez utóbbi ii, lim a (fg) = (lim a f)(lim a g), ha ez utóbbi iii, lim a ( f g ) = lim a lim a f g, ha ez utóbbi Csak az első állítást bizoyítjuk, a többi már adódik. Legye (x ) : N H \ {a} sorozat, melyre lim x = a. Ekkor lim a f = A atv.elv lim(f(x )) = A lim a g = B atv.elv lim(g(x )) = B Most va két sorozatuk, melyekre alkalmazzuk a műveletek tulajdoságait és az átviteli elvet: lim(f(x ) + g(x )) = A + B 23. A hatváyfüggvéy határértéke. lim x a x = a (a R) lim atv.elv a (f + g) = A + B. x a = x a x + x 2 a + + xa 2 + a x a c δc < ε c Hisze feltehető: x K (a), azaz x (a, a + ) x a + ε > 0 δ = mi( ε, ), x R (K c δ(a) \ {a}) : x K ε (a ) lim x = a. x a 6
24. Mooto függvéyek határértéke. Legye = (α, β) R korlátos, vagy em korlátos itervallum. f : (α, β) R mooto függvéy. Ekkor lim f és lim f, a (α, β) : a+0 a 0 i, Ha f mooto ő, akkor: lim f = if{f(x) x < a, x (α, β)} a+0 lim f = sup{f(x) a 0 x < a, x (α, β)} ii, Ha f mooto fogy, akkor: lim f = if{f(x) x > a, x (α, β)} a+0 lim f = sup{f(x) a 0 x > a, x (α, β)} Elég csak egy esetet beláti, a többi állítás a sup és if tulajdoságaiból, és az első állíítás bizoyításából értelemszerűe adódik. Legye M = sup{f(x) x < a} f(x) M x < a, x (α, β) ε > 0 x < a : M ε < f(x ) M x < x < a : M ε < f(x) < M Legye δ : a x ε > 0 δ = a x, x (α, β), x < a, 0 < a x < δ : f(x) M < ε lim a 0 f = M. Felhaszált irodalom - ELTE IK programtervezői iformatikus szak 202 tavaszi féléves Aalízis I. előadás alapjá írt órai jegyzetem - Szili László: Aalízis Feladatokba I. - Wikipédia - Szátó Ádám: Aalízis 7