Nevezetes egyelőtleségek Szkdolgozt Készítette: Molár Aikó Témvezető: Beseyei Ádám egyetemi társegéd Alklmzott Alízis és Számításmtemtiki Tszék Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy 00
Trtlomjegyzék Trtlomjegyzék Bevezetés Az egyelőtleség defiíciój Nevezetes középértékek és tételek két szám eseté 5 Számti közép 5 Mérti közép 6 Hrmoikus közép 7 Négyzetes közepek 8 Geometrii és számti közepek közti egyelőtleség 0 Hrmoikus és geometrii közepek közti egyelőtleség Számti és égyzetes közepek közti egyelőtleség A Cuchy-Buykovszkij-Schwrz-egyelőtleség 5 Hölder-egyelőtleség 6 Nevezetes középértékek és tételek több szám eseté 7 Számti közép 7 Mérti közép 7 Hrmoikus közép 7 Négyzetes közép 7 Riesz Frigyes 8 Riesz Frigyes bizoyítás 8 Szemléletes példák tétel lklmzásár 9 A tétel súlyozott változt 0 A geometrii és hrmoikus közepek közti egyelőtleség 0 A számti és égyzetes közepek közötti egyelőtleség Geometrii tuljdoságok megfoglmzás z lízis eszközeivel A koveitás A Jese-egyelőtleség 4 Szélsőérték-feldtok 9 Irodlomjegyzék 33
Bevezetés A szkdolgozt megíráskor elsődleges szempot volt számomr, hogy z lízis témköréből válsszk témát, mert z egyetemi évek ltt ez tárgy yerte el legikább tetszésemet Eze belül evezetes egyelőtleségeket válsztottm, mert középiskoli mtemtiktárkét képzelem el jövőmet és ez tém jól illeszkedik középiskoli tygb, ezért dolgozt fő vázát ez képezi Természetese zt is bemuttom, hogy épül z áltláos iskoli tulmáyikr z egyelőtleségek lklmzás, rávilágítv ezzel mtemtikokttás folymtár Másrészt pedig fotos lklmzáskét szélsőérték-feldtokt olduk meg A dolgoztb helyet kptk még oly egyelőtleségek, melyek ugy em képezik részét ormál okttásk, de megértésük em kívá komolybb elméleti háttértudást Ameyibe több lee keretttervbe mtemtik órák szám, tításukr is sort lehete kerítei gimáziumi okttásb, mivel tulóktól em igéyelek erő felüli tudást Az egyelőtleség defiíciój - Két meyiség gyságát összehsolító állítás Két vlós szám háromféle gyság szeriti relációb állht: z egyik gyobb, vgy kisebb másikál, vgy pedig két szám egyelő Ezeket < (kisebb), > (gyobb), vgy (egyelő) relációs jelekkel, illetve e jelek kombiációivl fejezzük ki Egy másik megközelítésből pedig: - H két szám vgy lgebri kifejezés > (gyobb), < (kisebb), (em egyelő), (gyobb vgy egyelő), (kisebb vgy egyelő) jelek vlmelyikével v összekpcsolv, kkor zt egyelőtleségek evezzük Az egyelőtleségekkel tulók áltláos iskol lsó osztályáb tlálkozk először Akkor még csk kokrét számokkl v ismertetve z egyelőtleség, például számok sorb redezése, illetve számok közelítő helyéek megkeresése számegyeesea több-kevesebb foglom szemléltetésével próbálják z lpvető összefüggéseket közérthetővé tei tulók számár, és egybe bevezeti őket z egyelőtleségek lpjik rejtelmeibe Ekkor tulják meg kisebb, gyobb, em gyobb és em kisebb szvk mtemtiki megfeleltetését Ez későbbiek folymá bővüli fog legfeljebb, leglább, miimum és mimum kifejezésekkel Az áltláos iskol felsőbb osztályib tulják z egyszerű elsőfokú egyeletek és egyelőtleségek megoldásit
Ekkor lehet kifejlesztei tulók megfelelő szövegértési képességeit szöveges egyelőtleségek felírásávl A későbbiekbe, zz 6 osztályb már tlálkozk függvéyekkel és megtulják ábrázoli is őket, viszot csk 8 osztályb érik el zt szitet, hogy speciális pothlmzokt ábrázoljk síko Oly függvéyekre támszkodv, melyekkel ezévbe ismerkedek meg, mit például z bszolútérték-függvéy Az lábbi két feldtb is csk eek függvéyek z ismerete szükséges Ábrázoljuk z lábbi pothlmzokt!, y b, y < ábr 3
ábr Más votkozásb is előkerülek relációs jelek: bizoyos geometrii lkztok megfoglmzásához is szükségesek - Körlpk evezzük geometriáb egy sík zo potjik hlmzát, melyek sík egy meghtározott potjától dott távolságtól em távolbb vk - A körgyűrű pedig két külöböző sugrú zoos középpotú körlp áltl htárolt síkrész A 7-8 osztályos tygb megjeleik számti és mérti sorozt, de ekkor még csk z átlgszámításb v rutijuk, melyet kerettterv változttásik függvéyébe 5 év végé, illetve 6 osztályb tulk A gimáziumi első osztályos ygb kerülek elő evezetes középértékek és köztük lévő relációk A megszokottól eltérőe egy trpéz segítségével szemléltetjük evezetes közepeket 4
Nevezetes középértékek és tételek két szám eseté Számti közép b Defiíció:, b > 0 számok számti (más szóvl ritmetiki) közepe: A( ; b) 3 ábr Állítás: A trpézál párhuzmos oldlpárok számti közepe mg középvol (lásd 3 ábr): c Bizoyítás: A trpézál (4 ábr) jelöltük zo mgsságvolkt, melyek két derékszögű háromszöggé és egy tégllppá drbolják Az ADP és BQC derékszögű háromszögekbe, F R és SF szkszok hossz: PD QC, Ebből egyértelműe láthtó: PD QC PD QC c c 4 ábr 5
Mérti közép Defiíció:, b > 0 számok mérti közepe: G( ; b) b 5 ábr Állítás: A trpézb két lp mérti közepéek felel meg z szksz, mely párhuzmos ezekkel és két egymáshoz hsoló trpézr szeli z eredeti trpézt (lásd 5 ábr): c Bizoyítás: A 6 ábrá keletkezett trpézok hsolóság mitt: h ez teljesül, kkor keletkező két trpéz, APQB és PDCQ hsolók, mert szögeik c megegyezek, ezért c 6 ábr 6
Hrmoikus közép Defiíció: b, b > 0 számok hrmoikus közepe: H ( ; b) b b b 7 ábr Állítás: Az lpok hrmoikus közepe k szkszk hossz, mely párhuzmos z c lpokkl és trtlmzz z átlók metszéspotját (lásd 7 ábr): c Bizoyítás: 8 ábr Az ATB háromszög hsoló CTD háromszöghöz (8 ábr), ezért c r s, így 7
c r c r s Legye PT y, ekkor párhuzmos szelőszkszok tételéből következőe z ADB y r c háromszögbe:, ezért r s c c y Az ABC c háromszögbe is elvégezhetük hsoló jellegű számítást, így eredméyül c TQ Ebből z láthtó, hogy T c PQ felezőpotj, és c c Négyzetes közepek Defiíció: b, b > 0 számok égyzetes közepe: Q( ; b) 9 ábr Állítás: Az lpok égyzetes közepéek hossz megegyezik k szkszk hosszávl, mely párhuzmos z lpokkl és z eredeti trpézt két egyelő területű trpézr vágj (9 ábr) c Bizoyítás: Az ADCB trpézból kivágtuk egy tégllpot, melyek oldli (lp) és m (mgsságvol) hosszúk 8
0 ábr Az így keletkezett két derékszögű háromszöget pedig mgsságvol meté egymáshoz illesztjük Az illesztés utá keletkezett APQ és z ADC háromszögek hsolók Az lpok ráy c, ezért tudjuk, hogy területek ráy ( ) ( ) ( )( ) ( ) m m m c c, vgyis: c m m Ezt átredezve c c m m dódik mgsságok ráyár A trpézok területéek ráyár pedig c c c c m m c m m H két trpéz területe egyelő, kkor c Az egyeletet megoldv c 9
ábr Állítás: A következő egyelőtleségek állk fet, meyibe és b pozitív számok ( ; b) G( ; b) A( ; b) Q( b) H ; Megjegyzés: Egyelőség kkor, és cskis kkor szerepel, h, b értéke megegyezik Geometrii és számti közepek közti egyelőtleség Állítás: h, b > 0 számok, kkor b b Bizoyítás: H két pozitív szám vgy kifejezés között feáll egy reláció, kkor égyzetre emelés sorá eek z iráy megőrződik Mivel kifejezések pozitívk voltk b b b 4 A feti egyelőtleséget 4-el beszorozv és redezve z lábbi összefüggést kpjuk: ( ) 0 b b 4 b b Ez pedig már yilvávló, mivel egy vlós szám égyzete emegtív Az egyelőtleség szemléletes bizoyítás pedig következő: 0
ábr Bizoyítás: Az r vol jelöli kör sugrát, szggtott vol pedig egy oly mgsságvol, melyhez trtozó háromszög z dott kör átmérőjére lett írv Egyértelműe látszik, hogy bármelyik derékszögű háromszög eseté mgsságvol kisebb vgy egyelő, mit sugár és egyelőség csk z egyelő szárú derékszögű háromszög eseté áll fe Ezt bizoyítást 0 évfolymb érdemes elmodi, mikor lehet már hivtkozi mgsságtételre: derékszögű háromszög átfogójához trtozó mgsság z átfogót két szkszr osztj és z átfogóhoz trtozó mgsság e két szksz mérti közepe ( ábr) Hrmoikus és geometrii közepek közti egyelőtleség Állítás: h, b > 0 számok kkor : b b Az egyelőség csk kkor teljesül, h b Bizoyítás: A hrmoikus közép két szám reciprokából képzett számok számti közepéek reciprok H ismerjük számti és mérti közepek közötti egyelőtleséget és tudjuk, hogy egy egyelőtleségek reciprokát véve relációs jel megfordul, kkor z lábbi egyelőtleséget kpjuk:
H b b b ( ; b) b G( ; b) Számti és égyzetes közepek közti egyelőtleség Állítás:, b > 0 számok eseté: b b Bizoyítás: Mivel midkét oldl pozitív, ezért égyzetre emelhetük és beszorzuk éggyel ( b) ( b ) A zárójeleket felbotv b b b A továbbikb átredezzük z egyeletet 0 b b 0 b és evezetes zoosságok segítségével egyértelműe dódik z állítás: ( ) Eek z egyelőtleségek z ismeretébe már meg tuduk oldi éháy speciális szélsőértékfeldtot Péld 3 Egy pozitív szám és reciprokák összege midig gyobb vgy egyelő, mit kettő ( R )
Megoldás: A bizoyításhoz csk z és számok számti és mérti közepe közötti egyelőtleséget kell felhszáluk: A G, H A G, kkor A G, mi mg z állítás Péld 4 Adott 4cm spárg, mekkor mimális területű tégllpot tuduk belőle létrehozi? Megoldás: H kerület 4cm, kkor két külöböző oldl hosszák összege cm A rövidebbik oldl legye hosszúságú, hosszbbik hosszúságú Ekkor terület: ( ) Most helyett, hogy függvéyt elemezék, számti és mérti közepek közti egyelőtleséget lklmzzuk z és b válsztássl: ( ) ( ) Mivel jobb oldl értéke, ezért ( ) kifejezés mimális értéke, h, ebből következik, hogy, tehát tégllpuk égyzet Ekkor miimális terület cm Péld 5 Legyeek bc c b, b, c vlós pozitív számok, ekkor: b c b c Bizoyítás: H igz z állítás, kkor midkét oldl kétszeresét véve bc c b b c bc c b b c b c 3
dódik, és ügyese csoportosítv tgokt bc c b c b bc b c, végül: b c b c b b c c c b b c b c b c Mivel z előzőekbe már bebizoyítottuk, hogy egy szám és reciprokák összege leglább, ezért ez utóbbi egyelőtleség érvéyes, így z eredeti is Ezekhez feldtokhoz középérték foglmávl kellett tisztáb lei, közvetleül tult ygrész utá gykorlóórá szerepelteti is lehet őket A hrmoikus közép sjátosságkét megemlíthetjük z átlg és z átlgos sebesség közti külöbséget A fizikáb megtultuk z egyees volú egyeletes mozgásál z átlgsebesség foglmát (z átlgsebesség z sebesség, mellyel testek mozogi kellee hhoz, hogy egy dott utt, egy dott idő ltt fusso be) melyek számértéke sebességek hrmoikus közepe Ez egy kicsit furcsá hgzik, mert z átlg szó kpcsá elsősorb z ritmetiki középre godoluk, de z em d helyes megoldást A közpi előfordulását gykorlti életből vett kiváló példávl szemléltetém: Péld 6 Egy utós A városból B -be utzik, mjd ugyzo z úto vissz Kocsij odfele 0kmekét, visszfele 5km-ekét fogysztott egy-egy liter bezit Átlgos liter beziel mekkor utt tudott megtei? Megoldás: Mivel sem z utó áltl megtett út, sem z ehhez szükséges idő ics megdv, így bevezetjük z s prmétert z út hosszár, -et pedig z liter beziel megtett út hosszár Ekkor odfele 0 s, s s s s míg visszfele liter bezi fogyott Összességébe: 5 0 5 Alkítv z egyeletet 4
0, ebből, végül 5 0 5 0 5 Átlgos tehát egy liter beziel km-t tett meg Több mit egy év kihgyás utá újr előtérbe kerülek evezetes középértékek és hozzájuk kpcsolódó tételek, most már zob emcsk két pozitív szám v megegedve, hem tetszőleges drb pozitív szám Az emeltszitű mtemtikokttás szerves részét képezik zob mtemtik tudomáy speciálisbb rétegeit képviselő, középiskoli mtemtikától jobb elvotkozttott tygo felüli esetek ismerete is tulók számár Többek között ezekhez részekhez trtozik Jese-féle egyelőtleség, Cuchy-Buykovszkij-Schwrz-egyelőtleség és társik, melyeket gimáziumi mtemtikverseyeke (pl:kömal) szervezők előszeretettel szerepeltetek Igéylik zt, hogy diákok ismerjék is ezeket tételeket, melyek ugy em áltláos megkövetelt ismeretek, de zokk, kik ezzel szeretéek mjd további életük sorá fogllkozi elegedhetetle szitkövetelméy Mielőtt részletese kitérék z egyelőtleségek bizoyításár, elegedhetetleek érzem Hölderés Cuchy- Buykovszkij - Schwrz-egyelőtleség megemlítését A Cuchy-Buykovszkij-Schwrz-egyelőtleség Állítás: Tetszőleges,, i, és b,, b j,, b vlós számokr fe áll b b b b Bizoyítás: tetszőleges i, j eseté legye ( b b ) 0 A i, j i b j jbi i jbib j j j i i H z A i, j számokt összedjuk mide i<j -re, kkor következő külöbséget kpjuk: i, j A i, j i b i i i - b i i ( ) ( b b ) ( b b ) Mivel z A 0,ezért z összegük is, így feti állításból dódik z állítás i, j 5
A középiskolából már jól ismert skláris szorzás, b vektorok eseté Cuchy-Schwrz- Buykovszkij-egyelőtleségek z speciális esete, mikor síkb kell godolkoduk A tygb szereplő defiíciój: b b cosϑ Tétel: b b b Eredméyekét: b cosϑ b b -t kpjuk Azt tudjuk, hogy cos ϑ értéke - és között változik Mivel vektorok hosszát úgy kpjuk meg, hogy koordiátáik égyzetösszegéből gyököt vouk, kkor égyzetre emelés sorá már megjeleek kívát kifejezések Midkét oldlo pozitív számok szerepelek és tudjuk, hogy pozitív és legfeljebb lehet, ezért igz z lábbi becslés: cos ϑ -ről b b cos ϑ A fetiekből kiidulv, és zt kifejtve dódik z egyelőtleség: ( )( b b ) ( )( b b ) cos ϑ ( b ) b Hölder-egyelőtleség Állítás: Legyeek p és q oly pozitív számok, melyekre Ekkor tetszőleges,, p q és b,,b vlós számokr p p p q q b b b b q Megjegyzés: Azo speciális esetbe mikor p q Cuchy Buykovszkij Schwrzegyelőtleséget kpjuk 6
Nevezetes középértékek és tételek több szám eseté Számti közép: drb pozitív szám számti közepe számok összegéek és z számk háydos: A (,,, 0 ) > Mérti közép: drb pozitív szám mérti közepe számok szorzták -edik gyöke: G (,,, > 0) Hrmoikus közép: drb pozitív szám hrmoikus közepe számok reciprok értékéből számított számti közepéek reciprok értéke: H (,,, > 0) Megjegyzés: Az elevezést o kpt, hogy z 3 4 hrmoikus sorb második tgtól kezdve mide tg két szomszédják hrmoikus közepe Négyzetes közép: drb pozitív szám égyzetes közepe égyzetgyöke számok égyzetéek számti közepéek: Q (,,, > 0) Sok külöféle ismert bizoyítás létezik számti és mérti középérték tétellel kpcsoltb, z lábbikb Riesz Frigyes-féle bizoyítást ismertetjük 7
Riesz Frigyes Tulmáyi: Felsőfokú tulmáyit zürichi műegyeteme, mjd budpesti egyeteme és göttigei egyeteme végezte Mukásság: A szegedi Ferec József Tudomáyegyetem Mtemtiki és Természettudomáyi Krá Mtemtiki Itézetbe mukálkodott, mjd Bolyi Itézet vezető professzor lett Később Horthy Miklós Tudomáyegyeteme vezette Bolyi Itézetet A Mtemtiki és Természettudomáyi Kr dékái tisztét töltötte be, később kievezték rektork is Hláláig budpesti tudomáyegyeteme tszékvezető egyetemi tár volt Mtemtiki mukásság: A szegedi egyeteme mtemtiki élet felvirágozttásáb tgdhttlul úttörő szerepe volt E tekitetbe külööse gy jeletőségű Hr Alfréddel közöse idított Act Scietrum Mthemticrum című szkfolyóirt, mely mi pig világszívolú mtemtiki szklpok között Kuttási szerteágzók, de gyrészt z lízis témkörébe trtozk, mit legismertebb eredméye is Riesz-Fischer-tétel A fukciólízis z ő mukái yomá vált mtemtik egyik fotos ágává Riesz Frigyes bizoyítás Az esetbe yilvávló egyelőség teljesül, hisze ekkor A H számok em egyelők, feltehetjük, hogy v közöttük legkisebb és leggyobb elem, például: ( ) < A < m( )( i ) mi i i Ebbe z esetbe helyettesítsük helyébe Így számti középérték em változott, mivel: A -et, helyébe pedig z A kifejezést 8
A ( A ) 3 A, mérti középérték ellebe őt (esetleg em változott): A ( A ) ( A )( A ) 0 A számok közt most már z elem többször v jele csere mitt Ezzel z eljárássl véges sok lépésbe -re cseréljük z összes elemet, miközbe számti közép ugyz mrd, mérti közép pedig fokoztos ő (esetleg változtl mrd) A művelet végé elérjük bizoyítás elejé már megfoglmzott egyelőséget, és ezzel tételt is bizoyítottuk Szemléletes példák tétel lklmzásár Péld 7 Egy tégltest egy csúcsból kiiduló élei mérőszámák összege 45 Legfeljebb mekkor lehet tégltest térfogt? Megoldás: Az bc mimumát keressük, h b c 45 Felhszálv mérti és számti 3 b c közép közötti összefüggést: bc 5, zz bc 3375, és egyelőség kkor és 3 csk kkor áll, h b c 5, zz h tégltest kock A mimális térfogt tehát: 3375 cm 3 Péld 8 Az sorozt felülről korlátos Bizoyítás: A következő db számr felírv mérti és számti közép közötti összefüggést:,,,,,, 9
A kifejezéseket redezve: < egyeletet: 4, ie ( )-edik htváyr emelve, zutá redezve z < dódik, és ez mide természetes számr teljesül, zz sorozt felső korlátj 4 Megjegyzés: Az ismert tétel szerit, h egy sorozt mooto övő és felülről korlátos, kkor koverges Ezt zob boyolultbb beláti, sőt h felső korlátják 3-t válszták, már kkor sokkl speciálisbb bizoyítást igéyele feldt A feti sorozt htárértéke éppe evezetes e szám 4 A tétel súlyozott változt Állítás: H,, emegtív vlós számok, p,, p pozitív vlós számok, melyekre p p teljesül, kkor Egyelőség csk kkor áll fe, h Megjegyzés: Eek egyelőtleség tétele p p p p p Ezt z állítást em bizoyítjuk p speciális esete számti és mérti közepek közti A geometrii és hrmoikus közepek közötti egyelőtleség: Állítás: 0 <,, számok eseté Bizoyítás: Legyeek,, pozitív vlós számok Alklmzzuk számti és mérti közép 0
közti egyelőtleséget szité pozitív vlós,, számokr: A gyökvoás zoosságit lklmzv: Midkét oldl reciprokát véve késze is vgyuk: Az egyelőtleség iráy em módosult, mivel midkét oldlt pozitív számok állk Egyelőség kkor áll fe, h vgyis, hisze ekkor számti és mérti közepek közti egyelőtleségbe egyelőség áll fet A számti és égyzetes közepek közti egyelőtleség Állítás: 0 <,, számok eseté Bizoyítás: Alklmzzuk Cuchy-Buykovszkij-Schwrz-egyelőtleséget z,, és b b i b szereposztássl Ekkor:, - el szorozv midkét oldlt megkpjuk bizoyítdó egyelőtleséget Megjegyzés: Áltláos z,,, pozitív számok k-dik htváy középértékéek evezzük z:
S k k k k k kifejezést Speciális esetekbe már tlálkoztuk velük: S számti közép, S hrmoikus közép, S pedig égyzetes közép Geometrii tuljdoságok megfoglmzás z lízis eszközeivel A koveitás: Amikor megismerkedük z elemi függvéyekkel, rögtö tlálkozuk koveitás foglmávl Defiíció: A függvéy bármely ívdrbj z ívet átfogó húro vgy húr ltt fekszik Ezt tuljdoságot lulról koveek evezzük (lásd 3 ábr) Pl: y, y 3 ábr Ezzel elletétbe, h bármely ívdrb z ívet átfogó húro vgy húr felett fekszik, kkor
függvéyt lulról kokávk evezzük Pl: y, y Abb z esetbe, h egy görbe kove ívdrbjához kokáv ívdrb cstlkozik mit például z 3 y függvéy esetébe, kkor függvéy egy szkszo lulról kove, egy másiko pedig lulról kokáv Más megfoglmzásb z y f () görbe z (, b) itervllumb lulról kove, h z itervllum bármely három < < 3 helyéhez trtozó f ( ), f ( ), f ( 3 ) potok közül f ( ) midig z f ) f ( ) húro vgy pedig ltt v H függvéyt ábrázoló görbe kove ( 3 kkor függvéyt is koveek evezzük A kokávitás defiíciój yib külöbözik koveitás defiíciójától, hogy f ) midig z f ( ) f ( 3) ( húro vgy felette v A függvéyek fet említett tuljdoságák lgebri kifejezését z lábbik folymá részletezzük Vegyük fel z htárolt szkszt p : q ráyb osztj b, kkor tegelye három külöböző potot, -t, b -t és c -t H z c áltl b c b p q Ezt átredezve q p c b -t kpjuk p q A q q p p r, s q p behelyettesítéseket hszálv, r s c, hol, mivel belső potról v szó r és s pozitívk és összegük A 3 ábr lpjá: y f f ( ) AB p s ( c) y BC q r mit átredezve következő egyeletet kpjuk: ( ) pf ( c) qf y rf ( ) sf ( c) q p Eek következméyeképpe megfoglmzhtjuk koveitást, h z itervllumhoz trtozó, c számokr és zokívül két, s [ 0, ] r számr (ezek súlyok) feáll következő:, ( r sc) rf ( ) sf ( c) f 3
Az előzőekbe tárgylt egyeleteket súlyozott Jese-féle egyelőtleségekek evezzük H r s, kkor kove függvéyekre: c f f ( ) f ( c), Amelyet szimmetrikus Jese-féle egyelőtleséget kpjuk Eek szemléltető megjeleése, hogy görbe bármely húrják felezőpotj görbe feletti síkrészbe tlálhtó Egy másik megfoglmzás szerit: z f függvéy kove (kokáv) z Ι itervllumo h mide,c I és <<c eseté f ( ) ( ) ( ) ( ) f h, c ( c) f ( ) ( ) f ( ) h, c c húr egyeeséek egyeletét megdó lieáris függvéy hol, H >, (<) áll és ics z egyelőség megegedve, kkor függvéy z dott itervllumb szigorú kove, (kokáv) A Jese-egyelőtleség A Jese-egyelőtleség kifiomult közös kiterjesztését dj több mtemtiki egyelőtleségek is Állítás: H egy (véges vgy végtele) I itervllumo z f függvéy kove,,, p,, p pozitív számok, melyekre p p teljesül, kkor ( p p ) p f ( ) p f ( ) f H f szigorú kove, kkor egyelőség csk z esetbe teljesül H f kokáv, kkor z állítás fordított iráyú egyelőtleséggel teljesül Bizoyítás: Teljes idukcióvl bizoyítuk Először z esetbe belátjuk z állítást, mely koveitásból következik: ( p p ) p f ( ) p f ( ) f Ι, 4
Tegyük fel, hogy -re teljesül z állítás: f ( p p ) p f ( ) p f ( ), re igzoljuk z állítást Vezessük be következő jelöléseket: és ()- p p i pii, α, p β pi f p ( ) i A feltételek teljesüléséhez szükséges, hogy p i és mide i-re p i >0 legye Az idukciós feltevés lpjá: f ( pα ( p) ) f ( p p ) p f ( ) p f ( ) zz f ( p ( p) ) pf ( α ) ( p) f ( ) pβ ( p) f ( ) α Mivel pα ( p) p p, és pβ ( p) f ( ) p f ( ) p f ( ), ezért z állítás fetiekből már következik Péld 9 Az f() függvéy kove emegtív vlós számok hlmzá, így h,, tetszőleges, p p, kkor mi számti és mérti közép közötti egyelőtleség Péld 0, Hsolóképpe kokáv f() log hszálv zt kpjuk, hogy pozitív,, számokr log log log log Mivel jobb oldl logritmus, számti és mérti közép közötti egyelőtleséget kpjuk logritmus függvéy mootoitás lpjá 5
Péld A cos függvéy Mivel, f ( ) f ( ) itervllumr szorítkozv kokáv Az ddíciós képletekből dódó cos cos cos cos, 0,, ezért így 0 cos, Másrészt pedig, cos cos cos f Ezzel befejezettek tekithetjük bizoyítási eljárást, tehát: A f ( ) f ( ) f cos függvéy kokáv mivoltából következik z téy, hogy z itervllumból vett,,, értékekre teljesül z -tgú szimmetrikus Jese-egyelőtleség: cos cos cos cos Az előzőekbe hivtkozott feldt prototípusok megtlálhtók középiskoli mtemtik tköyvek zo kiegészítő részébe, melyek z érdeklődő tulók tudásvágyát hivtottk kielégítei Nem része szervese mtemtik tygk, csupá fejlesztő szemléltető, tudásbővítő htás mitt említik meg ormál gimáziumi hrmdikos mtemtik tköyvek lpji Péld Mide -re feállk z si és 0 cos egyelőtleségek Midkét esetbe elég emegtív -ekre igzoli z egyelőtleséget függvéyek pritás mitt 6
H <, kkor: si < 3 <, illetve cos < < Feltehetjük, hogy Az első esetbe legye k pozitív szám u cos és v si, ekkor cos és si értelmezése mitt ( t ) t függvéy grfikoják z [, ] (lásd 4 ábrát) u itervllum feletti ív hossz éppe 4 ábr Így már köye láthtó, hogy A második esetbe cos 0, ( u ) ( v 0) s( k; [ u, ]) 0 si v Péld 3 cos si cos cos cos si Egyszerű középiskoli meggodolásokt igéylő 009-es októberi KÖMAL feldtsorb B jelű feldt: Az, b, c oldlú, t területű hegyesszögű háromszögre be, hogy bc b c teljesül Bizoyítsuk 7
3 3 < t 4 Alklmzv jól ismert területképletet t bsi γ bcsi α c si β, így t t t b c si α si β si γ t t bc c b bc A bizoyítdó egyelőtleség ezért: < si α si β si γ 3 3 lkr is hozhtó Mivel hegyesszögű háromszögekről v szó 0 < α, β, γ < Az f()si függvéy 0, itervllumo szigorú kokáv, Jese-egyelőtleséget lklmzv: si α si β si γ α β γ si si 3 3 3 3, és z egyelőség cskis z α β γ 60 esetbe vlósul meg Az lsó becsléshez ismerük kell szögfüggvéyek összegéek szorzttá lkításák meetét: y y si si y si cos H rögzítjük y értékét, kkor si si y értéke egyeese ráyos y cos értékével A feldt feltételei szerit z α, β, γ szögek ull és közé esek, ekkor β< Az α α γ új ismeretlet bevezetve, γ 0 mitt 0 < α α Ebből következőe α α γ és 0 γ α α <, ho cos függvéy 8
mootoitás lpjá következő összefüggés dódik: si α si γ si α si si α Tudvá zt, hogy 0 < α < β < és α β, z előzőhöz hsoló módo kpjuk, hogy si α si β si γ si α si β > si 0 si Eek lpjá feldtb megdott lsó becslés lehető leggyobb Szélsőérték-feldtok A következőkbe szereték bemutti éháy szélsőérték-feldtot, melyekbe elkerülhető deriválás, h észrevesszük evezetes középértékekkel kpcsoltos tult összefüggéseket Péld 4 Adott egy körcikk, melyek területe6m Mekkorák kell válszti sugrát, hogy kerülete miimális legye? Mivel körcikk területe R T α 360 6m R és kerülete K R α, 360 ezért területből átredezéssel kpjuk, hogy: 360 6 360 6 R, illetve R, α α Tehát H z K 360 6 α α 360 α prméterrel dolgozuk továbbikb, kkor 360 zz tovább lkítv K 6[ ] 6 6, 9
K 6 6 8 8 8 A kifejezést kell miimlizáli, hogy megkpjuk kerület legkisebb értékét Ehhez z 4 4 lábbi trükköt lklmzzuk: A számti és mérti közepek közötti egyelőtleségek ismerete szükséges z lsó korláthoz: 4 4 4 4, 4 4 vgyis 4 6 6, egyelőség kkor és csk kkor állht fet, h két szám, melyre lklmzzuk z egyelőtleséget megegyezik Azz, vgyis miből következik, hogy, mivel z eredeti kifejezésbe pozitív, csk ezt megoldást vehetjük figyelembe A kerület képletbe behelyettesítve K 6m dódik Ie R 6 m, vgyis R 4m A feldt geometrii trtlm mitt egtív megoldást em vesszük figyelembe Péld 5 Htározzuk meg k 60 egységyi kerületű tégllpk területét, melyek z átlói lehető legrövidebbek Ismerjük kerületet, így k felét is b30 Ameyibe tégllpb behúzzuk z átlókt, kkor derékszögű háromszögek keletkezek Pitgorsz tételéből következik, hogy hol e z átló A számti és égyzetes közepek közti egyelőtleséget lklmzv e b, b b e Mivel b -t ismerjük, kerületből ezzel becsülhetjük z átfogót: 30
5 e A miimlizálás sorá zt már megtultuk, hogy egyelőség kkor áll fet, h tgok megegyezek Ebből következik, hogy egyelőszárú derékszögű háromszöget kptuk, melyek területe 5 egység Péld 6 Htározzuk meg térfogtú hegerek közül miimális felszíűt! A heger térfogt: r m ezért, rm r A felszí képlete: A ( r mr ) r r Mivel értéke álldó, ezért elég kifejezés értékét miimlizáli A számti és mérti közepek közti egyelőtleségismeretébe r r 3 r r r r r 3 r Mivel z egyelőség kkor és csk is kkor áll fet, h tgok megegyezek Ezért, hogy r, zz r eseté miimális felszí, mégpedig: A r 6 r r Péld 7 Egy forgásheger mgsságák és sugrák összege 4cm Válsszuk meg z dtokt úgy, hogy heger térfogt mimális legye! A feldt szövege lpjá, hol r sugár és m mgsság r m 4 A térfogt V r m r ( 4 r ) Mivel értéke álldó, ezért elég r ( 4 r ) V mimumát megtláli A számti és r r 48 r 3 mérti közepek közötti egyelőtleség mitt 3 rr ( 48 r ) 6, egyelőség 3
kkor áll fet, h r 48 r Ebből következik, hogy r 6cm és m 8cm, ekkor térfogt 6430,7 3 cm 3
Irodlomjegyzék - Lczkovich Miklós - TSós Ver: Alízis, Nemzeti Tköyvkidó, Budpest, 005 - Hjl Imre: Mtemtik, Nemzeti Tköyvkidó, Budpest, 996 - Késedi Ferec: Egyelőtleségek, Tköyvkidó, Budpest, 965 - Összefoglló Feldtgyűjteméy Mtemtikából, Szerkesztő: Gimes Györgyé, Nemzeti Tköyvkidó, Budpest, 00 - Sokszíű Mtemtik 0, Szerkesztő: Tóth Ktli, Mozik Kidó, Szeged, 00 Iteretes oldlk: - http://wwwokmgovhu - http://huwikipediorg/wiki - http://wwwkomlhu 33