Gráfelméleti alapfogalmak Mide józa ítélet ember elôtt ismeretes, hogy éháy év óta már elkezdôdött az írás magyar yelve is, amelyet ekük Cicero és mide mveltebb emzet példája alapjá súlyos okokból apról-apra mid jobba és jobba tôlük telhetôleg mveli és gazdagítai kell. Boremisza Péter: Üdvözlet a yájas olvasóak. 558. (i) E' E, V' V és b g c h (i) ee' ' e e feltételek teljesedek. A feti defiíciót szemléletese úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a G gráf bármely G' részgráfját megkaphatjuk oly módo, hogy G bizoyos éleit töröljük és ugyacsak törölhetjük G valamely csúcsait is. A csúcsok törléséél, azoba ügyelük kell arra, hogy az adott csúcsra illeszkedô valameyi élt is töröljük. Lokális tulajdoságok Defiíció: A G=(E,,V) iráyított gráf v V csúcsáak ki foká a v csúcsból kifutó élek számát értjük és ki bvg-vel jelöljük. Va aki a gráfelmélet kezdetét 735.-re datálja, mikor is Euler megoldotta a Köigsbergi-hidak problémáját. Va aki Kirchoff elektromos hálózatokra voatkozó 847.- be publikált eredméyeihez kapcsolja a gráfelmélet kezdetét. Mások Cayleyek egy 857.- be megjelet cikkét tekitik az elsô gráfelméleti taulmáyak, melyet egy szerves-kémiai alkalmazás motivált. S természetese olyaok is vaak akik Guthrieek (850. körül) De Morgahoz itézett kérdésétôl számítják a gráfelmélet kezdetét. A evezetes kérdés a égyszí-sejtés korai megfogalmazása volt. Mideesetre talá elfogadható álláspot az, hogy a gráfelmélet valahol, valamikor megszületett és az utóbbi 50 évbe egyre több helye alkalmazzák, operáció kutatásba, elektromos hálózatok tervezésébe, számítástecikába. A gráfokat émileg potatlaul úgy is szokták jellemezi, mit potok és voalak halmazát. Emlékezve a gráfelmélet geometriai, topológiai idítatására, kezdetére. Mi itt a tárgyalás elejé igyekszük tisztá a halmazelmélet yelvé defiiáli a legtöbb gráfelméleti alapfogalmat. Természetese em moduk le arról a lehetôségrôl sem, hogy felhaszáljuk a matematika más területé elért eredméyeket modadók jobb megvilágítása érdekébe. Defiíció: Legye adott az E és V diszjukt halmazok és legye adott az E halmazak a VxV-be ( V ömagával vett direkt szorzatába ) való leképezése, ekkor a G=(E,,V)-t iráyított gráfhiba! A köyvjelz em létezik.ak, evezzük. Az E halmaz elemeit G=(E,,V) gráf élhiba! A köyvjelz em létezik.eiek és a V halmaz elemeit a gráf csúcspothiba! A köyvjelz em létezik.jaiak modjuk. Ha e E és ( e) bv, vg, ahol v, v V, akkor ezt úgy modjuk, hogy az e él v csúcs potból kifut ( kimegy ), s a v csúcspotba megy, v-be fut. A leképezést a gráf illeszkedési leképezéséek modjuk. A továbbiakba valamely A halmaz számosságáak a jelölésére az A szimbólumot haszáljuk. tt jegyezzük meg hogy e tárgyo belül kivételes esetektôl eltekitve majdem midig véges halmazokkal foglalkozuk, azaz a halmazaik elemeiek a száma valamely em egatív egész. A G=(E,,V) gráfot végesek modjuk, ha az E és a V halmazok véges halmazok azaz E, V. A továbbiakba, ha csak az ellekezôjét em modjuk midig véges gráfokról beszélük. Defiíció: A G be,, Vg részgráfhiba! A köyvjelz em létezik.jáak evezzük a G' E', ', V' g, ha b Defiíció: A iráyított gráf v V csúcsáak be fokáhiba! A köyvjelz em létezik. a v csúcsba befutó élek számát értjük és be bvg-vel jelöljük...tétel: Ha G=(E,,V) véges gráf, akkor v v E. Bizoyítás: Az élek száma szeriti teljes idukcióval bizoyítuk. Ha a G gráfak ics éle akkor a v ; v ; számok redre ullával egyelôek, s így a tétel ki be E vv vv állítása yilvá teljesül. Tételezzük fel, hogy a tétel igaz bármely olya G gráfra, amelyek az éleiek a száma vagy kisebb mit. gazoljuk az állítást azo G gráfokra amelyekek potosa + éle va. Legye most adott G=(E,,V) és E továbbá legye olya G' be', ', V' g részgráfja G-ek, melyre E' és V=V' teljesedik, más szóval G'-t G valamely e éléek a törlésével kaptuk. Az idukciós feltevés szerit vv ' v ki ' v E '. () vv be Azoba a G=(E,,V) véges gráf illeszkedési leképezése bármely e E élhez egyértelme hozzáredel egy v, v redezett párt, ahol v a ki fokok, v a be fokok, az e él pedig az élek számát öveli egyel-egyel. Tehát ha ()-hez -t aduk, akkor pot a bizoyítadó v v vv ki vv be b g E ki be egyelôség adódik. vv vv Defiíció: Ha az e él ugyaabba a potba megy vissza, amelybôl kifutott, akkor b g v g hurokélhiba! A köyvjelz em létezik.ek modjuk azaz ( e) v, v és v. Defiíció: Ha az e e élekre e szigorúa párhuzamosakak modjuk. b v, v és e v, v, akkor az e e éleket b g b Defiíció: Ha az e e élekre e v, v és e v, v, akkor az e e éleket párhuzamosokhiba! A köyvjelz em létezik.ak modjuk. g b Defiíció: A V halmaz ömagával vett redezetle szorzathiba! A köyvjelz em létezik.á azt a halmazt értjük melyek az elemei dvi, vji alakú redezetle párok. Jele: VrV. g
Defiíció: Legye adott az E és V halmaz és legye adott az E halmazak a VrV-be ( V ömagával vett redezetle szorzatába) való leképezése, ekkor a G=(E,,V)-t gráfhiba! A köyvjelz em létezik.ak, evezzük. Ha a G gráf em iráyított gráf, akkor ics értelme szigorúa párhuzamos élekrôl beszéli. egyszere párhuzamos élt esetleg többszörös élt moduk. Nyilvá a hurok él fogalma iráyított és iráyítatla gráf eseté ugyaaz. Ha valamely G gráfba ics sem párhuzamos, sem hurok él, akkor azt a G gráfot egyszer gráfhiba! A köyvjelz em létezik.ak evezzük. A Kedves Olvasó találkozhat olya köyvekkel is amelybe azo G gráfokat, melyekbe párhuzamos élek is találhatók multi gráfokak evezik. Ha valamely gráfak egyetle éle sics szokás azt üres gráfhiba! A köyvjelz em létezik.ak modai. Defiíció: A G gráf v csúcsáak foká a v-re illeszkedô élek számát értjük. Jele: bvg...tétel( kézfogási tételhiba! A köyvjelz em létezik. ): Ha a G( E,, V ) gráf véges, akkor v E. vv Tekitsük egy társaságot, ahol az emberek em csak szóba állak egymással, de olykor-olykor még kezet is fogak, sôt azt sem zárjuk ki, hogy egyesek többször is kezet fogtak vagy valaki ömagával fogott kezet. Ha most az embereket tekitjük a gráfuk csúcspotjaiak és egy-egy kézfogást egy élek, akkor a tétel potosa azt állítja, hogy a kézfogások száma bármely társaságba páros. élreértések elkerülése végett, ha X kezet fogott Y-al, akkor Y is kezet fogott X-el,( más szóval a kézfogások egyeragúak ). A tétel szigorú bizoyítása az.. tétel bizoyításához hasolóa törtéhet. Ha valamely csúcs pot foka 0, akkor azt a potot izolált pothiba! A köyvjelz em létezik.ak evezzük Következméy: A G gráf páratla fokú csúcsaiak a száma páros. Valóba a v összeget fel lehet botai két részre külö gyjtve a páros és a vv páratla fokú csúcsokat azaz v v v E () vv vv, v 0mod vv, v mod ()-bôl látható, hogy a v szám páros vv, v mod, s mivel páratla sok páratla szám összege páratla, ezért a v tagjaiak a vv, v mod száma csak páros lehet. Utak, körök, fák " Hozzo a föld sarjat, magtermô füvet, gyümölcsfát,..." Geezis-Brésith,.. b g gráf e e e k Defiició: A G E,, V,,..., élsorozatot sétáhiba! A köyvjelz em létezik.ak (él sorozatak )modjuk, ha b gb g b g e v0, v, e v, v,..., ek vk, vk. tt megegedett, hogy akár az élek akár a csúcsok között egyformák is legyeek. b g gráf e e e k Defiició: A G E,, V,,..., élsorozatot törött voalhiba! A köyvjelz em létezik.ak ( vagy egyszere csak voalak ) modjuk, ha b gb g b g e v0, v, e v, v,..., ek vk, vk. A törött voalál illetve a voalál a csúcspotok között lehetek egyelôk, de az élek között em. Defiició: Az e, e,..., e k törött voalat úthiba! A köyvjelz em létezik.ak modjuk, ha a v, v, v,..., v, v csúcsok párokét külöbözôek. 0 k k A feti defiiciót úgy is megfogalmazhatjuk kicsit szemléletesebbe, hogy a G gráf v 0 csúcsából út megy v k -ba, vagy az út olya yílt törött voal, mely seholsem metszi ömagát. Defiíció: Az e, e,..., e k törött voalat körhiba! A köyvjelz em létezik.ek (ciklusak) modjuk, ha a v, v,..., vk, vk csúcsok párokét külöbözôek, de v 0 v k. Defiíció: A G be,, Vg gráfot összefüggôhiba! A köyvjelz em létezik.ek modjuk, ha bármely csúcsából visz bármely másik csúcsába út. Defiíció: A G gráfak a G' részgráfját kompoeshiba! A köyvjelz em létezik.ek evezzük, ha redelkezik a következô tulajdoságokkal (i) G' összefüggô, (ii) em létezik G-ek olya G'' összefüggô részgráfja, mely G'-t valódi módo tartalmazza. Rövide fogalmazhatuk vola úgy is, hogy G összefüggô maximális részgráfhiba! A köyvjelz em létezik.jait G kompoeseiek evezzük. Defiíció: A G egyszer gráfot fáak modjuk, ha összefüggô és em tartalmaz kört..3.tétel: Bármely G fahiba! A köyvjelz em létezik. tartalmaz legalább egy elsôfokú csúcsot. Bizoyítás: direkt bizoyítuk. Tegyük fel, hogy az állítás em igaz az yilvá, ayit jelet, hogy G bármely csúcsáak a foka -él agyobb vagy egyelô-,0 em lehet az összefüggôség miatt. duljuk el G valamely v0 csúcsából. v0-ból vezesse e él v-be,v- bôl e él v -be és így tovább v k- -bôl e k v k-ba. Elôbb vagy utóbb vissza érkezük egy olya v j csúcsba ( s itt a kör ), ahol már korábba jártuk, mivel G -ek véges sok csúcsa va és idirekt feltevésük szerit midegyik csúcsáak a foka legalább kettô volt. Azaz ha beérkeztük valamely csúcsba egy e éllel, akkor egy másik e' éllel oa tova is tudtuk ballókázi. S végül láttuk, hogy az e j, e j+,...,e k töröttvoal egy köre a G gráfak elletétbe azzal, hogy G fa volt, s az elletmodás oka yilvá az idirekt feltevésük vala. 3 4
3 Defiíció: A G gráfot erdôhiba! A köyvjelz em létezik.ek modjuk, ha kompoesei fák..4.tétel: Ha G gráf fa, akkor V E. Bizoyítás: A G fa éleiek száma szeriti teljes idukcióval bizoyítuk. Ha a G-ek egy éle va, akkor az állítás igaz. Tételezzük fel, hogy bármely, olya fára igaz az állítás, melyek legfeljebb éle va. Legye most a G be,, Vg fagráfak + éle azaz E. G egy élét törölve G be,, Vg és G be,, Vg kompoesekre esik szét és yilvá midkettô fa, melyre már az idukciós feltevés miatt igaz az állítás. Tehát érvéyes V E, V E e két utóbbi egyeletet összeadva V V E E adódik. igyelembe véve, hogy V V V, továbbá E E E. Látható hogy az + él gráfra is teljesül az állítás..5.tétel: Ha a G be,, Vg gráf erdô és k kompoesbôl áll, akkor V k E. Bizoyítás: A feltétel szerit a G be,, Vg gráf a b g,g be,, Vg,...,Gk bek, k, Vkg kompoesekbôl áll, melyekre redre G E,, V teljesül, hogy V E, V E,..., V k E k. E k darab egyelet megfelelô oldalait összeadva adódik a tétel állítása. Az.3. tételbe megfogalmaztuk, hogy egy G be,, Vg fagráfak legalább egy elsôfokú ( pl. v V, bvg )csúcsa va. E tételt most köye potosíthatjuk, olya formá hogy egy fagráfak legalább két elsôfokú potja va. Valóba, az.. tétel szerit a gráf fokaiak összege páros, azaz az elôbb említett elsôfokú csúcso kívül tartalmaz még legalább egy (v V, bvg mod( ) )vagy több páratla fokú csúcsot. Az összefüggôség miatt v3, v4,..., ev j, továbbá v V, 3 v. Az elôbbi egyelôségekkel alulról becsülve G potjai fokaiak összegét v V adódik, ami elletmod az.4. tételek. vv Tétel: Bármely fagráfak legalább elsôfokú potja va. Vegyük észre, hogy ez utóbbi állítás em javítható, vagyis va olya fa, amelyek potosa elsôfokú potja va. Szemléltethetük egy olya gráfot, melyek csupá két elsôfokú potja va egy foallal, melyek két végére csomót kötöttük, s közbülsô helyeke kötöttük a foálra V csomót. A csomókat a gráf csúcsaiak és két szomszédos csomót közvetleül összekötô (csomó metes) foal darabot élek tekitük. A másik ''szélsôséges'' fát szemléltessük egy tarajossüllel. A fa éleiek a tarajossül tüskéit tekitsük, csúcspotokak pedig egyrészt a tarajossült, illetve a tüskék szabado maradt végét. A fáak, ekkor va egy potja, melyek a foka k-, s az összes többi csúcs foka. Ez utóbbi gráfokat szokás csillaggráfhiba! A köyvjelz em létezik.ak is evezi. Defiíció: A G be,, Vg gráf a G be,, Vg gráffal izomorfhiba! A köyvjelz em létezik., ha teljesedek a következô feltételek: (i) létezik kölcsööse egyértelm leképezése E-ek E -re 5 (ii)létezik kölcsööse egyértelm leképezése V-ek V-re H d i d c h c b g b ghi (iii) e E, ha e v v K e v v i, j,. Gráfok izomorfiája külöbözik a topológia homeomorfia fogalmától. Tekitsük például azt a G gráfot, amely két potból, s az azokra illeszkedô hurokélbôl áll. Realizálja G -t két összekapcsolt kulcstartó karika, ha szét kapcsoljuk a két karikát, akkor a kapott G ' gráf izomorf G -el,de topológiai értelembe G em ekvivales G '-el. Defiíció: A G be,, Vg gráf feszítôfájáakhiba! A köyvjelz em létezik. modjuk a G'-t, ha G'részgráfja G-ek és G' fa másrészt G mide csúcsa G'-e is csúcsa. Tétel: A G gráfak akkor és csak akkor va feszítôfája, ha G összefüggô. Bizoyítás: Legye G összefüggô, mutassuk meg, hogy ekkor létezik feszítôfája. Ha G em tartalmaz kört, akkor G az összefüggôség miatt fa és ömagáak feszítôfája. Ha G tartalmaz kört, akkor a kör valamely e élét törölve G-bôl G'gráfot kapuk, amely továbbra is összefüggô marad. Ha G'-e va köre, akkor ismét elhagyuk egy e'élt a G' gráfból. Véges sok lépése belül eljutuk egy olya gráfhoz, mely még összefüggô, de már ics köre, ez a G (k) gráf jó G feszítôfájáak. Az állítás megfordítása triviális mivel a fagráf összefüggô. S az is elég magától értetôdô, hogy ha a G gráfak va összefüggô részgráfja, akkor G is összefüggô. Sok esetbe bizoyul haszosak az iráyított fa fogalma. A G iráyított gráfba az e, e,..., e k él sorozat iráyított úthiba! A köyvjelz em létezik., ha b e v0, vgb, e v, vg,..., b ek vk, vkg és vi v j, ha i j. A G gráfak valamely v csúcsa gyökerehiba! A köyvjelz em létezik., ha G bármely v-tôl külöbözô csúcsába el lehet juti iráyított úttal. A G gráf iráyított fahiba! A köyvjelz em létezik. ha iráyítás élkül tekitve fa, és va egy v gyökere, melybôl bármely csúcsába vezet iráyított út. Teljes gráf, komplemeter gráf Defiíció: A G be,, Vg gráfot szögpotú teljes gráfhiba! A köyvjelz em létezik.ak evezzük, ha bármely két külöbözô csúcsát él köti össze bármely másik csúccsal és V. Jele K. b g. Tétel: A K potú teljes gráf éleiek a száma Bizoyítás: A K defiíciója szerit bármely szögpot foka -. A gráfukak összese csúcspotja va, ezért a gráf csúcspotjai fokaiak az összege potosa (-). b g Az.. tétel szerit, ekkor a gráf éleiek a száma potosa. 6
4 b g és V Legye adott a G E,, V egyszer gráf, s legye K -ek a G' E', ', Vg olya részgráfja, mely G be,, Vg-vel izomorf. Töröljük K-ek G' be', ', Vg-höz tartozó éleit. A kapott gráf lesz G komplemetere. Más megfogalmazásba G' be', ', Vg komplemetere a G be,, Vg gráfak, ha G' be', ', Vg élei teljes gráffá egészítik ki G-t. Nyilvá a teljes gráf komplemetere az üres gráf, és fordítva az üres gráf komplemetere a teljes gráf. Az szögpotú teljes gráfot lehet úgy tekitei mit az csúcspotú - dimeziós szimplex gráfját. eladatok:. Rajzoljo olya 5 csúcspotú gráfokat, melyekek harmadfokú és 3 egyedfokú potja va. Háy éle va a rajzolt gráfokak?. Háy olya 5 csúcspotú gráf va, ahol a csúcsok fokai redre,,,,3,3. 3. Egy társaság tagjai kézfogással üdvözlik egymást. Bizoyítsa be, hogy páros azo emberek száma akik páratla sokszor fogtak kezet. 4. Bizoyítsa be, hogy ha a GbE,, Vg egyszer gráfak vagy kettôél több csúcsa va V h, akkor va két azoos fokszámú csúcsa. c 5. Egy sakk verseye bármely játékos játszik bármely másik játékossal, bizoyítsa be, hogy a versey bármely szakaszába va két olya verseyzô akik addig azoos számú mérkôzést játszottak. 6. Háy olya 5 potú ( em izomorf ) egyszer gráf va, melyre teljesedik, hogy bármely potjáak a foka legalább 3. 4. Bizoyítsa be, hogy a GbE,, Vg összefüggô egyszer gráf akkor és csak akkor marad összefüggô egy e E éléek törlése utá, ha va G-ek olya k köre, mely tartalmazza e-t. 5. Bizoyítsa be, hogy az összefüggô egyszer véges gráf éleiek a halmaza akkor és csak akkor alkot kört, ha G valameyi foka. 4. Melyik az a legagyobb p egész szám, amelyre a q csúcsú teljes gráf p szerese összefüggô. 5. Mutassa meg, hogy ha egy teljes egyszer gráf éleihez bárhogya is iráyítást íruk elô, akkor az eredméyül kapott iráyított gráfak szükségszere létezik iráyított feszítô fája. c b gh c h V 6. Legye 0 GE,, V mi v,s G egyszer gráf. Bizoyítsa hogy vv V G összefüggô! gaz lesz e az elôbbi állítás, ha csak a 0cGE b,, Vgh mic vh L O vv NM QP teljesül, ahol a [x] függvéy az x egészrészét jelöli. 7. Mutassa meg, hogy egy csúcsú és k összefüggô kompoesbôl álló gráfba az élek száma legfeljebb bkgbk g lehet. 8.Bizoyítsa be, hogy egy összefüggô egyszer gráfba bármely két maximális hosszúságú útak va legalább egy közös csúcsa. 9. A következô G, G gráfok közül melyek izomorfak, melyek em? 7. Bizoyítsa be, hogyha a G összefüggô gráf csúcsaiak a száma és éleiek a száma -él kevesebb, akkor va elsô fokú csúcsa is. 8. Bizoyítsa be, hogy ha számú telefoközpot közül bármely kettô között létesíthetô összeköttetés, akkor va legalább - számú közvetle összeköttetés is. 9. Ha egy potú gráf mide potjáak a foka legalább, akkor a gráf összefüggô. 0. Bizoyítsa be, ha a G gráf mide potjáak a foka legalább kettô, akkor va köre.. Egy sakk csapat bajokságra csapat evezett be, s eddig + mérkôzést játszottak le. Mutassa meg, hogy va közöttük legalább egy csapat, mely legalább 3 mérkôzést már lejátszott.. Bizoyítsa be, hogy a G összefüggô gráf valamely élét törölve újból összefüggô gráfot kapuk. 3. Bizoyítsa be, hogy az potú, él egyszer gráfak va legalább egy köre. 7 8
5 Permutációk, variációk, kombiációk ismétléssel és ismétlés élkül Defiíció: Az külöbözô elem egy permutációhiba! A köyvjelz em létezik.já, elem egy rögzített sorredjét értjük. Például =6 eseté legye,,3,4,5,6 a szóba forgó elemek, s az adott sorredjük 3,,4,,5,6. A permutációt lehet úgy is defiiáli, mit egy elem halmaz ömagára való kölcsööse egyértelm leképezését. Az elôbbi permutációt ekkor meg lehet adi az 3 4 5 6 alakba, ez az alak a függvéyek táblázattal való megadásáak egy 3 4 5 6KJ x tömör jelölése,. A felsô sorba függetle változó értékei az alsó sorba a függô f x KJ változó megfelelô értékei szerepelek. faktoriálisak modjuk az egymásutá következô,,..., számok szorzatát, jele!=...(-) és 0!=, megállapodás szerit. Tétel: Az elem H halmaz összes külöbözô permutációiak a száma P =!. Bizoyítás: A H halmaz elemeiek a száma szeriti teljes idukcióval bizoyítuk. = eseté az állítás igaz, mert egy elemet, csak egyféleképpe lehet sorba állítai. Tételezzük fel, hogy az állítás igaz -re, s mutassuk meg, e feltevésbôl következik, hogy igaz (+)-re is. Legye megadva a H halmaz elemeiek egy rögzített sorredje pl. bh, h,..., h g. Bármelyik permutációál a? jellel jelölt helyek b? h,? h,...,? h? g valamelyikére beszúrhatjuk a h + -t. Látható, hogy az elem bármely permutációjából (+) darab külöbözô (+) elem permutációt lehet legyártai, tehát bármely -re teljesül az P Pb g, s mivel!(+)=(+)!, ezért a bizoyítással kész vagyuk. Defiíció: Legye adott elem, melyek közül l, l,..., l k redre egyforma ( és ll... lk ) eze elemek egy rögzített sorredjét egy ismétléses permutációhiba! A köyvjelz em létezik.ak evezzük. Például, ha egy osztály taulóit a dolgozatukra kapott jegyek alapjá sorredbe állítjuk, akkor az egyforma jegyet kapott taulók között már em teszük külöbséget. Tétel: Ha az elem közül l, l,..., l k redre egyforma és ll... lk,akkor ismétléses permutációiak a száma! P l,, l,..., lk =. l! l!...! b Bizoyítás: Legye megadva a h, h,..., h elemekek valamely ismétléses permutációja. A permutációba lévô egyforma elemeket külöböztessük meg idexekkel és permutáljuk az eddig azoosak tekitett elemeket is. {Például egy 5 fôs osztályba 3 ötöst és égyest adtuk és a dolgozatokat (5,4,4,5,5) sorba osztottuk ki, idexelve az eddig egyformáak tekitett jegyeket ( 5,4,4,5,5) 3. E permutációból 3!! ismétlés élküli permutáció adódik.} Egyetle egy ismétléses permutációból l! l!... l k! számú ismétlés élküli permutációt kapuk, ezért P l,, l,.., lk l! l!... l k!=!, s ie már valóba l! l!... l k! -vel való osztás utá adódik a tétel állítása. Defiíció: külöbözô elem közül kiválasztott redezett k elemet, ismétlés élküli k-ad osztályú variációhiba! A köyvjelz em létezik.ak evezzük. g l k 9
6 Például, ha egy futó verseye húsza idultak és az elsô 3 befutót díjazták, akkor a díjazottakat tekithetjük 0 elem harmad osztályú variációjáak. )). Tétel: elem ismétlés élküli k-ad osztályú variációiak a száma V k =(-)...(-(k- Bizoyítás: Rögzített mellett k szeriti teljes idukcióval bizoyítuk. k=-re az állítás igaz, mivel elembôl -t potosa féleképpe lehet kiválasztai. Tételezzük fel, hogy k-ra teljesedik és igazoljuk (k+)-re. Bármelyik b h, h,..., h k g k-ad osztályú variációhoz (-k) elem közül választhatuk egy h k+.-t, hogy egy bh, h,..., hk, hk g (k+)-ed osztályú variációt kapjuk. Azaz igaz a következô összefüggés Vk bkgv k, miáltal tételük bizoyítást yert. Defiíció: külöbözô elembôl, ha k elemet oly módo választuk ki, hogy egy elemet többször is választhatuk, akkor elem k-ad osztályú ismétléses kombiációhiba! A köyvjelz em létezik.iról beszélük. Például, ha valaki kitölt egy tizeégy mérkôzéses totó szelvéyt, akkor az x,, elemekek megadta egy 4-ed osztályú variációját. Tétel: külöbözô elem összes k-ad osztályú ismétléses variációiak a száma k Vk, ism. Bizoyítás: Jelölje 0,,,...,-,-, az külöbözô elemet, eze elemek közül k-t egymásutá leírva egy legfeljebb k jegy számot kapuk az alapú számredszerbe, k melyekek a száma yilvá, s ezzel a bizoyítás kész. Tekithetjük az külöbözô elem egy k-ad osztályú ismétlésese variációját úgy is mit az elem H halmazáak ömagával vett k-szoros direkt szorzatáak egy elemét, s akkor is elég yilvávaló, hogy HH... H H k. tt H jelöli a H halmaz elemeiek a számát. Defiíció: külöbözô elem közül ki választva k elemet, melyekél a redezésre em vagyuk tekitettel az elem egy k-ad osztályú kombiációhiba! A köyvjelz em létezik.ját kapjuk. Például, ha valaki az ötös lottó helyese kitölt egy szelvéyt, akkor a 90 elemek megadta egy 5-öd osztályú kombiációját. Állapodjuk meg abba, hogy fogja jelöli a kk J! k! k! k számot szokás biomiális együtthatóak is evezi. b g K J Tétel: elem k-ad osztályú kombiációiak a száma Ck = kk J. Bizoyítás: elem valamely ismétlés élküli k-ad osztályú kombiációjából k! számú k-ad osztályú ismétlés élküli variáció yerhetô, ha az elemeket egymás között permutáljuk. Tehát feáll a következô C k k!=v k. igyelembe véve, hogy V k k! b g b g, kapjuk a tétel állítását. k!...c h b g Defiíció: Ha az elem közül oly módo választuk ki k darabot, hogy egy elem többször is szerepelhet és a sorredre em vagyuk tekitettel, akkor az elem egy ismétléses k-ad osztályú kombiációjáról beszélük. Tétel: elem k-ad osztályú ismétléses permutációiak a száma C k, ism. KJ k. k Bizoyítás: A bizoyítás alapötlete rövide csupá ayi, hogy megaduk egy kölcsööse egyértelm leképezést (+k-) külöbözô elem k-ad osztályú ismétlés élküli kombiációi és külöbözô elem k-ad osztályú ismétléses kombiációi között. Legye az külöbözô elem,,..., egy és az (+k-) külöbözô elem,,...,,+,...,+k-. Az külöbözô elem egy ismétléses k-adosztályú kombiációja agyság szerit sorba redezve legye 0... k. Az b,,..., kg ismétléses kombiációak feleltessük meg az b,, 3,..., k k g elemek ismétlés élküli k-adosztályú kombiációját. Látható, hogy 0... k k k, ezért az b,, 3,..., k k g elemek valóba az +k- külöbözô elem ismétlés élküli kombiációja, s az összeadás egyértelmsége miatt a leképezés kölcsööse egyértelm volta is garatált. Biomiális és poliomiális tétel Tétel ( poliomiálishiba! A köyvjelz em létezik. ): Legye a, a,..., ak R, ahol R kommutatív gyr és egyél agyobb természetes szám, ekkor! s s sk baa... akg a a... ak. s! s!... s! ss... sk k Bizoyítás: Tudjuk, hogy bármely kommutatív gyrbe a több tag szorzását több taggal oly módo végezhetjük el, hogy mide tagot szorzuk mide taggal. Ha felírjuk az téyezôs baa... akgbaa... akg... baa... akg, akkor az a elemet s szer az zárójelbôl H G, s a elemet s szer az s zárójelbôl KJ s,..., s KJ a elemet s szor az s s... s zárójelbôl k k k féleképpe lehet kiválasztai. Az KJ s... s ss... sk = sk KJ bss sk g = bss... skg! sk!! s s! s! s s!! s!......! b g skj b g b g s S ez utóbbi egyelôség jobboldalá a tételbe szereplô a a áll, amivel állításukat bizoyítottuk is. 3 s s... s s k s k!. s! s!...! s k KJ s... a k tag együtthatója k
7 Tétel( biomiális tétel Hiba! A köyvjelz em létezik.): Legye a, a, R, ahol R kommutatív gyr és egyél agyobb természetes szám, ekkor s s s aa H G b g a a. s s 0 KJ Bizoyítás: A tétel a poliomiális tétel speciális esete. Következméy: b g H G 0K J H G K J H G K J... () KJ H G K J H G 0K J H G K J H G K J KJ H G K J b g b g b g A szita formula az eratosztheészi szita leszármazottja, abba az értelembe, hogy az eratosztheészi szita módszert adott, azo k számok meghatározására, melyek prímszámok egy elôre megadott véges halmazáak egyik elemével sem oszthatók. A szitahiba! A köyvjelz em létezik. formula képletet ad a H halmaz azo elemeiek a szám ára, melyek em elemei H elôre adott H H,..., részhalmazai egyikéek sem., H... 0 () Szita-formula Tétel(szita-formula): Legye adott a H véges halmaz és H, H,..., H részhalmazai, ekkor H H... H H H H... H H H H H... H H 3 H H... H H H H H... H H H... 3 3 3 H H H... H H H H... H s s ii... is i i i s Bizoyítás: smert, hogy HUHU... UH H HUHU... UH ezért a bizoyítadó egyelôség ekvivales az alábbival: s () H H H... H H H... H 3 s ii... is i i i s Ez utóbbi formula bizoyítását szeriti teljes idukcióval végezzük. =-re az 0 0 állítás yilvávalóa igaz. = eseté HH ( ) H ( ) H ( ) H H teljesül, mert a metszet elemeit duplá számoltuk. Tételezzük fel, hogy a formula igaz, ha (- ). gazoljuk az állítást -re. A HHH3... HH HHH3... H H HHH3... H H formula az = speciális eset alkalmazásával kapható meg. Jobb oldaláak utolsó tagjára alkalmazva a disztributivitást adódik az alábbi céljaikak jobba megfelelô formula: H... H HHH3... H H HHHH... HH (i) 4. hogy Az (i) jobb oldalá szereplô elsô tagra alkalmazva az idukciós feltevést írhatjuk, s HHH3... H H H... H (ii) a harmadik tagra pedig a következôt ill. s i i i s ii... is s H H... H H H H... H H s i i is ii... is s HH... HH H H... H (iii) s ii... is eseté H H... H H H... H,, akkor i i is Az (i) formulába vissza írva (ii) és (iii)-t, potosa a bizoyítadó () formulát kapjuk, s ezzel a bizoyítás kész.,,, Következméy(): Ha bármely s-re és tetszôleges bi, i,..., isg ill. ci, i,..., ish i i is i, i, is H UH U UH... H s s H H H.... s Következméy(): Legye A k, A elem halmaz, ekkor a A-t A-be képezô szürjektív leképezések (függvéyek) száma k b s H G g s k sk J b g. Bizoyítás: Az () következméyt alkalmazzuk arra az esetre, ha Hi jelöli azokat az A-t A-re képezô függvéyeket, melyekél az A ai eleme em lép fel képkét. Megjegyzés: A szita formuláak a számelméletbe vaak kifejezette fiom és redkivül mély alkalmazásai. Kombiatorikába a szita szép általáosítása köszöhetô G. C. Rota-ak. Permutációk, szimmetrikus csoport üggvéyek körébe ismert az összetett függvéy képzés mvelete, eek megfelelôe értelmezhetük a permutációk között is egy mveletet, a permutációk szorzását, mit a megfelelô leképezések egymásutá végrehajtását. Példa: 3 4 5 6 6 3 4 5KJ 3 4 5 6 3 4 5 6 = 4 3 6 5KJ 3 6 4 5 KJ tt ''jobbról-balra'' szoroztuk aak megfelelôe, hogy ha az f(g) összetett függvéy azt jeleti, hogy elôször végrehajtjuk g-t, majd f-t. Persze az elôbbi szorzást elvégezhetjük s 3 4 5 6 6 3 4 5KJ 3 4 5 6 4 3 6 5 = KJ 5 KJ 3 4 5 6 5 4 3 6
8 ''balról-jobbra'' is az eredméy persze általába más lesz( kivéve, ha a két elem felcserélhetô ), algebrai szempotból azoba ugyaaz az algebrai struktúra adódik midkét esetbe, célszer adott témakörö belül azoba csak az egyik írásmódot haszáli. Mi az utóbbi a ''balról-jobbra'' írásmód hívei vagyuk. Tétel: Az elem H halmaz permutációi a permutációk szorzására ézve csoportot alkotak. Jele: S (a S a szimmetriára utal a csoport szokásos eve a szimmetrikus csoport. Bizoyítás: gazoljuk sorba, hogy teljesedek a csoport axiómák. (i) A permutációk szorzása két változós algebrai mvelet, mert a H ömagára való kölcsööse egyértelm leképezéseiek egymásutája is, H ömagára való kölcsööse egyértelm leképezése. (ii) Az asszociatívitás is teljesül,mivel leképezések szorzása midig asszociatív. (iii) Létezik egységelem ti. az idetikus leképezés. (iv) Mide elemek va iverze is, mivel a kölcsööse egyértelm leképezések ivertálhatók. Defiíció: Azt a permutációt, melybe két elem cserélt csupá helyet traszpozicióhiba! A köyvjelz em létezik.ak evezzük. Például: Az... i... j... G J permutáció az i, j elemekek egy traszpoziciója.... j... i... H K Bármely traszpoziciót felírhatuk szomszédos traszpoziciók szorzatakét. Az,,..., i,..., j,..., idetikus permutációból -bôl i j,,..., i,..., j,..., KJ b g darab szomszédos elemek a traszpoziciójával (cseréjével) kapjuk a... i... j j... permutációt, s... i... j i... KJ ez utóbbi permutációból bi jg szomszédos elem cserével adódik a... i... j... permutáció, azaz az idetikus permutációból i j... j... i... KJ c b g h szomszédos elemek a cseréjével megkapjuk az i-t j-vel felcserélô traszpoziciót. Defiíció: Az i, j elemek iverzióhiba! A köyvjelz em létezik.ba vaak az... i... j... permutációba, ha......... j i. i j KJ Defiíció: Valamely permutációt aszerit moduk párosak ill. páratlaak, hogy a permutációba lévô iverziók száma páros vagy páratla. Az eddigiek alapjá yilvávaló, hogy szomszédos elemek cseréjekor a permutációba lévô iverziók száma vagy -el ô, vagy eggyel csökke. S mivel bármely traszpozicó az idetikus permutációból páratla sok szomszédos elem cseréjével megkapható, ezért bármely traszpozició páratla permutáció. Tétel: Bármely permutáció elôáll véges sok traszpozició szorzatakét. Bizoyítás: Ha adott véges sok elemek egy rögzített sorredje, akkor elemekek párokéti felcserélésével eljuthatuk bármely más elôre rögzített sorredhez is. Az elemekek a száma szerit bizoyíthatuk. =,=-re az állítás triviális. Tegyük fel, hogy az állítás igaz -re és bizoyítsuk +-re. Az idukciós feltevés szerit elérhetô traszpoziciókkal, hogy az elsô - elem a helyé legye, ha az utolsó kettô em a helyé áll, akkor megcserélve ôket kész vagyuk a bizoyítással. Következméy: A páros permutációk a szorzásra ézve csoportot alkotak. A páros és a páratla permutációk száma megegyezik, ha. Az elem összes permutációiak a csoportját többféle módo is lehet reprezetáli. Legye adott az dimeziós térbe egy szabályos + csúcspotú SZ + szimplex. Az SZ + szimplex ömagára való távolságtartó homogé lieáris leképezéseiek a csoportja, potosa az + elem szimmetria csoportjával egyezik meg. Tekitsük azokat az E... i... j... (+)*(+)-es mátrixokat, amelyek az... i... j... KJ (+)*(+) E egység mátrixból úgy keletkezek, hogy az i.-ik oszlopba E i.-ik eleme kerül. Az E... i... j... mátrixok a szokásos szorzásra ézve csoportot alkotak, s e... i... j... KJ csoport izomorf az (+) elem szimmetria csoporthiba! A köyvjelz em létezik.jával. eladatok:. Az A városból B városba 5 oa C-be 3 út vezet. Háyféleképpe lehet eljuti A-ból C-be, B- keresztül?. Két végvárak 00, 00 katoája va, katoát kiállítaak párviadalra. Háyféleképpe választhatak ki egy párt? 3. Egy hegy csúcsára 5 út vezet. Egy turista felmegy valamely úto, majd lejö egy másiko. Háyféle útvoal között választhatott? 4. A sakktáblá háyféleképpe választhatuk ki (i) egy fehér és egy fekete mezôt, (ii) egy fehér és egy fekete mezôt oly módo, hogy külöbözô sorba és külöbözô oszlopba legyeek? 5. Hat házaspár közül, háyféleképpe lehet kiválasztai egy férfit és egy ôt, hogy a két kiválasztott em házaspár? 6. Egy kosárba alma ill. 0 barack va. Juliska kivesz almát, vagy egy barackot. Juliska utá Jacsi választ egy almát és egy barackot is. Mikor va Jacsiak több választási lehetôsége, ha Juliska almát, vagy ha barackot vett? 7. Jacsika és Juliska virágot szedtek az erdôbe, 5 hóvirágot, 0 ibolyát, és 0 gólyahírt. Hazafelé mevé elosztották a virágot egymás között háyféleképpe tehették meg azt? 8. Az A ill. B városokat fôútvoal köti össze és azokat 9 másodred útvoal keresztezi. Háyféle úto lehet eljuti A-ból B-be, feltéve hogy egy úto legfeljebb egyszer megyük végig? 9. Az A-ból iduló voato utas va, s B-ig m megálló, legkésôbb B-be mideki kiszáll. Háyféleképpe törtéhet ez? 0. Értelmezze az elôbbi feladatot oly módo, hogy az utasokat egyformáak tekiti, s válaszolja meg az ott feltett kérdést? 6 7
9. Négy diák aalízisbôl vizsgázott Száz Árpádál háyféle eredméye lehet a vizsgáak, ha azap csak 5,4,3 -as jegyek születtek?. Háy pozitív osztója va az egész szám, ha = p? 3. Az 5 lapos fracia kártyából 3-3-at osztóak 4 emberek, háyféleképpe lehetséges ez? 4. Háyféleképpe lehet a 3 lapos magyar kártyából 6-t kiválasztai oly módo, hogy mid a 4 szí szerepelje legalább egyszer? 5. Józsikáak 6 barátja va, 0 alkalommal meghív közülük hármat. Háyféleképpe teheti ezt meg úgy, hogy ugyaaz a társaság e jöjjö össze kétszer? 6. Rajzoljo 5 olya téglalapot, melyek oldalaiak a hosszai az,,3,4,5,6,7,8,9,0 számok közül kerülek ki, méghozzá úgy hogy midegyik potosa egyszer lép fel ( ha a téglalapok egyforma oldalait egyszeres multiplicitással számoljuk, ), s az öt téglalap megfelelô módo egymás mellé helyezve egy újabb téglalapot alkot. 7. Háy égyjegy ill. ötjegy számot írhatuk fel 5 ill. 6. páratla számjegy segítségével. 8. Háy olya ötjegy szám va a tízes számredszerbe, melybe (i) a 0 em fordul elô, (ii) legalább egy páros számjegyet tartalmaz, (iii) a 3 és a 7 számjegyeket tartalmazza. 9. 8 egyágyas szállodai szobába, háyféleképpe lehet elhelyezi 5 turistát? 0. ehér,fekete, sárga, kék,piros és zöld gyögyökbôl háyféle 4 tagú lácot lehet csiáli? Meyi lesz azo lácok száma, amelyekbe legalább egy piros és legalább egy zöld szí gyögy is va?. Piros,fehér,zöld és kék szí golyóik vaak 6 külöbözô méretbe. Négy dobozba elhelyezük hat-hat golyót ügyelve arra, hogy egy dobozba külöbözô méret, de azoos szí golyók kerüljeek. Háyféle módo lehet 4 külöbözô méret és szí golyót kiválasztai a dobozokból.. Határozza meg a hétjegy számok közül azokak a számát, amelyek (i) csak páratla, (ii) csak páros, (iii) 5 páros és páratla, (iv) 4 páros és 3 páratla számjegyet tartalmazak. 3. A 3 lapos magyar kártyából 7 lapot húzuk. Háyféleképpe lehet az ász, király, felsô, alsó, tízes, kileces, yolcas sorredet kihúzi. 4. Egy társaságba 5 férfi és 5 ô va. Háyféleképpe lehet ôket egy kerek asztal köré úgy leülteti, hogy e üljö két ô egymás mellett? 5. Határozza meg azokak az ötjegy számokak az összegét, melyekbe (i) legfeljebb az,,3,4,5 számjegyek szerepelek, (ii) az,,3,4,5 számok legfeljebb egyszer fordulak elô, 8 (iii) legfeljebb a 0,,3,4,5, számjegyek állhatak, (iv) melyekek mide jegye külöbözô. 6. Három férfi és három ôi maöket, háyféleképpe lehet oly módo sorba állítai, hogy sem két ô sem két férfi em állhat egymás mellett? 7. m férfi és ô közül k-t kiválasztaak (midegyik kiválasztott más-más ajádékot kap). Háy olya eset lesz, amikor a kiválasztottak között potosa l hölgy lesz? 8. Adott a síko darab általáos helyzet egyees ( ics közöttük párhuzamos és semelyik három em illeszkedik egy potra). Háy tartomáyra botják a síkot? 9. Adott a 3 dimeziós euklideszi térbe általáos helyzet sík ( semelyik kettô em párhuzamos, semelyik három em illeszkedik egy egyeesre, semelyik égyek ics egy közös potja ). Háy részre botják a teret? 30. külöbözô téyezôbôl álló szorzatot, háyféleképpe lehet két-két téyezôbôl álló téyezôk szorzatára botai. 3. Háyféleképpe lehet öt dobókockával 8-at dobi? 3. Háyféleképpe lehet három dobókockával 4-et dobi? 33. Háyféleképpe helyezhetük el egy 5 polcos szekréybe 8 köyvet, ha egy polco elfér mid a 8? 34. Egy házaspár hat úrból és hat hölgybôl álló társaságot hív vedégségbe, oly módo hogy hata a férj és hata a feleség ismerôsei. Háyféleképpe tehetik ezt, ha a férjek öt ô és hét férfi, a feleségek hét ô és öt férfi ismerôse va? 35. Hófehérke levelet írt a hét törpéek. A goosz boszorkáy azoba összecserélte a leveleket oly galádul, hogy seki sem a sajátját kapta. Háyféleképpe tehette meg azt a goosz boszorka. 36. Háromféle témáról levelez 7 tudós. Bármelyik tudós bármelyik másikkal levelez, de csak egy témáról. Bizoyítsa be, hogy va közöttük legalább 3 tudós akik ugyaarról a témáról levelezek egymással. m m m m 37. Bizoyítsa be, hogy! k 0 k k K J H G kk J H G... K J 0 KJ H G K J H G K J H G K J 38. Háy szótárt kell kiadi, hogy közvetleül lehesse fordítai, külöbözô yelv bármelyikérôl, bármely másikra? 39. Háy 0-ra végzôdik a 000 szám? 40. Határozza meg az x8-o együtthatóját az x x poliomba! c h 3 7 4. 00 szám közül háy olya va, amely (i) em osztható sem -vel, sem 3-mal, (ii) em osztható sem -vel, sem 3-mal, sem 5-tel, (iv) em osztható sem -vel, sem 3-mal, sem 5-tel, sem 7-tel? 4. Az elem halmazak, háy lieáris redezése va? 43. Egy csomag magyar kártyából, háyféleképpe lehet kiválasztai (i) égy párokét külöbözô szí lapot, 9
0 (ii) égy párokét külöbözô szí és érték lapot, (iii) égy olyat, melyek közül kettô király? 44. Az ultiál, háyféle leosztás lehetséges? 45. Három gyermek között szétosztuk 7 darab 50 foritos érmét. Háyféleképpe lehet megcsiáli az elosztást, (i) ha az is elôfordulhat, hogy valamelyik gyerek egy érmét sem kap, (ii) ha bármelyik gyermek legalább egy érmét kap, (iii) ha bármelyik gyermek legalább három érmét kap? 46. Háyféleképpe húzhat fel valaki az egyik kezéek ujjaira 4 külöbözô gyrt, ha a hüvelykujjára em húz gyrt és ha bármely másik ujjára fel fér mid a 4. 47. 5 láy között 8 rózsát, 3 íriszt, 5 amarilliszt, 8 tulipát és egy orchideát osztottak szét oly módo hogy midegyikük egy-egy virágot kapott. Meyi a lehetséges elosztások száma? 48. A köyvespolco 7 köyv va. Háyféleképpe lehet közülük kiválasztai 6 olyat, mely em egymás mellett áll? k 49. Legye az szám kaoikus alakja p p... p k. Határozza meg az külöbözô pozitív osztóiak a számát! 50. Háy olya "szó" készíthetô a felejthetetle szóból, amelybe e betk icseek egymás mellett? 5. Háyféleképpe bothatuk fel egy természetes számot három természetes szám összegére? ( A sorredet is figyelembe véve.) 5. Adott a síko az e ill. f párhuzamos egyeesek e- m darab, f-e darab külöbözô pot va. Háy olya em elfajuló háromszög va a síko melyek a csúcsai az adott potok közül kerülek ki? 53. Egy égyzet mide oldalát egyelô részre osztuk. Háy olya háromszög va, amelyek csúcsai az elôbb említett osztópotok közül kerülek ki? 54.Adott a síko darab egyees, amelyek közül ics három, mely egy potra illeszkede és bármely kettô metszi egymást. Háy metszéspotja va az darab egyeesek? 55.Adott a síko darab pot, melyek közül semelyik 3 ics egy egyeese. Háy egyeesét határozzák meg az elôbb említett potok a síkak? 56. Adott a háromdimeziós térbe pot, melyek közül semelyik három ics egy egyeese, közülük m viszot egy síkba helyezkedik el, a megmaradt -m pot közül már semelyik égy em komplaáris. Háy sík illeszthetô az adott potra? 57. Háy olya háromszög va, melyek csúcsai egybeesek egy adott kovex szög csúcsaival, de ics közös oldaluk? 58. Kombiatorikai úto igazolja, hogy (i) 3 6 6 (ii) 7 6 3 H G 3 K J H G K J H G 3 K J b g K J H G K J H G K J b K J H G K J H G K J H G K J (iii) 4 36 4 4 4 H G K J H G K J H G 3 K J (iv) 4 4 36 4! 3 4 g 0
Euler-gráfok, Hamilto-utak és Hamilto-körök Leoard Euler (707-783) evéhez kapcsolódik az elsô gráfelméleti muka, mely 736-ba jelet meg a Szetpétervári Tudomáyos Akadémia közleméyeibe. Az értekezését Euler az ú. Köigsbergi hidak problémájával kezdte. A Pregel folyó A, B szigeteit hidak kötötték össze egymással és a partokkal is. Az A Jobb part szigetet két párhuzamos híd kötötte össze a jobb parttal, egy híd a B szigettel, s ugyacsak két párhuzamos híd vezetet az A-ról a bal partra is. B-t A B egy-egy híd kötötte össze a bal és a jobb parttal is és B-rôl vezetet egy híd A-ra is, melyet az elôbb már említettük. A Bal part kérdés az volt, be lehet e jári a hidakat valamely fix C potból oly módo, hogy mide hído átmegyük potosa egyszer. Euler léyegébe teljes általáosságba megoldotta a feladatot. b g gráf L élsorozatát Defiíció: A G E,, V (b e v0, vgb, e v, vg,..., b e v, vg)-t zárt Euler-voalHiba! A köyvjelz em létezik.ak evezzük, ha E mide élét potosa egyszer tartalmazza és v 0 v, ha v 0 v akkor L-t yílt Euler-voalak modjuk. Ha valamely gráfak va zárt Euler-voala szokás azt Euler-gráf évvel illeti. Nyilvá egy Euler-gráf összefüggô és bármely csúcspotjáak a foka páros, mivel ha az Euler-voala betér valamely csúcspotba mid ayiszor ki is megy oa. Megjegyezzük, hogy va aki Euler-gráfak evez olya gráfot, amelyek bármely csúcsfoka páros. A következô tétel léyegébe Eulertôl származik. (E) Tétel: A G gráf akkor és csak akkor Euler-gráfHiba! A köyvjelz em létezik., ha összefüggô és bármely csúcsáak a foka páros. Bizoyítás: Az, hogy egy Euler-gráf szükségképpe összefüggô és mide csúcspotjáak a foka páros, az remélhetôe világos a tétel elôtti sorokból. A feltétel elégséges voltához tekitsük a G gráf valamely v0 csúcsát. Az e él vezesse v0-ból v-be, s v-bôl e v-be, és így tovább végül ek elvisz vk=v0-ba, mert ha valamely csúcspotba bemetük a csúcspot fokáak páros volta miatt ki is tudtuk jöi. Ha a kapott L élsorozat tartalmazza a G gráf valameyi élét, akkor kész vagyuk. Ha em tartalmazza például az e' élt és u,u eze él két végpotja, akkor u-bôl idulva az elôbbiekhez hasolóa találuk egy ugyacsak u-be végzôdô L zárt voalat. Ha u az L zárt voal valamely élére is illeszkedett (vagy L valamely másik csúcspotja illeszkedett L-re), akkor az L,L zárt voalakat lehet egyetle zárt voalak tekitei. {Ha az L ill. L éleiek em vola közös csúcspotja, akkor L-t cseréljük ki oly módo, hogy elôször vezessük u-bôl utat L valamely csúcspotjába, olya utat, amelyek ics közös éle L-el, s ezt az utat egészítsük ki az L' zárt voallá az elôbbi módo.} Ha em maradt ki él kész vagyuk, ha ige akkor megismételjük az elôbbi eljárást és mivel a gráfuk véges elôbb vagy utóbb az eljárásuk véget ér és megadja a G gráf egy zárt Euler-voalát. (E) Tétel: Ha a G egyszer összefüggô gráfak, k darab páratla fokú csúcspotja va, akkor élei lefedhetôk k darab yílt Euler-voallal. Bizoyítás: Egészítsük ki a G gráfot k darab éllel G'-vé, oly módo, hogy G' mide csúcsáak a foka páros legye, ez yilvá megtehetô, ha ügyelük arra, hogy az új élekkel midig páratla fokú csúcsokat kössük össze. G'-re ekkor teljesedi fog az E tétel feltétele, s ezért lesz egy zárt Euler-voala is, mely triviálisa tartalmazza az "új" k darab élt is. Ha a k darab új élt töröljük k darab yílt Euler-voalat kapuk. (Miért em kaphatuk kevesebbet k- ál?), s a bizoyítás ezzel kész. Hamilto-út, Hamilto-kör Sir Villiam Rova Hamilto (805-865) 859-be egy olya játékot hozott forgalomba, melyek a léyege az volt, hogy egy elôre megadott gráf csúcspotjait kellett bejári, oly módo, hogy bármely csúcsba potosa egyszer kellett jári. Állítólag a játékak em volt átütô sikere Hamilto kortársai között. b g gráf H útját Defiíció: A G E,, V (b e v0, vg, b e v, vg,..., b e v, vg)-t Hamilto-útHiba! A köyvjelz em létezik.ak modjuk, ha v 0, v,..., v csúcsok mid külöbözôk és e csúcspotoko kívül más csúcspotja ics G-ek. Defiíció: A G be,, Vg gráf K körét Hamilto-körek modjuk, ha K tartalmazza G mide csúcspotját is. Látszólag agyo hasoló probléma, hogy valamely gráfak az éleit járjuk be potosa egyszer, vagy a csúcspotjait. Az utóbbi azoba jóval ehezebb. S az általáos esetbe Hamilto-utak illetve Hamilto-körök keresésére ma sem ismert igazá jó algoritmus. Operációkutatás területéhez tartozik az utazó ügyök problémája. Az utazó ügyökhiba! A köyvjelz em létezik. problémája azt jeleti, hogy a kereskedelmi utazóak adott városokat kell bejária, oly módo, hogy mide városba csak egyszer megy el, és végül visszatér a cégéek a székhelyére. Ez esetbe a gráf csúcspotjai az utazó által meglátogatadó városok, az élek pedig a városokat összekötô útvoalak. Természetese egyegy útak jól meghatározott utiköltsége is va, s több út eseté célszer azt az utat választai, melyek a költsége miimális. Ha valamely G gráf éleihez valós számokat redelük, akkor hálózatokról, folyamokról beszélük. S agyo természetese vetôdik fel miimális költség ill. maximális yereség utak esetleg körök keresése. Az elôbb említett feladatok a kombiatorikus optimalizálás tárgykörébe tartozak. A következô tétel megfogalmazása elôtt említjük meg, hogy egy kör ill. út hosszá a beük szereplô élek számát értjük. (H)Tétel: Ha a G egyszer gráfba bármely csúcspot foka legalább k (k ), akkor va a gráfba egy legalább k+ hosszúságú kör. Bizoyítás: Legye a G gráfak az L út a leghosszabb útja. S eze út csúcspotjait a v0 e v e v e3 v3 vk kezdô pottól idulva jelölje redre v0, v,..., vk, vk,..., v. Az, hogy v0 foka legalább k azt jeleti, hogy a v 0 -t v -el összekötô e éle kívül még legalább k- él idul ki v 0 -ból. Eze e' e' e3' ek' élek másik végpotjai szükségszere szerepelek L csúcspotjai között, mert ellekezô esetbe összeütközésbe kerülék azzal, hogy az L út a leghosszabb. Legye e ' másik végpotja modjuk v, e 3 ' végpotja v 3 és végül e k ' 4
végpotja vk. Ekkor az L út ak a v0-tól vk-ig tartó rész útjáak két végpotját köti össze ek', ezért egy kört kapuk, melybe legalább k+ él va, s ezzel a bizoyítás kész. (H)Tétel: Ha a G be,, Vg egyszer gráf bármely v csúcsáak fokára teljesül, V hogy b vg, akkor G összefüggô. Bizoyítás: Legye u és v két külöbözô csúcsa G-ek. A feltétel szerit u-val és v- vel is legalább /, / pot va összekötve az u-ból illetve v-bôl iduló élek által, a fokszám feltétel miatt. Az elôbb említett u-val, illetve v-vel közvetleül összekötött potok között va olya, mely u-val is v-vel is össze va kötve, (ha em lee ilye akkor G csúcsaiak a száma agyobb egyelô vola, mi t [/+/+]) azaz u és v között vezet út. b g gráf, a csúcsaiak a számát V Ha adott a G E,, V szokás G redjéekhiba! A köyvjelz em létezik. modai, s éleiek számát E q a G gráf méretéhiba! A köyvjelz em létezik.ek modai. Ha az u-t az e él összeköti a v csúcssal, akkor u-t ill. v-t az e él vég pothiba! A köyvjelz em létezik.jaiak evezzük és u-t ill. v- t szomszédosak modjuk. Az u csúcspottal szomszédos csúcsok halmazát N(u)-val jelöljük. (H3)Tétel(O.Ore (960.)): Ha a G gráfra teljesül, hogy redje 3 és bármely két em szomszédos u,v csúcspot fokáak az összege agyobb egyelô G redjéél ( u v ), akkor G-ek va Hamilto-köre. b g b g Bizoyítás: direkt bizoyítuk. Azo gráfok közül, melyekre a tétel feltételei teljesedek, de az állítás em, tekitsük valamelyiket azo G' gráfok közül, melyek az éleiek a száma miimális. Ha G'-hez hozzá vesszük egy olya e élt, mely a em szomszédos u és v éleket köti össze, akkor az így kapott G gráf már tartalmazi fog Hamiltokört G' miimalitása miatt. G mide Hamilto köre tartalmazza az e élt, ezért va olya L Hamilto-útja G'-ek, mely u-t és v-t köti össze, legye az megadva b e v0, vgb, e v, vg,..., b e v, vg (uv0, v v ) által. A v v v v v csúcspotokkal kapcsolatba vegyük észre, hogy ha vk+ szomszédos 0,,..., k, k,..., u-val azaz vk+ eleme N(u)-ak, akkor vk em eleme N(v)-ek. Ellekezô esetbe a v0, vk, vk,..., v, vk, vk,.., v0 Hamilto-köre vola G'-ek. Tehát a V-{v} potok közül az u-val szomszédos potok em szomszédosak v-vel, ezért ( u) ( ) bvg s ez utóbbi egyelôtleség elletmod a tétel feltételeiek. Következméy(G.A. Dirac (95)): Ha az =k csúcspotú egyszer G gráf bármely potjáak a foka legalább k, akkor va G-ek Hamilto-köre. Valóba G-be létezik Hamilto-kör, mivel a következméy feltételei léyegébe szigorúbbak, mit a (H3) tétel feltételei. Defiició: A G gráf G' részgráfját G k-adfokú faktorhiba! A köyvjelz em létezik.áak modjuk, ha (i) G' csúcsaiak halmaza megegyezik G csúcsaiak halmazával, (ii) G' bármely csúcsa azoos fokszámú. A defiícióból látható, hogy valamely G gráfak a K Hamilto-köre egybe másodfokú faktorhiba! A köyvjelz em létezik.a G-ek. A mellékelt ábrá látható gráfak vastag, szaggatott, illetve vékoy voallal jelöltük egy-egy elsôfokú faktorát. Elleôrizze le a Kedves Olvasó, hogy a három elsôfokú faktor közül bármely kettô "szorzata" az ábrá látható gráfak egy Hamilto-körét adja. Defiició: Legye a G gráfak G, G,..., G k redre m, m,..., m k -ad fokú faktorai, ha (i) ha bármely i,j eseté G i -ek ill, G j -ek ics közös éle, (ii) a G, G,..., G k részgráfok együttvéve tartalmazzák G összes élét, akkor G eze k számú faktor szorzatáak modjuk. Gyakorolj hát és törekedj, mit a régiek, hogy az újat eladatok: megragadhasd; legfôbb szabályod ez legye. Kug u-ce: Lu-jü:.köyv. fejezet. ; gazolja, hogy ha egy élt is tartalmazó G gráf mide potjáak foka páros, akkor kijelölhetôk a gráfba körök úgy, hogy a gráf mide éle e körök közül potosa egybe szerepelje. ; Bizoyítsa be, hogy ha az e él az összefüggô G gráfak hídja, akkor G em tartalmaz olya kört, melybe az e él szerepel. ( Defiíció szerit a G összefüggô gráfak az e élét hídhiba! A köyvjelz em létezik.ak modjuk, ha e törlésével a G-bôl kapott gráf már em összefüggô.) 3; Bizoyítsa be, hogy ha a G összefüggô gráfak ics olya köre, amely az e élt tartalmazza, akkor e hídja G-ek. 4; gazolja, hogy ha a G iráyított gráf em üres, és bármely v potjára bebvg kibvg, akkor G lefedhetô körökkel oly módo, hogy bármely él potosa egy körbe szerepel. 5; Bizoyítsa be, hogy a teljes gráf tetszôleges iráyítása mellett létezik olya v potja, melybôl bármely másik pothoz vezet legfeljebb kettô hosszúságú út. 6; Mutassa meg hogy bármely G iráyított gráfba a csúcsok kifokaiak ill. befokaiak összege az élek számával egyezik meg. 7; Bizoyítsa be, hogy bármely hidat em tartalmazó G gráf iráyítható oly módo, hogy erôse összefüggô legye. ( A G iráyított gráf erôse összefüggôhiba! A köyvjelz em létezik., ha bármely potjából bármely másik potjába vezet i ráyított út.) 8; Mutassa meg, hogy igazak az alábbi állítások: (i) Ha G em üres gráf, összefüggô és bármely v potjára bebvg kibvg akkor G- ek va iráyított Euler-voala. (ii) Ha a G em üres iráyított gráfak va iráyított Euler-voala, akkor G bármely v potjára bebvg kibvg és G összefüggô. 9; Mutassa meg, hogy ha a G gráf em üres és összefüggô, akkor élei bejárhatók oly módo, hogy mide éle kétszer megyük végig és vissza térük a kiidulási potba. Az 5 6
3 élek bejárása úgy is elvégezhetô, hogy mide élt midkét iráyba potosa egyszer járuk be. 0; Legye a G gráf olya részgráfja G-ek, mely tartalmazza a G v csúcspotját és G Euler-gráf, feltesszük még, hogy G v-bôl tetszôlegese bejárható. Töröljük G éleit és a visszamaradt izolált potjait G-ek, a megmaradt gráfot jelölje G. Mutassa meg, hogy G és G is v-bôl tetszôlegese bejárható. ( A G gráfot v-bôl tetszôlegese bejárhatóak modjuk, ha v-bôl idulva és midig be em járt éle haladva szükségképpe G-ek valamely Eulervoalát kapjuk.) ; Mutassa meg, hogy ha páros számú utat úgy kapcsoluk össze, hogy kezdôpotjuk u-ra, végpotjuk v-re illeszkedik és u ill. v kívül más közös potjuk ics, akkor mid u-ból mid v-bôl tetszôlegese bejárható gráfot kapuk. Mutassa meg, hogy bármely u-ból ill. v-bôl tetszôlegese bejárható G gráf elôállítható az elôbbi módo. ; gazolja, hogy a kettôél több potjukból tetszôlegese bejárható G gráfok körök. 3; Jelölje a G i ráyított gráf csúcsait redre v0, v,..., vk, vk,..., v, mutassa meg i hogy a ki vi be vi szám páros. i0 4; Vizsgálja meg, hogy a 4x4-es sakktáblát be lehet e jári egyetle lóval lóugrásokkal oly módo, hogy midig olya mezôre lépük, melye korábba még em jártuk! ( Tetszôlegese választott mezôrôl idulhatuk.) 5. Végig lehet e jári az 5x5-ös sakktáblát az elôbb említett módo? 6. Bizoyítsuk be, hogy ha egy társaságak bármely tagja ismer a társaságból legalább k embert, akkor közülük leültethetô egy kerek asztal mellé k+ személy oly módo, hogy midekiek a két szomszédja ismerôse is egybe. ( eltételezzük, hogy k és az ismeretségek kölcsöösek. ) 7. Bizoyítsa be, hogy ha az elôbbi feladatba említett társaság 6 fôbôl áll és k=3, akkor mid a hata leültethetôk egy asztal mellé az elôzô feladat feltételeiek megfelelôe. 7; Ha egy összefüggô gráf em egyréte járható be (tehát legalább égy páratla fokú csúcsot tartalmaz), akkor legalább két külöbözô miimális lefedése va. ( A lehetô legkevesebb voalból álló lefedéseit egy gráfak miimális lefedéshiba! A köyvjelz em létezik.ek modjuk,és egy voal halmaz lefedô, ha a gráf mide élét legalább egyszer tartalmazza.) 8; Legye a G gráf csúcspotjaiak a száma 4. Mutassa meg, hogy ha az potú egyszer gráfba bármely ((-)/)>k pozitív egész k-ra a k-ál em agyobb fokú potok száma kevesebb mit k, akkor a G gráf összefüggô. 9; Mutassa meg ha a G gráf K köréek e éléek törlése utá a G leghosszabb útját kapjuk, akkor K Hamilto-köre G-ek. 0; gazolja, hogy ha egy csúcspotú egyszer gráf bármely leghosszabb útjáak végpotjai fokszámaiak összege, akkor a leghosszabb utak között va olya, melyek a végpotjai szomszédosak.. Mutassa meg, hogy ha valamely sakk verseye mideki midekivel egyszer mérkôzött, és dötetle em volt, akkor a verseyzôk sorba redezhetôk oly módo, hogy mideki gyôzött az utáa következô elle.. Bizoyítsa be hogy a legalább potú teljes gráfak bármely iráyítása mellet va iráyított Hamilto-útja. 3. ráyítsa az 5 szögpotú teljes gráfot oly módo, hogy e legye a kapott gráfak iráyított Hamilto-köre! 4. Rajzoljo olya 6 potú él egyszer gráfot melyek ics Hamilto-köre. 5; Helyezze el, az oktaéder mide lapjára egy-egy a lapot potosa fedô tetraédert. Mutassa meg, hogy az így létre jött test élhálózatából álló gráfak icse sem Hamilto-köre, sem Hamilto-útja. 6; Háy Hamilto-köre va a tetraéder ill. hexaéder (kocka) gráfjáak. 7 8