Differenciálegenletek Bevezetés Differenciálegenletnek olan egenletet nevezünk, amelben az ismeretlen eg függvén és az egenlet tartalmazza az ismeretlen függvén (valahánad rendű) deriváltját. Például: () =, mákéen () + 5 + 6 = e, ()( ) sin = 0 z z = + (4) d d =, Ha az ismeretlen függvén egváltozós, akkor a differenciálegenletet közönséges differenciálegenletnek nevezzük. Pl.: (), (), () egenlet. Ha az ismeretlen függvén többváltozós, akkor a differenciálegenletet arciális differenciálegenletnek nevezzük. Pl.: (4) egenlet. Differenciálegenlet rendje: az egenletben szerelő legmagasabb rendű derivált rendje. Az n-ed rendű közönséges differenciálegenlet általános alakja: F( ( n) ) Behelettesítéssel ellenőrizhető, hog az () egenletnek megoldása,,,,..., = 0 az = + 5+ 57 függvén. A differenciálegenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz. Az () egenlet általános megoldása = + 5+ C függvénsereg, ahol C tetszőleges valós konstans Eg differenciálegenletet megoldása az általános megoldás meghatározását jelenti. Az alkalmazások többségénél azonban eg további feltételt kielégítő, úgnevezett artikuláris megoldást keresünk. Pl.: az () egenlet esetén kérdezhetjük melik az a megoldás, ameliknél = esetén =5, vag röviden: A megoldás függvének grafikonjai közül melik meg át a (, 5) koordinátájú onton? A választ úg kajuk, hog az általános megoldásból meghatározzuk a feltételt kielégítő c konstanst (jelen esetben c=). További elnevezések: Elsőrendű differenciálegenlet Definíció
Elsőrendű differenciálegenletnek nevezzük az olan egenletet, melben,, szereelnek, F(,, ) = 0 Ha ebből kifejezhető, akkor elicit egenletről beszélünk. = f (, ) Definíció Azt mondjuk, hog = differenciálható függvén megoldásfüggvéne a = f, ( ab, ) differenciálegenletnek, (a,b)-n, ha esetén kereshetjük azt az = megoldást, melre ( ) Adott 0, 0 0 = 0. Ezt a differenciálegenlet eg kezdeti értéket kielégítő artikuláris megoldásának nevezzük. Pl.: az () egenlet esetén kérdezhetjük azt, hog melik az a megoldás, ameliknél = esetén =5, vag röviden: A megoldás függvének grafikonjai közül melik meg át a (, 5) koordinátájú onton? A választ úg kajuk, hog az általános megoldásból meghatározzuk a feltételt kielégítő c konstanst (jelen esetben c=). Példa Mutassuk meg, hog az = differenciálegenletnek az általános megoldása az (, + ) valamint az függvén. ( C ) =, e + e + ( C ) =, ( c) = + e + minden C R ahol
Szétválasztható változójú differenciálegenletek A következő alakú differenciálegenleteket nevezzük szétválasztható változójúnak. = f g( ), ahol f és g foltonos függvének. Ha azt mondjuk, hog oldjuk meg a differenciál egenletet, akkor az összes megoldására vagunk kíváncsiak azon a tartománon, ahol f és g foltonosak, ez gakran az egész számsík. Legen ab, intervallumon, cd, intervallumon. f foltonos g edig A megoldásokat ekkor az tartománon keressük. a< < b c< < d = függvéneket, melekre Ekkor a feladat megkeresni mindazokat az = f g( ) eg rögzített (a,b) intervallum minden elemére. Megjegzés Pontosabb írásmód az f g( ), hiszen mindazokat a függvéneket keressük, melek azonosan kielégítik a fenti egenletet. Mivel nem okoz félreértést, használni szokták mind a két írásmódot. Az egenletet át lehet rendezni azon a tartománon, ahol g( ) 0, = f alakúvá. g( ) Legen az ( ab, ) intervallumon, függvén rimitív függvéne G és az f függvén g rimitív függvéne F (azaz G = és F = f ). g Akkor az egenlet mindkét oldalát a rimitív függvének segítségével írva G ( ) F = adódik, és innen G F = +C, a rimitív függvént határozatlan integrál segítségével írva kajuk, hog d = f d g( )
Megjegzés: Ezt a formulát, a könnebb megjegzés érdekében, szokás a következő, matematikai értelemben jelentés nélküli, formális műveletsorozattal emlékezetbe vésni: d = f g( ), innen f g( ) d = d, innen = f ( ) d és innen g d f ( d ) g( ) = formulát kajuk. Összehasonlítva a fenti korrekt gondolatmenet alaján kaott formulával, látható, hog uganazt a jelsorozatot kajuk, de a benne szerelő műveleteknek nincs matematikai jelentése. Foltatva a fenti levezetést, a d = f d megoldásával kajuk a g( ) szearálható differenciálegenlet általános megoldását. Természetesen külön vizsgálatra szorulnak azok az esetek, amikor g( ) azonosan nulla a tartománokon, vag azokban a ontokban ahol g() nulla értéket vehet fel, hiszen az egenlet mindkét oldalát elosztottuk vele. 4
Kidolgozott feladatok = differenciálegenlet általános megoldását, valamint az (0) = Adjuk meg feltétel kielégítő artikuláris megoldást! Más szavakkal, adjuk meg az a ( 0, ) onton átmenő megoldásgörbét. Megoldás =, innen konstans. Innen d = d, azaz = differenciálegenletet kielégítő összes görbét és ln + C C = =, nevezzük el e e e valós szám ( e C >0 ), tehát = e C ahol = e C ( C > 0 Az általános megoldás tehát: = e C ahol 0 Külön meg kell vizsgálni azt az esetet, amikor 0 = + C, ahol C tetszőleges valós C e -t C -nek, ekkor C tetszőleges ozitív ), és innen C tetszőleges valós konstans ( C 0 ). =± e C ahol vagis C tetszőleges valós konstans., mert a g( ) elosztottuk az egenlet mindkét oldalát. Látható, hog az 0 függvén megoldása a differenciálegenletnek. = függvénnel Ezután vizsgáljuk meg, hog ezt seciális megoldást tartalmazza-e az előbb kaott általános megoldás. Ha nem, akkor ki kell egészíteni vele. Láthatjuk, hog az általános megoldás nem tartalmazza ezt, hiszen C 0, de megkahatjuk ezt a megoldást az általános megoldásból is ha C=0 értéket helettesítünk. Összevonva az általános megoldást ezzel a seciális megoldással kajuk, hog a differenciálegenlet általános megoldása: = e C, ahol C tetszőleges valós konstans. A (0,) onton átmenő artikuláris megoldást úg kajuk, hog az egenletbe =0 és = értékeket helettesítünk. Tehát: 0 = ec= C = e C Vagis a keresett artikuláris megoldás = e 5
Kidolgozott élda Adjuk meg = differenciálegenlet általános megoldását, valamint az () = 0 feltétel kielégítő artikuláris megoldást! Más szavakkal, adjuk meg az (görbesereget) és a Megoldás = differenciálegenletet kielégítő összes görbét, 0 onton átmenő megoldásgörbét. =, innen d = d, = + C azaz + = C, ahol C tetszőleges ozitív valós konstans. Az általános megoldás tehát: + = C azaz eg origó körüli körsereg. A (0,) onton átmenő artikuláris megoldást úg kajuk, hog az + = C egenletbe = és =0 értékeket helettesítünk. Tehát: C = Vagis a keresett artikuláris megoldás + = Példa Adjuk meg = differenciálegenlet általános megoldását, valamint az () = feltétel kielégítő artikuláris megoldást! Megoldás d d =, ln ln ln C ln C = + =, C =, ahol C>0, C =, ahol C 0 valós. 0 is megoldás, mel C=0 konstansra adódik az általános C megoldásból. Tehát általános megoldás =, C tetszőleges valós szám. C Ha () =, akkor =, azaz C =, vagis a keresett artikuláris megoldás = Példa Adjuk meg az = ( + ) + () = feltétel kielégítő artikuláris megoldást! differenciálegenlet általános megoldását, valamint az 6
Megoldás ( + ) = innen ( + ) d = d ( + ) ( + ) azaz d = d ( + ) innen ln ln ( + ) + = + + C vagis vagis + = + + C, ( C > 0 ) ln ln ln ln ln( C ) + = C ( + ) + = + innen = C ( + ) + = C +, a artikuláris megoldás: 4 = C(+ ) = C, C = 5, Példa Határozzuk meg a következő differenciálegenlet tíusát. 5 C = Adjuk meg + = 0 differenciálegenlet általános megoldását, valamint az () = feltétel kielégítő artikuláris megoldást! Megoldás A differenciálegenlet szétválasztható változójú. (de uganakkor elsőrendű lineáris homogén, lásd később) d = d ln = ln + ln C, C C tehát =± innen C > 0 = ahol C R A artikuláris megoldásra () =, azaz tehát a artikuláris megoldás 9 = C =, 9 Homogén és inhomogén lineáris differenciálegenletek Lineáris differenciálegenlet ( n) Lineáris differenciálegenletben,,,..., rendre legfeljebb első hatvánon szereelnek, ( n) Ha a keresett megoldásfüggvén és deriváltjai,,... a differenciálegenletben legfeljebb első hatvánon szereelnek, akkor az egenletet lineárisnak nevezzük. Egütthatóik egváltozós függvének. Pl: Tehát eg általános lineáris differenciálegenlet ( n) ( n ) n n 0 a( ) + a ( ) +... + a( ) + a( ) = b Alakú, ahol az ai függvének foltonosak eg (a,b) intervallumban + + = 7
Például az alábbi eg + + = Elsőrendű, lineáris differenciálegenlet Általános alakja: + = q Ha q = 0 Ha q 0, akkor homogén lineárisnak nevezzük., akkor inhomogén lineárisnak nevezzük. Jelölje az + = 0homogén rész általános megoldását és hom,ált + = q inhomogén egenlet eg artikuláris megoldását. inhom, art az Tétel Az inhomogén lineáris differenciálegenlet általános megoldása a homogén egenlet általános megoldása és az inhomogén egenlet eg artikuláris megoldásának összege. inhom, ált = hom,ált + inhom, art Bizonítás vázlat. Belátjuk, hog az inhomogén egenlet két különböző megoldásának különbsége, megoldása a homogén egenletnek. Tétel A homogén egenlet általános megoldása eg artikuláris megoldásának konstans szorosai. Az egenlet megoldása tehát két léésből áll:. léés a homogén rész általános megoldásának meghatározása. hom,ált =?. léés az hom,ált ismeretében az inhomogén egenlet eg artikuláris megoldásának meghatározása.. léés: Az + = 0 homogén lineáris rész mindig szearálható, ezért d ( d ) =, ln = d + ln C hom, ált d = C e ahol C tetszőleges konstans, ahonnan 8
. léés: Keressük az inhomogén egenlet eg artikuláris megoldását olan alakban, mint amilen a homogén általános megoldása, csak a C konstans helére eg egelőre ismeretlen C függvént helettesítünk. Azaz legen ( d ) inhom, art = C e alakú Ezután a C ismeretlen függvént úg határozzuk meg, hog az inhom, art függvént és deriváltját az eredeti inhomogén egenletbe helettesítjük. Példa + = A homogén rész d + = 0, megoldása d = d, azaz d = vagis ln = + C, innen C e e =, ha C e c =, akkor = ahol C 0 tetszőleges valós konstans, mivel 0 is megoldása a homogén egenletnek, a megoldást kiegészíthetjük ezzel a megoldással, mel a 0 megoldásból. Az egszerűség kedvéért nevezzük C -nek a konstanst az egenletben. Ce C = konstans helettesítésre adódik az általános A homogén egenlet általános megoldása tehát Ce = (C R) Ha valaki elég üges, akkor találgatással is találhat eg artikuláris megoldást az inhomogén egenlethez és akkor már készen is van, mert csak hozzá kell adni a homogén egenlet általános megoldásához. Ha ez nem sikerül, biztosan találunk eget úg, hog az inhomogén egenlet eg artikuláris megoldását = alakban keressük. Ezt a módszert állandó variálásának nevezik. Ekkor: C e =, = C e + C e ( ) C e Az + = egenletbe helettesítve kajuk, hog 9
C e + C e + C e = A közéső tagok szükségszerűen kiesnek (ha valakinek gakorlás közben nem esik ki, akkor elszámolta!!!!) =, vagis C e C = e, C = e d C = e d= e ebben az esetben nem szükséges C hozzáadása, hiszen csak egetlen megoldást keresünk. Ez a megoldás tehát C e = = d d = e Tehát az inhomogén egenlet általános megoldása: ) (C R Ellenőrzés Ce = + = Ce + = egenletbe helettesítve az Ce ( ) + Ce + Elsőrendű, állandó egütthatós lineáris differenciálegenlet = e = Ce = + Általános alakja: + b = q ahol b tetszőleges valós konstans. Ha q = 0 Ha q 0, akkor homogén lineárisnak nevezzük., akkor inhomogén lineárisnak nevezzük. Mivel ez eg seciális lineáris egenlet, minden igaz rá amit a lineáris egenletekről mondtunk. Tehát: Az állandó egütthatós inhomogén egenlet általános megoldása: inhom, ált = hom,ált + inhom, art Példa = 0
A homogén egenlet = 0általános megoldása: d d =, ln = + C, = Ce Most is lehetne a fenti általános módszert (állandó variálása) alkalmazni, de ha a jobb a oldalon a q függvén seciális, azaz vag olinom, vag, e vag sin( c ), vag cos( d ) alakú, vag ilenek szorzatának összege, akkor a külső taghoz hasonló alakban keresve is können célt érünk. Jelen esetben a külső tag eg másodfokú olinom, ilenkor, ha eg általános másodfokú olinom formájában keressük az inhomogén egenlet eg artikuláris megoldását, akkor biztosan találunk. = A + B+ C, ekkor Legen helettesítve kajuk, hog = A+ B, az inhomogén egenletbe = A B ( A B C) + + +, azaz A + (A B) + B C Innen: A =, A B = 0, B C = 0, vagis Vagis a artikuláris megoldás A =, B =, C = 4 = és 4 in hom, art = 4 in hom, ált Ce Jó tanács Ha valaki meg akarja érteni a éldán keresztül, hog az il módon kaott görbesereg, melben eg konstans araméter szereel, uganaz mint az a görbesereg melet az állandó variálásával kanánk, oldja meg íg is úg is és vizsgálja meg, hog ez egik görbesereg eg tetszőleges görbéje eleme-e a másiknak és fordítva. Megoldandó feladatok Határozzuk meg a következő differenciálegenletek általános megoldását!
Másodrendű lineáris differenciálegenlet. Általános alakja: + a + b = q Ha q = 0 Ha q 0, akkor homogén lineárisnak nevezzük., akkor inhomogén lineárisnak nevezzük. Tétel Az inhomogén lineáris differenciálegenlet általános megoldása a homogén egenlet általános megoldása és az inhomogén egenlet eg artikuláris megoldásának összege. inhom, ált = hom,ált + inhom, art Bizonítás vázlat. Belátjuk, hog az inhomogén egenlet két különböző megoldásának különbsége, megoldása a homogén egenletnek. Tétel A homogén egenlet általános megoldása két független (egmásnak nem konstans szorosa) artikuláris megoldásának lineáris kombinációja. Azaz ha és megoldásai a homogén egenletnek, akkor C + C is megoldás, ahol Példa C ésc valós konstansok.
+ + = Ilenek megoldásával nem foglakozunk, csak ha az egüttható függvének konstansok. Másodrendű, állandó egütthatós, lineáris differenciálegenlet. Általános alakja: + a + b= q Ha q = 0 Ha q 0, akkor homogén lineárisnak nevezzük., akkor inhomogén lineárisnak nevezzük. Mivel ez eg seciális lineáris egenlet, minden igaz rá amit a lineáris egenletekről mondtunk. Tehát: Az állandó egütthatós inhomogén egenlet általános megoldása: inhom, ált = hom,ált + inhom, art Példa + = Az inhomogén differenciálegenlethez tartozó homogén egenlet: + a + b= Példa + = 0 0 = C + C alakban A homogén egenlet általános megoldását hom, ált keressük, ahol és a homogén egenlet két független megoldása azaz ( c ). Feltételezzük, hog mindkét megoldás valamilen λ -ra feltételezzük, mert ha tér el ( egütthatós. = λe λ és Vagis legen helettesítve kajuk, hog e λ alakú. Azért ezt = e λ, akkor is és is -tól konstans szorzóban = λ e λ ), a differenciálegenlet edig konstans = e λ, ekkor ezt a homogén a differenciálegenletbe λ e λ + aλe λ + be λ = 0, innen e λ -et kiemelve kajuk, hog
( λ λ ) λ e + a + b = 0, innen a λ + aλ + b a karakterisztikus egenlet, melnek gökeire nézve három eset lehetséges:. A λ + aλ + b egenletnek λ λ valós göke van. Ebben az esetben már van is a homogén egenletnek két független megoldása = e λ és = e λ ekkor a homogén egenlet általános megoldása hom, ált Ce λ λ = + Ce. A λ + aλ + b egenletnek λ = λ = λ valós megoldása van. Ekkor csak eg megoldás van, Lássuk be, hog Bizonítás: e λ. = e λ is megoldása a homogén egenletnek. = e λ, λ λ λ = e + λe = e ( + λ), λ λ λ = λe ( + λ) + e λ = λe ( + λ), ezeket visszahelettesítve a + a + b= 0 homogén egenletbe kajuk, hog λ λ λ λe ( + λ) + ae ( + λ) + be = 0, azaz ( λ λ λ ) λ e ( + ) + a( + ) + b = 0 ( λ λ λ ) λ e + + a+ a+ b = 0 ( λ λ λ ) ( λ λ λ ) λ e + a+ b+ + a = 0 λ e ( + a+ b) + + a = 0, de mivel λ + λa+ b= 0, íg e λ ( a) λ + = 0,adódik. Mivel λ kétszeres göke a karakterisztikus egenletnek λ + a = 0 uganos a megoldó kéletből diszkrimináns =0 Tehát ebben az esetben Ekkor a homogén egenlet általános megoldása. = Ce + C e λ hom, ált a λ = hiszen a = e λ is megoldása a homogén egenletnek. λ 4
. A karakterisztikus egenletnek nincs valós göke. Ebben az esetben konjugált komle gökei vannak. Legenek a gökök λ = α + iβ, λ = α iβ Ekkor e λ és e λ λ ( α i β ) e = e De mi valós megoldásokat keresünk! független megoldások, de nem valósak e λ ( α + iβ ) = e, Tudjuk, hog megoldások összege és konstans szorosa is megoldás. Felhasználva iϕ az Euler formulát, mel szerint: e = cosϕ + isinϕ Az Euler formula bizonítása - komle hatvánsorok segítségével - később szereel. Egelőre bizonítás nélkül elfogadjuk. E szerint () λ ( α+ iβ) α iβ α e = e = e e = e β + i β (cos sin ) λ ( α iβ) α iβ α e = e = e e = e i (cos β sin β ) a két megoldást összeadva újra megoldást kaunk, vagis e λ + e λ α = e cos α β is megoldás, kettővel osztva kajuk, hog e cos β is megoldás és valós! Ha az () első egenlet i α α akkor kajuk, hog e sinβ is és e sin β is megoldás. α α Tehát = e sin β és = e cos β független megoldások, tehát a homogén egenlet általános megoldása: α hom, ált = C + C = Ce sin β + C cos β vel és a másodikat i -vel megszorozzuk és összeadjuk, A másodrendű lineáris inhomogén differenciálegenlet általános megoldása is a homogén egenlet általános megoldása és az inhomogén egenlet eg artikuláris megoldásának összege: = + in hom, ált hom, ált in hom, art Másodrendű állandó egütthatós inhomogén lineáris differenciálegenlet artikuláris megoldásának megtalálása seciális külső tag esetén, róba függvénnel. Az inhomogén egenlet eg artikuláris megoldását un. seciális külső tagok esetében tudjuk können meghatározni. Az + a + b= q egenletben q függvént szokás külső tagnak nevezni. Azzal az esettel, amikor a külső tag nem seciális nem foglalkozunk. 5
a Seciális külső tagnak nevezzük a q függvént, ha n e cosb e a sinb alakú, ahol n n vag tetszőleges n-ed fokú olinom. Ebben az esetben az inhomogén egenlet eg artikuláris megoldását seciális alakú, ismeretlen egütthatókat tartalmazó függvén (róbafüggvén) alakjában keressük, az ismeretlen egütthatókat edig úg határozzuk meg, hog őt, a deriváltját és a második deriváltját visszahelettesítjük az eredeti inhomogén egenletbe. A róbafüggvén általános alakja: a a. Pn e cos b+ Qn e sinb ha a+ binem göke a homogén egenlethez tartozó karakterisztikus egenletnek Pn és Qn ismeretlen egütthatós általános n-ed fokú olinomok.. A helzetet csak az bonolítja, ha a+ bigöke a karakterisztikus egenletnek. Ezt rezonancia jelenségnek nevezik. Összefoglalva: a. Ha a q külső tag e alakú (a valós) és az n a e kitevőjében szerelő a nem a göke a karakterisztikus egenletnek, azaz e nem megoldása a homogén differenciálegenletnek, akkor az inhomogén egenlet artikuláris megoldását P a n e alakban keressük, ahol Pn ismeretlen egütthatós általános n-ed fokú olinom. a. Ha az e kitevőjében szerelő a egszeres göke a karakterisztikus egenletnek, a azaz e megoldása a homogén differenciálegenletnek (egszeres rezonancia), akkor az inhomogén egenlet artikuláris megoldását P a n e alakban, ha kétszeres göke (kétszeres rezonancia) akkor P a n e keressük, ahol P n ismeretlen egütthatós általános n-ed fokú olinom. Ezt nevezzük rezonanciának. a a 4. Ha a q külső tag e sinb vag e cosb alakú (a, b valós) és az n ( a+ bi) a e e b i b ( cos sin ) = + formulában a kitevőjében szerelő a+ binem göke a karakterisztikus egenletnek, akkor az inhomogén egenlet artikuláris a a megoldását Pn e sinb + Qn e cosbalakban keressük, ahol Pn és Q n ismeretlen egütthatós általános n-ed fokú olinomok. ( a bi) 5. Ha az e + kitevőjében szerelő a+ bi göke a karakterisztikus egenletnek, a akkor az inhomogén egenlet artikuláris megoldását Pn e sinb a + Qn e cosb alakban keressük, ahol Pn és Qn ismeretlen egütthatós általános n-ed fokú olinomok. Ha a q külső tag ezen seciális tagok összege, akkor a róba függvén a hozzájuk tartozó róba függvének összege. A következő táblázat összefoglalja a seciális eseteket Jelölések: az alábbi táblázatban jelöl eg konkrét n-ed fokú olinomot, n P n és Qn edig eg ugancsak n-ed fokú, de ismeretlen egütthatós olinomot jelöl. λ és λ jelöli a homogén egenlethez tartozó karakterisztikus egenlet gökeit. n 6
Például.: a=0 eset 0 egenletnek lásd. eset e =, ezért a rezonanciát az okozza, ha λ = 0 göke a karakterisztikus 7
n azaz eg 0-ad fokú olinom, tehát az inhomogén artikuláris megoldás alakja eg általános 0-ad fokú olinom és a e szorzata. Kidolgozott feladatok. + =, a homogén egenlet + = 0, a karakterisztikus egenlet λ + λ = 0, megoldásai λ =, λ =, tehát a homogén egenlet általános megoldása = Ce + C e, hom, ált az inhomogén egenlet artikuláris megoldását = A + B+ C alakban keressük. (táblázat. sor) = A+ B, = A, az inhomogén egenletbe helettesítve, A A B A B C + + + +, rendezve A + A B + A C + B és az egütthatókat összehasonlítva kajuk, hog A =, A B = 0, A C+ B=0, innen A =, B =, C = Tehát =, vagis az inhomogén egenlet általános megoldása: inhom, ált = Ce + Ce +. + = a homogén egenlet + = 0, a karakterisztikus egenlet λ + λ = 0, megoldásai λ = 0, λ =, tehát a 0 homogén egenlet általános megoldása = Ce + C e = C + C e, hom, ált A B C = + +, azaz az inhomogén egenlet artikuláris megoldását A B C = + + alakban keressük. (táblázat. sor) = + +, = 6A+ B, az inhomogén egenletbe helettesítve A B C 6A + B + A + B + C és rendezve A + ( 6A + B) + B + C az egütthatókat összehasonlítva kajuk, hog A =, 6A+ B= 0, B+ C = 0 A =, B =, C = Tehát = +, vagis az inhomogén egenlet általános megoldása: inhom, ált = C + Ce + + (javította: Hadnag Dániel). + = e, a homogén egenlet + = 0, 8
a karakterisztikus egenlet λ + λ = 0, megoldásai λ =, λ =, tehát a homogén egenlet általános megoldása hom, ált = Ce + Ce, az inhomogén egenlet artikuláris megoldását = A e alakban keressük. (táblázat. sor) = A e, = 4A e, az inhomogén egenletbe helettesítve, 4Ae Ae Ae e +, kiemelve e ( 4A+ A A) e innen következik, hog 4A =, A = 4 Tehát = e, vagis az inhomogén egenlet általános megoldása: 4 inhom, ált = Ce + Ce + e 4 4. + = e, a homogén egenlet + = 0, a karakterisztikus egenlet λ + λ = 0, megoldásai λ =, λ =, tehát a homogén egenlet általános megoldása = Ce + C e, az inhomogén egenlet artikuláris megoldását (táblázat 4. sor) = A ( ) e + e = Ae +, hom, ált = A e alakban keressük. ( ) = A e + + e = Ae ( + ), az inhomogén egenletbe helettesítve, ( ) ( ) Ae + + Ae + A e e, kiemelve Ae ( 4 4 + ) e, azaz Ae innen következik, hog A =, A = e Tehát = e, vagis az inhomogén egenlet általános megoldása: inhom, ált Ce Ce = + e 5. + = e, a homogén egenlet + = 0, a karakterisztikus egenlet λ λ+ = 0, megoldásai λ = λ =, tehát a homogén egenlet általános megoldása hom, ált = Ce + Ce, az inhomogén egenlet artikuláris megoldását = A e alakban keressük. (táblázat 5. sor) = A ( ) e + e = Ae +, ( ) = A e + + e = Ae ( + ), az inhomogén egenletbe helettesítve, ( ) ( ) Ae + + Ae + A e e, kiemelve Ae ( 4 4 + ) e, azaz Ae e 9
innen következik, hog A =, A = Tehát = e, vagis az inhomogén egenlet általános megoldása: inhom, ált = Ce + Ce e 6. + = e, a homogén egenlet + = 0, a karakterisztikus egenlet λ λ+ = 0, megoldásai λ = λ =, tehát a = Ce + C e, homogén egenlet általános megoldása hom, ált az inhomogén egenlet artikuláris megoldását = ( A+ B) e alakban keressük. (táblázat 6. sor) = Ae + A+ B e = e A+ A+ B, ( ) ( ) 4 e A A B e A e ( A A B) helettesítve, 4 ( ) kiemelve e ( 4A 4A 4B 4A A 4B A B) e e ( A+ A+ B) e = + + + = + +, az inhomogén egenletbe e A + A + B e A + A + B + A + B e e, + + + +, azaz innen következik, hog A =, A+ B = 0, B = Tehát = ( ) e, vagis az inhomogén egenlet általános megoldása: Ce C e inhom, ált = + + ( ) e 7. + = sin a homogén egenlet + = 0, a karakterisztikus egenlet λ λ+ = 0, megoldásai λ = λ =, tehát a homogén egenlet általános megoldása hom, ált = Ce + Ce, a karakterisztikus egenlet λ + λ = 0, megoldásai λ = 0, λ =, tehát a 0 homogén egenlet általános megoldása hom, ált = Ce + Ce = C + Ce, az inhomogén egenlet artikuláris megoldását = Asin + Bcos, azaz (táblázat 0. sor) = Acos Bsin, = 4Asin 4Bcos, az inhomogén egenletbe helettesítve 4Asin 4Bcos 4Asin 4Bcos + Asin + Bcos sin és 4Asin 4Bcos + 8Asin + 8Bcos + Asin + Bcos sin 5Asin+ 5Bcos sin rendezve 5Asin sin az egütthatókat összehasonlítva kajuk, hog 4A B =, A+ 4B = 0, A =, B = 0,Tehát = sin, vagis az inhomogén egenlet általános 5 5 megoldása: inhom, ált = C + Ce + sin 5 és 0
Kidolgozott éldák Adja meg az általános megoldást! + = e + + λ λ λ λ + = = Ce + C e = hom, ált : Ae B C D = + + + = Ae + B+ C = Ae + B 9 ( 9A 9A A) e ( B) ( C 6B) ( D C B) A =, Tehát + + + + + a + ( + ) B =, C =, 5 D = 5 inhom, ált = + + + + + Ce C e e Adja meg az általános megoldást! + 8 + 5 = e 4 A karakterisztikus egenlet 8 ± 64 00 8 ± 6i λ + 8λ+ 5= 0 λ, = = = 4± i A homogén egenlet általános megoldása = Ce cos+ C e sin 4 4 hom, ált 4 = Ae (nincs rezonancia, akkor lenne, ha a külső tag 4 e sin lenne) 4 = 4Ae = 6Ae, 4 visszahelettesítve kajuk, hog 4 e cos vag 4 4 ( 5A A 6A) e e Tehát +, azaz A = 9 = Ce cos+ C e sin + e 9 4 4 4 inhom, ált