A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57

Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 2 / 57

Függvény széls értékei 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 3 / 57

Függvény széls értékei Abszolút széls értékek 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 4 / 57

Függvény széls értékei Abszolút széls értékek D Az f függvénynek a c D f pontban abszolút (globális) maimuma [abszolút minimuma] van, ha minden D f esetén f () f (c) [f () f (c)] etrémum: maimum vagy minimum T Széls értéktétel (Weierstrass-tétel) Ha f folytonos az [a, b] (korlátos és zárt) intervallumon, akkor van minimuma és maimuma, azaz létezik olyan c, d [a, b], hogy minden [a, b] esetén f (c) f () f (d) K Ha f folytonos az [a, b] intervallumon, akkor értékkészlete is korlátos zárt intervallum. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 5 / 57

Függvény széls értékei Lokális széls értékek 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 6 / 57

Függvény széls értékei Lokális széls értékek D Az f függvénynek a D f valamely c bels pontjában lokális maimuma [lokális minimuma] van, ha van olyan c-t tartalmazó nyílt intervallum, mely része D f -nek, és amelynek minden elemére f () f (c) [f () f (c)] D Ha c az értelmezési tartomány egy intervallumának végpontja, akkor f -nek lokális széls értéke van c-ben, ha a fenti egyenl tlenségek valamelyike fennáll egy c-t is tartalmazó félig nyílt intervallum minden elemére. y Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 7 / 57

Függvény széls értékei Lokális széls érték és derivált 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 8 / 57

Függvény széls értékei Lokális széls érték és derivált T Ha f -nek c-ben lokális széls értéke van, és f diható c-ben, akkor f (c) = 0. B TFH f -nek lokális maimuma van c-ben. Ekkor f (c) = f (c) = f () f (c) lim 0, c+ c f () f (c) lim c c 0. Így f (c) = 0. Minimumhelyre a bizonyítás hasonló. D A c D f pont az f függvény kritikus pontja, ha f vagy nem létezik c-ben, vagy f (c) = 0. K f -nek globális széls értéke lehet a kritikus pontokban az intervallum végpontjaiban Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 9 / 57

Függvény széls értékei Lokális széls érték és derivált y A.MAX L.MAX L.MAX nincs nincs L.MAX L.MIN A.MIN L.MIN L.MIN L.MIN f kritikus pont: f nem dierenciálható kritikus pont: f deriváltja 0 intervallum végpontja abszolút (globális) széls érték Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 10 / 57

Függvény széls értékei Lokális széls érték és derivált P Határozzuk meg az f () = 2 /3 + 2 /3 függvény lokális és abszolút széls értékhelyeit a [ 2, 1] intervallumon! M f () = 2 /3 1/3 + 2 /3. E függvény nincs értelmezve az = 0 helyen, tehát itt f f () = 2 /3 1/3 + 2 /3 = 0 = 1 A kritikus pontok = 1, = 0, a végpontok = 2, = 1. f ( 2) = 3 4 4 /3 0.254, f ( 1) = 1 /3, f (0) = 0, f (1) = 5 /3. nem diható. y 2 1 1 L.MAX: = 1, = 1, L.MIN: = 2, = 0 helyeken. A.MAX: 5 /3 ( = 1-ben), A.MIN: 0 (0-ban) Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 11 / 57

Középértéktételek 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 12 / 57

Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 13 / 57

Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel T Rolle-tétel: Ha B f f f folytonos [a, b]-n, diható (a, b)-n, f (a) = f (b), akkor van olyan c (a, b), hogy f (c) = 0. folytonos [a, b]-n, ezért van abszolút maimuma és minimuma. Mivel f diható (a, b)-n, ezért ezeket értékként vagy a végpontokban vagy olyan c bels pontban veszi fel, ahol f (c) = 0. Ha f a minimum és a maimum legalább egyikét (a, b)-ben veszi fel, akkor f (c) = 0, kész. Ha a maimumot és a minimumot is a végpontokban veszi fel, akkor f (a) = f (b) miatt a függvény csak a konstans függvény lehet, így mindenütt 0 a derivált. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 14 / 57

Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel y c Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 15 / 57

Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel P Igazoljuk, hogy az f () = 5 + 4 3 + 3 + 1 függvénynek csak egyetlen valós gyöke van. M f () = 5 4 + 12 2 + 3 > 0. f minden valós helyen dierenciálható (és így folytonos is). Ha volna f -nek két zérushelye, közte valahol 0 lenne a derivált, tehát legföljebb csak egy zérushelye lehet. f folytonos és f ( 1) = 7, f (1) = 9, tehát Bolzano tétele szerint a ( 1, 1) intervallumon f -nek zérushelye van. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 16 / 57

Középértéktételek Lagrange-féle középértéktétel 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 17 / 57

Középértéktételek Lagrange-féle középértéktétel y f (b) g f f (a) a c h = f g b Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 18 / 57

Középértéktételek Lagrange-féle középértéktétel T Lagrange-tétel: Ha f f folytonos [a, b]-n, diható (a, b)-n, akkor van olyan c (a, b), hogy f f (b) f (a) (c) =. b a B Legyen g az a függvény, melynek grakonja az (a, f (a)) és (b, f (b)) pontok közti szel egyenes: f (b) f (a) g() = f (a) + ( a) b a Alkalmazzuk a h = f g függvényre a Rolle-tételt: h(a) = h(b) = 0, ( ) h f (b) f (a) () = f () f (a) ( a) = f f (b) f (a) () b a van olyan c (a, b), ahol h (c) = 0: h (c) = f f (b) f (a) (c) = 0, QED b a b a Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 19 / 57,

Középértéktételek Lagrange-féle középértéktétel M Fizikai következmény: ha egy útszakaszon átlagosan 60 km/h sebességgel haladtunk, akkor legalább egyszer mentünk épp 60-nal. K Ha minden (a, b) pontban f () = 0, akkor f konstans az (a, b) intervallumon (valamely C számra f () = C ). B Kontrapozícióval bizonyítunk: ha f nem konstans, akkor nem lehet a deriváltja mindenütt 0. Ha f nem konstans, van olyan két p, q (a, b), hogy f (p) f (q). Ekkor van olyan c (p, q), hogy f (c) = f (p) f (q) 0, p q tehát c (a, b) helyen f (c) 0. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 20 / 57

Középértéktételek Lagrange-féle középértéktétel K Ha f = g az (a, b) intervallumon, akkor van olyan C szám, hogy az (a, b) intervallumon f = g + C, azaz f g konstans. B A h = f g függvény deriváltja h = f g = 0, így h = C, azaz f = g + C. P Melyik az a függvény, amelyiknek cos a deriváltja? M Minden sin +C alakú függvény, ahol C tetsz leges konstans. P Legyen f () = 0, ha 0, de f ne legyen értelmezve a 0 helyen. Mely függvények deriváltja f? M D f = R \ {0}, azaz f értelmezési tartománya nem intervallum! A megoldás: g = f, ha { C 1, ha > 0, g() = C 2, ha < 0, ahol C 1 és C 2 két tetsz leges konstans. g f Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 21 / 57

Középértéktételek Cauchy-féle középértéktétel 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 22 / 57

Középértéktételek Cauchy-féle középértéktétel T Cauchy-féle középértéktétel: Ha f f és g folytonos [a, b]-n, és g diható (a, b)-n, g -nek nincs zérushelye (a, b)-n, akkor van olyan c (a, b), hogy f (c) f (b) f (a) g = (c) g(b) g(a). B Megmutatjuk, hogy g(a) g(b). Egyébként a Rolle-tétel szerint létezne olyan c (a, b), hogy g (c) = 0, de ezt a feltételek közt kizártuk. f (b) f (a) h() = f () f (a) (g() g(a)) g(b) g(a) Alkalmazzuk a h függvényre a Rolle-tételt: h folytonos és diható, h(a) = h(b) = 0, h () = f f (b) f (a) () g(b) g(a) g (), van olyan c (a, b), ahol h (c) = 0, és innen f (c) f (b) f (a) g = (c) g(b) g(a). Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 23 / 57

Középértéktételek Cauchy-féle középértéktétel Legyen (g(t), f (t)) egy görbe paraméteres alakja. Deriváltja a t = c helyen: f (c) g. A görbe t = a és t = b paraméter pontjai (g(a), f (a)) és (c) (g(b), f (b)). A köztük haladó húr iránytangense f (b) f (a) g(b) g(a). A Cauchy-tétel szerint a görbének van ezzel párhuzamos érint je: (g(a), f (a)) iránytangens: f (c) f (b) f (a) g = (c) g(b) g(a) (g(c), f (c)) (g(b), f (b)) Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 24 / 57

Függvény menetének vizsgálata 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 25 / 57

Függvény menetének vizsgálata Monotonitás 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 26 / 57

Függvény menetének vizsgálata Monotonitás D f szigorúan monoton növekv [csökken ], ha bármely a < b (a, b D f ) esetén f (a) < f (b) [f (a) > f (b)]. (A Thomas-könyv ezt nevezi monoton növekv nek [csökken nek].) f monoton növekv [csökken ], ha bármely a < b (a, b D f ) esetén f (a) f (b) [f (a) f (b)]. T TFH f folytonos [a, b]-n és diható (a, b)-n. Ha f > 0 az (a, b)-n, akkor f Ha f < 0 az (a, b)-n, akkor f szigorúan monoton növekv [a, b]-n. szigorúan monoton csökken [a, b]-n. B Legyen a 1 < 2 b. Alkalmazzuk a Lagrange-féle középértéktételt az [ 1, 2 ] intervallumra: van olyan c ( 1, 2 ), hogy f ( 2 ) f ( 1 ) = f (c)( 2 1 ). 2 1 > 0, ezért ha f (c) > 0, akkor f ( 2 ) > f ( 1 ), azaz f szigorúan monoton növekv, ha f (c) < 0, akkor f ( 2 ) < f ( 1 ), azaz f szigorúan monoton csökken. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 27 / 57

Függvény menetének vizsgálata Monotonitás M Az állítás megfordítása nem igaz, csak annyi, hogy ha f szigorúan monoton növekv [csökken ] [a, b]-n, akkor f 0 [f 0] az (a, b) intervallumon. Például az f : 3 függvény szigorúan monoton növekv, de 0-ban a deriváltja 0, azaz f > 0 nem teljesül minden pontban. Á Ha f monoton növekv [a, b]-n, akkor f 0 az (a, b)-n. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 28 / 57

Függvény menetének vizsgálata Monotonitás T TFH f folytonos az (a, b)-n és diható az (a, c) és (c, b) intervallumokon és c az f kritikus pontja. Ha f az (a, c)-n pozitív, a (c, b)-n negatív, akkor c-ben maimuma van. Ha f az (a, c)-n negatív, a (c, b)-n pozitív, akkor c-ben minimuma van. Ha f azonos el jel az (a, c) és (c, b) intervallumokon, akkor nincs széls értéke c-ben. B Ha f az (a, c)-n pozitív, akkor minden (a, c) elemre f () < f (c). Hasonlóképp, ha f a (c, b)-n negatív, akkor minden (c, b) elemre f () < f (c). Tehát c maimumhely. A másik két állítás hasonlóan bizonyítható. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 29 / 57

Függvény menetének vizsgálata Monotonitás y L.MAX nincs nincs L.MAX L.MAX L.MIN L.MIN f f Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 30 / 57

Függvény menetének vizsgálata Monotonitás P Határozzuk meg az f () = 2 /3 + 2 /3 függvény lokális széls értékhelyeit! M f () = 2 /3 1/3 + 2 /3. E függvény nincs értelmezve az = 0 helyen, tehát itt f f () = 2 /3 1/3 + 2 /3 = 0 = 1 A kritikus pontok = 1, = 0. nem diható. (, 1) 1 ( 1, 0) 0 (0, ) f + 0 NÉ + f MAX ( 1 /3) MIN (0) y 1 4 3 2 1 1 Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 31 / 57

Függvény menetének vizsgálata Konveitás 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 32 / 57

Függvény menetének vizsgálata Konveitás D Az I itervallumon értelmezett f függvény konve [konkáv], ha a függvény grakonjának bármely két pontját összeköt húr, a grakon fölött [alatt] halad (beleértve, hogy a két grakon egybeesik). y KONVEX KONKÁV T Ha az I itervallumon értelmezett f függvény diható, és f monoton növekv [csökken ] I -n, akkor f konve [konkáv]. T Ha az I itervallumon értelmezett f függvény kétszer diható, és f > 0 [f < 0] az I -n, akkor f konve [konkáv] az I -n. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 33 / 57

Függvény menetének vizsgálata Konveitás y f () = 3 + sin f () = sin 3 4 f () = cos Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 34 / 57

Függvény menetének vizsgálata Konveitás D Ha f értelmezve (a, b)-n, diható a c (a, b) helyen, és f grakonja (a, c)-n a c-beli érint fölött, (c, b)-n az alatt van, vagy fordítva, akkor AMH f -nek a c-ben ineiós pontja van. a c b a c b T Ha f az (a, c)-n konve, a (c, b)-n konkáv, vagy fordítva, és c-ben diható, akkor ott ineiós pontja van. T Ha f diható (a, b)-n, és f az (a, c)-n szigorúan monoton növekv, (c, b)-n szigorúan monoton csökken, vagy fordítva, akkor f -nek c-ben ineiós pontja van. T Ha f kétszer diható (a, b)-n, és c-ben f -nek ineiós pontja van, akkor f (c) = 0. Azaz az f (c) = 0 szükséges, de nem elégséges feltétele annak, hogy egy Wettl kétszer Ferenc diható függvénynek A derivált alkalmazásai ineiós pontja legyen 2014. november c-ben. 17. 35 / 57

Függvény menetének vizsgálata Konveitás P (Ahol a második derivált 0, nem biztos, hogy ineiós pont van) Határozzuk meg az f () = 4 függvény konve és konkáv tartományait és ineiós pontjait! M f () = 4 3 1, f () = 12 2. Bár f (0) = 0, itt nincs ineiós pontja f -nek, mert f el tte és utána is pozitív, azaz az f el tte és utána is konve (így az egész számegyenesen konve). P (Ineiós pont lehet ott, ahol f nincs értelmezve) Az f () = 1 /3 függvénynek a 0 helyen ineiós pontja van, de itt f nincs értelmezve: f 1 () = ( 3 ) = ( 1 3 2/3 ) = 2 9 5/3. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 36 / 57

Függvény menetének vizsgálata Konveitás T Második derivált és a lokális széls érték: TFH f folytonos a c pontot tartalmazó nyílt intervallumon. f (c) = 0, f (c) > 0 f -nek c-ben lokális minimuma van. f (c) = 0, f (c) < 0 f -nek c-ben lokális maimuma van. f (c) = 0, f (c) = 0, akkor további vizsgálat szükséges. B Ha f (c) > 0, akkor f folytonossága miatt c egy környezetében f () > 0, így f szigorúan monoton növekv f (c) = 0, így f () el jele < c esetén negatív, > c esetén pozitív f -nek c-ben minimuma van. K Ha f folytonos a c pontot tartalmazó nyílt intervallumon, f (c) = 0, f (c) 0, akkor f -nek c-ben ineiós pontja van. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 37 / 57

Függvény menetének vizsgálata Konveitás P Keressük meg az f () = 1 5 5 4 + 3 + 3 függvény lokális széls értékhelyeit! M f () = 4 4 3 + 3 2, ezek zérushelyei: 12 = 0, 3 = 1, 4 = 3. Függvényértékek a kritikus pontokban: f (0) = 3, f (1) = 3.2, f (3) = 2.4. f () = 4 3 12 2 + 6, f (0) = 0???, f (1) = 2 MAX, f (3) = 18 MIN f () = 12 2 24 + 6, f (0) 0 INFL INFL MAX f () MIN Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 38 / 57

Függvény menetének vizsgálata Függvényvizsgálat 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 39 / 57

Függvény menetének vizsgálata Függvényvizsgálat 1 f értelmezési tartománya, szimmetriája (páros/páratlan), periódikussága 2 f, f (esetleg f ) meghatározása 3 kritikus pontok (f -b l) 4 monoton tartományok, széls értékhelyek 5 konveitás, ineiós pontok 6 aszimptoták 7 függvényértékek kiszámítása (a fenti kiszámolt pontokban, = 0-ban, zérushelyek,... ) 8 grakon megrajzolása Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 40 / 57

Függvény menetének vizsgálata Függvényvizsgálat P Végezzünk függvényvizsgálatot az e 1 / függvényen! M 1 ÉT: R \ {0} (nem páros, nem páratlan, nem periodikus) 2 f () = e 1 2, f () = 2e 3 nincs kritikus pont 1 3 1 + e 4 4 f < 0 mindenütt, f mindenütt szigorúan monoton csökken, 5 f () = 0 az = 1 /2 helyen, f el tte negatív (f konkáv), utána pozitív (f 6 lim 0 e1 / lim ± e1 / konve), tehát f -nek = 1 /2-ben ineiós pontja van =, = 0 függ leges aszimptota = 0, lim 0 + e1 / = 1 y = 1 vízszintes aszimptota 7 f ( 1 /2) = e 2 0.135, f (1) = e 8 e 1 / Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 41 / 57

L'Hôpital-szabály 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 42 / 57

L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 43 / 57

L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok M Ha az f és g függvény határértékét ismerjük, nem mindig tudjuk meghatározni pl. az f ± g, fg, f g,... határértékeket. M Határozatlan alakok: 0 0,, 0,, 1, 0 0, 0 0 0 lim 2 a 2 2 1 = 1, lim = 0, lim = a, lim =, lim 0 0 0 0 4 1 1 = 2, lim 0 lim - 1 2 = 1, lim 3 = 3, lim 0 lim 2 =, lim =, lim 1 2 = 0, sin = 1, + 1 = 0, 1 lim (1 + ) 1 = e, lim (1 + k ) = e k, 0 0 0 lim 0 = 1, lim 0 + 0 + 0 = 0, 0 lim 1 = 1, lim 1 ln = e, Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 44 / 57

L'Hôpital-szabály 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 45 / 57

L'Hôpital-szabály T L'Hôpital-szabály (els alak) Ha f (a) = g(a) = 0, létezik f (a) és g (a) és g (a) 0, akkor lim a f g = f (a) g (a) B P lim 0 sin P lim 0 f (a) g (a) = lim a + 4 2 lim a = lim a = cos 1 = 0 f () f (a) a g() g(a) a = lim a f () f (a) g() g(a) = lim a 1 2 +4 1 = 1. 0 = 1 4. f () f (a) a g() g(a) a f () 0 g() 0 = lim f () a g() Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 46 / 57

L'Hôpital-szabály Geometriai szemléltetés Legyen (g(), f ()) egy görbe paraméteres alakja, mely áthalad az origón. Legyen az origó az a paraméterhez tartozó pont, azaz f (a) = g(a) = 0. E pontban az érint iránytangense egyrészt f (a), másrészt a szel k g (a) f () f (a) határhelyzete, azaz lim a g() g(a) = lim f () a g(). iránytangens: f (a) g (a) = lim f () a g() (g(a), f (a)) = (0, 0) Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 47 / 57

L'Hôpital-szabály T L'Hôpital-szabály (er sebb alak) Legyen f és g két olyan valós függvény, Ekkor melyek dierenciálhatók egy I nyílt intervallumon, kivéve esetleg annak egy a pontját, g () 0, ha a és I, lim a f = lim a g = 0 vagy lim a f = lim a g =. f létezik az L = lim a g határérték. lim a f g = L, ahol a és L lehet, vagy tetsz leges valós. A tétel féloldali határértékekre is igaz. f M Azt állítja a tétel, hogy lim = lim a g a f g,feltéve, hogy a jobb oldali határérték létezik! M Ne keverjük össze, a jobb ( ) oldalon álló határérték nem a hányados deriváltja, azaz f g f! g Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 48 / 57

L'Hôpital-szabály B Az a +, f (a) = g(a) = 0 esetet igazoljuk. Alkalmazzuk a Cauchy-féle középértéktételt az [a, ] intervallumra: létezik olyan c (a, ), hogy Mivel f (a) = g(a) = 0, ezért f (c) f () f (a) g = (c) g() g(a) f (c) g (c) = f () g(). Ha a +, akkor c a + is fönnáll: f () lim a + g() = lim f (c) c a + g (c) = lim f () a + g (). Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 49 / 57

L'Hôpital-szabály Példák y 1 1 P lim 1 1 y 1 1 M lim 1 1 P lim 1 ( = lim 1 ) 1 1 ln ln + 1 = lim 1 ( 1) ln L H = lim 1 ln 1 + ln 1 y 1 ln y 1 = lim 1 = ln y. ln + ln 1 L H = lim 1 = 1 2, 1 + ln 1 + 1 + ln 1 + ln = lim 1 2 + ln Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 50 / 57

L'Hôpital-szabály c 1 P lim 0 M c ln c = lim 0 1 = ln c. 2 sin sin 2 P lim 0 sin M = lim 0 = lim 0 = lim 0 = 2 + 8 1 = 6. 2 cos 2 cos 2 1 cos 2 sin + 4 sin 2 sin 2 cos + 8 cos 2 cos Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 51 / 57

L'Hôpital-szabály M Aszimptotikusan: log < hatvány, polinom < ep függvény. ln P Legyen k > 0, ekkor lim = 0. k ln M lim k = lim = lim 1/ k k 1 1 k k = 0. P n > 0 egész, ekkor lim M n lim e n n 1 = lim = lim =... = lim e n(n 1) n 2 n! e n e = 0. e Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 52 / 57 = 0.

L'Hôpital-szabály P lim (1 + ) 1 = e. 0 M lim (1 + ) 1 0 P lim = e lim 0 1 ln(1+) = e lim 0 ln(1+) = e lim 0 = e ( 1 1+ 1 + k ) = e k (k R) M k = 0 esetén 1 e 0 = 1, trivi. ( ) ( ( lim 1 + k = lim 1 + k ( ( ) ) k 1 + k k = lim k 0 = e k. ) ) k k Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 53 / 57

L'Hôpital-szabály P M lim 0 + ln ln = lim 0 + 1/ = lim 0 + 1/ 1/ 2 = lim 0 + = 0. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 54 / 57

L'Hôpital-szabály A L'Hôpital-szabály hibás alkalmazásai 1. csak határozatlan alakokra használható (0/0, / ) sin L P lim H cos sin = lim = 1, miközben lim = 0 0 1 + 0 1 0 1 + 1 = 0. 2. Fontos, hogy létezzen az f () lim a g () határérték! + sin() L P lim H 1 + cos = lim. A bal oldal határértéke 1, míg a 1 jobb oldalnak nem léztezik határértéke! Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 55 / 57

L'Hôpital-szabály 0 0 Feltételek lim f a lim g a 0 0 lim a f g = lim a Átalakítás 1/g 1/f 0 0 lim fg = lim a a f 1/g 1/g 1/f lim(f g) = lim a a 1/(fg) 1 1 0 0 0 + 0 lim f g = e lima g ln f ln f lima 1/g = e a 0 0 Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 56 / 57

L'Hôpital-szabály Amit tudni kell széls értéktétel (Weierdtarass) lokális széls érték és a derivált 0 voltának kapcsolata Rolle és Lagrange-féle középértéktétel és az utóbbi két következménye szigorú monotonitás és a derivált kapcsolata a derivált el jelváltása és a széls érték kapcsolata f f konveitása és f szigorú monotonitásának kapcsolata konveitása és f el jele közti kapcsolat ineiós pont lézetése és f nulla volta közti kapcsolat második derivált és a lokális széls érték kapcsolata határozatlan alakok L'Hospital-szabály log, hatvány, polinom, ep függvények aszimptotikus viselkedése Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 57 / 57