. Házi feldtsor Vrg Bonbien, VBPCT.LT. Feldt: feldt szerint z ellipszis istengelye ngytengelye b. Prméterezzü z ellipszist z lábbi módon: x = b cos t zz: y = sin t r(t) = b cos t sin t z ismert éplet szerint egy r(t) görbe, görbületi sugrár: R = r ṙ ṙ 3 szüséges derivált: ṙ(t) = b sin t cos t r(t) = b cos t sin t honnn vetoriális szorztu, és nn bszolút értée: r ṙ = z első derivált bszolútértééne öbe: Tehát görbületi sugr z ellipszisne: b 4 = r ṙ = b 4 ṙ 3 = (b sin t + cos t) 3/ 8 R(t) = (b sin t + cos t) 3/ b Most nézzü meg mi vn tengelye végpontjábn. ngytengely egyi végpontjábn t = ( mási végpontjábn nyilván ugynor görbületi sugár), istengely egyi végpontjábn t = π/. Tehát ezeen helyeen görbületi sugár fenti éplet lpján: R() = b R(π/) = b
tengelye végpontjibn görbületi sugrt másépp is meghtározhtju. rősítsu egy icsi testet ét egymásr merőleges rugór. z egyi x irányú rezgés mplitúdój legyen b/ mási y irányúé /, mindét rezgésne legyen ugynor ω örfrevenciáj(itt x és y egymásr merőleges tengelye). test elmozlásfüggvényei tengelye irányábn eor: x(t) = b cos ωt y(t) = sin ωt test sebességéne omponensei: ẋ(t) = bω sin ωt ẏ(t) = ω cos ωt és gyorsulás: ẍ(t) = bω cos ωt y(t) = ω sin ωt ngytengely végpontjábn legyen görbületi sugár: R b. özépisolás ismeretein lpján ebben pontbn test b gyorsulás: b = v b R b ze nem máso mint ebben pontbn, sebesség y mplitúdój és gyorsulás y mplitudój, tehát: b = bω / és v b = ω/. zeet fenti épletbe írv: bω = ω 4R b Hsonlón megphtó istengely végpontjábn. = R b = b. dott tetszőleges λ(t) vlós váltózós vlós értéű függvény. Képezzü r(λ(t)) vlós változós vetor függvényt. Nézzü mi enne függvénye t változó szerinti deriváltjit. özvetett függvénye deriválási szbályát hsználju: másodi derivált: vetoriális szorztu: ṙ = dr(λ(t)) dt = dr dλ dλ dt = r λ r = d r(λ(t)) = d dr dt dt (r λ) = dt λ + r λ dr dλ = dλ dt λ + r λ = r λ + r λ r ṙ = (r) r ) λ 3 + (r r ) λ }{{} λ = (r r ) λ 3 = r ṙ = r r λ 3 = Tehát épletbe írv: R Tehát vlóbn invriánst d éplet. r ṙ = = r r λ 3 ṙ 3 r 3 λ = r r 3 r 3
3. potenciálun V (x) = λx n. test összenergiáj. Repüljön i test z ponttól. or irepülési idő végtelenbe gyorlton szerepelt éplet szerint: T = V (x) lőször legyen z összenergi =. or irepülési idő: T = Végezzü el fenti integrált (h n ): m = λx n λ x n [ ] b x n = lim b n x n = lim b n b n n n vezessü be övetező jelölést: = n Nézzü meg mit pun n ülönböző értéeire. Legyen először n <. bben z esetben láthtju, hogy > vgyis végtelenhez trtó b itevője pozitív, ez zt jelenti, hogy ez ifejezés is trt végtelenbe, tehát eor irepülési idő végtelen. Most legyen n =. or z eredeti integrálun: x = x = lim c [ln x] c = Tehát ebben z esetben is végtelenhez trt z idő. Végül legyen n >. or < tehát, végtelenhez trtó b itevője negtív, mi zt jelenti, hogy ifejezés láthtón nullához trt. Tehát irepülési ideje testne null összenergi esetén: h n < T = h n = n n h n > Vgyis láthtón irepülési idő null összenergi esetén or lesz véges, h n >. Nézzü most zt z esetet mior nem null z összenergi. or irepülési időt megdó integrál: m T = + λx n Láthtón itt cs nnyit csináltun mtemtiilg,hogy hozzádtun egy extr tgot nevezőben. N de mi most zt vizsgálju hogy tetszőleges energiát hozzádv mior lesz véges irepülési idő. h ngyon icsi zenergiáj, nnyir icsi,hogy mási tg melett elhnygolhtó, de nem null, or hsonlót pun mint z előző esetben, tehát zon, hogy irepülési idő véges vgy 3
nem, z energi nem változtt. Vgyis ugynzobn z eseteben lesz z idő véges vgy végtelen, mint null energiájú esetben. 4. megdott potenciál: V (x) = α x z összenergi =. Tehát z idő, h helyről indítju, és onnn esi befelé centrumb: m x m x ( t(x) = = x = x 3/ 3/) α/x α 9α Innen itudju fejezni tömegpont x(t) pályáját z idő függvényében: [ ] 3 9α x(t) = 3/ t m Kepler törvényével úgy hozhtó pcsoltb, hogy h tömegpont dimeniziós mozgását úgy teinthetjü, minth vlmilyen ngyon elfjult étdimenziós mozgást végezne, és így z említett törvény lpján is i lehetne számolni fenti pályát. 5. megdott potenciál: V (x) = tg x hol > vlós együtthtó. Vizsgált értelmezési trtomány értelemszerűen π < x < π. Itt végezhet mozgást tömegpont. tömegpont energiáj legyen. Nézzü meg, hogy milyen x-ere egyezi ez meg potenciálll. z energi most nyilván nemnegtít így: = V (x ) = tg x = x = ±rctg Tehát tömegpont ±x özött mozog. És potenciálfüggvény szimmetrius, így periósidőt úgy számolhtju i, hogy -tól x -ig iszámolju negyed periós időt mjd ezt megnégyszerezzü. már ismert éplet szerint ez: T () = 4 x tg x = 8m rctg / Most fogllozzun cs z integrálll. Vezessü be övetező jelölést: = tg x zzel z integrál: rctg/ rctg/ tg x = (tgx) 4
Most először cs primitív függvény meghtározásávl fogllozom, így htárot egy ideig nem írom i. (tgx) lőször is vegyü észre övetezőt. mozgás trtomány: rctg x rctg N de ez zt jelenti, hogy: tgx bevezetett új jelölést hsználv: zz: tgx tgx z pedig zt jelenti, hogy hsználhtju övetező helyettesítést: tgx = sin u. or = cos u honnn: = cos x cos x cos u N de ismert z lábbi trigonometrius összefüggés: zzel: + tg x = cos x = cos x = Vgyis z integrálun: = (tgx) = + sin u + tg x = + sin u cos u cos u ( ) = + sin u sin u }{{} cos u + sin u lítsu tovább z integrált. Felhsználju cos u + sin u = összefüggést: = = + sin u cos u + sin u + sin u cos u + ( ) + sin u = = ( cos u + ( ) + sin u cos u Most végezzün el még egy helyettesítést: v = + ) = cos u ( + ( + ) tg u ) + tgu. or = cos udv cos u( + v ) = + z pedig már egy lpintegrál mit önnyen elvégezhetün: dv + + v = rctgv + 5 dv + v + cos u dv. zz:
Tehát z eredeti integrálun z x változóvl ifejezve: [ ] = + rctg tg (rcsin [tg(x)]) + C (tgx) + Teintstü most htárot. felső htár rctg. zt beírv: [ ( [ ( + rctg tg rcsin tg rctg )]) ] [ ] + = rctg tg (rcsin()) = = rctg [ + z lsó htár null. or láthtón z integrál is null. ( π ) ] tg = lim rctg() = π Tehát periósidő z energi függvényében: 8m T () = π + = π m + 6. részecse energiáj, legyen V (x) potenciál U mximum, z pontbn. Vizsgálju potenciált z pont örnyéén. Teljes joggl özelíthetjü, egy négyzetes potenciálll z pont örül: V (x) U C (x ) Vegyün fel egy B pontot potenciálgörbén, egyenlőre ngyon özel z ponthoz. or zt z időt míg részecse B pontból z pontb ér már hsznált integrál lpján számolhtju i: t B = B m V (x) B U + C(x ) Végezzü el z integrálást. Most egy ilyen típusú integrált ell elvégeznün: = p + qx p + q p x Legyen: q x = shu. Innen: = p chu zzel z integrál: p q p = + q q p x chu + sh u }{{} chu = q = vgyis z eredeti integrál, z eredeti változóvl: = ( ) q rsh p + qx q p x + D = ( q ln q p x + + qp ) x + D = q u 6
= q ln(qx + q(p + qx )) + D Most vissztérve feldtr z áltlun eresett idő: [ ( t B = ln C(x ) + )] C( U) + C C (x ) B Beírv htárot: t B = C [ ln(c( U)) ln ( C(B ) + C( U) + C (B ) ) ] N már most h B-t egyre jobbn távolítju z -tól, or másodi tg egyre evésbé lesz egyenlő z első tggl, zz egyre távolodi tőle, így mior z U htárátmenetet épezzü or z első tg fog elszállni másodi tg pedig nem, mivel B-t távolbb vittü -tól. Tehát felérési időre: t ln( U) Vgyis ilyen törvény szerint váli végtelenné. 7