. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt itervallum része a kovergeciatartomáyak, de a határpotokat is meg kell még vizsgáluk. x = + A feti sor diverges, mivel em teljesül a kovergecia szükséges feltétele (az általáos tag -hoz tartása). x = ( ) + Az előzőhöz hasolóa ez a sor is diverges lesz, hisz itt sem teljesül a kovergecia szükséges feltétele. Tehát a kovergeciasugár, a kovergeciaitervallum: (-,). ()! a + = ()! a ( + )! = ( + )( + ) Azaz a hatváysor kovergeciasugara, a kovergeciaitervallum: R.
(d) + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt itervallum része a kovergeciatartomáyak, de a határpotokat is meg kell még vizsgáluk. x = + A feti sor koverges, ami majoráskritérium segítségével látható. x = ( ) + Ez a sor is koverges lesz, hisz Leibiz típusú (az általáos tag abszolút értékbe mooto csökkeőleg tart a -hoz). Tehát a kovergeciasugár, a kovergeciaitevallum: [-,]. + 3 a + + 3 = a ( + ) + 3 Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt itervallum része a kovergeciatartomáyak, de a határpotokat is meg kell még vizsgáluk. x = + 3 A feti sor diverges, ami mioráskritérium segítségével látható. x = ( ) + 3 Ez a sor is koverges lesz, hisz Leibiz típusú (az általáos tag abszolút értékbe mooto csökkeőleg tart a -hoz). Tehát a kovergeciasugár, a kovergeciaitevallum: [-,).
(e) (4x 5) + A feladat megoldása előtt át kell alakítauk a fet megadott sort téylegese hatváysor alakba. 3 3 (4x 5) + = 4 + 3 (x 5 4 )+ 4 a = + 6 Azaz a hatváysor kovergeciasugara 9 6. Az biztos, hogy a ( 6, 6 ) yílt itervallum része a kovergeciatartomáyak, de a határpotokat is meg kell még vizsgáluk. x = 9 6 3 ( 4) + A feti sor diverges, hisze em teljesül a kovergecia szükséges feltétele. 3 x = 6 4 + 3 Ez a sor is diverges lesz, mert em teljesül a kovergecia szükséges feltétele. Tehát a kovergeciasugár 9 6, a kovergeciaitevallum: ( 6, 6 ).. Mely x-ek eseté koverges az (x 3) + ( 4 (x 3) +... + (x 3) ) +... végtele sor? Mi a sor összege? Melyik sort kapjuk tagokéti deriválással? Mely x-ek eseté koverges az új sor? A feti sort írjuk fel szumma alakba: ( ) (x 3) Ebből már egyszerűe megállapíthatjuk a kovergeciasugárt a következő határérték meghatározásával. a = ( ) 3
Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (,5) yílt itervallum része a kovergeciatartomáyak, de a határpotokat is meg kell még vizsgáluk. x = A feti sor diverges, hisze em teljesül a kovergecia szükséges feltétele. x = 5 ( ) Ez a sor is diverges lesz, hisze itt sem teljesül a kovergecia szükséges feltétele. Tehát a kovergeciaitervallum: (,5). A sor összegéek meghatározásához a geometriai sor összegképletét haszáljuk. A tagokéti deriválással kapott új sor: ( ) (x 3) = x ( ) (x 3) A kovergeciaitervallum meghatározásához itt is a következő határértéket kell megvizsgáluk. ( ) a = Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (,5) yílt itervallum része a kovergeciatartomáyak, de a határpotokat is meg kell még vizsgáluk. x = A feti sor diverges, hisze em teljesül a kovergecia szükséges feltétele. x = 5 ( ) Ez a sor is diverges lesz, hisze itt sem teljesül a kovergecia szükséges feltétele. Tehát a kovergeciaitervallum itt is: (,5). 3. Határozzuk meg az f(x) által (a jelzett helye) geerált Taylor-sort! f (x) = x 3 x + 4, a = f (x) = 3x f () = 4
Tehát a keresett Taylor poliom: f (x) = 6x f () = f (x) = 6 f () = 6 f () (x) = 4 4 +! x + + 6 3! x3 = x 3 x + 4 Ebből azt a következtetés vohatjuk le, hogy poliom Taylor-sora ömaga. f (x) = x, a = Teljes idukcióval igazolható, hogy a feti f függvéy -edik deriváltja a következő alakú: f () (x) = ( ) ( + )! + f () () = ( ) ( + )! Eek segítségével már egyszerűe felírható a Taylor-sor. ( ) ( + )! (x ) = ( ) ( + )(x ) f (x) = e x, a = A feti f(x) függvéy -dik deriváltja: f () (x) = e x f () () = e Eek segítségével már egyszerűe felírható a Taylor sor. e (x ) (d) f (x) = l( + x), a = A feti f(x) függvéy -dik deriváltja: f () (x) = ( )+ ( )! (x + ) f () () = ( ) ( )( )! Eek segítségével már egyszerűe felírható a Taylor sor. ( ) ( )! = ( ) 5
(e) A feti f(x) függvéy deriváltja: f (x) = arcta x, a = f (x = + 4x ) Eze függvéy Taylor sorát fel tudjuk íri egyszerűe, se eből tagokáti itegrálással megkapjuk az arcta x függvéy Taylor-sorát is. f (x) = ( 4) x Így már egyszerűe felírható a Taylor-sor: ( 4) + = ( ) (x) + + 4. Adjuk meg a függvéyek Taylor-sorát az x= helye A feladat egyszerűe megoldható, hogy ha ismerjük a evezetes függvéyek Taxlor-sorát. Ameyibe em emlékszük rájuk, úgy a feti feladatba leírt módszerrel dolgozzuk! (d) x f (x) = xe x x = + f (x) = x cos πx ( ) (xπ) ()! = ( ) x+ π ()! f (x) = x cos x A megoldás sorá felhaszáljuk a következő liearizáló formulát: cos x = +cos x + f (x) = x ( ) ()! ( x) 6
A feladat kéféle módo is megoldható. A biomális sor képletéek felhaszálásval, vagy az x sor ömagával vett Cauchy-szorzatakét. Itt most az első változatot haszálom. ( ) ( x) = ( x) = ( ) 5. Írjuk fel a megadott függvéyek biomiális soráak első égy tagját! A feladat megoldása sorá a biomiális sor következő általáos alakját haszáljuk: T 4 (x) = T 4 (x) = T 4 (x) = ( + x) α ( ) α f (x) = ( x) 4 ( ) / ( x) = + x + 3 8 x + 5 6 x3 f (x) = ( + x 3 ) 4 ( ) / x 3 = + x3 + 3 8 x6 + 5 6 x9 f (x) = ( x) 3 4 ( ) 3 ( x) = 6x + x 8x 3 6. Sorok segítségével számítsuk ki a határértékeket! e x ( + x) x x e x ( + x) = x x x x x = = = x arcta x x x 3 x arcta x ( ) x + = x x 3 x x 3 x + = ( ) x = 3 7
A keresett határérték:. l( + x ) x cos x 7. Sorok segítségével adjuk 3 potosságú becslést az alábbi határozott itegrálokra! Mide esetbe a függvéyek pot körüli Taylor-sorát haszáljuk közelítéskét. Mide esetbe elég a sor első három tagját tekiteük, ugyais akkor már a megadott potosságú lesz a közelítésük. I =. si x dx Az itegrál utái függvéy Taylor poliomja: ( ) x 4+ ( + )! T 3 (x) = x x6 3! + x 5! A Taylor-sor ismeretébe most már közelíthetjük a feti itegrált. I ]. [x x6 3! + x =..6 +. 5! 3! 5! I =. si x x dx Az itegrál utái függvéy Taylor poliomja: ( ) x ( + )! T 3 (x) = x 3! x4 5! A Taylor-sor ismeretébe most már közelíthetjük a feti itegrált. I ]. [ x 3! x4 =. +.4 5! 3! 5! I =. + x4 dx 8
( ) / x 4 T 3 (x) = + x 3 4 x4 A Taylor-sor ismeretébe most már közelíthetjük a feti itegrált. I [ + x 34 ]. x4 = +. 3 4.4 9