Bevezető analízis II. példatár

Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3.

Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3.. Állítások, tagadások, logikai műveletek, halmazok................. 3.. Direkt bizoyítás, idirekt bizoyítás, teljes idukció................ 8.3. Nevezetes közepek...................................4. Valós számok, számhalmazok............................ 4.5. Becslések....................................... 3. Sorozatok 9.. A határérték fogalma, koverges sorozatok, diverges sorozatok.......... 9.. Határérték és műveletek, határérték és redezés................... 35.3. Mooto sorozatok, részsorozatok.......................... 40.4. Nagyságredek, evezetes sorozatok......................... 4 3. Végtele sorok 45 3.. Végtele sorok kovergeciája............................ 45 3.. Pozitív tagú sorok kovergeciakritériumai..................... 46 3.3. Feltételes és abszolút kovergecia.......................... 49 4. Függvéyek globális tulajdoságai 5 4.. Grafiko, periódus, paritás, mootoitás....................... 5 4.. Korlátosság, szélsőérték................................ 53 4.3. Kovexitás...................................... 54 Megoldások 57

. Bizoyítási módszerek, valós számok 3. Bizoyítási módszerek, valós számok Biztatásul közlöm, hogy tévesek bizoyult a cáfolata aak a híresztelések, mely szerit mégsem hazugság azt tagadi, hogy lesz olya hallgató, akiek egy aalízis feladatot sem kell megoldaia ahhoz, hogy e bukjo meg. (Barayai Zsolt).. Állítások, tagadások, logikai műveletek, halmazok Balkezes Bedegúz a bal kezével midig igaz, a jobb kezével midig hamis állításokat írt. Melyik kezével írta a következő állításokat? Fogalmazzuk meg az állítások tagadását! Dötsük el az állításokról is, és a tagadásokról is, hogy igazak-e! Mide választ idokoljuk!.. Ha =, akkor = 3... Ha =, akkor = 3..3. Ha az f függvéy mooto csökke R-e, akkor ( f) mooto ő R-e..4. Tetszőleges f : R R függvéy eseté f páros..5. Tetszőleges f : R R függvéy eseté f 3 páratla..6. Ha az f függvéy páratla, akkor f páros..7. Ha az f függvéy páros, akkor f 3 páratla..8. Ha az f függvéy periodikus, akkor f is periodikus..9. Az f : R R függvéy potosa akkor periodikus, ha az f is periodikus..0. Ezt a modatot a bal kezemmel írtam.

. Bizoyítási módszerek, valós számok 4.. Mide ( )-él kisebb pozitív szám szereti a tökfőzeléket... Va olya ( )-él kisebb pozitív szám, amelyik szereti a tökfőzeléket. Balkezes Bedegúz a bal kezével midig igaz, a jobb kezével midig hamis állításokat ír..3. Va-e olya modat, amelyiket egyik kezével sem tud leíri?.4. Va-e olya állítás, amelyiket midkét kezével le tud íri?.5. Va-e olya állítás, amit le tud íri bal kézzel, és az állítás tagadását is le tudja íri bal kézzel?.6. Va-e olya állítás, amit le tud íri jobb kézzel, és az állítás tagadását is le tudja íri jobb kézzel?.7. A terembe hallgatók ülek, az asztalo yalókák vaak. Ugyaazt jeleti-e a következő két modat? (a) Mide hallgatóhoz va olya yalóka, amelyiket szopogatott. (b) Va olya yalóka, amelyiket mide hallgató szopogatott..8. Ha esik az eső, akkor em találsz rám. Melyik modat jeleti ugyaezt? (a) Ha em esik az eső, akkor rám találsz. (b) Ha rám találsz, akkor em esik az eső. Írjuk le a következő modatok tagadását!.9. Mide medve szereti a mézet..0. Va olya tegerész, aki ismer olya kikötőt, ahol mide kocsmába járt... Va olya méz, amit em mide medve szeret. Tagadjuk a következő modatokat!.. Ha itt a yár, akkor meleg az idő.

. Bizoyítási módszerek, valós számok 5.3. Ha a agyéikémek kerekei leéek, akkor ő lee a miskolci gyors. Tudjuk, hogy az (a ) és (b ) olya sorozatok, hogy ha a > 50, akkor b > 50. Mire következtethetük abból, hogy.4. a > 50?.5. a 50? Egy udvarba kecskék és bolhák vaak. Azt, hogy egy bolha megcsípett egy kecskét, a Φ(B, K) formulával jelöljük. Olvassuk fel a következő állításokat, és írjuk is le őket szöveggel! Dötsük el, hogy melyik állításból melyik állítás következik!.6. ( K) ( B) Φ(B, K).7. ( K) ( B) Φ(B, K).8. ( K) ( B) Φ(B, K).9. ( K) ( B) Φ(B, K).30. ( B) ( K) Φ(B, K).3. ( B) ( K) Φ(B, K) Egy udvarba kecskék és bolhák vaak. Azt, hogy egy bolha megcsípett egy kecskét, a Φ(B, K) formulával jelöljük. Írjuk le a következő állítások tagadását formulákkal is, és szöveggel is!.3. ( K) ( B) Φ(B, K).33. ( K) ( B) Φ(B, K).34. ( K) ( B) Φ(B, K).35. ( K) ( B) Φ(B, K).36. ( B) ( K) Φ(B, K).37. ( B) ( K) Φ(B, K) Egy buliba 5 fiú és láy volt. Azt, hogy egy fiú tácolt egy láyal, a T (F, L) formulával jelöljük. Vizsgáljuk meg, hogy következik-e az A állításból a B állítás, illetve, hogy következik-e a B állításból az A állítás!.38. A: ( F ) ( L) T (F, L) B: ( L) ( F ) T (F, L).39. A: ( F ) ( L) T (F, L) B: ( F ) ( L) T (F, L).40. A: ( L) ( F ) T (F, L) B: ( L) ( F ) T (F, L).4. A: ( L) ( F ) T (F, L) B: ( F ) ( L) T (F, L)

. Bizoyítási módszerek, valós számok 6 Egy buliba 5 fiú és láy volt. Azt, hogy egy fiú tácolt egy láyal, a T (F, L) formulával jelöljük. Írjuk le a következő állításokat formulákkal, és vizsgáljuk meg, hogy következik-e az A állításból a B állítás, illetve, hogy következik-e a B állításból az A állítás!.4. A: Va olya láy, aki mide fiúval tácolt. B: Va olya fiú, aki mide láyal tácolt..43. A: Va olya láy, aki tácolt valamelyik fiúval. B: Va olya fiú, aki tácolt valamelyik láyal..44. A: Mide fiú tácolt valamelyik láyal. B: Mide láy tácolt valamelyik fiúval..45. A: Mide fiú tácolt mide láyal. B: Va olya láy, aki mide fiúval tácolt..46. Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges A, B, C halmazokra A (B C) = (A B) (A C). Vezessük be jelöléseket, és írjuk fel formulákkal a következő állításokat, amelyek egy teiszbajokságról szólak!.47. Volt olya verseyző, aki sekit em vert meg..48. Volt olya verseyző, aki midekit megvert..49. Mide verseyző yert is, és veszített is játékot..50. Egyetle verseyző sem vert meg midekit. Legyeek A, B, és C halmazok. Írjuk fel A, B, C és a halmazműveletek segítségével, azaz olya jellegű formulával, mit például (A\B) C, az alábbi halmazokat!.5. Azo elemek halmaza, amelyek A-ba bee vaak, de B-be és C-be icseek bee.

. Bizoyítási módszerek, valós számok 7.5. Azo elemek halmaza, amelyek A, B és C közül potosa kettőbe vaak bee. Igazak-e a következő állítások?.53. (x B) (B C) = x C,.54. (x B) (B C) = x C,.55. (A B) (B C) = A C,.56. (A B) (B C) = A C,.57. (A B) = A B?.58. (A B) = A B? Igaz-e tetszőleges A, B és C halmazokra, hogy.59. ha A B és B C, akkor A C..60. ha a A és A B, akkor a B..6. ha A B = C, akkor C \ B = A..6. ha A \ B =, akkor A = B..63. ha A B = C, akkor A C. Igaz-e tetszőleges A és B halmazokra, hogy.64. A\B = A B,.65. (A B)\B = A,.66. (A\B) B = A,.67. A\B = A\B? Legyeek A, B, C halmazok. Írjuk fel A, B, C és a halmazműveletek segítségével, azaz olya jellegű formulával, mit például (A\B) C, az alábbi halmazokat!.68. Azo elemek halmaza, amelyek A, B és C közül potosa egybe vaak bee..69. Azo elemek halmaza, amelyek A, B és C közül potosa kettőbe vaak bee..70. Azo elemek halmaza, amelyek midhárom halmazba bee vaak.

. Bizoyítási módszerek, valós számok 8.7. Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges A, B halmazokra A B = A B..7. Bizoyítsuk be a De Morga azoosságokat: A i = i= i= A i és A i = A i. i= i=.. Direkt bizoyítás, idirekt bizoyítás, teljes idukció Bizoyítsuk be a következő egyelőtleségeket, ha a és b pozitív számok!.73. a + b /a + /b.74. a + b /a + /b.75..77. a + b a + b a + b.76. ab.78. a 3 + b 3 3 ab /a + /b a + b Legye A, A, A 3,... állítások egy sorozata. Mely állításokról tudjuk biztosa, hogy igazak, illetve mely állításokról tudjuk biztosa, hogy hamisak, ha.79. A igaz, és ha A igaz, akkor A + igaz..80. A igaz, és ha A igaz, akkor A igaz..8. A igaz, és ha A igaz, akkor A igaz..8. A igaz, és ha A hamis, akkor A hamis..83. A igaz, és ha A hamis, akkor A + hamis..84. A 0 hamis, és ha A igaz, akkor A igaz..85. A 7 igaz, és 5 eseté ha A igaz, akkor A + igaz.

. Bizoyítási módszerek, valós számok 9.86. A 3 igaz, és 5 eseté ha A igaz, akkor A + igaz..87. A igaz és A igaz, és ha A igaz, és A + igaz, akkor A + igaz..88. A 0 igaz és A igaz, és ha A igaz, és A + igaz, akkor A + igaz..89. A 0 igaz és A igaz, és > 0 eseté ha A igaz, és A + igaz, akkor A + igaz. Bizoyítsuk be a következő állításokat tetszőleges pozitív egész eseté!.90. + 3 + + ( + ) =.9. + + + = ( + )( + ) 6 ( + )( + ) 3.9. Fejezzük ki közvetleül -el az + 3 + + ( + ) meg az eredméyt, majd bizoyítsuk be! összeget! Először sejtsük.93. Fejezzük ki közvetleül -el az + 3 + 5 + + ( + ) összeget! Először sejtsük meg az eredméyt, majd bizoyítsuk is be! Bizoyítsuk be a következő állításokat! A feladatokba pozitív egész számokat jelöl..94. >, ha > 4.95. + + + +.96. + + + + 3.97. > 3, ha > 9.98. + + 3 + +.99. Állítás: Ha N + ( + ) + + + =, akkor mide pozitív egész szám. Bizoyítás teljes idukcióval: Az állítás = -re igaz. Most iduljuk ki abból, hogy N + ( + ) eseté + + + =. Ha, akkor írjuk fel az előbbi azoosságot helyett ( )-gyel: ( ) + + + =.

. Bizoyítási módszerek, valós számok 0 ( ) Adjuk midkét oldalhoz -et: + + + = +. ( ) ( + ) Tehát + =, amiből következik, hogy =. Keressük meg a hibát!.00. Állítás: Mide ló egyszíű. Bizoyítás: Teljes idukcióval belátjuk, hogy bármely ló egyszíű. Az állítás = -re yilvávaló. Tegyük fel, hogy igaz -re, és ebből fogjuk +-re beláti: adott + ló közül az idukciós feltevés miatt az.,.,...,. is egyszíű és a.,...,., ( + ). is egyszíű, tehát mid az + ló egyszíű. Keressük meg a hibát!.0. Állítás: Ha G egy olya egyszerű véges gráf (azaz G-be ics hurokél és ics többszörös él), amelybe mide csúcs foka, akkor G kör. Bizoyítás a gráf csúcsaiak számára voatkozó teljes idukcióval. Iduljuk ki = 3-ból, akkor a feltételeket csak a K 3 teljes gráf elégíti ki, ami valóba kör. Tegyük fel, hogy az csúcsú, a feltételekek eleget tevő gráfra igaz az állítás, és tegyük fel, hogy > 3. Legye u a gráf egy csúcsa. Mivel u foka, u-ak potosa szomszédja va, legyeek ezek v és w. Hagyjuk el a gráfból az u csúcsot a hozzátartozó élekkel együtt, és húzzuk be egy élt v és w között. Ekkor megit mide csúcs foka lesz, viszot a gráfak most csúcsa va, tehát az idukciós feltevés miatt kör. Ha u-t beillesztjük v és w közé, akkor a gráfak csúcsa lesz, és továbbra is kör. Keressük meg a hibát!.0. Állítás: Ha va valameyi egyformáak látszó pézérmék, de az egyik hamis, és így köyebb, mit a többi, akkor egy kétkarú mérleg segítségével egyetle méréssel kiválaszthatjuk a hamisat. Bizoyítás: Iduljuk ki darab érméből, ekkor mérés elég. Tegyük fel, hogy N + darab érme eseté is elég mérés. Vegyük most + érmét! Egyet tegyük félre! A maradék érméből az idukciós feltétel miatt méréssel ki tudjuk választai a hamisat, illetve, ha ics köztük a hamis, akkor a félretett érme a hamis. Tehát + érme eseté is elég volt mérés. Keressük meg a hibát! Legye u a Fiboacci-sorozat -edik tagja, azaz Bizoyítsuk be, hogy u 0 = 0, u =, és u + = u + u +.

. Bizoyítási módszerek, valós számok.03. u és u + relatív prímek!.04. u <,7..05. u u u + = ( ) +, ha..06. u >,5, ha 6..07. Legye a = 0, a = és a + = a + a +. Határozzuk meg a 0 értékét!.08. Kivágjuk egy sakktáblából az egyik átlójáak két végé levő égyzeteket (az A és a H8 mezőket). Le lehet-e fedi a megmaradó sakktáblát 3 darab -es lappal (domióval)? (Egy lap mezőt tud lefedi.).09. Kivágjuk egy sakktáblából az egyik átlójáak egyik végé levő égyzetet (az A mezőt). Le lehet-e fedi a megmaradó sakktáblát darab 3 -es lappal? (Egy lap 3 egymás melletti mezőt tud lefedi.).0. Egy 5 5-ös sakktábla mide mezőjé áll egy bolha. Amikor az óra éjfélt üt, mide bolha átugrik valamelyik oldalszomszédos mezőre. Tudak-e úgy ugrai, hogy az ugrás utá is mide mező bolha legye?.. Bizoyítsuk be, hogy két racioális szám összege racioális!.. Bizoyítsuk be, hogy irracioális! Bizoyítsuk be, hogy a következő számok irracioálisak!.3. 3 +.4. 3.5. 3.6. + 3.7. 3.8. 3.9. Lehet-e két irracioális szám összege racioális?.0. Lehet-e két racioális szám háyadosa irracioális?.. Igaz-e, hogy egy racioális és egy irracioális szám összege irracioális?

. Bizoyítási módszerek, valós számok.. Állítás: Az a legagyobb szám. Bizoyítás: Idirekt módo. Tegyük fel, hogy em az a legagyobb szám, haem A. Ekkor A > > 0, így a pozitív A-val szorozva A > A, tehát találtuk A-ál agyobb számot (A -et), ami elletmodás. Keressük meg a hibát!.3. Legye a = és a + = a + a. Bizoyítsuk be, hogy a sorozatak va 00-ál agyobb tagja!.4. Legye a = 0,9 és a + = a a. Bizoyítsuk be, hogy a sorozatak va tagja! -él kisebb 000.3. Nevezetes közepek.5. Bizoyítsuk be, hogy az a, a,..., a pozitív számok számtai, mértai és harmoikus közepe a számok legkisebbike és legagyobbika közé esik! Tudjuk, hogy a, b, c > 0 és a + b + c = 8. Határozzuk meg a, b és c értékét úgy, hogy a következő kifejezések értéke maximális legye:.6. abc,.7. a 3 b c. Tudjuk, hogy a, b, c > 0 és abc = 8. Határozzuk meg a, b és c értékét úgy, hogy a következő kifejezések értéke miimális legye:.8. a + b + c,.9. a + b + c. Tudjuk, hogy a, b, c > 0 és abc = 8. Határozzuk meg a, b és c értékét úgy, hogy a következő kifejezések értéke miimális legye:.30. a + b + c,.3. 3a + b + c..3. Egy kereskedőek em potos a kétkarú mérlege, mert a karok hossza em egyelő. Miutá tudja ezt, mide vásárlóál az áru egyik felét a mérleg egyik serpeyőjébe, a másik felét a mérleg másik serpeyőjébe méri, godolvá, hogy ezzel kiküszöböli a mérleg potatlaságát. Valóba ez a helyzet?

. Bizoyítási módszerek, valós számok 3.33. Egy kereskedőek em potos a kétkarú mérlege, mert a karok hossza em egyelő. Adjuk meg olya módszert, amellyel ezzel a mérleggel is potosa le tudja méri az áruk súlyát!.34. Egy motorcsóak motorja a csóakot állóvízbe v sebességgel hajtja. A csóak az u sebességű folyóba s utat tesz meg a folyás iráyába, majd visszamegy a kiidulási helyéhez. Meyi lesz az átlagsebessége a teljes úto v-hez képest: v-vel egyelő, v-él agyobb vagy v-él kisebb?.35. Legye egy téglalap két éle a és b, átlója pedig c. Ekkor a téglalap területe T = ab, és a téglalap kerülete K = (a + b). Tehát: Így: Mivel 0 < a < c, ezért: T K = T K a ab (a + b) c = ( T K ab a + b c c ) ( ab < c a + b c ) Beszorzás utá: T és K helyébe írjuk ab-t és (a + b)-t: Redezés utá: Kiemelés utá: Osztuk (a c)-vel, de a c < 0: Négyzet eseté b = a és c = a : T a K ac < a b (a + b) ac < abc a + b c abc a + b c a b (a + b) abc a + b < ac c ab (a c) < c a + b ab a + b > c a a > a (a c) Egyszerűsítés és redezés utá: > Keressük meg a hibát!.36. Melyik az egységkörbe írható maximális területű téglalap?.37. Melyik az egységgömbbe írható maximális térfogatú egyees körheger?

. Bizoyítási módszerek, valós számok 4.38. Meyi a maximuma a g(x) = x( x) 3 függvéyek a [0, ] itervallumo?.39. Határozzuk meg az x ( x) függvéy legagyobb értékét a [0, ] zárt itervallumo..40. Tudjuk, hogy a 0 b.4. (a + b)(b + c)(c + a) 8abc, ha a, b, c > 0.43..44. a b + c + a b + b c + c a b a + c + c a + b 3, ha a, b, c > 0 3, ha a, b, c > 0.4. Valós számok, számhalmazok Bizoyítsuk be a következő állításokat!.45. A {0, } halmaz a mod -vel vett műveletekkel testet alkot,.46. A {0,, } halmaz a mod 3-mal vett műveletekkel testet alkot,.47. A {0,,, 3} halmaz a mod 4-gyel vett műveletekkel em alkot testet!.48. Bizoyítsuk be, hogy a komplex számok teste em redezhető! Bizoyítsuk be az axiómák alapjá, hogy az a, b valós számokra igazak a következő állítások!.49. Ha a < b, akkor a > b,.50. Ha a és b pozitív, és a < b, akkor a > b.

. Bizoyítási módszerek, valós számok 5 Igazak-e a valós számok körébe következő állítások? Az igaz állításokat az axiómák alapjá bizoyítsuk, a hamis állításokál mutassuk ellepéldát!.5. Ha a b és b < c, akkor a < c..53. Ha a > b és b < c, akkor a > c..54. Ha a > b, a < d és b > e, akkor d > e..55. Ha a > b, a < d és b > e, akkor d < e..56. Ha a > b, a > d és b > e, akkor d > e..57. Ha a > b, a > d és b > e, akkor d < e..58. Ha a > b, a < d és b < e, akkor d > e..59. Ha a > b, a < d és b < e, akkor d < e. Igazak-e a valós számok körébe következő állítások? Az igaz állításokat az axiómák alapjá bizoyítsuk, a hamis állításokál mutassuk ellepéldát!.60. Ha a b c..6. Ha a, b 0, és a < b, akkor a > b..6. Ha a és b azoos előjelűek, és egyik sem ulla, továbbá a < b, akkor a > b..63. Ha a < b, akkor a < b..64. Ha a < b, akkor a 3 < b 3..65. Ha a és b azoos előjelűek, továbbá a < b, akkor a < b..66. Ha a és b azoos előjelűek, továbbá a < b, akkor a 3 < b 3.

. Bizoyítási módszerek, valós számok 6.67. Ha a b d..70. Ha a b d..7. Ha a b c..74. Ha a b > 0, és a < c és b > d, akkor a b > c d..75. Ha a b < 0, és a < c és b > d, akkor a b > c d. Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges a, b valós számokra teljesülek a következő egyelőtleségek!.76. a + b a + b.77. a b a b a + b.78. a b a b..79. Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges a, a,..., a valós számokra igaz, hogy a + a + + a a + a + + a. Melyik állításból következik a másik?.80. P: a < b Q: a < b

. Bizoyítási módszerek, valós számok 7.8. P: a < b Q: a b, ahol a, b 0.8. P: a < b Q: a + b < a + b.83. P: a < b Q: a + b a + b.84. P: a < b Q: ab < ab.85. P: a < b Q: ab ab.86. Bizoyítsuk be, hogy mide pozitív a valós számhoz va olya pozitív egész, amelyre teljesül, hogy < a..87. Bizoyítsuk be az Archimédeszi axiómából, hogy ( b, c < 0) ( N) b < c!.88. Bizoyítsuk be, hogy bármely két külöböző valós szám között va irracioális szám! Szemléltessük a következő számhalmazokat számegyeese! Dötsük el, hogy melyik itervallum, és melyik em az! Az itervallumok esetébe dötsük el, hogy melyik zárt, melyik yílt, és melyik se em zárt, se em yílt!.89. A = {,, 3}.90. B = {5, 6}.9. C = {x R : < x 6}.9. D = {x R : x < 6}.93. E = {x R : x 6}.94. F = {x Q : < x < 6} Legye H a valós számok egy em üres részhalmaza. Mit jeleteek a következő állítások?.95. x H y H (y < x).96. y H x H (y < x).97. x H y H (y x).98. y H x H (y x) Legye H = {h R : 3 < h } és H = {h R : 3 h < }. Melyik állítás igaz, ha H = H, illetve ha H = H?

. Bizoyítási módszerek, valós számok 8.99. x H y H (y < x).00. y H x H (y < x).0. x H y H (y x).0. y H x H (y x) Határozzuk meg a következő itervallumsorozatok metszetét! (Például rajz segítségével sejtsük meg a metszetet! Ha a sejtés szerit a metszet M, akkor bizoyítsuk be, hogy x M eseté teljesül, hogy x I, továbbá ha y / M akkor k y / I k. (Itt k és pozitív egész számok.).03. I =.05. I =.07. I =.09. I = [, ] [, 3 + ] [ 0, ] [ 0, ).04. I =.06. I =.08. I =.0. I = (, ) (, 3 + ) ( 0, ) ( 0, ] Határozzuk meg a következő itervallumsorozatok metszetét! Mely itervallumsorozatokra teljesülek a Cator-axióma feltételei? [.. I = +, 3 ].. I = [ ), [.3. I =, ] [.4. I =, ] [.5. I =, + ].6. I = (, ) Melyik állítás igaz? (A választ midig idokoljuk!).7. Ha egy egymásba skatulyázott itervallumsorozat metszete em üres, akkor az itervallumok zártak..8. Ha egy egymásba skatulyázott itervallumsorozat metszete üres, akkor az itervallumok yíltak..9. Egy egymásba skatulyázott, zárt itervallumsorozat metszete egyetle pot.

. Bizoyítási módszerek, valós számok 9.0. Ha egy egymásba skatulyázott itervallumsorozat metszete üres, akkor va az itervallumok között yílt... Ha egy egymásba skatulyázott itervallumsorozat metszete üres, akkor va az itervallumok között em zárt... Ha egy zárt itervallumsorozat metszete em üres, akkor az itervallumok egymásba vaak skatulyázva..3. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, zárt itervallumsorozat metszete egyetle pot?.4. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, yílt itervallumsorozat metszete em üres?.5. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, yílt itervallumsorozat metszete üres?.6. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, zárt itervallumsorozat metszete valódi itervallum (em csak egy pot)?.7. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, yílt itervallumsorozat metszete valódi itervallum?.8. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, zárt itervallumsorozat metszete valódi yílt itervallum?.9. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, yílt itervallumsorozat metszete valódi yílt itervallum?.30. A valós számok axiómái közül melyek teljesülek és melyek em a racioális számok halmazára (a szokásos műveletekkel és redezéssel)?.3. Bizoyítsuk be, hogy bármely két valós szám között va véges tizedes tört!.3. Mi a kapcsolat a véges tizedestört alakba felírható számok halmaza és a racioális számok halmaza között?.33. Bizoyítsuk be, hogy egy valós szám tizedestört-alakja akkor és csak akkor periodikus, ha a szám racioális..34. Fordítsuk le a végtele tizedestörtékről taultakat kettes számredszerre, azaz defiiáljuk a véges és végtele biáris (kettedes) törteket és modjuk ki a tételeik megfelelőit!.35. Elleőrizzük, hogy a Cator-axióma állítása em marad igaz, ha bármelyik feltételét elhagyjuk!

. Bizoyítási módszerek, valós számok 0 Melyik állítások igazak?.36. Az I = [a, b ] itervallumsorozat metszetéek potosa egy eleme va, ha ( ε > 0) ( 0 N + ) ( > 0 ) b a < ε..37. Az I = (a, b ) itervallumsorozat metszetéek potosa egy eleme va, ha ( ε > 0) ( 0 N + ) ( > 0 ) b a < ε..38. Az I = [a, b ] itervallumsorozat metszetéek egyél több eleme va, ha ( N + ) b a >..39. Az I = (a, b ) itervallumsorozat metszetéek egyél több eleme va, ha ( N + ) b a >..40. Az I = (a, b ) egymásba skatulyázott itervallumsorozat metszetéek egyél több eleme va, ha ( N + ) b a >..4. Az I = (a, b ) egymásba skatulyázott itervallumsorozat metszetéek potosa egy eleme va, ha ( ε > 0) ( 0 N + ) ( > 0 ) b a < ε..4. Az I = [a, b ] egymásba skatulyázott itervallumsorozat metszetéek potosa egy eleme va, ha ( ε > 0) ( N + ) b a < ε. Dötsük el az alábbi halmazokról, hogy alulról korlátosak-e, felülről korlátosak-e, korlátosak-e, és hogy va-e legkisebb, illetve legagyobb elemük?.43. {x R : x 73}.44. {x Q : x 73}.45. {x R : x }.46. {x Q : x } Dötsük el az alábbi halmazokról, hogy alulról korlátosak-e, felülről korlátosak-e, korlátosak-e, és hogy va-e legkisebb illetve legagyobb elemük?.47. prímszámok halmaza.48. pozitív számok halmaza.49. [ 5, ).50. { } : N+ Határozzuk meg a következő halmazok miimumát, maximumát, ifimumát és szuprémumát, ha vaak!

. Bizoyítási módszerek, valós számok.5. { } : N +.5. { + : N +}.53. { + + : N + }.54. { + : N+ }.55..57. { } : N+ { } k :, k N+.56..58. { + : N + } { k :, k N + }.59. { + k :, k N + }.60. { k :, k N+ }.6. Legye H a valós számok egy em üres részhalmaza. Mi a következő állítások logikai kapcsolata? (a) H alulról em korlátos. (b) H-ak ics legkisebb eleme. (c) ( x H) ( y H) y < x. (d) ( y H) ( x H) y < x..6. Va-e olya olya em üres valós számhalmaz, amelyik felülről korlátos, de ics legagyobb eleme?.63. Írjuk fel logikai jelekkel a következő állítást: Az A halmazak ics legkisebb eleme..64. Va-e olya a, a,... számsorozat, amelyre az {a, a,...} halmaz korlátos, de ics se maximuma, se miimuma?.65. Adjuk példát olya em üres valós számhalmazra, amelyik korlátos, de ics legkisebb eleme! Tegyük fel, hogy a H R halmaz em üres. Mi a következő állításpárok logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik?.66. P: H-ak ics miimuma. Q: ( a R + ) ( b H) b < a.67. P: H-ak ics miimuma. Q: ( a H) ( b H) b < a.68. P: H-ak ics maximuma. Q: ( a R) ( b H) b > a

. Bizoyítási módszerek, valós számok.69. P: H-ak ics maximuma. Q: ( a H) ( b H) b > a.70. Mi a kapcsolat az alábbi két állítás között, azaz melyikből következik a másik? P: Az A halmaz véges (azaz véges sok eleme va). Q: Az A halmaz korlátos. Írjuk fel logikai jelekkel az alábbi állításokat!.7. Az A halmaz egyik felső korlátja 3..7. Az A halmaz felülről korlátos..73. Az A halmaz korlátos..74. Az A halmazak a 3 em alsó korlátja..75. Az A halmaz alulról em korlátos..76. Az A halmaz em korlátos..77. Egy számhalmazak háy maximuma, illetve háy felső korlátja lehet?.78. Mi a kapcsolat az alábbi két állítás között, azaz melyikből következik a másik? P: Az A halmazak va legkisebb eleme. Q: Az A halmaz alulról korlátos. Határozzuk meg a következő halmazok miimumát, maximumát, ifimumát és szuprémumát, ha vaak!.79. [, ].80. (, ).8. Q.8. { + } :, k N+ k.83. Tudjuk, hogy H-ak ics c-él kisebb felső korlátja. Következik-e ebből, hogy sup H = c?.84. Tudjuk, hogy c felső korlátja H-ak. Következik-e ebből, hogy sup H = c?

. Bizoyítási módszerek, valós számok 3.5. Becslések Bizoyítsuk be, hogy va olya pozitív N egész szám, amelyre teljesül, hogy mide > N eseté.85. 0,00 5 00 > 000 4,.86. 0,00 5 + 3 4 00 3 + 00 > 000 4 + 000 3 + 3000 + 4,.87. 0,00 5 00 > 000 3 + 0000 + 3,.88. 0, 5 + 30 4 0 3 + 0 > 000 4 + 000 3 +,.89. 5 3 4 00 3 + 00 > 000 4 000 3 + 3000 + 4,.90. + < 0,00..9..9. + 0 + < 0,00. + 00 + 0 < 0,00..93. Tegyük fel, hogy va olya N +, hogy a > 4. Következik-e ebből, hogy a + > 4? Következik-e az, hogy a < 4?.94. Tegyük fel, hogy a 0 > b 0, a > b, a > b. Következik-e ebből, hogy a 3 > b 3?.95. Tegyük fel, hogy ha > 4, akkor a > 3500. Következik-e ebből, hogy ha < 4, akkor a 3500?.96. Tegyük fel, hogy va olya N N +, hogy > N eseté a > b. Következik-e ebből, hogy a b csak véges sok -re teljesül?.97. Tegyük fel, hogy va olya N N +, hogy > N eseté a > b. Lehet-e olya M N + hogy ( > M) eseté a b?.98. Tegyük fel, hogy hogy va olya N N +, hogy > N eseté a > b. Következik-e ebből, > 9 eseté a > b?

. Bizoyítási módszerek, valós számok 4.99. Tegyük fel, hogy egyetle N N + eseté sem teljesül, hogy ( > N) eseté a > b. Következik-e ebből, hogy va olya M N + hogy ( > M) eseté a b? Va-e a következő sorozatokak 00-ál agyobb tagjuk? Va-e olya N N +, amelyre teljesül, hogy mide > N eseté a > 00? Va-e a sorozatokak 0-él kisebb tagjuk? Va-e olya M N +, amelyre teljesül, hogy mide > M eseté a < 0?.300. a =.30. a =.30. a = + + 3 + + + + 3 + + + + 3 + + + + +.303. + + 3 + + + + + a = + + 3 + +.304. a = 0 ( + + 3 + + ).305. a = + + 3 + +.306. a = 0 ( + + 3 + + ).307. a = + + 3 + + + Sorozatok verseyfutása: Azt modjuk, hogy az (a ) sorozat a verseyfutásba legyőzi a (b ) sorozatot, ha va olya N N +, hogy mide > N eseté a > b. Határozzuk meg, hogy a következő feladatokba melyik sorozat yeri a verseyfutást!.308. a = 5 + 3 6 + 500, b = 000 4 + 00 3 +.309. a = 000 5 + 00 3 + 6, b = 40 +.30. a = 000 4 + 00 3 +, b = 5 300.3. a = +, b = 0,000

. Bizoyítási módszerek, valós számok 5.3. a = +, b =.33. a = +, b =.34. a = +, b =.35. a =,00, b = 000.36. a =, b = + (.37. a = + ) 50, b = + 50 + 500.38. a =, b =.39. a =, b =.30. a =, b = 3.3. a =, b = 0.3. Vaak-e olya (a ) és (b ) végtele sok tagba külöböző sorozatok, amelyek közül egyik sem győzi le a másikat?.33. Vaak-e olya (a ) és (b ) végtele sok tagba külöböző sorozatok, amelyek közül midkettő legyőzi le a másikat?.34. Vaak-e olya (a ) és (b ) végtele sok tagba külöböző sorozatok, amelyek közül midegyik legyőzi a c = sorozatot, de (a ) és (b ) verseyfutásába ics győztes?.35. Legye (a ) és (b ) két pozitív tagú sorozat! Határozzuk meg a verseyfutás lehetséges eredméyeit a és b, illetve a + b és a b között..36. Tegyük fel, hogy va olya K N +, hogy mide > K eseté a > b, és hogy va olya L N +, hogy mide > L eseté x > y. Melyik sorozat yeri a verseyfutást: a x + b y vagy a y + b x?

. Bizoyítási módszerek, valós számok 6 Tegyük fel, hogy va olya N N +, hogy mide > N eseté a > b. Következek-e ebből a következő feladatok állításai?.37. Mide < N eseté a < b..38. Va olya < N, hogy a < b..39. Az a > b egyelőtleség megoldása az egész számok halmazá > N. Vaak-e olya (a ) és (b ) sorozatok, amelyekre igaz, hogy va olya N N +, hogy mide > N eseté a > b, és igazak a következő feladatok állításai?.330. Mide < N eseté a < b..33. Va olya < N, hogy a < b..33. Az a > b egyelőtleség megoldása az egész számok halmazá > N. Mi a következő állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik?.333. P: A verseyfutásba az (a ) sorozat legyőzi a (b ) sorozatot. Q: Végtele sok N + eseté a > b..334. P: A verseyfutásba az (a ) sorozat legyőzi a (b ) sorozatot. Q: Az a 000,.336. 0,999 < 000,.337.,0 >,.338. <,0000,.339. 0,000 > 0,9,.340. <,000.

. Bizoyítási módszerek, valós számok 7.34. Adjuk meg olya N számot, amelyre igaz, hogy ha > N, akkor Háy megoldása va a feladatak? 5 + 4 3 + + < 000. Bizoyítsuk be, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre.34. 0,9 < 00,.343. <,0,.344. 0, > 0,9..345. Bizoyítsuk be, hogy.346. Melyik agyobb: 000 000 vagy 00 999? ( + ) k < + k + k, ha k, pozitív egészek, és k <..347. Melyik agyobb: 000 00 vagy 00 000?.348. Bizoyítsuk be, hogy az a =, a + = a rekurzióval megadott sorozat mooto ő!.349. Bizoyítsuk be, hogy az a = 0, a + = ő! 3 a rekurzióval megadott sorozat mooto Bizoyítsuk be, hogy mide pozitív ε-hoz va olya N N +, hogy ha > N, akkor.350. + < ε,.35. + 5 + < ε,.35. < + ε,.353. 0,000 > ε. Bizoyítsuk be, hogy mide pozitív ε-hoz va olya N N +, hogy ha > N, akkor.354. < ε,.355. + + < ε,.356. + + + < ε. Bizoyítsuk be, hogy mide K R eseté va olya N N +, hogy ha > N, akkor

. Bizoyítási módszerek, valós számok 8.357. > K,.358. 5 000 4 > K,.359. 5 > K,.360. 5 000 4 000 > K..36..363. + + 3 + 5000 > K.36. + 000 30 5 > K.364. + 3 + 7 > K + 5 4 + + + 5000 > K Bizoyítsuk be, hogy mide K R eseté va olya N N +, hogy ha > N, akkor.365. < K,.366. < K,.367. 000 + < K,.368. 000 7 0,00 8 + 6 + 500 < K..369..37..373..375. + 3 + 5000 < K.370. + 000 5 30 < K.37. + + 3 + 5000 < K.374. + 000 30 5 < K.376. 7 + 5 > K 6 30 + < K + 3 7 < K + 5 4 + + + 5000 < K Bizoyítsuk be, hogy mide K R eseté va olya N N +, hogy ha > N, akkor.377. + + 3 + + a = > K,.378. 3 + 3 + 3 3 + + 3 a = > K,.379. a = + + 3 + + + + + > K.

. Sorozatok 9. Sorozatok.. A határérték fogalma, koverges sorozatok, diverges sorozatok Legye az (a ) sorozat a következőképp megadva: a szereplő és 0 jelek pozitív egész számokat jelölek. =. A feladatokba.. Adjuk meg olya 0 számot, hogy > 0 eseté teljesüljö, hogy (a) a < 0,, (b) a < 0,0... Va-e olya 0 szám, hogy > 0 eseté teljesül, hogy a < 0,00?.3. Igaz-e, hogy (a) ε > 0 0 > 0 ( a < ε)? (c) ε > 0 0 > 0 ( a < ε)? (e) ε > 0 0 0 ( a < ε)? (b) 0 ε > 0 > 0 ( a < ε)? (d) ε > 0 0 > 0 ( a > ε)? (f) ε > 0 0 0 ( a > ε)? Legye az (a ) sorozat a következőképp megadva: a = +. A feladatokba szereplő és 0 jelek pozitív egész számokat jelölek..4. Adjuk meg olya 0 számot, hogy > 0 eseté teljesüljö, hogy (a) a < 0,, (b) a < 0,0..5. Va-e olya 0 szám, hogy > 0 eseté teljesül, hogy a < 0,00?.6. Igaz-e, hogy

. Sorozatok 30 (a) ε > 0 0 > 0 ( a < ε)? (c) ε > 0 0 > 0 ( a < ε)? (e) ε > 0 0 0 ( a < ε)? (b) 0 ε > 0 > 0 ( a < ε)? (d) ε > 0 0 > 0 ( a > ε)? (f) ε > 0 0 0 ( a > ε)? Legye az (a ) sorozat a következőképp megadva: a = + ( ). A feladatokba szereplő és 0 jelek pozitív egész számokat jelölek..7. Adjuk meg olya 0 számot, hogy > 0 eseté teljesüljö, hogy (a) a < 0,, (b) a < 0,0..8. Va-e olya 0 szám, hogy > 0 eseté teljesül, hogy a < 0,00?.9. Igaz-e, hogy (a) ε > 0 0 > 0 ( a < ε)? (c) ε > 0 0 > 0 ( a < ε)? (e) ε > 0 0 0 ( a < ε)? (b) 0 ε > 0 > 0 ( a < ε)? (d) ε > 0 0 > 0 ( a > ε)? (f) ε > 0 0 0 ( a > ε)? Keressük olya N számot, hogy > N eseté teljesüljö, hogy.0.,0 > 000;.. 0,9 < 00... <,0..3. <,000. Mutassuk meg, hogy va olya 0 szám, amelyre igaz, hogy mide > 0 eseté.4. + < 0,0,.5. + 7 + 3 < 0,0..6. + 5 < 0,0..7. + 3 + < 0,0,

. Sorozatok 3 Igaz-e, hogy b potosa akkor határértéke az (a ) sorozatak, ha teljesülek a következő állítások?.8. bármely ε > 0-ra az (a ) sorozatak végtele sok tagja va ε-ál közelebb b-hez?.9. bármely ε > 0-ra az (a ) sorozatak csak véges sok tagja va b-től legalább ε távolságra?.0. va olya ε > 0, amelyre az (a ) sorozatak végtele sok tagja va ε-ál közelebb b-hez?.. va olya ε > 0, amelyre az (a ) sorozatak végtele sok tagja va b-től legalább ε távolságba? Melyik állításból következik, hogy a?.. K eseté a (K, ) itervallumo kívül az (a ) sorozatak csak véges sok tagja va..3. K esete a (K, ) itervallumba az (a ) sorozatak végtele sok tagja va. Tegyük fel, hogy lim a =. Melyik állítás következik ebből? Melyik állításból következik, hogy lim a =?.4. Az (a ) sorozatak ics legagyobb tagja..5. Az (a ) sorozatak va legkisebb tagja..6. A (3, ) itervallumo kívül az (a ) sorozatak csak véges sok tagja va..7. K eseté a (K, ) itervallumo kívül az (a ) sorozatak csak véges sok tagja va..8. A (3, ) itervallumba az (a ) sorozatak végtele sok tagja va..9. K eseté a (K, ) itervallumba az (a ) sorozatak végtele sok tagja va. Tegyük fel, hogy lim a =. Melyik állítás következik ebből? Melyik állításból következik, hogy lim a =?.30. Az (a ) sorozatak va legagyobb tagja.

. Sorozatok 3.3. Az (a ) sorozatak ics legkisebb tagja..3. A (, 3) itervallumo kívül az (a ) sorozatak csak véges sok tagja va..33. K eseté a (, K) itervallumo kívül az (a ) sorozatak csak véges sok tagja va..34. A (, 3) itervallumba az (a ) sorozatak végtele sok tagja va..35. K eseté a (, K) itervallumba az (a ) sorozatak végtele sok tagja va. Lehet-e az (a ) sorozat határértéke, vagy egy valós szám, ha.36. a sorozatak va legagyobb tagja?.37. a sorozatak ics legagyobb tagja?.38. Mi a P és a Q állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik? P: Az (a ) sorozat szigorúa mooto ő. Q: Az (a ) sorozat tart a végtelehez. Mi a P és a Q állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik?.39. P: a Q: ( N + ) a a +.40. P: a Q: ( N + ) a > a +.4. P: a Q: ( N N + ) ( > N) a > a +.4. P: ( K R + ) ( N + ) a < K Q: ( N N + ) ( > N) a > a +.43. P: ( K R + ) ( N N + ) ( > N) a > K Q: ( N + ) a < a + Lehet-e az (a ) sorozat határértéke, vagy egy valós szám, ha.44. a sorozatak végtele sok 3-ál agyobb tagja va?

. Sorozatok 33.45. a sorozatak végtele sok 3-ál kisebb tagja va?.46. a sorozatak végtele sok 3-ál kisebb, és végtele sok 3-ál agyobb tagja va?.47. Egy sorozatak végtele sok pozitív és végtele sok egatív tagja va. Lehet-e a sorozat koverges? Tarthat-e a sorozat végtelehez vagy míusz végtelehez? Va-e olya oszcillálva diverges sorozat, amelyik.48. korlátos.49. em korlátos? Sejtsük meg a következő sorozatok határértékét, és bizoyítsuk be a sejtést a határérték defiíciója alapjá!.50..5..5..54..56..58. 3 + 3 + 5 3 4 7 + 3 3 7 +.53..55..57. 3 5 + 0 4 7 + 3 3 7 4 3 + 3 8.59. ( ) 3 8.60. ( ).6. ( ) 3 + Bizoyítsuk be, hogy a következő sorozatok végtelehez tartaak, azaz keressük küszöbidexet a következő sorozatokhoz!.6. + + +.63. + + +.64..65. 0 0 + 00.66. 5 3 0 0 + 00.67. 4 7 + 0 3 6 0 + 5

. Sorozatok 34.68..70. + 3.69..7.!!.7.!.73.! 3.74..75. 3 + Bizoyítsuk be, hogy a következő sorozatok míusz végtelehez tartaak, azaz keressük küszöbidexet a következő sorozatokhoz!.76..77..78..79..80. 5 3 0 0 + 00.8. 0 0 + 00 4 7 0 3 + 6 0 3 + 5.8.!.83.!.84..85. Kovergesek-e vagy divergesek-e a következő sorozatok? Határozzuk meg a határértékeket, ha vaak! { { 3, ha páros 3, ha páros.86. a =.87. a = 4, ha páratla { 3, ha 00.88. a = 4, ha > 00 {.90. a = + 0, ha páros, ha páratla 4, {, ha páros ha páratla.89. a = 0, ha páratla {.9. a =, ha páros, ha páratla Va-e határértékük a következő sorozatokak? Ha ige, bizoyítsuk be a defiíciók alapjá! Melyik sorozat koverges?

. Sorozatok 35.9. + 3.93. 3.94. 3 5 7 + 0 5 + 0.95. 3 3 7 + 0 5 + 0.96. 3 9 7 + 0 5 + 0.97. 3 7 8 + 0 5 + 0.98. Bizoyítsuk be, hogy az sorozat em tart 7-hez!.99. Bizoyítsuk be, hogy az sorozat em tart -hez!.00. Bizoyítsuk be, hogy a ( ) sorozat diverges!.0. Bizoyítsuk be, hogy a ( ) sorozatak ics határértéke!.. Határérték és műveletek, határérték és redezés Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét a műveletekkel kapcsolatos tételek alkalmazásával! ( ).0..03..04..06..08..0. + 3 4 + 5 4 + 7 8 3 6 + 9 5 9 + 4/5 + 3/ + 6.05..07..09... 5 7 + 5 3 7 7 + 5 4 6 + 5 + 4 0 6 + 3 30 3 + 5 4...4. +.3. + +.5. + + +

. Sorozatok 36.6..8. 8 3 6 + 9 5 9 + 5 + 3 + +.7..9. 3/ + + 3 4/5 + 0 5 + 4 + +.0. 5 7 + 3.. 0 00.. 7 6 5 4 00.3. +.4. 0,000 0000.5. 3 Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét! Adjuk meg ε-tól függő küszöbidexet!.6. 6 + 3 5.7. + + 7 6.8. Adjuk példát arra, hogy a b 0 de a b..9. Bizoyítsuk be, hogy ha a a > 0, akkor a a..30. Legye a = + + + ( tagú az összeg). Mivel a tagokat alkotó sorozatok 0-hoz tartaak, ezért az a sorozat tart 0-hoz. Másrészt mide -re a = =, ezért a. Melyik következtetés a hibás, és mi a hiba bee?.3. Tudjuk, hogy + (, továbbá =, ezért + ). Másrészt a Beroulli-egyelőtleség felhaszálásával bizoyíthatjuk, hogy tehát ( + ) határértéke em lehet kisebb -él. Melyik következtetés a hibás, és mi a hiba bee?.3. Adjuk példát olya (a ) és (b ) sorozatokra, amelyekre teljesül, hogy a b, de a b 0..33. Mutassuk példákat az a sorozat lehetséges viselkedésére, ha b lim a = és lim b =. ( + ),

. Sorozatok 37 Mi a következő állítások logikai kapcsolata az a a állítással?.34. a a.35. a 3 a 3 Mi a következő állításpárok logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik?.36. P: (a ) koverges és (b ) koverges Q: (a + b ) koverges.37. P: a + b Q: a és b.38. P: a + b Q: a vagy b.39. P: a b 0 Q: a 0 vagy b 0.40. P: (a ) és (b ) korlátos Q: (a + b ) korlátos.4. P: (a ) és (b ) korlátos Q: (a b ) korlátos.4. Tegyük fel, hogy a és b. Mi a P és a Q állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik? P: a b Q: a b 0.43. Bizoyítsuk be, hogy ha lim a a + = 0, akkor (a ) koverges és lim a =..44. Mutassuk példákat az (a + b ) sorozat lehetséges viselkedésére, ha lim a = és lim b =..45. Mutassuk példákat az (a b ) sorozat lehetséges viselkedésére, ha lim a = 0 és lim b =..46. Mutassuk példákat az ( a b lim a = 0 és lim b = 0. ) sorozat lehetséges viselkedésére, ha

. Sorozatok 38.47. Tegyük fel, hogy a b sorozat egyetle tagja sem 0. Mi a P és a Q állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik? P: b Q: b 0.48. Mi a P és a Q állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik? P: a b Q: a b 0.49. Tegyük fel, hogy a 0 és b 0. Mi a P és a Q állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik? P: a b Q: a b 0.50. Tegyük fel, hogy az (a ) sorozatra teljesül, hogy a 5 a + 3 a 0. 5. Bizoyítsuk be, hogy 3.5. Tegyük fel, hogy az (a ) sorozatak va határértéke. Mi a következő állítások logikai kapcsolata? P: Mide elég agy -re a Q: lim a > 0.5. Igaz-e, hogy ha (a b ) koverges és (b ) diverges, akkor (a ) is diverges?.53. Igaz-e, hogy ha (a /b ) koverges és (b ) diverges, akkor (a ) is diverges? Tegyük fel, hogy az (a ) és (b ) sorozatak va határértéke. Mi a következő állítások logikai kapcsolata?.54. P: Mide elég agy -re a < b. Q: lim a < lim b.55. P: Mide elég agy -re a b. Q: lim a lim b Melyik állításokból következik, hogy az (a ) sorozatak va határértéke? Melyik állításokból következik, hogy (a ) koverges? Melyik állításokból következik, hogy (a ) diverges?.56. (b ) koverges és a > b mide elég agy -re..57. lim b = és a > b mide elég agy -re.

. Sorozatok 39.58. (b ) és (c ) koverges és b a c mide elég agy -re..59. lim b = és a > b mide elég agy -re..60. lim b = és a , akkor a..63. Bizoyítsuk be, hogy ha a, akkor a oszcillálva diverges! Adjuk példát olya (a ) sorozatra, amelyikre teljesül, hogy.64. a.65. a.66. a 0.67. a Mutassuk példát olya a sorozatra, amelyre igaz, hogy lim a + a.68. lim a =.69. lim a =.70. lim a = 0.7. lim a = 7 =, és.7. Bizoyítsuk be, hogy ha a, akkor a..73. Bizoyítsuk be, hogy ha a, akkor a 0. Mit modhatuk a lim a határértékről, ha.74. a?.75. a?.76. a? Mit modhatuk a lim a határértékről, ha

. Sorozatok 40.77. a?.78. a?.79. a? Va-e olya (a ) sorozat, amelyikre igaz, hogy.80. a és a?.8. a 0 és a?.8. a és a 3?.83. a és a?.84. a 3 és a?.85. a 3 és a? Kovergesek-e vagy divergesek-e a következő sorozatok? Határozzuk meg a határértékeket, ha vaak!.86. {}.87. [].88. { }.89. [].90. + 3.9. 7 + ( ).9..93. +.94..95..96. 3.97. + + 3 + 3 + + 3 +.3. Mooto sorozatok, részsorozatok.98. Legye (a ) és (b ) két mooto sorozat. Mit tuduk modai a mootoitás szempotjából az (a + b ) sorozatról?.99. Legye (a ) és (b ) két mooto sorozat. Mit tuduk modai a mootoitás szempotjából az (a b ) sorozatról?.00. Legye a =, és eseté a + = a. Bizoyítsuk be, hogy az (a ) sorozat mooto övő!

. Sorozatok 4.0. Legye a =, és eseté a + = a. Bizoyítsuk be, hogy a sorozat mide tagja pozitív, továbbá, hogy a sorozat mooto csökkeő!.0. Legye a = 0,9, és eseté a + = a a. Bizoyítsuk be, hogy a sorozat mide tagja pozitív, továbbá, hogy a sorozat mooto csökkeő! Mutassuk meg, hogy va olya N +, amelyre igaz, hogy a < 0 6, és adjuk példát ilye számra!.03. Legye a > 0, és mide N + eseté a + a >,. Mutassuk meg, hogy va olya N +, amelyre igaz, hogy a > 0 6, és adjuk példát ilye számra!.04. Legye a = a > 0 tetszőleges, a + = ) (a + aa. Mutassuk meg, hogy a a..05. Legye a 0 = 0, a =, és > eseté a = a + a. Határozzuk meg az (a ) sorozat határértékét! sorozat határér-.06. Tegyük fel, hogy lim a k = A. Határozzuk meg a b = a + a + + a k tékét! Mi a következő állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik?.07. P: Az (a ) sorozat mooto ő. Q: Az (a ) sorozat végtelehez tart..08. P: Az (a ) sorozat mooto csökke. Q: Az (a ) sorozat míusz végtelehez tart. Határozzuk meg a következő rekurzív sorozatok határértékét, ha va! A rekurzív képletekbe..09. a =, a + = a + a.0. a =,5, a + = a +.. a = 3, a + = a + 5 a ) ( + a.. a = 6, a + = a + 5 a ) (a + 3a.3. a =, a + =.4. a = 3, a + =.5. a = 0, a + = + a.6. a =, a + = a + a 3 +

. Sorozatok 4 ( + 3a ) (a + a ).7. a =, a + =.8. a =, a + = Korlátosak-e, illetve mootook-e a következő sorozatok? Határozzuk meg a határértékeket, ha vaak! (.9. + ) + (.0. ) (.. + ).. Korlátos-e, illetve mooto-e az vaak! ( + ) sorozat? Határozzuk meg a határértékeket, ha Mi a következő állításpárok logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik?.3. P: (a ), (a + ) és (a 3 ) koverges Q: (a ) koverges.4. P: a 5 Q: a 5.5. P: (a ) és (a + ) koverges Q: (a ) koverges Dötsük el az alábbi sorozatokról, hogy va-e koverges részsorozatuk!.6. ( ).7..8..9. ( ).30. Bizoyítsuk be, hogy ha az (a ) sorozatak ics koverges részsorozata, akkor a..4. Nagyságredek, evezetes sorozatok.3. Bizoyítsuk be, hogy! igaz!

. Sorozatok 43 Tegyük az alábbi sorozatokat agyságred szerit sorba!.3. ( 7 ), ( + ), (00 ( )! ), 0 ( ).33. ( 7 + ), (! + ), (00 3 0 ), 0 ( ) ( )! 3.34. ( 7 ), (! ),, 0.35. Illesszük be az 3 3! sorba a megfelelő helyre -et, 3 -et,..., k -et! Keressük meg az alábbi sorozatok között az összes aszimptotikusa egyelő párt!.36. ( 7 + ), ( 7 + 5 ), ( + 5 ), ( + 5 ), ( 7 ), ( + 3 ), ( ).37. (!), ( ), (! + ), ( ), ( ), ( + ), ( ).38. (! + ), (! ), ( + ), ( ), ( ), ( ), (3 ) Bizoyítsuk be, hogy mide elég agy N + eseté.39.! <.40. < 0, 5.4. < 3 3.4. + < 5 00.43. 3 + 5 < +.44. 000 < 0,000 Kovergesek-e vagy divergesek-e a következő sorozatok? Határozzuk meg a határértékeket, ha vaak!.45. 3.46. 3 (.47. (,).48. 4 ) 5

. Sorozatok 44.49..5..53. (,) +.50. 3 ( 3).5. 0!.54. + 3 00 00 3 (,).55.! 3.56. 3.57. 3.58.,!.59. (3,0) + 3.60..6. (0,99).6..63..65. 3 + 0 +! 3 +6 + +3.66.! 3 0 (,0).64. + 4 + 5 6 + ( 7).67. Bizoyítsuk be, hogy mide k pozitív egész szám eseté +! +! + + k! e. (.68. Bizoyítsuk be, hogy lim +! +! + + ) = e k!.69. Bizoyítsuk be, hogy az e szám irracioális!.70. Adottak az a és b pozitív számok. Legye a = a és b = b, továbbá a + = a + b és b + = a b. Bizoyítsuk be, hogy az (a ) és (b ) sorozatok kovergesek, és hogy a két sorozat határértéke megegyezik!

3. Végtele sorok 45 3. Végtele sorok 3.. Végtele sorok kovergeciája Írjuk fel a következő sorok -edik részletösszegét! Határozzuk meg a részletösszegek határértékét! Adjuk meg a sorok összegét! 3.. + 0 + 00 + + 0 k + 3.. 3.3. + 3 + + k (k + ) + 4 + 4 7 + + (3k ) (3k + ) + Írjuk fel a következő sorok -edik részletösszegét! Határozzuk meg a részletösszegek határértékét! Adjuk meg a sorok összegét! 3.4. + + 4 + + k + 3.5. 4 + 5 + + k (k + 3) + 3.6. Legye S = + + 4 + 8 + 6 + 3 + = + ( + + 4 + 8 + 6 + 3 + ). Tehát S = + S, amiből S =. Hol a hiba? Határozzuk meg a következő sorok összegét, ha kovergesek! 3.7. 3.9. 4 9 3.8. 4 ( 9) 3.0. 5 9 9 4 + 5

3. Végtele sorok 46 3.. 4 + 5 9 3.. 4 ( 3) 3.3. Koverges-e a ( ) sor? Igaz-e, hogy ha 3.4. a koverges, akkor a 0? 3.5. a, akkor a diverges? 3.6. a diverges, akkor a? 3.7. a 0, akkor a koverges? Hova tartaak a következő sorok tagjaiból álló sorozatok? Kovergesek-e a sorok? 3.8. 3.0. 3.. 3.4. + 3.9. 3.. 3.3. + 3.5. 3 3 3 3.. Pozitív tagú sorok kovergeciakritériumai Dötsük el a majorás kritérium segítségével, hogy kovergesek-e a következő sorok!

3. Végtele sorok 47 3.6. + 4 3.7. 3.8. + 3.9. + 4 Dötsük el a háyadoskritérium segítségével, hogy kovergesek-e a következő sorok! 3.30. 3.3.! 3.3. 3! 3.33.!! Tegyük fel, hogy mide pozitív egész -re a > 0. Mit állíthatuk a kovergeciáját illetőe biztosa, ha a sor 3.34. lim a >, 3.35. lim a <, 3.36. lim a =? Dötsük el a gyökkritérium segítségével, hogy kovergesek-e a következő sorok! 3.37. 3.39. 3.38. + 3 3.40. ( 3 ) ( + ) 3.4. Legye a = és a 3 = 3. Vizsgáljuk meg a a sor kovergeciáját háyadoskritériummal is, és gyökkritériummal is! Mit tapasztaluk? 3.4. Bizoyítsuk be, hogy ha egy végtele sor kovergeciáját el lehet dötei háyadoskritériummal, akkor el lehet dötei gyökkritériummal is!

3. Végtele sorok 48 3.43. Tegyük fel, hogy b > 0 ( =,, 3,... ), továbbá lim állíthatuk a a sor kovergeciáját illetőe biztosa, ha b koverges. 3.44. a b b diverges. = c > 0. Mit Dötsük el ismert sorok agyságredjével való összehasolítással, hogy kovergesek-e a következő sorok! 3.45. 3 3 3 9 3.46. + 3 4 + 3 3.47. + 4 4 + 3 3.48. 6 + 3 Dötsük el, hogy kovergesek-e a következő sorok! 3.49. 3.5. 3.53. 3.55. 3.57. 3.59. 3.6. 4 + 3.50. ( ) 3.5. ( ) 3.54. ( 3) 3.56. 000! 3.58. ( ) 3.60. ( 3 ) 3.6. ( ) = 3 ( )! l ( ( ) ) ( ) + 00 + 7

3. Végtele sorok 49 3.63. 3.65. 3.67. 5 + 3 3 + + 3.64. 3.66. 0 3 3.68. ( ) + ( + ) 3.69. Tegyük fel, hogy a = A R és Következek-e ebből az alábbi állítások? (a) (c) (e) c a = c A b (b) (a b ) = A B (d) a b = A B (b 0) (f) = B R, valamit c egy valós szám. (a + b ) = A + B (a b ) = AB a = A 3.3. Feltételes és abszolút kovergecia 3.70. Igaz-e, hogy ha egy végtele sorba a tagokból álló sorozat mooto csökke, akkor a sor koverges? 3.7. Igaz-e, hogy ha egy végtele sorba a tagok előjele váltakozik, akkor a sor koverges? 3.7. Igaz-e, hogy ha egy végtele sorba a tagok előjele váltakozik, és a tagok abszolút értékeiből álló sorozat mooto csökke, akkor a sor koverges? 3.73. Igaz-e, hogy ha egy végtele sorba a tagokból álló sorozat mooto csökkeve 0-hoz tart, akkor a sor koverges? 3.74. Igaz-e, hogy ha egy végtele sorba a tagok előjele váltakozik, és a tagok abszolút értékeiből álló sorozat 0-hoz tart, akkor a sor koverges?

3. Végtele sorok 50 Melyik sor Leibiz-sor? Melyik sor koverges? 3.75. 3 + 5 7 + 3.76. 3 + 3 5 5 7 + 3.77. + 4 8 + 3.78. 3 + 4 9 8 7 + 3.79. + 3 4 + 3.80. + 3 3 4 4 + 3.8. 3.8. Kovergesek-e a következő sorok? Igaz-e, hogy Leibiz-sorok? a, ahol a = és a = 3 a, ahol a = és a = 3 Dötsük el, hogy kovergesek-e, illetve abszolút kovergesek-e a következő sorok! 3.83. 3.85. 3.87. ( ) 3.84. ( ) 3.86. ( ) + 3.88. ( ) ( ) si Adjuk meg olya diverges sorokat, amelyekre teljesül, hogy 3.89. a tagok előjele váltakozik, és a tagokból álló sorozat 0-hoz tart! 3.90. a tagok előjele váltakozik, és a tagok abszolút-értékeiek a sorozata mooto csökke! 3.9. a tagokból álló sorozat mooto csökkeve 0-hoz tart!

4. Függvéyek globális tulajdoságai 5 4. Függvéyek globális tulajdoságai 4.. Grafiko, periódus, paritás, mootoitás Határozzuk meg a következő függvéyek lehető legbővebb értelmezési tartomáyát! Ábrázoljuk a következő függvéyeket! Határozzuk meg a mootoitási szakaszokat! Melyik függvéy páros? Melyik függvéy pártala? 4.. x 4.. x 4 4.3. x 3 4.4. x 5 4.5. x 4.6. 3 x 4.7. [x] 4.8. [x] 4.9. [x ] 4.0. 4.3. [ ] x x 4.7. { } x [ ] x 4.. [x] 4.. x [x] 4.4. {x} 4.5. {x} 4.6. {x } 4.8. {x} 4.9. x {x} 4.0. x { } x Lehet-e periodikus, lehet-e mooto, lehet-e páros az a függvéy, amelyikek az értelmezési tartomáya 4.. ( 3, 3). 4.. [ 3, 3]. 4.3. ( 4, 5). 4.4. (, ). Írjuk fel kvatorok segítségével (a tagadás jelét és áthúzást em haszálhatuk), hogy az f : R R függvéy 4.5. periodikus. 4.6. em periodikus. 4.7. páros. 4.8. em páratla. 4.9. se em páros, se em páratla. 4.30. mooto övő.

4. Függvéyek globális tulajdoságai 5 4.3. em mooto csökkeő. 4.3. em mooto. 4.33. Melyik állításból következik, hogy az f : R R függvéy mooto? (a) ( a) ( b > a) f(a) < f(b) (c) ( a) ( b > a) f(a) f(b) (b) ( a) ( b > a) f(a) f(b) (d) ( a) ( b > a) f(a) f(b) 4.34. Melyik állítás következik abból, hogy az f : R R függvéy mooto? (a) ( a) ( b > a) f(a) < f(b) (c) ( a) ( b > a) f(a) f(b) (b) ( a) ( b > a) f(a) f(b) (d) ( a) ( b > a) f(a) f(b) 4.35. Adjuk példát olya függvéyre, amelyik semmilye itervallumo em mooto! 4.36. Adjuk példát olya periodikus függvéyre, amelyikek ics legkisebb pozitív periódusa! 4.37. Adjuk példát olya periodikus függvéyre, amelyikek mide em ulla valós szám periódusa! 4.38. Adjuk példát olya periodikus függvéyre, amelyikek periódusa mide em ulla racioális szám, de egyetle irracioális szám sem periódusa! 4.39. Va-e olya periodikus függvéy, amelyik mooto? 4.40. Va-e olya periodikus függvéy, amelyikek va legagyobb periódusa? 4.4. Igaz-e, hogy két mooto függvéy összege mooto? 4.4. Igaz-e, hogy két periodikus függvéy összege periodikus? Melyik állításból következik a másik az f : R R függvéy eseté? 4.43. P: f periodikus Q: f periodikus 4.44. P: f mooto Q: f mooto

4. Függvéyek globális tulajdoságai 53 4.45. P: f páros Q: f páros 4.46. P: f páratla Q: f páratla 4.. Korlátosság, szélsőérték Melyik függvéy korlátos alulról? Melyik függvéy korlátos felülről? Melyik függvéy korlátos? Melyik függvéyek va miimuma? Melyik függvéyek va maximuma? 4.47. x 4.48. x 3 4.49. x 4.50. 3 x 4.5. [ x] 4.5. [x] 4.53. [ x ] 4.54. [ ] x 4.55. [x] 4.56. x [ ] x 4.57. x [x] 4.58. {x} 4.59. {x} 4.60. {x } 4.6. x {x} 4.6. [x] {x} 4.63. { } x 4.64. {x} 4.65. x {x} 4.66. x { } x Írjuk fel kvatorok segítségével (a tagadás jelét és áthúzást em haszálhatuk), hogy az f : R R függvéyek 4.67. a maximumhelye. 4.68. a miimum helye em 3. 4.69. a maximuma. 4.70. a miimuma em 3. 4.7. va miimuma. 4.7. ics maximuma. 4.73. a 3 alsó korlátja. 4.74. a 3 em felső korlátja. 4.75. va alsó és felső korlátja is. 4.76. ics sem alsó, sem felső korlátja. Melyik állításból következik, hogy az f : R R függvéy korlátos?