Barczy Mátyás és Pap Gyula

Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák köyvtár

Barczy Mátyás és Pap Gyula

mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá

Barczy Mátyás és Pap Gyula Debrecei Egyetem mobidiák köyvtár Debrecei Egyetem

Szerzők Barczy Mátyás egyetemi taársegéd Debrecei Egyetem Iformatikai Kar 4 Debrece, Pf. barczy@if.uideb.hu Pap Gyula egyetemi taár Debrecei Egyetem Iformatikai Kar 4 Debrece, Pf. papgy@if.uideb.hu Lektor Iglói Edre számítástechikai mukatárs Debrecei Egyetem Iformatikai Kar 4 Debrece, Pf. Copyright c Barczy Mátyás és Pap Gyula, 5 Copyright c elektroikus közlés mobidiák köyvtár, 5 mobidiák köyvtár Debrecei Egyetem Iformatikai Kar 4 Debrece, Pf. http://mobidiak.if.uideb.hu A mű egyéi taulmáyozás céljára szabado letölthető. Mide egyéb felhaszálás csak a szerzők előzetes írásbeli egedélyével törtéhet. A mű,,a mobidiák öszervező mobil portál IKTA, OMFB-373/3 projekt keretébe készült.

Bevezetés Jele muka a Debrecei Egyetem alkalmazott matematikus és matematikus szakos hallgatói részére tartott Valószíűségszámítás. Gyakorlat ayagát öleli fel. A gyakorlathoz kapcsolódó előadás ayagáak gericét Dr. Pap Gyula: Valószíűségszámítás. című jegyzete [8] adta, így főkét az ott szereplő elméleti részekhez kapcsolódó feladatokat tárgyaluk. A Feltételes várható érték és martigálok című fejezetbe pedig sok feladat és megoldása Móri Tamás: Diszkrét paraméterű martigálok című jegyzetéből [7], illetve Prokaj Vilmostól származik. Összese darab ábrát készítettük, melyek a jegyzet legvégé találhatók. Ezúto is szereték köszöetet modai Iglói Edréek figyelmes, lelkiismeretes lektori mukájáért. Észrevételeit, kiegészítéseit figyelembe véve a jegyzetet sok helye potosítottuk. 6

Tartalomjegyzék. Valószíűségszámítás. feladatok 7.. Valószíűségi változók eloszlása, várható értéke................ 7.. Kovolúció..................................... 35.3. Markov- és Csebisev-egyelőtleség, Borel-Catelli lemma........... 4. Valószíűségszámítás. feladatok 46.. Valószíűségi változók eloszlása, várható értéke................ 46.. Kovergeciafajták................................ 59.3. Borel Catelli-lemma és a agy számok erős törvéye............. 87.4. Borel Catelli-lemma és határeloszlás-tételek...................5. Karakterisztikus függvéyek, folytoossági tétel, gyege kovergecia.... 35.6. Cetrális határeloszlás-tétel........................... 65.7. Feltételes várható érték és martigálok..................... 75.8. Többdimeziós ormális eloszlás......................... 4 3. Valószíűségszámítás. felmérő feladatsorok 3... év példái.................................. 3.. 3. év példái.................................. 4 3.3. 4. év példái.................................. 5 3.4. 5. év példái.................................. 9 3.5. 6. év példái.................................. 36 3.6. 9. év példái.................................. 44 Hivatkozások 45 Ábrák jegyzéke 46. Valószíűségszámítás. feladatok.. Valószíűségi változók eloszlása, várható értéke... Feladat. Legyeek ξ, N, függetle valószíűségi változók úgy, hogy P ξ = = P ξ = =, N. 7

Legye továbbá τ a ξ, N valószíűségi változóktól függetle valószíűségi változó, hogy P τ Z + =. Mutassuk meg, hogy P ξ τ = = P ξ τ = =. Megoldás. A függetleség alapjá kapjuk, hogy P ξ τ = = P ξ τ =, τ = = P ξ =, τ = = P ξ = P τ = = = P τ = = P τ Z + =. = = = Hasolóa látható be, hogy P ξ τ = = /.... Feladat. Réyi [],.5.5. Egy urába N golyó va, fehérek és pirosak N N. A fehérek száma valószíűségi változó, melyek csak a várható értékét ismerjük. Legye ez M. Egy golyót húzuk az urából. Mutassuk meg, hogy aak a valószíűsége, hogy a kihúzott golyó fehér M. Miért teljesül, hogy M? N N Megoldás. Jelölje X az urába levő fehér golyók számát. Legye továbbá A az az eseméy, hogy az urából fehér golyót húzuk. A teljes valószíűség tétele alapjá P A = N P A X = kp X = k, k= ugyais {X = k}, k =,..., N egy teljes eseméyredszer. Így P A = N k= k N P X = k = N N kp X = k = N EX = M N. k= Itt M N, ugyais M = N kp X = k N k= N P X = k = N = N. k=..3. Feladat. Mutassuk példát olya Ω, A, P valószíűségi mezőre, és ebbe olya A, B és C eseméyekre, ahol a P ABC = P AP BP C feltétel teljesülése em elegedő az A, B és C eseméyek függetleségéhez. Megoldás. Major Péter megoldása Legye Ω := {,, 3, 4, 5}, A := Ω, és P {} = P {} = P {3} = P {4} := 3 4, P {5} := 3 3 3. 8

Legyeek továbbá A := {,, 3}, B := {,, 4} és C := {, 3, 4}. Ekkor P A = P B = P C = 3, és ABC = {}, AB = {, } alapjá P ABC = 3 3, P AB = 3 3. Ezért P ABC = P AP BP C, de P AB P AP B. Megjegyezzük, hogy va a feladatak egyszerűbb triviális megoldása is. Tekitsük egy olya valószíűségi mezőt, melybe va két em függetle eseméy, jelöljük ezeket A-val, illetve B-vel. Legye továbbá C :=. Ekkor P ABC = P AP BP C =, de P AB P AP B...4. Feladat. Egy férőhelyes mozi egy előadására mide jegy elkelt, ahol. Az elsőek érkező vedég az hely közül véletleszerűe választ egyet és leül oda. A másodikak érkező vedég megézi, hogy szabad-e a helye, ha ige leül oda, egyébkét pedig a meglevő helyek közül egyelő valószíűséggel választ egyet. Az összes többi vedég is hasolóa jár el. Mi a valószíűsége, hogy az utolsóak érkező vedég szabado találja a helyét? Megoldás. Feltehető, hogy a székek az,,..., számokkal vaak megszámozva, és az is, hogy az i-edikek érkező vedégek i =,..., az i-edik székre szól a jegye. Vezessük be az alábbi eseméyeket: { } A := az utolsóak érkező vedég a saját helyére -edik szék tud üli, { } B k := az elsőek érkező vedég a k-adik székre ül, k =,...,. A P A valószíűséget kell meghatározuk. A teljes valószíűség tétele szerit, felhaszálva, hogy P B k =, k =,...,, kapjuk, hogy P A = P A B k P B k = k= k= P A B k k= = P A B + P A B k + P A B = + P A B k +. k= Ha k, úgy a B k eseméy bekövetkezése eseté a -odikak, 3-adikak,..., k -edikek érkező vedég a saját helyére tud leüli. Abba az esetbe, ha a k-adikak érkező vedég az. székre ül le, úgy a k + -edikek,..., -edikek érkező vedég le tud 9

üli a saját helyére. Abba az esetbe, ha a k-adikak érkező vedég az l-edik székre ül le, ahol l {k +,..., }, úgy a k + -edikek,..., l -edikek érkező vedég a saját székére tud leüli. A fetiek alapjá, bevezetve az a,k := P A B k, k =,...,,, jelöléseket, kapjuk, hogy a,k = P A {a k-adikak érkező vedég az. székre ül le} B k + P A {a k-adikak érkező vedég az l-edik székre ül le} B k l=k+ := P A C,k B k + l=k+ = P A C,k B k P C,k B k + = k + l=k+ P A C,k l B k l=k+ P A C,k l B k P C,k l B k a k,l k+, k, k ahol az utolsó egyelőség egyrészt abból következik, hogy ha az elsőek érkező ember a k- adik székre ült le, úgy a k-adikak érkező ember k szék közül választhat, hisze a., 3.,..., k. székek már foglaltak; másrészt pedig abból, hogy a szabado maradó székek. szék, k+. szék,...,. szék közül az l. szék l {k +,..., } a szabado maradó székeket számolva csak az l k +. szék. Így a,k = + a k+, +... + a k+, k+, k =,...,. k + Felhaszálva, hogy a, =,, és azt, hogy.. P A = a,k = a,k,, k= k= kapjuk, hogy Ezért.. alapjá a,k = P A k+, k =,...,. P A = + P A k+,. Teljes idukcióval megmutatjuk, hogy P A =,. Ha =, úgy k= P A = P az elsőek érkező vedég a helyére. szék ül =.

Tegyük fel, hogy P A = = P A =. Ekkor P A = + k= = + =. Tehát P A =,...5. Feladat. 6 th Iteratioal Mathematics Competitio for Uiversity Studets, 999 Egy szabályos kockát feldobuk alkalommal. Mi a valószíűsége, hogy a dobott számok összege osztható 5-tel? Első megoldás. Mide =,,,... és r =,,, 3, 4 eseté legye { } A,r := dobás utá a dobott számok összege 5-tel osztva r maradékot ad. Legye továbbá p r := P A,r, =,,,... és r =,,, 3, 4. Ekkor p =, p = p = p 3 = p 4 =. Továbbá, > eseté, a teljes valószíűség tétele alapjá 4 4 p = P A, = P A, A,i P A,i = P A, A,i p i Hasolóa kaphatjuk, hogy i= = P az -edik dobás 5 p + P az -edik dobás 4 p + P az -edik dobás 3 p + P az -edik dobás p 3 + P az -edik dobás vagy 6 p 4 = 6 p + 6 p + 6 p + 6 p3 + 6 p4. p p p 3 p 4 Mátrixos formába összefoglalva: p p p p 3 p 4 i= = 6 p + 6 p + 6 p + 6 p3 + 6 p4, = 6 p + 6 p + 6 p + 6 p3 + 6 p4, = 6 p + 6 p + 6 p + 6 p3 + 6 p4, = 6 p + 6 p + 6 p + 6 p3 + 6 p4. = 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 p p p p 3 p 4,,

és Így ahol p p p p 3 p 4 p p p p 3 p 4 =. = A,, A :=. 6 Az A mátrix diagoalizálhatóságát vizsgálva lehete szisztematikusa eljári, ez azoba a jele esetbe boyolult, mert leszek komplex sajátértékek is. Ezért az alábbiakba em lieáris algebrai eszközöket haszálva fejezzük be a megoldást. Teljes idukcióval megmutatjuk, hogy p r = + 4 ha r mod 5, 5 5 6.. ha r mod 5, 5 5 6 Ha =, úgy teljesül.., hisze ha r =, p r = ha r =,, 3, 4. =,,,..., r =,,, 3, 4. Tegyük fel, hogy k =,,..., eseté teljesül... Ekkor, ha mod 5, úgy + mod 5, és p + p + p + p 3 + p 4 + = A + 4 5 5 6 5 5 6 5 5 6 5 5 6 5 5 6 = 6 6 + 4 3 5 5 6 5 6 5 6 6 + 8 4 5 5 6 5 6 6 + 4 3 5 5 6 5 6 5 6 6 + 4 3 5 5 6 5 6 5 6 6 + 4 3 5 5 6 5 6 5 6 = 5 5 6 + + 4 5 5 6 + 5 5 6 + 5 5 6 + 5 5 6 +.

Az,, 3, és 4 mod 5 esetek hasolóa vizsgálhatók meg. Látjuk, hogy eze megoldás sorá em csak aak a valószíűségét számoltuk ki, hogy 5-tel osztható lesz az eredméy. Második megoldás. Mide k =,,... eseté legye p k := P dobás sorá a dobott számok összege k. Jelölje ξ az dobás sorá dobott számok összegét. Ekkor ξ felírható ξ = ξ + + ξ alakba, ahol ξ i, i =,...,, az i-edik dobás sorá dobott számot jelöli. Továbbá, felhaszálva, hogy ξ,..., ξ függetleek, kapjuk, hogy ξ geerátorfüggvéye: f ξ x := Ex ξ = Ex ξ x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6..3 =, x, 6 illetve, a geerátorfüggvéy defiíciójába szereplő várható értéket máskét felírva..4 f ξ x = x k p k, x. Céluk a k= P dobás sorá a dobott számok összege osztható 5-tel = valószíűséget kiszámoli. Legye ε := cos π π + i si, 5 5 k= p 5k, azaz ε a második 5. egységgyök. Ekkor..4 alapjá f ξ + f ξ ε + f ξ ε + f ξ ε 3 + f ξ ε 4 = p k + ε k + ε k + ε 3k + ε 4k = 5 p 5k, hisze Így + ε k + ε k + ε 3k + ε 4k = { ε 5k ε k k= = ha k mod 5, 5 ha k mod 5. p 5k = 5 fξ + f ξ ε + f ξ ε + f ξ ε 3 + f ξ ε 4. k= Az alábbiakba kiszámoljuk az f ξ ε i, i =,,, 3, 4, meyiségeket. Mivel p k, k =,,..., diszkrét valószíűségeloszlás, kapjuk, hogy f ξ = k= p k =. Továbbá, felhaszálva..3-t, kapjuk, hogy ε f ξ ε j = p k ε jk j + ε j + ε 3j + ε 4j + ε 5j + ε 6j = = ε j ε6j 6 6 ε j k= = ε j 6 εj = εj, j =,, 3, 4, ε j 6 3 k=

ahol az utolsó előtti egyelőség abból következik, hogy ε 5 =, N. Ezért p 5k = + ε 5 6 + ε 6 + ε3 6 + ε4 6 = + ε ε4 = ha mod 5, 5 5 6 ε 5 5 6 + 4 = + 4 ha mod 5. 5 5 6 5 5 6 k=..6. Feladat. Grimmett Stirzaker [4], 3..4. yomá Tekitsük az alábbi Ω, A, P valószíűségi mezőt: Legye Ω := {ω, ω, ω 3 }, A := Ω, P {ω } = P {ω } = P {ω 3 } := 3. X : Ω R, Xω :=, Xω :=, Xω 3 := 3, Y : Ω R, Y ω :=, Y ω := 3, Y ω 3 :=. i Írjuk fel A elemeit! ii Igazoljuk, hogy X és Y iii Határozzuk meg X és Y valószíűségi változók! eloszlását! iv Írjuk fel X és Y eloszlásfüggvéyét! v Létezik-e X-ek, illetve Y -ak sűrűségfüggvéye? Megoldás. i: Az A σ-algebráak összese 3 = 8 eleme va:, {ω, ω, ω 3 }, {ω }, {ω }, {ω 3 }, {ω, ω }, {ω, ω 3 }, {ω, ω 3 }. ii: Azt kell megmutati, hogy B BR eseté X B A, illetve Y B A. Felhaszálva, hogy X B = {ω Ω : Xω B}, és azt, hogy A-ba Ω-ak mide részhalmaza bee va, kapjuk a dolgot. iii: Az X valószíűségi változó P X eloszlása valószíűségi mérték R, BR-e: P X B := P X B, B BR. Ekkor P X B = P X B = P {ω Ω : Xω B} = = {i {,,3}: i B} 3 = {i {,, 3} : i B} 3 {i {,,3}: Xω i B} 3 = 3 δ + δ + δ 3 B, 4

ahol tetszőleges x R eseté δ x az x potba kocetrálódó Dirac-mértéket jelöli: δ x B := { ha x B, ha x B, B BR. Az Y valószíűségi változó P Y eloszlása valószíűségi mérték R, BR-e: P Y B := P Y B, B BR. Ekkor P Y B = P Y B = P {ω Ω : Y ω B} = = {i {,, 3} : i B} 3 Vegyük észre, hogy Y ω i i, i =,, 3. Látjuk, hogy X és Y iv: Az X x R. = 3 δ + δ + δ 3 B. {i {,,3}: Y ω i B} külöböző valószíűségi változók ugyaazo eloszlással. valószíűségi változó eloszlásfüggvéye F X : R R, F X x := P X < x, Ha x : F X x = P =, Ha < x : F X x = P {ω } = 3, Ha < x 3 : F X x = P {ω, ω } = 3, Ha x > 3 : F X x = P {ω, ω, ω 3 } = 3 3 =. Az Y valószíűségi változó eloszlásfüggvéye F Y : R R, F Y x := P Y < x, x R. Ha x : F Y x = P =, Ha < x : F Y x = P {ω 3 } = 3, Ha < x 3 : F Y x = P {ω 3, ω } = 3, Ha x > 3 : F Y x = P {ω, ω, ω 3 } = 3 3 =. Vegyük észre, hogy X és Y külöböző valószíűségi változók ugyaazo eloszlásfüggvéyyel. Tudjuk, hogy, ha ξ és η valószíűségi változók, úgy P ξ = P η akkor és csak akkor, ha F ξ = F η, azaz az eloszlás és az eloszlásfüggvéy kölcsööse egyértelműe meghatározza egymást. v: Nem létezek a sűrűségfüggvéyek, mert X és Y 3 diszkrét valószíűségi változók...7. Feladat. Réyi [],.6.9. Legyeek X és Y függetle, stadard ormális eloszlású valószíűségi változók. Határozzuk meg X sgy eloszlásfüggvéyét és sűrűségfüggvéyét! 5

Megoldás. Az X sgy valószíűségi változó eloszlásfüggvéye: F X sgy x = P X sgy < x = P X sgy < x, Y > + P X sgy < x, Y, x R. Felhaszálva, hogy X és Y függetleek, kapjuk, hogy P X sgy < x, Y > = P X < x, Y > = P X < xp Y > = P X < x, x R, és P X sgy < x,y = P X sgy < x, Y < + P X sgy < x, Y = = P X < x, Y < + P < x, Y = = P X < xp Y < = P X < x, x R. Így tetszőleges x R eseté F X sgy x = Ezért, ha x, úgy F X sgy x = illetve, x < eseté F X sgy x = P X < x + P X > x = P X < x + P X x. P x < X < x + = + Φx Φ x = Φx, + P x X x = Φ x + Φx = Φx. Tehát F X sgy x = Φx, x R, azaz X sgy stadard ormális eloszlású, és f X sgy x = π e x, x R...8. Feladat. Az F : R R, F x := + e x µ σ, x R, eloszlásfüggvéyű eloszlást µ, σ R, + paraméterű logisztikus eloszlásak evezzük és Logµ, σ módo jelöljük. Bizoyítsuk be, hogy a ha ξ Log, és µ R, σ >, úgy σξ + µ Logµ, σ. Tehát µ hely-, σ pedig skálaparaméter. 6

b ha ξ egyeletes eloszlású, a-, akkor log logisztikus eloszlásak. ξ a ξ c ha η Expλ, η Expλ függetleek, úgy log d Számítsuk ki a Logµ, σ-eloszlás várható értékét! Log,. Ezért hívják η η Loglog λ log λ,. Megoldás. a: A σξ + µ valószíűségi változó eloszlásfüggvéye F σξ+µ x = P σξ + µ < x = P ξ < x µ x µ = F ξ =, x R, σ σ + e x µ σ ahol felhaszáltuk, hogy F ξ x =, x R. + e x ξ b: A log valószíűségi változó eloszlásfüggvéye a ξ ξ ξ F log a ξ x = P log < x = P ξ a ξ a ξ < ex = P ξ < a ξe x = P ξ + e x < ae x = P ξ < aex + e x = ae x +e x a = ex + e =, x R. x + e x c: Azt fogjuk kihaszáli, hogy ξ Expλ akkor és csak akkor, ha bármilye c > eseté cξ Exp λ. Legye η c := λ η és η := λ η. Ekkor η Exp, η Exp, illetve η és η függetleek. Továbbá η η λ log = log η λ η η η = log = log + log λ log λ. η λ λ η η Az a rész alapjá elég beláti, hogy log η Log,. A b rész alapjá, ha belátjuk, hogy η, ahol ξ egyeletes eloszlású, -e, ξ η úgy kapjuk, hogy log η Log,. Felhaszálva, hogy η és η függetleek, és azt, hogy P η > =, kapjuk, hogy η F η x = P < x = P η < x η = {y <xy η η } df η, η y, y R = {y <xy }f η y f η y dy dy, x R. R Ha x, úgy F η x =, ha pedig x >, úgy η F η x = f η y f η y dy dy = e y e y dy dy η = y /x e y [ e y ] + y /x dy = 7 η ξ e y e y /x dy = y /x ] [ e y +/x + + x = +. x

Tehát F η η x = + x ha x >, ha x. Továbbá, ha x, akkor F ξ x =, ha pedig x >, úgy ξ ξ F ξ x = P ξ ξ < x = P ξ < ξx = P ξ + x < x = P = x + x = +. x Ezért F η x = F ξ x, x R. η ξ ξ < x + x d: Ha η Logµ, σ, úgy η µ σ Log,, az a rész alapjá. Illetve, ha ξ Log,, úgy σξ + µ Logµ, σ. Ezért Eη = Eσξ + µ = σeξ + µ. Így látjuk, hogy elég ξ várható értékét kiszámoli. Felhaszálva ξ eloszlásfüggvéyéek alakját kapjuk, hogy ξ abszolút folytoos és sűrűségfüggvéye e x f ξ x = = + e x + e x = e x/ + e x/, x R. Először leelleőrizzük, hogy Valóba, Ezért x f ξ x dx = = Eξ = x f ξ x dx < +. x e x/ + e x/ dx = x dx e x + e x + xf ξ x dx = x e x/ + e x/ dx x e x dx = x dx =, e x/ + e x/ xe x dx = < +. hisze az itegradus páratla függvéy. Így Eη = σ + µ = µ...9. Feladat. Tetszőleges p > és σ > eseté az f : R R, p x p σ σ e σ x p ha x >, fx := ha x, sűrűségfüggvéyű eloszlást p és σ paraméterű Weibull eloszlásak hívjuk és W p, σ módo jelöljük. Mutassuk meg, hogy 8

a W, Expλ mide λ > -ra. λ b ha ξ W, és p >, σ >, úgy σξ p W p, σ. η c ha η W p, σ és η W p, σ függetleek, úgy log η potosabba η log Log log σ log σ,. p η logisztikus eloszlású, Megoldás. a: Valóba, b: Mide x > eseté x /λ /λ e /λ x = λe λx ha x >, f W,/λ x = ha x. F σξ /px = P σξ p < x = P ξ p Ezért x > eseté, felhaszálva az a részt is, f σξ /px = f ξ x σ x x p x p < = P ξ < = F ξ. σ σ σ p σ p pxp = e σ x p σ p pxp = p x p e σ x p. σ σ Ha pedig x, úgy f σξ /px =. Így kapjuk a b rész állítását. c: Legyeek η := η σ p, η := Ekkor η és η függetleek, és a b rész alapjá η W, Exp, illetve η σ p. η W, Exp. Továbbá, η = σ η p és η = σ η p, valamit log η η = log σ η p σ η p = p log η η Így az..8. Feladat a része alapjá elég azt beláti, hogy η log Log,. η + log σ log σ. Mivel η, η Exp, függetleek, az..8. Feladat c része alapjá η log Loglog log, = Log,. η 9

... Feladat. Legye ξ, η együttes eloszlásfüggvéye F : R R, + e x y e x e y ha x >, y >, F x, y := egyébkét. Határozzuk meg a peremeloszlásokat, és a P ξ <, η < valószíűséget! Megoldás. Ekkor F x, y = e x e y, ha x >, y >, és e x ha x >, F ξ x = lim F x, y = y egyébkét. Azaz ξ paraméterű expoeciális eloszlású valószíűségi változó. Hasolóa, η is paraméterű expoeciális eloszlású valószíűségi változó. A fetiek alapjá yilvá az is következik, hogy F x, y = F ξ xf η y, x, y R, azaz ξ és η függetleek. Végül P ξ <, η < = F ξ,η, = e.... Feladat. Réyi [],... Eloszlásfüggvéy-e az alábbi két függvéy? i F : R R, F x, y := e e x+y, x, y R, ii F : R R, F x, y := e e x e y, x, y R. Megoldás. i: Nem, mert ha F eloszlásfüggvéy lee, akkor a,,, b, b, és b, b csúcspotú téglalapba,,esés valószíűségéek b eseté vett határértéke emegatív lee. Azoba lim b F b, b F b, F, b + F, = lim e e b e e b e e b + e b = e <. ii: Ige. Valóba, és F x, y = e e x e y = e e x e e y =: F xf y, x, y R, a F b midkét változójáak balról folytoos függvéye. lim F x, y = lim F x lim F y = =. x, y x y

c d lim F x, y = F y lim F x =, x x lim F x, y =. y F b, b F a, b F a, b + F a, a = F b F b F a F b F a F b + F a F a = F b F b F a + F a F a F b = F b F a F b F a.... Feladat. Legye ξ egyeletes eloszlású valószíűségi változó a π/, π/ itervallumo. Létezik-e η := ta ξ várható értéke? Megoldás. Ekkor ξ eloszlásfüggvéye ha x π/, x+π/ F ξ x = ha π/ < x < π/, π ha x π/. Első megoldás. Meghatározzuk η eloszlását: F η x = P η < x = P ta ξ < x = P arctata ξ < arcta x = P ξ < arcta x = arcta x + π/, x R, π hisze ξ π/, π/ és arctax π/, π/, x R. Így f η x = π + x, x R, azaz η Cauchy eloszlású. Ismert, hogy a Cauchy eloszlásak em létezik a várható értéke, így η-ak em létezik a várható értéke. Valóba, x dx = +. π + x Ugyais, [ ] t x dx = lim + x t log + x = +, és hasolóa x dx =. +x Második megoldás. Vizsgáljuk az π/ π/ ta x π dx

itegrál végességét. A ta függvéy párosságát felhaszálva kapjuk, hogy π/ π/ ta x dx = = π/ π/ ta x dx = π/ si x cos x dx lcos x dx = [ lcos x] π/ = lim lcos x = +. x π/ Így em létezik η-ak várható értéke...3. Feladat. Réyi [],.6.5. Legye ξ stadard ormális eloszlású valószíűségi változó. Létezik-e várható értéke? Feltéve, hogy ige, véges-e ez a várható érték? ξ Megoldás. Mivel ξ abszolút folytoos eloszlású, P ξ = =, és így ξ értelmezett. -valószíűséggel Defiíció szerit akkor modjuk, hogy ξ-ek létezik a várható értéke, ha az Eξ + és Eξ várható értékek közül legalább az egyik véges és ekkor Eξ := Eξ + Eξ. Itt ξ + := maxξ,, ξ := miξ,, és ξ = ξ + ξ, ξ = ξ + + ξ. Továbbá, defiíció szerit akkor modjuk, hogy ξ-ek véges a várható értéke itegrálható, ha az Eξ + és Eξ várható értékek végesek. Mivel, kapjuk, hogy ξ ξ =, és így E = = -ek létezik a várható értéke. ξ ξ El kell döteük, hogy E véges-e vagy em. Ehhez először meghatározzuk ξ ξ eloszlás- és sűrűségfüggvéyét. Ha x, úgy F x = P ξ ξ < x =. Ha x >, úgy F x = P ξ ξ < x = P x < ξ = P ξ = P x = P ξ < = Φ x Φ x x = Φ x = Φ x. x ξ x x Így ξ sűrűségfüggvéye f x = f ξ x x 3/ = π e x ha x >, x 3/ ξ ha x.

Ahhoz, hogy E ξ véges legye az alábbi itegrál végességét kell vizsgáli x π x e 3/ x dx = x e x dx. π Felhaszálva, hogy az itegradus emegatív és azt, hogy x eseté e x e, kapjuk, hogy x e x dx π x e x dx π eπ = eπ lim x x = +. dx = x [ x eπ / Így E = +. ξ..4. Feladat. Számoljuk ki a p-edredű, λ paraméterű Gamma-eloszlás -edik mometumát! Megoldás. Legye N. Ekkor az u = λx helyettesítést végrehajtva kapjuk, hogy ] Eξ = = x fx dx = x λp x p e λx dx Γp u λ λ p u/λ p e u Γp λ du = λ Γp u p+ e u du = Γp + λ Γp...5. Feladat. Legye ξ Betaα, β, ahol α >, β >. Mutassuk meg, hogy Megoldás. Ekkor Továbbá, Eξ = = Eξ = α α + β, D ξ = xf Betaα,β x dx = Γα + Γβ Γα + + β αβ α + β α + β +. x xα x β dx = Bα, β Γα + β ΓαΓβ = αγαγα + β α + βγα + βγα = α Bα +, β Bα, β α + β. Eξ = x xα x β Bα +, β Γα + Γβ Γα + β dx = = Bα, β Bα, β Γα + + β ΓαΓβ α + αγαγβ Γα + β = α + β + α + βγα + β ΓαΓβ = αα + α + βα + β +, 3

és így D ξ = Eξ Eξ = αα + α + βα + β + α α + β = αα + α + β α α + β + α + β α + β + = αβ α + β α + β +...6. Feladat. Mutassuk meg, hogy ha X Γp, λ és Y Γq, λ függetleek, akkor X X + Y Betap, q. Megoldás. X/X +Y sűrűségfüggvéyét határozzuk meg. Oly módo tesszük ezt, hogy X és Y együttes sűrűségfüggvéyét úgy traszformáljuk, hogy az egyik margiális X/X +Y legye, és meghatározzuk eze margiális sűrűségfüggvéyét. Felhaszáljuk a következő tételt. Tétel: Legye ξ : Ω R abszolút folytoos valószíűségi változó, f ξ sűrűségfüggvéyel. Legye D R yílt halmaz, melyre P ξ D =. Legye továbbá g : D R folytoosa differeciálható függvéy, mely kölcsööse egyértelmű D-, és Jacobi-determiása em ulla. Ekkor gd R yílt és a h : gd D iverzfüggvéy folytoosa differeciálható, emulla Jacobi-determiással. Továbbá az η := gξ valószíűségi változó is abszolút folytoos és sűrűségfüggvéye: { fξ hy J h y ha y gd, f η y = ha y / gd, ahol J h y jelöli h Jacobi determiását az y helye. Ekkor X és Y együttes sűrűségfüggvéye, felhaszálva a függetleségüket f X,Y x, y = f X xf Y y = { λ p x p e λx λ q y q e λy ha x >, y >, Γp Γq egyébkét. A feti tételt alkalmazzuk ξ := X, Y, D := {x, y R : x >, y > } választásokkal. Ekkor D yílt és P ξ D = P X >, Y > =. A következő traszformációt hajtsuk végre X Y formálisa, legye g : D R, gx, y := 4 X X+Y, Y x x+y, x, y D. y

Ekkor g folytoosa differeciálható D-, mert x g x, y = x + y x y = x + y x + y, x g x, y =, y g x, y = x x + y, y g x, y = létezek és folytoosak D-. Továbbá g Jacobi determiása y x x+y J g x, y = x+y = y, x, y D. x + y Így alkalmazhatjuk a fet idézett tételt. Meghatározzuk most g iverzét. Legye mide x, y D eseté u := x/x + y és v := y. Ekkor x = uv/ u, és g iverze h : gd R, uv u, v hu, v := u, v ahol gd = {u, v R : < u <, v > }. Továbbá h Jacobi determiása v u u J h u, v = u = v, ha u, v gd. u Mivel gx, Y = X/X + Y, Y, a fet idézett tétel alapjá kapjuk, hogy f X/X+Y,Y u, v =, ha u, v / gd. Abba az esetbe, ha u, v gd, azaz u, és v >, akkor uv uv f X/X+Y,Y u, v = f X,Y u, v v u = λp u ΓpΓq És ezért mide u R eseté f X/X+Y u = f X/X+Y,Y u, v dv = p e λ uv u λ q v q e λv f X/X+Y,Y u, v dv. Ha u /,, akkor f X/X+Y u =. Abba az esetbe, ha u,, akkor f X/X+Y u = λ p λ q u p ΓpΓq u p+ Végrehajtva az x := v/ u helyettesítést, kapjuk, hogy f X/X+Y u = λ p+q u p ΓpΓq u p+ = λp+q u p u q ΓpΓq = up u q Γp + q ΓpΓq = up u q ΓpΓq 5 v p+q e λ v u dv. x p+q u p+q e λx u dx x p+q e λx dx λ p+q x p+q e λx Γp + q Γp + q = up u q, Bp, q dx v u.

hisze Bp, q = ΓpΓq/Γp, q. Tehát u p u q ha u,, Bp,q f X/X+Y u = ha u /,, ez pedig em más, mit a Betap, q eloszlás sűrűségfüggvéye...7. Feladat. Legyeek X,..., X függetle, λ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változók. Adjuk meg X,..., X -ek egy olya kifejezését, melyek várható értéke λ. Más szavakkal, adjuk torzítatla becslést λ -re. Megoldás. Leelleőrizzük, hogy X i X i i= egy jó választás. Valóba, E [ ] X i X i = i= EXi λ = λ + λ λ = λ. i=..8. Feladat. Legyeek X, azoos eloszlású valószíűségi változók és tegyük fel, hogy közülük bármelyik kettő külöböző korrelációs együtthatója ρ. Mutassuk meg, hogy ρ. Megoldás. Feltehetjük, hogy EX =, D X =,, mert áttérhetük az Y := X EX /DX, sorozatra. Ugyais corry i, Y j = covy i, Y j DY i DY j = DX covx i, X j = corrx i, X j. DX DX i DX j Ekkor ρ = corrx i, X j = EX i X j, i j. Mivel mide -re D i= X i és D i= X i = D X + covx, X = + ρ, kapjuk, hogy + ρ mide N eseté, azaz ρ /, N, és így ρ lim =, azaz ρ. 6

..9. Példa. Az általába em igaz, hogy ha X,..., X azoos eloszlású valószíűségi változók és közülük bármely kettő külöböző korrelációs együtthatója ρ, akkor ρ. Ugyais, legyeek Y,..., Y függetle, azoos eloszlású em degeerált valószíűségi változók és X := Y Y,..., X := Y Y, ahol Y = i= Y i/. Ekkor X,..., X azoos eloszlásúak, hisze F Xi x = P X i < x = P Y i Y < x = P Y Y i + = P a i, Y < x, Y i Y i+ Y < x ahol Y := Y,..., Y, a i :=,,...,,,,...,, i =,...,. Mivel egy valószíűségi változó eloszlása és karakterisztikus függvéye kölcsööse egyértelműe meghatározza egymást, elég azt beláti, hogy a j, Y, j =,...,, karakterisztikus függvéyei ugyaazok. Ekkor Y,..., Y függetlesége és azoos eloszlásúsága miatt mide t R eseté φ aj,y t = Ee it a j,y = Ee it j= a jy j = Ee ita jy j = j= φ Yj ta j = j= φ Y ta j. Mivel mide a j -ek potosa egy koordiátája /, a többi /, a feti kifejezés em függ j-től. Ezért a j, Y, j =,...,, azoos eloszlásúak. Továbbá i j eseté, mivel Y,..., Y függetleek, kapjuk, hogy covx i, X j = covy i Y, Y j Y = covy i, Y j covy i, Y covy, Y j + covy, Y = + covy, Y = covy, Y. j= Mivel Y em degeerált, covy, Y >, és így bármely két külöböző X i és X j korrelációs együtthatója ugyaayi és egatív.... Feladat. Shao [], Exercise 9, 7. old. Legye F : R R egy eloszlásfüggvéy és a R. Mutassuk meg, hogy F x + a F x dx = a. R Megoldás. Ha a =, úgy triviálisa teljesül a bizoyítadó azoosság. 7

Tegyük fel, hogy a >. Az a < eset teljese hasolóa kezelhető. Legye ξ egy olya valószíűségi változó, amelyek F az eloszlásfüggvéye. Ekkor F x + a F x dx = P ξ < x + a P ξ < x dx R R =,x+a y df y,x y df y dx R R R =,x+a y,x y dx df y R R = [x,x+a y dx df y R R = y a,y] x dx df y = a df y = a. R R R... Feladat. Shao [], Exercise 6,. old. Legyeek F és F eloszlásfüggvéyek f és f sűrűségfüggvéyekkel. Tegyük fel, hogy létezik olya c R, hogy F c < F c. Legye F : R R, F x ha x c, F x := F x ha x > c. i Mutassuk meg, hogy F eloszlásfüggvéy! ii Jelölje P azt, az F eloszlásfüggvéyhez egyértelműe tartozó, valószíűségi mértéket R, BR-e, melyre P, x = F x, x R. Mutassuk meg, hogy P abszolút folytoos λ + δ c -re ézve, ahol λ a Lebesgue-mérték R, BR-e és δ c a c R potba kocetrálódó Dirac-mérték! Megoldás. i: Azt kell végiggodoli, hogy F balról folytoos, mooto övekvő, lim x F x = és lim x F x =. ii: Vegyük észre, hogy P em abszolút folytoos a λ Lebesgue-mértékre ézve, mert a P -hez tartozó F eloszlásfüggvéy em folytoos F em folytoos c-be. Legye A BR. Ekkor P A = E A = A x df x R = A x df x + A x df x + R,c R {c} = f x dλx + F c F cδ c A + A,c R c,+ A c,+ A x df x f x dλx. 8

Felhaszálva, hogy F c F cδ c A = F c F c dδ c x, A {c} és A,c dδ c x =, A c,+ dδ c x =, A {c} dλx =, kapjuk, hogy P A = + = A,c A A c,+ f x dλ + δ c x + F c F c dλ + δ c x A {c} f x dλ + δ c x f x,c x + F c F c {c} x + f x c,+ x dλ + δ c x. Ezért P abszolút folytoos λ + δ c -re ézve és a Rado Nikodym derivált dp dλ + δ c x = f x,c x + F c F c {c} x + f x c,+ x, x R.... Feladat. Legyeek ξ és η valószíűségi változók ugyaazo a valószíűségi mező és tegyük fel, hogy véges a második mometumuk. Az alábbi állítások közül melyik igaz és melyik hamis? A hamisakra adjuk ellepéldát! a Eξ + η = Eξ + Eη. b Ha ξ és η függetleek, akkor Eξ + η = Eξ + Eη. c Eξη = EξEη. d Ha ξ és η függetleek, akkor Eξη = EξEη. e Ha Eξη = EξEη, akkor ξ és η függetleek. f D ξ + η = D ξ + D η. g Ha ξ és η függetleek, akkor D ξ + η = D ξ + D η. h Ha D ξ + η = D ξ + D η, akkor ξ és η függetleek. Megoldás. a: Igaz. b: Igaz függetleség élkül is. 9

c: Nem igaz. Ellepélda: legye P ξ = = p és P ξ = = p, ahol < p <, és η := ξ. Ekkor ξη = ξ ξ =, így Eξη =, és Eξ = p + p = p, Eη = Eξ = p. Ezért EξEη = p p. Tehát Eξη EξEη. d: Igaz. e: Nem igaz. Ellepéldák a következő. Legye a ξ és η valószíűségi változók együttes eloszlása a következő kotigecia táblázattal megadva: Ekkor ξ \ η - -,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 P ξ = = 4 = P η =, P ξ = = P ξ = = 4 = P η =, = P η =, és P ξη = =. Ezért Eξη = és Eξ = 4 + + 4 =, Eη = 4 + + 4 =. Így EξEη = = Eξη. Azoba, ξ és η em függetleek, hisze például P ξ =, η = =, de P ξ = P η = = = 4. f: Nem igaz. Ellepéldák a következő: legye ξ egy olya valószíűségi változó, melyre D ξ és η := ξ. Ekkor D ξ + η = D ξ = 4D ξ, de D ξ + D η = D ξ. g: Igaz. h: Nem igaz. Ellepélda: az e-beli ellepélda most is megfelelő. Valóba, és D η = /. Továbbá, D ξ = Eξ Eξ = Eξ = 4 + + 4 =, D ξ + η = Eξ + η Eξ + η = Eξ + η = Eξ + Eξη + Eη = +. Ezért D ξ + η = D ξ + D η. Azoba ξ és η em függetleek. 3

..3. Feladat. Grimmett Stirzaker [4], 3.3.. Legye X egy valószíűségi változó. Igaz-e általába, hogy E = X EX? Va-e olya X valószíűségi változó, melyre teljesül az előző egyelőség? Megoldás. Általába em igaz, hogy E X =. Például, ha X eloszlása p- EX paraméterű Beroulli, ahol < p <, úgy EX = p + p = + p, E = X p + p = p. Megadható viszot olya X valószíűségi változó, melyre teljesül a megkívát egyelőség. Ha például, P X = a =, ahol a R, a, teljesül az egyelőség. Aduk egy másik példát is. Ha például X eloszlása olya, hogy úgy úgy EX = a, E/X = /a, és így P X = = 9, P X = / = 4 9, P X = = 4 9, EX = 9 + 4 9 + 4 9 =, E = X 9 + 4 9 + 4 9 =. Így teljesül az egyelőség...4. Feladat. Grimmett Stirzaker [4], 3..7. Legyeek X,, függetle, azoos eloszlású, egész értékű valószíűségi változók. Legye S :=, S := i= X i, N. Mide N {} eseté jelölje R az S, S,..., S sorozat által felvett külöböző egész értékek számát. Mutassuk meg, hogy és P R = R + = P S S S, N, lim ER = P S k, k. Megoldás. Vegyük észre, hogy R =. Legye a továbbiakba N. Ekkor P R = R + = P S S, S S,..., S S = P X, X + X,..., X + + X, X + + X. 3

Felhaszálva, hogy X, X,..., X eloszlása megegyezik X, X,..., X eloszlásával kapjuk, hogy P R = R + = P X, X + X,..., X + + X, X + + X Így mide eseté ER = R ω dp ω Ω = Ezért Így..5 = = = P S, S,..., S, S = P S S S S. {ω Ω : R ω=r ω+} {ω Ω : R ω=r ω+} Ω R ω dp ω + R ω dp ω + R ω + dp ω + {ω Ω : R ω=r ω+} {ω Ω : R ω=r ω} R ω dp ω {ω Ω : R ω=r ω} dp ω = ER + P R = R + = ER + P S S S S. R ω dp ω ER = ER + P S S S = ER + P S S + P S S = = ER + P S + P S S + + P S S = + P S S m,. m= ER = + P S S m, N. m= Itt P S S m, m N, mooto csökkeő sorozat, hisze {S S m } {S S m }, m. Felhaszálva, hogy a szóbaforgó sorozat alulról korlátos is pl. -val, kapjuk, hogy koverges. Karakterizáluk kell még a határértékét. Felhaszálva, hogy {S S m } = {S k, k }, m= a valószíűség folytoossága alapjá adódik, hogy lim P S S m = P {S S m } = P S k, k. m m= Felhaszálva, azt, hogy ha x, N, valós számok olya sorozata, hogy x a R, úgy x k a, 3 k=

kapjuk, hogy P S S m P S k, k. m= Így..5 alapjá kapjuk, hogy lim ER = P S k, k...5. Feladat. Grimmett Stirzaker [4], 3.4.. Tekitsük egy olya érmét, mellyel a fejdobás valószíűsége p, az írásdobásé pedig p, ahol p,. Feldobjuk ezt az érmét alkalommal. Szériáak evezzük dobásokak egy olya sorozatát, mely azoos kimeetelekből áll. Például, ha = 7 és a F F IF IIF dobássorozat adódott, úgy a szériák száma 5. Jelölje a továbbiakba R az dobásból a szériák számát. Határozzuk meg várható értékét és szóráségyzetét! R Megoldás. Mide j =,..., eseté legye I j aak az eseméyek az idikátorfüggvéye, hogy a j-edik és a j + -edik dobás kimeetele külöböző. Azaz ha a j-edik és a j + -edik dobás F I vagy IF, I j = ha a j-edik és a j + -edik dobás F F vagy II. Ekkor teljes idukcióval kapjuk, hogy Így R = + I j, N. j= ER = + EI j = + p p, N. j= Figyelembe véve R korábbi előállítását, számoljuk ki először ER -et: ER = E I j = E Ij + I j I k j= = EI j + j= j= j<k, j, k=,..., EI j I k. j<k, j, k=,..., Felhaszálva, hogy j k >, j, k =,...,, eseté I j és I k függetleek és így ez esetbe EI j I k = EI j EI k = EI, kapjuk, hogy ER = EI + EI I + EI I 3 + + EI I + EI = EI + EI I + 3 + 5 EI = p p + p p + p p + 3 + 5 p p. 33

Mivel p p + p p = p p, kapjuk, hogy D R = D R = ER ER = p p + p p + 3 + 5 4p p 4p p = 4 6p p 3 54p p = p p 3 3 5p p...6. Feladat. Grimmett Stirzaker [4], 5.6.5. Legye X egy valószíűségi változó. Mutassuk meg, hogy E X < + akkor és csak akkor, ha bármilye ε > eseté létezik olya δε >, hogy E X A < ε mide olya A eseméyre, melyre P A < δε. Megoldás. Tegyük fel először, hogy bármilye ε > eseté létezik olya δε >, hogy E X A < ε mide olya A eseméyre, melyre P A < δε. Legye a továbbiakba ε > rögzített. Felhaszálva, hogy lim sup x P X > x lim sup P X x = lim F X x =, x x kapjuk, hogy lim x P X > x =, és így létezik olya x >, hogy P X > x < δε. Ekkor E X { X >x} < ε. Továbbá, felhaszálva, hogy X = X { X x} + X { X >x} és E X { X x} x, egy előadáso tault tétel alapjá kapjuk, hogy E X létezik és E X = E X { X x} + E X { X >x} x + ε < +. Megfordítva, tegyük fel, hogy E X < +. Ekkor a domiált kovergecia tétel alapjá lim E X { X >y} =. y Legye ε > rögzített. Ekkor létezik olya y >, hogy E X { X >y} < ε. Legye B := { X > y}. Felhaszálva, hogy tetszőleges A eseméyre kapjuk, hogy A = A B c + A B A B c + B, E X A E X A B c + E X B E X A B c + ε. Mivel B c = { X y}, kapjuk, hogy E X A yp A B c + ε yp A + ε. Legye δε := ε y. Ekkor E X A < ε, ha P A < δε. 34

.. Kovolúció... Feladat. Mutassuk meg, hogy k db függetle, λ paraméterű expoeciális eloszlású valószíűségi változó összege k-adredű, λ paraméterű gamma eloszlású. Megoldás. Jelölje Γk, λ a k-adredű, λ paraméterű gamma eloszlást. Ekkor λ k x k e λx ha x >, k! f Γk,λ x = ha x. Teljes idukcióval mutatjuk meg az állítást. Jelölje a továbbiakba mide k N eseté f k k db függetle, λ paraméterű expoeciális eloszlású valószíűségi változó összegéek sűrűségfüggvéyét. Ha k =, akkor λe λx ha x >, f x = ha x, így k = eseté igaz az állítás. Tegyük most fel, hogy,..., k eseté igaz az összefüggés. Megmutatjuk, hogy igaz k + -re is. A kovolúciós képlet alapjá számolva, ha y >, akkor f k+ y = y = λk+ k! f k xf y x dx = y y x k e λy dx = λ k x k e λx k! λk+ k! e λy λe λy x dx [ ] x k y k = λk+ y k e λy k! k = λk+ y k e λy. k! Ha pedig y, úgy f k+ y =. Így k + -re is igaz az összefüggés.... Feladat. Mutassuk példát két korrelálatla, abszolút folytoos ξ és η valószíűségi változóra, melyek em függetleek. Megoldás. Legye ξ egyeletes eloszlású a [ /, /] itervallumo. Belátjuk, hogy ξ és η := ξ korrelálatlaok, de em függetleek. Ekkor Eξ = / + / =, D ξ = Eξ = Eη = Eξ =, Eξη = Eξ3 = / / / / x 3 dx =. =, Így azaz ξ és η korrelálatlaok. covξ, η = Eξη EξEη = =, Iformális idoklása aak, hogy ξ és η em függetleek az, hogy η determiisztikus függvéye ξ-ek, és η em kostas. 35

Az alábbiakba egy formális idoklását adjuk aak, hogy ξ és η em függetleek. Legye a, /4. Ekkor és ezért Ez alapjá {ω Ω : ηω < a } = {ω Ω : ξ ω < a } = {ω Ω : ξω < a}, P ξ < a, η < a = P ξ < a, ξ < a = P ξ < a = P η < a. P ξ < a, η < a P ξ < ap η < a, hisze, ha egyelőség álla fe, akkor vagy P η < a = vagy P ξ < a = teljesüle, de a választása miatt egyik sem teljesülhet, így ξ és η em függetleek...3. Feladat. Legye ξ λ = paraméterű expoeciális eloszlású valószíűségi változó. Határozzuk meg ξ + ξ eloszlás- és sűrűségfüggvéyét! Megoldás. Megjegyezzük, hogy a függetle valószíűségi változók összegére voatkozó kovolúciós képletet most em haszálhatjuk, mert ξ és ξ em függetleek eek potos idoklása az előző feladat szerit törtéhete. Jelölje G : R [, ] a ξ + ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéyét, azaz Gx := P {ω Ω : ξω + ξ ω < x}, x R. Ezt akarjuk felíri az F : R [, ], F x = P ξ < x, x R eloszlásfüggvéy segítségével. Ez adhatja az ötletet, hogy a {ξ + ξ < x} halmazt írjuk fel olya alakba, hogy csak a ξ valószíűségi változóra voatkozó ívóhalmazokkal kifejezhető legye. Esetükbe az derül ki, hogy {ω Ω : ξω + ξ ω < x} = {ω Ω : y x < ξω < y x} alkalmas y x és y x függvéyekkel. Leírjuk azo y R-ek halmazát, melyekre rögzített x R eseté y + y < x teljesül. Elég csak az x > esettel foglalkozi, mert x eseté P ξ + ξ < x =, hisze P ξ =. Legye tehát x >. Mivel az y + y = x egyelet két külöböző valós megoldása: azt kapjuk, hogy y x = + 4x Így, mivel ξ abszolút folytoos kapjuk, hogy, y x = + + 4x, y + y < x y x < x < y x. Gx = P {ω Ω : y x < ξω < y x} = F ξ y x F ξ y x = F ξ y x { } + 4x = e yx = exp, x >, 36

hisze F ξ y x =, mert y x < és P ξ =. Tehát { exp } +4x ha x >, Gx = ha x, és így ξ + ξ sűrűségfüggvéye { gx = +4x exp } +4x ha x >, ha x...4. Feladat. Legyeek ξ és η függetle valószíűségi változók, hogy ξ Poisso eloszlású λ > paraméterrel és η egyeletes eloszlású a [, ] itervallumo. Lássuk be, hogy ξ + η-ak is va sűrűségfüggvéye, és határozzuk is meg azt! Megoldás. Legye [a, b] egy olya itervallum, melyre [a, b] [, +[ valamely Z + eseté. Ekkor P ξ + η [a, b] = P ξ =, η [a, b ], ugyais, ha például ξ =, akkor a miatt η kell, de eek a valószíűsége. Felhaszálva, hogy ξ és η függetleek kapjuk, hogy P ξ + η [a, b] = P ξ = P η [a, b ] = λ! e λ b a = λ! e λ b a = b a fx dx, ahol fx := λ! e λ, x [, + [, =,,,..., és fx =, ha x <. Tehát fx = = λ! e λ [,+[ x, x R. Megmutatjuk, hogy f : R R sűrűségfüggvéy. Nyilvá f emegatív, és Borel-mérhető is, mert [, + [, N Borel-mérhető halmazok, és mérhető függvéyek potokéti határértéke is mérhető függvéy. Az is teljesül, hogy fx dx = A feti számolások és P ξ + η = miatt P ξ + η < y = 37 y = λ! e λ =. fx dx, y R,

azaz f ξ + η sűrűségfüggvéye. Megjegyezzük, hogy általába is igaz az, hogy ha ξ és η közül az egyik abszolút folytoos eloszlású, akkor ξ + η is abszolút folytoos eloszlású lásd pl. Réyi [9], 8. old...5. Feladat. Legyeek ξ, η és ζ függetle valószíűségi változók, hogy ξ Poisso eloszlású λ > paraméterrel, η és ζ egyeletes eloszlású a [, ] itervallumo. Lássuk be, hogy ξ + η + ζ abszolút folytoos eloszlású és határozzuk meg a sűrűségfüggvéyét! Első megoldás. Jele esetbe η + ζ abszolút folytoos eloszlású és meghatározzuk most a sűrűségfüggvéyét. A 3.3.5. Feladat alapjá, ha X és Y függetle, a, itervallumo egyeletes eloszlású valószíűségi változók, úgy { x ha x, f X+Y x = ha x >. Így F η+ζ x = P η + ζ < x = P és ezért f η+ζ x = f X+Y x = η + ζ < x = F X+Y x, x R, { { x ha x, x ha x, ha x > = egyébkét. Legye [a, b] egy olya itervallum, melyre [a, b] [, + [ valamely =,,... eseté. Ekkor P ξ + η + ζ [a, b] Így = P ξ =, η + ζ [a +, b + ] + P ξ =, η + ζ [a, b ] = P ξ = P η + ζ [a +, b + ] + P ξ = P η + ζ [a, b ] = λ! e λ b + a + P ξ + η + ζ [a, b] = λ! e λ = λ! e λ = λ! e λ + λ! e λ = λ! e λ b + a + [ x f η+ζ x dx + λ! e λ x + dx + λ ] b + b a! e λ f η+ζ x dx. b [ x a ] b x dx + x + λ a +! e λ a b + + a + + b + a + b a b a + + b a + λ b a! e λ b a. 38

Felírva a feti összegbe szereplő két tagot itegrál alakba kapjuk, hogy Így P ξ + η + ζ [a, b] = fx = = λ! e λ b a b a x + + dx + λ! e λ b λ! e λ x + + + λ x dx. a x dx λ! e λ x + + + λ x, ha x [, + [, N. Ha [a, b] [, [, úgy Ezért P ξ + η + ζ [a, b] = P ξ =, η + ζ [a, b] = λ! e λ P η + ζ [a, b] b = e λ x dx = e λ b a. a fx = e λ x, ha x [, [, és fx =, ha x <. Második megoldás. Az..4. Feladat alapjá ξ + η abszolút folytoos és sűrűségfüggvéye f ξ+η x = λ! e λ, ha x [, + [, N {}, és f ξ+η x =, ha x <. Mivel ξ + η és ζ függetleek kapjuk, hogy f ξ+η+ζ x = f ξ+η yf ζ x y dy, x R. Ha x, úgy egyszerűe adódik, hogy f ξ+η+ζ x =. Ha < x <, úgy f ξ+η+ζ x = x f ξ+η y dy = x λ! e λ dy = xe λ. Ha x, úgy legye N olya, hogy x < +. Ekkor f ξ+η+ζ x = x x f ξ+η y dy = x λ! e λ dy + = λ! e λ x + + λ! e λ x = λ! e λ x + + λ x. x λ! e λ dy 39

.3. Markov- és Csebisev-egyelőtleség, Borel-Catelli lemma.3.. Feladat. Shiryaev [], 45. old. Legyeek ξ és η olya valószíűségi változók, hogy Eξ = Eη =, és D ξ = D η =. Mutassuk meg, hogy ahol ρ := corrξ, η. Megoldás. Felhaszálva, hogy kapjuk, hogy E maxξ, η + ρ, maxξ, η = ξ + η + ξ η, E maxξ, η = Eξ + Eη + E ξ η = + E ξ η. A Cauchy Buyakovszkij-egyelőtleség alapjá És így E ξ η = E ξ ηξ + η Eξ η Eξ + η = Eξ ξη + η Eξ + ξη + η = Eξη + Eξη = Eξη = ρ. E maxξ, η = + E ξ η + ρ..3.. Feladat. A Csebisev-egyelőtleség kétdimeziós aalógja, Shiryaev [], 55. old. Legyeek ξ és η valószíűségi változók, és legye ρ := corrξ, η. Mutassuk meg, hogy bármilye ε > eseté Megoldás. Legyeek P { ξ Eξ εdξ } { η Eη εdη } ε + ρ. ζ := ξ Eξ Dξ, ζ := η Eη. Dη Ekkor Eζ = Eζ =, D ζ = D ζ = és corrζ, ζ = corrξ, η = ρ, valamit P { ξ Eξ εdξ } { η Eη εdη } = E {ζ ε } {ζ ε }. Felhaszálva, hogy {ζ ε } {ζ ε } ε max{ζ, ζ }, 4

az előző feladat alapjá kapjuk, hogy P { ξ Eξ εdξ } { η Eη εdη } ε + ρ. Abba az esetbe, ha ξ és η függetleek, akkor ρ =, és ekkor a becslés P { ξ Eξ εdξ } { η Eη εdη } ε. Ez rögtö következik abból, hogy P A B P A+P B, felhaszálva az,,-dimeziós Csebisev-egyelőtleséget. Ha ξ = η, akkor ρ =, így visszakapjuk az eredeti Csebisev-egyelőtleséget..3.3. Feladat. A ormális fluktuációk igazi agyságredjéek megsejtése Legyeek X, N függetle, azoos eloszlású valószíűségi változók, melyekek várható értéke EX =, szóráségyzete D X = σ < +. Legye S := i= X i, N. A agy számok gyege törvéye azt modja ki, hogy bármilye rögzített ε > eseté lim P S > ε =. Bizoyítsuk be a következő erősebb állítást: bármilye + -hez tartó {b, N} pozitív számokból álló sorozatra, mide rögzített ε > eseté lim P S > ε =. b Megoldás. A Csebisev-egyelőtleség szerit bármilye ε > eseté S D S P > ε = P S ES > εb b ε b = D X ε b = D X ε b ha +..3.4. Feladat. Tóth Bálit feladata a: Bizoyítsuk be, hogy a Markov-egyelőtleség éles a következő értelembe: rögzítve az < m λ számokat, létezik olya emegatív X valószíűségi változó, melyek várható értéke EX = m és P X λ = m/λ, azaz a,,markov-egyelőtleség telítődik. b: Bizoyítsuk be, hogy a Markov-egyelőtleség em éles a következő értelembe: rögzített emegatív X valószíűségi változóra, melyek várható értéke véges és em ulla, feáll, hogy λp X λ lim =. λ EX Megoldás. a: Ha m > és m = λ, akkor legye X a kostas m valószíűségi változó, azaz P X = m =. Így EX = m és P X λ =. 4

Ha < m < λ, akkor < m/λ <, és legye X az a valószíűségi változó, melyek két értéke va és λ, a következő valószíűségekkel: P X = λ = m λ, P X = = m λ. Ekkor EX = λ m λ + m = m, λ valamit P X λ = P X = λ = m/λ, azaz midkét feltétel teljesül. b: Megjegyezzük, hogy a Markov-egyelőtleség alapjá csak ayi következik, hogy λp X λ EX. A bizoyítadó állítás azzal ekvivales, hogy lim λ λp X λ =. Ekkor λp X λ = λe {X λ} = E λ{x λ}. Felhaszálva, hogy EX < +, és azt, hogy mide ω Ω eseté lim λ {Xω λ} =, és λ {Xω λ} Xω {Xω λ} Xω, λ hisze X emegatív, a domiált kovergecia tétel alapjá kapjuk, hogy lim E λ {X λ} = E lim λ {X λ} = E =. λ λ És így lim λ λp X λ =. Megjegyezzük, hogy ha feltesszük azt is, hogy EX < +, akkor gyorsabba is célba érhetük. Hisze a Csebisev-egyelőtleség alapjá, ha λ > EX, úgy λp X λ = λp X EX λ EX λp X EX λ EX D X λ λ EX. Itt lim λ D X λ λ EX =, így lim λ λp X λ =..3.5. Feladat. Mote Carlo-itegrálás Legye f : [, ] R mérhető, égyzetese itegrálható függvéy a Lebesgue-mérték szerit. Legye továbbá I := fx dx, J := fx dx. Legyeek U, N függetle, a [, ] itervallumo egyeletes eloszlású valószíűségi változók és I := fu + fu + + fu, N. 4

a Mutassuk meg, hogy I st I. b Legye a > rögzített. Igaz-e, hogy mide N eseté P I I a J I? a Megoldás. a: Mivel fu, N is függetle, azoos eloszlásúak és E fu = fx dx < +, a agy számok erős törvéye alapjá kapjuk, hogy I = fu + fu + + fu fx dx = I P-m.m. Valóba feáll, hogy E fu < +, ugyais a Ljapuov-egyelőtleség szerit lásd..4. Feladat E fu Ef U = J < +. Mivel a P-majdem mideütti kovergeciából következik a sztochasztikus kovergecia, megkapjuk a bizoyítadó állítást. b: Legye a > rögzített. Mivel EI = EfU = I, a Csebisev-egyelőtleség alapjá kapjuk, hogy P I I a D I a / = a D fu = EfU EfU a = a J I. Így IGAZ a dolog..3.6. Feladat. Egy kaszióba azt játsszák, hogy egymás utá feldobak egy szabályos pézdarabot. Végtele sok ember egymást felváltva bemegy a kaszióba, és ott megfigyel bizoyos számú pézfeldobást, mégpedig az -edik ember k -et, N. Akiek a kaszióba való ott-tartózkodása alatt csupa fej dobás törtét, az yer, akiek ott-tartózkodása alatt törtét írás dobás is, az veszít. Bizoyítsuk be, hogy a ha k = [log ],, akkor valószíűséggel végtele sok ember távozik yertese; b ha k = [ log ],, akkor valószíűséggel csak véges sok ember távozik yertese; c ha k = [log + log log ],, akkor valószíűséggel végtele sok ember távozik yertese; d ha k = [ log + log log ],, akkor valószíűséggel csak véges sok ember távozik yertese. Megoldás. Legye A := { az -edik ember yertese távozik }, N. 43

Ekkor P A = P k darab dobás midegyike fej = k, N. A Borel-Catelli lemma szerit egyrészt, ha = P A < +, akkor P lim sup A = P végtele sok bekövetkezik az {A : N} eseméyek közül =. Másrészt, mivel az A, N, eseméyek függetleek, ha = P A = +, akkor P lim sup A = P végtele sok bekövetkezik az {A : N} eseméyek közül =. a: Az [x] x, x R, egyelőtleség alapjá P A = = k = = = = = [log ] = = log b: Az [x] > x, x R, egyelőtleség alapjá P A = = k ] = log = = = [ log c: Az [x] x, x R, egyelőtleség alapjá P A = = k = = [log +log log ] = = = =. = log +log log <. = log. Tekitsük az f : [, + R, fx = mooto csökkeő függvéyt. Ekkor az x log x előbbi összeg az f függvéy egy felső itegrálközelítő összege, így = log Így = P A =. x log x dx = y y y l dy = l d: Az [x] > x, x R, egyelőtleség alapjá P A = = [ ] k log = = = + log log =. log = = dy =. y log + log log Tekitsük az f : [, + R, fx = mooto csökkeő függvéyt. Ekkor az xlog x előbbi összeg -es szorzó élkül és az összegzést = 3-tól futtatva az f függvéy egy alsó itegrálközelítő összege, így log xlog x =3 = l [ y ] dx = y y [ = l y y l dy = l ] = l < +. Így = P A <. 44 y dy

.3.7. Feladat. Mutassuk példát olya Ω, A, P valószíűségi mezőre és ebbe olya A, N, eseméyekre, hogy = P A = + és a aak a valószíűsége, hogy végtele sok A eseméy következik be. b aak a valószíűsége, hogy végtele sok A eseméy következik be. Azaz a Borel-Catelli-lemma,,második felébe, mikor is teljesül a reláció, a függetleség feltétele em hagyható el. = P A = + Megoldás. Legye Ω := [, ], A := B[, ] és P a: Mide N eseté legye A := [, /]. Ekkor P A = = = a Lebesgue-mérték [, ]-e. = +, és lim sup A = [, /]. Ezért P lim sup A = /. Az A, N, eseméyek természetese em függetleek. b: Mide N eseté legye A :=, /]. Ekkor és megmutatjuk, hogy P A = = = = +,.3.6 lim sup A = = k=, /k] =. Valóba, idirekt módo tegyük fel, hogy x [, ] olya, hogy x lim sup A. Ekkor mide N eseté létezik olya N, hogy és x, / ]. Abba az esetbe, ha x >, létezik olya N N, hogy < x, így bármilye N M N eseté < x, és ezért x, ], azaz elletmodásra jutottuk. Ezért M N M lim sup A {}. Az is látható, hogy lim sup A. Így kapjuk.3.6-t. Ezért P lim sup A =. Az A, N, eseméyek természetese em függetleek. 45

. Valószíűségszámítás. feladatok.. Valószíűségi változók eloszlása, várható értéke... Feladat. Legyeek A i, i I, és B olya részhalmazai Ω -ak, hogy B / i I A i. Igaz-e, hogy ekkor B / σa i, i I? Megoldás. A válasz: Nem. Idoklás: Ellepéldát aduk. Legye Ω := [, ], B egy zárt halmaz [, ]-be, A i, i I, pedig a [, ]-beli yílt itervallumok redszere.... Feladat. Legyeek X és Y valószíűségi változók ugyaazo a valószíűségi mező és tegyük fel, hogy σx = σy. Igaz-e, hogy ekkor P X = Y =? Megoldás. A válasz: Nem. Idoklás: Ellepéldát aduk. Legye Y := X +. Ekkor mivel X determiisztikus függvéye Y -ak és fordítva is kapjuk, hogy σx = σy. Azoba P X = Y = P X = X + =...3. Megjegyzés. Lebesgue-mérték, Lebesgue Stieltjes-mérték Jelölje BR R Borel-halmazaiak σ-algebráját, azaz az R yílt halmazai által geerált σ-algebrát. Ez megegyezik az R yílt itervallumai által geerált σ-algebrával. Eek igazolásáál és később is fotos a következő struktúra tétel Kolmogorv Fomi [5],..6. Tétel: R mide yílt halmazát előállíthatjuk véges vagy megszámlálhatóa végteleül sok párokét diszjukt yílt itervallum uiójakét. A, +, α, + és, β alakú halmazokat is az itervallumok közé soroljuk. Ekkor R, BR egy mérhető tér. Hogya származtatjuk eze a Lebesgue-mértéket? Egy [a, b[, a < b, a, b R, itervallum hossza µ[a, b[ = b a. A Carathéodory-tétel segítségével belátható, hogy µ egyértelműe terjeszthető ki BR-re egy µ mértékké. Ezt a µ mértéket evezzük Lebesgue-mértékek. Ekkor µ em véges, de σ-véges mérték. Carathéodory-tétel: Legye µ egy emegatív, σ-additív, σ-véges halmazfüggvéy az A algebrá. Ekkor egyértelműe létezik egy µ mérték a σa geerált σ-algebrá, melyre µa = µa, A A. A σ-végesség az egyértelműséghez kell. A Carathéodory-tétel általáosabb verziója segítségével az is belátható, hogy R Lebesguemérhető részhalmazaiak σ-algebrájá is egyértelműe defiiálható olya mérték, mely szerit egy [a, b[ itervallum mértéke b a. Az egyértelműségél a σ-végességek va szerepe. S tulajdoképpe ezt a mértéket szokás Lebesgue-mértékek hívi. Azt tudjuk, hogy mide Borel-halmaz Lebesgue-mérhető. Nem érdektele kérdés, hogy ez a kostrukció vajo a maximális kiterjesztést adja-e, vagyis a Lebesgue-mérhető halmazok σ-algebrája a lehető legbővebb olya σ-algebra-e, amire a kiterjesztést el tudjuk végezi. A válasz emleges. A emmérhető halmazok tárgyalásakor megmutatható, hogy a Lebesgue-mérték mértékkét kiterjeszthető a Lebesgue-mérhető halmazokál bővebb σ-algebrára is. Az is belátható, hogy ez a kiterjesztés már em egyértelmű. Sőt az is belátható, hogy az R összes részhalmazaiból álló σ-algebrára, R -re em végezhető úgy el e kiterjesztés, hogy [a, b[ mértéke b a le- 46

gye. Haszos olvasmáy e tekitetbe Járai Atal,,Ivariat extesio of Haar measure című cikke Járai [3]. A Lebesgue Stieltjes-mérték a Lebesgue-mérték általáosítása. Ha F : R R mooto övekvő, balról folytoos függvéy, akkor egyértelműe létezik R Borel halmazai, BR- e olya lokálisa véges µ F mérték, hogy mide a < b, a, b R eseté µ F [a, b[ = F b F a. Megfordítva, ha µ F egy lokálisa véges mérték, akkor midig előállítható a megadott módo. Egy mérték lokálisa végessége azt jeleti, hogy mide kompakt halmaz mértéke véges. Ekkor µ F eve az F -hez redelt Lebesgue Stieltjes-mérték, a µ F szeriti itegrálás pedig a Lebesgue Stieltjes itegrálás...4. Feladat. Legyeek ξ, η : Ω R k valószíűségi változók. Bizoyítadó, hogy ekkor P ξ = P η akkor és csak akkor, ha F ξ = F η. Azaz az eloszlás és az eloszlásfüggvéy kölcsööse egyértelműe meghatározza egymást. Megoldás. Shiryaev [], 5-54. old. alapjá Először felidézzük az eloszlás és az eloszlásfüggvéy fogalmát: ξ eloszlása a P ξ : BR k R, P ξ B := P ξ B halmazfüggvéy, mely valószíűségi mérték R k, BR k -, illetve ξ eloszlásfüggvéye az F ξ : R k [, ], függvéy. és F ξ x := P ξ < x = P ξ < x,..., ξ k < x k, x = x,..., x k R k, Tegyük fel először, hogy P ξ = P η. Legye B :=, x, x R k, ekkor B BR k F ξ x = P ξ < x = P ξ B = P η B = P η, x = P η, x = P η < x = F η x. Így F ξ = F η. Tegyük most fel, hogy F ξ x = F η x, x R k. Ekkor P ξ, x = P ξ < x = P η < x = P η, x, x R k. Azaz a P ξ és P η R k, BR k - értelmezett valószíűségi mértékek megegyezek a {, x : x R k } halmazredszere. A Carathéodory tételt felhaszálva megmutatjuk, hogy megegyezek BR k - is. Carathéodory-tétel: Legye Ω egy emüres halmaz, A az Ω bizoyos részhalmazaiból álló halmazalgebra. Legye µ : A [, + ] egy σ-véges mérték. Ekkor egyértelműe létezik olya µ : σa [, + ] mérték, mely µ kiterjesztése, azaz µa = µ A, A A. Az A halmazalgebrát a következőképpe defiiáljuk: A A N : A = 47 A i, i=