BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék
ii
Trtlomjegyzék 1. Hlmzok, relációk, függvények 1 1.1. Hlmzok, relációk, függvények A................. 1 1.1.1. Hlmzok és relációk..................... 1 1.1.2. Függvények.......................... 3 1.2. Feldtok............................... 4 1.3. Hlmzok, relációk, függvények E................. 5 1.3.1. Ekvivlenci és rendezési reláció.............. 6 1.3.2. Hlmzok számosság.................... 8 1.3.3. Relációk inverze és kompozíciój.............. 9 2. Számhlmzok 11 2.1. Vlós számok A........................... 11 2.1.1. A vlós számok xiómrendszere.............. 11 2.1.2. Természetes, egész és rcionális számok.......... 13 2.1.3. Fels és lsó htár...................... 14 2.1.4. Intervllumok és környezetek................ 15 2.1.5. Vlós számok htványi................... 16 2.2. Feldtok............................... 17 2.3. Komplex számok A......................... 19 2.3.1. A komplex szám foglm, m veletek............ 19 2.3.2. Komplex számok trigonometrikus lkj.......... 21 3. Elemi függvények 23 3.1. Vlós-vlós függvények lptuljdonsági A........... 23 3.2. Az elemi függvények A....................... 24 3.2.1. Htványfüggvények...................... 24 3.2.2. Exponenciális és logritmus függvények.......... 27 3.2.3. Trigonometrikus függvények és inverzeik.......... 30 3.2.4. Hiperbolikus függvények és inverzeik............ 35 3.2.5. Néhány különleges függvény................. 38 3.3. Feldtok............................... 40 iii
iv TARTALOMJEGYZÉK 4. Soroztok, sorok 43 4.1. Soroztok, sorok A......................... 43 4.1.1. A sorozt foglm és tuljdonsági............. 43 4.1.2. Sorozt htárértéke..................... 45 4.1.3. Sorok............................. 46 4.2. Feldtok............................... 48 4.3. Soroztok E............................. 51 4.3.1. Sorozt konvergenciáj.................... 51 4.3.2. M veletek konvergens soroztokkl............. 52 4.3.3. Részsoroztok......................... 54 4.3.4. Sorozt lim sup-j és lim inf-je............... 55 4.3.5. Intervllumsorozt...................... 56 4.3.6. Cuchy konvergenci kritérium............... 57 4.3.7. Divergens soroztok..................... 58 4.4. Sorok E............................... 58 4.4.1. Sor konvergenciáj...................... 58 4.4.2. Konvergencikritériumok.................. 59 4.4.3. Végtelen sorok átrendezései................. 61 5. Folytonosság 63 5.1. Folytonosság A........................... 63 5.1.1. A folytonos függvény foglm és tuljdonsági...... 63 5.1.2. A m veletek és folytonosság kpcsolt......... 64 5.1.3. Intervllumon folytonos függvények tuljdonsági..... 65 5.2. Feldtok............................... 65 5.3. Folytonosság E........................... 67 5.3.1. A folytonosság foglm és z átviteli elv.......... 67 5.3.2. M veletek folytonos függvényekkel............. 67 5.3.3. Intervllumon folytonos függvények tuljdonsági..... 68 5.3.4. Az inverzfüggvény folytonosság.............. 70 5.3.5. Egyenletes folytonosság................... 71 6. Függvény htárértéke 73 6.1. Függvény htárértéke A...................... 73 6.1.1. "Végesben vett, véges" htárérték............. 73 6.1.2. "Végtelenben vett", illetve "nem véges" htárérték.... 75 6.1.3. Egyoldli htárérték..................... 77 6.2. Feldtok............................... 78 6.3. Függvény htárértéke E...................... 80 6.3.1. A htárérték áltlános deníciój és z átviteli elv.... 80 6.3.2. M veletek függvények htárértékével............ 82
TARTALOMJEGYZÉK v 7. Dierenciálhtóság 85 7.1. Dierenciálhtóság A........................ 85 7.1.1. A derivált foglm és geometrii jelentése......... 85 7.1.2. Elemi függvények deriváltj és deriválási szbályok... 88 7.1.3. A derivált kpcsolt függvény tuljdonságivl.... 90 7.1.4. Többszörös derivált és Tylor-polinom.......... 92 7.1.5. L'Hospitl-szbály...................... 93 7.2. Feldtok............................... 95 7.3. Dierenciálhtóság E........................ 98 7.3.1. A derivált foglm és kpcsolt folytonossággl.... 98 7.3.2. M veletek dierenciálhtó függvényekkel, deriválási szbályok............................. 99 7.3.3. Lokális növekedés, fogyás, lokális széls érték....... 101 7.3.4. Középértéktételek...................... 103 7.3.5. A globális monotonitás elégséges feltételei......... 104 7.3.6. Konvex és konkáv függvények................ 105 7.3.7. Tylor-formul........................ 107 7.3.8. L'Hospitl-szbály...................... 108 8. Integrálhtóság, integrálszámítás 109 8.1. Integrálszámítás A......................... 109 8.1.1. A Riemnn-integrál foglm és geometrii jelentése.... 109 8.1.2. A Riemnn-integrál és m veletek kpcsolt...... 112 8.1.3. NewtonLeibniz-formul................... 113 8.1.4. Primitív függvény...................... 115 8.1.5. Az integrál lklmzási................... 116 8.1.6. Fourier-sor.......................... 123 8.1.7. Az improprius integrál.................... 125 8.2. Feldtok............................... 127 8.3. Integrálszámítás E......................... 129 8.3.1. Az integrál foglm..................... 129 8.3.2. Az integrálhtóság feltételei................. 130 8.3.3. M veletek és z integrál kpcsolt............. 132 8.3.4. Primitív függvény és NewtonLeibniz-formul...... 134 9. Függvénysoroztok, függvénysorok 137 9.1. Függvénysoroztok, függvénysorok A............... 137 9.1.1. Függvénysoroztok...................... 137 9.1.2. Függvénysorok........................ 142 9.1.3. Htványsorok......................... 143 9.2. Feldtok............................... 144 9.3. Függvénysoroztok, függvénysorok E............... 146 9.3.1. Függvénysoroztok...................... 146 9.3.2. Függvénysorok........................ 147 9.3.3. Htványsorok, Tylor-sorok................. 148
vi TARTALOMJEGYZÉK 10.Többváltozós függvények 151 10.1. Többváltozós függvények A.................... 151 10.1.1. Az n-dimenziós tér...................... 151 10.1.2. Többváltozós függvények.................. 153 10.1.3. Htárérték és folytonosság.................. 155 10.2. Feldtok............................... 157 10.3. Többváltozós függvények E.................... 159 10.3.1. Metrikus tér......................... 159 10.3.2. Nyílt és zárt hlmzok; kompkt hlmz.......... 160 10.3.3. Folytonos függvények.................... 162 10.3.4. Fixponttétel.......................... 163 11.Többváltozós függvény dierenciálhtóság 165 11.1. Többváltozós deriválás A...................... 165 11.1.1. Prciális derivált....................... 165 11.1.2. Deriváltmátrix........................ 167 11.1.3. Érint............................. 170 11.1.4. Széls érték.......................... 171 11.2. Feldtok............................... 172 11.3. Többváltozós deriválás E...................... 177 11.3.1. Prciális derivált és deriváltmátrix............. 177 11.3.2. Második derivált; Tylor-formul.............. 180 11.3.3. Széls érték.......................... 183 11.3.4. Implicit- és inverzfüggvény tétel............... 185 11.3.5. Feltételes széls érték..................... 188 12.Vonlintegrál 191 12.1. Vonlintegrál A........................... 191 12.1.1. A vonlintegrál foglm és tuljdonsági.......... 191 12.1.2. Potenciál........................... 194 12.2. Feldtok............................... 196 12.3. Vonlintegrál E........................... 197 12.3.1. A vonlintegrál foglm és tuljdonsági.......... 197 12.3.2. Potenciál........................... 199 13.Dierenciálegyenletek 205 13.1. Dierenciálegyenletek A...................... 205 13.1.1. Alpfoglmk......................... 205 13.1.2. Szétválszthtó változójú dierenciálegyenlet....... 206 13.1.3. Alklmzás.......................... 207 13.2. Feldtok............................... 208
TARTALOMJEGYZÉK vii 14.Többváltozós függvény integrálj 211 14.1. Többváltozós integrál A...................... 211 14.1.1. A többváltozós integrál foglm............... 211 14.1.2. Az integrál kiszámítás tégllpon és normáltrtományon 212 14.1.3. Az integrál trnszformációj................ 215 14.2. Feldtok............................... 216 15.Vektornlízis 217 15.1. Vektornlízis A.......................... 217 15.1.1. Térgörbék........................... 217 15.1.2. Felületek........................... 221 15.1.3. A nbl............................ 226 15.1.4. Integrálátlkító tételek................... 227 15.2. Feldtok............................... 228
viii TARTALOMJEGYZÉK
1. fejezet Hlmzok, relációk, függvények Bemuttjuk mtemtik eszközeit, lépten-nyomon hsznált foglmkt, fontos megállpodásokt vezetünk be. Biztos lpokt készítünk további építkezéshez. Gykrn lklmzzuk "minden", illetve "tetsz leges" szvk rövidítésére, "létezik, illetve "vn olyn" kifejezések helyett pedig jelet. Az lábbi témköröket tárgyljuk. Hlmz foglm és hlmzm veletek Reláció Függvény foglm és tuljdonsági Kompozíció és inverz Hlmz számosság 1.1. Hlmzok, relációk, függvények A 1.1.1. Hlmzok és relációk Egy hlmzt kkor tekintünk ismertnek, h minden jól megfoglmzhtó dologról el tudjuk dönteni, hogy hozzá trtozik vgy nem trtozik hozzá. (Az okos gondolt, szép lány, z elég ngy szám vgy kicsi pozitív szám nem tekinthet jól megfoglmzott dolognk, ezekr l nem kérdezzük, hogy benne vnnk-e vlmilyen hlmzbn, hogy lkotnk-e hlmzt.) Legyen A hlmz, x egy jól deniált dolog. H x hozzátrtozik hlmzhoz, kkor ezt x A jelölje. H x nem trtozik hozzá hlmzhoz, kkor ezt x / A jelöli. A hlmz elemeit felsorolhtjuk, például A := {, b, c, d}, vgy értelmes tuljdonsággl djuk meg hlmzt, például B := {x x vlós szám és x 2 < 2}. 1
2 FEJEZET 1. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 1.1. Deníció. Legyen A és B hlmz. Azt mondjuk, hogy A része B hlmznk, h minden x A esetén x B. Jele: A B. 1.2. Deníció. Legyen A és B hlmz. Az A hlmz egyenl B hlmzzl, h ugynzok z elemei. Jele: A = B. Könnyen meggondolhtó következ tétel: 1.1. Tétel. Legyen A és B hlmz. A = B pontosn kkor, h A B és B A. Néhány eljárást muttunk, melyekkel újbb hlmzokhoz juthtunk. 1.3. Deníció. Legyen A és B hlmz. Az A és B egyesítése (uniój) z hlmz, melyre A B := {x x A vgy x B}. Az A és B metszete (közös része) z hlmz, melyre A B := {x x A és x B}. Az A és B különbsége z hlmz, melyre A \ B := {x x A és x / B}. A metszet és különbség képzése során elképzelhet, hogy egyetlen x dolog sem rendelkezik kívánt tuljdonsággl. Azt hlmzt, melynek bármely jól deniálhtó dolog sem eleme, üres hlmznk nevezzük. Jele:. Legyen H hlmz és A H egy részhlmz. Az A hlmz (H-r vontkozó) komplementerén z A := H \ A hlmzt értjük. De Morgn-zonosságoknk nevezik következ tételt: 1.2. Tétel. Legyen H hlmz, A, B H. Ekkor A B = A B és A B = A B. Legyen és b dolog. Az {, b} hlmz nyilván sok változtbn felírhtó: {, b} = {b, } = {, b, b, } = {, b, b,, b, b} = stb. Ezzel szemben tekintsük lpfoglomnk z (, b) rendezett párt, melynek lényeges tuljdonság legyen, hogy (, b) = (c, d) pontosn kkor, h = c és b = d. A rendezett pár segítségével értelmezzük hlmzok szorztát. 1.4. Deníció. Legyen A, B hlmz. Az A és B Descrtes-szorzt A B := {(, b) A és b B}. Például A := {2, 3, 5}, B := {1, 3} esetén A B = {(2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3), (5, 1), (5, 3)}. A rendezett pár foglmár épül reláció.
1.1. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK A 3 1.5. Deníció. Azt mondjuk, hogy z r hlmz reláció, h minden eleme rendezett pár. Egy mgyr-ngol szótár is egy reláció, hiszen elemei mgyr és neki megfelel ngol szóból lkotott rendezett párok. 1.6. Deníció. Legyen r reláció. Az r reláció értelmezési trtomány Az r reláció értékkészlete z D(r) := {x vn olyn y, hogy (x, y) r}. R(r) := {y vn olyn x D(r), hogy (x, y) r}. Nyilván r D(r) R(r). Például r := {(4, 2), (4, 3), (1, 2)} esetén D(r) = {4, 1}, R(r) = {2, 3}. 1.1.2. Függvények A függvény speciális reláció. 1.7. Deníció. Legyen f reláció. Azt mondjuk, hogy z f függvény, h bármely (x, y) f és (x, z) f esetén y = z. Például r := {(1, 2), (2, 3), (2, 4)} nem függvény, hiszen (2, 3) r és (2, 4) r, de 3 4; z f := {(1, 2), (2, 3), (3, 3)} viszont függvény. Néhány megállpodást teszünk függvények körében. H f függvény, kkor (x, y) f esetén y z f függvény x helyen vett helyettesítési értéke, vgy z f függvény z x-hez z y-t rendeli hozzá. Jelölésben: y = f(x). H f függvény és A := D(f), B pedig olyn hlmz, melyre R(f) B (nyilván A függvény értelmezési trtomány, B pedig függvény (egyik) képhlmz), kkor z f A B, f függvény kifejezés helyett z f : A B jelölést hsználjuk (z f függvény z A hlmzt B hlmzb képezi). H f függvény és D(f) A, R(f) B, kkor f A B jelöli ezt (f z A hlmzból B hlmzb képez függvény). Például f := {(, α), (b, β), (g, γ), (d, δ), (e, ε)} függvény. Láthtó, hogy β z f függvény b helyen vett helyettesítési értéke, β = f(b). H L ltin bet k, G pedig görög bet k hlmz, kkor f : {, b, g, d, e} G, f() = α, f(b) = β, f(g) = γ, f(d) = δ, f(e) = ε. H csk függvény típusár krunk utlni, elég z f L G. Természetesen egy függvénynek is vn inverze, ez zonbn nem biztos, hogy függvény lesz. 1.8. Deníció. Legyen f : A B függvény. Azt mondjuk, hogy z f kölcsönösen egyértelm (injektív), h különböz x 1, x 2 A elemeknek különböz B-beli elemeket feleltet meg, zz bármely x 1, x 2 A, x 1 x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Könnyen meggondolhtó, hogy kölcsönösen egyértelm függvény inverze is függvény. Részletesebben:
4 FEJEZET 1. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 1.3. Tétel. Legyen f függvény, A := D(f), B := R(f), f kölcsönösen egyértelm. Ekkor z f inverze f 1 : B A olyn függvény, mely bármely s B ponthoz zt t A pontot rendeli, melyre f(t) = s, (röviden: bármely s B esetén f(f 1 (s)) = s.) Függvények kompozícióját is elkészíthetjük. Szerencsére ez mindig függvény lesz. Legyen g : A B, f : B C. Ekkor relációk kompozíciójánk felhsználásávl megmutthtó, hogy f g : A C, bármely x A esetén (f g)(x) = f(g(x)). Például g függvény minden szám duplájához 1-et djon hozzá (g : R R, g(x) := 2x + 1); z f függvény pedig minden számot emeljen négyzetre (f : R R, f(x) := x 2 ), kkor f g : R R, (f g)(x) = (2x + 1) 2 lesz z f és g kompozíciój. További hsznos foglmk Legyen f : A B és C A. Az f függvény C-re vló lesz kítése z z f C : C B függvény, melyre bármely x C esetén f C (x) := f(x). Legyen f : A B, C A és D B. Az f(c) := {y vn olyn x C, melyre f(x) = y} hlmzt C hlmz f függvénnyel létesített képének nevezzük. Az f 1 (D) := {x f(x) D} hlmz D hlmz f függvényre vontkozó sképe. (Vigyázt! Az f 1 nem inverzfüggvényt jelöl ebben z esetben.) 1.2. Feldtok 1. Legyen A := {2, 4, 6, 3, 5, 9}, B := {4, 5, 6, 7}, H := {n n egész szám, 1 n 20}. Készítse el z A B, A B, A \ B, B \ A hlmzokt. Mi lesz z A hlmz H-r vontkozó A komplementere? 2. Legyen A := {, b}, B := {, b, c}. A B =? B A =? 3. Legyen r := {(x, y) x, y vlós szám, y = x 2 }. r 1 =? Függvény-e z r? Függvény-e z r 1? 4. Legyen f : R R, f(x) := x 1+x 2. Készítse el z f f, f (f f) függvényeket. 5. Gondoljuk végig egy f : A B kölcsönösen egyértelm függvény inverzének szemléltetését!
1.3. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK E 5 6. Gondoljuk meg, hogy egy f : A B kölcsönösen egyértelm függvény inverzét következ lépésekkel lehet el állítni: 1) Felírjuk, hogy y = f(x). 2) Felcseréljük z x és y változókt: x = f(y). 3) Ebb l z egyenletb l kifejezzük z y-t z x segítségével: y = g(x). Ez g lesz éppen z f 1 inverzfüggvény. Például: f : R R, f(x) = 2x 1. (Ez kölcsönösen egyértelm függvény.) 1) y = 2x 1 2) x = 2y 1 3) x + 1 = 2y, y = 1 2 (x + 1). Tehát f 1 : R R, f 1 (x) = 1 2 (x + 1). Szemléltesse is z f és f 1 függvényt! 7. Legyen f : A B, C 1, C 2 A, D 1, D 2 B. Mutssuk meg, hogy f(c 1 C 2 ) = f(c 1 ) f(c 2 ) f(c 1 C 2 ) f(c 1 ) f(c 2 ) f 1 (D 1 D 2 ) = f 1 (D 1 ) f 1 (D 2 ) f 1 (D 1 D 2 ) = f 1 (D 1 ) f 1 (D 2 ). Igz-e, hogy h C 1 C 2, kkor f(c 1 ) f(c 2 )? Igz-e, hogy h D 1 D 2, kkor f 1 (D 1 ) f 1 (D 2 )? 8. Legyen f : A B, C A, D B. Igz-e, hogy f 1 (f(c)) = C? Igz-e, hogy f(f 1 (D)) = D? 1.3. Hlmzok, relációk, függvények E A rendezett párt lpfoglomnk tekintettük, de lehet ség vn hlmzok segítségével bevezetni rendezett pár foglmát. 1.9. Deníció. Legyen és b. Az (, b) rendezett pár legyen (, b) := {{}, {, b}}. Ezzel z értelmezéssel igzolhtó rendezett párt jellemz tuljdonság. 1.4. Tétel. (, b) = (c, d) = c és b = d. Bizonyítás. ( ) Legyen {{}, {, b}} = {{c}, {c, d}}. 1. Vgy {} = {c}, mib l = c következik. Továbbá {, b} = {c, d}, de = c mitt b = d lehet csk. 2. Vgy {} = {c, d}, mib l c = d és így = c = d következik. Ekkor (c, d) = {{}}, de kkor {} = {, b} is igz, így = b. Tehát = b = c = d. ( ) Nyilvánvló!
6 FEJEZET 1. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 1.3.1. Ekvivlenci és rendezési reláció A mtemtik néhány kényes foglmát relációkkl és függvényekkel hozzuk kpcsoltb. 1.10. Deníció. Legyen H, r H H, D(r) = H reláció. Azt mondjuk, hogy 1. r reexív, h x H esetén (x, x) r; 2. r szimmetrikus, h (x, y) r esetén (y, x) r; 3. r ntiszimmetrikus, h minden olyn esetben, mikor (x, y) r és (y, x) r, kkor x = y; 4. r trnzitív, h minden olyn esetben, mikor (x, y) r és (y, z) r, kkor x = y. 1.11. Deníció. H z r reláció reexív, szimmetrikus és trnzitív, kkor r ekvivlenci-reláció. 1.12. Deníció. H z r reláció reexív, ntiszimmetrikus és trnzitív, kkor r rendezési reláció. Legyen egy ekvivlenci-reláció H hlmzon (D( ) = H). Állpodjunk meg bbn, hogy (x, y) helyett z x y jelölést hsználjuk. A ekvivlenci-reláció segítségével H hlmzt részhlmzokr bontjuk következ lépésekkel. α) Legyen x H. Az x-hez trtozó ekvivlenci-osztály x / := {y y H, x y}. β) Könnyen beláthtó, hogy h x, z H, kkor vgy x / = z /, vgy x / z / =. Ez zt jelenti, hogy H hlmz felbonthtó közös pont nélküli ekvivlenciosztályokr. γ) Legyen H / := {X x H, hogy X = x / }. A H / z ekvivlenci-osztályok hlmz. Igzolhtó, hogy 1. H / elemei közös pont nélküliek ( β) pontbn ezt foglmztuk meg), 2. H / elemeinek (hlmzoknk) z egyesítése kidj H hlmzt. Lássunk két fontos példát erre z eljárásr.
1.3. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK E 7 1. Legyen T törtek hlmz, zz { } p T = p, q egész szám, q 0. q A T hlmzon értelmezünk egy relációt: b c d = bc. d Végiggondolhtó, hogy ekvivlenci-reláció. Ekkor b / ekvivlenciosztályb beletrtozik z összes olyn tört, mely egyenl z b -vel. A T / hlmz pedig olyn közös elem nélküli hlmzokr vló felbontás T törtek hlmzánk, melyek egyesítéseként visszkpjuk T hlmzt. Az b / egy rcionális szám, T / pedig rcionális számok hlmz. Így válik érthet vé, hogy 1 2 egyenl 2 4 -del, 6 12-del, hiszen ezek törtek reprezentánsi z 1 2 / rcionális számnk, és rcionális számokkl végzett m veletek során mindig megfelel reprezentánst húzzuk el z osztályból. Például 1 2 + 2 3 = 3 6 + 4 6 = 7 6 zt sugllj, hogy 1 2 / + 2 3 / = 3 6 / + 4 6 / = 7 6 /. 2. A másik példábn E legyen egy sík irányított szkszink hlmz. Bevezetünk E-n egy relációt: legyen b, h z szksz párhuzmos b-vel, zonos irányúk és egyform hosszúk. Könnyen láthtó, hogy ekvivlenci-reláció. Az / trtlmzz z - vl párhuzmos, vele zonos irányú és hosszúságú irányított szkszokt. Egy ilyen osztály legyen egy vektor. Az E / sík vektorink hlmz. Így válik érthet vé, hogy vektorok összedásánál z egyik vektort eltoljuk úgy, hogy két vektor kezd pontj megegyezzék. Vlójábn mindkét vektorból z lklms reprezentáns irányított szkszt húzzuk el, zokkl végezzük el m veletet, és z ered irányított szkszhoz trtozó ekvivlenci-osztály lesz z összedás ered vektor. A rendezési relációkkl kpcsoltbn csk két egyszer példát tárgylunk. Legyen N pozitív egész számok hlmz. Legyen z reláció, melyre b, h vn olyn nemnegtív c egész, hogy + c = b. Ez vlóbn rendezési reláció. Még z is igz, hogy bármely, b N esetén vgy b, vgy b. Az N pozitív egészek hlmzán egy másik relációt is bevezethetünk. Azt mondjuk, hogy osztój b-nek, h vn olyn k pozitív egész, hogy b = k. Az
8 FEJEZET 1. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK oszthtóság reláció reexív ( = 1), ntiszimmetrikus (h b = k és = bl, kkor b = blk, mib l lk = 1, de ez csk k = 1 és l = 1 esetén igz, tehát = b) és trnzitív (h b = k, c = bl, kkor c = kl, zz osztój c-nek), tehát z oszthtóság is rendezési reláció z N hlmzon. Csk nem olyn szép, mint volt, hiszen, vn olyn, b N, melyre nem osztój b-nek, és b sem osztój -nk. (Például := 4 és b := 7.) 1.3.2. Hlmzok számosság Gykrn szükség vn hlmzok elemszámát összehsonlítni. 1.13. Deníció. Legyen A, B hlmz. Azt mondjuk, hogy A számosság egyenl B számosságávl, h vn olyn ϕ : A B függvény, melyre R(ϕ) = B, és ϕ kölcsönösen egyértelm. [Az ilyen ϕ függvényt bijekciónk nevezzük A és B között.] Például pozitív egészek N hlmz és pozitív páros számok P hlmz egyenl számosságú, hiszen függvény bijekció N és P között. ϕ : N P, ϕ(n) := 2n 1.14. Deníció. Legyen A hlmz. Azt mondjuk, hogy A végtelen (számosságú) hlmz, h A A, A A, hogy ϕ : A A bijekció. Az el bbi péld éppen zt muttj, hogy N végtelen hlmz. 1.15. Deníció. Legyen A végtelen hlmz. Azt mondjuk, hogy A megszámlálhtó, h ϕ : N A bijekció. Meglep, de rcionális számok Q hlmz megszámlálhtó. Írjuk fel z 1, 2, 3,..., n,... nevez j törteket soronként.... 3 1 2 1 1 1 1 1 1... 3 2 2 2 1 2 0 2 1 2 2 2... 3 3 2 3 1 3 0 3 1 3 2 3 A ϕ : N Q bijekciót úgy készítjük, hogy. 0 2 1 3 1... ϕ(1) := 0 1, ϕ(2) := 1 1, ϕ(3) := 1 2, ϕ(4) := 1 2,..... 3 2... 3 3... A rjz szerinti lépegetéssel hldunk, ügyelve rr, hogy olyn törtet ugorjunk át, mely már egyszer sorr került. Ezzel biztosítjuk, hogy vlóbn kölcsönösen egyértelm mrdjon függvényünk. Láthtó z is, hogy el bb-utóbb minden rcionális számhoz eljutunk, így ϕ bijekció lesz N és Q között, mi zt jelenti, hogy Q megszámlálhtó.
1.3. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK E 9 1.3.3. Relációk inverze és kompozíciój Két eljárást muttunk be, mellyel dott reláció(k)ból újbb relációhoz juthtunk. 1.16. Deníció. Legyen r reláció. Az r reláció inverze z reláció, mely r 1 := {(s, t) (t, s) r}. Láthtó, hogy r := {(1, 3), (4, 2), (5, 2), (3, 3)} esetén r 1 = {(3, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 3)}. A mgyr-ngol szótár inverze z ngol-mgyr szótár. Értelmezzük relációk kompozícióját (összetett reláció, közvetett reláció) is. 1.17. Deníció. Legyen r, s reláció. Az s bels reláció és r küls reláció kompozíciój legyen r s := {(x, z) vn olyn y R(s) D(r) közvetít elem, hogy (x, y) s és (y, z) r}. Például s := {(1, 2), (1, 4), (2, 3)}, r := {(4, 3), (4, 4), (3, 5)} esetén r s := {(1, 3), (1, 4), (2, 5)}. Természetesen elkészíthet z s r reláció is, de ez most s r =. Áltlábn r s s r. Meglep en szép relációk kompozíciójánk inverze és z inverzek kompozíciójánk kpcsolt: 1.5. Tétel. Legyen r, s reláció. Ekkor (r s) 1 = s 1 r 1. Mivel hlmzok egyenl ségét szeretnénk igzolni, megmuttjuk, hogy 1.) (r s) 1 s 1 r 1 és 2.) s 1 r 1 (r s) 1. 1. Legyen (p, t) (r s) 1 (t, p) r s vn olyn q R(s) D(r) közvetít elem, hogy (t, q) s és (q, p) r nyilván (p, q) r 1 és (q, t) s 1 (p, t) s 1 r 1. 2. Legyen (u, w) s 1 r 1 vn olyn v R(r 1 ) D(s 1 ) = R(s) D(r) közvetít elem, hogy (u, v) r 1 és (v, w) s 1 nyilván (w, v) s és (v, u) r (w, u) r s (u, w) (r s) 1.
10 FEJEZET 1. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK
2. fejezet Számhlmzok Kiskorunktól számolunk vlós számokkl, összedjuk, szorozzuk, osztjuk ket, htványozunk, bszolút értékét vesszük számoknk. Egyenleteket, egyenl tlenségeket rendezünk. Most lefektetjük zt viszonylg egyszer szbályrendszert, melyb l megtnult eljárások levezethet k. Az lábbi témköröket tárgyljuk. Vlós számok hlmz Természetes számok hlmz Egész számok és rcionális számok hlmz Fels és lsó htár Intervllum és környezet Htványozás deníciój és zonossági Komplex számok hlmz Komplex szám trigonometrikus lkj, m veletek 2.1. Vlós számok A 2.1.1. A vlós számok xiómrendszere Legyen R nem üres hlmz. Tegyük fel, hogy vn még egy összedásnk nevezett + : R R R és egy szorzásnk nevezett : R R R függvény is, melyek következ tuljdonságokkl rendelkeznek: 1. bármely, b R esetén + b = b + (kommuttivitás) 2. bármely, b, c R esetén + (b + c) = ( + b) + c (sszocitivitás) 11
12 FEJEZET 2. SZÁMHALMAZOK 3. vn olyn 0 R elem, hogy bármely R esetén + 0 = (0 z összedásr nézve semleges elem) 4. bármely R esetén vn olyn R ellentett elem, hogy + ( ) = 0. m1. bármely, b R esetén b = b m2. bármely, b R esetén (b c) = ( b) c m3. vn olyn 1 R elem, hogy bármely R esetén 1 = (1 szorzásr nézve semleges elem) m4. bármely R \ {0} esetén vn olyn 1 R reciprok elem, hogy 1 = 1. d. bármely, b, c R esetén (b + c) = b + c (disztributív szorzás z összedásr nézve) Láthtó, hogy szorzás szbályrendszere 4. követelményben lényegesen eltér z összedástól (egyébként nem is különbözne z összedás és szorzás). A d. is z eltérést er síti. Tegyük fel, hogy R-en vn egy olyn (kisebb vgy egyenl nek nevezett) rendezési reláció, mely még következ tuljdonságokkl rendelkezik: r1. bármely, b R esetén vgy b, vgy b. r2. minden olyn esetben, mikor b és c R tetsz leges szám, kkor + c b + c. r3. minden olyn esetben, mikor 0 és 0 b, kkor 0 b. Állpodjunk meg bbn, hogy z b, b helyett < b jelölést hsználunk. (Sjnos < nem rendezési reláció, mert nem reexív.) Az 1.4., m1.m4., d., r1.r3. lpján levezethet z összes egyenl séggel és egyenl tlenséggel kpcsoltos szbály. Kiegészítésül három foglmt külön is megemlítünk. 2.1. Deníció. Legyen, b R, b 0. Ekkor b := 1 b. Az osztás tehát elvégezhet vlós számokkl. 2.2. Deníció. Legyen x R. Az x bszolút értéke { x, h 0 x x := x, h x 0, x 0. Hsznosk z bszolút értékkel kpcsoltos egyenl tlenségek. 1. Bármely x R esetén 0 x. 2. Legyen x R és ε R, 0 ε. Ekkor x ε, és x ε x ε.
2.1. VALÓS SZÁMOK A 13 3. Bármely, b R esetén + b + b (háromszög-egyenl tlenség) 4. Bármely, b R esetén b b. Könnyen igzolhtók ezek z állítások. A 4. bizonyítását megmuttjuk. Tekintsük z = b + b egyenl tlenséget. Ekkor 3. szerint = b + b b + b. Az r2. szerint b számot mindkét oldlhoz hozzádv nem változik z egyenl tlenség + ( b ) = b b (2.1) Hsonló meggondolássl b = b + b = b + b + / b b ( b ) b = b (2.2) Az (2.1) és (2.2) 2. tuljdonság szerint (x := b ; ε := b szereposztássl) éppen zt jelenti, hogy b b. 2.1.2. Természetes, egész és rcionális számok Most elkülönítjük z R egy nevezetes részhlmzát. Legyen N R olyn részhlmz, melyre 1 o 1 N 2 o bármely n N esetén n + 1 N 3 o bármely n N esetén n + 1 1 (z 1 z els elem) 4 o bból, hogy ) S N b) 1 S c) bármely n N esetén n + 1 S következik, hogy S = N. (Teljes indukció.) Az R-nek z ilyen N részhlmzát természetes számok hlmzánk nevezzük. Kiegészítésül álljon itt még néhány megállpodás: Z := N {0} {m R m N} z egész számok hlmz Q := {x R vn olyn p Z, q N, hogy x = p q } rcionális számok hlmz Q := R \ Q z irrcionális számok hlmz
14 FEJEZET 2. SZÁMHALMAZOK Az N segítségével m veleti, rendezési szbályrendszer mellé hrmdik követelményt illesztjük z R-hez. Archimedesz-xióm: Bármely, b R, 0 < számokhoz vn olyn n N, hogy b < n. Az Archimedesz-xióm következményeként megmuttjuk, hogy bármely K R számhoz vn olyn n N természetes szám, melyre K < n, ugynis z := 1, b := K szereposztássl z xióm ilyen természetes számot biztosít. Megmuttjuk zt is, hogy bármely ε R, 0 < ε esetén vn olyn n N természetes szám, hogy 1 n < ε, ugynis legyen := ε és b := 1. Az xióm szerint vn olyn n N, hogy 1 < n ε. Rendre lklmzv megfelel szbályt 1 < nε / + ( 1) 0 < nε 1 / 1 n 0 < 1 n (nε 1) = ε 1 n / + 1 n 1 n < ε. Az Archimedesz-xiómávl sem vált még minden igényt kielégít vé z R. Szükségünk lesz egy utolsó xiómár, melyet néhány foglomml készítünk el. 2.1.3. Fels és lsó htár 2.3. Deníció. Legyen A R, A. Azt mondjuk, hogy A felülr l korlátos számhlmz, h vn olyn K R, hogy bármely A esetén K. Az ilyen K z A hlmz egyik fels korlátj. Legyen A R, A felülr l korlátos hlmz. Tekintsük B := {K R K fels korlátj z A hlmznk} hlmzt. Legyen α R B hlmz legkisebb eleme, zz olyn szám, melyre 1 o α B (α is fels korlátj z A hlmznk) 2 o bármely K B fels korlátr α K. A kérdés csupán z, hogy vn-e ilyen α R. Fels htár xiómáj: Minden felülr l korlátos A R, A hlmznk vn legkisebb fels korlátj. Az ilyen α R számot (mely nem feltétlenül eleme z A hlmznk) hlmz fels htáránk nevezzük, és így jelöljük: α := sup A Nyilván igz sup A két tuljdonság: (z A hlmz szuprémum)
2.1. VALÓS SZÁMOK A 15 1 o bármely A esetén sup A 2 o bármely 0 < ε esetén vn olyn A, hogy (sup A) ε <. A m veleti, rendezési szbályrendszerrel, z Archimedesz-xiómávl és fels htár xiómájávl teljessé tettük z R vlós számok hlmzát. Ezzel biztos lpot teremtettünk jöv beni számolásokhoz is. Néhány további megállpodás. 2.4. Deníció. Legyen A R, A. Azt mondjuk, hogy A lulról korlátos, h vn olyn L R, hogy minden A esetén L. Az L z A hlmz egyik lsó korlátj. Legyen A lulról korlátos számhlmz. Az A lsó korlátji közül legngyobb hlmz lsó htár. (Ennek létezéséhez már nem kell újbb xióm, visszvezethet fels htár létezésére.) Az A hlmz lsó htárát inf A (z A hlmz inmum) jelölje. Nyilván igz, hogy 1 o bármely A esetén inf A 2 o bármely 0 < ε esetén vn olyn A, hogy < (inf A) + ε. 2.1.4. Intervllumok és környezetek 2.5. Deníció. Legyen I R. Azt mondjuk, hogy I intervllum, h bármely x 1, x 2 I, x 1 < x 2 esetén minden olyn x R, melyre x 1 < x < x 2, fennáll, hogy x I. 2.1. Tétel. Legyen, b R, < b. [, b]:={x R x b} [, b):={x R x < b} (, b]:={x R < x b} (, b):={x R < x < b} [, + ):={x R x} (, + ):={x R < x}; (0, + ) =: R + (, ]:={x R x } (, ):={x R x < }; (, 0) =: R (, + ) := R
16 FEJEZET 2. SZÁMHALMAZOK Ezek mindegyike intervllum. Megemlítjük, hogy z [, ] = {} és z (, ) = elfjuló intervllumok. 2.6. Deníció. Legyen R, r R +. Az pont r sugrú környezetén K r () := ( r, + r) nyílt intervllumot értjük. Azt mondjuk, hogy K() z pont egy környezete, h vn olyn r R +, hogy K() = K r (). 2.1.5. Vlós számok htványi 2.7. Deníció. Legyen R. Ekkor 1 :=, 2 :=, 3 := 2,..., n := n 1,... 2.8. Deníció. Legyen R, 0. A jelentse zt nemnegtív számot, melynek négyzete, zz 0, ( ) 2 =. Vegyük észre, hogy bármely R esetén 2 =. 2.9. Deníció. Legyen R, k N. A 2k+1 jelentse zt vlós számot, melynek (2k + 1)-edik htvány. Vegyük észre, hogy h 0 <, kkor 2k+1 > 0, és h < 0, kkor 2k+1 < 0. 2.10. Deníció. Legyen R, 0, k N. A 2k jelentse zt nemnegtív számot, melynek (2k)-dik htvány z. Vezessük be következ jelölést: h n N és R z n pritásánk megfelel, kkor 1 n := n. 2.11. Deníció. Legyen R +, p, q N. p q := q p. 2.12. Deníció. Legyen R +, p, q N. p q := 1 q p. 2.13. Deníció. Legyen R \ {0}. Ekkor 0 := 1. Láthtó, hogy ezzel denícióláncolttl egy R + bármely r Q rcionális kitev j htványát értelmeztük. Beláthtó, hogy deníciókbn szerepl számok egyértelm en léteznek, és érvényesek következ zonosságok: 1 o R +, r, s Q esetén r s = r+s 2 o R +, r Q esetén r b r = (b) r 3 o R +, r, s Q esetén ( r ) s = rs
2.2. FELADATOK 17 2.2. Feldtok 1. Legyen, b R. Mutssuk meg, hogy ( + b) 2 := ( + b)( + b) = 2 + 2b + b 2 2 b 2 = ( b)( + b) 3 b 3 = ( b)( 2 + b + b 2 ) 3 + b 3 = ( + b)( 2 b + b 2 ) 2. Mutssuk meg, hogy minden x R, x 1 és bármely n N esetén x n+1 1 x 1 = 1 + x + x 2 + + x n. 3. (Bernoulli-egyenl tlenség) Legyen h ( 1, + ) és n N. Mutssuk meg, hogy (1 + h) n 1 + nh. Megoldás: Legyen S := {n N (1 + h) n 1 + nh}. 1 o 1 S, mert (1 + h) 1 = 1 + 1 h. 2 o Legyen k S. Megmuttjuk, hogy k + 1 S, ugynis (1 + h) k+1 = (1 + h) k (1 + h) (1 + kh)(1 + h) = = 1 + (k + 1)h + kh 2 1 + (k + 1)h. (A rendezés szbályi mellett felhsználtuk, hogy k S, zz (1 + h) k 1 + kh.) Emlékezve z N bevezetésének 4 o követelményére, ez zt jelenti, hogy S = N, zz minden n N esetén igz z egyenl tlenség. Ezt bizonyítási módszert hívják teljes indukciónk. 4. Legyen, b R +. A 2 := + b 2, G 2 := b, H 2 := 2 1 + 1, N 2 := b 2 + b 2 Mutssuk meg, hogy H 2 G 2 A 2 N 2 és egyenl ség számok között kkor és csk kkor áll, h = b. Ezek ngymérték áltlánosítás is igz. Legyen k N (k 3) és x 1, x 2,..., x k R +. A k := x 1+x 2 + +x k k, G k := k k x 1 x 2 x k, H k := 1 x + 1 1 x + + 1 2 2 x k, N k := Igzolhtó, hogy H k G k A k N k, és egyenl ség számok között kkor és csk kkor áll fenn, h x 1 = x 2 =... = x k. x 2 1 +x2 2 + +x2 k k.
18 FEJEZET 2. SZÁMHALMAZOK 5. Legyen h R és n N. Ekkor (1 + h) n = 1 + nh + ( ) n h 2 + 2 ( ) n h 3 + + h n, 3 hol felhsználv, hogy k! := 1 2... k, z ( ) n n! = k k!(n k)!, k = 0, 1, 2,..., n (kiegészítésül 0! := 1). Ebb l igzolhtó binomiális tétel: Legyen, b R, n N. Ekkor n ( ) n ( + b) n = k b n k. k k=0 6. Legyen A := { n n+1 n N}. Mutssuk meg, hogy A felülr l korlátos. Mi sup A? n Megoldás: Mivel bármely n N esetén n < n + 1, ezért n+1 < 1, tehát K := 1 fels korlát. Megmuttjuk, hogy sup A = 1, ugynis 1 o Bármely n N esetén n n+1 < 1. 2 o Legyen ε R +. Keresünk olyn n N számot, melyre n n + 1 > 1 ε. n > (1 ε)(n + 1) = n εn + 1 ε εn > 1 ε n < 1 ε ε R számnál is vn ngyobb termé- Mivel bármilyen számnál, így z 1 ε ε szetes szám, legyen ez n n N, ezért z Tehát sup A = 1. n +1 A olyn, hogy n n +1 > 1 ε. 7. * Legyen E := {( n+1 n )n n N}. Mutssuk meg, hogy E R felülr l korlátos. Megoldás: Megmuttjuk, hogy bármely n N esetén ( ) n n + 1 4. n Legyen n N, és tekintsük z 1 4 ( n+1 n )n számot. A 4. példábn szerepl számtni (A k ) és mértni (G k ) közép közötti egyenl tlenség szerint 1 4 ( n + 1 n ) n = 1 2 1 2 n + 1 n + 1 n n n + 1 ( 1 2 + 1 2 + n+1 n n + 2 n + n+1 n... n+1 n )n+2 = 1,
2.3. KOMPLEX SZÁMOK A 19 ezért ( n+1 n )n 4, tehát E felülr l korlátos. A fels htár xiómáj szerint vn fels htár. Legyen e := sup E. Megjegyezzük, hogy ezt fels htárt soh senki nem tudt és tudj megsejteni (nem úgy, mint 6. példábn... ). Közelít leg e 2, 71. Euler nevéhez f z dik z e szám bevezetése. 8. Legyen P := {( 1 1 ) (1 12 ) 2 2 (1 12 ) ( 3 1 1 ) } 2 n n N. Létezik-e inf P? (H már belátt, hogy létezik z inf P, ne keseredjen el, h nem tudj megdni. Megoldtln problém.) 2.3. Komplex számok A 2.3.1. A komplex szám foglm, m veletek Úgy áltlánosítjuk vlós számokt, hogy m veletek tuljdonsági ne változznk. Legyen C := R R vlós számpárok hlmz. úgy, hogy z (, b), (c, d) C esetén Vezessük be z összedást szorzást pedig úgy, hogy (, b) + (c, d) := ( + c, b + d); (, b) (c, d) := (c bd, d + bc). Könnyen ellen rizhet z összedás és szorzás néhány tuljdonság. 1. (, b), (c, d) C esetén (, b)+(c, d) = (c, d)+(, b) (kommuttivitás) 2. (, b), (c, d), (e, f) C esetén (, b) + ((c, d) + (e, f)) = ((, b) + (c, d)) + (e, f) (sszocitivitás) 3. (, b) C esetén (, b) + (0, 0) = (, b) 4. (, b) C esetén (, b) C olyn lesz, hogy (, b) + (, b) = (0, 0). m1. (, b), (c, d) C esetén (, b) (c, d) = (c, d) (, b) (kommuttivitás) m2. (, b), (c, d), (e, f) C esetén (, b) ((c, d) (e, f)) = ((, b) (c, d)) (e, f) (sszocitivitás) m3. (, b) C esetén (, b) (1, 0) = (, b)
20 FEJEZET 2. SZÁMHALMAZOK b (,b)=+ib i 1 2.1. ábr. m4. (, b) C \ {(0, 0)} esetén z ( 2 +b, b 2 2 +b ) C olyn, hogy 2 d. (, b), (c, d), (e, f) C esetén (, b) ( 2 + b 2, b 2 ) = (1, 0) + b2 (, b) [(c, d) + (e, f)] = (, b) (c, d) + (, b) (e, f) ( szorzás disztributív z összedásr nézve) Az 1..4, m1.m.4 és d. tuljdonságok indokolják, hogy vlós számokkl végzett m veletek, számolások (melyek összedást, szorzást trtlmznk és legfeljebb egyenl ségekre vontkoznk) komplex számokkl ugynúgy végezhet k el. Azonosítsuk z R vlós számot és z (, 0) C komplex számot. (Nyilvánvlón bijekció létezik z R és z R {0} C hlmz között.) Vezessük be z i := (0, 1) C képzetes egységet. Ekkor bármely (, b) C komplex számr (, b) = (, 0) + (0, 1)(b, 0) = + ib. (A második egyenl ség z zonosítás következménye!) Figyelembe véve, hogy i 2 = (0, 1) (0, 1) = 1, egyszer vé válik z összedás és szorzás is + ib + c + id = + c + i(b + d), ( + ib) (c + id) = c bd + i(d + bc). A komplex számot helyvektorként szenléltethetjük (2.1. ábr). Az összedás vektorok összedásánk prlelogrmm szbályánk megfelel (2.2. ábr).
2.3. KOMPLEX SZÁMOK A 21 +c+i(b+d) c+id +ib 2.2. ábr. b +ib r φ 2.3. ábr. 2.3.2. Komplex számok trigonometrikus lkj Egy +ib C komplex számhoz hozzárendelhetjük z bszolút értékét és irányszögét (2.3. ábr). Az bszolút érték: r = 2 + b 2. Az irányszög síknegyedenként dhtó meg: rctg b, h > 0 és b 0 π 2, h = 0 és b > 0 π rctg b ϕ =, h < 0 és b 0 π + rctg b, h < 0 és b < 0 3π 2 h = 0 és b < 0 2π rctg b, h > 0 és b < 0 Láthtó, hogy z irányszögre ϕ [0, 2π). Megjegyezzük, hogy = 0, b = 0 esetén r = 0, és z irányszög ekkor tetsz legesen válszthtó.
22 FEJEZET 2. SZÁMHALMAZOK rp p α+β β α r 2.4. ábr. H egy + ib C komplex számnk r z bszolút értéke és ϕ z irányszöge, kkor = r cos ϕ, b = r sin ϕ, ezért + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ). Ez komplex szám trigonometrikus lkj. A komplex számok trigonometrikus lkjánk felhsználásávl szemléletesebbé válik komplex számok szorzás is. Legyen r(cos α + i sin α), p(cos β + i sin β) C, ekkor r(cos α + i sin α) p(cos β + i sin β) = = rp(cos α cos β sin α sin β + i(sin α cos β + cos α sin β)) = = rp(cos(α + β) + i sin(α + β)). Tehát szorzásnál z bszolút értékek összeszorzódnk, z irányszögek pedig összedódnk (2.4. ábr). A htványozás komplex szám trigonometrikus lkjávl igen egyszer en végezhet el. H z = + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ) C és n N, kkor z n = ( + ib) n = [r(cos ϕ + i sin ϕ)] n = r n (cos nϕ + i sin nϕ), zz komplex szám n-edik htványánál z bszolút érték n-edik htvány és z irányszög n-szerese jelenik meg z n trigonometrikus lkjábn.
3. fejezet Elemi függvények Ismertetjük vlós számok hlmzán értelmezett, vlós szám érték függvények legfontosbb tuljdonságit. Deniáljuk gykrn hsznált vlós-vlós függvényeket, melyeket elemi függvényeknek neveznek. Az lábbi témköröket tárgyljuk. M veletek vlós függvényekkel Korlátos, monoton, periodikus, páros, pártln függvény foglm Htványfüggvények Exponenciális és logritmus függvények Trigonometrikus függvények és inverzeik Hiperbolikus függvények és inverzeik Néhány különleges függvény 3.1. Vlós-vlós függvények lptuljdonsági A 3.1. Deníció. Legyen f : R R, λ R. Ekkor λf : D(f) R, (λf)(x) := λf(x). 3.2. Deníció. Legyen f, g : R R, D(f) D(g). Ekkor f + g : D(f) D(g) R, (f + g)(x) := f(x) + g(x) f g : D(f) D(g) R, (f g)(x) := f(x) g(x). 3.3. Deníció. Legyen g : R R, H := D(g) \ {x D(g) g(x) = 0} =. Ekkor 1/g : H R, (1/g)(x) := 1 g(x). 23
24 FEJEZET 3. ELEMI FÜGGVÉNYEK 3.4. Deníció. Legyen f, g : R R f g := f 1/g 3.5. Deníció. Legyen f : R R. Azt mondjuk, hogy f felülr l korlátos függvény, h R(f) R felülr l korlátos hlmz. Azt mondjuk, hogy f lulról korlátos függvény, h R(f) R lulról korlátos hlmz. Azt mondjuk, hogy f korlátos függvény, h R(f) R lulról is és felülr l is korlátos hlmz. 3.6. Deníció. Legyen f : R R. Azt mondjuk, hogy f monoton növ függvény, h bármely x 1, x 2 D(f), x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Az f szigorún monoton növ, h bármely x 1, x 2 D(f), x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) < f(x 2 ). Azt mondjuk, hogy f monoton csökken függvény, h minden x 1, x 2 D(f), x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Az f szigorún monoton csökken, h bármely x 1, x 2 D(f), x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) > f(x 2 ). 3.7. Deníció. Legyen f : R R. Azt mondjuk, hogy f páros függvény, h 1 o minden x D(f) esetén x D(f), 2 o minden x D(f) esetén f( x) = f(x). 3.8. Deníció. Legyen f : R R. Azt mondjuk, hogy f pártln függvény, h 1 o minden x D(f) esetén x D(f), 2 o minden x D(f) esetén f( x) = f(x). 3.9. Deníció. Legyen f : R R. Azt mondjuk, hogy f periodikus függvény, h létezik olyn p R, 0 < p szám, hogy 1 o minden x D(f) esetén x + p, x p D(f), 2 o minden x D(f) esetén f(x + p) = f(x p) = f(x). A p szám függvény egyik periódus. 3.2. Az elemi függvények A 3.2.1. Htványfüggvények Legyen id : R R, id(x) := x. Az id szigorún monoton növ, pártln függvény (3.1. ábr). Legyen id 2 : R R, id 2 (x) := x 2. Az id 2 szigorún R +
3.2. AZ ELEMI FÜGGVÉNYEK A 25 id 3.1. ábr. id 2 1 1 3.2. ábr.
26 FEJEZET 3. ELEMI FÜGGVÉNYEK id 3 1 1 3.3. ábr. 1 id 1 1 3.4. ábr. monoton növ, z id 2 R szigorún monoton fogyó. Az id2 páros (3.2. ábr). Legyen id 3 : R R, id 3 (x) := x 3. Az id 3 szigorún monoton növ, pártln függvény (3.3. ábr). H n N, kkor id n : R R, id n (x) := x n függvény páros n esetén z id 2, pártln n esetén z id 3 tuljdonságit örökli. Legyen id 1 : R \ {0} R, id 1 (x) := 1/x. Az id 1 R és z id 1 R + szigorún monoton fogyó (de id 1 nem monoton!). Az id 1 pártln (3.4. ábr). Legyen id 2 : R \ {0} R, id 2 (x) := 1/x 2. Az id 2 szigorún monoton R n, z id 2 szigorún monoton fogy. Az id 2 páros (3.5. ábr). R + Legyen n N. Az id n : R \ {0} R, id n (x) := 1/x n függvény páros n esetén z id 2, pártln n esetén z id 1 tuljdonságit örökli.
3.2. AZ ELEMI FÜGGVÉNYEK A 27 1 id 2 1 3.5. ábr. id 1/2 1 1 3.6. ábr. Legyen id 1/2 : [0, ) R, id 1/2 (x) := x. Az id 1/2 szigorún monoton növeked függvény (3.6. ábr). Megemlítjük, hogy z id 2 [0, ) kölcsönösen egyértelm függvény inverzeként is értelmezhet id 1/2. Legyen r Q. Az id r : R + R, id r (x) := x r. Néhány r esetén szemléltetjük z id r függvényeket (3.7. ábr). Végül legyen id 0 : R R, id 0 (x) := 1. Az id 0 monoton növeked, monoton fogyó is, páros függvény. Bármilyen p > 0 szám szerint periodikus (3.7. ábr). 3.2.2. Exponenciális és logritmus függvények Legyen R +. Az lpú exponenciális függvény exp : R R, exp (x) := x.
28 FEJEZET 3. ELEMI FÜGGVÉNYEK id 1/2 id 3/2 id 2/3 1 id 0 1 3.7. ábr. exp <1 exp >1 1 exp 1 3.8. ábr. exp szigorún monoton növ, h > 1, exp szigorún monoton fogyó, h < 1, exp = id 0, h = 1 (monoton növ és monoton fogyó is) (3.8. ábr). H > 0 és 1, kkor R(exp ) = R +, zz csk pozitív értéket vesz fel z exp (és minden pozitív számot fel is vesz). Bármely > 0 esetén minden x 1, x 2 R mellett exp (x 1 + x 2 ) = exp (x 1 ) exp (x 2 ). (Ez legfontosbb ismertet jele z exponenciális függvényeknek.) Kitüntetett szerepe vn z exp e =: exp függvénynek (3.9. ábr) (e z el z fejezet 7.* példájábn szerepl Euler-féle szám).
3.2. AZ ELEMI FÜGGVÉNYEK A 29 exp e 1 3.9. ábr. log >1 1 log <1 3.10. ábr. Legyen > 0, 1. Mivel exp szigorún monoton, ezért kölcsönösen egyértelm is, tehát vn inverzfüggvénye. log := (exp ) 1 lesz z lpú logritmus függvény (3.10. ábr). Tehát log : R + R, log (x) = y, melyre exp (y) = x. H > 1, kkor log szigorún monoton növeked, h < 1, kkor log szigorún monoton fogyó. Alpvet tuljdonság logritmus függvényeknek, hogy 1 o bármely > 0, 1 és minden x 1, x 2 R + esetén log (x 1 x 2 ) = log x 1 + log x 2.
30 FEJEZET 3. ELEMI FÜGGVÉNYEK 1 ln 1 e 3.11. ábr. 2 o bármely > 0, 1 és minden x R + és k R esetén log x k = k log x. 3 o bármely, b > 0,, b 1 és minden x R + esetén log x = log b x log b. A 3 o tuljdonság szerint kár egyetlen logritmus függvény számszorosként z összes logritmus függvény el áll. Ezért is vn kitüntetett szerepe z e lpú logritmusnk: ln := log e természetes lpú logritmus (3.11. ábr). 3.2.3. Trigonometrikus függvények és inverzeik Legyen sin : R R, sin x := Ne keressen egy formulát! Vegyen fel egy 1 sugrú kört. A középpontján át rjzoljon két egymásr mer leges egyenest. Az egyik z (1) tengely, másik (2) tengely. Ahol z (1) tengely (pozitív fele) metszi kört, bból pontból mérje fel z x R számnk megfelel ívet kör kerületére. [Ez m velet ngy kézügyességet igényel!... ] Az ív P végpontjánk második koordinátáj legyen sin x (3.12. ábr). A sin függvény pártln, p = 2π szerint periodikus (3.13. ábr). R(sin) = [ 1, 1]. Legyen cos : R R, cos x := sin(x + π 2 ). A cos függvény páros, p = 2π szerint periodikus (3.14. ábr). R(cos) = [ 1, 1]. Alpvet összefüggések: 1 o Bármely x R esetén cos 2 x + sin 2 x = 1.
3.2. AZ ELEMI FÜGGVÉNYEK A 31 (2) 1 P 1 sin x x (1) 3.12. ábr. 1 sin π/2 π/2 π 2π 1 3.13. ábr. 1 cos π/2 π/2 π 2π 1 3.14. ábr.
32 FEJEZET 3. ELEMI FÜGGVÉNYEK tg π/2 π/2 π 3.15. ábr. ctg π π/2 π/2 π 3.16. ábr. 2 o Bármely x 1, x 2 R esetén sin(x 1 + x 2 ) = sin x 1 cos x 2 + cos x 1 sin x 2, cos(x 1 + x 2 ) = cos x 1 cos x 2 sin x 1 sin x 2. Legyen tg := sin cos cos és ctg := sin. Az értelmezésb l következik, hogy { π } D(tg) = R \ 2 + kπ k Z, D(ctg) = R \ {kπ k Z}. A tg és ctg is pártln, p = π szerint periodikus (3.15. és 3.16. ábr). A trigonometrikus függvények periodikusságuk mitt nem kölcsönösen egyértelm ek. Tekintsük sin [ π lesz kítést. Ez függvény szigorún monoton növeked,, π 2 2 ] ezért kölcsönösen egyértelm, így vn inverz függvénye: rcsin := (sin [ π 2, π 2 ]) 1
3.2. AZ ELEMI FÜGGVÉNYEK A 33 π/2 rcsin 1 1 π/2 3.17. ábr. π rccos 1 1 3.18. ábr. Az értelmezésb l rcsin : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ], rcsin x = α, melyre sin α = x. Az rcsin szigorún monoton növeked, pártln függvény (3.17. ábr). A cos függvény [0, π] intervllumr vló lesz kítése szigorún monoton fogyó, ezért vn inverzfüggvénye: rccos := (cos [0,π] ) 1 Az értelmezésb l következik, hogy rccos : [ 1, 1] [0, π], rccos x = α, melyre cos α = x. Az rccos függvény szigorún monoton fogyó (3.18. ábr). A tg függvény ( π 2, π 2 ) intervllumr vló lesz kítése szigorún monoton növ, ezért vn inverzfüggvénye: rctg := (sin [ π 2, π 2 ]) 1
34 FEJEZET 3. ELEMI FÜGGVÉNYEK π/2 rctg π/2 3.19. ábr. π π/2 rcctg 3.20. ábr. Az értelmezésb l következik, hogy rctg: R ( π 2, π 2 ), rctg x = α, melyre tg α = x. Az rctg szigorún monoton növeked, pártln függvény (3.19. ábr). A ctg függvény (0, π) intervllumr vló lesz kítése szigorún monoton fogyó, ezért vn inverzfüggvénye: rcctg := (ctg [0,π] ) 1 Az értelmezésb l következik, hogy rcctg : R (0, π), rcctg x = α, melyre ctg α = x. Az rcctg szigorún monoton fogyó függvény (3.20. ábr).
3.2. AZ ELEMI FÜGGVÉNYEK A 35 sh 3.21. ábr. ch 1 3.22. ábr. 3.2.4. Hiperbolikus függvények és inverzeik Legyen sh : R R, shx := ex e x 2. Az sh szigorún monoton növ, pártln függvény (3.21. ábr). Legyen ch : R R, chx := ex +e x 2. A ch R szigorún monoton fogyó, ch R szigorún monoton növ. A ch páros függvény. R(ch) = [1, + ). Gykrn láncgörbének is nevezzük ezt függvényt (3.22. + ábr). Alpvet összefüggések: 1 o Bármely x R esetén ch 2 x sh 2 x = 1. 2 o Bármely x 1, x 2 R esetén sh(x 1 + x 2 ) = shx 1 chx 2 + chx 1 shx 2, ch(x 1 + x 2 ) = chx 1 chx 2 + shx 1 shx 2.
36 FEJEZET 3. ELEMI FÜGGVÉNYEK cth 1 th 1 3.23. ábr. rsh 3.24. ábr. Legyen th := ch sh, cth := ch sh. Az értelmezésb l következik, hogy th : R R, th x = ex e x e x +e, cth : R \ {0} x R, cth x = ex +e x e x e. A th és cth pártln függvények (3.23. ábr). x A th szigorún növeked függvény. R(th) = ( 1, 1). A cth szigorún fogyó, cth R R szigorún növ függvény. R(cth) = R\[ 1, 1]. + Az sh szigorún monoton növeked függvény, ezért vn inverzfüggvénye: rsh := (sh) 1. Az értelmezésb l következik, hogy rsh : R R, rsh x = ln(x + x 2 + 1) (lásd z 5. feldtot). Az rsh szigorún monoton növeked, pártln függvény (3.24. ábr).
3.2. AZ ELEMI FÜGGVÉNYEK A 37 rch 1 3.25. ábr. rth 1 1 3.26. ábr. Az ch függvény [0, ) intervllumr vló lesz kítése szigorún monoton növeked, ezért vn inverzfüggvénye: rch := (ch [0, ) ) 1. Az értelmezésb l következik, hogy rch : [1, ) [0, ), rch x = ln(x + x2 1). Az rch szigorún monoton növeked függvény (3.25. ábr). Az th szigorún monoton növeked, ezért vn inverzfüggvénye: rth := (th) 1. Az értelmezésb l következik, hogy rth : ( 1, 1) R, rth x = 1 2 rth szigorún monoton növeked, pártln függvény (3.26. ábr). ln 1+x 1 x. Az
38 FEJEZET 3. ELEMI FÜGGVÉNYEK rcth 1 3.27. ábr. Az cth függvény R + intervllumr vló lesz kítése szigorún monoton fogyó, ezért vn inverzfüggvénye: rcth := (cth R + ) 1. Az értelmezésb l következik, hogy rcth : (1, + ) R +, rcth x = 1 2 Az rcth szigorún monoton fogyó függvény (3.27. ábr). ln x+1 x 1. 3.2.5. Néhány különleges függvény 1. Legyen bs : R R, bs(x) := x, hol (emlékeztet ül) x := { x, h x 0 x, h x < 0. (3.28. ábr) 1, h x > 0 2. Legyen sgn : R R, sgn(x) := 0, h x = 0 1, h x < 0. (3.29. ábr) 3. Legyen ent : R R, ent(x) := [x], hol [x] := mx{n Z n x}. (Az x R szám egész része z x-nél kisebb vgy egyenl egészek közül legngyobb.) (3.30. ábr) { 1, h x Q 4. Legyen d : R R, d(x) := 0, h x R \ Q. Dirichlet-függvénynek nevezik, nem is kíséreljük meg szemléltetését.
3.2. AZ ELEMI FÜGGVÉNYEK A 39 bs 1 1 3.28. ábr. 1 sgn 1 3.29. ábr. ent 1 1 1 2 1 3.30. ábr.
40 FEJEZET 3. ELEMI FÜGGVÉNYEK 5. Legyen r : R R { 0, h x R \ Q r(x) := 1 q, h x Q, x = p q hol p Z, q N, és p-nek és q-nk nincs vlódi közös osztój. Riemnnfüggvénynek nevezik, ezt sem kíséreljük meg szemléltetni. 3.3. Feldtok 1. Számítsuk ki következ függvényértékeket: id 0 (7) = id 3 ( 1 2 ) = id 1 2 (4) = id 6 (1) = id(6) = id 3 ( 1 2 ) = id 3 2 (4) = id 6 (2) = id 2 (5) = id 3 (0) = id 3 2 (4) = id 6 ( 1 2 ) = 2. Állíts növekv sorrendbe következ számokt: ) sin 1, sin 2, sin 3, sin 4 b) ln 2, exp 2 1 2, exp 1 2 2, log 2 1 c) sh 3, ch ( 2), rsh 4, th 1 d) rcsin 1 2, rctg 10, th 10, cos 1 3. Igzolj, hogy ch 2 x sh 2 x = 1, ch 2 x = ch(2x)+1 2 minden x R esetén. 4. Igzolj, hogy minden x, y R esetén ) sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos 2 x sin 2 x, cos 2 x = sin 2 x = 1 cos 2x 2 b) sin x sin y = 2 sin x y 5. Mutss meg, hogy 2 cos x+y 2 ) rsh x = ln(x + x 2 + 1) (x R) b) rch x = ln(x + x 2 1) (x [1, + )) c) rth x = 1 2 Megoldás: ) 1 o y = sh x = ex e x 2 2 o x = ey e y 2 2x = e y e y / e y ln 1+x 1 x (x ( 1, 1)) 2xe y = (e y ) 2 1 (e y ) 2 2xe y 1 = 0 1+cos 2x 2,, cos x cos y = 2 sin y x 2 sin x+y 2.
3.3. FELADATOK 41 (e y ) 1,2 = 2x± 4x 2 +4 2 = x ± x 2 + 1 Mivel z exp függvény csk pozitív értéket vesz fel, és bármely x R esetén x 2 + 1 > x 2 = x x, ezért csk e y = x + x 2 + 1. Ebb l de ez zt jelenti, hogy y = ln(x + x 2 + 1), 6. Mutss meg, hogy rctg π 2 th. 3 o rsh x = ln(x + x 2 + 1). 7. Alkosson képet következ függvényekr l: { sin 1 ) f : R R, f(x) := x, h x 0 0, h x = 0 { x b) g : R R, g(x) := 2 sin 1 x, h x 0 0, h x = 0 { x c) h : R R, h(x) := 2 (sin 1 x + 2), h x 0 0, h x = 0 8. Legyen f : R R tetsz leges függvény. Mutss meg, hogy ϕ, ψ : R R f(x) + f( x) f(x) f( x) ϕ(x) :=, ψ(x) := 2 2 függvények közül ϕ páros, ψ pártln, és f = ϕ + ψ. H f = exp, kkor mi lesz ϕ és ψ függvény? 9. Legyen f, g : R R. Tegyük fel, hogy f periodikus p > 0, g pedig q > 0 szám szerint. ) Mutss meg, hogy h p q Q, kkor f + g is periodikus. b) Keressen példát rr, hogy h p q R \ Q, kkor f + g nem periodikus. Megoldás: ) Legyen p q = k l, hol k, l N. Ekkor lp = kq. Legyen ω := lp + kq > 0. Megmuttjuk, hogy f + g függvény ω szerint periodikus. 1 o D(f + g) = R 2 o minden x R esetén (f + g)(x + ω) = f(x + kq + lp) + g(x + lp + kq) = f(x + kq) + g(x + lp) = = f(x + lp) + g(x + kq) = f(x) + g(x) = (f + g)(x). Hsonló z (f + g)(x ω) = (f + g)(x) igzolás is.
42 FEJEZET 3. ELEMI FÜGGVÉNYEK
4. fejezet Soroztok, sorok A soroztok igen egyszer függvények. Rjtuk tnulmányozhtó közelítés pontosság. Hsznos épít kövei kés bbi foglmknk. Az lábbi témköröket tárgyljuk. Sorozt foglm, monotonitás, korlátosság Htárérték és konvergenci Fontos htárértékek Htárérték és m veletek kpcsolt Az e szám deníciój Cuchy-féle konvergencikritérium soroztr Sor konvergenciáj Konvergencikritériumok sorokr 4.1. Soroztok, sorok A 4.1.1. A sorozt foglm és tuljdonsági A sorozt természetes számok hlmzán értelmezett függvény. Legyen H hlmz, h : N H, kkor H-beli soroztról beszélünk. H például H vlós számok hlmz, kkor számsoroztról; h H bizonyos jelek hlmz, kkor jelsoroztról; h H z intervllumok hlmz, kkor intervllumsoroztról beszélünk. Legyen : N R számsorozt. H n N, kkor (n) helyett n legyen sorozt n-edik tgj. Mgát z : N R számsoroztot is rövidebb ( n ) helyettesítse, esetleg ( n ) R hngsúlyozz, hogy számsoroztról vn szó. Például z : N R, n := 1 n helyett z ( 1 n ) soroztról beszélünk. 43