GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet és a Balassi Kiadó közrem ködésével Készítette: Lovics Gábor Szakmai felel s: Lovics Gábor 010. június 1
ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten 8. hét Analízis Lovics Gábor Halmazok Alapfogalmak Nevezetes halmazok Természetes számok halmaza: N. Természetes számok halmaza nullával kiegészülve: N 0. Egész számok halmaza: Z. Racionális számok halmaza: Q. Valós számok halmaza: R. Pozitív, negatív valós számok halmaza: R +, R. Nem negatív, illetve nem pozitív valós számok halmaza: R, R. Üres halmaz:. Jelölések Eleme:. Például: 3 Z. Nem eleme: /. Például: π / Q. Valódi része, valódi részhalmaza: vagy. Része, részhalmaza:. Például: Z R. Létezik:. Tagadása: nem létezik, ; vagy mindegyikre hamis. Állítás: Létezik lila fa. Tagadás: Nem létezik lila fa. Tagadás: Mindegyik fára igaz, hogy nem lila. Minden:. Tagadása: létezik, hogy nem igaz. Állítás: Minden fa zöld. Tagadás: Létezik olyan fa, amelyik nem zöld. Rossz tagadás: Nem létezik zöld fa.
Halmazok formális deníciói Halmazokat { } zárójelekkel adunk meg, és általában nagybet vel jelöljük. Elemek felsorolásával: S = {6; ; 47}. Legtöbbször a következ formát használjuk: S = {általános elem: deniáló tulajdonságok}. Például páros számok halmaza: P = {n : n = k, k Z}. Irracionális számok halmaza: Q = {x : x R, x / Q}. Egy origó középpontú, 5 egység sugarú körön lév pontok halmaza: K = {(x, y) : x + y = 5}. Intervallumok megadása. Legyenek a, b R, a < b. Ekkor (a, b) = {x : x R, a < x < b}, [a, b) = {x : x R, a x < b}, (a, b] = {x : x R, a < x b}, [a, b] = {x : x R, a x b}. Az inmum és a szuprémum Alsó és fels határ 1. Deníció Egészítsük ki a valós számok halmazát a minusz és plusz végtelennel. Az így kapott halmazt nevezzük kib vített valós számok halmazának. R = R { ; + }. Deníció Legyen H R tetsz leges halmaz. A H halmazt felülr l korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan f R, amire teljesül, hogy h f, minden h H-ra. Az ilyen tulajdonággal bíró f R értéket a H halmaz fels korlátjának nevezzük. Hasonlóan a H halmazt alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan a R, hogy a h, minden h H-ra. Az ilyen tulajdonággal bíró a R értéket a H halmaz alsó korlátjának nevezzük. A H halmazt korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülr l is korlátos. A valós számokon deniált részhalmazakról általában nem mondható el, hogy létezik legnagyobb, illetve legkisebb elemük. A következ egyszer állítás mégis igaz. 1. Tétel Legyen H R tetsz leges halmaz, és jelölje A R a H halmaz alsó korlátainak halmazát, F R pedig a fels korlátainak halmazát. Ekkor az A halmaznak létezik legnagyobb, az F halmaznak pedig létezik legkisebb eleme. A tétel alapján pedig értelmes a következ deníció. 3. Deníció Legyen H R tetsz leges halmaz, és jel lje megint A az alsó, F pedig a fels korlátok halmazát. Ekkor a H halmaz alsó határán vagy inmumán az A halmaz legnagyobb elemét értjük. Jele: inf H. A H halmaz fels határán vagy szuprémumán pedig az F halmaz legkisebb elemét értjük. Jele sup H. 3
Példák inmumra és szuprémumra Legyen H R nemüres, korlátos halmaz. Ha a halmaz korlátos, akkor mind a szuprémuma mind az inmuma valós szám. Ha a halmaz nem üres, és felür l nem korlátos, akkor a szuprémuma. Hasonlóan, ha nem üres, és aluról nem korlátos, akkor az inmuma. Els ránézésre logikusnak látszik, hogy egy halmaz szuprémuma sosem kisebb, mint az inmuma. Azonban gondoljuk végig mit mond a deníció, ha a halmaz üres. Az üres halmaz esetén minden számra teljesül, hogy nagyobb vagy egyenl, mint a halmaz összes eleme, vagyis az üres halmaznak minden szám fels korlátja. A fels korlátok közül a legkisebb pedig a lesz. Vagyis az üres halmaz szuprémuma. Hasonlóan az is teljesül minden valós számra, hogy kisebb vagy egyenl, mint a halmazban lév elemek. Így a az üres halamaz inmuma. Ezt a speciális esetet leszámítva az inmum és a szuprémum valójában nem más, mint a halmaz minimumának és maximumának általánosítása, utóbbiak ugyanis nem mindig léteznek. Vizsgáljuk meg, a korlátos intervallum esetét. Legyen A = (a, b]. Ekkor a halmaznak maximuma b, minimuma viszont nem létezik. Az a nem a halmaz minimuma, mert az a nem eleme a halmaznak. Ezzel szemben az a inmuma az A halmaznak. Sorozatok Részsorozat 4. Deníció Legyen (a n ) egy valós sorozat. Ekkor a (b n )-t az (a n ) részsorozatának tekintjük, ha létezik olyan f : N N szigorúan monoton növ függvény, melyre b n = a f(n). Legyen például a n = 1 n, ekkor a b n = 1 n az a n részsorozata, az f(n) = n választással. Hasonlóan részsorozat a c n = 1 n, az f(n) = n választással.. Tétel Legyen (a n ) olyan valós sorozat, melyre lim n a n = a, ahol a R. Tegyük fel továbbá, hogy (b n ) részsorozata (a n )-nek. Ekkor lim n b n = a. Alkalmazás Ismeretes, hogy az Euler-féle e szám nem más, mint az ( 1 + 1 n) n sorozat határértéke, ha n tart végtelenbe. Az el z tétel alapján tudjuk, hogy az ( 1 + n) 1 n sorozat határértéke is e. Mindezek alapján, ha például ( ) n+ 1 n sorozat határértékére vagyunk kiváncsiak, akkor a következ átalakításokat végezzük: 3 n ( n + 1 )n ( 3 = 1 + 1 ) [ n ( = 1 + 1 ) ] 1 3n 3 e 1 3. n 3n 3n Részsorozatok határértéke Korábban láttuk, hogy nem minden sorozatnak létezik határértéke. Nézzük például a következ sorozatot: 1 + 1 ha n = k k N a n = n 6 + 1. n ha n = k + 1 k N Ennek a sorozatnak nincs határértétéke. Egyértelm az is azonban, hogy van olyan részsorozata, amelyik 1-hez és olyan is, amelyik 6-hoz tart. 5. Deníció Legyen a n tetsz leges sorozat, és vegyük ennek a sorozatnak az összes részsorozatát. A részsorozatok határérétékei közül a legkisebbet a sorozat limesz inferiorjának, a legnagyobbat pedig a limesz szuperiorjának nevezzük. A fenti fogalmak jelölése rendre: lim inf a n ; lim sup a n. 4
3. Tétel Legyen a n tetsz leges számsorozat. Ekkor a sorozatnak egyértelm en létezik a limesz inferiorja és a limesz szuperiorja. Egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke, ha a sorozat limesz inferiorja és a limesz szuperiorja megyegyzik, és ekkor lim a n = lim inf a n = lim sup a n. A limesz inferior és szuperior fogalma inkább elméleti, mint gyakorlati jelent ség. Egyes tételek általánosabban is megfogalmazhatók ezekkel a fogalmakkal, hiszen ekkor tetsz leges sorozatra igaz lehet az állítás, és nem kell megkövetelni, hogy létezzen a a sorozatnak határértéke. A gyakorlatban általában ezeket a tételeket olyan sorozatokra alkalmazzuk, amelyeknek létezik határétéke, és az utolsó tételünk alapján ilyenkor elegend ezt a határértéket megkereseni. Deriválás és integrálás Deriválási szabályok Ahhoz, hogy az összes deriválási szabályt áttekinthessük, el ször is be kell vezetnünk néhány új függvényt. Ezeket a függvényeket hiperbólikus függvényeknek nevezzük. shx = ex e x chx = ex + e x thx = shx chx cthx = chx shx A hiperbólikus függvények sok szempontból hasonlítanak a trigonometrikus függvényekre. Ahogy a trigonometrikus függvények esetében, úgy ezen függvényekneknél is érdemes deniálni az inverzet, amik rendre: arshx R R; archx [1; ) R; arthx ( 1; 1) R függvények. A shx A chx 5
A thx Függvények deriváltjai: [x a ] = ax a 1, x R, a R [e x ] = e x, x R [a x ] = a x ln a x R, 1 a R + [log a x] = 1 1 ln a [ln x] = 1 x, x R + [sin x] = cos x, x R [cos x] = sin x, x R x, x R +, 1 a R + [tgx] = 1 cos x, kπ x R, k Z [ctgx] = 1 sin x, π kπ x R, k Z [arcsin x] = 1 1 x, x ( 1; 1) [arccos x] = 1 1 x, x ( 1; 1) [arctgx] = 1 1+x, x R [arcctgx] = 1 1+x, x R 6
[shx] = chx, x R [chx] = shx, x R [thx] = 1 th x, x R [cthx] = 1 cth x, 0 x R [arshx] = 1 x 1, x R [arthx] = 1 1 x, x ( 1; 1) Deriválás és m veletek: [cf(x)] = cf (x) [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) [f(x) g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) [ ] f(x) g(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g (x) [f(g(x))] = f (g(x))g (x) Speciális esetben: [(g(x)) a ] = ag(x) a 1 g (x); a R [e g(x) ] = e g(x) g (x) [ln g(x)] = g (x) g(x) ; g(x) > 0 Integrálási szabályok x α dx = xα+1 α+1 e x dx = e x + c (x R) + c (x > 0, 1 α R) x x dx = ax ln a + c (x R, 1 a > 0) xdx = ln x + c (x > 0 vagy x < 0) sin xdx = cos x + c (x R) cos xdx = sin x + c (x R) cos x dx = tgx + c (kπ π < x < kπ + π k Z) dx = ctgx + c (kπ x R, k Z) sin x 1 1 x dx = arcsinx + c ( 1 < x < 1) 1 1+x dx = arshx + c (x R) x 1 dx = ln x + x 1 + c = = 1+x dx = arctgx + c (x R) { 1 1 x dx = 1 ln x+1 arcthx + c (1 > x R) x 1 + c = arccthx + c (1 > x R) { archx + c (1 < x R) arch( x) + c (1 > x R) 7
shxdx = chx + c (x R) chxdx = shx + c (x R) dx = cthx + c (0 x R) sh x ch xdx = thx + c (x R) Integrálás és m veletek: (f(x) + g(x)) dx = f(x)dx + g(x)dx cf(x)dx = c f(x)dx f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx f(g(x))g (x)dx = f(u)du; u = g(x) 8