Elemi függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek van inverz függvéne. Bizonítás: Ha a függvén például szigorúan monoton, növekvő, akkor az < < feltevésből f ( ) < f ( ) következik. Ebből látható, hog eg függvénértéket a függvén csak eg helen vehet fel, tehát a hozzárendelés egértelmű, ezért megfordítható. Megjegzés: A szigorú monotonitás az inverz függvén létezésének elegendő, de nem szükséges feltétele. Könnű olan függvént találni, amel nem monoton, mégis van inverze. Nevezetes függvének. A hatvánfüggvén Definíció: Az = n függvént hatvánfüggvénnek nevezzük, ha n tetszőleges, nullától különböző állandó... Pozitív egész kitevőjű hatvánfüggvén Értelemszerűen itt n Z +. Értelmezési tartomán: D f = (,+ ). Értékkészlet: R f = [,+ ), ha n páros; illetve R f = (,+ ), ha n páratlan. Foltonosság: a hatvánfüggvének az értelmezési tartománukon foltonos függvének.
4 3 n = n = 4 n = 3 n = 3 4 4 3 3 4. ábra. Hatvánfüggvének képe pozitív egész kitevő esetén.. Negatív egész kitevőjű hatvánfüggvén = n = n alakúak, ahol n Z+. Értelmezési tartomán: D f = (,+ )\{}. Értékkészlet: R f = [,+ ), ha n páros; illetve R f = (,+ ), ha n páratlan. Foltonosság: Foltonos, monoton részekből állnak..3. Törtkitevőjű hatvánfüggvének Teljes tárgalásuk sok apró vizsgálatot igénel. = p p q esetén a tört számlálójának és nevezőjének páros vag páratlan voltát kell megvizsgálni. Gakorlati q szempontból legfontosabb az = = függvén. (Az = ± függvénre) Értelmezési tartomán: D f = [,+ ). Értékkészlet: = függvénre R f = [,+ ); = függvénre R f = (,].
n = 3 4 n = 3 4 3 4 3. ábra. Hatvánfüggvének képe negatív egész, páratlan kitevő esetén 6 5 4 n = 3 n = 4 4 3 3 4 3. ábra. Hatvánfüggvének képe negatív egész, páros kitevő esetén Foltonosság: foltonos, monoton függvének.. A polinomfüggvén = P () = a n +a n +...+a n +a n függvén, ahol n N; a, a, a,...,a n tetszőleges valós számok. (n-edfokú polinom.) 3
= = 3 4 4. ábra. A négzetgök függvén és ellentettje Az egész számegenesen értelmezett foltonos függvén, mivel foltonos függvének lineáris kombinációja. Viselkedése a -ben: lim P n() = { +, ha a >, ha a <. Ez akkor látszik legegszerűbben, ha kiemeljük az összes első tagját az összes többiből: ( P n () = a n + a a + a a +...+ a ) n a n. Ebben az felírásban esetében a zárójelben lévő összeg -hez konvergál. 3. A racionális törtfüggvén Nem egszerűsíthető törtfüggvén, amel a, a, a,..., a n és b, b, b,..., b m valós számokkal a következő alakban írható fel: f () = a n +a n +...+a n +a n b m +b m +...+b m +b m. Értelmezési tartomán: a nevező zérushelei kivételével az egész számegenes. (Tehát legfeljebb m helen nem értelmezett.) 4
Határértékek: Az általános felírásban a számlálóban és a nevezőben lévő legmagasabb fokszámú tagot kiemelve: f () = ) a (+ n a a + a a +...+ an a n b m (+ b b + b b +...+ bm b m ). Ebben a kifejezésben esetén a zárójelben lévő kifejezések határértéke, ezért a függvén határértéke n és m értékeitől, illetve a és b előjelétől függ. Az eges lehetséges eseteket külön vizsgáljuk.. n > m esetén m -nel egszerűsítve a kifejezés: a b n m. Ennek határértéke +, ha a és b azonos előjelű,, ha a és b különböző előjelű. A -ben vett határérték az a és b előjelén kívül még (n m) páros vag páratlan voltától is függ. Nevezetesen: Ha a és b azonos előjelű, akkor a határérték +, ha n m páros; a határérték, ha n m páratlan. Ha a és b különböző előjelű, akkor fordított a helzet.. n = m esetén lim ± f () = a b. 3. Ha n < m, akkor egszerűsítés után a nevezőben m n miatt lim f () =. ± 4. Az eponenciális függvén Alakja = a, ahol a R +. Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = [,+ ). Monotonitás, foltonosság: Ha a >, akkor a függvén szigorúan monoton növekvő. Ha < a <, akkor a függvén szigorúan monoton csökkenő. A függvén az értelmezési tartomán minden pontjában foltonos. Ha a > >, akkor lim a =, míg ha < a <, akkor lim + a =. Az eponenciális függvénnek az tengel aszimptotája. (Ha a =, akkor a konstans, értékű függvén adódik.) 5
8 6 < a < a > 4 3 3 5. ábra. Az eponenciális függvének grafikonja a > és < a < esetén 5. A logaritmus függvén Az = a eponenciális függvén inverzét logaritmus függvénnek nevezzük: = log a a >. 4 a > < a < 4 3 6. ábra. A logaritmus függvén 6
Értelmezési tartomán: D f = ],+ ) Értékkészlet: R f = (,+ ) Foltonosság, monotonitás: Mivel az eponenciális függvén foltonos, ezért a logaritmus függvén is foltonos; a > esetén szigorúan monoton növekvő, < a < esetén szigorúan monoton csökkenő. Megjegzés: Aze =,78... alapú logaritmus jele ln, a -es alapú logaritmus jele lg. 6. Trigonometrikus függvének Az = sin, = cos, = tg, = ctg függvének összefoglaló neve trigonometrikus függvének, ahol ívmértékben értendő. ctg sin tan cos 7. ábra. Szögfüggvének grafikus jelentése 6.. Szinusz függvén Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = [,]. Periodicitás: A függvén szerint periodikus. Ebből következően sin(+) = sin, ami sin(±k) = sin alakban is felírható, ahol k N. 7
Foltonosság, monotonitás: A szinusz függvén a teljes értelmezési [ tartománon foltonos. A függvén szigorúan monoton növekvő a, ] intervallumon, tehát a [ ±k, ] ±k -n is. A függvén szigorúan [ monoton csökkenő a, 3 ] [ -n, és ezáltal ±k, 3 ] ±k -n is. Paritás: Páratlan függvén, azaz sin( ) = sin. 8. ábra. A szinusz függvén grafikonja 3 6.. Koszinusz függvén ( A cos = sin + ) összefüggés alapján können tárgalható. Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = [,]. Foltonosság, monotonitás: A koszinusz függvén a teljes értelmezési tartománon foltonos. A függvén szigorúan monoton csökkenő a [±k, ±k]-n. A függvén szigorúan monoton növekvő a [ ±k, ±k]-n. Paritás: Páros függvén, azaz cos( ) = cos. 8
9. ábra. A koszinusz függvén grafikonja 3 6.3. Tangens függvén Definíció szerint: def = sin cos { Értelmezési tartomán: D f = R\ (k +) } k Z. Értékkészlet: R f = R. Foltonosság, monotonitás: A szakadási heleken (azaz = (k +), ahol k Z) a bal oldali határérték +, a jobb oldali határérték. Periodicitás: A tangens függvén szerint periodikus, hiszen tg (+) = sin(+) cos(+) = sin cos = tg. Paritás: A tangens függvén páratlan. 6.4. Kotangens függvén Értelmezési tartomán: D f = R \ {k k Z}. (A szakadási heleken a jobb oldali határérték +, a bal oldali határérték.) 9
3 3. ábra. A tangens függvén grafikonja 3 Értékkészlet: R f = R. Foltonosság, monotonitás: A ]±k, ±(k + ) [ intervallumon szigorúan monoton csökkenő, foltonos függvén (k Z). Periodicitás: A kotangens függvén szerint periodikus. Paritás: A kotangens függvén páratlan. 7. Trigonometrikus függvének inverzei 7.. Az arkusz szinusz függvén Az = sin függvén inverze. A sin függvén a intervallumon szigorúan monoton növekvő. Ennek inverze az arc sin függvén, amit az = arc sin főágának, vag főértékének is szokás nevezni. Értelmezési tartomán: D f = [,]. [ Értékkészlet: R f =, ].
3 3. ábra. A kotangens függvén grafikonja 3 Foltonosság, monotonitás: A főágon túl az összes szigorúan monoton szakasz is invertálható, ezen inverzek összességét = Arc sin -szel is szokás jelölni. Ennek bármelik ága előállítható arc sin függvén segítségével. = arc sin. ábra. Az arkusz szinusz függvén grafikonja
A fentiekből a teljes számegenesre értelmezett Arc sin függvénre: { arc sin±k a növekvő ágakra Arc sin = ( arc sin)±k a csökkenő ágakra 7.. Az arkusz koszinusz függvén Az = cos függvén inverze. A cos függvén a intervallumon szigorúan monoton növekvő. Ennek inverze az arc cos függvén, amit az = arc sin főágának, vag főértékének is szokás nevezni. Értelmezési tartomán: D f = [,]. Értékkészlet: R f = [,]. Foltonosság, monotonitás: A főágon túl az összes szigorúan monoton szakasz is invertálható, ezen inverzek összességét = Arc cos -szel jelöljük. Ennek bármelik ága előállítható arc cos függvén segítségével. = arc cos 3. ábra. Az arkusz koszinusz függvén grafikonja A fentiekből a teljes számegenesre értelmezett Arc cos függvénre: { arc cos ± k a csökkenő ágakra; Arc cos = arc cos±k a növekvő ágakra.
7.3. Az arkusz tangens függvén A [, ] intervallumon szigorúan monoton ág inverze arc tg. Ez a főág vag főérték. A többi ág is invertálható, ezek összessége: Arc tg = arc tg ± k. Értelmezési tartomán: D f = R. [ Értékkészlet: R f =, ]. Foltonosság, monotonitás: Szigorúan mononton növekvő, foltonos függvén. Határértékek: lim = arc tg =, illetve lim + = arc tg =. = arc tg 3 3 4. ábra. Az arkusz tangens függvén grafikonja 7.4. Az arkusz kotangens függvén A [,] intervallumon szigorúan monoton ág inverze arc ctg. Ez a főág vag főérték. A többi ág is invertálható, ezek összessége: Arc ctg = arc ctg ± k. Értelmezési tartomán: D f = R. 3
Értékkészlet: R f = [,]. Foltonosság, monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő, foltonos függvén. Határértékek: lim = arc ctg =, illetve lim = arc ctg =. + = arc ctg 3 3 5. ábra. Az arkusz kotangens függvén grafikonja 8. Hiperbolikus függvének 8.. A szinusz hiperbolikusz függvén Definíció szerint: = sh def = e e Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = R. Foltonosság, monotonitás: Szigorúan monoton növekvő, foltonos függvén. Paritás: sh( ) = e e = sh miatt páratlan függvén. 4
3 = e = e = sh 3 3 3 6. ábra. A szinusz hiperbolikusz függvén grafikonja 8.. A koszinusz hiperbolikusz függvén Definíció szerint: = ch def = e +e Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = [,+ ). Foltonosság, monotonitás: Szigorúan monoton szakaszokból áll, foltonos függvén. Paritás: ch( ) = e +e = ch miatt páros függvén. A sh és ch függvének nevezetes azonosságai ch sh = Bizonítás: ( e +e ) e ( e ) = e +e + e e + = 4 sh(±) = shch ± chsh sh = shch 5
6 5 4 3 = ch = e = e 3 3 7. ábra. A koszinusz hiperbolikusz függvén grafikonja ch(±) = chch ± shsh ch = ch +sh ch = ch+ sh = ch 8.3. A tangens hiperbolikusz függvén Definíció szerint: th def = sh ch = e e e +e Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = [,]. Foltonosság, monotonitás: Szigorúan monoton növekvő, foltonos függvén. Paritás: Páratlan függvén. Határértékek: lim th =, illetve lim th =. + 6
= th 3 3 8. ábra. A tangens hiperbolikusz függvén grafikonja 8.4. A kotangens hiperbolikusz függvén Definíció szerint: cth def = ch sh = e +e e e Értelmezési tartomán: D f = R\{}. Értékkészlet: R f = R\[,]. Foltonosság, monotonitás: Két szigorúan monoton csökkenő, foltonos szakaszból áll. Paritás: Páratlan függvén. Határértékek: lim cth =, illetve lim + határérték: lim cth =, és lim cth = +. + cth =. A -ban vett 9. Hiperbolikus függvének inverzei 9.. Az area szinusz hiperbolikusz függvén A szinusz hiperbolikusz függvén definíciójából indulunk ki: sh = = e e. 7
5 = cth 5 3 3 9. ábra. A kotangens hiperbolikusz függvén grafikonja Innen átrendezzük, kifejezve az e -t: e e = e e = e = ± +. A negatív előjel, R esetében nem jöhet szóba. Ennek figelembevételével vehejük mindkét oldal logaritmusát: ( = ln + ) +. Innen az ar sh függvén definíciója: ( ar sh = ln + ) +. 9.. Az area koszinusz hiperbolikusz függvén 9.3. Az area tangens hiperbolikusz függvén A tangens hiperbolikusz definícója: th = 8
3 = ar sh 3 3 3. ábra. Az area szinusz hiperbolikusz függvén grafikonja 3 = ar ch 3. ábra. Az area koszinusz hiperbolikusz függvén grafikonja Innen e -t kifejezve: e e e +e =. e ( ) = e (+) e = +. 9
Gökvonás és logaritmálás után: = ln+. Ezek szerint a area tangens hiperbolikusz definíciója, figelembe véve az area tangens értékkészletét (ami az inverz függvénének értelmezési tartomána lesz): ar th = ln+, ahol ],[ = ar th. ábra. Az area tangens hiperbolikusz függvén grafikonja 9.4. Az area kotangens hiperbolikusz függvén Az area kotangens hiperbolikusz definíciós összefüggése alakra uganaz, mint az ar th függvéné, azzal a különbséggel, hog más az értelmezési tartomán: ar cth = ln+, ahol (, ] [, ).
3 = ar cth 3 3 3 3. ábra. Az area kotangens hiperbolikusz függvén grafikonja