Vlós számsorozto 5 Értelmezés Az f : II Vlós számsorozto és f : \ {,,,, } típusú függvéyeet ( ) vlós számsorozt evezzü Értelmezés Az f : sorozt -edi tgjá vgy áltláos tgjá evezzü z f ( ) vlós számot, és áltlá z f ( ) szimólumml jelöljü Mgát soroztot z ( ) vgy ( ) szimólumol is jelöljü Megjegyzés Az számo em feltétleül ülööző Az idex megdj tg helyét sorozt Például z f :, f ( ) sorozt tgji, megfelelő sorrede övetező:,,,,,,,, Soroztol már IX és X osztály is foglloztto Ismételjü át éháy fotos ismeretet Sorozto megdási módji Alitius megdási mód A soroztot soszor z áltláos tg segítségével dju meg Például, h,, or sorozt éháy tgj 99,,,,,,, vgy,,,,, A feti felírásól sorozt ármelyi tgját meg tudju állpíti Ezt soroztot rövide így jelöljü: Reurzív megdási mód Megdhtju soroztot úgy is, hogy megmodju zt, hogy sorozt tgjit hogy pju meg z őt megelőző tgoól Ee z esete reurzív értelmezett soroztról vgy egyszerűe reurzív soroztról eszélü péld,, +, h A feti sorozt éháy tgj:,,,, 5, 8,, 4 5 6 7 Láthtó, hogy megdott összefüggése egyértelműe meghtározzá sorozt mide tgját Ee elleére ehéz észrevei sorozt áltláos tgjá épletét A X osztály számár írt töyv I4 prgrfusá 4 feldtáál tett megjegyzés értelmée (9 oldl -es idás) vizsgált sorozt áltláos tgj 5 5 + 5, Ezt soroztot Fiocci sorozt evezzü, sorozt tö számlálási feldt megoldását írj le (lásd például X osztály számár írt töyv 6 prgrfusá 4 feldtát ) Az elői éplet izoyításár hmros vissztérü,
6 Vlós számo és számsorozto itt cs zt szerettü vol szemlélteti, hogy z egyszerű geerálási szály elleére em vlószíű, hogy rájövü z áltláos tg épletére Éppe ezért fotos, hogy vlmilye módszert, elméletet dolgozzu i z áltláos tg meghtározásár péld H,,, hol, sorozt első tíz tgj:,, 5, 7, 9,,, 5, 7, 9 A felsorolt tgo lpjá z sejtésü támd, hogy sorozt áltláos tgj, vgyis ( ) soroztról v szó Mtemtii iducióvl öye igzolhtó, hogy feti reurzív sorozt vló z elői l is írhtó A sorozto még másféle megdási módj is lehetséges Előfordulht z is, hogy sorozt gy idexű tgji iszámítás ehézségee ütözi Például h zt soroztot veé, melye -edi tgj tizedes tört ljá tizedesvessző utá szereplő -edi jegy, or ee sorozt mide tgj meg v htározv, elvileg midegyiet meg tudju modi, gy -ere zo -et iszámoli ehéz Ezeívül ármilye más értelmezés itlálhtó, fotos, hogy soroztot geeráló függvéy helyese legye értelmezve Gyr jelet prolémát ülööző értelmezése özti evivleci imuttás Például z mi ( x +y ) x+ y ifejezéssel értelmezett sorozt áltláos tgjá egyszerű lj x + y x + y Ezt z egyelőtleség iztosítj, melye x y eseté teljesül z egyelőség A soroztot is, mit függvéyeet, árázolhtju, és ezt éh érdemes is megtei, mert éháy fotos tuljdoságot grfioól megsejthetü Kétféle árázolási módot is hszálhtu H dv v z ( ) sorozt: ) sí árázolju z (, ) potot; ) számegyeese árázolju z potot Péld Árázolju z,, 4, 4 +,, ( ) 5 +, soroztot midét módo! A grfioot z ) és ) ár muttj 4 ) 4 ár 4 5 ) 4 5 6 x
Vlós számsorozto 7 Gyorlto A övetező soroztot áltláos tgju segítségével dtu meg ( mide esete) Írd fel sorozto első égy tgját és árázold zot: 5 ) + ; ) + ; c) ; + d) ( ) + + + ; e) + + + ; f) ; + + + π π π g) ; h) si + ; i) si + cos ; ( + ) 4 4 + j) ( ) + + + ; ) + + + + 4 Írd fel övetező sorozto első ht tgját: ),, h ; ),, h ; 4 c), 4, 9, +, h ; 4 d), 4,, 8, 5, 7,, h 4 5 6 7 6 Htározd meg övetező, reurzív értelmezett sorozto áltláos tgját: ), /5; ), ; + + c), + 4; d), + ; + + e),, + ; + + f),, ; + + + g) 5, 4 + + 6 4 Htározd meg övetező, reurzív értelmezett sorozto áltláos tgját: x ), x x ; (felvételi feldt,99, Temesvár) + + x x ) x, x ; (felvételi feldt, 99, Temesvár) + + x c) x, x 4 x x x ; + d) x, x x x + 6 x ; + e) x, x x + + x Másodredű lieáris reurzió Értelmezés Másodredű lieáris reurzió evezzü z x x + x, reurziót, hol, (vgy, ) + + Vizsgálju meg egy sjátos esetet Feldt Htározzu meg z x x x, x, x 5 sorozt áltláos tgját + +
8 Vlós számo és számsorozto Megoldás A sorozt továi tgji x 9, x 7, x, x 65 Láthtó, 4 5 6 hogy sorozt mide tgj -gyel gyo mit egy ettőhtváy, potos z x + összefüggés sejthető Ez igzolhtó mtemtii idució segítségével is, mi zo megpróálu oly módszert di, mely lehetővé teszi z áltláos eset megoldását is E célól átredezzü z dott reurziót övetező módo: x x x x ( ) + + + Így z y x x jelöléssel z dott reurzió y y l írhtó, tehát z + + ( y ) sorozt egy mérti hldváy Eszerit y y, tehát z x x + reurzióól ellee meghtározi z ( x ) sorozt áltláos tgját H felírju ezt reurziót redre z Vizsgálju meg, hogy y x r x lú helyettesítéssel (árcs z elő) + milye feltétele mellett tudju átlíti z dott x x + x () reurziót y r y lú reurzióvá Az y r y reurzió + + l írhtó, ho x r + r x rr x, tehát megfelelő és r tehát h ezt reurziót redre z,,,, értéere felírju, -dit ( ) értéere, mjd tgoét összedju pott egyelőségeet, or z x x + + + egyelőséghez jutu Eől övetezi, hogy x + Ee godoltmeete z előye, hogy tetszőleges ezdőértée eseté is hszálhtó ( megsejtés lehet, hogy más ezdőértée eseté em hozzáférhető) Tetszőleges és x eseté ( ) y x x és így,,,, 4 ( )( ) x x x x + + + + +, ( ) ( ) tehát x x x + x x, ( ) x r x r x r x + + + ( ) + + x + + megválsztás z r + r egyeletredszer megoldásár vezetődi vissz Így z r r és r z r r egyelet gyöei Ezt z egyeletet () reurzió r rterisztius egyeletée evezzü Mivel rterisztius egyelete midig v ét megoldás (esetleg egyeeső vgy omplexe), z elői feldt megoldás övetezőéppe áltláosíthtó: x rx x rx r, szorozzu r ( ) -el és tgoét összedju pott egyelőségeet, or z x r x x r x r r r
Vlós számsorozto 9 összefüggéshez jutu, mit ez z láiól itűi x rx x rx r ( ) ( ) x rx x rx r r 4 ( ) x rx x rx r r ( ) x rx x rx r r + x r x ( x r x ) r r H r r, or z r r zoosság lpjá ( r r ) r r x rx x rx x c r + c r, hol c és c r r r r H r r r, or ( ) r r r, tehát x ( + ) r lú H rterisztius egyelet együtthtói vlós de gyöei em vlós számo, or sorozt áltláos tgjá lj egyszerűsíthető hisz r ρ( cos ϕ± i si ϕ), tehát x ϕ Az elői, ρ ( cos ϕ+ si ) eseteet összefogllv ijelethetjü övetező tételt: Tétel H z r r rterisztius egyelet gyöei r r, or z x x + x reurzió áltláos tgj lú + x c x + c x + H z r r rterisztius egyelet gyöei r, or z ) r r x x + x reurzió áltláos tgj x lú + + ( + H z r r rterisztius egyelet gyöei r r, or z x x + x reurzió áltláos tgj + + x r ( cos ϕ+ si ϕ ) lú, hol ϕ z r reduált rgumetum A ostsot midhárom esete megdott tgól htározzu meg Megoldott feldt A Fiocci sorozt eseté (lásd oldlo) rteriszti- ± 5 us egyelet x x, tehát gyöö r és így z áltláos tg, éplete oldlo láthtó ifejezés Gyorlto és feldto Htározd meg övetező sorozto áltláos tgjá épletét: ) x 5 x 6 x, + + x, x ; 5 ) 6x 5 x x, x 5 + +, 6 x ; 6
Vlós számo és számsorozto c) x 4 x 4 x, x x ; + + 6, d) x x x, x, x + + x + + Bizoyítsd e, hogy z ( ) sorozt tgji teljesíti z x x + x reurziót, ármely eseté, or x x x x ( ) + ( x x x x ) + + Htározd meg z ( x ) sorozt áltláos tgjá épletét, h 5 +, x x x + x 4 Bizoyítsd e, hogy végtele so oly egész szám létezi, melyől iidulv z x x ± x + + reurziót teljesítő sorozt tgji egész számo összes (z előjeleet mide lépése tetszőlegese megválszthtju)! (Rdó Ferec Emléversey ) 4 Korlátos sorozto Értelmezés Az ( ) soroztot orlátos evezzü, h sorozt tgjiól épezett hlmz orlátos H sorozt tgjiól épezett hlmz lulról (felülről) orlátos, or soroztot lulról (felülről) orlátos evezzü Ez övetezőéppe is megfoglmzhtó: Az ( ) soroztot orlátos evezzü, h v oly M pozitív vlós szám, melyre mide eseté Az ( ) M soroztot lulról (felülről) orlátos evezzü, h v oly M vlós szám, hogy mide eseté M ( ) M Az M számot sorozt felső (lsó) orlátjá evezzü H z ( ) sorozt orlátos, or lulról is, felülről is orlátos Vló, h M, mide eseté, or M M egyelőtleség mitt M sorozt lsó, M pedig felső orlátj H z ( ) sorozt lulról és felülről is orlátos, or orlátos is Fotos számur z is, hogy potos tudju, mit jelet z, hogy z ( ) sorozt em orlátos Ezt orlátosság értelmezése lpjá így foglmzhtju meg: Az ( ) sorozt em orlátos, h ármilye M pozitív vlós számhoz tlálhtó sorozt leglá egy tgj, melyre > M Feldt Foglmzzu meg, hogy mit jelet: ) z ( ) sorozt felülről em orlátos; ) z ( ) sorozt lulról em orlátos
Vlós számsorozto Vizsgálju meg éháy sorozt orlátosságát! Az +, áltláos tgú sorozt orlátos, mert: + + ( + ) + < + < +, + + + Az + + + +, áltláos tgú sorozt orlátos: egy lsó és + + egy felső orlátj és így <, < Az + + + +, áltláos tgú sorozt orlátos: egy lsó, egy felső orlát Az < egyelőtleség yilvávló Igzolju, hogy < + + + + < + + + + ( ) + + + 4 + + < si si si 4 Az + + + sorozt orlátos, mert, + 5 Az ( ), sorozt em orlátos Igzolhtó, hogy h, + + or > + > Tehát árhogy is rögzítü egy M pozitív vlós + számot, mior M, or teljesül z > M egyelőtleség, vgyis sorozt > em orlátos 6 Vizsgálju meg z, + +, sorozt orlátosságát felülről A mtemtii idució módszerével igzolju, hogy egy felső orlát Világos, hogy < H <, or + < + +, tehát mtemtii idució elve lpjá, 7 Korlátos-e z ( si sorozt? ) Itt z prolém, hogy si értéeről cs yit tudu, hogy és özé ese Előfordulht z, hogy ár gy, de si oly icsi (oly özel v -hoz), hogy z si szorzt is icsi H zo zt tudá, hogy v oly x > szám, hogy tetszőlegese rögzítve egy N számot, v > N pozitív egész szám úgy, hogy si > x és z N tetszőlegese gy lehet <, or sorozt em orlátos, mert si > x > N, x
Vlós számo és számsorozto si x x 5 ár π (+ ) π ( ) Képzeljü mgu elé sziusz függvéy grfioját π, ( + ) π itervllumo, hol H x > -t úgy válsztju meg, hogy z, itervllum hossz -él gyo legye, or z (, itervllum iztos v egy természetes szám Ee pot sziusz függvéy értée x -ál gyo A π π π +, ( + ) π 6 6 itervllum megfelel, mert hossz π > és ei π megfelelő x érté si π + 6 Tehát vizsgált sorozt em orlátos 5 Mooto sorozto Értelmezés Az ( ) soroztot övevőe (csöeőe) evezzü, h ármely eseté teljesül z + ( egyelőtleség + ) Az ( ) ármely eseté teljesül z ( egyelőtleség + + H z ( ) soroztot szigorú övevőe (csöeőe) evezzü, h < > ) sorozt övevő vgy csöeő, or mooto evezzü Megjegyzés H z ( ) sorozt szigorú mooto övevő (csöeő), or mooto övevő (csöeő) is péld Vizsgálju meg övetező sorozt mootoitását:,, 5,,, +, A sorozt első éháy tgjáól úgy látszi, hogy sorozt csöeő Rögzítsü egy számot Eor >, + + ( + ), vgyis > +, Tehát sorozt szigorú csöeő péld Mooto-e övetező sorozt? +, +, 9 8,, így zt sejtjü, hogy sorozt övevő Rögzítsü egy 4 5 + ( + ) + számot Eor <, mert + + ( + ) + )
Vlós számsorozto 4 ( + )( + ) + + + és 4 (( + ) + )( + ) + 5 + 9 + 8 + 4, 4 4 továá + 5 + 9 + 8 + 4 > + + +, mide eseté Tehát sorozt szigorú mooto övevő péld Az ( ) áltláos tgú sorozt em mooto mivel < > 4 péld Vizsgálju z, + +, sorozt mootoitását Az + > és + + > + egyelőtlesége lpjá úgy tűi, hogy sorozt övevő H feltételezzü, hogy sorozt első tgj övevő sorrede öveti egymást, or z egyelőtleség lpjá < + < +, tehát < A mtemtii idució elve lpjá + sorozt övevő + Megjegyzés Pozitív tgú sorozto eseté z háydos tulmáyozás soszor egyszerűsíti mootoitás vizsgáltát Például z sorozt eseté! +! + <, tehát sorozt csöeő ( +! ) + 6 Gyorlto és feldto Vizsgáld meg övetező sorozto mootoitását és orlátosságát ( mide esete): ) ; ) ; c) ; + 6 + 5 π d) cos ; e) si π ; f) 4 π + si Tulmáyozd övetező reurzív sorozto orlátosságát és mootoitását: ), + ; ), + + ; + + c) + 5, ; d), + 4 ; + e), + + Tulmáyozd övetező ( ) sorozto orlátosságát: ) + ; ) + ; c) 7 + ; π π d) + + ; e) cos + si ; 5 5
4 Vlós számo és számsorozto + + + + f) 4 + + + ; g) + + + + 5 + 4 h) ; i) 5 + + + + + 4 Tulmáyozd övetező sorozto mootoitását: ) + ; ) + ; c) + ; + + + ( + )! ; e) ; f) ; d) + ( ) 5 4 8 4 g) ; h) ( +! ) 5 9 ( 4 + ) 5 Öt fiú áll egymás mellett Mutssu meg, hogy i tudu válszti özülü hármt úgy, hogy h iválsztott z eredeti helyüről előre lépe, or ő gyság szerit övevő vgy csöeő sorrede helyezede el A feldtot másépp is megfoglmzhtju: Adott öt szám:,,, és 4 5 Mutssu meg, hogy i tudu töröli ettőt özülü úgy, hogy mrdé három szám övevő vgy csöeő sorrede legye 7 Koverges sorozto 7 Vlós szám öryezete Értelmezés Az (,) itervllumot, hol < x <, z x vlós szám öryezetée evezzü Az x szám öryezeteie hlmzát V ( x) -szel jelöljü Megjegyzése Mide x vlós szám végtele so öryezete v, eze z x -et trtlmzó yílt itervllumo ε) H ε >, or z ( ε, + itervllumot z szám ε sugrú, szimmetrius öryezetée evezzü Az x szám mide öryezetée v x -e szimmetrius öryezete és z x mide öryezete ee v vlmilye szimmetrius öryezete Példá ) Az (,5) - egy öryezete ) A ( 7,) -e egy szimmetrius ( 9 sugrú) öryezete Megoldott feldt ) Bizoyítsu e, hogy z, sorozt mide tgj ee v - hosszúságú szimmetrius öryezetée
Vlós számsorozto 5 ) Bizoyítsu e, hogy ét tg ivételével z, sorozt tgji mid ee v szám hosszúságú szimmetrius öryezetée c) Melyi z leghossz szimmetrius öryezete -, mely z sorozt cs z első tgját em trtlmzz? ( + ) Megoldás ) A szám hosszúságú szimmetrius öryezete (,) itervllum Mivel < <,, sorozt tgji ee v - hosszúságú szimmetrius öryezetée ) A szám hosszúságú szimmetrius öryezete, 6 6 itervllum Mivel < <, eseté, sorozt tgji z -tól ezdődőe ee v 6 6 - hosszúságú szimmetrius öryezetée Ugyor > és 6 >, tehát és icsee ee z itervllum 4 6 c) A szám egy tetszőleges szimmetrius öryezete ( ε, ε) lú, tehát ε < ( + ) < ε egyelőtlesége ell teljesülie ármely eseté Így z ( + ) >, vgyis > egyelőtleséget cs z természetes ε ε számo ell teljesítsé Ez cs or lehetséges, h < Ie ε övetezi, hogy <, tehát < ε A eresett öryezet ε tehát, Beláthtó, hogy szám mide szimmetrius öryezete trtlmzz sorozt leglá egy elemét (és ics más ilye tuljdoságú pot) Ugyor például z A [,) hlmz mide potj redelezi hsoló tuljdosággl, tehát x [,) szám tetszőleges öryezete trtlmzz z A \{ x} hlmz leglá egy elemét Az ehhez hsoló tuljdoságo leírásá megöyítése céljáól evezetjü övetező foglmt: Értelmezés Az potot z A hlmz torlódási potjá evezzü, h z ármely öryezete trtlmzz z A - leglá egy, -tól ülööző elemét ( V V () :V ( A\{} ) )
6 Vlós számo és számsorozto Az A hlmz eseté z A potot izolált pot evezzü, h z pot létezi oly öryezete, mely em metszi z A \{ } hlmzt (vgyis h em torlódási potj A -) ( V V (): V ( A\{ }) ) 7 A vlós számhlmz lezárás A tárgylás egységességée edvéért evezetjü z { ± } hlmzt Megegyezés szerit zt modju, hogy öryezetée teitjü z (, ) lú itervllumot és öryezetée (, ) itervllumot Az hlmzt evezzü vlós számhlmz lezárásá 7 Sorozto htárértée, overges sorozto Értelmezés Az számot z ( ) sorozt htárértéée evezzü, h ármely öryezeté ívül sorozt cs véges so tgj v Mivel eseté mide öryezete trtlmz szimmetrius öryezetet és mide öryezet eilleszthető egy szimmetrius öryezete, z elői értelmezést elégséges szimmetrius öryezetere megfoglmzi Az szám potos or v z vlós szám ε -yi öryezetée, h teljesül z < ε egyelőtleség Ugyor z szám ε -yi öryezeté ívül z ( ) sorozt potos or v véges so tgj, h létezi oly () ε természetes szám, melyél gyo idexű tgot vizsgált öryezet mid trtlmzz Így eseté z elői értelmezés evivles övetező ijeletéssel: ε -os overgeci ritérium Az számot z ( ) sorozt htárértéée evezzü, h ármely ε > vlós számhoz tlálhtó oly () ε természetes szám, melyre Példá ) Az < ε, > () ε ( ) ( + ) sorozt eseté ε > -r < ε, h, tehát z ε ( ) sorozt htárértée + ( ) ) Az sorozt tgjit vizsgálju,,, + 4 45 78 4 9 4,,, Észrevehetjü, hogy páros 4 5 6 7 7 6 7 7 5 5 idexű tgo gyo, mit és pártl idexű tgo isee, mit, ugyor sorozt tgji egyre özele v -höz Próálju meg izoyíti, hogy z ( ) sorozt htárértée A övetező evivleciához jutu: ( ) ( ) ε,+ ε < ε < ε () +
Vlós számsorozto 7 H páros, or () evivles z < ε egyelőtleséggel Pártl + + eseté z < ε egyelőtleséghez jutu Az első egyelőtlesége + 4ε 8ε+ + 4ε 8ε+ megoldás z,, ε ε hlmz, míg másodi megoldás 4ε 8ε 4ε 8ε + + + + +,, ε ε hlmz H vlmelyi diszrimiás egtív, or ei megfelelő egyelőtleség mide természetes számr teljesül Ez lpjá, + 4ε 8ε+ + 4ε + 8ε+ () ε mx,,, ε ε hol em létező ifejezéseet em ell figyeleme vei Tehát ε > eseté () ε úgy, hogy < ε, () ε Eől övetezi, hogy z ( ) sorozt htárértée Értelmezés Azot soroztot, melyee v véges htárértée ( ) overges sorozto evezzü, töi soroztot pedig diverges sorozt ( overges, diverges szv lti eredetűe, jeletésü összetrtó illetve széthúzó) Azt, hogy z ( ) sorozt htárértée, övetező ét módo fogju jelöli: ), és így olvssu: trt -hoz, vgy eseté overgál -hoz; ) lim, és ezt így olvssu: limesz trt végtelehez egyelő -vl, vgy Az ( ) sorozt htárértée ( limesz lti eredetű szó, jeletése htár) Megjegyzése Az értelmezése szereplő () ε természetes számot üszöszám szoás evezi A üszöszám ics egyértelműe meghtározv, mert h () ε üszöszám, or mide ál gyo természetes szám is llms üszöszám Áltlá em töreszü rr, hogy megeressü legise üszöszámot Az értelmezés lpjá egy sorozt ét esete lehet diverges: vgy em létezi htárértée, vgy létezi htárértée, de ez em véges Ngyo soszor tlálozu mjd z sorozttl Erről zt sejtjü, hogy overges és htárértée Vló, rögzítve egy ε > számot, < ε, h > és ε ε -ról cs zt hszáltu fel, hogy pozitív vlós szám, ezért mide ε > -hoz létezi oly szám (egy ilye például z + ), hogy h >, ε
8 Vlós számo és számsorozto or < ε Ezzel sejtést igzoltu Köye eláthtju, hogy z sorozt, melye mide tgj ugyz z szám (z álldó sorozt) overges és htárértée Az ( ) sorozt ( természetes számo sorozt) em overges (diverges), mert árhogy válsztv z vlós számot, létezi oly ε pozitív szám és létezi oly természetes szám, hogy > ε, mi z Arhimédész féle xióm övetezméye ( > +ε ) A (( ) ) soroztról is zt sejtjü, hogy diverges Ez zt jeleteé, hogy em tlálhtó oly szám, hogy ez htárértée legye sorozt Rögzítsü egy tetszőleges számot Mutssu meg, hogy ε -hez ics llms üszöszám Vló, z szám sugrú öryezete, mi hosszúságú itervllum, em trtlmzhtj vlho ezdve sorozt mide tgját, mert ét szomszédos tg távolság ( ) ( ) + Az ε -os overgeci ritériumhoz hsoló ritériumot foglmzhtu meg z esete is, mior htárérté ± A htárérté értelmezése és ± öryezeteie értelmezése lpjá állíthtju, hogy igz z lái ét ijeletés Tétel ) lim h M eseté létezi ( M ) úgy, hogy > M, ( M) < M ) lim h M eseté létezi M ( ) úgy, hogy, ( M) 8 Megoldott feldto Azt eldötei, hogy egy sorozt létezi-e htárértée, és h ige or meyi z htárérté, legtöször ehéz prolém So egyszerű feldt megoldás segíthet Ngy előyt jelet, h vlmely módo megsejtjü htárértéet, eze tére számítógépet is érdemes igéye vei feldt Koverges-e z, áltláos tgú sorozt? 5 + Mivel, és h elég gy, or 5 + 5 + és icsi, h elhgyhtá őet, or /5-öt pá Azt sejtjü, hogy létezi htárértée sorozt és z /5 A izoyítás érdeée legye ε > tetszőleges rögzített vlós 5 5 5 6 szám Eor < ε ellee 5 5 + 5 5( 5 + ) 5( 5 + ) teljesüljö mide természetes számr, egy izoyos értétől ezdődőe A feti
Vlós számsorozto 9 egyelőtleség midig teljesül, h 55 ( + ) >, zz h > ε 5 5ε Tehát () ε - vehetü () ε mx, + 5 5ε -et, hol [ ] egészrészt jelöl A feti egyelőtleség lpjá, h > () ε, or < ε Mivel () ε leírt módo megszereszthető mide ε > számr, sorozt overges és htárértée 5 5 + feldt Koverges-e z áltláos tgú sorozt? + +, ezért h elég gy, tört értée özel v -hoz Azt sejtjü, hogy sorozt overges és htárértée Próálju ezt igzoli Rögzítsü egy ε > számot Nyilvá + 9 + 5 9 5 9 < <, ( ) ( ) ( 5) mide eseté Tehát < < ε, h >, és így egy llms ε üszöszám most () ε + ε A pott üszöszámhoz elég durv ecsléseel jutottu, viszot htárérté szempotjáól léyegtele, hogy melyi () ε utá lesz ε -ál ise modulusos + ifejezés Tehát sorozt overges és li m + feldt Koverges-e z áltláos tgú sorozt? + +, tehát h elég gy, or tört értée -hoz özeledi Igzolju, hogy sorozt overges és htárértée Vló, + + < < ε, h > Tehát ε + lim
Vlós számo és számsorozto + + + 4 feldt Koverges-e z áltláos tgú sorozt? ( + )( + ) Ismeretes, hogy + + + Ezért 6 ( )( ) ( )( ) + + + + + 6 6 6 + Azt sejtjü, hogy létezi sorozt htárértée és z Vló, h rögzítü egy 6 + 4 ε > számot, < < ε, h >, tehát egy lehetséges 6 6 ε üszöszám () ε +, vgyis sorozt overges és htárértée lim ε 5 feldt Koverges-e z + sorozt? ( ) + + + + + + + + tehát zt sejtjü, hogy sorozt overges és htárértée + + + + +, + + Legye ε > rögzített + + + < < < ε, h >, 4 8 + + 4 + + 8ε tehát lim ( ) + 6 feldt Bizoyítsu e, hogy z x + +x overges és számítsu i htárértéét,, x sorozt Megoldás A sorozt övevő és mide tgj ise, mit (lásd mootoitás és orlátosság prgrfus megoldott feldtot) A továi igzolju, hogy sorozt htárértée + x x x +, tehát írhtju, + x + hogy x + < x Eől övetezi, hogy x < x Tehát h () ε log + ε, or x < ε, () ε és így lim x
Vlós számsorozto Az elői feldtoól láthttu, hogy htéoy or tudu htárértéet számoli, h oly szályot, módszereet dolgozu i, melye lehetővé teszi ee ehézes módszere ierülését A fejezet továi részée ilye tuljdoságo levezetésére töreszü 9 Gyorlto Vizsgálju meg, hogy övetező, áltláos tgjul dott sorozto overgese-e H ige, számítsu i htárértéüet! 5 ) ; ) ; c) ; 7 + 4 + + 5 + d) ; e) ; f) ; + + 5 + 6 + + + + + + + + + + g) ; h) ;i) 4 ; 4 + j) ; ) ; l) + ; m) + ; ) + Sorozto éháy tuljdoság A htárérté értelmezését olvsv felmerülhet érdés, hogy egy vlós számsorozt lehet-e tö htárértée H htárérté szemléletes értelmezésére godolu, tehát rr, hogy z ( ) sorozt htárértée, h gy -re özel v -hoz, or úgy érezzü, hogy ez tuljdoság legfelje egy számr teljesülhet Most potos z értelmezés lpjá muttju meg, hogy vló így is v Tegyü fel, hogy létezi oly sorozt, melye leglá ét htárértée v Legye ( ) ilye sorozt és ét htárértée és, Vegyü és egy-egy oly öryezetét, hogy eze e messé egymást Ilye öryezete tlálhtó, mert, ezért például z és örüli ε sugrú öryezetee ics özös potj A feltevés szerit és htárérté, ezért vlmelyi tgtól ezdve sorozt tgji midét öryezete ele ellee trtozi, mi em lehet, mert öryezete idegee (diszjut) Ezt szemléletese is eláthtju, h árázolju soroztot számegyeese x -ε +ε -ε + ε 6 ár Hsoló godoltmeet lpjá z is eláthtó, hogy h sorozt htárértée létezi, de em véges, or is egyértelmű Érvéyes tehát övetező tétel: Tétel H egy sorozt v htárértée, or cs egy htárértée v Milye pcsolt v sorozt orlátosság és overgeciáj özött? Már láttu, oly soroztot, mely orlátos, de em overges (például z ( ),
Vlós számo és számsorozto áltláos tgú sorozt) Eddigi példái mide overges sorozt orlátos is volt Vjo ez igz-e tetszőleges overges sorozt eseté? Tegyü fel, hogy z ( ) sorozt overges Htárértéét jelöljü -vl Eor, z értelmezés lpjá ε > eseté létezi () ε úgy, hogy < ε, h > () ε Ez z összefüggés egyeértéű ε < < ε egyelőtleségeel, vgyis ε < < + ε, h > () ε, tehát z ( ε, + ε) itervllumo ívül sorozt legfelje véges so tgj v H tlálhtó ( + ε) -ál gyo tg, or eze özül leggyot véve (véges so szám özött midig v leggyo), pott szám sorozt egy felső orlátj H ics ( + ε) -ál gyo tg, or + ε egy felső orlát Hsoló, ε, vgy ( ε) -ál ise tgo özül legise z ( ) sorozt egy lsó orlátj Ezzel igzoltu övetező állítást: Tétel Mide overges sorozt orlátos Az állítást övetező módo is megfoglmzhtju: A orlátosság sorozt overgeciájá szüséges feltétele Az ( ) áltláos tgú sorozt példáj muttj, hogy orlátosság overgeciá em elégséges feltétele So esete cs szüséges, illetve cs elégséges feltétele feldto megoldásáál, tárgylásáál gyo jól hszálhtó Így z előzőe lpjá, h egy sorozt em orlátos (mit soszor elég öyű megállpíti), or em is lehet overges Készítsü z ( ) és ( ) soroztoól egy ( c ) soroztot úgy, hogy ét soroztól felváltv vesszü sorr tgot Tehát c, c, vgyis,,,,,,, Mutssu meg, hogy h lim lim, or lim c Rögzítsü egy ε > számot A feltevés szerit létezi oly N () ε és N () ε > természetes szám, hogy < ε, h > N () ε és < ε, h > N () ε Ezért c < ε, h > mx { N ( ε), N ( ε) } Tehát mide ε pozitív vlós számhoz létezi oly, hogy h, or c < ε Ez zt jeleti, hogy lim c Hsoló godoltmeet or is érvéyes, h htárérté em véges 4 Teitsü egy ( ) soroztot Az,,,, 4,,,,, 5,,,, m soroztoról zt modju, hogy z ( ) sorozt részsorozti Szemléletese zt modju, hogy itöröltü sorozt tgji özül vlmeyit és megmrdt tgot vettü sorrede, hogy z eredeti sorozt is szerepelte
Vlós számsorozto Értelmezés Azt modju, hogy ( ) z ( ) sorozt egy részsorozt, h < < < < < A részsorozt első tgj, másodi tgj, st Az értelmezésől övetezi, hogy, Teitsü z soroztot Tudju, hogy ez sorozt -hoz trt, vgyis lim Vegyü most ee sorozt egy részsoroztát, például z soroztot Ez sorozt is -hoz trt Felvetődi érdés, hogy igz-e, hogy h lim és ( ) z ( ) egy részsorozt, or teljesül-e lim egyelőség? eseté rögzítsü egy pozitív ε számot A feltevés szerit ehhez létezi oly () ε szám, hogy h () ε, or < ε Ezért, h most > > (), ε or mitt < ε Mivel ε -ról cs zt hszáltu i, hogy pozitív, ezért mide ε > eseté v llms üszöszám, tehát lim Beláthtó, hogy em véges htárérté eseté is hsoló tuljdoság érvéyes, tehát igz övetező tétel: Tétel H egy sorozt htárértée, or mide részsoroztá v htárértée és ez szité Megjegyzés Diverges sorozt is lehet overges részsorozt, például z ( ) sorozt csup -ől vgy csup -ől álló részsorozt overges 5 Adott egy ( ) sorozt Úgy észítü eől új soroztot, hogy z elejére íru éháy új tgot Szemléletese, z,,,,, soroztól pju soroztot H,,,,,,,, és ez éppe Vló, teitsü - egy öryezetét Az feltevés mitt z ( ) sorozt legfelje véges so tgj em trtozi ee öryezete A megváltozttott sorozt is redelezi ezzel tuljdosággl, mert öryezete em trtozó tgoo ívül még,,, lehet öryezete ívül, vgyis iztos i állíthtju, hogy legfelje véges so tg Ezért z új sorozt is -hoz trt lim, or z új, megváltozttott sorozt is v htárértée Megoldott feldt Bizoyítsu e, hogy h z ( ) sorozt ( ) és ( ) részsorozti overgese és ugyz htárértéü, or z ( sorozt is overges )
4 Vlós számo és számsorozto Bizoyítás H z ( ) és ( ) sorozto özös htárértée l, or ε > eseté létezi ( ε) és ( ε) úgy, hogy l ε h () ε és l ε h m () ε Így h m mx { ( ε), ( ε) } tehát z ( ) sorozt is overges és htárértée szité l, or l ε, Feldto π Bizoyítsd e, hogy z si, sorozt diverges! Tulmáyozd z ( ) +, sorozt overgeciáját Bizoyítsd e, hogy h z ( ) sorozt (, és ) ( ) ( ) részsorozti overgese, or z ( ) sorozt is overges Művelete overges soroztol + Már vizsgáltu z áltláos tgú soroztot A övetező + átlítást végeztü: A pott lól megsejtettü, mjd igzoltu, hogy sorozt htárértée, Az átlítás utá megpróálhtju visszvezeti prolémát egyszerű esetere Figyeljü meg elő számlálót H ülö-ülö,, soroztot vizsgálá, or midegyiről e tudá izoyíti, hogy -hoz trt De itűzhetjü feldtot így is: Az soroztról már tudju, hogy overges és htárértée Követezi-e eől, hogy + ; + + ; ;? Továá, igz-e, hogy h ; és, or +? A evezőe -t teithetjü úgy, hogy csup -sól álló sorozt megfelelő tgj Ez sorozt yilvá overges és htárértée H, igz-e, hogy? H igz, hogy evező -hoz trt, számláló pedig -hoz, or érvéyes-e, hogy tört -hoz trt, vgyis -hoz? A érdéseet áltláos is feltehetjü és úgy is fogju vizsgáli
Vlós számsorozto 5 Legye ( ) és ( ) (, ) Igz-e, hogy ) ét sorozt úgy, hogy lim és ) z ( + sorozt is overges és lim ; + + ) lim ) z ( sorozt is overges és lim ; c) z sorozt is overges és lim? Vizsgálju sorr prolémát: ) Azt sejtjü, hogy ( + is overges és ) lim ( + ) lim + lim + Bizoyítsu e! Rögzítsü egy ε > számot lim és lim mitt v oly N () ε és N () ε szám, hogy h > N () ε ε, or < és h, > N () ε ε or < ε ε Így + ( + ) ( ) + ( ) + < + ε, h > mx{ N ( ε), N ( ε)} Érvéyes tehát z lái ijeletés H lim és lim, or lim ( + ) lim + lim + ) Bizoyítsu e, hogy h lim és lim, or létezi ( ) ( ) ( lim lim lim ) Egyszerű átlítássl + ( ) + ( ) + Azt ellee eláti, hogy gy -re jo oldl icsi Rögzítsü egy pozitív ε számot A feltevés szerit ( ) overges, ezért orlátos is Legye K, h,, (em jelet megszorítást K > iötés) Tegyü fel még, hogy z ( ) sorozt htárértée Mivel lim, létezi N úgy, hogy h () ε > N () ε ε, or < és mitt létezi N úgy, hogy h K () ε > N () ε ε, or < Ezt felhszálv ε ε K + < K + ε, K { ε N ε } > mx N (), () N() ε h H, or, ezért ezt tgot elhgyhtju és ecslés
6 Vlós számo és számsorozto ε ε egyszerűsödi (Így is számolhtá: K< K < ε, h K > N () ε ) Az ε -ról cs zt hszáltu i, hogy pozitív szám, így zt yertü, hogy mide ε > -hoz létezi oly N() ε természetes szám, hogy h > N () ε, or < ε Igz tehát z lái ijeletés H lim és lim, or lim ( ) ( lim )( lim ) c) A érdés ics potos megfoglmzv H lim, or lehet, hogy és ( ) sorozt tgji özött is tetszőlegese so lehet Teitsü övetező ét soroztot: és, így, tehát z sorozt em overges Tegyü fel, hogy lim Eor -höz létezi N úgy, hogy h > N, or < Ez zt jeleti, hogy, h Az ár ezt szemlélteti: > N x - + 7 ár Véges so tg megváltozttás sorozt overgeciájá em változtt, ezért feltételezhetjü, hogy lim és, H most e tudá láti, hogy lim, or c) érdést vissz tudju vezeti )-re Vló, ) szerit h lim és lim, or Vizsgálju tehát z soroztot Azt sejtjü, hogy létezi lim A lim és feltevése mitt v oly d > szám, hogy mide eseté d és d Ez övetezi ól, hogy sorozt mjdem mide tgj ee v -e sugrú öryezetée Ezért - sugrú öryezetée sorozt véges so tgj lehet Vegyü eze özül legise szolút értéűt d-e H ics sorozt tgj ee öryezete, or legye d Rögzítsü egy ε > számot lim mitt ε d -hez létezi N úgy, hogy h > N, or < ε d Így tehát
Vlós számsorozto 7 vgyis < < εd, d d < ε, h > N Az ε -ról cs zt hszáltu fel, hogy pozitív vlós szám, ezért mide ε > -hoz létezi oly N () ε természetes szám, hogy h Érvéyese tehát z lái állításo H lim H lim, lim > N() ε, or és < ε,, or, és,, or lim lim lim Cs rr ell godoli, hogy ( c) sorozt mide tgj c, ezért c-hez trt Így z is igz, hogy h lim, or lim ( ) Eől pedig )-t felhszálv övetezi, hogy h lim, lim, or létezi lim ( ) lim lim lim lim Megjegyzés A ) esete speciális esetét ee v z is, hogy h lim és c, or lim ( c ) c lim c péld, mert péld lim, mert és lim, lim 5 péld lim, mert lim 4 péld lim lim 5 + 5 + 5, mert lim és lim 5 5 + 4 + + 4 5 péld lim lim 4 7 + 5 + 4 5 4 7 + + 7, mert 4 lim 5 4 + 4 és lim 7 7 + + 4 Itt úgy látszi, mith töet hszáltu vol fel, mit meyit )- megmutttu Aól zo z is övetezi, hogy h lim, lim, lim c c, or lim ( + + c) lim + lim + lim c + + c Arr
8 Vlós számo és számsorozto godolu ugyis, hogy ( + + c) ( + ) + c, tehát lim ( + + c ) lim ( + ) + lim c ( + ) + c + + c Ugyígy járu el, h tö (véges so) sorozt összedásáról v szó (Természetese szorzásál is ugyígy teszü) + + 6 péld Az áltláos tgú sorozt overges-e? 4 + + + + Átlítv, A evező 4-hez trt, számláló pedig -hez, 4 + + ezért zt sejtjü, hogy lim Mutssu meg ezt! Ee érdeée rögzítsü egy K számot + + > > K, h > K Mivel K tetszőleges szám 4 + + 4+ lehet, így vló lim Áltláos is megfoglmzhtju érdést: H lim, lim, >,,, or igz-e, hogy lim? Nem jelet megszorítást, h feltesszü, hogy > és > A lim > - ól övetezi, hogy ( ) felülről is orlátos Legye mide -re M, M > Eor egy K számot rögzítve, > > K, h > MK Mivel M lim, ezért v oly N szám, hogy h > N, or > MK Így z is igz, hogy h > N, or >K Mivel K tetszőleges szám lehet, így lim 7 péld H lim és mide természetes számr, or lim Vló, < em lehet, mert eor - például sugrú öryezetée cs egtív számo trtozá, így ee öryezete z ( ) sorozt egyetle tgj sem lehete Feldt Bizoyítsu e, hogy h lim,, or lim + Megoldás H, or ε > eseté < ε, h < ε lim mitt ε -hez létezi N( ε) természetes szám úgy, hogy < ε, h > N Ezért lim H >, or
Vlós számsorozto 9 ( ) + + + Egy ε > számot rögzítve, mitt ε -hoz létezi oly N természetes szám, hogy h > N, or < ε Ezért, h > N, or ε < ε Tehát lim lim Hsoló igzolhtó, hogy h, és lim, hol, or lim lim Gyorlto és feldto Vizsgálju meg övetező, áltláos tgjul dott sorozto overgeciáját 5 ) ; ) ; c) ; 4 + 5 + 5 + + d) ; e) 6 + + ; f) 6 + + + Kovergese-e övetező sorozto? + + + ) ; ) ; + + 5 + + c) ; d) 5 + + 5 Igz-e övetező állítás? H ( + ) overges, or ( ) és ( ) is overges (H igz, or ell igzoli, h em, or elég egy ellepéldát di) 4 Dötsü el, hogy övetező állításo özül melyi igz és melyi hmis: ) H ( ) overges, or ( ) és ( ) is overges; ) H ( ) overges, or ( ) és ( ) is overges; c) H overges, or ( ) és ( ) is overges; d) H ( + ) diverges, or ( ) és ( ) is diverges; e) H ( + ) diverges, or ( ) és ( ) özül leglá z egyi diverges; f) H ( + ) és ( ) diverges, or ( ) is diverges; g) H ( ) és ( ) overges, or ( ) is overges 5 Igzolju, hogy h lim és lim, továá mide - r, or Igz-e, hogy h > mide -r, or >?
4 Vlós számo és számsorozto Végtelehez trtó sorozto A diverges sorozto özül ülööse érdeese zo z ( ) sorozto, melyeet szemléletese úgy is jellemezhetü, hogy mide htáro túl öveszi (orlátlul öveszi) Már láttu, hogy igz övetező ét ijeletés: Tétel ) lim +, h mide K számhoz létezi oly ( K ) természetes szám, hogy h > ( K), or K > ) lim, h mide K számhoz létezi oly ( K ) természetes szám, hogy h > ( K), or K ( ) < Péld Az + sorozt -hez trt A ( sorozt -hez trt A (( ) 4 ) sorozt em trt sem -hez, sem hez A övetező prgrfus megvizsgálju, hogy végtelehez trtó soroztol végezhetü-e műveleteet ) Gyorlto és feldto Dötsd el, hogy -e z ( ) sorozt orlátlság ) szüséges; ) elégséges; c) szüséges és elégséges; d) em szüséges és em elégséges feltétele A övetező áltláos tgjul dott sorozto özül melye trt -hez és melye -hez? ) ; ) + + + ; c) + ; + + d) si π ; e) cos ( ) π 4 Htároztl esete A overges soroztol végzett művelete tulmáyozásáál láttu, hogy izoyos esetee emcs véges htárértéeel lehet műveleteet végezi, hem végtele htárértéeel is Például lim + egyelőséget úgy is ( ) izoyíthtju, hogy elátju z összeg tgjáról, hogy ülö-ülö -hez trt Tehát úgy sejtjü, hogy + A + egyelőség ltt zt értjü, hogy tetszőleges ( ) és ( ) + -hez trtó sorozt eseté z ( ) sorozt + htárértée is + Ehhez hsoló, h c,,, or z + c, ( c, / c, c st) egyelőség(e) ltt zt értjü, hogy h lim és lim, or c (li m c, lim / c, lim lim + c, st) A övetező péld muttj, hogy elemeivel em mide művelet értelmezhető H lim ( ) htárértéet szereté iszámíti, or z elői godoltmeet em hszálhtó, mert ét végtelehez trtó sorozt ülösége
Vlós számo és számsorozto 4 ( ) ( ) lim( ( ) ) ármeor lehet Például lim lim, +, tehát lú művelet eredméye ármi lehet Ezért lú htárértéeet htároztl esete evezzü Ee prgrfus megvizsgálju, hogy milye műveleteet végezhetü és szimólumol, és mior jutu htároztl esethez Összedás + +, ; +, + ( ) +, + ( ) Ezee tuljdoságo izoyítás htárértée értelmezése lpjá yilvávló Bizoyítsu például z + egyelőséget, h H lim és lim, or tetszőleges K és ε > eseté léteze z K ( ) és ( ε) üszöszámo úgy, hogy teljesüljee övetező összefüggése: ε < < + ε, h () ε és K + <, h ( K) Tehát z ε válsztássl z N( K ) mx{ ( ε), K ( )} számr K < +, h N ( K) A htárérté értelmezése lpjá lim +, tehát írhtju, hogy + A továi felsorolju z elvégezhető műveleteet és htároztl eseteet Megjegyzés A + művelete icse értelme, mivel h lim + és l ( ) ( + ) egyes esetee sorozt overges, más esetee htárértée + vgy, z is megtörtéhet, hogy sorozt diverges Szorzás és ( ) ( ), h > ; és ( ) ( ), h < ; ( )( ) ; ( ) ( ) Megjegyzés A és ) ( műveletee ics értelme, mert h ) állíthtu semmit: lehet overges, diverges, trtht + -hez vgy -hez Osztás és, h tetszőleges vlós szám Megjegyzés H lim ± és lim ±, vgy lim lim, or z im, or z soroztról em állíthtu semmit; lim és li m vgy lim, or z ( soroztról em soroztról em állíthtu semmit Ezért zt modju, hogy
4 Vlós számo és számsorozto,,,, műveletee ics értelmü ( véges vlós szám) 4 Gyövoás és +, mide eseté 5 Htváyozás H lim és lim, or lim lim ( ) lim Egyes esetee sorozt v véges htárértée, más esetee pedig ics H >, or és H < <, or és H >, or, h <, or, Megjegyzés Nics értelmü z,, és műveletee, mivel ezee z esetee z ( soroztoról em állíthtu semmit Egyes esetee ) Megjegyzés H, or z ( soroztról em állíthtu semmit ) sorozt v véges vgy végtele htárértée, más esetee sorozt diverges A htároztl eseteet legtö esete átlítju és vlmilye más godoltmeet lpjá próálju meg htárérté iszámítását Ngyo gyori rcioális törte htárértéée iszámítás Erre votozó egyszerű ritériumot lehet levezeti p p A + A + + Ap Feldt Teitsü z, p >, q >, A, q q B + B + + B q B, B + + B q áltláos tgú soroztot Számítsu i lim -et! q Megoldás Írju sorozt áltláos tgját övetező l: A A p A + + + p p q Bq B + + q p H p q, or q A, ármely eseté, tehát lim (mert B számláló is és evezőe is töi tg htárértée H p > q, or p q >, tehát lim p q p q és így A lim sg H p < q, B p q or p q <, tehát lim lim és így lim Érvéyes tehát övetező tétel: p p A + A + + Ap Tétel H, p >, q >, A q q, B, B + B + + B q
Vlós számo és számsorozto 4 A,h p q; B q B + + B q, or A >, h p < q Feldt Számítsu i övetező htárértéeet: lim sg, h p ; B q ) lim ( + ); ) lim ( ) + Megoldás ) A htárérté lú htároztl eset, ezért átlítju z + áltláos tgot: + + + + + + + Mivel másodi tört -hez trt és z első -hoz, szorzt htárértée ) Az ) lpot lpjá lú htároztl eset Az elői átlításo lpjá ( ), tehát eresett htárérté + + + 5 A mjorálási ritérium és fogó tétel Az eddig megoldott feldto so esete tudtu vol lú egyelőtleséget felíri és így ól, hogy sorozt -hoz trt meg lehet htározi üszöszámot -re -re létező üszöszám függvéyée Hsoló helyzet or is, h z egyelőtleség eseté zt tudju, hogy z sorozt htárértée Eől övetezi, hogy is -hez trt Ezeet z észrevételeet, övetező tétele fogllju össze: Tétel ) H, és lim, or lim (mjorálási ritérium) ) H, és lim, or lim K, ( K), tehát K egyelőtleség is teljesül mide ( K) Bizoyítás ) A feltétele lpjá ε > eseté () ε, úgy, hogy ε, () ε, tehát ε egyelőtleség is teljesül mide () ε eseté Az ε -os overgeci ritérium lpjá lim ) Az ε -os overgeci ritérium lpjá K > eseté K ( ), úgy, hogy eseté Így z értelmezés lpjá lim Ez ét tuljdoság sjátos esete övetező áltláos tétele:
44 Vlós számo és számsorozto Tétel (fogó tétel) H, eseté és lim lim c l, or lim l c Bizoyítás A feltétele lpjá c, eseté Mivel lim ( c ) l l, mjorálási ritérium lpjá lim ( ) Mivel lim l z elői ét egyelőségől övetezi, hogy lim l Kissé humoros formá ezt övetezőéppe szemléltethetjü: Két redőr z utcá elfog egy tolvjt Két oldlról megilicseli és elidul redőrségre Természetes, hogy így tolvj is éytele redőrségre mei Ee redőrelve z llmzás zt íváj, hogy merjü ecsléseet végezi és így elég so soroztról meg tudju állpíti overgeciát Allmzáso Teitjü zt soroztot, melye -edi tgj x + + + + + + Koverges-e sorozt? H ige, számítsu i htárértéét! H gy, or jo oldlo álló összeg mide tgj icsi, de eől (erre már láttu példát) még em övetezi, hogy sorozt -hoz trt, mert z összeddó szám is, és így ez is gy és -el együtt öveszi Becsüljü meg lulról és felülről x -et! x + + + + + + + +, x + + + + + + + + Mide eseté x, feti egyelőtlesége lpjá + + Az ( ) soroztot özre fogtu zoos htárértéű overges soroztol (mert lim lim c ) Így fogó tétel lpjá z ( ) sorozt is overges és htárértée Adott + + + + + + sorozt Vizsgálju meg sorozt overgeciáját, és h overges, or számítsu i htárértéét Becsüljü meg ét oldlról -et úgy, hogy z tgú összeg legise, illetve leggyo tgját vesszü -szer c + + Mivel lim c, mjorálási ritérium lpjá lim
Vlós számo és számsorozto 45 Adott + + + áltláos tgú sorozt + + + Igzolju, hogy sorozt overges és számítsu i htárértéét! Az elői feldthoz hsoló írhtju, hogy + + Mivel lim lim és lim lim, + + + + fogó tétel lpjá lim 4 Teitsü z ( ) soroztot Vizsgálju sorozt overgeciáját! Első pilltásr em is tudju megsejtei, hogy overges-e sorozt Az iztos, hogy h >, or > Az -edi gyö jeleléte ézefevővé teszi, hogy számti és mérti özepe özti egyelőtleséggel próálju sorozt -edi tgját felülről ecsüli Ilye módo + + + H, c + mide eseté, or + c, lim és lim c, tehát fogó tétel lpjá sorozt overges és lim 5 Htározzu meg z, sorozt htárértéét A < ( + ) C + C + C + + C C + C + összefüggése és mjorálási ritérium lpjá lim Gyorlto és feldto Tulmáyozd övetező sorozto overgeciáját: ) + + + ; ) + + + + + + ; + + ( +) cos + cos + + cos c) + + + ; d) ; + + + 5 5 ( ) e) ; f)! 4 6 ( )
46 Vlós számo és számsorozto Koverges-e z + + + + sorozt? + + + + Számítsd i lim + htárértéet! 4 Koverges-e z + + + + + + + + sorozt? Megjegyzés H 4 feldt is z előző példához hsoló próálu ecsüli, or zt pju, hogy, c és c, viszot + lim lim c, tehát fogó tétel em llmzhtó Így legfelje cs yit tudu modi, hogy h érdéses sorozt overges, or htárértée és özött v Persze lehet, hogy ügyese ecsléssel célhoz érheté, vgy más módszerrel lehete próálozi A feldtr még vissztérü, itt zért mutttu e, hogy lássu: fogó tétel íált módszer is oly, mit töi módszer em midig vezet eredméyre 6 Mooto és orlátos sorozto Feldt Vizsgálju meg, hogy mi z összefüggés egy overges sorozt tgjiól lotott hlmz torlódási potji és sorozt htárértée özött! Megoldás H sorozt tgjiól lotott hlmz véges ( sorozt egy idő utá osts), or vizsgált hlmz ics torlódási potj H sorozt tgjiól lotott hlmz végtele, or sorozt htárértée hlmz torlódási potj, mert mide öryezete sorozt végtele so tgját trtlmzz Másrészt, h sorozt htárértée l és l egy szám, or z l -e v oly V öryezete, mely sorozt véges so tgját trtlmzz Így létezi oly V öryezet is, melyre V \{ hlmz üres, tehát em lehet torlódási potj sorozt tgjiól lotott hlmz Feldt Legye egy övevő és felülről orlátos sorozt Háy torlódási ( ) potj v sorozt tgjiól lotott hlmz? Megoldás Jelöljü H -vl sorozt tgjiól lotott hlmzt A H hlmz felülről orlátos, tehát létezi felső htár A sorozt tgji cs H felső htár örül torlódht Igzolju, hogy z s sup H szám z egyetle torlódási potj H hlmz Mivel sorozt szigorú övevő, s H A szuprémum értelmezése lpjá z s mide öryezete trtlmzz sorozt leglá egy elemét (elleező esete léteze ál ise felső orlát), tehát s torlódási potj H hlmz > s eseté létezi - oly öryezete, mely em trtlmzz s -et és így em trtlmzhtj sorozt egyetle elemét sem H < s, or szuprémum
Vlós számo és számsorozto 47 értelmezésée szereplő másodi tuljdoság lpjá létezi úgy, hogy < < s Eszerit z - z öryezete, melye felső htár sorozt cs véges so tgját trtlmzz Így ezee tgo z -tól vló emull távolsági özt v legise Jelöljü ezt m -mel Az - m -él ise sugrú öryezete em trtlmzz sorozt -tól ülööző tgját, tehát em lehet torlódási potj H - Így H - egyetle torlódási potj v, szuprémum Az elői feldto megoldás lpjá láthtó, hogy szigorú övevő és orlátos sorozto eseté tgoól lotott hlmz szuprémum egye sorozt htárértée is Vló z elői jelölése lpjá, h ε >, or létezi () ε úgy, hogy s ε < < s A sorozt mootoitás és szuprémum első tuljdoság viszot ( ε ) iztosítj, hogy s ε < < s, () ε Tehát z ε -os overgeci ritérium lpjá lim s H sorozt em szigorú övevő, de övevő, or lim s egyelőség továr is igz, mert h sorozt tgjiól lotott sorozt végtele so elemet trtlmz, or z elői godoltmeet em módosul, míg h ez hlmz véges, or úgy, hogy s, Így sorozt ee z esete is overges és htárértée s Hsoló godoltmeet lpjá igzolhtju, hogy csöeő és lulról orlátos sorozto is overgese és htárértéü tgjiól lotott hlmz ifimum Az előie lpjá érvéyes övetező tétel: Tétel ) H z ( ) sorozt felülről orlátos és övevő, or overges ) H z ( ) sorozt lulról orlátos és csöeő, or overges ) H z ( ) sorozt orlátos és mooto, or overges Példá ) Az áltláos tgú sorozt övevő és egy felső orlátj x 4 8 ár Az árá szemléltettü sorozt éháy tgját A mootoitás mitt sorozt tgjit árázolv midig jor hldu, de iztos, hogy -ig em jutu el Mid tö potot erjzolv z árár, egyre jo érezzü, hogy sorozt tgji vlmely pot örül sűrűsödi ell A feti példá öyű megmutti, hogy lim lim, zz sorozt overges és htárértée ) Teitsü például z + + + soroztot Tetszőleges eseté
48 Vlós számo és számsorozto + + + + + + + ( ) + + + + + <, tehát feti ecslés lpjá egy felső orlátj sorozt Mivel > mide eseté, sorozt orlátos Viszot sorozt mooto övevő, mert + >, Tételü ( + ) szerit sorozt overges, létezi htárértée De mi ez htárérté? Az iztos, hogy -él em gyo L Euler volt z első, i eizoyított zt téyt, hogy π ee sorozt htárértée lim Ezt most még em izoyítju 6 ) Vizsgálju meg z sorozt overgeciáját, h eset H, + ), or < <,, tehát sorozt csöeő és lulról orlátos Így sorozt overges Mivel, írhtju, hogy lim + lim Másrészt lim lim, mert z első tgtól elteitve + ugy sorozt htárértéét látju midét oldlo H l lim, or eze lpjá l l, tehát lpjá l eset H, or H sorozt felülről orlátos vol, or > > + overges is lee Ee z esete z l lim szám teljesíteé z l l egyelőséget, tehát htárértée ellee legye Ez em lehetséges, mert sorozt tgji mid gyo, mit Tehát sorozt övevő és felülről orlátl Így lim eset H (,), or +, tehát lim 4 eset H, or sorozt em overges, mert ét egymást övető tg ülösége leglá A páros idexű tgoól lotott részsorozt + -hez, pártl idexű tgoól lotott részsorozt pedig -hez trt 5 eset H, or, tehát lim Összefogllv z elői eseteet ijelethetjü övetező tételt:, h < < ;, h ; Tétel lim,h > ;, h
Vlós számo és számsorozto 49 4) Vizsgálju z, sorozt overgeciáját és számítsu + [,] i htárértéét A reurzió lpjá, tehát sorozt csöeő Mivel, + [,] írhtju, hogy ( ) [,] Áltlá h [,], or ( ) + [,], tehát mtemtii idució elve lpjá [,], Mivel sorozt orlátos és csöeő, overges is H l -el jelöljü htárértéét, reurzió lpjá l l l, tehát l Így sorozt overges és lim Allmzás (Cesro lemmáj) Bizoyítsu e, hogy mide végtele so ülööző tgot trtlmzó orlátos sorozt v leglá egy overges részsorozt Bizoyítás Jelöljü tgoól lotott végtele H hlmz felső és lsó htárát M -mel illetve m -mel A izoyítás övetező észrevétele lpszi: H egy [, ] itervllum egy hlmz végtele so elemét trtlmzz, or z +, +, és itervllumo vlmelyie szité trtlmzz hlmz végtele so elemét Így értelmezhetjü z ( ) és ( ) m, M és [ +, + ] z [ ] hlmz végtele so elemét trtlmzz Így, soroztot övetezőéppe: itervllum zo (fél) része, mely M m és midét sorozt M m mooto és orlátos Eől övetezi, hogy overgese és egyelőség lpjá zoos htárértéü A ét sorozt özös l htárértéée mide ε > sugrú öryezete H hlmz végtele so elemét trtlmzz, tehát iválszthtó egy l -hez trtó overges részsorozt z eredeti sorozt Gyorlt Bizoyítsd e, hogy övetező sorozto overgese és számítsd i htárértéüet: ), hol (, ) rögzített szám; ), 5 A háydosritérium Az elői prgrfus láttu, hogy zo mérti hldváyo, melye vóciese szolút értée -él ise, overgese és htárértéü A htárértée szempotjáól so oly sorozt v, mely mérti hldváyhoz hsoló viseledi, ár em mérti hldváy Ilye esetere votozi övetező ritérium: H
5 Vlós számo és számsorozto Tétel (háydosritérium) H z ( ) pozitív tgú sorozt tgjir lim or igz övetező állításo: H l <, or sorozt overges és htárértée H l <, or z x sorozt is overges H l >, or sorozt diverges és htárértée 4 H l >, or z x sorozt diverges 5 H l, or sorozt lehet overges is és diverges is, tehát em tudju eldötei Bizoyítás ) Az l < feltétel lpjá létezi oly ε >, melyre l + ε < és + ehhez z ε -hoz tlálu oly () ε természetes számot, melyre < l + ε <, () ε Eől z egyelőtleségől övetezi, hogy ( l + ε), ( ε) Tehát ( l + ε) h () ε Mivel ε (és így (ε) is) rögzített ( ε) szám, ezért mjorálási ritérium lpjá lim ) Az elői ecslése lpjá ( ε) ( ε) ( ε) x + ( l ε) ( ε) + +, tehát z ( x ( ε) ) sorozt l ε felülről orlátos Mivel z ( ) sorozt tgji pozitív, z ( x ) sorozt övevő, tehát overges -4) Az l > feltétel lpjá létezi oly ε >, melyre l ε > és ehhez z ε - + hoz tlálu oly () ε természetes számot, melyre > l ε >, () ε + Eől z egyelőtleségől övetezi, hogy ( ε), Tehát > ( l ε) ε > l + + l, h () ε Mivel ε (és így (ε) is) rögzített szám, ezért ( ε) z ( l ε) áltláos tgú sorozt -hez trt és így lim Az x ( ε) ( ) ( ε) divergeciáj ie yilvávló, mert x > 5) Az és soroztor lim + egyrát és z egyi esete z ( ) sorozt, árcs z ( x ) sorozt diverges, míg mási esete overges Allmzáso Tulmáyozzu z P ( ) sorozt overgeciáját, h P [ X] egy - ed foú poliom és (,)
Vlós számo és számsorozto 5 Az + P ( + ) egyelőség lpjá lim P( ) sorozt overges és htárértée Számítsd i z, sorozt htárértéét! + Erre soroztr lim +!, tehát lim ( +! ) + +, tehát h <, or Gyorlto és feldto Tulmáyozd övetező sorozto htárértéét: ), >, ; ), >, ;! ( + )( + )( + ) ( + )( + )( + ) c), < <, ; ( + )( + )( + ) Bizoyítsd e, hogy h z ( ) pozitív tgú sorozt tgjir z x α sorozt overges és < α <, or z ( ) sorozt is + overges Bizoyítsd e, hogy h z ( ) pozitív tgú sorozt tgji teljesíti z + + egyelőtleséget mide + ( ) sorozt overges 8 Az e szám (Euler-féle szám) Az + áltláos tgú soroztot tulmáyozzu természetes számr, or z ( ) +, +, +,, +, módszer Allmzv Beroulli egyelőtleséget -re, pju, hogy + +, mide Megmuttju, hogy sorozt mooto övevő és felülről orlátos A sorozt első 9 64 tgji:,,, st Megfigyeljü, hogy < < Eől rr 4 7 öveteztetü, hogy sorozt övevő Vló, + + + > +, +
5 Vlós számo és számsorozto mert, evivles átlításol, + + + > +, + + >, + + + + + >, + + + + + + > + + + + + + + + + + > >, + + + + + + hol ismét llmztu Beroulli egyelőtleséget Eől övetezi, hogy + > mide eseté, tehát sorozt övevő A orlátosságot iomiális tétel segítségével muttju meg Mit láttu, sorozt lulról orlátos, és egy lsó orlátj Felső orlátot eresü Feáll, hogy + + + + + C C C + + + + +!!! Teitsü övetező ecslést: + < + + + + +!!! + + + + + + < + Tehát sorozt orlátos, <, és mooto övevő Így tehát tudju, hogy sorozt overges, htárértée létezi és lim módszer Igzolju, hogy z e + sorozt övevő és, hogy z + e + sorozt csöeő Az e e egyelőtleség evivles z + + + + egyelőtleséggel Ez viszot számti és mérti özép + özti egyelőtleség z x x x + és x számor +
Vlós számo és számsorozto 5 Hsolóéppe z e + e egyelőtleség redre övetezőéppe líthtó: + + + + + + + < + < + + + + + + + + < < + + + + Az utolsó egyelőtleség számti és mérti özép özti egyelőtleség z x x x és x számor + + + Másrészt < e, tehát z elői egyelőtlesége lpjá midét sorozt e overges (z ( e ) sorozt mide tgj lsó orlátj z ( e ) sorozt és z ( e ) sorozt mide tgj felső orlátj z ( ) e sorozt) e < e < e < < e < e < < e < e < e Eől övetezi, hogy létezi lim e l és z lim e l htárérté Mivel e e +, ét htárérté egyelő egymássl Ugyor e és 6 e5 + 5, 985984 <, tehát < e, < Jelöljü z ( e ) sorozt htárértéét e-vel e értée, éháy tizedesyi potossággl: e,788 Az e számml továi töször tlálozu Más módo is elő fogju állíti és megmuttju, hogy e irrcioális szám e-t természetes logritmus (logritmus turlis, z x természetes logritmusát l x -el jelöljü) lpszámá is szoás evezi Az előie lpjá + lim lim e + + Követezméy Az e < és e + < e egyelőtlesége lpjá e + < l( + ) l <, + Allmzás Tulmáyozzu z c + + + + l, sorozt overgeciáját A c < c egyelőtleség evivles z + < l( + ) l + egyelőtleséggel, tehát ( c ) sorozt csöeő Ugyor övetezméy másodi egyelőtlesége lpjá: l l < l l <
54 Vlós számo és számsorozto l 4 l < l( + ) l < l( + ) < + + + Eől övetezi, hogy < l( + ) l < c, tehát sorozt lulról + orlátos (pozitív tgú) és így orlátos A ( c ) sorozt htárértéét c -vel jelöljü és Euler-féle álldó evezzü Megjegyezzü, hogy még midig megoldtl prolém c irrciolitásá érdése Feldto Bizoyítsd e, hogy lim + + + l + + Bizoyítsd e, hogy h z ( ) pozitív tgú soroztr lim l >, or lim + 9 Az lú htároztl eset Az lú htároztl esete visszvezethető más htárértée iszámításár övetező tétel lpjá: x Tétel li m + e, h lim x + (vgy lim x x Bizoyítás Tételezzü fel, hogy x > és lim x ( ) x ) és ( ) + Legye [ x ] vlós számsorozt m Mivel x em orlátos, h +, or m + Az ismert tuljdoság lpjá m x< m+, és eől övetezi, hogy > m x m+, vgy + + > + m x m+ Az elői egyelőtleséget x -edi htváyr emelve pju, hogy x x + + > + m x m+ m Mivel + > + és + +, pju, hogy m+ m+ m m x x x m+,
Vlós számo és számsorozto 55 Ismeretes, hogy m+ + + > + m x m+ m+ lim + lim + m m+ x m m e, tehát fogó tétel lpjá lim + e x Az elői godoltmeetet hszálv igzolhtó övetező állítás is: Követezméy H x > és lim x x lim + x e, or létezi ( ) x Gyorlto és feldto Számítsd i övetező htárértéeet: ) lim + + + ; ) lim + + + x d) lim + ; e) lim + ; f) Bizoyítsd e, hogy h lim x, or ; c) lim ( ( ) ) lim si + + ; x x e l( + x ) lim ; ) lim l c) ) lim x x x x Bizoyítsd e, hogy h lim x, or lim e e és lim l x l 4 Számítsd i övetező htárértéeet: p + ) lim ( ); ) lim ; c) lim p ( ) + 5 Bizoyítsd e, hogy lim ( + )!! (Tri Llescu sorozt) e A Cezáro-Stolz tétel Legye tetszőleges sorozt, ( ) ( ) és em orlátos H létezi lim + + htárérté is és l sorozt pedig szigorú mooto htárérté, or létezi li m