Továbbra is az analógiát követve: akkor kapunk szélsőértéket, ha δs[y(x)] eltűnik. y δy dx = 0. y δydx + f. y y δydx = 0 (2)

Átírás

1 1. Vriációszámítás Vezessük be funkcionálok foglmát, zz egy olyn operátort, mi függvények teréből vlós számok hlmzár képez: S[f] : F R A legegyszerűbb ilyen operátor htározott integrálás, hiszen ez egy függvényhez egy számot, függvény ltti terület ngyságát rendeli hozzá. f(x)dx = F (b) F () = T [,b] R A vriációszámítás ilyen funkcionálok szélsőértékkeresésével fogllkozik, zz például milyen függvényre lesz egy dott integrál minimális. Nézzük először klsszikus szélsőérték problémáját. Egy f(x) függvény zon pontját keressük, hol függvényérték független változó kis kitéréseire elsőrendben nem változik. Azz f(x)-et sorb-fejtve lineáris tg eltűnik: f(x + δx) = f(x) + δf(x) f(x) + f (x) δx + O(δx 2 ) (1) δx-el nullához trtv mgsbb rendű tgok elhnygolhtók, zz zt kpjuk, hogy mennyiben f (x) = 0, kkor függvényérték x-nk δx környezetében konstns, zz függvényünknek szélsőértéke, vgy inflexiós pontj vn. Térjünk vissz funkcionálokhoz. Ez esetben z f függvényünket kell megváltozttnunk, ezt nevezik függvény δf vriációjánk. Válsszuk úgy vriációt, hogy kezdő, és végpontbn megegyezzen z eredeti függvénnyel, útközben pedig közel hldjon f-hez. Legyen funkcionálunk lkú. Ekkor (1)-hez hsonlón: S[y(x)] = f(y (x), y(x), x)dx S[y(x) + δy(x)] = S[y(x)] + δs[y(x)] = ( f(y ), y, x) = S[y(x)] + δy + f(y, y, x) y y δy dx Továbbr is z nlógiát követve: kkor kpunk szélsőértéket, h δs[y(x)] eltűnik. δs[y(x)] = ( f(y, y, x) Az integrndus második tgjábn prciálisn integrálunk: δs[y(x)] = y f y δydx ) δy + f(y, y, x) y δy dx = 0 ( ) f y δydx + f y δy b = 0 Mivel vriációt direkt úgy válsztottuk meg, hogy δy htárokon eltűnjön, ezért: [ b ( ) ] f f δs[y(x)] = y y δydx = 0 (2) Az integrndusbn levő tgot z egyszerű függvények deriváltjánk nlógiáj lpján vezettük be, ezért funkcionális deriváltnk nevezzük, és δf -fel jelöljük. 1

2 Mivel (2)-es integrál zonosn 0, ezért z integrndusnk is nullát kell dni, hiszen minden vriációr teljesülnie kell. Ebből jutunk z Euler-Lgrnge egyenlethez, mi kimondj, hogy funkcionális deriváltnk el kell tűnnie. δf = f ( ) f y y = 0 (3) Tehát zt kptuk, hogy egy integrálnk olyn függvényre vn extrémum, mi teljesíti (3)-s egyenlőséget. Fontos, hogy ez z egyenlőség nem mondj meg, hogy kpott függvény minimumhoz, vgy mximumhoz trtozik! (3) lpján speciális függvénycsládokt vezethetünk be. 1. f(y, y, x) = f(y, x) Ekkor funkcionális derivált második tgj null, zz egy egyszerű egyenlethez jutunk: f y = 0 2. f(y, y, x) = f(y, x) Ekkor funkcionális derivált első tgj tűnik el, zz: d f dx y = 0 f y = const. 3. f(y, y, x) = f(y, y) Azz függvény nem függ expliciten függő változótól (ált. időtől). Ekkor f deriváltjár dódik: [f(y, y )] = f y y + f ( ) f y y (3) y y + f y y Az utolsó tg egy teljes derivált, átrendezve, és egyszerűbb lkbn dódik, hogy: [ ] f y y f(y, y ) = 0 Azz mennyiben f nem függ expliciten x-től, egy megmrdó mennyiséget tláltunk. Ezt függvényt hívják Beltrmi-függvénynek, Lgrnge-formlizmusbn, hol függő változó z idő, Beltrmi-megmrdás ekvivlens z energimegmrdássl. B := f y y f = const. (4) 2

3 2. Feldtok 2.1. Egyszerű feldtok Legrövidebb úthossz Tekintsük feldtnk két pont közötti legrövidebb út megkeresését. Úthosszt következő ábr szerint célszerű definiálni: Ekkor láthtó, hogy: Amiből: dl = cos ϕ = dx dl cos2 ϕ = ( ) 2 dx dl 1 cos 2 ϕ dx = 1 + tn 2 ϕ dx = 1 + y 2 dx Meg is vn minimlizálndó funkcionálunk. Adott és b x értékek mellett görbe hossz: L[y(x)] = A extrémum feltétele továbbr is (3) szerint dódik: 1 + y 2 dx ( ) L y = 0 L y = const. A deriválás elvégzésével: y 1 + y 2 = const. y = const. Azz zt z eredményt kptuk, hogy két pont közötti legrövidebb görbe mindig olyn, hogy nnk deriváltj egy konstns, zz görbe egy egyenes. Ezt is vártuk természetesen. 3

4 Legkisebb forgásfelület Legyen x 1 és x 2 pontbn két párhuzmos, x-tengelyre merőlegesen álló y 1 és y 2 sugrú körünk. Ekkor minimlizálndó felületet z előző feldt segítségével következő funkcionál dj meg: x2 x2 A[y] = 2π ydl = 2π y 1 + y 2 dx x 1 x 1 Hsználjuk most Beltrmi-függvényt. (Ezt z előző feldtbn is megtehettük voln, ugynrr z eredményre vezet.) ( ) yy 2 B = 2π y 1 + y 2 y = = const. 1 + y y 2 A fenti differenciálegyenlet szeprálhtó. A megoldás: ( ) y y 2 y A = B 2 1 y = B ch B hol A-t, és B-t kezdeti feltételekhez vló illesztésből kphtjuk meg. Érdekesség - Fermt-elv A Fermt-elv szerint fény két pont között legrövidebb optiki úthossz rendelkező pályán terjed. Tekintsük z x y síkbn történő fényterjedést, és legyen n(x) helyfüggő törésmuttó. Ekkor minimlizálndó funkcionálunk: L[y(x)] = n(x)dl = n(x) 1 + y 2 dx Ekkor z Euler-Lgrnge egyenlet szerint: ( ) ny y = 0 n = const. 1 + y y 2 Felhsználv, hogy y = tn ϕ: tn ϕ n = n sin ϕ = const. 1 + tn 2 ϕ (Tlán) nem meglepő módon visszkptuk Snellius-Descrtes törvényt. 4

5 2.2. Lgrnge-multiplikátorok Ennél módszernél zt trükköt hsználjuk ki, miszerint h függvényünkhöz 0-t dunk hozzá, zzl funkcionált nem befolyásoljuk, de extr mellékfeltételek teljesülését köthetjük ki. Mielőtt zonbn ész nélkül hsználnánk őket, fontos megjegyezni, hogy mindig tlálhtó olyn koordinátázás, mivel feltételek kpásból teljesülnek. Például: egy ing mozgását lehet Descrtes-féle koordinát-rendszerben felírni, és fonl hosszánk állndóságát λ( x 2 + y 2 l) multiplikátorrl figyelembe venni. Persze sokkl egyszerűbb polárkoordinátákkl dolgozni, hol feltétel triviálisn teljesül. Azz összefogllv: legyen ϕ k k drb kényszerünk, ezekkel funkcionál lkj következő. F λ [...] = (f + λ k ϕ k )dx = f λ dx (5) Természetesen ϕ függhet q k koordinátáktól (holonóm kényszer). Fontos megjegyezni, hogy ez esetben λ k -t mint változót vezetjük be, zz eszerint is vriálni kell. (5)-re tehát z Euler-Lgrnge egyenletek: ( ) f ϕ f + λ k q k q k q k = 0 δf λ δλ k = ϕ k = 0 Láthtjuk is, hogy ϕ k mellékfeltételeink rögtön teljesülnek is. Láncgörbe Legyen egy két végén felfüggesztett L hosszú, ϱ vonlsűrűségű kötelünk. Ennek z lkjár vgyunk kíváncsik. A minimlizálndó funkcionál kötélre htó potenciális energi (energiminimumr vló törekvés). (Emlékezve, hogy V = mgy, vlmint, hogy ϱdl = dm.) V [y(x)] = gyϱdl = gϱ y (1 + y 2 )dx Még meg kell kötnünk kötél hosszát is! Ezt vegyük figyelembe multiplikátor segítségével. V λ [y(x)] = gϱ y (1 (1 + y 2 )dx + λ + y 2 )dx Láthtó, hogy problém kísértetiesen hsonlít minimális forgásfelület problémájához. Egyszerűség kedvéért vezessük be ỹ = y + λ gϱ változót, ekkor ỹ = y továbbr is. Az integrndus tehát: f λ = (gϱy + λ) (1 + y 2 ) = gϱỹ (1 + ỹ 2 ) Ez már ténylegesen minimális forgásfelület problémáj, megoldás korábbik szerint tehát: ỹ = y + λ ( ) x A gϱ = Cch C 5

6 Mozgás előre megkötött felületen (görbén) Legyen feldt következő: vn egy m tömegű testünk, mi egydimenziós mozgást végez oly módon, hogy pályáj meg vn kötve egy f(x) görbére. Kérdés, hogy hogyn tudnánk Lgrnge-formlizmus segítségével megdni kényszererőt. Írjuk fel problém Lgrnge-függvényét, kényszerfeltételt vegyük figyelembe Lgrngemultiplikátorrl. Ebből z Euler-Lgrnge egyenletek: L = K V + λϕ = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) mgy + λ(y f(x)) L x = d L dt ẋ λf (x) = mẍ (6) L y = d L mg + λ = mÿ (7) dt ẏ A kényszert úgy írhtjuk fel, mint görbe grdiensének és λ szorztát. Azz F k = λ ϕ. Röviden nézzük meg, hogy ez miért vn (részletesebben lesz Elméleti mechnikán). Egy tömegpont külső szbd erők, és kényszererők htás ltt áll, ekkor testre htó erők: F = F sz + F k Ezekből szbd erőket ismerjük, zonbn kényszererőkről csk nnyit tudunk, hogy ngyság és irány kkor, hogy görbén trts testet. A súrlódás elhnygolásávl tudjuk, hogy ez kényszer merőleges z dott pontbn lehetséges kis δr elmozdulás irányár. Ez időfüggetlen kényszer esetén megegyezik görbe deriváltjávl. Tehát: Fδr = F sz δr Newton II. törvényét felhsználv, és átrendezve kpjuk D Almbert elvet egy tömegpontr. (m r F sz )δr = 0 A fenti kijelentésekből kptuk tehát számunkr most érdekes kijelentést, hogy kényszererő időfüggetlen kényszerek esetén párhuzmos görbe normálisávl, ezért felírhtjuk, hogy: F k = λ ϕ Mivel ϕ = y f(x), kényszererő könnyen meghtározhtó: ( ) λf F k = (x) λ Már csk λ ngyság kérdés. Ezt meghtározhtjuk ebben z áltlános esetben is, bár módszer nem triviális, ugynezeket lépéseket kell lklmzni konkrét számolás esetén is. A trükk z, hogy z y = f(x) feltételt kétszer deriváljuk z idő szerint. Ekkor közvetett függvények deriválási szbályi szerint (f : x szerinti derivált, f: idő szerinti derivált): ÿ = f (x)ẋ 2 + f (x)ẍ (8) (6)-ból és (7)-ből kifejezve ẍ-ot és ÿ-ot, és (8)-b behelyettesítve zokt: g + λ m = f (x)ẋ 2 f (x) λ m 6

7 Ezt átrendezve λ-t kifejezhetjük: λ = mf (x)ẋ 2 + mg 1 + f (x) 2 (9) Érdekességként nézzünk meg egy fokkl konkrétbb példát. Egyszerűsítsünk nnyibn, hogy vessük el külső erőket, zz ne legyen grvitáció. Ekkor (9) egyszerűen: λ = mf (x)ẋ f (x) 2 (10) Vegyük észre, hogy kényszer első deriváltjánk felhsználásávl kifejezhetjük ẏ-ot ẋ függvényében. ẏ = f (x)ẋ Ezzel sebesség: Ezt visszhelyettesítve (10)-be: v 2 = ẋ 2 + ẏ 2 = ẋ 2 (1 + f (x) 2 ) ẋ 2 = λ = mf (x)v 2 (1 + f (x) 2 ) 2 A kényszererő ngyság z F k vektor bszolút értéke: mibe kiszámolt λ-t visszhelyettesítve: F k = λ 1 + f (x) 2 F k = mv 2 f (x) (1 + f (x) 2 ) 3/2 v f (x) 2 Felismerhetjük, hogy tört nem más, mint görbületi sugár reciprok, zz ehhez jól ismert képlethez jutunk: F k = mv2 R g Tehát zt z eredményt kptuk, hogy egy tetszőleges pályán kényszererő ngyság mindig olyn, minth z dott pontb tehető érintőkörön hldn testünk. Ez egy ngyon szép, és könnyen érthető eredmény. Természetesen grvitációs erőtér jelenlétében már nem ennyire egyszerű feldt, de ugynezeket lépéseket kell elkövetni. 3. Fiziki vontkozások Miért is ilyen fontos vriációszámítás fizikábn? A fiziki törvények egyik leglpvetőbb motívum z úgynevezett legkisebb htás elve. Ami zt jelenti, hogy egy test zon pályán fog hldni, mire htásintegrálj minimális. Rögtön láthtó, hogy ez persze vriációs problém. Fiziki problémák esetén funkcionált S[...]-sel jelöljük és htásnk nevezzük, z integrndusbn levő függvényt pedig L Lgrnge függvénynek. Egyszerű mechniki rendszereknél L = K V kinetikus és potenciális energi különbsége. A független változó áltlábn z idő, ezért z 1. fejezetben leírtk szerint, h L 3. 7

8 típusú, zz nem függ független változótól, kkor Beltrmi-függvény ekvivlens lesz z energiávl, mi folymt során állndó mrd. Az Euler-Lgrnge egyenletek továbbr is érvényben mrdnk, csk újbb jelöléseket vezetünk be. Legyenek áltlános koordináták: q k, áltlános sebességek: q k. L q k = p k áltlánosított, knonikus vgy konjugált impulzusok L q k = Q k áltlánosított erők Az Euler-Lgrnge függvények egyszerű lkj tehát N szbdsági fokú rendszer esetén: ṗ k = Q k k 1, 2...N 3.1. Ngyon egyszerű fiziki problémák A következőkben néhány lpvető mechniki rendszer már ismert mozgásegyenletét írjuk fel lgrnge-i módszer segíségével. Ing Egyik legegyszerűbb és legszebb példáj z áltlános koordinátázás előnyének. A feldtot descrtes-i koordinátákkl ngyon hosszú, és csúny lenne leírni, rádásul z ing hosszát lgrnge-multiplikátorrl kéne figyelembe venni. Ehelyett (r, ϕ) koordinátákt hsználv problém ngybn leegyszerűsödik. L = K( ϕ) V (ϕ) = 1 2 ml2 ϕ 2 + mgl cos ϕ A mozgásegyenleteket ϕ-re vontkozó Euler-Lgrnge egyenletek segítségével írhtjuk fel: l 2 ϕ = gl sin ϕ Amennyiben z ing kitérései kicsik, hrmonikus közelítést lklmzhtunk, zz sin ϕ ϕ. ϕ = g l ϕ Ezt kár meg is oldhtjuk, megoldás természetesen szinusz-koszinuszos lesz. Több tömegpont - csúszós ing Legyen m 1 és m 2 tömegű tömegpontunk, mik egy l hosszúságú ing két végpontjábn vnnk. A felfüggesztésnél legyen m 1 mozgthtó x iránybn. Írjuk fel Lgrnge-egyenletét. Legyen z 1-es számú testünk z x iránybn mozgthtó m 1 tömegű test. Ekkor ennek célszerű bevezetni z x koordinátát, mi egy z x tengelyen kijelölt ponttól mért távolságát jelenti. A másik, 2-es számú testünk legyen z ing végén. Neki célszerűen z előző feldt szerint polárkoordinátákt dunk. Annyi koordinátár vn szükségünk, hány szbdsági fokú rendszer. N testnek 3N szbdsági fok lehet, tehát esetünkben 6. De z 1-es testünk csk x tengely mentén mozoght, helyét minden időpillntbn egyértelműen megdhtjuk egyetlen koordinátávl, tehát itt "elvesztünk" 2 szbdsági fokot (zz 1 nem mozoght y vgy z irányb). A 2. testünk már mozoght z x y síkbn, de z-ben nem, zz ezzel elvesztünk egy szbdsági fokot, 8

9 vlmint kényszerfeltétel megkötésével elvesztünk még egyet. Tehát összesen 6 4 = 2 szbdsági fokú rendszerünk, zz két megfelelően válsztott koordinátát kell keresnünk. Ezek egyértelműen x és ϕ. Az 1. test koordinátái: ( ) ( ( ) (ẋ ) x1 x vx = vlmint sebesség: = y 1 0) v y 0 A 2. test koordinátái: ( ) ( ) x2 x + l sin ϕ = y 2 l cos ϕ vlmint sebesség: ( vx ) = v y (ẋ ) + l ϕ cos ϕ l ϕ sin ϕ A fentiek felhsználásávl Lgrnge-függvényt egyszerűen megkonstruálhtjuk. L = K 1 + K 2 V 2 = m 1 2 ẋ2 + m 2 2 (ẋ2 + l 2 ϕ 2 + 2lẋ ϕ cos ϕ) + m 2 gl cos ϕ Innen z Euler-Lgrnge egyenletek némi számolássl felírhtók. Fontos zonbn észrevenni, hogy x nem jelenik meg expliciten z egyenletben, ezért L x = 0, zz p x impulzus időben állndó. 4. Megmrdási tételek Amennyiben Lgrnge-függvény z egyik koordinátát expliciten nem trtlmzz, kkor hhoz egy megmrdási tétel trtozik. Áltlánosbbn kimondv ez Noether-tétel, mi kimondj, hogy egy rendszer szimmetriájához (h vn neki) mindig trtozik vlmilyen megmrdó fiziki mennyiség. Ilyet már láttunk, hisz Beltrmi függvényt pontosn kkor tudtuk felírni, h L nem függött t-től, és ehhez z energimegmrdást cstoltuk. Azz: db dt = E t Azz, h B konstns (nem függ t-től), kkor E megmrd. Ez elméletileg zt jelenti, hogy rendszer időben eltolhtó, időbeli szimmetriáj vn, minek következménye, hogy z Energiánk meg kell mrdni. Azokt koordinátákt, mik nem jelennek meg Lgrnge-bn, ciklikus koordinátáknk nevezzük. Tegyük fel, hogy egy rendszert q k koordinátákkl tudjuk leírni. Ekkor z Euler- Lgrnge egyenletek: d L = L dt q k q k H L nem függ q i -től, kkor i-re z egyenlet módosul: d L = 0 L = const. dt q i q i Azz q i -hez trtozó konjugált impulzus megmrd. Ez például lehet mg z impulzus, vgy impulzusmomentum... 9

10 Péld ciklikus koordinátákr: mozgás htványpotenciálbn Legyen dott egy centrális V (r) potenciálunk. Kérdés kilkuló körpályák sugr, és zok stbilitás. V (r) = αm r A Lgrnge-függvény: L = m 2 (ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) + αm r Ezt bontsuk szét következőképpen: L = m ( m 2 ṙ2 + 2 r2 ϕ 2 + αm ) r Vegyük észre, hogy L független ϕ-től, ezért hozzá trtozó konjugált impulzus, z impulzusmomentum (N) megmrd (forgásszimmetri). Emlékezve, hogy N = mr 2 ϕ = const.: L = m ( N 2 2 ṙ2 + 2mr 2 + αm ) r Észrevehetjük, hogy ϕ-ket teljesen elimináltuk z egyenletből, és csk r, ṙ változójú tgok mrdtk. A kétdimenziós mozgást egy egydimenziós potenciálmozgásr redukáltuk. A második tg csk r-től függ, és olyn minth egy közös egydimenziós potenciált lkítnánk ki, miben test mjd mozog. Ilyen esetben zárójelben levő kifejezést együttesen effektív potenciálnk nevezzük, jele V eff. Az effektív potenciál tetszőleges centrális potenciálr mindig: V eff = N 2 2mr 2 + V (r) Különösebb számolás nélkül, fiziki jártsságból megmondhtjuk, hogy z Euler-Lgrnge egyenlet következőt fogj dni: m r = V eff (r) A lehetségesen kilkuló pályákr (ezek sugr legyen r ) teljesülni kell, hogy ott r = 0, zz: V eff (r ) = N 2 mr 3 + αm = m r = 0 r (+1) Ebből némi lgebrávl: ( ) 1 αm r 2 2 = N 2 Ahhoz, hogy ezen pályák stbilitását vizsgáljuk, hhoz V eff (r ) értéke szükséges. H potenciál második deriváltj pozitív, zz "mosolygós", kkor mozgó test kis kitérésre vissztér z eredeti pályájár, zonbn h negtív, kkor nem lehet stbil. Tehát stbil pályákr: V eff (r 2 αm 3N ) = ( + 1) + r (+2) mr 4 > 0 Az egyenletet átrendezve: 3N 2 m r ( 2) > ( + 1)αm 10

11 A kiszámolt r -ot behelyettesítve: 3N 2 αm 2 m N 2 > ( + 1)αm 2 > Azt kptuk tehát, hogy mennyiben < 2, léteznek stbil körpályák. Milyen szerencsénk vn, hogy grvitációs potenciál pont ilyen! 4.1. Kitekintés A vriációszámítás z elméleti fizik lpj, szinte minden fiziki ág épít rá. Mivel vriációs elvek ngyon konzekvensek, ezért ilyen elvekből kpott egyenletek (h nem számoltuk el) mindig ellentmondásmentesek. Kvntumfizikábn egyet se lehet lépni Hmilton-operátor nélkül. A Hmilton-függvény klsszikus fizikábn Lgrnge-függvény Legendre-trnszformáltj, mi igzából nnyit jelent, hogy (q k, q k ) helyett áttérünk (q k, p k ) változókr. Ekkor H = K + V tuljdonképpen z energiát dj meg (definiáló egyenlősége megegyezik Beltrmiévl). Kvntummechnikábn egy rendszert leíró Hmilton-függvényt operátorokkl írják fel. Ez egyszerűen nnyit jelent, hogy minden változó kp egy klpot: Ĥ = ˆp2 2m + V (ˆx) Különösebb mgyrázás nélkül fogdjuk el, hogy ˆx = x, vlmint ˆp = i, zz ˆx operátor egyszerűen egy x-szel vló szorzást jelöl, míg ˆp operátor egy deriválást is tkr mgábn konstnsokon kívül. Mivel Hmilton-függvényünk már egy operátor, mi leírj rendszerünket, jó ötlet lenne ennek megkeresni sjátértékeit. Jelöljük sjátvektort így: Ψ, és sjátértéket E-vel. Ekkor: Ĥ Ψ = E Ψ nyilvánvlón egy sjátérték-egyenlet. Ezt kiírv jutunk z időfüggetlen Schrödinger egyenlethez: ( ) 2 2m + V (x) Ψ = E Ψ Emellett fontos szerepet játszik különböző térelméletekben (pl. elektrodinmik). Itt z úgynevezett Lgrnge-sűrűségfüggvényt hsználjuk, miben változók különböző tereket fogják jelenteni. A htás itt egy kettős integrálként áll elő, hisz Ψ α (x, t) terek is folytonosn koordinátázottk (formálisn ez zt krj jelenteni, hogy szbdsági fokokt folytonosn indexeljük x-el). S = t2 t 1 Ldt = t2 L t 1 0 Λ(Ψ α (x, t), x Ψ α (x, t), t Ψ α (x, t), x, t)dxdt Ennek vriációjávl egy kicsit más lkú Euler-Lgrnge egyenletekhez jutunk: δs = Λ Λ x δψ α Ψ α ( x Ψ α ) Λ t ( t Ψ α ) = 0 Utolsóként még megemlíthető reltivitáselmélet. Itt sokbn nem tér el formlizmus klsszikus mechnikitól. Speciális reltivitáselméletben szinte teljesen ugynz minden, áltlános reltivitáselméletben pedig prciális deriváltkt ki kell cserélni kovriáns deriváltkr. Egyszerű példán nézzünk meg egy szép eredményt. 11

12 Legyen dott egy szbd részecskénk, minek Lgrnge-függvényét vlmiért következő lkbn foglmzzuk meg: L = mc 2 Ez látványosn nem függ semmitől, ezért z Euler-Lgrnge egyenletek egyszerűen zt dják, hogy 0 = 0, mi nem túl informtív. Próbáljuk meg felírni Beltrmi függvényt, mi itt z energiávl lesz egyenlő, mi megmrd, hisz nincs időfüggés. B = E = p q L = L = const. E = mc 2 Most, hogy már ez is megvn, remélhetőleg mindent értünk világról. Köszönöm, hogy kitrtón idáig elolvstál :) 12