Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására

Átírás

1 Általáosított mitavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására Dr. Földvári Rudolf BME Híradástechikai Elektroika Itézet ÖSSZEFOGLALÁS Az általáosított mitavétel külöböző esteiek bemutatása utá periodikus jel em egyeközű mitavételezését Ismertetjük. Ha egy periodikus Jel spektruma egy oktávál keskeyebb, akkor a helyi szélsőértékeiél vett miták és Időpotjaik egyértelműe meghatározzák a jelet. Az így értelmezett illesztett mitavételezés bemutatása utá e mitavételezés alapvető tulajdoságaival foglalkozuk. Ezek a tulajdoságok kedvezőek és sok hasolóságot mutatak az emberi hallásról szerzett eddigi ismeretekkel. DR. FÖLDVÁRI RUDOLF A Budapesti Műszaki Egyeteme szerzett diplomát 962-be. A BME Vezetékes Híradástechikai Taszéké helyezkedett el és a lieáris hálózatok, valamit a vezetékes távközlő beredezések cimű tárgyak oktatásába vett részt ig a Hiradátechikai Ipari Kutató Itézetbe dolgozott, majd a BME Híradástechikai Elektroika Itézetébe a kostrukció tárgy oktatásába kapcsolódott be.. Bevezetés Az egyeközű III. ekvidísztás mitavételezés a legáltaláosabba elterjedt módja egy jel időtartomáyba törtéő előállításáak. Kevésbé Ismert a mitavételi tétel általáosítása, a em egyeközű mitavételezés, melyek elméletét az [] irodalom tárgyalja. Számos cikk, például a [2],[3] és [4], digitális szűrők aalíziséhez és tervezéséhez felhaszálja ezt az általáosabb érvéyű mitavételi tételt. A következőkbe részletese tárgyalt periodikus, em egyeközi mitavételezés esetére megmutatjuk, hogy a miták milye feltétel mellett határozzák meg egyértelműe a jelet. A visszaállításhoz szükséges iterpoláló függvéyeket az [] irodalom ismerteti. Ezekívül foglalkozuk egy speciális esettel, evezetese periodikus, sávszűrt jelek mitavételezésével, és a mitavételezés éháy alapvető tulajdoságával. x(t) = Sx(t k ) K=-oo sií^tt-tk)) ü>o (t-tk) ü)0 s ^,t k = kt 0 és2trb< öfi. TO A mitavételi tétel értelmébe x(t)-t V t-re egyértelműe meghatározzák a tk időpotokba felvett értékei Mitavételezett jel spektrálls előállítása A mitavételezés felfogható, mit az x(t) és a v(t) mitavételező függvéy szorzata [5J. (. ábra) A (2) 2. Ekvidisztás mitavételezés Ekvidisztásak evezzük a mitavételezést, ha az x(t) jelből egyelő időközökét veszük mitát. Ha az x (t) jel sávkorlátos akkor érvéyes a Shao-féle mitavételi tétel []. 2..Mitavételi tétel Legye x(t) sávkorlátos, a következő alakba felírható időfüggvéy B x(t)= / e Jü)t dp((o), () -B azaz létezze spektrális előállítása. Mide, a fetiek szeriti x (t) előállítható a következő alakba Beérkezett: 988. XI. 22. (H). ábra. Ekvidisztás mitavételező függvéy mitavételező v(t) függvéy előállítható Fourier sorával, azaz 00 v(t)= X c k e j k W o t (3) k = - oo r _ ^ _ A SÍ(kTrA/T 0 ) TO K ír A / TO továbbá válasszuk értékét úgy, hogy ba/t 0 = legye. A mitavételezettjeiét y(t)-vel jelölve írható, hogy y(t) = x(t).v(t), (4) Híradástechika, XL. évfolyam, szám 263

2 továbbá () és (3) felhaszálásával * B " r ~ y(t)= dpm i kwot Az (5) egyeletből jól látszik, hogy az y(t) jelet egy Ideális wo/2 sávhatárú aluláteresztővel szűrve, c 0 x(t)-t kapuk, továbbá ha A «T 0. akkor Ck = Vk-ra, és visszayerjük a mitavételi tételt. Ha em ekvidisztás mitákat veszük x(t)-ből, de biztosítai tudjuk, hogy a mitavételezett jel spektrális előállítása wo/2-ig megegyezze y(t) spektrális előállításával, akkor a em ekvidisztás miták szité egyértelműe meghatározzák az x(t) jelet. A következőkbe vizsgáljuk meg részletese ezt az általáos esetet. 3. Nem ekvidisztás mitavételezés (5) Legyeek a miták egymástól külöböző távolságra, és az egyszerűség kedvéért ezek a sorozatok ismétlődjeek periodikusa, azaz a mitavevő jel legye a 2. ábráak megfelelő. Ha az x(t) Jelből a 2. ábrá látható v(t) jellel veszük mitát, és a y(«) jr (!) l--aoo-3l y (O 3. ábra. Blokkvázlat a em egyeközű mitavételezés értelmezéséhez az esetbe ugyais o>o/2 sávhatárú aluláteresztő szűrővel x(t) egyértelműe visszaállítható. A 2. ábra alapjá látható hogy vi(t), v2(t) v (t) a T= T 0 idővel periodikus, Fourier soraik csak fázisba külöbözek. Az i-edik mitavevő jel Fourier traszformáltja v (t)= - X Ck& \ k = -oo I, (6) AT 3 IÜ2EO) 2. ábra. Periodikus, em ekvidisztás mitavételező függvéy [0, T) itervallumba mide mita külöböző időpotra esik, akkor a miták egyértelműe meghatározzák az x(t) jelet. 3.. Mitavételezés em ekvidisztás mitából álló periodikus sorozattal 4 T X T * r í ) és ezzel Ti AT t A*, = -2s f(l-l)+ 4] (7) L TO A tömörebb írásmód kedvóért vezessük be a következőjelölést ia<di Ai = e J k i k ü ) t 0 0 v,(t)= X CkA^e' Ml, _ Az () és (8) egyeletek felhaszálásával yi(t)= yi(t)= /e jwt dp(<o) -B /e Jtot d P (o,) -B ~ A k l^t - X CkAi e J k = -oo j- x ckar^-fr k = -oo (8) (9) Állítsuk elő az x(t) és a em ekvidisztás mitavé felezést reprezetáló v(t) szorzatát, majd válaszszuk szét a vi (t), v2(t) v{t)-hez tartozó mitákat. (A jelölések a 2. ábrá láthatók.) Legye y(t) = = x(t). vi(t), i =,2,... és az y(t) jele végezzük el a H{ átviteli függvéyel jellemzett iieárls ivariás traszformációt a 3. ábrá látható módo. Az öszszegző kimeeté megjeleő jel legye y 0 (t). A HÍ traszformációt úgy kell megválasztai, hogy yo(t) spektrális előállítása (-CÚO/2, W2) itervallumba megegyezze y(t) spektrális előállításával. Ebbe y (t)= /e Jü,t dp(o») -B Az y (t) spektrális előállítását a Hí (j<d) átviteli függvéyel szorozva, és így tovább y(t)-t H (jw)-val traszformálva azt kívájuk eléri, hogy a k = O- hoz tartozó tagok összeadódjaak, a k = ±, + 2,. i (-)-hez tartozók pedig kiesseek a szummázásutá. A (9) egyeletredszer i-edik egyeletét átalakítva kapjuk, hogy 264 Híradástechika, XL. évfolyam, szám

3 yi(t)=- 2 / ck " k = -oo -B Feti egyeletből jól látható, hogy a HÍ traszformációt a ± B tartomáyoko kell meghatá rozi. Ahhoz, hogy a szummázó kimeeté megjeleő y 0 (t) jel spektrális előállítása cao/2-ig megegyezze az ekvidisztás mitavételezéshez tartozó y(t) előállításával, a k «- frekveciákhoz tartozó tartomáyt még figyelembe kell vei, de a k =, +... már érdektele. A 4. ábra a pozitív k - Az összese követelméyhez tartozó egyelet mátrix alakba írva C0A C Ai C 2 Ai J Etí=U Co A2 C Azl C2 Az'... Co A...Ci A...C2A 2 C-lAi C- A2...C-iA A - A - > - Hí H 2 0 tí= H 3, N= 0 (5) H 0 4. ábra. Az y, (t) jel spektrumáak tartomáyai A (5) mátrix alakba felírt egyeletredszerből Co-t kiemelve majd ci/c 0, C2/C0 C/Co értékekkel egyszerűsítve írható értékek körüli tartomáyokat szemlélteti. A 4. ábrá a vastag voallal jelölt résztartomáyt vizsgálva látható, hogy ebbe a tartomáyba csak a k=0, k=,...k= - körüli tartomáyokból kerülhetek kompoesek. Ezért a Hi,...,H traszformációt úgy kell megválasztai, hogy a k=0,,...- összese feltételt kielégítsék. A k=0-hoz tartozó követelméyt a 4. ábrá jelölt ( B, B) taromáyra felírva, és a tartomáy széleire bevezetve az (wi,02) egyszerűbb jelölést, kapjuk, hogy A= CoAH=N, A 0 A 0» 0 A A2...A A A2 A ' Ai 2 A2 2 A 2 A A2...A A - A - A - (6) 2 yi (t) = 2 / CoAi Hie Jü)t dp((ö) = = k=o i=i W i (02 = /e lmt dp(co). (0 (2) A (2) egyeletbe az egyszerűsítést elvégezve, valamit a szummát kifejtve írható, hogy CoA i Hí + CoA 2 H CoA H = (3) A többi értékhez tartozó spektrális összetevőtől pedig azt követeljük, hogy az összegzés sorá esseek ki. Az előzőekhez hasoló átalakítások utá pl. a k=- -edikre írható, hogy C- A H +c - A 2 "" H C - A " H = 0. (4) A (6) egyeletet formálisa megoldva H= -r A" N Co _ (7) Ha az Ai,A2 A mid külöböző, akkor a Vadermod-féle determiás em tűik el. Belátható, hogy eek az a feltótele, hogy a miták midegyike külöböző időpotokra esse. A (7) egyelettel meghatározott A<E>i mide =,2 értékre külöböző a [0, 2 ír] itervallumba, ha a miták külöböző időpotokra esek. Mivel a miták T- vel periodikusak, A4> + = A4> + 2. Ebből következik, hogy az A, A 2,A értékek is külöbözők, továbbá Ai*0, mert Ai = V i-re. A (7) egyelet megoldása tehát létezik, és mivel A em tartalmazza az ü>-t,h is függetle o-tólaz( ítl B,B) Híradástechika, XL. évfolyam, szám 265

4 tartomáyba. Felhaszálva, hogy vj(t) valós VIre, azaz A =A, valamit Ai = v l-re és k-ra, továbbá, hogy x(t) szité valós, tehát e Jtűt Ap((o) = e" Jü)t Ap(-ü)) > h - I X t köye belátható, hogy egatív frekveciáko, azaz a (- B, - B) tartomáyo Hf = H +, Hf-vei a egatív, Hi + -vel pedig a pozitív tartomáyokhoz tartozó megoldást jelöltük. Mógegyszer utalva a 4. ábrá látható, hogy a ( D=2 B, Hzl B) tartomáyo a k = -,0,,..., -2 értékekre kell a követelméyeiket felíri. így a (5) mátrixegyelethez teljese hasoló egyeletredszert kapuk. Általába, k= +,+2 l+ eseté tetszőleges I érték mellett felírható egyelet, továbbá mide egyeletbe A Aj l+ Hi = Aj (A l+ Hj),, + 2 HÍ = AÍ (A, I + HÍ) Ai l+ Hi = A, - (A, l+ Hi) átírással A-ra újból Vadermode determiást kapuk, tehát mide tartomáyra létezik megoldás. Fetiekből az is látható, hogy a (6) mátrixegyeletet elegedő egyszer megoldai, a többi tartomáyhoz tartozó megoldás ebből származtatható. Természetese emcsak a k=0-hoz tartozó (~B,B) sávba állítható vissza az eredeti x(t) jel, bármely k-hoz tartozó traszportált jel Is előállítható, csupá más résztartomáyokra kell a követelméyeket felíri, ós (6) mátrixegyeletet megoldai. Részletes vizsgálattal belátható, hogy mitából álló sorozat eseté, ha páros akkor ^,ha páratla, akkor pedig külöböző tartomáy létezik. Ha páratla, akkor még az is igaz, hogy a (- - B, ^ B) tartomáyba Hj valós V i-re. Ha azt kívájuk eléri, hogy Hi mide résztartomáyba azoos legye, akkor a T=T 0 periódusidő alatt z= + [ ^ ] mitát kell vei, [ ] egész részt jelöl. Ezzel a jeletős, közel másfélszeres túlmitavótelezéssel elérhető, hogy Hj w-tól függetleül kostas legye a (0, B) itervallumba. Igy Hj (I =,2,... z) értéket szükséges meghatározi, azaz egy x-es mátrix helyett egy zxz méretű mátrixot kell Ivertáli Egyszerű példa em ekvidisztás mitavételezésre Legye =2, és az x(t) jelből az 5. ábráak megfelelőe vegyük mitát. (Az ábrá csak a mitavételi időpotok kerültek jelölésre.) Legye továbbá 2T 5. ábra. A mitavételezés időpotjai =2 eseté A «TÓ, igya (3) egyelet Ck együtthatóira jó közelítéssel írható, hogy CR = V k-ra. Ezzel a (7) egyelet tovább egyszerűsödik, azaz A (7) egyelet felhaszálásával valamit továbbá A$i =0, A#2 = -TT(+ TO Ai= ós A2=e J j A3>2 (8) Az A mátrix, H ós N vektor pedig a következő alakú A 2 ti- A (8) egyeletet H-ra megoldva kapjuk, hogy Hí H 2 Hi=(si Mzy\expQ -TT + A4> 2 ) é s H 2 = (si4$2)-.expö ír- A4>2 2 ) (9) A (9) megoldás midig létezik, ha A4>2^ ± m 2 TT, m= 0,, 2,... ez a feltétel pedig teljesül, ha A- 2 * ±(2 m+) TO- Jele egyszerű esetbe csak egy tartomáy létezik, továbbá az előző fejezet alapjá Hj = Hj +, azaz a H traszformáció valós jeleket állít elő. A Hí és H 2 elemeket realizáló hálózatok em kauzálisak, de tetszés szeriti potossággal realizálhatók. 4. A jel és a jel differeciálháyadosáak mitavételezése Kézefekvő, hogy ha emcsak a jelből, haem a jel differeciálháyadosából is mitát veszük, akkor x(t) egyértelmű meghatározásához elegedő ritkábba mltavótelezi. Bizoyítható, hogy T = T 0 időkőzökét a jelből ós a jel első(-) differeciaháyadosából vett miták egyértelműe meghatározzák x(t)-t. Ez egy általáos eset, rész- 266 Híradástechika, XL. évfolyam, szám

5 letese csak a jel és a jel első differeciálháyadosáak mitavételezésével foglalkozuk. 4.. A jel és a jel első differeciálháyadosáak mitavételezése em ekvidisztás mitákból álló periodikus sorozattal Legye a mitavételezés időpotja a 6. ábra szeriti. Ezekbe az időpotokba vegyük mitát az ' vlt) 4i. ** Ezzel írható, hogy yi(t) = X2i(t) = /e^'dpm.-b B / j(«)e jm, d3(a)) B v Akjl^t - X CkA & o 2 k = -oo (22) v ~ AkJ k t o t - X CkAi e J 2. < k = -oo Válasszuk ki egy A p(o>) elemi tartomáyt, és eb be a A p(w) tartomáyba lévő jelet jelöljük A y(t) vei A (22) alapjá Vi(t) = Ap(<o), 2 k = -oo (23) y 2 i(t)=2-2 jüicka^e k = -oo A p(co). 6. ábra. A jel és a Jel első differeciálháyadosáak mitavételezési időpotjai x(t) és az x'(t)-ből. A T=2 T 0 idő alatt x(t)-ből mitát véve ós x'(t)-t Is ugyaezeke a helyeke mitavételezve összese 2 mitát kapuk. A 3.. potba leírttal azoos módo válasszuk szét v(t)-t vi(t), v2(t) v (t)-re, és szorozzuk x(t) illetve x'(t)-vel. A szorzatokat jelöljük yi(t)-vel, =, 2 2. így a következő egyeletredszert kapjuk yi(t) = x(t).vi(t) yi(t) = x(t).vi(t) A továbbiakba tételezzük fel, hogy Ck = V k-ra.' (A bizoyítás természetese e feltételezés élkül is elvégezhető a 3.. pot mitájára.) A következőkbe a hosszadalmas átalakítások helyett csak a főbb lépések kerülek ismertetésre. A 4. ábrá vastag voallal jelölt tartomáy jele esetbe a következő Belátható, hogy eze tartomáyba H(w) meghatározásához a pozitív külöbségi frekveciákat kell figyelembe vei. Az egyeletek felírásához célszerű bevezeti további rövidítő jelölést. Legye k = 0,,2 k <*> _, ( y(t) = x(t).v (t) y + l(t)=x, (t).vi(t) y 2 i(t)=x, (t).v i (t) (20) Olya Hi(w), H2M Hj(w) H2(w) lieáris traszformáció meghatározása a cél, melyet a Ayi,Ayi Ay2 jeleke végrehajtva, majd az összegzést elvégezve Ay 0 (t)-t kapuk. Ez a 3.. potba leírtakhoz hasolóa csak úgy lehetséges, ha a k=0-hoz tartozó kompoesek összeadódak, a többi k =,2 2- értékhez tartozó kompoes pedig kiesik. A (23) egyeletredszer 2i-edik sorából csak a pozitív külöbségi frekveciákat tartalmazó részt Ay + (t)-vel jelölve írható, hogy w + l*\ ' V I A k «J"kt y 2i(t)=2~ X jwai e' k = -oo A B(Ü>). (25) y 2 (t) = X'(t).v(t) Tekitettel arra, hogy vi(t), v2(t),... v (t) a T=2 To időre periodikus, a (8) egyelet értelemszerű átírásával jele esetbe a mitavételező jel az alábbi 00 k i k t ú o vi(t)= J X CkAiV t \ (2) Csupá a szumma k-adik tagjá végrehajtva a H2 traszformációt, kapjuk jo>h 2 i( k )e jkt. (26) Mivel mide egyeeletbe a HI(Ü>), H2(w) H2(w) traszformációt a A B(cú)-hoz tartozó a> frek- Híiadástechika, XL. évfolyam, szám 267

6 veciá kell helyettesítei, a frekveciatraszformációt a (26)-ból formálisa betűcseróvel kapjuk, í g y X ltot jkai k H2i((o)e Jwt (27) A (23) egyeletredszer mide sorá, és mide sor mide tagjá elvégezve a feti átírásokat, követelméyük a következő mátrix alakba írható AH = N, (28) Ai* A 0 i A 0 A...jcoAi. jwa AT T=2T 7. ábra. A jel és a jel első differeciaháyadosáak mitavételezési időpotjai = eseté Ai - - A Ai'...A jíl -lai -...jíl Ai -. jíl-la. jfla A 2- * 2-.,. A Ai...A... jíl2-lai... jíl 2 -la x(t) ós x'(t) jelekből. Ebbe a speciális esetbe a (28) egyelet a következő alakú J j(0 0>Q _, 2 Hi(co)' 2 H 2 (w) 0 (30) A (30) egyeletredszert Hi(w) és H2(w)-ra megoldva kapjuk, hogy H = HI(ÍŰ) H 2 (o)) H2( (o) es N = A (28) egyelet formálisa megoldva 2 0 H = A - N (29) A többi tartomáyokra a (28) egyelethez hasoló mátrixegyelet írható aak figyelembevételével, hogy mely kompoesek eshetek az éppe kiválasztott tartomáyba. Jele esetbe a H(w) megoldás em vezet w-tól függetle kostas fázisú hálózatra, mit a 3.. potba. A (29) kiszámításával csak a (^Hzl B,b) tartomáyo belül egy \ 2 / rögzített potba kapjuk meg H(w) értékét, ezért a számítást mide w-ra meg kell ismételi. Ha kicsi, akkor H(o>) zárt alakba magadható Egyszerű példa a jel és differeciálháyadosáak mitavételezésére A 6. ábra általáos esetéből kiidulva, = eseté a mitavétel időpotjai a 7. ábrá látható módo alakulak. Vizsgáljuk azt a legegyszerűbb esetet, amelyikbe A TI=A T 2 = 0 azaz T = 2 T 0 időközökét (ekvidisztás módo) mitát veszük Hi(o>) = - H 2 (o>)- 2J 2co f-2o> (3) A (3) egyeletekkel adott Hi(co) ésh2(w)az a = (oo/4-ól szigularitással redelkezik, és ez a [0, cúo/2) itervallum közepére esik. Bizoyítható, hogy a visszaállítás ekkor is egyértelmű, a szummázó kimeeté a határátmeet létezik. 5. Periodikus jel mitavételezése Vizsgálataikat korlátozzuk kizárólag periodikus jelekre. Ez em jelet külöösebb megszorítást, mivel a periodikus jelekre kapott eredméyek több oldalról megközelítve is álladósíthatok. A periodikus jelek jellegzetes potjai pl. ullaheiyei, vagy helyi szélsőértékeiél felvett értékei boyolult kapcsolatba vaak a jel Fourier kompoeseivel. Három kompoesből álló jel ullahelyei em adhatók meg zárt alakba, ezért a helyi szélsőértékek ós az időfüggvéy közötti kapcsolatteremtés kérdését más oldalról kell megközelítei. 5. /. Periodikus jel ullahelyeiek száma Egy sávkorlátos periodikus jel midig felírható a következő alakba H x(t)= 2 (a si wt + b cos wt) = =t_ H = X c si (cot+$ ), (32) = _ 268 Híradástechika, XL. évfolyam, szám

7 pozitív egész szám, és i_ < IIH. Jelöljük x(t) periódusidejét T-vel, így T=2 ír/ w. Helyezzük el a t=0 Időpotot az x(t) Jel valamelyik pozitív ullátmeetél, mit az a 8. ábrá látható. Az x(t) jelek *(!> S7\ Í V r T - 2«/M, 8. ábra. Periodikus, véges sávszélességű jel helyi szélsőértékei a [0,T) itervallumba i ullahelye va, és korlátok közé szorítható. Bizoyítható, hogy h( L w) < i<h( H w), (33) h(i_ w) a legkisebb, h(h <o) pedig a legagyobb frekveciájú kompoes ullahelyeiek számát jeleti ugyaeze itervallumba. Ebből következik, hogy a x(t) jel ullahelyeiek száma 2i_<i<2 H. (34) 5.2. Periodikus jel em ekvidisztás mitavételezése és tulajdoságai Legye x(t) a (32)-ek megfelelő alakú ós a [0, J) itervallumba vegyük mitát a Jel helyi szélsőértékeiél a 8. ábráak megfelelőe. Vezessük be a következő egyszerűsítő jelöléseket valamit X =X(t ), X2=X(t2),..., Xi=X(tj), A ti = ti-to, At 2 =t 2 -ti A ti=ti-ti_i. Az {x, A ti, X2, A t2,xi, Ati,} halmaz egyértelműe meghatározza x(t)-t, ha <OH < 2 azaz ha x(t) kompoesei egy oktávál szűkebb sávba esek. Ugyais, ha az x(t) jelből a [0, T) itervallumba 2i ekvidisztás mitát veszük, akkor T 0 =T/2Í, és a mitavételi frekvecia 0)0= 23r = 2 i r 2j. (35) TO T A legkedvezőtleebb esetbe i=2i_ a (34)-ből adódóa, és (35)-be helyettesítve wo=? (2.2 L ) = 4 L (ü = 4cö L. (36) Feltételük értelmébe M h < to L, összevetve a (36)-el adódik, hogy t 2Ü) _ <Ü)O- (37) Tekitettel arra, hogy I > 2L, a (37) midig teljesül, tehát a 2 ekvidisztás mita egyértelműe meghatározza x(t)-t. A 4.. értólmóbe, ha x(t) és x'(t) Jelekből T=2T 0 Idő alatt em ekvidisztás mitát veszük, akkor a miták meghatározzák x(t)-t. A periodikus x(t) jelek a [0, T] itervallumba I helyi szélsőértéke va, azaz T=2I T 0, tehát az I em ekvidisztás mita egyértelműe meghatározza x(t)-t. (A differeciaháyadosok mid ullák, de a ti, t2 ti időpotok em semmitmodók.) A helyi szélsőértékekél törtéő mitavételezést a továbbiakba illesztett mitavételezések evezzük. Az illesztett mitavételezés egy traszformáció, mely az x(t) jelből az (xi, A ti, X2, A t2,..., xi, Ati,} halmazt állítja elő. Jelöljük ezt a traszformációt AS szimbólummal. (Adaptive Samplig) Mielőtt e mitavételezéséek főbb tulajdoságait felsorolák, vizsgáljuk meg, hogy a periodikus jelek összege milye feltételek mellett lesz szité periodikus. Ha egy xi(t) jel Ti-re, x 2 (t) pedig T 2 -re periodikus, akkor x(t)=xi(t)+x2(t) csak akkor lehet periodikus T-re, ha T = iti= 2 T 2, (38) i és 2 pozitív egész számok. Ebből következik, hogy egy olya traszformációra, mely előállítja a Ti és T2 periódusidőket, em lehet érvéyes a szuperpozíció.. Tulajdoság Az Illesztett mitavételezés a geometriai értelembe hasoló jeleket hasoló halmazokra képezi le, ugyais AS {x(t)} = {xi, A ti, x 2> A t 2 AS {ax(t)} = {axi, pat-i, ax 2, SA t 2 xi, Ati,}, otxi, BAti,}. Ezzel a tulajdosággal mide lieáris traszformáció redelkezik. Ezekívül az illesztett mitavételezés a T idővel való eltolása ivariás, azaz AS (x(t-t)} = {xi, A ti, x 2> A t 2 2. Tulajdoság xi, Ati,}. Az illesztett mitavételezés megtartja a jel periodikus tulajdoságát, azaz ha x(t) periodikus, akkor a miták is periodikusak, Xk=Xk+i, valamit Atk= Atk+i. Ebből fetiek alapjá következik, hogy em érvéyes a lieáris szuperpozíció, azaz AS{xi(t) + x 2 (t)} * AS{xi(t)} + AS{x 2 (t)}. Híradástechika, XL. évfolyam, szám 269

8 3. Tulajdoság Ha egy x(t) jel T-vel periodikus, akkor mide rósz sávja T-vel szité periodikus, ezért külöböző oktávokba kell létezi azoos T idővel azoos Xk=Xk+i Illesztett mitákak. Másszóval a külöböző oktávokba például kell létezi olya pozitív ullátmetszésekek, melyek között az időitervallum azoos ós T hosszúságú. Az illesztett mitavételezés első két tulajdoságáak együttes feálása ömagába is érdekes, és lehetőséget ad arra, hogy segítségével megkíséreljük modellezi a hallásmechaizmust. Az emberi hallásról szerzett eddigi Ismeretek [7],[8],[9] ós [0] Jól összhagba vaak az illesztettmltavótelezós tulajdoságaival. Mit az a []-be között pszlchoakusztikal vizsgálatokból kiderül, az időós frekveciatartomáybeli felbotás szorzata léyegese kisebb, mitsem spektrummérése alapuló modellel magyarázható lee [2]. Az illesztett mitavételezés kedvező tulajdoságokat mutat, ezért alkalmasak tűik a beszédjel feldolgozására, például a "pitch" frekvecia detektálására, külööse akkor, ha több oktávba, vagy oktávál szűkebb sávba párhuzamos feldolgozás törtéik. Természetese sokféle feldolgozás képzelhető el, például a jól bevált AMDF (Average Magitúdó Differece Fuctio) módszer [0] az Illesztett mitáko egyszerűe alkalmazható. Aak tisztázásához azoba, hogy az illesztett mitavételezéssel kvázlperlodikus jelekre milye tulajdoságú becslés adható, további részletes vizsgálatok szükségesek. 4. Tulajdoság Ha x(t) periodikus, akkor mide lieáris traszformáltja Is periodikus, tehát az x(t)=x(t+t), x ( } (t)=x ( \\+J),..., x ( M ) (t)=x (i " } (t+t) jelek illesztett mitái is periodikusak T-vel, és a 4. pot értelmébe egyértelműe meghatározzák x(t)-t, ha a jel spektruma egyjpktávál szűkebb. Ebből következik, hogy egy "P hipotézisről T+ At Idő alatt eldöthető illesztett mitái alapjá, hogy lehet- e periódusidő. (Nem szükséges 2T hosszúságú ablak ismerete!) 5. Tulajdoság Ha egy x(t) jelek a [0, T) itervallumba i > 2i_ számú ullahelye va, akkor az illesztett miták a jelet túlhatározzák, a felesleges miták elhagyhatók. 6. Záró megjegyzés Kőszöetyílváítás Mukák sorá ige sok segítséget yújtott dr. Osváth László, valamit dr. Pap László, aki felhívta a figyelmem az általáosítás Időtartomáyba megfogalmazható szellemes lehetőségeire. Külö köszööm Szekeres Gábor godos mukáját, mellyel a kézirat tévedéseit korrigálta. Továbbá szeretém megköszöi közvetle mukatársaim dr. Farkas György és dr. Jereb László segítségét, akik taácsaikkal és más területe végzett mukájukkal lehetővé tették e cikk megírását. Irodalom [ H.Freema Discrete-Time Systems Joh Wiley & Sos, INC. New York, 965. [2] H.W.Thomas, N.P.Lutte, Z-trasform Aalysls of Nouiformly Sampled Digital Fllters. Proc. IEE, vol. 9, No., 972. [3] A.Wojtklewicz, M.Tuszyskl, W.KIimklewIcz, Aalysls ad Desig of Digital. Proc Filters Processig Nouiformly Sampled Sigals. Proc. of ECCTD'85, Prague Czehoszlovakia, ] A.Weiberg ad B.Liu, Discrete Time Aalysis of Nouiform Samplig First- ad Secod-Order Digital Phase Lock Loops. IEEE Tras. o Commuicatios, Vol. COM-22, No.2. Feb.974. [5] G.A.Kor-T.M.Kor, Matematikai kéziköyv műszakiakak. Műszaki Köyvkiadó, 975. [6] Iformáció közlése és feldolgozása. Szerkesztő: Csibi Sádor. Taköyvkiadó, Budapest, 986. [7] H.FIetcher: Speech ad Hearig. Nostrad C.New York, 950. [8] Taróczy T.: Zeei akusztika. Zeeműkiadó, Budapest [9 G.V.Békésy: Experlmets i Hearig, New York, 960. [ 0] Gordos G., Takács Gy.: Digitális beszédfeldolgozás. Műszaki Kiadó Budapest, 983. [) L.M.Grobbe: Apperclatio of shorts toes.seveth iteratioal cogress o acoustics, Budapest, 97 Vol ) Gabor.D.: Acoustical Quata ad the Theory of Hearig Natúré, 947. vol Híradástechika, XL. évfolyam, szám