Ellipszis keresztmetszetű, izotróp rúdba ágyazott, hengeresen anizotróp, körkeresztmetszetű, kompozit rudak Saint-Venant-féle csavarási feladata

Átírás

1 MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZAT Ellipszis keresztmetszetű, izotróp rúdb ágzott, hengeresen nizotróp, körkeresztmetszetű, kompozit rudk Sint-Vennt-féle csvrási feldt Gönczi Dávid MSc. 1. évfolm Alklmzott Mechnik Szkirán Konzulens: Dr. Ecsedi István egetemi tnár Mechnik Tnszék Miskolc,

2 1. Összefoglló A dolgozt tárgát z ellipszis keresztmetszetű, izotróp rúdb ágzott hengeresen nizotróp, körkeresztmetszetű, kompozit rudk Sint-Vennt-féle csvrási feldtánk nlitikus vizsgált d. Döntően nnk z állításnk z igzolásávl fogllkozik, hog h z izotróp, ellipszis keresztmetszetű rúdb hengeresen nizotróp, körkeresztmetszetű rudkt ágzunk, kkor z izotróp trtomán vetemedési függvéne nem változik, h két komponens ruglmssági állndói bizonos kpcsoltbn vnnk. Az előzőekben megfoglmzott állítás bizonítását többféleképpen is el lehet végezni, például Prndtl-féle feszültségfüggvénekkel vg dolgoztbn tárglt, öblösödési függvénre épített megoldássl. A feldt megoldás Sint-Vennt-féle áltlános csvrási elmélet ismertetésével kezdődik, md koordinát-trnszformációkt követően z öblösödési függvén vizsgált következik. A közös peremgörbére vontkozó egenletek segítségével megállpíthtó kpcsolt trtománok ngellemzői között (csúszttó ruglmssági moduluszok között). A következő lépésben z ellipszis keresztmetszetű, izotróp rúdb ágzott hengeresen nizotróp, körkeresztmetszetű, kompozit rúd csvrási merevségének levezetése következik z dott esetben. Az utolsó rész z inhomogén trtománokkl kitöltött ellipszis keresztmetszet vizsgáltát trtlmzz, mi z előzőekben elemzett eset kiteresztése. --

3 . Homogén, izotróp ngú rúd Sint-Vennt-féle csvrási feldt Ebben feezetben áltlánosságbn fogllkoztm homogén, izotróp rudk Sint- Vennt-féle csvrási elméletével, md feldtombn szereplő ellipszis keresztmetszetet külön is megvizsgáltm..1. Áltlános, homogén, izotróp, prizmtikus rúd csvrás Vegünk eg egszeresen összefüggő keresztmetszetű L hosszúságú prizmtikus rudt, melnek M cs csvrónomtékkl terhelt vázltát z 1. ábr is szemlélteti. M cs A O e R P s n g e M cs L z M cs e z 1.ábr. Csvrt egszeresen összefüggő keresztmetszetű prizmtikus rúd. Az z derékszögű koordinátrendszer O kezdőpont z=0 koordinátávl kielölt keresztmetszeti síkbn tetszőleges elhelezkedésű. Benne értelmezve: -3-

4 - rúd keresztmetszete: A, - keresztmetszetet htároló görbe: g, - g görbe ívkoordinátá: s, - R P ngi pont helvektor, mi felírhtó bázisvektorokkl: R e e, (1) - z n normális egségvektor: n n e n e, () - és M cs rudt terhelő csvrónomték. Ezek lpán z elmozdulásmező z lábbi képletekkel írhtó le Sint-Vennt csvrási elméletben [1], []: - z iránú elmozdulás: u z, (3) - z iránú elmozdulás: v z, (4) - z iránú elmozdulás: w (, ), (5) hol flgos elcsvrodás szöge, (, ) pedig csvrt keresztmetszet vetemedési (öblösödési) függvéne. Továbbá núlásokr és szögtoulásokr z lábbi összefüggések állnk fenn: u z 0 hol z iránú núlás, továbbá hsonló módon beláthtó, hog (6) z 0 (7) dódik núlásokr csvrás során. A szögtoulásoknál: z u w ( z) ( (, )) ( ), (8) z v w ( z) ( (, )) ( ) z z, (9) v u ( z) ( z) z z 0, (10) Ezek után Hooke-törvént felhsználv következőket kpuk: -4-

5 z G z G ( ), (11) z G z G ( ), (1) G: csúszttó ruglmssági modulus, z 0. (13) Ezen elemekből előállíthtó T feszültségtenzor. Md mechniki egensúli egenletet íruk fel (, A és térfogti terhelést elhngoluk) [1], []: T z z 0 0, (14) G ( ) G ( ) 0, 0. (15) hol Lplce operátor, mi két Hmilton-féle differenciál operátor ( -, síkbn) skláris szotként dódik. Md rúd plástánk terheletlenségét kifeező egenletek lpán zt kpuk, hog h (, ) mit kifetve dódik: g Tn p n n 0, (16) z z n n n n. (17) Az (, ) öblösödési függvén tehát z előbbi peremérték feldtok egik megoldás. Ezek megoldási egmástól csk eg dditív állndóbn térnek el. Továbbá csvrónomték és kpcsoltát leírv: M cs ( z z ) da, (18) M cs A S. (19) Itt S elöli keresztmetszet csvrási merevségét. A (18) egenletbe behelettesítve megkphtó keresztmetszeti csvrási merevségnek z öblösödési függvénnel kifeezett lk: -5-

6 . (0) S G ( ) da A.. Ellipszis keresztmetszetű, izotróp, prizmtikus rúd csvrás Md tekintsük z ellipszis keresztmetszetű prizmtikus rudt (.ábr). Az erre levezethető (, ) öblösödési függvén és csúszttófeszültségek lábbi képletei [1], []: b (, ) b, (1) z G ( ) G b, () b z G ( ) G b. (3) Ezekből kiszámíthtó (0) egenlet lpán S: 3 3 b S G. (4) b b O b. ábr. Az ellipszis keresztmetszetű prizmtikus rúd prméterei. -6-

7 3. A hengeres nizotróp, homogén, körkeresztmetszetű rúd komponens mechniki nlízise A következőkben homogén, hengeresen nizotróp, kör keresztmetszetű rúdkomponensek mechniki leírásávl fogllkoztm, melet md z előzőekben tárglt izotróp, ellipszis keresztmetszetű prizmtikus rúdbn helezünk el. 3.1 A rúd geomtriá, elmozdulásmezőe Vegük tehát z izotróp, ellipszis keresztmetszetű prizmtikus rúdb ágzott nizotróp körkeresztmetszetű rúd vázltát, hog 3. ábr mutt. v e φ u r e r P(r,φ) c φ P 0 ( 0, 0 ) e O b 3. ábr. Ellipszis keresztmetszetű, izotróp rúdb ágzot,t hengeres nizotróp, körkeresztmetszetű rúddl erősített kompozit rúd keresztmetszete. A c sugrú nizotróp körkeresztmetszetű rúd helzetének leírásár P 0 középpontánk 0, 0 koordinátái szolgálnk. A kör egenlete íg felírhtó következő egenlettel (és körlp z ellipszisen belül kell hog elhelezkeden): -7-

8 ( ) ( ) c. (5) 0 0 Az, derékszögű koordináták és z r,φ hengeres koordináták között fennálló kpcsoltokt z lábbi egenletek feezik ki (3. ábr): 0 r cos, (6) 0 r sin. (7) Az nizotróp rúd helzetét leíró helvektor: R OP e e. (8) További helvektorok: R e e, (9) 0 r P P re. (30) Az r,φ henger koordinát-rendszer egségvektorit e r és e φ elöli (3.ábr). Md tekintsük Sint-Vennt elmélet lpán z elmozdulásokt kétféle koordi-nátávl felírv. Először derékszögű koordinátrendszerből indulunk ki [1],[]: u z z( r sin ), (31) 0 0 v z z( r cos ), (3) w ( r, ). (33) k Md hengerkoordinát-rendszerre (rφz) váltunk és felíruk megfelelő elmozdulásokt (3.ábr): u z( sin cos ), (34) r 0 0 v z( 0 sin 0 cos ) zr. (35) 3.. Az lkváltozási tenzor elemei, feszültségtenzor A lineáris ruglmsságtn hengerkoordinát-rendszerben érvénes egenletei [1], [], [3] lpán zt kpuk, hog núlások értéke zérus: ur r 0, (36) r u 1 r v 0, (37) r r -8-

9 w z 0. (38) z A szögtoulások közül zérus egedül r értéke 1 u v v r r r r r 1 z( sin cos r) z z r r 0 0 ( 0 sin 0 cos ) 0. A másik két szögtoulás: w u r k ( r, ) z( 0 sin 0 cos ) r z r z k ( r, ) ( 0 sin 0 cos ). r (39) (40) 1 w v 1 k ( r, ) ( z( 0 sin 0 cos ) zr) z r z r z 1 k ( r, ) ( 0 sin 0 cos r). (41) r A képletek egszerűsítésére bevezetünk eg segédfüggvént: ( r, ) r( sin cos ) ( r, ). (4) 0 0 Ezáltl fenti képletekre -(40) és (41)- következő lkok dódnk: ( r, ), 1 ( r (, ) z r). (43) r r Alpvetően kétféle nizotrópiáról beszélhetünk, Crtesin-féle nizotrópiáról és nem Crtesin-féle nizotrópiáról. Ez utóbbi egik esete hengeres nizotrópi [3]. Jelen feldtbn hengeresen nizotróp, körkeresztmetszetű rúddl fogllkozunk. A vontkozó ngtörvéneket felhsználv z előbbi núlásokból és szögtoulásokból levezethető, hog k 0. (44) r z r A hengeresen nizotróp, ruglms test csvrási feldtánk megfoglmzásához szükségünk vn G és G φz csúszttó ruglmssági moduluszokr (z normálisú síkon -9-

10 z dott r és φ iránokbn). Ezeket felhsználv csúszttó feszültségeket z lábbi lkbn írhtuk fel [3]: ( r, ) G, (45) r 1 ( r, ) z G z( r). (46) r Ezen tgokból tevődik össze hengerkoordinát-rendszerben feszültségtenzor ( T ). Íruk fel rá mechniki egensúli egenletet (feltéve hog térfogti terhelés elhngolhtó): 1 T 0 z 0. (47) r r r Behelettesítve (47) egenletbe (46) és (45) kifeezéseket z lábbi differenciálegenletre utunk: ( r, ) ( r, ) ( r, ) ( G G ( ) 0 G z r r r r r r \ G ( r, ) ( r, ) ( r, ) r r k 0. (48) r r itt bevezettük z lábbi elölést: k G. (49) G z -10-

11 4. A feldt megoldás z öblösödési függvén hsználtávl Tehát oln megoldásokt keresünk, melek során z izotróp, ellipszis lkú keresztmetszetekben tetszőlegesen elhelezett nizotróp, körkeresztmetszetű trtomán nem változtt meg z izotróp trtomán vetemedési függvénét. Azz z izotróp trtománr vontkozó képleteknek változtlnul kell mrdniuk (.. feezetben tárglt képletek). Először kpcsoltot teremtünk z ágzó és z ágzott mátriok között, md meghtározzuk kompozit rúd csvrási merevségét Kpcsolt z izotróp és nizotróp trtománok ngellemzői között A (6), (7) képleteket felhsználv felíruk z öblösödési függvént r és φ változók függvénében. Íg (1) egenlet lpán: b r ( r, ) ( 0 0 0r cos 0r sin sin ) b, (50) md ezt (40) egenletbe behelettesítve következő lkokt kpuk: b ( ( 0 cos 0 sin r sin ) 0 sin 0 cos ) b. (51) Ezekután Hooke törvén felhsználásávl z izotróp trtománbn felíruk ( ) csúsztófeszültséget: G G (( b ) r sin b 0 sin 0 cos ). (5) b Keresnénk (48) prciális differenciálegenletnek megoldását, felhsználuk hozzá z (50) és (5) kifeezéseket. A megoldást z lábbi formábn próbáluk előállítni: b 1 ( r, ) ( 0 0 h1 ( r) cos h ( r)sin h3 ( r)sin ) b. (53) Ezt beírv (48) differenciálegenletünkbe zt kpuk, hog -11-

12 b 1 ( ( 0 0 h1 ( r)cos h ( r)sin h3 ( r)sin )) r b r b 1 ( ( 0 0 h1 ( r) cos h ( r)sin h3 ( r)sin )) r b r b 1 ( ( 0 0 h1 ( r) cos h ( r)sin h3 ( r)sin )) k b 0 b h1 ( r) h ( r) 1 h3 ( r) ( r ( cos sin sin ) b r r r h1 ( r) h ( r) 1 h3 ( r) r( cos sin sin ) r r r k ( h ( r) cos h ( r)sin h ( r)sin )) Az előző egenlet lpán eluthtunk h i =h i (r) (i=1,,3) függvéneket trtlmzó közönséges differenciál egenletekhez: d hi dhi r r k 0 i hi 0 r c, (54) dr dr hol k 1 =k =k ; k 3 =4k. (55) Az Euler-típusú differenciálegenlet r=0 helen korlátos megoldás: ki h ( r) C r (i=1,,3). (56) i i Ezeket visszhelettesítve z (53) kifeezésbe kpuk b k k 1 k ( r, ) ( 0 0 C1r cos Cr sin C3r sin ) b. (57) A (4) és (57) egenletek kombinálásávl z lábbi eredmén nerhető z nizotróp trtomán öblösödési függvénére: b k k 1 k k ( r, ) ( 0 0 C1r 0 cos Cr 0 sin C3r sin ) b r cos r sin. (58) 0 0 A képletekben szereplő C i (i=1,,3) állndókt z elmozdulásmező és feszültségmező foltonosságánk feltevéséből kiindulv számítuk ki. Ugnis közös htárgörbén z izotróp és z nizotróp trtománok elmozdulás és feszültség-értékei meg kell hog egezzenek. Tehát, h r=c (htárgörbén vgunk) és 0 z L ( L hosszú rúdon belüli z koordinátár): u(,, z) u (,, z), v(,, z) v (,, z). (59) -1-

13 Ezen feltételek telesülnek hiszen htárgörbe pontink elmozdulását ugnzon függvének írák le. ( r, ) ( r, ), ( r, ) ( r, ) 0. (60) k A fenti egenlet telesüléséhez z lábbi 3 egenletnek kell telesülnie (z (50) és (58) egenletek összevetésével): 1. b k b C 10c 0c 0c, (61) b b c C b 1k 1, (6). 3. b k b C 0c 0c 0c, (63) b b C b c b 1k C c k 3, (64) c, (65) C c k (1 ) 3. (66) Az nizotróp trtománbn fellépő csúszttó feszültséget ezekkel: b k k 1 k ( ( 0 0 C1r 0 cos Cr 0 sin C3r sin ) 0r cos 0r sin ) b G r G (1 ) = ( k k 0 cos k k k c r kb c r 0 sin k( b ) c k sin ). (67) b Md foltonosság ( r, ) ( r, ), (0, r c) feltétele mitt összevet-ük egmássl (67) és (5) egenleteket. Az előírt feltételek csk úg telesülnek, h csúszttó ruglmssági modulusokr fennáll (68) összefüggés. G kg. (68) Amiből k-t visszírv z dódik, hog G. (69) GG z -13-

14 4.. A csvrási merevség meghtározás Ezekután z (58) képletbe visszíruk kiszámított C i állndókt, s z íg kpott öblösödési függvén: 1 1 k k k ( r, ) ( b ) 0 0 ( b ) r c r 0 cos b 1 1k k (1 k ) k ( b ) r b c r 0 sin ( b ) c r sin ).(70) Md vesszük csvrási merevség számításához (18) képletet. A keresztmetszetet felbontuk z izotróp és nizotróp trtománokr vontkozó részekre: M ( ) da ( ) da ( ) da. (71) cs z z z z z z A Ak Ak Md (4) egenlet lpán felíruk kifeezés első tgát már tárglt ellipszis keresztmetszetre: b 3 3 ( z z ) da G. (7) A b Md vizsgáluk (), (3) lpán középső tgot: G da b da = ( z ) z ( ) b Ak Ak 4 4 G c c ( c 0) b ( c 0 ) b 4 4 Gc c b ( ). (73) b 0 0 A 3. tg kifetéséhez szükséges csúszttófeszültség: τ e de e e. (74) z z z r z φ Az ezek lkott erőrendszert P 0 pontb redukáluk. Íg keletkezik eg eredő erő ( F ) és eg hozzá trtozó nomték( M cs, z ). Az eredő erő meghtározásához A következő kifeezésből indulunk ki: τ RdA ( τ ) RdA τ ( R ) da z z Ak Ak Ak z -14-

15 z ( ) da da da R τz τz F, (75) Ak Ak Ak mivel R 1 diádikus szot értékét és (14) egensúli egenletet hsználtuk ki. Továbbá felülvonás mutt, hog differenciál operátor melik elemekre ht. Md Guss-féle integrál átlkítási tételt hsználuk ki. Ak τ RdA ( τ n) Rds ( R ce ) cd z z 0 r Ak 0 cr d c e d ( c cos d) e ( c sin d) e, (76) 0 r hol n e. Továbbá (67) képlet lpán φ szerinti integráláskor z eredetileg r cosinusos tgok 0, sinusos tgok z integrálás htári mitt kietik egmás, íg fennáll: ( c, ) d 0, (77) 0 e cose sine. (78) r Md (67) egenletet tovább hsználv kiszámoluk F eredő erő komponenseit: k 0 cosd G, (79) b 0 kb 0 ( c, )sind G. (80) b 0 Md (75),, (80) lpán z eredő erő kiszámítás: c F G ( ) 0e b 0e. (81) b Míg nomtékot megkpom (70) képlet hsználtávl c c 1 ( r, ) M cs r zda zr drd G z( r) r drd r Ak G zc M cs. (8) Ezáltl hengeresen nizotróp körkeresztmetszet pontibn működő csúszttó feszültségek nomték z tengelre -15-

16 ( z z ) da M cs 0 F 0 F (83) Ak lkb írhtó fel, hol F G c b 0, F G b c b 0 Behelettesítve ezeket (83) egenletbe zt kpuk, hog. (84) 4 G zc c 0 b c 0 ( z z ) da ( G ). (85) b Ak Md csvrónomték előzőekben kiértékelt tgit visszíruk z eredeti (71) képletbe, z lábbi összefüggésre utunk: b c 0 b 0 G zc c 0 b c 0 M cs G Gc ( ) ( G ) b b b b ( k 1) c M cs G ( ). (86) b Amiből fenti egenletből (19) összefüggés segítségével megkphtuk keresett csvrási merevséget: b ( k 1) c S G ( ). (87) b A képletet megvizsgálv zt mondhtuk, hog csvrási merevség nem függ z nizotróp trtomán helzetétől (P 0 ( 0, 0 )-tól), csk nnk geometriáától (c sugrától), k ellemzőétől és z ágzó izotróp ng prmétereitől (,b). Ugnez z eredmén [4]. tnulmánbn is megtlálhtó kör lkú keresztmetszetre (=b). -16-

17 5. Kiteresztés több nizotróp trtomán esetére Az előző feezet eredméneit felhsználv tekintsük zt z esetet mikor n számú hengeresen nizotróp, kör keresztmetszetű rudt helezünk el z ellipszisünkben (4.ábr). b c n P n c P b c P c 1 P 1 4. ábr. Az izotróp, ellipszis keresztmetszetbe ágzott n drb nizotróp trtomán. Az előzőekben tárglt feltételek telesülnek z nizotróp elemekre. Ilen például, hog csúszttó ruglmssági modulusik között fennáll, hog G (=1,,,n), (88) G G z k G z (=1,,,n). (89) G Ekkor z előző feezetben tárglt csvrási merevség képlete következő: b k 1 S G c. (90) 3 3 n 4 ( ) b 1 Md töltsük ki z ellipszis keresztmetszetet inhomogenitásokkl. H feltesszük, hog k =k (=1,,,n), vgis vlmenni inhomogenitás zonos ngból készül, kkor csvrási merevség képletében kihozhtó k szummel elé. Md z izotróp -17-

18 trtomán nizotróp kör lkú rúdkomponensekkel történő kitöltése mitt feltesszük, hog n : b k 1 S G b ( ( p q ) ). (91) Itt bevezettük z lábbi elöléseket: p c, n b 1 q c (=1,,,n). (9) b Az izotróp trtomán ng számú nizotróp kör lkú rúd komponensekkel töltük ki úg, hog n és m c 0. Ekkor n A b lim c. (93) n, c 0 1 A (9) és (93) egenletek kombinálásávl nerük (94) egenletet (94) A c p bq b p q A p q A fenti egenletből következik, hog p q 1 m p 0, m q 0. (95) 1 Tekintsük z lábbi egenlőtenséget: ( p q ) m( pkqk ) p q m p m q 1 1, 0 k n Ennek felhsználásávl következő eredménre utunk: lim n, p, q b S G b. (96). (97) -18-

19 6. Felhsznált irodlom [1] Sokolnikoff, I. S. (1956). Mthemticl Theor of Elsticit (nd edition) Mlbr, FL: Krieger Publishing Compn. [] Timoshenko, S. P. nd Goodier, I. N. (1970). Theor of Elsticit. New York: McGrw-Hill. [3] Lekhnitskii, S. G. (1981). Theor of Elsticit of n Anisotropic Bod. Moscow, USSR. Mir Publishers. [4] Y. Benveniste nd T. Chen (003). The Sint-Vennt torsion of circulr br consisting of composite clinder ssemblge with clindricll orthotropic constituents. Interntionl Journl of Solids nd Structures (40), pge

20 Trtlomegzék: 1. Összefoglló.... Homogén, izotróp ngú rúd Sint-Vennt-féle csvrási feldt Áltlános, homogén, izotróp, prizmtikus rúd csvrás Ellipszis keresztmetszetű, izotróp, prizmtikus rúd csvrás A hengeres nizotróp, homogén, körkeresztmetszetű rúd komponens mechniki nlízise A rúd geomtriá, elmozdulásmezőe Az lkváltozási tenzor elemei, feszültségtenzor A feldt megoldás z öblösödési függvén hsználtávl Kpcsolt z izotróp és nizotróp trtománok ngellemzői között A csvrási merevség meghtározás Kiteresztés több nizotróp trtomán esetére Felhsznált irodlom