(OTKA T049115, Zárójelentés) Dr. Ecsedi István. Miskolc, 2009.

Átírás

1 INHOMOGÉN NYGÚ SZERKEZETI ELEMEK SZILÁRDSÁGTNI ÉS DINMIKI VIZSGÁLT (OTK T049115, Zárójelentés) Dr. Ecsedi István Miskolc,

2 TRTLOMJEGYZÉK 1. Kitűzött és megoldott feladatok 1 2. Személi feltételek 3 3. Kutatási tevékenség rövid leírása Húzott-nomott és hajlított-nírt rudak feladatai Izotróp, inhomogén rúd hajlítása Kétrétegű, rugalmas anagú, részlegesen kapcsolt rudak Piezoelektromos réteggel erősített egenes középvonalú rudak Állandó görbületű kompozit rudak, valamint eg és többrétegű piezoelektromos rudak hajlítása Inhomogén keresztmetszetű rudak csavarása Állandósult vezetési problémák inhomogén, anizotrop testekben Hivatkozások 22 OTK T i

3 1. KUTTÁS SORÁN KITŰZÖTT ÉS MEGOLDOTT FONTOSBB FELDTOK kutatómunka tárgát az inhomogén anagú szerkezeti elemek mechanikai tulajdonságainak vizsgálata képezi. z elméleti rugalmasságtan, a szilárdságtan és a numerikus mechanika módszereinek kombinálásával több speciális geometriájú, döntően rúd alakú inhomogén szerkezeti elem mechanikai viselkedésének és mechanikai jellemzőinek a meghatározásával foglalkozik az OTK T számú kutatás. vizsgált rúd alakú szerkezeti elemek inhomogenitása elsősorban a keresztmetszet síkjában jelentkezik. Íg például egenes tengelű rudak esetében, feltéve, hog az axiális irán a z tengellel esik egbe, az anagjellemzők (E rugalmassági modulus, G csúsztató rugalmassági modulus, ρ sűrűség) csak a keresztmetszeti x, koordinátának függvénei. z inhomogenitásnak ezt a típusát keresztmetszeti inhomogenitásnak hívjuk. E típusba tartozó rudakkal kapcsolatban még használatos elnevezés a z-homogén rúd, amel kiemeli, hog az anagállandók függetlenek az axiális koordinátától. z állandó görbületű, keresztmetszeti inhomogenitással rendelkező rudak esetében használatos elnevezés a ϕ-homogén görbe rúd, ez esetben az anagjellemzők a keresztmetszeti r radiális és keresztmetszeti z szélességi koordináta függvénei, a ϕ polárszögtől függetlenek [2]. Itt r, ϕ, z eg alkalmasan megválasztott Orϕz polárkoordináta-rendszerre vonatkozik, ahol a z = 0 sík a rúd szimmetriasíkja és O a görberúd középvonalának görbületi középpontja. Megjegzendő, hog a keresztmetszeti inhomogenitással rendelkező rudakra e kutatómunkában elért eredmének egaránt vonatkoznak foltonos (funkcionálisan gradiens anagú) és nem foltonos (kompozit, rétegzett, szálerősített, stb.) keresztmetszeti inhomogenitású rudakra. részlegesen kapcsolt, kétrétegű egenes tengelű kompozit rudak statikai és dinamikai feladatainak megfogalmazása és megoldása analitikus úton és végeselem-módszerrel szintén kiemelt részét képezte az OTK kutatásnak. rúd legalább eg szimmetria síkkal rendelkezik és szimmetria síkjában terhelt. rúd keresztmetszet = 1 2, i (i = 1, 2) résztartománát E i (i = 1, 2) rugalmassági modulusú, izotrop, homogén, rugalmas anag tölti ki. z 1 és 2 tartománok közös határgörbéjét 12 jelöli. z i (i = 1, 2) keresztmetszetű B i (i = 1, 2) rúdkomponensek közös határa pedig a B 12 = 12 (O, L) hengerfelület, ahol L a rúd hossza. Feltevés szerint B 1 és B 2 között normál iránban a kapcsolat tökéletes, szakadás csak az axiális iránú elmozdulásokban lehetséges a B 12 közös határfelületen történő áthaladáskor. Több tanulmán és előadás, amel az OTK támogatásával készült, foglakozott az ilen felépítésű rétegzett rudak mechanikai jellemzőinek a meghatározásaival, mint például, lehajlások és feszültségek, valamint szabad rezgések saját-körfrekvenciáinak a számítása, mind analitikus (egzakt) és mind végeselemes számítások iránában történtek kutatások. Eg és többrétegű téglalap keresztmetszetű szimmetria síkjában hajlított és radiális iránban polarizált állandó görbületű piezoelektromos rudak statikai feladatának megoldására, eg a mechanikai feszültség és villamos eltolás vektorra épített, analitikus megoldást OTK T

4 dolgozott ki a kutatócsoport. Továbbá a vizsgálatok tárgát képezte még eg rugalmas anagú külső és belső határoló hengerfelületéhez piezoelektromos aktuátorokkal erősített, állandó görbületű rúd hajlítási feladatának vizsgálata. z aktuátor elemek vastagsági mérete lénegesen kisebb, mint a téglalap keresztmetszetű rugalmas rúd vastagsági mérete. Kiemelten foglalkozott a kutatócsoport egenes középvonalú piezoelektromos aktuátorokat és szenzorokat tartalmazó hajlított és nírt rudak analízisével. Több optimizációs feladat megfogalmazása és megoldása elsősorban statikai kerületérték feladatokkal kapcsolatban került részletes kidolgozásra. Keresztmetszeti inhomogenitással rendelkező csavart prizmatikus rudak elméletében, amelek gakran előforduló szerkezeti komponensek, több eredmént ért el a kutatócsoport. lsó és felső korlátokat bizonított az úgnevezett effektív nírási modulusra, eg közelítő módszert dolgozott ki a hengeresen anizotrop rudak csavarási feladatának a megoldására. Néhán homogén anagú rúdra vonatkozó csavarási feladat megoldásának az ismeretében, több funkcionálisan gradiens anagú rúd csavarási feladatának az egzakt megoldását is levezette a kutatócsoport. Még említésre méltó eredmének születtek a ϕ-homogén, nem teljes tórusz alakú testek hővezetésével kapcsolatban, továbbá Raleigh (1876) és Duffing (1959) által homogén, izotrop anagú, síkbeli tartománokra megfogalmazott vezetési problémák eg nem triviális általánosításában inhomogén és anizotrop esetekre. OTK T

5 2. SZEMÉLYI FELTÉTELEK Dluhi Kornél, aki kutatói megbízás keretében dolgozott, december 15-én megvált a kutatócsoporttól. z MT által biztosított tudomános segédmunkatársi alkalmazása megszűnt, új munkahelén mint informatikus tevékenkedik. Tekintettel arra, hog PhD értekezésén dolgozik, a kutatócsoport igekszik vele a kapcsolatot tartani és szakmailag támogatni. Tevékensége ig döntően elméleti modellek finomításában és számítógépi programok kifejlesztésében, valamint néhán publikálásra szánt kézirat szerkesztésében realizálódott. Kiesése a évi kutatómunkákból, tekintettel arra, hog PhD értekezését is megírhatta volna, az eredmének megjelenítésében gengítette a kutatócsoport teljesítménét. hallgatók, Kocsán Lajos, Szűcs Nóra, Tóth Balázs, kezdetben döntően irodalomkutatásban és dokumentálásban vettek részt, időközben doktorandusz hallgatók lettek. PhD kutatási témájuk gengén kapcsolódik a jelen OTK kutatáshoz. Ennek ellenére, Kocsán Lajos és Tóth Balázs cikkek szerkesztésében és részszámítások elvégzésében támogatták a kutatócsoport munkáját. OTK T

6 3. KUTTÁSI TEVÉKENYSÉG RÖVID LEÍRÁS 3.1. Keresztmetszeti inhomogenitással rendelkező húzott-nomott és hajlított-nírt rudak statikai és dinamikai problémáinak megfogalmazása vektor-tenzor számítás alkalmazásával E témához az alábbi publikált (előadott) és publikálás alatt lévő tanulmánok tartoznak [8, 9, 10, 21]. [8] tanulmán egenletesen előcsavart rudak lehajlásfüggvénének, kritikus terhelésének számítását, valamint a kapcsolt hajlító rezgéseinek a meghatározását ismerteti. mechanikai menniségek számításánál kiemelt szerepe van a 2 u z = J(z) (e z M) 2 E det J(z) (1) differenciálegenletnek, ahol u = u(z) a rúdkeresztmetszetek középvonalra merőleges elmozdulását, M = M(z) a keresztmetszetet terhelő hajlítónomatékot, J = J(z) a homogén keresztmetszet súlponti tehetetlenségi tenzorát, E a rugalmassági modulust, z pedig az axiális koordinátát jelöli. Nilván u e z = M e z = 0. [9] és [10] tanulmánok a z-homogén rudak kapcsolt longitudinális-hajlító és kapcsolt hajlító-hajlító rezgéseinek a vizsgálatával foglalkoznak. [9] tanulmán a rezgési feladathoz kapcsolódó lineáris sajátérték probléma levezetésére a Galerkin-féle közelítő módszert használta és a kapott eredmének pontosságát végeselemes számításokkal ellenőrizte. [10] tanulmánban a kapcsolt axiális-hajlító és hajlító-hajlító rezgésekre bizonos megtámasztási feltételek mellett egzakt sajátfrekvencia értékek kerültek meghatározásra az Euler-Bernoulli- Raleigh rúdmodell keretein belül. z analitikus modell alapján számított értékeket végeselemes számítási eredménekkel összehasonlítottuk. Minden esetben az analitikus számítási eredmének az általunk vizsgált feladatokban a végeselemes számítási eredmének közelébe esetek, 3 7 %-os pontossággal. [21] tanulmán vektor-tenzor algebrai módszerek alkalmazásával eg igen tömör leírását adja a z-homogén rudak húzás-nomás és hajlítás-nírási feladatainak. Vékon falú nitott és zárt szelvénű hajlított-nírt rúdra eg elsőrendű nírási alakváltozási rúdmodell lett kifejlesztve, amel döntően a nírási merevségi tenzor bevezetésén alapul. Zárt alakú képletek igen tömör, vektor-tenzoregenletek formájában koordinátamentes megfogalmazásban adják meg a lehajlás és szögelfordulás vektor kifejezéseit. E kifejezések elkülönülten tartalmazzák a hajlításból és nírásból származó elmozdulásokat és szögelfordulásokat. Számpéldák illusztrálják, hog a hajlítási és nírási deformációk főiránai általában nem esnek egbe. Bizonos szimmetria feltételek esetén amel a geometriára és az anageloszlásra vonatkoznak a hajlítási és nírási deformációk főiránai megegeznek. Tekintettel arra, hog a keresztmetszet belső magidomjának meghatározásával foglalkozó kiszerkesztett cikk még nem került benújtásra publikálás céljából és ebből kifolólag OTK T

7 megjelenése is későbbiekben várható, e pontban röviden összefoglaljuk az ez iránban végzett kutató munkát, amelnek eredménei elsősorban a megjelenés alatt álló [21] tanulmánon alapulnak. z 1. ábra eg állandó keresztmetszetű z-homogén rudat szemléltet. z iránú homogenitás fogalmából következik, hog a rúd E rugalmassági modulusa csak az x, keresztmetszeti koordináták függvéne. z Oxz koordinátarendszer O origója a balszélső keresztmetszet E-vel súlozott súlpontjába esik, vagis z tengel E-vel súlozott keresztmetszeti súlpontokat köti össze. keresztmetszet rugalmassági modulussal súlozott centrumát, amit C jelöl, az alábbi egenlet határozza meg (1. ábra) E(x, )R d = 0, R = xe x + e. (2) e e M M E(x, ) O C x e x N O C z N = Ne z e z M 1. ábra. xiális erővel és hajlítónomatékkal terhelt z-homogén rúd. z egidejűleg alkalmazott N axiális erő és M hajlítónomaték hatására a rugalmas anagú rúdban ébredő σ z normálfeszültség számítására a [21] tanulmánban az alábbi képlet került levezetése [ N ] σ z = E(x, ) S + M (J 1 R) e z, (3) ahol S = E(x, ) d, J = E(x, ) [ 1R 2 R R ] d, (4) melben 1 kétdimenziós, másodrendű egségtenzor, a vektoriális, a skaláris, pedig a diadikus szorzás jele, továbbá J J 1 = J 1 J = 1. z alkalmazott axiális erő hatásvonala a z tengel, továbbá M e z = 0. Centrikus axiális erő esetén (N 0, M 0) a rúd minden keresztmetszetére érvénes a σ z = E(x, ) N S (5) képlet. 2. ábra excentrikusan elhelezkedő axiális erővel terhelt z-homogén rudat szemléltet, nilván N > 0 esetén excentrikus húzás, míg N < 0 esetén excentrikus nomás a rúd igénbevétele. Ez esetben nem érvénes a (5) képlet, σ z számítására a (3) egenletet kell használni, ahol M = N CQ ez (2. ábra). továbbiakban kihajlással kapcsolatos jelenségektől eltekintünk, vagis nomás esetén zömök rudat vizsgálunk. Jelölje ρ = ξe x + ηe az OTK T

8 alkalmazott excentrikus erő Q támadáspontjának helvektorát a z = 0 keresztmetszetben. z (2) képlet alkalmazásával azt kapjuk, hog [ 1 σ z (x, ) = E(x, ) S + ρ J R ] N, R = xe x + e. (6) det J e e ρ O C Q x e x N O C z N = Ne z e z n 2. ábra. Excentrikusan húzott z-homogén rúd. z (6) egenlet alapján látható, hog létezik eg egenes vonal, amelnek pontjaiban a normálfeszültség zérus értékű, és ezen egenes vonal helzete független az alkalmazott erő nagságától, előjelétől. szóban forgó vonalat az adott Q támadáspontú N axiális erőhöz tartozó zérusvonalnak hívjuk. zérusvonal elválasztja a keresztmetszet húzásra (σ z (x, ) > 0) és nomásra (σ z (x, ) < 0) igénbe vett tartománait, a zérusvonal pontjaiban σ z (x, ) = 0. z (6) egenlet alapján az n zérusvonal egenlete (2. ábra) 1 S + ρ J R det J = 0 (7) alakban írható. zérusvonallal kapcsolatban két problémát oldunk meg. z első feladatban adott Q támadáspontú axiális erőhöz tartozó n zérusvonalat határozzuk meg. E feladatban a zérusvonal egenletét R = R 0 + te < t < (8) alakban keressük, ahol R 0 = OP0 eg fix pont az n zérusvonalon és e pedig a zérusvonallal párhuzamos vektort jelöl, továbbá a zérusvonal pontjait a t paraméter jelöli ki. (7) egenlet felhasználásával az alábbi képleteket tudjuk levezetni R 0 és e számítására R 0 = det J S ρ ρ J ρ, (ρ 0), e = e z J ρ. (9) második feladat az első feladat inverze; adott az n zérusvonal, meghatározandó az alkalmazott axiális erő Q támadáspontja. Legen adott az n zérusvonal egenlete R = R 0 + te ( < t < ) (10) alakban, ahol R 0 és e ismert! Egszerű számolással nerjük, hog R 0, e és ρ kielégíti az alábbi egenleteket det J + ρ J R 0 = 0, (11) S ρ J e = 0. (12) OTK T

9 fenti egenletekből azt kapjuk, hog ρ = det J S (J e) e z [(J R 0 ) (J e)] e z (13) Gakran célszerű eg másik megoldását használni az első és második feladatnak. zérusvonal egenlete minden esetben felírható a következő formában eg alkalmasan megválasztott m vektor segítségével m R + det J S = 0. (14) z első feladat esetében ρ adott és m ismeretlen. (7) és a (14) egenletek összevetéséből az következik, hog m = J ρ. (15) második feladat esetében m adott és ρ ismeretlen. Ismét a (7) és (14) egenletek összevetéséből, illetve a (15) egenletből az következik, hog ρ = J 1 m. (16) zérusvonallal kapcsolatos képletekből következik, hog a zérusvonal annál távolabb esik az O C ponttól, minél közelebb van az O C ponthoz az excentrikus nomó(húzó)- erő Q támadáspontja. Ha a nomó(húzó)-erő Q támadáspontja elég közel van az O C ponthoz akkor az is előfordulhat, hog a zérusvonal teljes egészében a keresztmetszeten kívül fekszik, ami azt eredménezi, hog az egész keresztmetszetben egnemű, vagis mindenütt nomó, vag húzó feszültségek ébrednek N előjelének megfelelően. Ennek az esetnek elsősorban rideg keresztmetszeti komponenseket is tartalmazó rudak, oszlopok, pillérek esetében van jelentősége. rideg anagból készült keresztmetszeti komponenseknek húzással szemben igen kicsi az ellenállásuk, csak olan terhelést szabad használni, hog e komponenseket is tartalmazó keresztmetszetekben mindenütt nomófeszültség ébredjen. Ennek biztosításához pedig az szükséges, hog az alkalmazott excentrikus nomóerő támadáspontja az O C ponthoz elég közel essen. z O C pont körnezetében fekvő mindazon pontok, amelekhez a keresztmetszet konvex burkán ( támasztóidomon ) kívül fekvő zérusvonal tartozik a keresztmetszet belső magidomját alkotják. keresztmetszet konvex burkát érintő zérusvonalaknak megfelelő axiális erő támadáspontok a belső magidom kontúrpontjait (határgörbéjét) határozzák meg. 3. ábra szemlélteti eg konvex keresztmetszet esetén a belső magidom határgörbéjének a meghatározását. keresztmetszeti határgörbe T pontjában egszeresen végtelen sok lehetséges zérusvonal létezik, ameleknek csak eg közös pontja (T) van a határgörbével. T pontra illeszkedő n 1, n, n 2 zérusvonalak rendre a belső magidom Q 1, Q, Q 2 pontjait határozzák meg, vagis a belső magidom az n 1 és n 2 félérintők által meghatározott Q 1 Q 2 egenes szakaszt is tartalmazni fogja. z n 3 zérusvonal (határgörbe érintő) a belső magidom Q 3 pontját határozza meg. 4. ábra eg többszörösen összefüggő nem-konvex rúdkeresztmetszetet szemléltet. keresztmetszet külső határgörbéje b 0 és belső határgörbéi b 1 és b 2. E keresztmetszet belső magidomjának meghatározásához eg hozzárendelt módosított keresztmetszeti alakot használunk, amelnek kialakítását az 5 ábra szemlélteti. Első lépésben a b 0 zárt görbe által határolt egszeresen összefüggő nem-konvex tartomán konvex burkának b 0 határgörbéjét határozzuk meg. Ezt követően b 0 határgörbéjű tartománban a b 1 és b 2 belső határgörbék által határolt lukakat helezzünk el (eltávolítjuk az anagot). z OTK T

10 n e T E(x, ) n 1 n 3 Q 2 O C n 2 Q Q 1 Q 3 x e x 3. ábra. Konvex keresztmetszet eg törésponttal rendelkező határgöbével e b 1 b 2 O C Ü Ýµ x e x b 0 4. ábra. Többszörösen összefüggő üreges tartomán. íg kapott keresztmetszetbe, amelnek határgörbéi b 0, b 1 és b 2, a vonalkázott területekhez (üregekhez és kiegészítéssel nert t tartománhoz) mivel ott nincs anag zérus rugalmassági modulust rendelünk (5. ábra). Erre az új keresztmetszeti alakra közvetlenül használhatók a (9), (10), (13) és (15), (16) képletek, amelek megadják az eredeti a 4. ábrán szemléltetett, többszörösen összefüggő keresztmetszeti tartomán belső magidomját. Néhán példa a belső magidom meghatározására. 1. Példa: Inhomogén ellipszis alakú keresztmetszet. 6. ábrán szemléltetett keresztmetszet belső c sugarú köralakú tartománában lévő anag rugalmassági modulusa E 2, a keresztmetszet többi részét kitöltő anag rugalmassági modu- OTK T

11 e ÚÓÒ Ð ÞÓØØ Ø Ö Ð Ø Ò E(x, ) = 0 O C x e x t Ü Ýµ b 0 5. ábra. 4. ábrán vázolt többszörösen összefüggő üreges tartománhoz rendelt egszeresen összefüggő konvex tartomán. lusa E 1. Egszerű számolással adódik, hog O C, S = E 1 (ab + ζc 2 )π, ζ = E 2 E 1 E 1, (17) továbbá az ellipszis P 0 (x 0, 0 ) pontbeli érintője m R + det J S J =< J x, J >, J x = E 1 (ab 3 + ζc 4 ) π 4, (18) J = E 1 (a 3 b + ζc 4 ) π 4, J x = 0, (19) = det J S ( x0 a e 2 x + ) 0 b e 2 R + det J S = 0. (20) (16) és (20) egenlet kombinálásával azt kapjuk, hog ρ = CQ = ξex + ηe helvektorral adott belső magidom ξ, η koordinátái az alábbiak ξ = λx 0, λ = 1 + ζ c4 a 3 b (21) 4(1 + ζ c2 ), ab η = µ 0, µ = 1 + ζ c4 ab 3 (22) 4(1 + ζ c2 ). ab (21) és (22) egenletekből az következik, hog az összetett keresztmetszet belső magidomja eg ellipszis, melnek főtengelei az x és tengelekkel esnek össze, továbbá a főtengelek a k és b k hosszai az alábbiak a k = λa, b k = µb. (23) Homogén keresztmetszetre E 1 = E 2 és ζ = 0, azt kapjuk, hog ξ = x 0 4, η = 0 4, (24) OTK T

12 e P 0 (x 0, 0 ) b c R P (x, ) O C E 2 x e x b E 1 a a 6. ábra. Inhomogén ellipszis keresztmetszet. továbbá c sugarú körfurattal gengített keresztmetszetekre E 2 = 0 és ζ = 1 és ennek megfelelően ξ = a3 b c 4 4a 2 (ab c 2 ) x 0, η = ab3 c 4 4b 2 (ab c 2 ) 0. (25) homogén anagú keresztmetszetekre vonatkozó (24) és (25) képleteket más módszerrel Mofid és Yavari is levezette (Mofid, M., Yavari,., On the kern of a general cross section. Int. Journ. of Solids and Struc. 31. pp ). 2. Példa: Funkcionálisan gradiens anagú tömör körkeresztmetszet. z anag rugalmassági modulusa az r sugárkoordináta sima függvéne (7). Egszerű szá- R 0 = c e r e e r (ϕ) P 0 (x 0, 0 ) c ϕ R P (x, ) O C x e x E(r) 7. ábra. Funkcionálisan gradiens anagú tömör körkeresztmetszet. OTK T

13 molással kapjuk, hog c S = 2π c E(r)r dr, J = J E 1, J E = π E(r)r 3 dr, (26) 0 0 továbbá az érintő egenes egenlete e r (R R 0 ) = 0, R 0 = c e r, (27) Nilván m = J2 E cs e r(ϕ), ρ = J E cs e r(ϕ) (0 ϕ 2π) (28) 3. Példa: Téglalap keresztmetszetekből felépített kompozit keresztmetszet. 8. ábra az BLH és DFGH téglalap keresztmetszetekből, amelek rugalmassági modulusai E 1 és E 2, felépített összetett keresztmetszet szemlélteti. keresztmetszeti tartománok kapcsolódása a közös DH él mentén tökéletes, azaz semmilen iránú relatív elmozdulás nem lehetséges. numerikus számításokat az E 1 = E, E 2 = 3E adatokkal végezzük. keresztmetszet rugalmassági modulussal súlozott súlpontja (centruma) a D pontba esik. Elemi számításokkal azt kapjuk, hog S = 48a 2 E, J = [ ] a 4 E, det J = 23552E 2 a 8. (29) e 5 = G E 2 = 3E 4 = F B = 12a BL = DF = 2a GF = G = 4a H E 1 = E K 2 K 1 K 3 O = D = C K 4 K 5 3 = L x e x 1 = 2 = B 8. ábra. Téglalap keresztmetszetekből felépített inhomogén keresztmetszet. keresztmetszet belső magidomja eg ötszög, melnek csúcspontjai K 1, K 2, K 3, K 4 és K 5. E csúcspontokhoz amelek egben különböző excentrikus axiális erők támadáspontjainak is tekintendőek, rendre az alábbi zérusvonalak tartoznak (8. ábra): K i -hez az i és i+1 pontok által meghatározott egenes (i = 1 5; 6 = 1 ). K i (i = 1 5) pontok meghatározását a (13) egenlet felhasználásával végeztük. Részletes számítás az alábbi eredméneket adta (8. ábra): ρ 1 = OK1 = ( e x e )a, (30) OTK T

14 ρ 2 = OK2 = ( 4 3 e x e )a, (31) ρ 3 = OK3 = ( 1 3 e x 5 12 e )a, (32) ρ 4 = OK4 = (e x 2 3 e )a, (33) ρ 5 = OK5 = ( 8 3 e x 1 2 e )a, (34) 3.2. Lineárisan rugalmas, izotrop keresztmetszeti inhomogenitással rendelkező rúd hajlítása (alternatív megoldás) [19] tanulmán lineárisan rugalmas, izotrop, keresztmetszeti inhomogenitással rendelkező rúd hajlításával foglalkozik. Kimutatásra került, hog a hajlított rúd számításánál használt alapképletek uganolan formában is megfogalmazhatók, mint a homogén anagú egenes hajlításnak alávetett rúd esetében érvénes képletek. Minden esetben elkerülhető a hajlítási főiránok, a (4) 2 egenlet által definiált J tenzor főiránainak a meghatározása. levezetett képletek segítségével können meghatározhatóak a legnagobb nomó és húzó normálfeszültségek értékei funkcionálisan gradiens anagú rudakban. Ez utóbbira eg számpéldát ismertet a [19] tanulmán Kétrétegű, rugalmas anagú, részlegesen kapcsolt rudak z [1] és [7] tanulmánok kétrétegű, részlegesen kapcsolt rugalmas ágazatra helezett rudak statikai és dinamikai feladatainak megoldásával foglalkoznak. z [1] tanulmán analitikus úton, a [7] tanulmán pedig végeselemes módszer alkalmazásával oldja meg a vizsgált peremérték-feladatokat. Következőkben néhán fontosabb összefüggés ismertetésével az e területen elvégzett kutatómunka bemutatásával foglalkozunk. kétrétegű, rugalmas anagú, rugalmas ágazathoz kapcsolt kompozit rúd terhelését és keresztmetszetét a 9. ábra szemlélteti. z z sík a rúd szimmetriasíkja és az alkalmazott terhelések, valamint a megtámasztási kénszerek síkja is az z sík. z = 1 2 egben az z sík rúdkeresztmetszet i (i = 1, 2) résztartománát E i (i = 1, 2) rugalmassági modulusú homogén, lineárisan rugalmas anag tölti ki. z 1 és 2 tartománok közös határgörbéjét 12 jelöli, továbbá az 1 és 2 keresztmetszetű részlegesen kapcsolt B 1 és B 2 rúdkomponensek közös határa a B 12 = 2 (O, L) hengerfelület, ahol L a rúd hossza. Feltevés szerint normál iránban a B 1 és B 2 rúdkomponensek kapcsolata tökéletes, szakadás csak az axiális iránú elmozdulásban lehetséges a B 12 felületen történő áthaladáskor, a B 1 rúdkomponensről a B 2 rúdkomponensre (interlaer slip). z Oxz koordinátarendszer O kezdőpontja a z = 0 koordinátával kijelölt keresztmetszet E-vel súlozott C súlpontjával esik egbe, továbbá az 1 és 2 homogén keresztmetszeti tartománok súlpontjait C 1 és C 2 jelöli (9. ábra). 9. ábra alapján írható, hog c 1 = CC1 = 2E 2 < E > c, c 2 = CC2 = 1E 1 < E > c, c = C 1 C 2 = c 1 + c 2, (35) ahol < E >= 1 E E 2. Mind a B 1 és mind a B 2 rúdkomponensek elmozdulásmezője követi az Euler-Bernoulli hipotézist és ennek megfelelően u(x,, z, t) = u(x,, z, t) e x + v(x,, z, t) e + w(x,, z, t) e z, (36) OTK T

15 e e f(z, t) 1 B 1 C C C 2 x e x O B 2 z e z CC 1 = c 1 CC 2 = c 2 z = L 9. ábra. Rugalmasan ágazott, kétrétegű részlegesen kapcsolt rúd. u = 0, v = v(z, t) (x,, z) B = B 1 B 2, (37) w = w i (z, t) v z (x,, z) B i (i = 1, 2), (38) ahol t az időkoordináta. rétegek relatív elcsúszását (interlaer slip-et) az alábbi egenlet definiálja s(x,, z, t) = w 1 (z, t) w 2 (z, t) (x,, z) B 12. (39) nem tökéletesen kapcsolódó rétegek által átvitt axiális iránú erő T = k s, (40) ahol k a kapcsolat nírási merevsége. teljes rúdkeresztmetszetre eső axiális erő N = N 1 +N 2 zérus, ahol N i = σ z d (i = 1, 2). (41) i ahol Egszerű számolással nerjük, hog ( ) s N 1 = N 2 =< E > 1 z v c 2, (42) z 2 M = σ z d = {EI} 2 v z 2 + c < E > 1 s z, (43) 1 = 1 + 1, (44) < E > 1 1 E 1 2 E 2 {EI} = E 2 d. (45) Hosszadalmas, de elemi számítások elvégzésével kapjuk a rugalmasan ágazott, részlegesen kapcsolt, kétrétegű rúd dinamikai egensúli egenletére az alábbi eredmént: 6 v z + 4 v 6 Ω2 z + K 2 v 4 < EI > z KΩ2 2 {EI} v 1 2 p < EI > z + Ω2 p = 0, (0 < z < L), (46) 2 {EI} OTK T

16 ahol (9. ábra) p(z, t) = f (z, t) < ρ > 2 v t 2. (47) Itt bevezettük az alábbi jelüléseket < EI >= {EI} c 2 < E > 1, (48) < ρ >= ρ ρ 2 2, Ω 2 {EI} = k (49) < EI >< E > 1 ahol ρ i az i tartománt kitöltő anag tömegsűrűsége, továbbá K az ágazási ténező. z [1] tanulmán a (47) differenciálegenlet analitikus, a [7] tanulmán pedig végeselemes megoldását ismerteti és szemlélteti különböző számpéldákon. végeselemes vizsgálathoz használt rétegezett rúd elemet a 10. ábrában vázoltuk, az elem kétcsomópontú hat szabadságfokú. csomóponti elmozdulás vektor u k (t) = [ s(p k, t) v(p k, t) ψ(p k, t) ] ( ) T v, ψ(pk, t) =, (k = i, j) (50) z továbbá az u k -nak megfelelő csomóponti tehervektor q k (t) = [ N 1 (P k, t) V(P k, t) Q(P k, t) ] T, (Ni = Z i ) (k = i, j) (51) ahol V níróerő, Q hajlítónomaték. P k,t V i V j Q i v i C 1i s i B 1 s j C 1j v j Q j ψ i Z i C i C 2i B 2 C j C 2j Z j ψ j z Z k = N 1 (P k, t) P k C k (k = i, j) z = l 10. ábra. Kétcsomópontú rétegezett, részlegesen kapcsolt rúdelem. potenciális energia minimum elvére épített elmozdulás alapú végeselemes approximációnál az alábbi alakfüggvéneket használtuk s(z, t) = s(p k, t)(1 z l ) + s(p j, t) z l, (52) ahol v(z, t) = v(p i, t)n 1 (z) + ψ(p i, t)n 2 (z) + v(p j, t)n 3 (z) + ψ(p j, t)n 4 (z), (53) n 1 (z) = ( ) z 3 ( ) l 3 z 2 l, n2 (z) = z ( z n 3 (z) = 3 ( z l ) 2 2 ( z l ) 3, n4 (z) = z [( z l 1) 2 l, ) 2 ] z. l z 1. táblázat eg mindkét végén csuklósan megtámasztott (szabadon felfekvő) rugalmas ágazaton nugvó téglalap keresztmetszetű rúd analitikus úton meghatározott (pontos) és végeselemes számítással előállított (közelítő) hajlító rezgési saját-körfrekvenciáinak összehasonlítására ad lehetőséget. vizsgált rúd adatait a 11. ábrában adtuk meg. OTK T (54)

17 h 1 1 C C 1 E 1 z = L z h 2 2 E 2 x C 2 b L = 0.5 m, b = 20 mm, h 1 = 1.5 mm, h 2 = 8.5 mm E 1 = MPa, E 2 = MPa ρ 1 = 7500 kg m 3, ρ 2 = 3000 kg m ábra. Példa hajlítórezgések saját-körfrekvenciáinak a számítására. 1. táblázat. Hajlítórezgések saját körfrekvenciái [Hz]. k = 0 k = 10 MPa k = 60 MPa k = ω i FEM exact FEM exact FEM exact FEM exact K = N/m K = N/m Piezoelektromos réteggel erősített egenes középvonalú rudak E téren végzett vizsgálatokat [4, 15, 16, 22, 25] tanulmánok tartalmazzák. [4] tanulmán háromrétegű, asszimmetrikus elrendezésű, kollokált piezoelektromos aktuátor-szenzor párral felszerelt prizmatikus tartó analitikus és végeselemes vizsgálatát tárgalja. cikk annak a kérdésnek a vizsgálatával foglalkozik, hog az aktuátorba bevezetett időben állandó elektromos feszültség hatására, hogan változik a szenzorfeszültség az aktív rétegek vastagságának a függvénében. Először külső mechanikai terheléstől mentes, majd excentrikus húzásnak alávetett tartó képezte a vizsgálatok tárgát. tanulmán legfontosabb megállapításai az alábbiak: OTK T

18 létezik eg kritikus rétegvastagság, amel értéknél a szenzor bármilen bemenő U a aktuátor feszültség esetén sem ad elektromos kimenő jelet, létezik eg optimális rétegvastagság, amel értéknél a szenzor extremális kimenő jelet szolgáltat, tehermentes tartó esetén a szerkezet szélességi mérete nem befolásolja lénegesen a szenzoron megjelenő feszültséget, a piezoelektromos rúdmodell és a 3D végeselemes modell közötti különbséget a keresztmetszetek eltérő deformációja és a piezoelektromos hatások (e 31 és e 33 ) elkülönülése okozza. Pontosabb számításokhoz célszerűbb háromdimenziós modellt használni. [15] tanulmán tárgát rétegezett rudak statikai peremérték-feladataival kapcsolatos optimalizációs problémák megfogalmazása és megoldása képezi. Minden esetben a tartó tartalmaz legalább eg aktív réteget is. z aktuátorra (aktuátor párra) alkalmazott villamos feszültség heles megválasztásával lehetőségünk van minimális lehajlás biztosítására. Ezen állítást a [15] tanulmán két példa kapcsán szemlélteti. Vizsgálat tárgát képezte az aktív réteg optimális vastagsági méretének a meghatározása is. Optimális vastagsági méret esetén adott alap tartónál egségni erősségű villamos tér hatására maximális értékű görbület változás alakul ki a vizsgált tartószakaszon. [15] tanulmán eg eljárást ismertet a statikailag határozott megtámasztáson, minimális súlú, változó szélességű tartó tervezésére, ha a tartó valamelik keresztmetszetének elmozdulása előírt értékű. Eg példa keretében a [15] tanulmán szemlélteti a legnagobb hajlítónomaték minimális értékének eléréséhez szükséges aktuátor feszültség meghatározását. [15] tanulmán két példája foglalkozik az előírt deformációs alakot legjobban megközelítő alak meghatározásával, amel az alkalmazott aktuátor páron előírandó villamos feszültség célszerű megválasztásával érhető el. [25] tanulmán piezoelektromos aktuátorral erősített Raleigh-Euler-Bernoulli rúd dinamikai feladatainak analitikus megoldásával foglalkozik. z analitikus megoldás felépítésénél feltételezett, hog a tartón elhelezett aktuátorpárhoz tartozó tehetetlenségi erőrendszer elhanagolható, vagis a dinamikai egenletek megfogalmazásánál az aktuátor elemek sűrűségét zérusnak tekintjük. E feltevés alapján levezetett egenletek pontosságát olan végeselemes számításokkal ellenőriztük, amikor is az elemek tömegmátrixában figelembe vettük az aktuátorelemek sűrűségét (tehetetlenségi erőrendszerét) is. z alábbi numerikus példában (12. ábra) az aktuátorpáron működő időben U(t) = (100 V) cos ωt (ω = s ) (55) törvén szerint változó feszültséggel harmonikusan gerjesztett tartót vizsgálunk. 13. ábra az analitikus számítással (ρ p = 0) és a végeselemes számítással (ρ p 0) kapott lehajlásgörbéket szemlélteti, a számítások a 12. ábrában megadott tartóra vonatkoznak. OTK T

19 z ØÙ ØÓÖÓ l 1 l 2 x = L x t p t b t p b z ρ b = 7845 kg m 3, ØÙ ØÓÖ Ö ØÙ ØÓÖ ρ p = 7800 kg m 3, l = 600 mm l 1 = 50 mm l 2 = 150 mm b = 20 mm t b = 5 mm t p = 0.2 mm E b = Pa E p = Pa e 31 = 10 N Vm º 12. ábra. Harmonikusan gerjesztett tartó szimmetrikus elrendezésű aktuátorokkal. 5 x 10 6 FEM result closed form result x position [ m ] 13. ábra. Harmonikusan gerjesztett tartó lehajlás függvénei (analitikus és VEM megoldás) Állandó görbületű kompozit rudak, valamint eg és többrétegű piezoelektromos rudak hajlítása E területen végzett kutatómunka eredméneinek eg részét az [2, 5, 11, 14] tanulmánok tartalmazzák. z [2] tanulmánban eg egszerű egdimenziós mechanikai modell, amel a Raleigh-Euler-Bernoulli rúd elméleten alapul lett kifejlesztve ϕ-homogén rudakra. mozgásegenletek és kapcsolódó peremfeltételek két kinematikai változó, a radiális elmozdulás és a keresztmetszet szögelfordulásának a függvénében kerültek megfogalmazásra. rugalmasságtan egzakt kinematikai egenleteit használja [2], továbbá a forgásból származó tehetetlenségi erőrendszert is tartalmazzák a levezetett mozgásegenletek. Mind statikai, mind OTK T

20 dinamikai problémák számítására több példát ismertet [2]. z [2] tanulmán 2005 októberdecember időszakban a Science Direct-ben a Top 25 Hottest rticles pplied Mathematical Modelling cikkeit tekintve a leggakrabban letöltött 25 cikk rangsorában a 7. helen szerepel. z [5] előadás piezoelektromos rétegekkel erősített görbe rudak hajlítási feladatának a megoldására három elméleti modellt dolgozott ki eg egzakt rugalmasságtani és két szilárdságtani modellt. z alkalmazott aktuátor elemek vastagsági mérete a vizsgálat tárgát képező radiális iránban rétegezett rudak esetében lénegesen kisebb, mint a téglalap keresztmetszetű rugalmas anagú rúd vastagsága. [11] tanulmán egrétegű piezoelektromos rúd hajlítási feladatának a megoldásával foglalkozik síkrugalmasságtani modell alkalmazásával. [11] tanulmán eredméneit többrétegű hajlított piezoelektromos rudakra rugalmasságtani modellt használva a [14]-ben általánosítottunk. Itt eg publikálásra előkészített szilárdságtani modellt ismertetünk, amel kapcsolódik a [2] tanulmánhoz. Állandó görbületű, rétegzett piezoelektromos rudak hajlítása 14. ábra szemlélteti a vizsgálat tárgát képező többrétegű, téglalap keresztmetszetű, állandó görbületű piezoelektromos rudat. rúd rétegei radiális iránban polarizáltak, mind a rétegvastagság, mind pedig az anagjellemzők rétegenként más és más értéket vehetnek fel. R n+1 t i = R i+1 R i M ϕ = π 2 M R i+1 e ϕ e r R i z = b z = b O R 1 R i n ϕ = 0 O M z e z M 14. ábra. Állandó görbületű, rétegzett piezoelektromos rúd. z ismertetésre kerülő modell döntően az alábbi feltevésre épül u(r, ϕ, z) = U(ϕ) e r + (ω rϕ + du dϕ ) e ϕ, (56) ahol u az elmozdulás vektor, U = U(ϕ) a radiális elmozdulás, ω egenlőre ismeretlen állan- OTK T

21 dó. Egszerű számossal azt kapjuk, hog ε r = ε z = γ rϕ = γ ϕz = γ rz = 0, (57) ε ϕ = Ω(ϕ) r + ω, Ω(ϕ) = d2 U + U. (58) dϕ2 villamos eltolási vektort, ami kielégíti a Gauss egenletet összhangban a [14]-ben bemutatott rugalmasságtani megoldással, az alábbi alakúnak választjuk D = D r e r, (D r = D, D = állandó) (59) r z (56), (57), (58) és (59) képletek minden rétegre igazak. [11, 14] tanulmánokban használt anagegenletekből ε r = 0 helettesítésével és σ r eliminálásával azt kapjuk, hog σ iϕ = c i ε ϕ h i D r R i < r < R i+1, (60) E ir = h i ε ϕ + β i D r R i < r < R i+1, (i = 1,..., n). (61) z (57), (58), (59) és az (60) (61) egenletek kombinálásával jutunk a (62) és a (63) egenletekre ( ) Ω σ iϕ = c i r + ω h i D r, R i < r < R i+1 (62) E ir = φ ( ) Ω r = h i r + ω D + β i r, R i < r < R i+1, (i = 1,..., n) (63) z (60), (61), (62), (63) egenletekben szereplő c i, h i, β i úgnevezett redukált anagállandók. z Ω = Ω(ϕ), ω és D meghatározására az alábbi egenleteket használjuk N = 2b R n+1 R 1 σ ϕ dr = 0, M = 2b R n+1 R 1 rσ ϕ dr, φ(r 1 ) = 0, φ(r n+1 ) = V, (64) ahol V az előírt villamos potenciál. z R 1 és R n+1 sugarú hengerfelületeken igen vékon vezetőréteg van, amel biztosítja a villamos potenciál állandóságát. Hosszadalmas, de elemi számításokkal azt kapjuk, hog Ω = a 3a 5 a 2 a 6 2b M + a 2a 5 a 3 a 4 V, (65) ω = a 1a 6 a 2 3 2b M + a 2a 3 a 1 a 5 V, (66) ahol a 1 = a 3 = D = a 1a 5 a 2 a 3 2b n i=1 n i=1 c i ln R i+1 R i, a 2 = h i ln R i+1 R i, a 4 = 1 2 M + a2 2 a 1a 4 V, (67) n c i (R i+1 R i ), (68) i=1 n i=1 ( c i R 2 i+1 ) R2 i, (69) OTK T

22 a 5 = n h i (R i+1 R i ), a 6 = i=1 n i=1 β i ln R i+1 R i, (70) = 2a 2 a 3 a 5 + a 1 a 4 a 6 a 2 2 a 6 a 2 3 a 4 a 2 5 a 1. (71) (65), (66), (67) egenleteknek a (62) és (63) egenletekbe történő helettesítésével közvetlenül megkapjuk a σ ϕ normálfeszültség és a φ villamos potenciál képleteit. z utóbbi levezetéshez a (63) egenletet integrálni kell σ iϕ = c [ i a3 a 5 a 2 a ] 6 + a 1 a 6 a 2 3 M h i(a 1 a 5 a 2 a 3 ) M+ 2b r 2br + c [ i a2 a 5 a 3 a ] 4 + a 2 a 3 a 1 a 6 V h ( i a 2 2 a ) 1a 4 V (72) r r melben R i < r < R i+1, és i = 1,..., n, [ ( a3 a 5 a 2 a 6 φ p (r) =< p 1 > a 3p M + a 2a 5 a 3 a ) 4 V + 2b ( a1 a 6 a 2 3 +a 5p 2b M + a ) ( 2a 3 a 1 a 5 a1 a 5 a 2 a 3 V a 6p 2b ( a3 a 5 a 2 a 6 +h p M + a 2a 5 a 3 a ) 4 V ln r ( a1 a 6 a b R p Itt bevezettük a β i ( a1 a 5 a 2 a 3 2b M + a2 2 a 1a 4 V M + a2 2 a ) 1a 4 V + 2b M + a 2a 3 a 1 a 5 (r ) V) ] Rp ) ln r R p R p r < R p+1, p = 1, 2,..., n. (73) 0 ha p = 1 < p 1 >= 1 ha 2 p n előírással értelmezett diszkrét argumentumú függvént, továbbá a 3p, a 5p és a 6p egütthatók (p = 2, 3,..., n) az alábbi egenletek által definiáltak (74) a 3p = p 1 h i ln R i+1 R i, a 5p = p 1 h i (R i+1 R i ), i=1 i=1 a 6p = p 1 β i ln R i+1 R i, (p = 2,..., n). i=1 (75) Végezetül a d dr (rσ r) = σ ϕ (76) mechanikai egensúli egenlet és a σ r (R 1 ) = σ r (R n+1 ) = 0 statikai peremfeltételek és a σ r normálfeszültség foltonosságát kifejező σ ir (R i ) = σ (i+1)r (R i ) (i = 1, 2,..., n 1) (77) egenletek felhasználásával megkapható σ r = σ r (r), (R 1 < r < R n+1 ) normálfeszültségre vonatkozó képlet is, ez utóbbi felírásától eltekintünk. piezoelektromos rudakhoz kapcsolódik a 3.1. pontban említett vektor-tenzoralgebrai módszerek alkalmazásával levezetett dinamikai egensúli egenlete az axiálisan polarizált egenes tengelű piezoelektromos rúdnak, amel axiális és hajlító rezgésre vonatkozik. Ezen levezetés részletes ismertetésével a [22] tanulmán foglalkozik. OTK T

23 3.6. Inhomogén keresztmetszetű rudak csavarása E témakörhöz tartozó eredmének dokumentálása a [12, 13, 17, 18, 20, 23, 24, 26] munkákban található. [12] tanulmán eg közelítő módszert ismertet a hengeresen anizotrop, inhomogén rudak csavarási feladatának a megoldására. [17] és a [24] tanulmánok piezoelektromos rudak csavarási feladatával foglalkoznak. [17] tanulmán homogén, míg a [24] tanulmán gűrűszerű rétegzett üreges keresztmetszetű piezoelektromos rudakra vonatkozik. [18] tanulmánban bizonított tételek egaránt érvénesek homogén és inhomogén anagú zárt szelvénű többmezős vékon falú prizmatikus rudakra. homogén rúdra vonatkozó eredmének inhomogén rúdra a falvastagság csúsztató rugalmassági modulussal történő alkalmas súlozása révén vihetők át. [20] tanulmán eg pontos megoldását adja a funkcionálisan gradiens anagú, anizotop, ellipszis keresztmetszet csavarási feladatának, ha az anagjellemzők az axiális koordináta sima függvénei. megoldás arra az esetre vonatkozik, amikor is a keresztmetszeti határgörbe az anizotrop rúd anagállandóinak eg alkalmasan megválasztott függvéneként adható meg. [13] tanulmán funkcionálisan gradiens anagú körkeresztmetszetű rudak statikai és dinamikai (rezgési) csavarási feladataival foglalkozik. közlésre benújtott [24] tanulmán néhán funkcionálisan gradiens anagú egenletes csavarásnak kitett rúd csavarási feladatának a pontos megoldását adja meg. [26] tanulmán a z-homogén rudak egenletes csavarási feladatának Saint-Venant-féle megoldását felhasználva eg alsó és felső korlátot bizonít a csavart rúd effektív nírási modulusára Állandósult vezetési problémák inhomogén, anizotrop testekben [3] tanulmán néhán elméleti tételt fogalmaz meg inhomogén testekben kialakult állandósult hővezetési problémákkal kapcsolatban. bizonított felcserélési tétel alkalmazását a ϕ-homogén, nem teljes tórusz alakú testben kialakult keresztmetszeti hőáram meghatározásán illusztrálja. [6] tanulmán Raleigh (1876) és Duffing (1959) által bizonított tételek nem triviális általánosításával foglalkozik inhomogén és anizotrop síktartománokra. z általánosított tételek használatát két példa szemlélteti. OTK T

24 HIVTKOZÁSOK [1] Dluhi Kornél: Rugalmasan ágazott, részlegesen kapcsolt kompozit rudak, GÉP, LVI. pp , [2] Ecsedi István, Dluhi Kornél: linear model for the static and dnamic analsis of nonhomogeneous curved beams, pplied Mathematical Modelling 29: pp , [3] Ecsedi István, Dluhi Kornél: reciprocal theorem for stead-state heat conduction problems, Journal of Computational and pplied Mechanics, 6: pp , [4] Kovács Pál Zoltán: ktív rétegek optimális vastagságának meghatározása piezoelektromos tartószerkezet esetén, GÉP, LVI. pp.39-48, [5] Dluhi Kornél, Ecsedi István: Bending of piezoelectric laminated curved beam, 6 th European Solid Mechanics Conference. Budapest, 28 ugust - 1 September, [6] Ecsedi István: Two theorems on the stead-state conduction in anisotropic bod, Mechanics Research Communications, 33, pp , [7] Ecsedi István, Dluhi Kornél: Two-laer beam with weak shear connection on elastic foundation, microcd 2006 International Scientific Conference, Section F: pplied Mechanics, pp. 7-11, [8] Ecsedi István, Dluhi Kornél: Egenes középvonalú, előcsavart rúd statikai és dinamikai vizsgálata, GÉP, LVII.(8-9), pp , 2006 [9] Ecsedi István, Kovács Pál Zoltán: Vibration analsis of non-homogeneous beams, microcd 2006 International Scientific Conference, Section F: pplied Mechanics, pp , [10] Kovács Pál Zoltán, Ecsedi István: Coupled bending and axial vibrations of nonhomogeneous beams, 6 th European Solid Mechanics Conference. Budapest, 28 ugust - 1 September, [11] Dluhi Kornél: Állandó görbületű piezoelektromos rúd tiszta hajlítása, GÉP, LVIII(5-6), pp , [12] Ecsedi István: Eg közelítő módszer a tömör keresztmetszetű prizmatikus rudak csavarási feladatának a megoldására, X. Magar Mechanikai Konferencia, Miskolci Egetem, 24. oldal, augusztus 27-29, [13] Ecsedi István, Baksa ttila: Torsional response of a functionall graded elastic clinder, microcd 2007 International Scientific Conference, Section F: pplied Mechanics, pp 7-12, OTK T

25 [14] Ecsedi István, Dluhi Kornél: Állandó görbületű, több rétegű piezoelektromos rudak hajlítási feladata, X. Magar Mechanikai Konferencia, Miskolci Egetem, 25. oldal, augusztus 27-29, [15] Kovács Pál Zoltán: Piezoelektromos tartók néhán optimalizálási feladatának elemi megoldása, GÉP, LVIII(5-6), pp , [16] Kovács Pál Zoltán: Piezoelektromos elemeket is tartalmazó szerkezetek elasztostatikai peremérték-feladata a lineáris rugalmasságtan primál rendszerében, X. Magar Mechanikai Konferencia, Miskolci Egetem, 52. oldal, augusztus 27-29, [17] Ecsedi István, Dluhi Kornél: Torsion of piezoelectric clinder, microcd 2008 International Scientific Conference, Section F: pplied Mechanics, pp , [18] Ecsedi István, Baksa ttila: n analog for the torsion of thin walled closed section, microcd 2008 International Scientific Conference, Section F: pplied Mechanics, pp , [19] Baksa ttila, Ecsedi István: note on the pure bending of nonhomogeneous prismatical bars. International Journal of Mechanical Engineering Education (közlésre elfogadva) [20] Ecsedi István: Torsion of functionall graded anisotropic bar of an elliptical cross section. Journal of Computational and pplied Mechanics, (közlésre elfogadva) [21] Ecsedi István, Dluhi Kornél: Vector formulae for non-homogeneous prismatic bars. Journal of Computational and pplied Mechanics, (közlésre elfogadva). [22] Ecsedi István: Dnamic equilibrium equations of linear piezoelectric Euler-Bernoulli beams. Mech. Res. Commun., doi: /j.mechrescom [23] Ecsedi István: The Saint-Venant torsion of non-homogeneous clindrical bars, European Journal of Mechanics /Solids (közlésre benújtva) [24] Ecsedi István, Dluhi Kornél: Torsion of piezoelectric hollow clinders. microcd 2009 International Scientific Conference, Miskolc, March, 2009 (előadásra és közlésre a konferencia kiadvánban elfogadva). [25] Kovács Pál Zoltán: Closed form solution of the dnamical problem of a homogeneous prismatic beam with attached piezoelectric actuators, microcd 2009 International Scientific Conference, Miskolc, March, 2009 (előadásra és közlésre a konferencia kiadvánban elfogadva). [26] Ecsedi István: Bounds for the effective shear modulus, Engineering transactions, 53, pp , OTK T