Egyes alakváltozási diagramok matematikai függvény - alakjáról

Átírás

1 Eges alakváltozási diagramok matematikai függvén - alakjáról Meglepő, de úg tűnik, mintha a szerzők ódzkodnának mélebben belemenni a szerkezeti anagok szakító -, stb. anagvizsgálati diagramjai alakjának matematikai leírásába. Most erről a témáról lesz szó. Tanulmánaim során nilván a legrégibb és legegszerűbb függvénnel, a Hooke - törvénnel [ ] szerint: Robert Hooke, 648 kerültem először kapcsolatba. Ennek matematikai függvén - alakja a lineáris függvén: E, ( ) ahol: σ: a húzó / nomófeszültség értéke; ε: a fajlagos núlás értéke; E: húzó / nomó rugalmassági modulus állandó. Grafikonja eg ferde egenes ld.. ábra, melnek irántangense: tg E. Szavakkal: a Hooke - egenes meredeksége egenlő a rugalmassági modulussal. ( ) 70 = szigma A Hooke - törvén függvénének alakja = epszilon ábra f()=tan(80)*

2 Az. ábra grafikonján nem tüntettem fel a kezdő és a végpontot, ezzel is utalva a korlátlanul rugalmas viselkedés feltételezésére. A Hooke - törvén a fenti alakjában azt is tartalmazza, hog a szerkezeti anag húzásra és nomásra egformán viselkedik. Ez eg nem magától értetődő feltevés. Megjegzem, hog a Hooke - törvén gakran az ( 3 ) alakban fordul elő ld. pl.: [ ]!, ahol ( ) szerint. ( 4 ) E Az idők során a második leggakrabban előfordult függvéntípus: a hatvánfüggvén. A [ 3 ] műben G. B. Bulfinger ( 79 ), máshol C. Bach ~ W. Schüle - féle hatvántörvénként említik. Utóbbi megjelenésének éve [ ] szerint: 897. A törvén alakja [ ] - ben: m, ( 5 ) általában: m, ( 6 ) vagis az ( 5 ) - ből rendezéssel adódó m m m n C, azaz n C ( 7 ) alakban ( 6 ) - tal is: 0 n. ( 8 ) m ( 7 ) grafikonjait a. ábra szemlélteti, a [ 0, ] intervallumon. Legtöbbször eg n ( 9 ) alakú összefüggéssel találkozunk, ahol az inde valamel végértékre utal. Mostanság egre gakrabban találkozom a ( 3 ) és ( 5 ) képletalakok kombinációjából előálló ún. Ramberg ~ Osgood - féle függvénnel ( 943 ), melnek eg alakja [ 4 ] : n, ahol 0, 0, n : kísérletileg alkalmasan megválasztott állandók. ( 0 )

3 3. A hatvánfüggvének alakja f()=^0 f()=^0. f()=^0. f()=^0.3 f()=^0.4 f()=^0.5 f()=^0.6 f()=^0.7 f()=^0.8 f()=^0.9 f()=^ ábra Grafikonjai a 3. ábrán szemlélhetők, különböző n - értékekre. Itt:,. 0 0 A számunkra néha érdekesebb f kapcsolat a. ábrabeli függvének inverzei, melek a ( piros ) = egenesre vett tükörképekként adódnak. Megjegzem, hog a 3. ábrabeli görbeseregre 0, mert csak ezek a görbeágak használhatóak a deformációs görbék közelítő analitikus leírásához. A ( 0 ) - hez nagon hasonló egéb képletalakok is gakoriak; pl. [ 5 ] - ben: A, E f n ( ) ahol a f 0, feltételből A = 0,00, valamint n = 6 ~ 0.

4 A Ramberg ~ Osgood - féle függvének alakja f()=+3/7*^ f()=+3/7*^ f()=+3/7*^3 f()=+3/7*^4 f()=+3/7*^5 f()=+3/7*^6 f()=+3/7*^7 f()=+3/7*^8 f()=+3/7*^9 f()=+3/7*^0 f()=+3/7*^5 f()=+3/7*^0 f()=+3/7*^5 f()=+3/7*^30 f()=+3/7*^50 f()=+3/7*^00 f()=+3/7*^00 f()=+3/7*^000 f()= ábra A ( 0 ), ( ) függvének inverz függvéne csak igen nehézkesen állítható elő, íg mivel amúg is csak közelítésekről van szó megjelent a szakirodalomban az M. R. O Halloran - féle modell ( 973 ) is ld. pl.[ 3 ]!; ennek alakja: n EA, ( ) ahol E, A, n: kísérletileg meghatározandó állandók. Eg megfelelő görbét szemléltet a 4. ábra. Megjegzés: Nem véletlen, hog a régebbi szakirodalomban csak nagon ritkán találkoztam az itteniekhez hasonló, részletes görbe - ábrázolásokkal. Uganis galogosan ezeket megrajzolni igencsak idő - és energiaigénes feladat. Itt a Graph rajzoló programot alkalmaztam, néhán perc alatt végezve eg - eg ábrával.

5 Az O'Halloran - féle modell függvénének alakja f()=-50000*^ ábra A következő függvén - sereg a W. Prager - féle ( 939 ), melnek alakja [ 3 ] : E a a b th. b ( 3 ) Ennek némel alak - változatai az 5. ábrán szemlélhetők. Megjegzés: E tangens - hiperbolikuszos képlet nem tévesztendő össze azzal a ( régi ) DIN 44 szerinti összefüggéssel ld. [ 6 ]!, amel bizonos acélokra vonatkozik, és nem a teljes σ - tartománban érvénes, hanem csak az aránossági határ és a foláshatár között. Uganis a rugalmas szakaszra eg külön ( ) alakú képlet vonatkozik.

6 A Prager - féle függvén alakja f()=0.8*+0.0*tanh(((-0.8)/0.0)*) f()=0.08*+0.*tanh(((-0.08)/0.)*) f()=0.8*+0.*tanh(((-0.8)/0.)*) f()=0.8*+0.8*tanh(((-0.8)/0.8)*) f()=0.5*+0.*tanh(((-0.5)/0.)*) f()=0.*+0.*tanh(((-0.)/0.)*) f()=0.*tanh(((-0.8)/0.)*) f()=0.*+0.*tanh(((-0.)/0.)*) ábra Eg másik híresebb függvén a V. V. Szokolovszkij - féle (? ) diagram [ 7 ], melnek egik alakja: E E pp. ( 4 ) Itt: ~ E: a szokásos rugalmassági modulus; ~ σ pp : az anag szilárdsági határa. Ennek grafikonja a 6. ábrán szemlélhető.

7 7.5 A Szokolovszkij - féle függvén alakja f()=/sqrt(+*) ábra A szakirodalomban néha megemlítik Saint Venant függvénét ( 864 ) is, melnek alakja [ 7 ], [ 8 ] : n pp, pp ahol: ( 5 ) ~ σ pp : az anag szilárdsági határa; ~ ε pp : a szilárdsági határhoz tartozó fajlagos núlás; ~ n : hatvánkitevő. A ( 5 ) függvén alakját a 7. ábra szemlélteti különböző n - értékekre, a [ 0, ] intervallumon.

8 8. Saint Venant függvénének alakja f()=-(-)^ f()=-(-)^. f()=-(-)^.4 f()=-(-)^.6 f()=-(-)^.8 f()=-(-)^ f()=-(-)^3 f()=-(-)^4 f()=-(-)^5 f()=-(-)^6 f()=-(-)^7 f()=-(-)^8 f()=-(-)^9 f()=-(-)^0 f()=-(-)^ f()=-(-)^ f()=-(-)^ ábra Elég gakori a másodfokú parabolával jellemzett F. I. Gerstner - féle ( 83 ) anagmodell is. Ennek egenlete például [ 9 ] : ( 6 ) E E. Az E, E állandók kísérletileg határozandók meg. A függvén alakja a 8. ábra szerinti. A grafikon szerint ennél a diagramnál csak pozitív núlásoknál van a feszültségeknek közbenső szélső értéke, valamint az is, hog az ilen anagú test nem egformán viselkedik húzásra és nomásra:. ( 7 ) A ( 7 ) tulajdonság megléte esetén a ( 9 ) és ( 5 ) függvéneket úg alkalmazzák, hog a húzott és a nomott intervallumra külön - külön felírják a megfelelő egenleteket [ ], [ 8 ].

9 9.5 Másodfokú parabola alakja f()=-0.5*^ ábra Szintén viszonlag gakran találkozhat az érdeklődő a harmadfokú parabola szerinti közelítés alábbi alakjával [ 9 ]: ( 8 ) 3 E E 3. Az E, E 3 állandók kísérletileg határozandók meg. A függvén alakja a 9. ábra szerinti. A grafikon szerint az ilen anagú test egformán viselkedik húzásra és nomásra is:. ( 9 ) Megjegzés: Eg korábbi dolgozatom melnek címe: Néhán érdekes függvénről és alkalma - zásukról szintén foglalkozott eges anagmodellek függvéneinek képleteivel.

10 0.5 Harmadfokú parabola alakja f()=-/8*^ ábra Abban az esetben, ha ( 9 ) fennáll a test anaga húzásra és nomásra egformán viselkedik, nem ritka a páratlan fokszámú polinom alkalmazása. Ennek alakja [ 9 ] : n 3 n k 3 n k k,3,... E E... E E, ahol minden k páratlan. ( 0 ) Abban az esetben, ha ( 7 ) áll fenn a test anaga húzásra és nomásra nem egformán viselkedik, akkor az alkalmazható polinom alakja [ 9 ] : m m k m k k E E... E E, ( ) amel páros és páratlan kitevőjű hatvánokat is tartalmaz. A ( 0 ), ( ) képletekben szereplő E k állandók is kísérletileg határozandók meg. Most néhán szót az inverz függvének képzéséről.

11 Az irodalomban nem ritka, hog eg anagmodell képlete a a... a ( ) n n alakú [ 0 ]. Ha az inverz / fordított függvénkapcsolatra van szükség, akkor ez a következőképpen történhet. a.) Elsőfokú kapcsolat: a ; ( 3 / ) ekkor a már látott módon:. ( / ) a b.) Másodfokú kapcsolat: ( 3 ) ekkor a a a ; a a 0 ( 3 / ) egenletből a másodfokú egenlet megoldóképletével [ ] : a a, a a a Az előjelről még majd dönteni kell. c.) Harmadfokú kapcsolat: 3 3 ( 4 ) a a a ; ( 5 ) ekkor a a a a egenletre a harmadfokú egenlet megoldóképlete [ ] lehet alkalmazható. d.) n - edfokú kapcsolat: Ekkor érdemes lehet az inverz függvén hatvánsorát alkalmazni [ ]. Megjegzem, hog a szerkezetek nemlineáris mechanikájában kidolgoztak olan módszereket is, ahol nincs szükség a ( ) alakú anagtörvén invertálására [ ]. Irodalom: [ ] S. Timoshenko: Résistance des Matériau I. Librairie Poltechnique Ch. Béranger, Paris et Liége, 947. [ ] C. Bach ~ R. Baumann: Elastizitaet und Festigkeit Neunte, vermehrte Auflage, Verlag von Julius Springer, Berlin, 94.

12 [ 3 ] Jozsef Bodig ~ Benjamin A. Jane: Mechanics of Wood and Wood Composites Van Nostrand Reinhold Compan, 98. [ 4 ] Kaliszk Sándor: Mechanika II. Szilárdságtan Tankönvkiadó, Budapest, 990. [ 5 ] I. A. Birger ~ R. R. Mavljutov: Szoprotivlenije materialov Nauka, Moszkva, 986. [ 6 ] Koráni Imre: Stabilitási kérdések a mérnöki gakorlatban Kihajlás a síkban Akadémiai Kiadó, Budapest, 965. [ 7 ] V. M. Ovszjanko: Szintez elektronnüh modelej deformirujemüh objektov Nauka i tehnika, Minszk, 98. [ 8 ] M. M: Filonenko - Borodics, Sz. M. Izjumov, B. A. Oliszov, I. N. Kudrjavcev, L. I. Mal ginov: Kurs szoprotivlenija materialov II. 3. izd., Gosztehizdat, Moszva - Leningrád, 949. [ 9 ] N. N. Popov ~ B. Sz. Rasztorgujev: Raszcsot zselezobetonnüh konsztrukcij na dejsztvie kratkovremennüh dinamicseszkih nagruzok Sztrojizdat, 964. [ 0 ] A. K. Malmeiszter, V. P. Tamuzs, G. A Tetersz: Szoprotivlenije polimernüh i kompozitnüh materialov 3. izd., Zinatne, Riga, 980. [ ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengajev: Matematikai zsebkönv Műszaki Könvkiadó, Budapest, több kiadásban [ ] B. G. Neal: Structural theorems and their applications Pergamon Press Ltd., Oford, 964. Sződliget, 00. július 9. Összeállította: Galgóczi Gula mérnöktanár