VI.2 A dielektromos polarizáció vektora. Vezetõ és szigetelõ elektrosztatikus térben

Átírás

1 I.2 dielektromos polarizáció vektora ezetõ és szigetelõ elektrosztatikus térbe Már az elektrosztatikus alapjeleségekél láttuk, hogy az ayagok elektromos viselkedés szempotjából két agy csoportra oszthatók: vezetõkre és szigetelõkre. ezetõ belsejébe elektrosztatikus tér em létesíthetõ, mert az ott lévõ töltéshordozók az ilye tér hatására mozogi kezdeéek. zaz ebbe az esetbe áram idula meg, és többé már em beszélheték sztatikáról. Ha tehát egy vezetõdarabot elektrosztatikus térbe helyezük (pl. kodezátor lemezei közé, ahogy az az ábrá látható), akkor a tér em hatolhat a vezetõ belsejébe. Mi az, ami megakadályozza ezt a behatolást? Ez az ifluált tötés. z eredetileg elektromosa semleges vezetõ felületé ugyais az elektromos megosztás révé éppe akkora ifluált felületi töltés jö létre, amekkora a külsõ teret a vezetõ belsejébe tökéletese leáryékolja. Elektrosztatikus megosztás kodezátor lemezei közé helyezett a) vezetõbe b) szigetelõbe Ha egy szigetelõ darabot helyezük a kodezátor lemezei közé, akkor a kísérletek taúbizoysága szerit itt is létrejö egy felületi töltéssűrűség, az úgyevezett polarizációs töltés, és ez a töltés ez esetbe is a külsõ tér lerotására törekszik. zoba két fotos külöbség jeletkezik a vezetõhöz képest. Egyrészt, mit tudjuk, a szigetelõ felületérõl a polarizációs töltés em vezethetõ el. Másrészt ebbe az esetbe a felületi töltés em képes a külsõ tér tökéletes leáryékolására, és így az elektrosztatikus tér részbe behatol a szigetelõ ayag belsejébe. zért, hogy ezeket a tapasztalati téyeket elméletileg értelmezi tudjuk, szükségük va a szigetelõ ayag valamilye egyszerûsített modelljére. Továbbá potosa meg kell határozi, hogy mit értsük azo a meghatározáso, hogy "az ayag belsejébe" méréstechikai szempotból. továbbiakba ezekkel a kérdésekkel foglalkozuk. szigetelõ ayag folytoos modellje. dielektromos polarizáció vektora Kiidulási potuk az a kísérletek által igazolt feltételezés, hogy az ayagi közeg a bee lévõ dipólusok illetve dipóluslácok révé fejti ki a hatását. Ez a molekuláris kép ige szemléletes. Tudjuk például, hogy egyes molekulák -ilye például a vízmolekula is- álladó dipólusok, és ezek a külsõ tér hatására mitegy "felsorakozak". Más molekulák pedig -melyek eredetileg em dipólusok, mit például a bezol molekulák- éppe a külsõ tér hatására válak dipólussá, mivel a külsõ tér a pozitív és egatív töltések súlypotját elmozdítja e molekuláko belül. Eze szemléletes molekuláris kép közvetle alkalmazása azoba statisztikus fizikai módszereket igéyel. Ehelyett most az ayagi közeg egyszerûbb, 6

2 kotiuum modelljét kívájuk alkalmazi. szigetelõ ayagot -vagy más szóval a dielektrikumot- tehát az egyszerûség kedvéért folytoosak tételezzük fel, ahol a töltésszétválás, vagyis a dipólus karakter tetszés szeriti kis térfogatba lokálisa is értelmezhetõ. folytoos modell feltételezi, hogy akármeddig is daraboluk, akármilye kis részre is botuk egy dielektrikumot, midig ugyaolya iráyú, csak kisebb dipólust kapuk, mit amilye iráyú dipólust a kiidulási szigetelõ ayag darabka képviselt (Ez persze csak homogé dielektrumok eseté igaz. De feltételezhetjük, hogy a térfogat csökketésével egyre jobb közelítés a homogé közeg.). Ez egyrészt azt jeleti, hogy az ayagba jelelévõ téyleges molekuláris dipólusok véges méreteivel em számoluk. Másrészt a darabolás em eredméyezheti a dipólus pozitív és egatív töltéseiek egymástól való elválasztását: a dipólust em lehet pozitív és egatív töltésre "kettévági", haem midig csak két újabb dipólusra. ( molekuláris képbe ez megit ige szemléletes: a molekuláris dipólust tilos elvági, a pozitív és egatív töltést pedig egymástól elválasztai -szigetelõ ayagot feltételezve- máskét em lehet. Egy valóságos dipólusmolekula elvágása ugyais a bee lévõ kémiai kötés valamiféle felbotását jeleteé, azaz kémiai reakciót. Így tulajdoképpe azt tételezzük fel, hogy a darabolás em jár kémiai reakcióval, ami általába ige jó közelítés.) Most ézzük meg, hogy mikét is mûködik ez a folytoos modell. Egy homogé, izotróp dielektrikum hasábot helyezzük egy kezdetbe feltöltetle síkkodezátor lemezei közé. kodezátor fegyverzeteiek a területe, valamit a hasáb alapterülete egyarát legye. dielektrikum vastagsága legye d. míg a kodezátor ics feltöltve, addig a pozitív és egatív töltések sûrûsége a dielektrikum belsejébe mideütt azoos, és így az eredõ töltéssûrûség mideütt zérus. Ezt ábrázolja sematikusa az alábbi ábra a) része. 7

3 pozitív és egatív töltések elhelyezkedése a dielektrikumba a) külsõ elektromos tér élkül, b) külsõ elektromos tér jelelétébe. ρ külö a pozitív, ρ pedig külö a egatív töltések sûrûségét mutatja, mit a hely függvéyét. δ a külsõ tér által okozott töltéseltolódás mértéke Ha azoba feszültséget kapcsoluk a kodezátor fegyverzeteire, a helyzet megváltozik. Ekkor a egatív töltésfelhõ kissé elmozdul a pozitív, a pozitív töltésfelhõ pedig a egatív fegyverzet felé. Ezekutá a két töltésfelhõ már em fedi egymást potosa, mivel δ távolsággal elmozdultak egymáshoz képest. z ábrából leolvasható, hogy a dielektrikumak a pozitív fegyverzet felé ézõ oldalá Q pol = ρ δ egatív, a egatív fegyverzet felé ézõ oldalo pedig ugyaekkora, de természetese pozitív ú. polarizációs töltés jö létre. Itt ρ a szigetelõbe midig jelelévõ, de polarizálatla állapotba egymást midig tökéletese semlegesítõ pozitív, illetve egatív töltések sûrûségéek az abszolút értéke. Molekuláris szite ez a térfogategyégbe lévõ protook, illetve elektrook töltését jeleti. Mivel a töltéseltolódás a molekuláko belül törtéik, ezért δ redkívül kicsi, a molekulaméretél semmiképpe sem lehet agyobb. Így tehát makroszkópikus szempotból a polarizációs töltést jó közelítéssel felületi töltések tekithetjük, amelyek felületi töltéssûrûsége a feti példába: 8

4 Q pol. σpol. = = ρ δ. Eze elõkészületek utá vezessük be a dipólusmometum-sûrûség fogalmát, melyet folytoos ayagmodellükkel a következõképpe értelmezhetük: = lim, ahol a térfogatelem dipólusmometuma. a térfogategységre jutó dipólusmometum, amit a dielektromos polarizáció vektoráak evezük. Homogée polarizált ayagba kifejezhetõ a felületi polarizációs töltéssûrûséggel. Ehhez tekisük az elõbbi alapterületû és d oldalélû szigetelõ hasábot. Eek dipólusmometuma = Q. d e pol, ahol e a dipólusmometum iráyába mutató egységvektor (azaz a egatív polarizációs töltésbõl a pozitív polarizációs töltés felé mutató iráy). hasáb dipólusmometum-sûrûsége Q d e pol pol = = = e = σpol e. d Ha a dielektrikum hasábukat az eredeti hasábbal párhuzamos oldalélû, egyre kisebb pici hasábokra vágjuk, a -re kapott eredméy ezekre is ugyaaz lesz, mit a teljes agy hasábra. Darabolás közbe ugyais olya kis dipólus-hasábocskákat kapuk, amelyek alapterülete és oldaléle ugya egyre kisebb, de amelyekek az alap- és fedõlapjá a polarizációs felületi töltéssûrûség, valamit a dielektromos polarizáció iráya is midig ugyaaz. (Mégegyszer hagsúlyozzuk, hogy ez csak homogé dielektrikumra igaz. Itt eleve ilyet tételeztük fel, de kellőe kis térfogat eseté ez midig igazak tekithető. agyis a így lokálisa értelmezhető.) agyis, ha a határátmeetet elvégezzük, ebbe a homogé esetbe a lokális értéke is ugyaakkora lesz, mit az eredeti teljes hasábra ézve. σ pol =ρ δ összefüggést felhaszálva a dielektromos polarizáció vektora a töltés elmozdulással egyszerû kapcsolatba hozható: Q = σ δ pol e =ρ δe =ρ ±, ahol δ ± a pozitív töltések elmozdulásvektora a egatív töltésekhez viszoyítva. Tehát ha az elektromosa semleges szigetelõ ayagot úgy képzeljük el, hogy bee egy ρ töltéssûrûségû pozitív, valamit egy ugyaakkora és ugyaolya töltéssûrûségû egatív töltésfelhõ található, de a pozitív töltésfelhõ mide potja δ -al elmozdult a egatív ± töltésfelhõ megfelelõ potjaihoz képest, akkor a dielektromos polarizáció vektora a két meyiség szorzata: = ρ δ ±. ersze a polarizáció úgy is létrejöhet, hogy egy molekula külöböző részeibe ρ és δ ± más és más, végülis az eredő, ami tegelyese számít. Érdemes továbbá megjegyezi, hogy egy szigetelõ ayag felszíé a felületi ifluált töltéssûrûség általába úgy fejezhetõ ki, hogy σ pol =, ahol a szigetelõ belsejébõl kifelé iráyuló felületi ormálvektor. Ha és párhuzamos, azaz ha a szigetelõ ayag felszíe éppe merõleges a dielektromos polarizáció vektorára, úgy mit az elõbbi hasábos példákba, akkor igaz, hogy =σ pol de egyébkét természetese az általáos képlet alkalmazadó. éldául a hasábuk oldallapjai, ahol és egymásra merõleges, és így skalárszorzatuk ulla, ott a polarizációs felületi töltéssûrûség is zérus., 9

5 I.3 dielektromos eltolás vektora szigetelõ ayagba D jeletése vákuumba és szigetelõbe dielektromos eltolás, avagy megosztás D vektorát már elektrosztatikai taulmáyaik kezdeté bevezettük, még akkor, amikor az ayagi közegekrõl szó sem volt, hisze az elektrosztatikai jeleségeket elõször vákuumba (illetve az azt ige jól közelítõ levegõbe) kezdtük el taulmáyozi. D ekkor (mivel vákuumba =) D = ε E. ákuum eseté a D vektor bevezetése eléggé formális, haszálatáak egyedüli elõye az E vektorhoz képest, hogy míg az E tér forássûrûsége egy adott potba csak aráyos az ottai elektromos töltéssûrûséggel (az aráyossági táyezõ 1/ ε ), addig a D tér forrássûrûsége éppe egyelõ azzal. Szigetelõ közegbe a D eél jóval fotosabb szerepet kap. Mit azt a bevezetőbe említettük a D vákuumba és szigetelőbe egyarát érvéyes kifejezése: D = ε E. z midjárt látható, hogy ez a kifejezés vákuum (azaz = esetébe) valóba visszaadja a jólismert formulákat, de em ez a legfotosabb tulajdosága. z így defiiált D azért haszos a számukra, mert lehetõvé teszi a valódi, illetve a polarizációs töltések köyû megkülöböztetését. míg ugyais az E-térek a valódi és a polarizációs töltés egyarát forrása, addig a D-térek egyedül és kizárólagosa csak a valódi töltés a forrása, a polarizációs töltés pedig em. továbbiakba D-ek ezt a tulajdoságát fogjuk lépésrõl lépésre bizoyítai. ezetési (átvihető) és polarizációs (testhez kötött) töltés Bevezetőbe még egyszer hagsúlyozzuk, hogy polarizációs töltése azt a töltést értjük, amely szigetelõ felületé, avagy aak belsejébe jö létre polarizáció révé. Ez a töltés em vihető át más testre, elletétbe pl. a vezetõ felületé elhelyezkedõ töltésekkel, amely töltések az egyik testről a másik testre átvihetők. dipólus-molekula megbothatatla egységek tekitedõ, a bee lévõ pozitív illetve egatív töltéseket egymástól szeparálta em vihetjük át egy másik testre. töltéseket eek megfelelőe két agy csoportra oszthatjuk: az egyik tesről a másik tesre az elletétes töltéstől függetleül átvihető, vagy vezetési, a helyükrõl elvezethetõ töltésekre, és polarizációs, azaz egy dielektrikum polarizációja révé létrejövõ, és ezért ehhez a testhez kötött, oa külö el em vezethetõ töltésekre. (z ayag kémiai átalakításával, pl. egy elektroak egy molekulából való kiszakításával természetese lehetséges egy dipólusmolekula töltéseit egymástól elválasztai, de ilye kémiai átalakulásokkal itt em foglalkozuk.) z elektrosztatika elsõ alaptörvéye dielektrikumba felületi töltéseloszlás eseté Kiidulási potuk az elektrosztatika elsõ alaptörvéye vákuumba, felületi töltéseloszlás eseté. levezetés alapgodolata az lesz, hogy ameyibe a felület két oldalá vákuum helyett egy-egy dielektrikum va, akkor a vákuumbeli tér azért módosul, mert az eredeti, avagy valódi felületi töltéshez most még a két dielektrikumtól származó felületi polarizációs töltések is csatlakozak. Tehát idézzük fel az elektrosztatika elsõ alaptörvéyéek felületi töltéseloszlásra megfogalmazott alakját: ( 2) ( 1) D D = σ. 1

6 Felületi töltéseloszlás a) vákuumba, b) két szigetelõayag határfelületé. z elsõ alaptörvéy, ha a felület midkét oldalá vákuum va, részletese az alábbi formába írató: (2) (1) εe εe = σ. Úgy képzeljük, hogy a feti alaptörvéy akkor is igaz, ha a felület két oldalá szigetelõ közegek vaak, csak ekkor σ egy eredõ töltéssûrûségek tekitedõ, ami em más, mit az átvihető és a polarizációs töltéssûrûség algebrai összege, azaz σ = σered = σvez σ pol., ahol σ vez a vezetési, σ pol. pedig a polarizációs felületi töltésûrûség. Már volt róla szó, hogy egy szigetelõ ayag felületé a felületi polarizációs töltéssûrûség a következõ formulával adható meg: σ pol. =, ahol a szigetelõ belsejébõl a külsõ tér felé iráyuló felületi ormálvektor. Ezt az összefüggést most egy ábra segítségével részletesebbe is idokoljuk. felületi polarizációs tötéssûrûség kialakulása. felület egyik oldalá szigetelõ ayag, a másik oldalo viszot csak vákuum található. töltésmérleget egy olya 11

7 képzeletbeli ige lapos korogra írjuk fel, amelyek alaplapja a szigetelõ ayagába merül, fedõlapja azoba már a szigetelõ ayag felszíe felett va a vákuumba. Így a polarizáció következtébe a korogak csak a szigetelõ ayagba merülõ alaplapjá áramlaak át töltések, a vákuumba lévõ fedõlapo át ics töltéstraszport. pozitív és a egatív töltéseket folytoos fluidumak képzelhetjük el, amelyek kezdetbe tökéletese fedik egymást. külsõ polarizáló tér hatására a pozitív fluidum elmozdulása legye δ, a egatívé pedig δ. Ekkor a korog alaplapjá át a korogba beáramló pozitív fluidum térfogata = δ, az ideáramló egatív fluidum térfogata pedig = δ. (Kiáramlás eseté ezek a térfogatok természetese egatívak.) z ábrá látható "felületi korog"-ba áramó polarizációs töltés: ahol a Q pol. = ρ ρ,, jeletését az ábraszövegbe találhatjuk meg. Eek alapjá Q = δ ρ δ ρ = ρ ( δ δ ) pol Q pol σpol = = ρ ( δ δ ) = ρ δ ± =, tehát állításukat sikerült bizoyítai. Két szigetelõ éritkezési felületé a polarizációs töltéssûrûség a két felületi polarizációs töltéssûrûség összege, vagyis ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) σ pol. = σ pol. σ pol. = = 1 2 =. polarizációs töltéssûrûségre kapott kifejezést ezekutá behelyettesítjük az elektrosztatika elsõ alaptörvéyéek felületi töltéseloszlásra érvéyes alakjába: ( 2) ( 1) ( 1) ( 2) ε E ε E = σ val.. Ezt a kifejezést átredezhetjük, és a dielektromos eltolás vektoráak a szigetelõre érvéyes alakjáak a felhaszálásával ige egyszerû formába írhatjuk fel: (2) (2) (1) (1) ( ε E ) ( ε E = σ ) (2) (1) D D = σ vez. Látható tehát, hogy felületi töltéseloszlás eseté szigetelõbe agyois "megéri" bevezeti a D elektromos megosztás vektorát, hisze az elektrosztatika elsõ alaptörvéye formailag ugyaolya, mit a vákuum esetébe. Nézzük meg ezekutá ige rövide a térfogati töltéseloszlás esetét! z első alaptörvéy térfogati töltéseloszlás eseté Eddigi vizsgálataik sorá a polarizációs töltés midig mit felületi töltés jelet meg. ajjo ez egy általáos érvéyű szabály, avagy lehete máskét is? Másszóval va-e olya szituáció, amelybe a polarizációs töltés, mit térfogati polarizációs töltéssűrűség jeletkezik egy szigetelőayag belsejébe? És ha a válasz - mit sejthető ige, miért em találkoztuk eddig evvel az általáosabb esettel? E két kérdés közül a másodikkal kezdjük. megoldás kulcsa az, hogy egésze eddig homogé szigetelőket vizsgáltuk. Ez azt jeleti, hogy, a dielektromos polarizáció vektora a szigetelő belsejébe mideütt ugyaaz, vagyis a helytől függetle álladó volt. Ha arra a demostrációra godoluk, ahol a szigetelő ayag pozitív és egatív töltését sárga és kék műayag fóliákkal reprezetáltuk - a polarizációt pedig e fóliák elcsúsztatása hozta létre - akkor ott a töltésfelhők sűrűsége ugyacsak homogé volt. Továbbá a műayag fóliák mit merev testek mozdultak el, tehát em deformálódtak. Eek eredméyekét a szigetelő belseje elektroeutrális maradt, csak a szigetelő peremei jeletkeztek olya kék és sárga zóák, amelyek az ott megjeleő polarizációs töltést mutatták. Más a helyzet egy ihomogé szigetelőél, ahol pl. a kék és sárga fóliák szímélysége vez 12

8 potról potra változik. Ha a fóliák az eredeti helyükö vaak, akkor a sötétebb kék tartomáyok felett elhelyezkedő ugyacsak sötétebb sárga zóák mideütt elektroeutralitást biztosítaak, és sem felületi, sem térfogati poalrizációs töltés em jeletkezhet. Ha azoba elcsúsztatjuk ezeket az ihomogé fóliákat, akkor már em csak felületi, de térfogati polarizációs töltéssűrűség is létrejöhet, mivel eltérő szímélységű tartomáyok kerülhetek fedésbe egymással. Ebbe a példába a polarizáció iráya álladó (mivel a fóliák relatív elmozdulása mideütt ugyaolya iráyú), csak a agysága függ a helytől. Egy általáosabb lehetőség, ha például a kezdetbe egymást fedő homogé sárga és kék fóliák közül a kék fólia kicsit összezsugorodik (ekkor már a lokális elmozdulások és így a polarizáció iráya is függ a helytől). Ezutá a perem körbe-körbe sárga lesz azaz felületi pozitív töltés jö létre a térfogatba azoba már a kék szí fog domiáli, vagyis térfogati egatív töltéssűrűség jö létre. Fotos hagsúlyozi, hogy a pozitív és egatív polarizációs töltések összegéek még a legvadabb deformációk utá is ulláak kell maradia, hisze eredetileg töltetle, azaz elektromosa semleges szigetelő ayagból idultuk ki. E kis bevezető utá írjuk fel az elektrosztatika első alaptörvéyét lokális alakba térfogati polarizációs töltéssűrűség esetére. Ismét az alaptörvéyek a vákuumra érvéyes globális formájából iduluk ki, amely szerit z alapgodolat megit az, hogy feltételezzük, hogy a feti formula szigetelőkre is érvéyes, csak ebbe az esetbe a Q töltés két részre botható: az felület által körülölelt veztési (más testre átvihető) és ugyaeze térfogat belsejébe található polarizációs (más tesre em átvihető) töltésre Q = Q ez Q ol. (agyis a szigetelő ayag hatását polarizációs töltései révé fejti ki, az ayagak más hatása ics az elektrosztatikus térre. Ez azt jeleti, hogy ameyibe vákuumba leék, és az eredeti töltésekhez még egy olya töltéseloszlást veék hozzá, mit amilye a szigetelő ayag polarizációs töltéseloszlása, akkor ez ugyaolya teret hoza létre a vákuumba, mit amilyet polarizációs töltés a szigetelő ayagba.) Eek alapjá εe d = ρez d ρol d térfogatba lévő polarizációs töltést mit tudjuk az felülete lévő polarizációs töltés éppe kompezálja mivel a szigetelő eredetileg elektroeutrális volt: valamit és így ε E d = Q σ ol =, d = d, Ha ezt beírjuk az alaptörvéybe, akkor amit az alábbi alakra redezhetük: ε E d = ρ ol d σol d =. Ie a térfogati polarizációs töltés kifejezhető: Már korábbról tudjuk, hogy ρ d = σ ρ ol ol ( ε E ) d = ρ 13 ol d. d = d. ρez d ez d. d.

9 Ie már látható, hogy miért célszerű a D = ε E vektor bevezetése térfogati polarizációs töltéseloszlás eseté is, hisze ekkor az elketrosztatika alaptörvéye az alábbi általáosa érvéyes globális formába írahtó D d = ρ d. ami a Gauss tétellel alakítható át a már ismerős lokális formává: divd = ρ ez. Így tehát beláttuk, hogy a I Maxwell egyelet a feti alakba érvéyes mid vákuumba, mid szigetelőbe. ( ρ ez töltéssűrűség mellől aak átvihetőségét jelző ez idexet általába el szokás hagyi. De természetese ez midig mozgatható, egyik tesről a másikra átvihető, vagyis em polarizációs töltést jelet.) ez 14