A DETERMINÁCIÓS EGYÜTTHATÓRÓL

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A DETERMINÁCIÓS EGYÜTTHATÓRÓL"

Átírás

1 VITA A DETERMIÁCIÓS EGYÜTTHATÓRÓL HUYADI LÁSZLÓ Egyes vélekedések szernt a regresszós modellek (többszörös) determnácós együtthatója nem jó mutatószám, hszen sok olyan hányossága van, amelyek folytán alkalmazása kerülendő, de legalábbs nagyon szűk körre korlátozandó. Ezekkel a nézetekkel vtatkozva a ckk felsorakoztatja a determnácós együttható kedvező tulajdonságat, amelyek a regresszós elemzés egyk központ fontosságú mutatójává avatják. A tanulmány bemutatja a determnácós együttható alkalmazását leíró keretek közt, kapcsolatát a modellválasztás krtérumokkal, szerepét a regresszós modell különböző tesztjeben, így a szokásos AOVA F-tesztben, a paraméterkorlátozások vzsgálatában, és kapcsolatat az aszmptotkus próbákkal. Végső következtetése az, hogy bár a determnácós együttható egyoldalú alkalmazása és mnden határon túl öncélú növelése valóban kerülendő, a mutató alkalmazása nem nélkülözhető, nagyon ks értéke pedg, amk jellemzők a szocológa kutatásokra, komoly modellhbák jelzése lehetnek. A TÁRGYSZÓ: Korrelácószámítás. Regresszó. Modellépítés. nem kísérlet elrendezésű adatokat felhasználó tudományok közös gondja az, hogyan alakítsák k modelljeket, hogyan hdalják át az elmélet(ek) és a nem smételhető kísérletek által szolgáltatott adatok ellentmondását. A társadalm gazdaság modellezés, ahol ez a nem kísérletező jelleg domnál, egyk gen elterjedt hagyományos eszköze a regresszós elemzés. A regresszószámításban általánosan használt mutató az R többszörös determnácós együttható, amelynek alkalmazása azonban ellentmondásos. Mndenk használja, de gyakran helytelen értelmezést adnak nek. Van ak túlbecsül, van ak látn se szeretné. A helyzetet bonyolítja az s, hogy a modellezés változó alapelve ugyanannak a mutatónak gyakran más és más tulajdonságát emelk k, ezért egyes mutatók megítélése dőben s változó. Az R s lyen ellentmondásos mutató. Móta a Statsztka Szemle főszerkesztője vagyok, többször volt alkalmam találkozn szocológa tanulmányokkal (például Róbert; 1998, Bukod Róbert; 1999, Fényes; 1999), amelyek szerző számomra örvendetes módon gen gyakran modellszámításokkal kívánták alátámasztan mondanvalójukat. Ezen modellek egyk közös jellemzője mnt arra a szerzőknek többször rámutattam az volt, hogy nagyon alacsony volt a determnácós együttható, am szerntem a modellek alkalmazhatóságát, a belőlük levonható következtetéseket alapvetően kétségessé tette. A szerzőket azonban ez a bírálat nem rázta meg, hanem mntegy megmosolyogva bírálatomat arra hvatkoztak, hogy Moksony Fe

2 754 HUYADI LÁSZLÓ renc egyk tanulmányában (Moksony; 1997) megndokolta, mért nem kell a szocológa kutatásokban ezt a tényt (mármnt az alacsony R -et) komolyan venn. Gondolatmenete az, hogy, maga az R nem gazán jó, lletve nem meghatározó mutató, ezért azokban a kutatásokban, ahol a fő cél nem az előrejelzés, hanem a hatáselemzés (az elmélet magyarázata, ellenőrzése vagy talán még nkább okság elemzés), használata nem ajánlott, következésképpen ks értéke nem lehet a modell rossz voltának mérőszáma, sőt ez esetleg még jó s lehet. (A kcs szép Small s beautful.) A tanulmány alapos áttanulmányozása után döntöttem úgy, hogy az abban foglaltakat meg kell válaszolnom, egyrészt azért mert több alapvetően helyes megállapítása mellett néhány kfejezetten téves állítást s tartalmaz, érvelése nem következetes, szemlélete gyakran a évvel ezelőtt állapotokat tükröz, és főleg azért, mert a tanulmány, esetleg szándékán kívül, azt sugallja a fatal szocológusok nemzedékének, hogy a modellezés során, legalábbs a modell magyarázó ereje tekntetében, génytelennek lehet lenn. Eredetleg nem volt célom, hogy tételesen vtatkozzam Moksony Ferenc ckkével, hszen ha egy kcst jobban elmélyül a vzsgált kérdésekben, ha a szocológa rodalom mellett a kérdés statsztka ökonometra rodalmával s megsmerkedk, ha a magyar statsztka rodalmat egy kcst alaposabban átnéz, maga s rájön arra, hogy am helyes és ésszerű a mondanvalójában, azt már régen alaposabban s kelemezték, am pedg helytelen, arra jórészt másutt s rámutattak. Célom ennek kapcsán nkább az volt, hogy a vtatott R fontosabb tulajdonságat öszszegyűjtsem, megkíséreljem azokat rendszerezn és a jelenleg korszerűnek teknthető felfogás szernt értékeln. A tanulmány írása során azonban nem tudtam szó nélkül elmenn Moksony Ferenc egyes állítása mellett, ezért a megfelelő alapozás után azokra részletesen s ktérek. Ennek kapcsán megpróbálom bebzonyítan azt, hogy az R talán mégsem olyan rossz mutató, mnt amlyennek a szerző beállítja, talán mutat valamt, nem s keveset, és főleg arra szeretnék rámutatn, hogy a feltűnően ks R esetenként mlyen problémákat okoz. Még melőtt a lényegre térnék, szeretném tovább szűkíten a tárgyat: Moksony Ferenc szocológa kutatásokban alkalmazott modellekről beszél, én nkább a gazdaság ökonometra alkalmazásokat smerem. A kettő azonban lényegében nem tér el egymástól. A statsztka tudomány egysége a módszerekben rejlk, a módszerek azonossága az, am a statsztkát önálló tudománnyá avatja. Ezért a továbbakban statsztkusként, nem pedg közgazdászként vagy kváltképp nem szocológusként kívánok foglalkozn a kérdéssel. A regresszószámítás az, am a tudományok esetében közös, am a statsztka alapot jelent, a különbség pedg a két terület között az, hogy míg a szocológa általában alacsony mérés skálán mért (kategoráls) változókat használ, és nagymntás keresztmetszet elemzéseket végez, az ökonometra többnyre magas szntű mérés skálákon mért változókkal és vszonylag rövd dősorokkal (rtkábban paneladatokkal) dolgozk. A módszertan azonban közös. A továbbakban a determnácós együttható mnt leíró mutató különféle származtatás módjat és ebből adódó értelmezését mutatom be, először önállóan egyetlen kragadott modell, majd összehasonlító módon, több, egymással versenyző modell esetére. Ezt követően megvzsgálom, hogy mlyen szerepe van az R mutatónak mntavétel keretek közt, végül megkísérlem összegezn a következtetéseket, és ennek során rövden megfogalmazom Moksony Ferencnek adott válaszomat s.

3 A DETERMIÁCIÓS EGYÜTTHATÓRÓL 755 A DETERMIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ LEÍRÓ KERETEK KÖZT Az elemzésben a determnácós együtthatót mnt leíró mérőszámot vzsgálom. Abból ndulok k, hogy van egy megfgyelt sokaságunk, amelyen értelmeztünk egy vagy több regresszós összefüggést, melyeket egyebek közt az R mutatóval jellemeztünk. Első lépésben azt nézem meg, hogy egyetlen modell keretében mlyen értelmezés adható ennek a mutatónak, majd azt fogom vzsgáln, mlyen szerepet játszhat e mutató egymással versenyző modellek összehasonlításában. Az együttható származtatása, értelmezése A determnácós együttható több elv alapján s származtatható. A továbbakban ezek közül négyet szeretnék rövden átteknten. a) Az R legegyszerűbb származtatása a varancafelbontás tételéből adódk. Legyen ugyans egy lneárs regresszós modellben az eredményváltozó varancája 1 Var(Y)=SST/, a magyarázott (külső) varanca belső) varanca pedg Var( Y ) Var( Y ) Var( e ), és nnen Var(Ŷ ) SSR/, a maradék (rezduáls, Var( e ) SSE/, akkor a varancafelbontás tétele alapján Var(Ŷ ) Var( e ) SSR Var(Y ) Var(Y ) SST SSE SST 1. /1/ Az /1/ egyenletet akár a varancák, akár a négyzetösszegek oldaláról nézzük, azt látjuk, hogy a regresszó által leírt, megragadott (megmagyarázott) rész és a meg nem ragadott, le nem írt (meg nem magyarázott) rész hogyan oszlk meg százalékosan. Az ebből a megoszlásból kragadott első tagot nevezzük determnácós együtthatónak, azaz R SSR 1 SST SSE SST. // A // egyenlet értelmezésére később még vsszatérünk, egyelőre csak annyt jegyzünk meg, hogy szándékosan nem specfkáltuk sem a megfgyelések számát (), sem pedg a változók számát (K) vagy jellegét (mérés skála) demonstrálva ezzel a // gen általános voltát. A // azt mutatja meg, hogy mekkora a regresszó által az eredményváltozó varancájából megmagyarázott hányad (magyarázó erő). Az s látható, hogy R az lleszkedés szorosságát mérő mutatószám. b) A másodk származtatás mód az ún. PRE- (Proportonal Reducton of Error) elven alapul, melyet éppen szocológusok dolgoztak k, s melynek részletes magyar nyelvű leírását egyebek közt a Hunyad Mundruczó Vta (1996) tankönyvben találhatjuk meg. Az elv lényege azt vzsgálja, vajon az eredményváltozóra vonatkozó előrejelzésünk hbája hogyan változk (hány százalékkal csökken) akkor, ha az Y változóra vonatkozó smeretenk mellett még a magyarázó változókra ( X ) vonatkozó (feltételes) nformácókat s j 1 A továbbakban általában a Hunyad Mundruczó Vta (1996) jelöléset használom.

4 756 HUYADI LÁSZLÓ felhasználjuk. Ebben az értelmezésben, ha az X j -kre vonatkozó smeretek nagyban javítják (ex post) előrejelzésünk pontosságát, akkor ezek a változók szoros kapcsolatban állnak az Y változóval, lyen értelemben a PRE-elven felépülő mutatók a kapcsolat szorosságának mutatószáma. A következőkben ezt a megalapozást egy többváltozós (sokaság) regresszós modellre mutatjuk be. Legyen knduló modellünk M Y 0 j1 alakú, a paraméterek legksebb négyzetekkel történő becslése után becsült modellünk pedg: j X j M ˆ 0 j X j j1 Ŷ ˆ. Ekkor az Y változó értékenek csupán az önmagában rejlő nformácókra támaszkodó legjobb becslése (ugyancsak a legksebb négyzetek értelmében) Y, a becsléskor elkövetett hba (megnt négyzetes értelemben) 1 (Y Y ) = SST = E 1. Ha smerjük az X változók értéket, akkor ezek segítségével elkészíthetjük az Ŷ regresszós becslést. Ennek smeretében az elkövetett összese hba értéke E (Y Ŷ ) SSE, és a PREelv alkalmazásával: E E PRE E SST SSE SSR SST SST Az R mutató tehát felfogható olyan kapcsolatszorosság mérőszámnak s, amelyk azt mutatja, hogy a modellbe bekapcsolt magyarázó változók mlyen mértékben javítják a vzsgált jelenségre vonatkozó nformáltságunkat, menyre csökkentk a jelenségre vonatkozó (megfgyelés tartományon belül, azaz ex post) előrejelzésünk bzonytalanságát. c) Ismeretes, hogy a determnácós együttható a többszörös korrelácós együttható négyzete, és mnt lyen felfogható egy olyan lleszkedés mutató négyzetének, amelyk azt mutatja, hogy a modellel becsült értékek mlyen szoros sztochasztkus kapcsolatban állnak a valóságos adatokkal, azaz mlyen mértékben mozog együtt becsült modellünk a valósággal, azaz R r(y,ŷ ). d) Végül megmutatjuk, hogy az R mutató kétváltozós lneárs regresszó esetén nem csupán a magyarázatnak, az lleszkedésnek, az előrejelzés hbának, hanem a lneartásnak s mérőszáma. Kétváltozós lneárs esetben ugyans a megmagyarázott négyzetösszeg SSR 1 (Ŷ Ŷ ) R. 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( X X ) ( X X ) ˆ d, x

5 A DETERMIÁCIÓS EGYÜTTHATÓRÓL 757 amnek okán a regresszós együttható és a korrelácós együttható közt smert összefüggésből adódóan R SSR SST ˆ 1 d d x y r kapható. Ez az nterpretácó tehát azt jelent, hogy kétváltozós esetben az R egyben a lneartás mérőszáma s: mnél közelebb esk értéke 1-hez, annál nkább tömörülnek a megfgyelés értékek egy egyenes mentén, annál nkább gazoltnak látszk a modellezők által előszeretettel alapul vett lneartás feltétel. Az R néhány nterpretácójának bemutatása után, érdemes egy kcst megálln és elgondolkodn azokon az állításokon, melyeket ezekkel kapcsolatban Moksony Ferenc megfogalmazott, ak a magyarázó erővel kapcsolatban felvet a tartalm és a statsztka magyarázat eltérését. Igazat kell adn nek abban, hogy egy regresszóban a magas R önmagában még egyáltalában nem jelent tartalm magyarázatot. Igen, a tartalm és a statsztka magyarázatot meg kell különböztetn, és ehhez a hams regresszó közsmert példá hozzásegítenek. Azt azonban nem hszem, hogy egy kcst s gényes elemzésben valak helytelenül értelmezné a tartalm magyarázatot. Egy dolgot azonban mndenképpen hozzá kell ehhez tenn. Azt, hogy az egyk jelenség magyarázza-e valóban a máskat olyan értelemben, hogy oka a másknak, gyakran még logka szakma alapon sem lehet eldönten. Ezért a statsztkusok és az ökonométerek statsztka mutatókkal s megkísérelték az okságot megragadn. Jóllehet maga az okság vzsgálata a tesztekhez, tehát a mntából való következtetéshez kapcsolódk, az elv tt s megállja a helyét. Eszernt egy X jelenséget (változót) akkor tekntünk egy másk (Y) jelenség okának, ha az X smerete növel az Y-ra vonatkozó smeretenket. Mvel a koncepcót dősoros változókra dolgozták k, először megvzsgálják, hogy Y a saját magában (múltjában) lévő nformácókkal hogyan magyarázható (jelezhető előre), majd azt vzsgálják meg, hogy az előrejelzés pontossága (amt akár R mutatóval s mérhetünk) javul-e, mennyt javul akkor, ha bekapcsoljuk X-et. Ha javul, akkor azt állíthatjuk, hogy X oka Y-nak, azaz ebben az értelemben valóban magyarázza azt. Az okság megerősítéséhez azonban még az s kell, hogy belássuk a helyes rányt, azaz esetünkben azt s kmutassuk, hogy ha X oka Y-nak, akkor egyrányú okság kapcsolat esetén Y vszont nem oka X-nek. Amt Moksony Ferenc az előrejelzésről ír, algha tartható, ugyans nem választja szét következetesen az ex post és az ex ante előrebecslést (Moksony; és 5. old.). Mnt azt korábban megmutattuk, az ex post előrejelzés ereje valóban szoros kapcsolatban van az R mutatóval, ám az, hogy m lesz a megfgyelés tartományon kívül, az elsősorban nem az R -től függ, hanem attól, hogy a megfgyelés tartományon kívül ugyanazok a törvényszerűségek érvényesülnek-e, mnt a megfgyeléseken belül, más szóval a jó ex ante előrejelzés feltétele az, hogy az eredményváltózónak a magyarázó változókra vonatkozó feltételes eloszlása ne változzék. Ennek pedg csak kevés köze van az R -hez. Ezt csak és legfeljebb olyan szakma smeretek gazolják, amelyek mögött valód, ndokolható ma Látható, hogy az elv egy kcst hasonló a PRE-elvhez, és ha az dősorokban lévő többletnformácókról elfeledkezünk, akkor ez az elv éppen az R mutatóhoz vezet. Ez azonban nem lyen egyszerű, mert az R mutató tulajdonsága matt, ha csak két változóról van szó késleltetett hatások nélkül, mndg szmmetrkus kapcsolatokat találunk.

6 758 HUYADI LÁSZLÓ gyarázat áll. Ha például előre kívánjuk jelezn az nflácót, nem elegendő feltárn azt, hogy az nflácó mlyen módon és mértékben függ a vlágpac energaáraktól, sem azt hogy megalapozott feltevésekkel rendelkezünk-e az energaárak jövőbel alakulásáról, de abban s bztosnak kell lennünk, hogy a hatásmechanzmus dőben állandó marad. Ennek pedg kevés köze van ahhoz, hogy skerült-e a múltra jól lleszkedő modellt készítenünk. (Az ökonometra és a regresszós modellek jelenleg bíráló egyebek közt ezt a fajta dőbel állandóságot vonják kétségbe, és ennek tudják be a korább modellek gyenge előrejelző erejét.) Amt Moksony Ferenc az lleszkedés szorosságáról (Moksony; old.) ír, annak kétségtelenül van ésszerű magja, am a modellek összehasonlításakor még szóba fog kerüln. Egyetlen modell értékelésekor azonban és most egyelőre tt tartunk nem látom értelmét. Mesterkéltnek tartom azt az érvet, mszernt a modellező befolyásoln tudja a magyarázó változó(k) szóródását. Mesterséges kísérletekben ez természetesen megtehető, készíthetők érzékenységvzsgálatok, de az a feltevés, mszernt a 1 (Ŷ Ŷ ) ˆ 1 1 ( X X ) egyenletben mnden mást állandónak lehet teknten, csak X szóródása változk, véleményem szernt értelmetlen. Már csak azért s, mert ˆ 1 maga s függ az X szóródásától. Moksony Ferenc ezt azért nem látja, mert nem tesz vlágos megkülönböztetést az elmélet és a becsült paraméter között. Egyetlen modell értékelésekor tehát algha lehet kétségbe vonn azt, hogy az lleszkedés szorossága, am a modell egyk de természetesen messze nem egyetlen jellemzője, fontos, és ennek általánosan elfogadott jó mérőszáma éppen az R. Am a tökéletes modellről szóló fejtegetéseket llet (Moksony; old.), természetesen egyet lehet érten azzal, hogy tökéletes modell nncs, a modell értékelésénél a tartalm kérdések a döntők, amre azonban következtetésként eljut, mélységesen nyugtalanító: mnden modell csak egy másk, a sajátunkéval versenyző elmélet talajáról bírálható az, hogy valamely modell jó vagy rossz, elmélet érveléssel dönthető csak el; az R -nek ebbe nncs beleszólása. Baj s volna, ha lenne; gépes számításokkal lehetne pótoln a tartalm gondolkodást. Azt hszem, érthető, ha ezt olvasva a statsztkusok felkapják fejüket, és sértve érzk magukat. Ebből ugyans az derül k, hogy e gondolatok szerzője nem rendelkezk kellő smerettel a modellezésről, a statsztka lényegéről (hszen tt már régen nem csak az R -ről van szó), arról, hogy az általa gépesnek nevezett gondolkodás nem más, mnt nagyon sok, alapos mély megfontolás rendszerbe szedése, egymásra építése, algortmzálása, azzal, hogy a statsztka modellezés lényege éppen abban áll, hogy korrekt módon eljárva saját eszközevel tudja szemléln és értékeln a valóságot leképező elméleteket. em hszem, hogy szerencsés és bölcs dolog a tartalm gondolkodást és a statsztkát egymással szembe állítan, vagy ha valak ezt mégs tudatosan megtesz, akkor számolna kell a statsztkusok jogos krtkájával. Amt ezek után Moksony Ferenc példa gyanánt ír, pedg egyszerűen nem releváns. Közsmert, hogyan függ R a változók számának növelésétől, ezért ezt nem ndokolt lyen formában felvetn. (Erre a kérdésre a későbbekben, az összehasonlítások kapcsán még vsszatérek.) Ugyancsak nem szerencsés a leíró és a mntavétel tulajdonságok keverése, ezért az ezzel kapcsolatban írottakra s később reflektálok. Am pedg egy Mayer-dézetet

7 A DETERMIÁCIÓS EGYÜTTHATÓRÓL 759 llet (Moksony; old.) amennyben olyan hpotézsek érdekelnek bennünket, amelyek a mnta által felölelt dőszakon túlra s érvényesek, akkor az lleszkedés mutató gen gyenge ránymutatást jelentenek csupán azzal tökéletesen egyet lehet érten. Ez teljes mértékben megfelel annak, amt az ex ante előrejelzésekről korábban írtam, és ellentmondásban van Moksony Ferencnek korábban (3. és 5. old.) az előrejelzés kérdéséről kfejtett véleményével. Az aggregálás és az R kapcsolatáról Moksony Ferenc által mondottak helytállók ugyan, de valójában közsmert tényeket emlegetnek: ha az aggregálással a vzsgált változó (adott esetben a jövedelem) belső szóródását megszüntetjük, a teljes szóródás s csökken. Az, hogy egy ksebb szóródású változóra jobban lleszkedő egyenletet lehet becsüln, megnt csak nylvánvaló. Az pedg, hogy az R erre az aggregálásra értékének növelésével válaszol, véleményem szernt nem hba, hanem éppen azt mutatja, hogy vselkedése összhangban van az ésszerű statsztka gondolkodással. Az R nagyságáról annyt kétség kívül el kell mondan, hogy más és más modellek lletve adatbázsok esetén eltérő. Idősoros elemzések esetén többnyre az dősorokban rejlő közös tendencák következtében általában gen nagy, nem rtkán 0,999 erősségű determnácó tapasztalható. Keresztmetszet elemzésekben ez az érték lényegesen ksebb szokott lenn. Ámde melőtt ebből azt a következtetést vonnánk le, hogy lám mennyre eltérők az értékek, gondoljunk arra, hogy a tapasztalt és tsztességes elemzők soha nem az esetleges 0,999-et tűzk zászlajukra hanem smerve ennek fonákságát a megalapozott következtetések érdekében gyekeznek megszabaduln a látszatkorrelácóktól (például azzal, hogy nem az eredet dősort, hanem annak dfferencát vagy hányadosat, azaz az dősor változásanak valamely mértékét vzsgálják). Ezeket állítva egymással regresszós kapcsolatba, már korántsem kapunk olyan túlságosan szép, hhetetlen lleszkedéseket. Ezek voltak rövden észrevételem Moksony Ferenc bírálatanak egy részére, de még ezek kapcsán hátra van az, hogy megvzsgáljuk, mt jelent a nagyon ks R, amnek védelmében Moksony Ferenc a korábban bemutatott érveket felsorakoztatta. Mndenekelőtt tsztázn szeretném, hogy a legkevésbé sem akarom azt a kétségtelenül helytelen gyakorlatot bármlyen módon s támogatn, amelyk valóban látszat-megoldásokkal elért nagy R értékekkel akarja bzonyítan gazát. Azonban mnőség különbséget látok az R nyakló nélkül növelése, és a 3-5 százalékos modellek nem kellő óvatossággal történő elemzése, értelmezése között. agyon ks R -en a továbbakban 0,1 alatt R -et értek. A nagyon ks R egyfelől azt jelent, hogy az lleszkedés gyenge, rossz, a modellnek gen kevés köze van a valósághoz. Azt s jelent, hogy a modell magyarázó ereje kcs, azaz alg lehet valamt mondan a változók közt kapcsolatról, éppen az, amre alkalmazn akarjuk a modellt, nem úgy működk, ahogy kellene. A valóságnak csak valam egészen ks szeletét tudtuk megragadn a modellel, így az nem jelent lényeges többletnformácót a vzsgált változó szempontjából. em hszem, hogy ezekre a kfogásokra olyasm lehet a válasz, hogy csak egy változó hatását akarjuk vzsgáln, nem pedg az egész bonyolult rendszert. Ha csak egy változó hatását akarjuk vzsgáln, akkor egyváltozós elemzést célszerű végezn, ha pedg ez esetleges alkalmas kontrollváltozók bevonását gényl, akkor joggal várhatjuk el, hogy a valósághoz valamelyest közel álló eredmények adódjanak, hszen ha nem, akkor mre valók a kontrollváltozók. Külön probléma adódk akkor, ha csak kétváltozós elemzést végzünk, és ott kapunk gen kcs R mutatókat, hszen ez egyben a modell lneartásának s krtkája, azt s jelent, hogy a modell megformázása s hbás volt

8 760 HUYADI LÁSZLÓ (lehetett). Összességében ezen a ponton talán úgy lehet fogalmazn, hogy a nagy R önmagában még nem jelent jó modellt, de a nagyon ks R erősen arra utal, hogy modellünk rossz, és következtetésenket nagyon óvatosan kell megfogalmaznunk. A modellek összehasonlítása Az eddgekben mndg azt feltételeztük, hogy egyetlen modellünk van, azt számszerűsítjük, és az alapján szeretnénk a valóságot valamlyen sznten megítéln. Ez a kérdés a modellezés hőskorában még elfogadható volt, és a statsztka ökonometra modellezés apparátusa s sokág ebben a szellemben fejlődött, hszen egy kválasztott modellt szerettünk volna becsüln, elemezn, a valósággal szemben teszteln. Ennél érdekesebb és főleg lényegesebb kérdés az, amt a modern rányzatok egyre nkább előtérbe állítanak, nevezetesen az, hogy az egyes modelleket egymással szemben hogyan értékeljük. Ekkor tehát nem a tökéletes modell, hanem a mnél jobb modell megalkotása a cél. Ennek érdekében előtérbe kerültek az összehasonlítások módszere, a modellváltozatok közt választást elősegítő eszközök. Szűkítve a tárgyat, a továbbakban az R mutatót mnt a modellek közt választás eszközét vzsgáljuk. A kérdés tehát az, hogy két vagy több egymással versenyző modell közül melyket tekntjük statsztka szempontból jobbnak. Moksony Ferenc ezzel a kérdéssel s részletesen foglalkozk. Egyfelől a modellválasztás kapcsán (5. és 6. old.) bírálja az R mechankus alkalmazásán alapuló stepwse regresszó módszerét, majd felvet az eltérő szóródást mutató magyarázó változók esetét, végül a 9. oldalon a kontrollváltozók bevonásakor érnt a magyarázó változók számának és az R -nek a vszonyát. Ezzel a kérdéssel kapcsolatban mndenekelőtt arra kell utaln, hogy közsmert az R azon tulajdonsága, mszernt ha egy létező változókört a regresszóban egy tovább változóval bővítünk, akkor a bővített modell R mutatója nagyobb vagy egyenlő lesz az eredetével, és az egyenlőség s csak gen rtka, specáls, gyakorlatban sznte soha elő nem forduló esetekben adódk. 3 Ebből következk, hogy az összehasonlításokra az R valóban nem alkalmas, ezért az optmáls (legalábbs formálsan optmáls) modell változónak kválasztásánál nem jó stratéga az R mutatók alapján végezn a válogatást. A stepwse szelekcós eljárások (amelyek napjankban egyébként sem gazán népszerűek) sem az egyszerű algortmust használják, hanem lényegesen kfnomultabb módon járnak el (nem csak az R alapján válogatnak, fgyelembe veszk a t és az F értékeket, bztosítanak egy sor vsszaléptető ellenőrző fázst stb.). Ezekben az esetekben a modellválasztás alapja a rezduáls varanca, am nem más, mnt a szabadságfokkal osztott maradék négyzetöszszeg, azaz ˆ e SSE/( M 1), ahol M a magyarázó változók számát jelöl. Ésszerűnek tűnk az a krtérum, hogy (csupán statsztka szempontból) azt a modellt tekntsük a legjobbnak, amelyk mnmalzálja ezt a varancát. A statsztkusok azonban és ezt kváltképp ajánlom Moksony Ferenc fgyelmébe annyra megszokták és megszerették az R mutatót, hogy megkonstruálták azt az egyszerű transzformáltját, amelyk tulajdonságaban hasonlít az eredet R -hez, de modellválasztás cél esetén az előbb rezduáls varancával egyenértékűen használható. Ez a Thel-féle, szabadságfokkal korrgált R, 3 Ennek az állításnak az gazolása mnden haladó, regresszóról szóló vagy ökonometra műben megtalálható (például Mundruczó; 1981).

9 A DETERMIÁCIÓS EGYÜTTHATÓRÓL 761 közsmert, népszerű, mnden számottevő regresszós programcsomag kszámítja és standard eredményként közl. A Thel-féle korrgált R defnícója a következő: R 1 1 ( 1 R ). /3/ M 1 em részletezem a mutató megkonstruálásának elmélet hátterét (lásd például Thel; 1971), csupán bemutatom azt a fontos tulajdonságát, am matt alkalmazzuk. Felhasználva a teljes és a maradék négyzetösszeg smert SSE ( 1 R ) SST összefüggését, /3/ felírható a következő módon ( 1 R )SST 1 ( 1 R )SST M 1. /4/ Mvel a jobb oldal mennység éppen ˆ e, a bal oldal s az, s mvel adott Y változó és megfgyelésszám esetén a bal oldal R monoton csökkenő függvénye, az R maxmalzálása egyenlő a rezduáls varanca mnmalzálásával. Ezért ez az elv azt javasolja, hogy azt a modellt válasszuk, amelyk esetén az R maxmáls. Ezzel a krtérummal sokat lehetne foglalkozn, de most csak rövden említünk néhány tényt. A modern rányzatok (például Charemza Deadman; 1997) jóllehet nem vtatják a hasznosságát két hbájára hívják fel a fgyelmet. Egyrészt arra hvatkoznak, hogy ez a krtérum akkor s maxmumot mutathat, ha tartalmaz ugyan mnden fontos magyarázó változót, de tartalmaz felesleges, lényegtelen változókat s. Ez pedg ellentmond a statsztkában és ökonometrában általánosan elfogadott parsmona (lehető legegyszerűbb modell) elvének. A másk kedvezőtlen, mmár mntavétel tulajdonsága ezért valójában később kellene tárgyalnunk abból adódk, hogy az R ha mntából számítják, maga s valószínűség változó, eloszlása függ a modell több változójától, ezért a különböző modellek R mutató nem hasonlíthatók közvetlenül össze. Mndezen krtkák ellenére az R krtérum széles körben használt a modellválasztás feladatára, hszen, mnt számos alkalmazás és szmulácós kísérlet s mutatta, az esetek döntő hányadában helyes modellt eredményezett. Az R említett hányossága ugyanakkor megalapozták azt a kutatása rányzatot, amelyk a modellválasztás krtérumok kdolgozására vezetett, s amely krtérumokkal, lletve az R -hez fűződő kapcsolatakkal még foglalkozunk. Előtte azonban még az R -nek egy régen smert tulajdonságára szeretnénk felhívn a fgyelmet. Ez pedg az, hogy nagyon ks R értékek esetén R negatív értéket (!) vesz fel, ezért modellválasztás célra alkalmatlan. Könnyű belátn, hogy amennyben M R, 1 a korrgált R negatívvá válk, és így alkalmatlan tovább elemzésekre. Am az említett modellválasztás krtérumokat llet, valamenny hasonló gondolatra épül, mnt az R, azaz az R -et, vagy a maradék négyzetösszeget korrgálják valamlyen módon a modellben megjelenő változók száma szernt. Bár ezeket a krtérumokat többnyre

10 76 HUYADI LÁSZLÓ a maradék négyzetösszeggel fejezk k (Ramanathan; old.), de érdekes összehasonlításra vezet az F-próbával való összevetésük (Maddala; old.) s. A következőkben példa gyanánt az gen gyakran használt AIC-krtérumot (Akake Informaton Crteron) írjuk át az R függvényében. Az AIC az SSE AIC exp( K / ) /5/ mutatóra épül, és tekntve a közsmert SSE SST( 1 R ) összefüggést, azonnal felírható ez a krtérum az R függvényében: SST( 1 R ) AIC exp( K / ). /6/ A /6/ alapján látható, hogy rögzített változószám esetén az AIC az R monoton csökkenő függvénye, s mvel az AIC mnmuma vezet optmáls modellhez, ez az R maxmálásával egyenértékű. Természetesen, ha a változók száma (K) nem azonos, akkor a választást R mellett ez s befolyásolja. Mvel a több krtérum s mnden nehézség nélkül átírható lyen módon, és ezek azt mutatják, hogy míg a megfelelő krtérum mnmalzálása vezet a legjobb modellhez, és a krtérumfüggvények R -nek többnyre (de nem mndg és nem monoton módon) csökkenő függvénye, a nagyobb R nkább a modellek elfogadásához, a kcsk azok elutasításához vezetnek. Különösen érdemes fgyeln arra, hogy a nagyon ks R esetén túl az említett negatvtáson általában ezek a krtérumok a megfelelő modellek elutasítása mellett döntenek, lletve két ks R -tel rendelkező modell esetén döntésekben bzonytalanokká válhatnak. A modellek összehasonlításában játszott szerepét lletően az R mutatónak még két sajátosságát célszerű megemlíten. Egyfelől kterjedt rodalma van annak a kérdésnek, hogyan lehet mérn az R mutató segítségével az egyes változók hozzájárulását a regreszszós egyenlet magyarázatához, hogyan lehet ezt a dekompozícót felhasználn a multkollneartás elemzéséhez, m a parcáls korrelácós együtthatók és a determnácós együttható kapcsolata (például Thel; 1971, Mundruczó; 1981). Ezek a részletes elemzések arra utalnak, hogy az R mutató, ha méganny hbája s van, fontos szerepet játszk a korrelácós mutatók rendszerében, abból k nem emelhető. Másodszor meg kell jegyeznünk azt, hogy bár mnőség eredményváltozós modellek (logt, probt, tobt stb.) esetén ez a mutató közvetlenül nem alkalmazható, a kutatók annyra megszokták alkalmazását, hogy ezekre az esetekre s kfejlesztették a megfelelő R -et, és elkészítették egyebek közt az Efron, a Cragg Uhler vagy a McFadden-féle általánosításat, melyek konstrukcója az eredet mutató alapötletére épül (déz Maddala; 1988). KÖVETKEZTETÉS MITÁBÓL Az eddgekben szándékoltan csak olyan esetekkel foglalkoztunk, amelyekben feltételeztük, hogy a megfgyelések a sokaság egészére kterjednek. Bár már ott s néha kénytelenek voltunk kteknten a mntavételre, most azonban kfejezetten azt a feladatot vzs

11 A DETERMIÁCIÓS EGYÜTTHATÓRÓL 763 gáljuk meg, amkor megfgyelésenk csak egy mntára vonatkoznak, és a mntából számított mutatók segítségével kívánunk következtetn sokaság összefüggésekre. Elsőként célszerű a többváltozós regresszószámítás talán leggyakrabban használt tesztjét, a globáls F-próbát bemutatn. Ismeretes, hogy ennek nullhpotézse az, hogy a (lneárs regresszós) modell rossz, az eredményváltozót saját átlagával becsülve kapjuk a jó modellt, a több specfkált változó ehhez már nem tud érdemben semmt hozzátenn. Az F-próba felírható (és gyakran fel s írják) az R függvényében az alább módon: R n m 1 F F( m,n m 1). /7/ 1 R m Mvel tudjuk, hogy a modell helyességét tesztelő F-próba jobboldal krtkus tartománynyal rendelkezk, a nagyobb F-értékek mutatnak az elutasítás, azaz az elfogadható modell rányába, míg a ks F-értékek a rossz modell jellemző. Bár a krtkus értékek természetesen a szabadságfok függvényében változnak, ha mnd a mntanagyságot, mnd pedg a változószámot rögzítjük, akkor egyértelműen látszk, hogy a nagyobb R értékek jelzk a jó, a ksebbek pedg a rossz modellt. Azt már az adott feladat mérete dönt el, hogy ez a modell még szgnfkáns-e, avagy sem. Ennek vzsgálatára érdemesnek találom a napjankban gen népszerű aszmptotkus próbák megfelelő eredményet bemutatn és azokból továbblépn. Ezek nagy erőssége, hogy a knduló eloszlás specfkálása nélkül fogalmaznak meg döntés szabályt arra, hogy a modell nagy mnták esetén rossz-e (nullhpotézs), avagy van benne valam jó s (ellenhpotézs). Ezeknek az aszmptotkus próbáknak a próbafüggvényet s a mntából számított R függvényében szokták kfejezn. A részletek mellőzésével 4 a megfelelő lkelhood arány (LR), Lagrange-multplkátor (LM) és a Wald-típusú (W) tesztelvekből nagy mnták esetén a következő eredmények adódnak: 1 d LR nlog ( m ), 1 R d LM nr ( m ), nr W 1 R d ( m). Szavakkal kfejezve, az egyes elvek alapján számított próbafüggvények a mntanagyság kellő növelése esetén a határon kh-négyzet eloszlást követnek, és az eloszlás szabadságfoka megegyezk a magyarázó változók számával. Mvel ezen kh-négyzet próbák esetén s az ellenhpotézs (a krtkus tartomány) a jobb oldalon jelenk meg, a jó modellek esetében a próbafüggvény értéke nagy, am, tekntve hogy mndhárom próbafüggvény R növekvő függvénye, smét azt jelent, hogy a nagy R -ek tendencaszerűen jobb, a kcsk rosszabb modellekre utalnak. Itt azonban egy érdekes paradoxra kell felhívnunk a fgyelmet. Arról van ugyans szó, hogy bármelyk esetben (ez legnkább az LM-típusú teszt esetén látható) gaz az, hogy csupán a mntanagyság növelésével tetszőlegesen nagy próbafüggvényérték érhető el, azaz legyen bármlyen kcs az R, a modell elegendő mntanagyság és rögzített változószám (m), 4 Kétváltozós esetre a levezetések megtalálhatók Maddala (1988) könyvében, többváltozós esetre lásd Ramanathan (1993).

12 764 HUYADI LÁSZLÓ esetén szgnfkánsnak mutatkozk. A szokásos szgnfkancateszteknek ez többé-kevésbé smert tulajdonságuk, elemzők erre már többször rámutattak, és a regresszós modellekkel kapcsolatban egyebek közt Leamer (1990) hívta fel a fgyelmet ennek fonákságára. Szocológa modellekben (például Bukod Róbert; 1999 vagy Fényes; 1999) gyakran találkozunk ezzel a problémával: a modellek gen rosszul írják le a valóságot, determnácós együtthatójuk messze 0,1 alatt marad, mégs a nagy, gyakran több ezres mnta folytán mnden szóba jöhető sznten szgnfkánsnak mutatkoznak. Ekkor már természetesen nem lehet csodáln, ha mndg akad egy-két magyarázó változó, amelyk külön-külön s szgnfkánsnak bzonyul. A modern statsztka elmélet kutató rámutattak arra, hogy az ellentmondás oka a rögzített szgnfkancaszntben található. A hagyományos szgnfkancateszteknél rögzített szgnfkancasznt esetén a próba nagy mnták esetén erősen húz a nullhpotézs elutasítása rányába, így gyakorlatlag ezeket a próbákat nagyon nagy mntákra nem célszerű használn. A probléma áthdalására több megoldás s létezk (például bayes megfontolások, keverék-eloszlások használata), ezek alkalmazása azonban még nem krstályosodtak k. Ezek a kérdések egy kcst messzre vezettek az eredet céltól, az R mutató értékelésétől, ámde látn kellett, hogy annak tulajdonságaval, lletve alkalmazás nehézségevel függnek össze. Van azonban a mntavétellel kapcsolatban még egy olyan kérdés, amt tárgyaln kell, és amre Moksony Ferenc s utalt. Ez pedg az, hogy az eddgekben, amkor mntavétel keretről beszéltünk, mndg egyetlen mntából számítható R mutatót vzsgáltunk, és a kérdést úgy tettük fel, hogy ez az egyetlen mntából számított mutató mre enged következtetn. Van azonban a kérdésnek egy másk vetülete s, nevezetesen az, hogy maga az R s mnt mntából számított mennység mntavétel ngadozásnak van ktéve, értéke mntáról mntára változk. Sajnos az R eloszlását még eléggé szgorú feltételek mellett sem lehet valamely standard eloszlással egyértelműen leírn. 5 Ezért egzakt tesztelésére sncs alkalmas módszer, ám az elmondottakból egy dolog mégs nylvánvalóan kderül. Ha az R mntáról mntára ngadozk, a lényeges kérdés az lehet, hogy valamely konkrét esetben a determnácós együttható valóban 0-e, és csak a mntában tűnk 0-tól különbözőnek, avagy valóban sokaság sznten (szgnfkáns mértékben) s különbözk 0- tól. Jóllehet az eloszlásra nézve semmféle érdemleges eredmény nncs a brtokunkban, az ntutíve könnyen belátható, hogy nagyon kcs R -ek esetén sokkal nkább várható az, hogy azok csak a mnta sajátossága következtében vesznek fel 0-tól különböző értéket, mntsem az, hogy ez nagyobb R -ek esetén következk be. Ez smét a nagyon ks R -ek veszélyere hívja fel a fgyelmet. ZÁRÓKÖVETKEZTETÉSEK Az elmondottakat összegezve a következőkben látom a Moksony Ferenccel való vtában kemelendő pontokat: mondanvalójának azzal a részével, mszernt hbás elképzelés az, ha valak a modellek használhatóságát, jóságát egyedül az R mutató magas értékevel azonosítja, tökéletesen egyetértek; 5 Thel (1971) ezzel kapcsolatban déz Wshart eredményet, amelyek multnormáls modell feltételezése esetén s csak nehezen kezelhető, közelítő eredményeket adnak.

13 A DETERMIÁCIÓS EGYÜTTHATÓRÓL 765 nem értek ugyanakkor egyet azzal a megállapítással, mszernt a nagy R az előrejelzések esetén lényeges, a modellek értékelésénél és a modellépítésnél nem; ez utóbb álláspontomat azzal támasztottam alá, hogy bemutattam az R több lehetséges értelmezését, olyan transzformácót, amelyeket a modellépítés különböző pontjan kterjedten használnak; a nagyon ks R -ekkel rendelkező modellek külön problémát jelentenek, ugyans a) a nagyon sok megmagyarázatlan hatás kérdésessé tesz a csekély megmaradó eredményt, tesztelés esetén mndenképpen hátrányos helyzetbe kerülnek az lyen modellek (természetesen többnyre akkor, ha egymás ellen, nem pedg egy el- képzelt, de nem smert valóság ellen tesztelünk); b) a fontos R modellválasztás krtérum-mutató ekkor negatívvá, és ezáltal használhatatlanná válhat; c) gyanítható, hogy a nagyon ks mntabel R esetén a sokaság R = 0, ezért az egész modell értelmét veszt. Mndent összevetve, az R gen sok összefüggésben megjelenő, sznte központ fontosságú dagnosztka mutató, még akkor s, ha az utóbb években szerepe átértékelődött. Természetesen nem szabad fetszáln, de kellő óvatossággal használn lehet és kell, hszen nagymértékben segít a modellépítés munkáját. agyon kcs értéke veszélyeket hordoznak, ezért bár a nagy R önmagában nem jelent azt, hogy a modell jó, a kcs nagy valószínűséggel azt jelz, hogy a modell rossz. Lehet, hogy a kcs néha szép, de többnyre nem jó. IRODALOM BUKODI ERZSÉBET RÓBERT PÉTER (1999): A nők munkaerő-pac részvétele és a gyermekvállalás. Statsztka Szemle, 77. évf. 4. sz old. CHAREMZA, W. DEADMA, D. F.(1997): ew Drectons n Econometrc Practce ( nd ed.). Elgar P. Lm, Cheltenham. FÉYES HAJALKA (1999): Kísérletek az egyenlőtlenségek csökkentésére a felsőoktatásban. Statsztka Szemle, 78. évf. 3. sz old. HUYADI LÁSZLÓ MUDRUCZÓ GYÖRGY VITA LÁSZLÓ (1996): Statsztka. AULA, Budapest. LEAMER, L. (1978): Specfcaton Searches. Wley & Sons. Inc., ew York. MADDALA, G. S. (1988): Introducton to Econometrcs. Macmllan P.C., ew York. MOKSOY FEREC (1998): A kcs szép. A determnácós együttható értelmezése és használata a szocológa kutatásban. Szocológa Szemle, 77. évf. 4. sz old. MUDRUCZÓ GYÖRGY(1981) : Alkalmazott regresszószámítás. Akadéma Kadó, Budapest. RAMAATHA, R. (1993): Statstcal Methods n Econometrcs, Academc Press, San Dego. RÓBERT PÉTER (1998): Kk azok a vállalkozók? Közgazdaság Szemle, XLVI. évf. 5. sz old. THEIL, H. (1971.): Prncples of Econometrcs. Wley & Sons Inc., ew York. SUMMARY Accordng to some vews the coeffcent of determnaton of the multple regresson models has many defcences whch do not allow ts applcaton n a wde range of problems. Debatng wth these vews the paper summarses the advantageous features of the coeffcent of determnaton and shows ts central role n regresson analyss. The study hghlghts the propertes of ths measure n the descrptve statstcs, ts relaton to the dfferent model selecton crtera, to the AOVA F-test, and asymptotc tests as well. The concluson of the paper s that n spte of the dangers of msuse of ths ndcator, ts applcaton n regresson model-buldng s nevtable. Extremely small values of ths measure whch often occur n models of socology, may ndcate serous problems of the underlyng model.

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet:

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet: Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek!

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! SPEC 2009-2010. II. félév Statsztka II HÁZI dolgozat Név:... Neptun kód: 20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! 1. példa Egy üzemben tejport csomagolnak zacskókba,

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom Lneárs regresszó Statsztka I., 4. alkalom Lneárs regresszó Ha két folytonos változó lneárs kapcsolatban van egymással, akkor az egyk segítségével elıre jelezhetjük a másk értékét. Szükségünk van a függı

Részletesebben

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege A multkrtérumos elemzés célja, alkalmazás területe, adat-transzformácós eljárások, az osztályozás eljárások lényege Cél: tervváltozatok, objektumok értékelése (helyzetértékelés), döntéshozatal segítése

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése

Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése Mûhel Tóth Zoltán docens, Károl Róbert Főskola E-mal: zol@karolrobert.hu Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése A nemlneárs regresszós és trendfüggvének llesztésekor számos esetben alkalmazzuk

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kdolgozott feladatok a nemparaméteres statsztka témaköréből A táékozódást mndenféle színkódok segítk. A feladatok eredet szövege zöld, a megoldások fekete, a fgyelmeztető, magyarázó elemek pros színűek.

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata Mnősítéses mérőrendszerek képességvzsgálata Vágó Emese, Dr. Kemény Sándor Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Kéma és Környezet Folyamatmérnök Tanszék Az előadás vázlata 1. Mnősítéses mérőrendszerek

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i . konzult. LEV. 013. ápr. 5. MENNYISÉGI ISMÉRV szernt ELEMZÉS Tk. 3-8., 88-90. oldal, kmarad: 70., 74. oldal A mennység smérv (X) lehet: dszkrét és folytonos. A rangsor a mennység smérv értékenek monoton

Részletesebben

Darupályák ellenőrző mérése

Darupályák ellenőrző mérése Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza

Részletesebben

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal

Részletesebben

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok Műszak folyamatok közgazdaság elemzése Kevert stratégák és evolúcós átékok Fogalmak: Példa: 1 szta stratéga Vegyes stratéga Ha m tszta stratéga létezk és a 1 m annak valószínűsége hogy az - edk átékos

Részletesebben

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Tanulmányok Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzés módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Hajdu Tamás, az MTA Közgazdaságés Regonáls Tudomány Kutatóközpont Közgazdaságtudomány

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

Statisztika feladatok

Statisztika feladatok Statsztka ok Informatka Tudományok Doktor Iskola Bzonyítandó, hogy: azaz 1 Tekntsük az alább statsztkákat: Igazoljuk, hogy torzítatlan statsztkák! Melyk a leghatásosabb közöttük? (Ez az együttes eloszlásfüggvényük.)

Részletesebben

Adatelemzés és adatbányászat MSc

Adatelemzés és adatbányászat MSc Adatelemzés és adatbányászat MSc. téma Adatelemzés, statsztka elemek áttekntése Adatelemzés módszertana probléma felvetés módszer, adatok meghatározása nyers adatok adatforrás meghatározása adat tsztítás

Részletesebben

(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus)

(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus) Valószínűségszámítás Valószínűség (probablty) 0 és 1 között valós szám, amely egy esemény bekövetkezésének esélyét fejez k: 0 - (sznte) lehetetlen, 0.5 - azonos eséllyel gen vagy nem, 1 - (sznte) bztos

Részletesebben

Kísérlettervezési alapfogalmak:

Kísérlettervezési alapfogalmak: Kísérlettervezés alapfogalmak: Tényező, faktor (factor) független változó, ható tényező (kezelés, gyógyszer, takarmány, genotípus, élőhely, stb.) amnek hatását a kísérletben vzsgáln vagy összehasonlítan

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgyból Lineáris regresszió, ismétlés nélküli mérések

Gyakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgyból Lineáris regresszió, ismétlés nélküli mérések Gakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgból Lneárs regresszó, smétlés nélkül mérések 1. példa Az alább táblázat eg kalbrácós egenes felvételekor mért adatokat tartalmazza: x 1.8 3

Részletesebben

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató

Részletesebben

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László adat Távközlés és Médanformatka Tanszék Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Eurecom Telecom Pars Elosztott rendszerek játékelmélet elemzése: tervezés és öszönzés Toka László Tézsfüzet Témavezetők:

Részletesebben

ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június

ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június ÖKONOMETRIA Készült a TÁMOP-4..-08//A/KMR-009-004pálázat projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudomán Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudomán Tanszék az MTA Közgazdaságtudomán Intézet

Részletesebben

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Közlekedésmérnök és Járműmérnök Kar Közlekedésüzem Tanszék HÁLÓZATTERVEZÉSI MESTERISKOLA BEVEZETÉS A KÖZLEKEDÉS MODELLEZÉSI FOLYAMATÁBA Dr. Csszár Csaba egyetem

Részletesebben

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár Balogh Edna Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetem tanár Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Építőmérnök Kar 202 . Bevezetés,

Részletesebben

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1, Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Koncentráció és mérése gazdasági és társadalmi területeken. Kerékgyártó Györgyné BCE Statisztika Tanszék

Koncentráció és mérése gazdasági és társadalmi területeken. Kerékgyártó Györgyné BCE Statisztika Tanszék Koncentrácó és mérése gazdaság és társadalm területeken Kerékgyártó Györgyné BCE Statsztka Tanszék Koncentrácó Fogalmát a XVIII. sz. másodk felétől egyre gyakrabban használták. Először a termelésre értelmezték,

Részletesebben

HAVRAN DÁNIEL. Pénzgazdálkodási szokások hatása a működőtőkére. A Magyar Posta példája

HAVRAN DÁNIEL. Pénzgazdálkodási szokások hatása a működőtőkére. A Magyar Posta példája HAVRAN DÁNIEL Pénzgazdálkodás szokások haása a működőőkére. A Magyar Posa példája A hálózaos parágakban, ahogy a posa szolgálaásoknál s, a forgalomban lévő készpénz nagyméreű működőőké jelenhe. A Magyar

Részletesebben

Szerven belül egyenetlen dóziseloszlások és az LNT-modell

Szerven belül egyenetlen dóziseloszlások és az LNT-modell Szerven belül egyenetlen dózseloszlások és az LNT-modell Madas Balázs Gergely, Balásházy Imre MTA Energatudomány Kutatóközpont XXXVIII. Sugárvédelm Továbbképző Tanfolyam Hunguest Hotel Béke 2013. áprls

Részletesebben

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Berzseny Dánel Főskola ÁLTALÁNOS STATISZTIKA műszak menedzser alapszak Írta: Dr. Köves János Tóth Zsuzsanna Eszter Budapest 006 Tartalomjegyzék. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK... 4.. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

Részletesebben

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

STATISZTIKA III. Oktatási segédlet

STATISZTIKA III. Oktatási segédlet MISKOLCI EGYETEM Gazdaságtudomány Kar Üzlet Informácógazdálkodás és Módszertan Intézet Üzlet Statsztka és Előrejelzés Tanszék STATISZTIKA III. Oktatás segédlet 003. MISKOLCI EGYETEM Gazdaságtudomány Kar

Részletesebben

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA A Ga-B OLVADÉK TRMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA Végh Ádám, Mekler Csaba, Dr. Kaptay György, Mskolc gyetem, Khelyezett Nanotechnológa tanszék, Mskolc-3, gyetemváros, Hungary Bay Zoltán Közhasznú Nonproft kft.,

Részletesebben

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II. NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa

Részletesebben

PhD értekezés. Gyarmati József

PhD értekezés. Gyarmati József 2 PhD értekezés Gyarmat József 2003 3 ZRÍNYI MIKLÓS NEMZETVÉDELMI EGYETEM Hadtechnka és mnõségügy tanszék PhD értekezés Gyarmat József Többszempontos döntéselmélet alkalmazása a hadtechnka eszközök összehasonlításában

Részletesebben

The original laser distance meter. The original laser distance meter

The original laser distance meter. The original laser distance meter Leca Leca DISTO DISTO TM TM D510 X310 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - -

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:

Részletesebben

Összegzés a 92/2011.(XII.30.) NFM rendelet 9. melléklete alapján

Összegzés a 92/2011.(XII.30.) NFM rendelet 9. melléklete alapján NEMZETBIZTONSÁGI SZAKSZOLGÁLAT GAZDASÁGI VEZETŐ 1399 Budapest 62. Pf.: 710/4-2. Ikt.sz.: 30700/21293- /2015. 1. számú példány Összegzés a 92/2011.(XII.30.) NFM rendelet 9. melléklete alapján 1. Az ajánlatkérő

Részletesebben

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor MISKOLCI EGYETEM Gépgyártástechnológa Tanszék Mskolc - Egyetemváros ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET Összeállította: Dr. Szabó Sándor A orgácsoló megmunkálásokhoz

Részletesebben

Varianciaanalízis. Egytényezős kísérletek (Más néven: egyutas osztályozás, egyszempontos varianciaanalízis ANOVA)

Varianciaanalízis. Egytényezős kísérletek (Más néven: egyutas osztályozás, egyszempontos varianciaanalízis ANOVA) Varancaanalízs A varancaanalízs során kettőnél több sokaság középértékenek mnta alapán történő összehasonlítása történk zért nevezk a kétmntás t-próba általánosításának A nullhpotézs eldöntéséhez használuk

Részletesebben

A sokasági értékösszeg becslése a könyvvizsgálatban

A sokasági értékösszeg becslése a könyvvizsgálatban Tanulmányok A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban Lolbert Tamás, az Állam Számvevőszék számvevője, a Budapest Corvnus Egyetem PhD-hallgatója E-mal: lolbertt@asz.hu A tanulmány célja, hogy áttekntést

Részletesebben

Keresztkorreláció vizsgálata statisztikai teszttel

Keresztkorreláció vizsgálata statisztikai teszttel SZAKDOLGOZAT Keresztkorrelácó vzsgálata statsztka teszttel Készítette: Balogh Bertalan kéma BSc szakos hallgató Témavezető: Tóth Gergely egyetem docens Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudomány

Részletesebben

OKTATÁSGAZDASÁGTAN. Készítette: Varga Júlia Szakmai felelős: Varga Júlia június

OKTATÁSGAZDASÁGTAN. Készítette: Varga Júlia Szakmai felelős: Varga Júlia június OKTATÁSGAZDASÁGTAN Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázat projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudomány Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudomány Tanszék az MTA Közgazdaságtudomány

Részletesebben

KARSZTFEJLŐDÉS XVI. Szombathely, 2011. pp. 247-260. A MISKOLCI EGYETEMI KÚT MÉRT PARAMÉTEREINEK ELEMZÉSE MODERN GEOMATEMATIKAI MÓDSZEREKKEL

KARSZTFEJLŐDÉS XVI. Szombathely, 2011. pp. 247-260. A MISKOLCI EGYETEMI KÚT MÉRT PARAMÉTEREINEK ELEMZÉSE MODERN GEOMATEMATIKAI MÓDSZEREKKEL KARSZTFEJLŐDÉS XVI. Szombathely, 011.. 47-60. A MISKOLCI EGYETEMI KÚT MÉRT PARAMÉTEREINEK ELEMZÉSE MODERN GEOMATEMATIKAI MÓDSZEREKKEL DARABOS ENIKŐ-SZŰCS PÉTER Mskolc Egyetem, Műszak Földtudomány Kar,

Részletesebben

Tiszta és kevert stratégiák

Tiszta és kevert stratégiák sza és kever sraégák sza sraéga: Az -edk áékos az sraégá és ez alkalmazza. S sraégahalmazból egyérelműen válasz k egy eknsük a kövekező áéko. Ké vállala I és II azonos erméke állí elő. Azon gondolkodnak,

Részletesebben

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet

Részletesebben

Bevezetés a kémiai termodinamikába

Bevezetés a kémiai termodinamikába A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal

Részletesebben

RENDSZERSZINTŰ TARTALÉK TELJESÍTŐKÉPESSÉG TERVEZÉSE MARKOV-MODELL ALKALMAZÁSÁVAL I. Rendszerszintű megfelelőségi vizsgálat

RENDSZERSZINTŰ TARTALÉK TELJESÍTŐKÉPESSÉG TERVEZÉSE MARKOV-MODELL ALKALMAZÁSÁVAL I. Rendszerszintű megfelelőségi vizsgálat ENDSZESZINTŰ TATALÉK TELJESÍTŐKÉPESSÉG TEVEZÉSE MAKOV-MODELL ALKALMAZÁSÁVAL I. endszerszntű megfelelőség vzsgálat Dr. Fazekas András István okl. gépészmérnök Magyar Vllamos Művek Zrt. Budapest Műszak és

Részletesebben

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter TM Leca DISTO Leca DISTOTMD510 X10 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - - -

Részletesebben

5. Forráskódolás és hibavédő kódolás

5. Forráskódolás és hibavédő kódolás 5 Forráskódolás és hbavédő kódolás 51 Példa: forráskódolás Egy (szmbólumonként kódolt) forrás legtömörebb bnárs kódjában a kódszavak hossza rendre 2,3,3,3,3,4,4,4,5,5 a) Lehet-e ez a kód egyértelműen megfejthető

Részletesebben

OLS regresszió - ismétlés Mikroökonometria, 1. hét Bíró Anikó A tantárgy tartalma

OLS regresszió - ismétlés Mikroökonometria, 1. hét Bíró Anikó A tantárgy tartalma OLS regresszó - smétlés Mroöonometra,. hét Bíró Anó A tantárg tartalma Leggaorbb mroöonometra problémá és azo ezeléséne megsmerése Egén vag vállalat adato Keresztmetszet és panel elemzés Vállalat, pacelemzés

Részletesebben

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája Egy koncentrált paraméterű, ellenállással és nduktvtással jellemzett tekercs Uáll feszültségre kapcsolásakor az

Részletesebben

A gabonavertikum komplex beruházás-elemzés módszertani fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre

A gabonavertikum komplex beruházás-elemzés módszertani fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre A gabonavertkum komplex beruházás-elemzés módszertan fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre 1. Bevezetés A gabonavertkum komplex beruházás-elemzés módszertan fejlesztése

Részletesebben

Ötvözetek mágneses tulajdonságú fázisainak vizsgálata a hiperbolikus modell alkalmazásával

Ötvözetek mágneses tulajdonságú fázisainak vizsgálata a hiperbolikus modell alkalmazásával AGY 4, Kecskemét Ötvözetek mágneses tulajdonságú fázsanak vzsgálata a hperbolkus modell alkalmazásával Dr. Mészáros István egyetem docens Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Anyagtudomány és Technológa

Részletesebben

MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA

MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA Kutatás téma 2002 2005. Nylvántartás szám: T0 37555 TARTALOMJEGYZÉK 1. Kutatás célktűzések... 2 2.

Részletesebben

Pénzügyi menedzsment

Pénzügyi menedzsment Pénzügy menedzsment Várható hozam és kockázat mérése uvárható hozam mérése számtan átlag mértan átlag medán módusz ukockázat mérése medán abszolút eltérés szórás ferdeség Egy portfóló hozamanak torzult

Részletesebben

Foglalkoztatáspolitika. Modellek, mérés.

Foglalkoztatáspolitika. Modellek, mérés. Foglalkoztatáspoltka. Modellek, mérés. Galas Péter Budapest, 20 Galas Péter, 20 Kézrat lezárva: 20. júnus Bevezetés A tananyag célja a foglalkoztatáspoltka közgazdaságtan szempontú elemzésében és értékelésében

Részletesebben

Indexszámítás során megválaszolandó kérdések. Hogyan változott a termelés értéke, az értékesítés árbevétele, az értékesítési forgalom?

Indexszámítás során megválaszolandó kérdések. Hogyan változott a termelés értéke, az értékesítés árbevétele, az értékesítési forgalom? Index-számítás Indexszámítás során megálaszolandó kérdések Hogyan áltozott a termelés értéke, az értékesítés árbeétele, az értékesítés forgalom? Hogyan áltozott a termelés, értékesítés mennysége? Hogyan

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Die Sensation in der Damenhygiene Hasznos információk a tamponokról www.123goodbye.com

Die Sensation in der Damenhygiene Hasznos információk a tamponokról www.123goodbye.com nokról tampo a k ácó form n s no Hasz Mért használnak tamponokat? A tampon szó francául és a szó szernt fordításban dugó. Már a szó s sokat mond. A tamponok körülbelül öt centméteres rudak, amely közel

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

VEZÉRIGAZGATÓI UTASÍTÁS

VEZÉRIGAZGATÓI UTASÍTÁS Követeléskezelés Szabályzat Sgma Követeléskezelı Zrt. A Sgma Követeléskezelı Zrt. tevékenység köre A Sgma Követeléskezelı Zrt. 1923-ban, részvénytársaság formában került bejegyzésre, magánosítására 1988.

Részletesebben

Gráfelméleti megközelítés rendszerek strukturális modellezésére (A holográfia elv kiterjesztése általános rendszerekre) Bevezetés

Gráfelméleti megközelítés rendszerek strukturális modellezésére (A holográfia elv kiterjesztése általános rendszerekre) Bevezetés D é n e s T a m á s matematkus e-mal: tdenest@freemal.hu Gráfelmélet megközelítés rendszerek strukturáls modellezésére (A holográfa elv kteresztése általános rendszerekre) Bevezetés Jelen dolgozatom céla,

Részletesebben

ADATREDUKCIÓ I. Középértékek

ADATREDUKCIÓ I. Középértékek ADATREDUKCIÓ I. Középértékek Adatredukcó 1. M a középérték: azonos fajta számszerű adatok közös jellemzője. 2. Követelmények: a) Számított középérték: közbenső helyet foglaljanak el, azaz x mn középérték

Részletesebben

7.2. A készségek és az oktatás jövedelemben megtérülő hozama

7.2. A készségek és az oktatás jövedelemben megtérülő hozama 7.2. A készségek és az oktatás jövedelemben megtérülő hozama A neoklasszikus közgazdasági elmélet szerint a termelés végső értékéhez jobban hozzájáruló egyének számára elvárt a magasabb kereset. Sőt, mi

Részletesebben

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet II. Rákócz Ferenc Kárátalja Magyar Fıskola Patak Gábor STATISZTIKA I. Jegyzet 23 Tartalomjegyzék evezetés... 3 I. Statsztka alafogalmak... 4. Statsztka kalakulása, tudománytörténet összefüggése... 4.2

Részletesebben

KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY POROSIMETRY DATA

KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY POROSIMETRY DATA Műszak Földtudomány Közlemények, 84. kötet,. szám (03), pp. 63 69. KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

Regresszió és korreláció

Regresszió és korreláció Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 01.11.1 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés

Részletesebben

BELSŐ GAZDASÁGOSSÁG A TERMELÉSI FOLYAMATBAN

BELSŐ GAZDASÁGOSSÁG A TERMELÉSI FOLYAMATBAN Kss Ferenc László BELSŐ GAZDASÁGOSSÁG A TERMELÉSI FOLYAMATBAN A szerzőnek a Verseny és szabályozás első kötetében 2007-ben megjelent sorozatndító ckke a szabályozás gazdaságtana történelmének és főbb témának

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval

Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Szárítás során kalakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Rajkó Róbert 1 Eszes Ferenc 2 Szabó Gábor 1 1 Szeged Tudományegyetem, Szeged Élelmszerpar Főskola Kar Élelmszerpar Műveletek és Környezettechnka

Részletesebben

Autópálya forgalom károsanyag kibocsátásának modellezése és szabályozása

Autópálya forgalom károsanyag kibocsátásának modellezése és szabályozása Autópálya forgalom árosanyag bocsátásána modellezése és szabályozása Csós Alfréd Budapest, 00. Köszönetnylvánítás Ezúton szeretné öszönetet mondan onzulensemne, Varga Istvánna, atől ezdettől fogva rengeteg

Részletesebben

Réthy Zsolt GYÁRTÁSI FOLYAMATOK OPTIMALIZÁLÁSA A MINŐSÉGÜGYBEN ALKALMAZOTT KOMPROMISSZUMMODELLEK. Doktori (PhD) értekezés

Réthy Zsolt GYÁRTÁSI FOLYAMATOK OPTIMALIZÁLÁSA A MINŐSÉGÜGYBEN ALKALMAZOTT KOMPROMISSZUMMODELLEK. Doktori (PhD) értekezés Réthy Zsolt GYÁRTÁSI FOLYAMATOK OPTIMALIZÁLÁSA A MINŐSÉGÜGYBEN ALKALMAZOTT KOMPROMISSZUMMODELLEK FELHASZNÁLÁSÁVAL Doktor (PhD) értekezés Témavezető: Dr. Erdély József DSc. egyetem tanár Nyugat-Magyarország

Részletesebben

OPTIMALIZÁLT LÉPÉSKÖZŰ NEWTON-RAPHSON ALGORITMUS EHD FELADAT MEGOLDÁSÁHOZ

OPTIMALIZÁLT LÉPÉSKÖZŰ NEWTON-RAPHSON ALGORITMUS EHD FELADAT MEGOLDÁSÁHOZ Multdszcplnárs tudományok, 3. kötet. (013) 1. sz. pp. 97-106. OPTIMALIZÁLT LÉPÉSKÖZŰ NEWTON-RAPHSON ALGORITMUS EHD FELADAT MEGOLDÁSÁHOZ Száva Szabolcs egyetem adjunktus, Mskolc Egyetem, Anyagszerkezettan

Részletesebben

BÍRÓSÁGI INDEXEK* KOVACSICSNÉ NAGY KATALIN

BÍRÓSÁGI INDEXEK* KOVACSICSNÉ NAGY KATALIN STATSZTKA ELEMZÉSEK ÍRÓSÁG NDEXEK* KOVACSCSNÉ NAGY KATALN A bűnözés és az ítélkezés gyakorlat vzsgálatát az tesz dőszerűvé, hogy Magyarországon a bűnözés mértéke az elmúlt tíz évben rohamosan emelkedett,

Részletesebben

A z i személyről a saját X i ( t)

A z i személyről a saját X i ( t) AZ ÉLETTARTAMOK STATISZTIKÁJA RADNÓTI LÁSZLÓ A szerző az élettartamok statsztkájának különféle területet mutatja be a valószínűségszámításban és a matematka statsztkában tájékozott olvasóknak. A halandóság

Részletesebben

Közúti közlekedésüzemvitel-ellátó. Tájékoztató

Közúti közlekedésüzemvitel-ellátó. Tájékoztató 12/2013. (III. 29.) NFM rendelet szakma és vzsgakövetelménye alapján. Szakképesítés, azonosító száma és megnevezése 54 841 02 Közút közlekedésüzemvtel-ellátó Tájékoztató A vzsgázó az első lapra írja fel

Részletesebben

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem Makroökonóma 2. személyes konzultácó Szécheny István Egyetem Gazdálkodás szak e-learnng képzés Összeállította: Farkas Péter 1 A tananyag felépítése (térkép) Ön tt áll : MAKROEGENSÚL Inflácó, munkanélkülség,

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

11. előadás PIACI KERESLET (2)

11. előadás PIACI KERESLET (2) . előadás PIACI KERESLET (2) Kertes Gábor Varan 5. feezete erősen átdolgozva . Állandó rugalmasságú kereslet görbe Olyan kereslet görbe, amt technkalag könnyű kezeln. Ezért szeretk a közgazdászok. Hogyan

Részletesebben

Korreláció és lineáris regresszió

Korreláció és lineáris regresszió Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.

Részletesebben