OPTIMÁLIS ERŐFORRÁS-TERVEZÉS

Átírás

1 KOSZTYÁN ZSOLT TIBOR 9 OPTIMÁLIS ERŐFORRÁS-TERVEZÉS BEVEZETÉS Egy (beruházás, nnovácós stb.) proekt megvalósításánál három fontos szempontot kell szem előtt tartanunk: a lehető legrövdebb dő alatt, a lehető legksebb költséggel kell a proektet megvalósítanunk úgy, hogy a rendelkezésre álló erőforrásankat (munkaerő, anyagok, gépek stb.) ne lépük túl. [] Mért s fontos, hogy a lehető legrövdebb dő alatt és a lehető legksebb költséggel valósítsuk meg a proektet? Ha egy beruházás megvalósítására több cég vagy szervezet pályázk, akkor általában annak a pályázónak van nagyobb esélye a kírt tender elnyerésére, ak hamarabb és kevesebb költséggel tuda a beruházást megvalósítan. Ezt a problémát már a hatvanas-hetvenes években hálótervezés (pl. CPM, MPM, PERT), ütemezés (pl. Gantt-dagramok, LOB) és ezekhez tartozó költség-optmalzácós elárásokkal (pl. CPM/COST, MPM/COST, PERT/COST) kezeln tudták. A legnagyobb problémát az erőforrások kezelése elentette. A megvalósítás során az erőforrások kezelésétől nem teknthetünk el, hszen egy proekt esetén a rendelkezésre álló erőforrásank szűkösek. Meghatározott létszámú munkaerővel, géppel stb. dolgozhatunk. [, 4] Ha azt szeretnénk, hogy a lehető legrövdebb dő alatt, a lehető legksebb költséggel valósítsuk meg a proektet vagy a beruházást úgy, hogy a rendelkezésre álló erőforrásankat (munkaerő, anyagok, gépek stb.) ne lépük túl, és az erőforrásankat a lehető legobban használuk fel, akkor könnyen (akár már elvégzendő tevékenység esetén s) olyan nehéz problémához uthatunk, amelyet a ma számítástechnka programok csak nagyon nehezen tudnak megoldan. [9] A problémát tovább bonyolíta, hogy pl. egy beruházás megvalósítása során az elvégzendő tevékenységek megvalósítás deét (lefutás deét), (változó)költség-gényét, erőforrás szükségletét csak becsüln tuduk. A következő tanulmányban egy olyan módszert mutatunk be, mellyel tetszőleges proekt (költség-, erőforrásgény-, dő)optmáls erőforrás-allokácóát lehet meghatározn fgyelembe véve az egyes paraméterek becslésének bzonytalanságát s. A bemutatott módszereket széles körben lehet mad alkalmazn a proektmenedzsmentben, erőforrás-tervezésben, logsztkában, egyed termékek gyártásában. ERŐFORRÁS-ALLOKÁCIÓ: MEGENGEDETT MEGOLDÁS, OPTIMÁLIS MEGOLDÁS KERESÉSE A számítástechnka felődésével lehetőség nyílt olyan problémák megoldására s, amelyek megoldása korábban elképzelhetetlenek tűnt. Ilyen probléma volt az erőforrás-elosztás kérdése s. Proektmenedzsmentben, logsztkában kétfata erőforrás-tervezéssel, erőforrás-allokácóval foglalkozunk attól függően, hogy mt tekntünk erősebb korlátnak. Időkorlátos erőforrás-allokácónak nevezzük azt az erőforrás tervezést, amkor az erőforrásankat úgy kell csoportosítan, hogy az adott proektet vagy beruházást egy adott dőkorlát alatt végre lehessen hatan. Itt tehát a korlátot elsődlegesen az dőkeret ada, a cél pedg: mnél kevesebb vagy mnél egyenletesebb erőforrás-felhasználás. 9 Veszprém Egyetem Szervezés és Vezetés Tanszék PhD hallgató. 498

2 Ezzel szemben az erőforrás-korlátos erőforrás-allokácónál a korlátot a meglévő erőforrásank szolgáltaták. Ezt az erőforrás-korlátot tehát nem léphetük túl, a célunk pedg: a program végrehatása a lehető legrövdebb dő alatt. [8] Számos esetben a beruházó cégek megelégszenek egy ún. megengedett megoldás megtalálásával, vagys egy olyan ütemtervvel, ahol a megvalósítás során a rendelkezésre álló erőforrásankat vagy dőkeretünket nem lépük túl. Egy lyen megengedett megoldás néhány tevékenység esetén kézzel, több tevékenység esetén számítástechnka szoftverekkel (pl. Mcrosoft Proect, CA-SuperProect, Prmavera stb.) vszonylag könnyen megtalálható. Egy lyen ún. megengedett erőforrás-allokácó esetén azonban sokszor számos probléma merülhet fel. Számos esetben fontos lehet, hogy az erőforrásankat vszonylag egyenletesen használuk fel, vagy a tevékenységeket a lehető legkorábban végrehatsuk stb. Ezeket a kívánalmakat célként (célfüggvényként) fogalmazhatuk meg. Egy erőforrás-allokácós probléma (adott célfüggvényre nézve) optmáls megoldása egy olyan megengedett ütemterv lenne, amely az adott célt legobban kelégít (vagy másképpen a célfüggvény értéke ebben az esetben mnmáls/maxmáls). Általában s elmondható, hogy egy probléma megoldására használt módszereket három csoportba oszták. Heursztkus módszerek Evolúcós módszerek Algortmkus módszerek A heursztkus módszerekre ellemző, hogy hamar adnak gyors megoldást, melyek vszonylag ól használhatók, de legtöbbször nem garantálák az optmáls megoldás megtalálását. Az lyen algortmusok valamlyen ól bevált tapasztalat módszereket követnek. Az algortmkus módszerek ezzel szemben garantálák az optmáls megoldást, ennek ára vszont az, hogy általában óval lassabbak a heursztkus módszereknél. Az evolúcós módszerek a kettő közt átmenetet képvselk. Egy heursztkus módszer által megadott megengedett megoldásból ndulnak, amelyet fokozatosan avítanak. Hátrányuk ugyanaz, mnt a heursztkus megoldásoknak, vagys nem garantált az optmáls megoldás megtalálása véges lépésben. Erőforrás-tervezésre leggyakrabban a ma napg heursztkus elárásokat használnak. Ennek az az oka, hogy bzonyos (0 000) tevékenységszám és néhány (5-0) erőforrástípus esetén a probléma kezelhetetlenné válk. A ma számítástechnka telesítmény ellenére s gyakran az optmáls megoldás megtalálása reménytelen feladat. Az optmumkereső algortmusok másk nagy hányossága, hogy a közbenső megoldása általában nem megengedettek. Ha tehát a feladat annyra bonyolult, hogy valószínűsíthető, hogy az adott erőforrás-tervezés problémát nem tuduk meghatározott dőn belül megoldan, akkor nem tuduk megállítan a keresést, és az eddg legobb megoldást elfogadn, mert az sem garantált, hogy ez a megoldás egyáltalán megvalósítható (megengedett erőforrás-allokácó) lesz. [0] Az erőforrás-tervezés során használt evolúcós elárások knduló megoldása ugyan lehetnek megengedettek, de tt sem garantált, hogy a közbenső lépések megengedettek lesznek. Munkám során erőforrás-korlátos erőforrás-allokácóval foglalkoztam. Az általam kdolgozott módszer egy megengedett erőforrás-allokácóból ndul. Mnden lépésben avítva azt egy adott célfüggvénynek megfelelően (pl. egyenletes erőforrás-khasználás, lehető legkorább kezdés stb.), amíg el nem utunk egy optmáls megoldáshoz úgy, hogy a közbenső lépések s megengedettek legyenek. Amennyben a proekt működése közben az erőforráskorlát, vagy a tevékenységek erőforrásgénye, lefutás dee megváltozk, a avasolt módszer segítségével meghatározható egy ú termelés program a még futó, lletve a még el nem kezdett tevékenységekre. Az elárás segítségével olyan proektre s meghatározható várható átfutás dő, költség- lletve erőforrásgény, ahol a tevékenységek lefutás deét, költség-, lletve erőforrásgényét csak becsüln tuduk. Ezzel a módszerrel több párhuzamosan működő proektet optmalzálhatunk, lletve többféle erőforrás egydeű kezelését valósíthatuk meg. Kezeln tuduk továbbá a fel nem használt erőforrásokat s. 499

3 ERŐFORRÁS-ALLOKÁCIÓ, MEGENGEDETT MEGOLDÁSBÓL OPTIMÁLIS MEGOLDÁS KERESÉSE Az általam kfelesztett módszer tehát az erőforrás-allokácós probléma megengedett megoldásából ndul k. Megengedett megoldást szolgáltathat, pl. a Magyarországon kfelesztett ERALL-módszer, a soros vagy párhuzamos allokácó. Szoftveres úton s kereshetünk megengedett megoldást pl. a Mcrosoft Proect programa segítségével. A módszer egy adott célfüggvényre keres optmáls megoldást, melyet előre rögzítenünk kell (pl. lehető legkorább kezdés, kegyenlített erőforrás-felhasználás stb.). [8] A módszer smertetéséhez előbb néhány az ütemezésben használt alapfogalmat kell áttekntenünk. Bzonyos tevékenységeket párhuzamosan, bzonyos tevékenységeket pedg csak egymás után végezhetünk (pl. egy ház alapának kásása meg kell hogy előzze az alap betonnal való köntését). Amkor előíruk, hogy egy tevékenységet mlyen más tevékenység követhet, akkor tuladonképpen egy rákövetkezés relácót határozunk meg. Ha meghatároztuk a megvalósításhoz szükséges tevékenységeket, megállapítottuk a rákövetkezés relácókat, akkor felrazolhatunk egy ún. logka hálót. Ez a háló megmutata a tevékenységek közt logka kapcsolatokat (rákövetkezés relácókat). Ezután meg kell határoznunk, vagy meg kell becsülnünk a tevékenységek (várható) lefutás deét. Ezután egy ütemezés módszerrel (pl. CPM, PERT, MPM stb.) meghatározhatuk a teles proekt átfutás deét. A módszerek segítségével kszámíthatuk, hogy egy adott tevékenységnek mkor kell kezdődne, lletve befeeződne legkorábban, lletve legkésőbb. Azokat a tevékenységeket, melyek nem csúszhatnak (az ún. teles tartalékdeük, am nem más, mnt a legkésőbb kezdés a legkorább kezdés = 0), krtkus tevékenységeknek nevezzük. A program kezdésétől a befeezéség tartó krtkus tevékenységekből rákövetkezés relácóban álló tevékenységek sorát krtkus útnak nevezzük. Ez az út lesz a felrazolt hálóban a leghosszabb út. [] Az ütemezés feladat megoldása után meg kell határozn, vagy meg kell becsüln a tevékenységek végrehatásához szükséges erőforrásokat, lletve ezek mennységét. (pl. egy adott munka végrehatásához hány fő szükséges, mlyen anyagokat kell felhasználnunk, lletve mlyen berendezésekre van szükségünk.) Ha adott(ak) az erőforrás-korlát(ok), akkor keresnünk kell egy megengedett megoldást. Ebben az esetben egy olyan ütemtervet kapunk, amely során a teles proekt átfutás dee lehetőleg nem növekszk és a rendelkezésre álló erőforráskorlátot a program megvalósítása során egyszer sem lépük túl. Ezután meg kell határoznunk, hogy mlyen erőforrás-felhasználást szeretnénk megvalósítan, vagys meg kell határozn a célfüggvényt. Ha található megengedett megoldás, akkor található véges lépésben az adott célfüggvényre nézve legobb megoldás, amt a továbbakban az erőforrás-allokácós probléma adott célfüggvényre nézve optmáls megoldásának nevezünk. A módszer leegyszerűsített folyamatábráát láthatuk az alább ábrán. 500

4 Az ERALL-OPTm ódszer lépése Start Tevékenységek, rákövetkezés relácók m eghatározása Logka háló fe lra z o lá s a Tevékenységek d ő adatanak m eghatározása Ütem ezés (pl. C P M, M P M, PERT) Tevékenységek erő forrásgényenek, lletve az erő forráskorlát m eghatározása M egengedett m egoldás keresése n N n c s m egengedett m egoldás! Létezk m egengedett m egoldás? C élfüggvény m eghatározása O p tm á ls m egoldás keresése Adott célfüggvényre nézve optm áls m egoldás kíratása Stop Optmáls erőforrás-allokácó neghatározása ERALL-OPT segítségével ERŐFORRÁS-ALLOKÁCIÓ IDŐBEN VÁLTOZÓ KORLÁTOZÁS ESETÉN A gyakorlat életben sokszor a rendelkezésünkre álló erőforrások dőben nem állandóak. (Pl. ünnepnapokon lehet, hogy csak kevesebb munkásra számíthatunk.) Abban az esetben, amkor az erőforráskorlát dőben változk (pl. egy szakaszonként konstans függvény, és az erőforráskorlát függvényének csak véges sok helyen van szakadása), vssza lehet vezetn a feladatot az előző pontban tárgyalt (konstans erőforráskorláttal rendelkező) erőforrás-allokácós problémára. 50

5 Első lépésként megkeressük az erőforráskorlát maxmumát. Azokon a szakaszokon, ahol az erőforráskorlát-függvény értéke ksebb ennél, ott vezessünk be olyan látszat-erőforrásgényt, amelyeket semmképpen sem mozgathatunk el a megengedettmegoldás-keresésben. Rendezzük ezeket a látszaterőforrásgényeket az erőforrás-terhelés dagram alára. Ha létezk megengedett megoldás, akkor az algortmusunk megtalála az adott célfüggvényre nézve optmáls megoldást, hszen a látszat-erőforrásgényeket nem mozgattuk el a megengedett megoldás keresése során, így ezeket nem s optmalzáluk. A továbbakban az algortmus során a látszaterőforrásgényeket tevékenységként kezelük. TOVÁBBI ALKALMAZÁSOK (ON-LINE ÜTEMEZÉS, MEGSZAKÍTHATÓ TEVÉKENYSÉGEK) A megvalósítás során sokszor előfordul, hogy a már működő proektbe menet közben kell beavatkoznunk. Ennek több oka s lehet. Előfordulhat, hogy a proekt végrehatása közben bzonyos nehézségek lépnek fel. Például egy adott tevékenység a tervezettnél több erőforrást gényel, vagy éppen lefutás dee tovább tart, mnt arra számítottunk. Az s lehetséges, hogy az erőforráskorlát másképpen alakul, mnt azt eredetleg elterveztük. Tegyük fel, hogy egy meghatározott v(t) dőpontg a tevékenységek egy adott módon már végbementek. (Legyen pl. v(t) a ma dátum, amkor tudomásunkra ut a változás). A v(t) dőpont előtt befeezett tevékenységekkel nem kell foglalkoznunk, hszen az már végrehatódott. A végrehatás alatt lévő tevékenységeket vszont (mvel a modellünk szernt ezek nem megszakítható tevékenységek) nem szabad elmozgatnunk. (Megszakítható tevékenységek kezelését később tárgyaluk). Így az előző algortmus módára úgy kezelük őket, mntha látszat-erőforrásgények lennének, így bztosítva azt, hogy ne szakadhassanak meg. TEVÉKENYSÉGEK MEGSZAKÍTHATÓSÁGA A gyakorlatban vannak olyan tevékenységek, melyeket megszakíthatunk, és vannak olyan tevékenységek, amelyeket nem. A megszakítható tevékenységekre s gaz, hogy egy bzonyos deg (pl. a technológa matt) nem szakíthatók meg, és értelmezhető egy olyan dő, amely elteltével az adott tevékenységet mndenképpen folytatn kell. Ha egy tevékenység esetében megengedük a megszakíthatóságot, akkor a soros lletve párhuzamos allokácók bármelyke [9] használható megengedett megoldás keresésére. Ha ebből a megengedett megoldásból ndulunk k úgy, hogy a megszakított tevékenységeket külön tevékenységekként kezelük azzal a megszorítással, hogy a maxmáls dő, amely e két megszakított tevékenység között van, ne lépe túl az előírtat, akkor egy optmáls megoldást kaphatunk. Vagys be kell vezetnünk egy t f(,) dőt, mely megmonda, hogy két megszakított résztevékenység menny dő után követ egymást. Ez egy optmalzálás lépésben nem léphet túl az előírt értéket. KÖLTSÉG-, IDŐ-, ERŐFORRÁS-OPTIMÁLÁS EGYIDEJŰ MEGVALÓSÍTÁSA A következőkben olyan feladatokkal foglalkozunk, ahol a három krtérum, a költség-, dő- és erőforrás-optmaltás egyaránt fontos szempont. Az eddg tárgyaltakat fgyelembe véve a gyakorlat élethez ez a modell áll a legközelebb. Képzelünk el egy proektet, melynél a tevékenységeket, a tevékenységekhez szükséges dőt, költséget, erőforrásgényt már meghatároztuk. Adott mnden tevékenységre vonatkozóan, hogy ha az adott tevékenységet hamarabb szeretnénk befeezn, akkor az mlyen költségés erőforrás-növekménnyel ár. Ebben a helyzetben kell egy olyan programot meghatároznunk, mely a mnmáls költségnövekménnyel, a legrövdebb dő alatt, maxmáls párhuzamosítás mellett beütemez a tevékenységeket a legkorább dőpontra úgy, hogy egy adott erőforrás-korlátot ne lépen túl. Ez a három krtérum nem mndg elégíthető k egyszerre kompromsszumok nélkül. 50

6 Az alábbakban defnálunk néhány fogalmat, melyet a költségtervezés kapcsán a CPM/COST, MPM/COST módszernél (s) alkalmaznak. Normál lefutás dő: Az az dőmennység, amely a tevékenység normál/tervszerű végrehatásához szükséges. Mnmáls lefutás (vagy roham)dő: Az a legksebb dőmennység, amely alatt a tevékenységet végre lehet hatan. Elmondható, hogy a (változó) költségek és a lefutás dők között általában fordított arányosság fgyelhető meg. A rohamdőnél (t r ) rövdebb dő alatt nncs értelme a költséget, és az erőforrásgényt vzsgáln, hszen ennél kevesebb dő alatt a tevékenységet nem lehet végrehatan, így ezek a görbék lyen dőkre nncsenek s értelmezve. A tevékenység erőforrásgénye (attól függ, hogy mt tekntünk erőforrásgénynek) fordítottan arányos a lefutás dővel (például, ha az erőforrásgény a munkaerő, akkor több dő alatt kevesebb, míg kevesebb dő alatt több munkás tuda elvégezn ugyanazt a munkát). A avasolt módszer szempontából telesen mndegy, hogy az dő és az erőforrásgény között mlyen függvénykapcsolat van. Egy fontos követelmény van csupán, mégpedg az, hogy bármely (dszkrét) dőpontban, (de legalább a normál lefutás dő (t n ) és a rohamdő (t r ) között dőntervallumban) meg tuduk mondan az adott dőhöz tartozó erőforrásgényt. A költségek tekntetében azonban szorosabb ez a krtérum. A (változó) költségek általában a normál lefutás dő (t n ) és a rohamdő (t r ) dőntervallum között fordítottan arányosak a tevékenység lefutás deével. A továbbakban a fent feltételeknek megfelelő erőforrásgény és (változó)költség-függvényekkel foglalkozunk. Először a legkorább (normál)dőre vonatkozó ütemezést végezzük el. Ez a módszer megada a tevékenységek maxmáls párhuzamosítása mellett legkorább kezdés dőpontokat. Ezután elvégezünk egy változó költség lefutás dő elemzést (lyen pl. a CPM/COST-, MPM/COSTmódszer). A lépéseket egy táblázatban összefoglaluk. Ha az összes (változó) költségre megszabnánk egy korlátot, akkor ez a módszer az ennek megfelelő legobb megoldást szolgáltatná. Ekkor a módszer lépéset csak addg kell végrehatan, ameddg a változó költségek összege ksebb vagy egyenlő, mnt ez a korlát. A módszer csak a krtkus úton lévő tevékenységeket csökkent úgy, hogy fgyel arra, hogy egy nemkrtkus út a krtkus úton lévő tevékenységek lefutás deének csökkentésével, már krtkus úttá válhat. Valamnt egy lépésben nem lehet többet csökkenten a lefutás dőn, mnt a nemkrtkus úton lévő tevékenységek tartalékdee. Ha a CPM/COST-, MPM/COST-módszerrel meghatároztuk a lépéseket, akkor meghatározzuk a terhelés dagramot. Ha van olyan dőpont, ahol az összes erőforrásgény nagyobb, mnt az erőforráskorlát, akkor keresünk egy megengedett megoldást. Ha találtunk olyan termelés programot, amelyben a krtkus utat nem kellett megváltoztatn (legyen ez a továbbakban nemkrtkus megoldás), akkor az általunk kfelesztett erőforrás-optmáló algortmust futtatuk le. Ekkor a feladat költségnövekmény-, dő- és erőforrás-optmáls lesz egyben. Ha nem található olyan megengedett megoldás, melyre a krtkus út nem változk, akkor a CPM/COST-, MPM/COST-módszer által szolgáltatott lépések közül az utolsó előttre végezzük el a fent vzsgálatokat. Ha egy lépésben több dőegységnyt avítottunk a proekt átfutás deén, akkor ezekre a közbenső állapotokra s el kell végezn a fent vzsgálatokat, mvel elképzelhető, hogy ebben az esetben találunk egy nemkrtkus megoldást. Ha a CPM/COST, MPM/COST módszer egyetlen lépése sem szolgáltat nemkrtkus megoldást (valamnt a közbenső lépéseknél sem található lyen megoldás), akkor azt monduk, hogy a teles proekt dőtartamát az adott erőforráskorlát mellett nem lehet lerövdíten. Ekkor vsszaérkeztünk a harmadk feezetben tárgyalt esethez, vagys először egy megengedett megoldást kell keresn, mad ezt az adott célfüggvényre nézve mnden lépésben avítva lehet meghatározn az optmáls megoldást. Amennyben olyan erőforrás-allokácót kell meghatároznunk, ahol az összes költség mnmáls, akkor a következőképpen kell elárn. Először meg kell határozn a normál, lletve a mnmáls átfutás dővel 503

7 rendelkező termelés programot. Ezután a mnmáls összköltséggel rendelkező termelés programra végezzük el a megengedett megoldás keresését. Ha létezk nemkrtkus megengedett megoldás, akkor létezk a feltételeknek megfelelő összköltség-mnmáls optmáls erőforrás-allokácó s. Ha nem található nemkrtkus megoldás, akkor az összköltség-mnmáls termelés programhoz legközelebb eső legksebb átfutás dővel rendelkező termelés programra végezzük el az optmalzálást. Ha a normál, lletve a mnmáls átfutás dővel rendelkező termelés programok között egyetlen nemkrtkus megoldás sem található, akkor az előző módszerhez hasonlóan árunk el. KÖLTSÉGCSÖKKENTÉS ALTERNATÍV MEGOLDÁSOK SEGÍTSÉGÉVEL A proektek tervezése és megvalósítása során nagyon sokszor előfordul, hogy az előzetes kalkulácó után a mnmáls összköltséggel megvalósítandó optmáls erőforrás-allokácóú proektet sem lehet azon az áron megvalósítan, amelyen a tendert kíró megvalósítan szeretné. Ha az előzetes kalkulácók során kszámított mnmáls összköltségre vonatkozó optmáls erőforrásallokácós megoldás esetén a költségek magasabbak, mnt a program megvalósítására szánt költségvetés, akkor három lehetőségünk van: vagy lemondunk a proekt megvalósításáról, vagy veszteséggel, de megvalósítuk a proektet, vagy pedg az egyes megvalósítandó tevékenységeket költségcsökkentés célából más tevékenységekkel váltuk k. Az első választás lehetőséggel az elemzés során most a továbbakban nem foglalkozunk, hszen ebben az esetben elesünk az üzlettől és tt nncs értelme tovább optmáls erőforrás-tervezést készíten. A másodk választás lehetőséget néha akkor s bevállalák, ha az átmenet veszteség ellenére arra számítanak, hogy később proektek megvalósításakor ez a veszteség megtérül. Ekkor meg kell határozn egy mnmáls összköltséggel áró, adott célfüggvényre optmáls erőforrás-allokácót. (A módszer menetét lásd az előző feezetben). A továbbakban m a harmadk esettel foglalkozunk, vagys egyes megvalósítandó tevékenységeket költségcsökkentés célából más tevékenységekkel váltuk k. A harmadk esetben először egy lstát kell készítenünk az egyes tevékenységek alternatív megvalósításaról. Itt a célunk megfogalmazásakor három szempontot kell fgyelembe venn (tt a pontok a választás során prortásokat s elölnek): a lehető legobb mnőségben végezzük el az adott tevékenységeket, lehető legtöbb költségcsökkenéssel áron az alternatív megoldás bevezetése, lehető legksebb mértékben változzon (és ha lehet, nkább csökkenen) a tevékenység lefutás dee, erőforrásgénye. Ezen krtérumok mellett mnden tevékenység esetén meghatározható egy mnmáls mnőség követelmény, melyet mndenképpen a szerződés értelmében telesítenünk kell. Célszerű az adott tevékenységhez tartozó alternatív megoldásokat ezen szempontok szernt rendezn. Azokat a tevékenységeket, melyek a mnőség követelményeknek nem felelnek meg, k kell zárn a lehetséges megvalósítandó alternatív tevékenységek lstáából. A kválasztás során a célnak legnkább megfelelő alternatív megoldással úraütemezzük a tevékenységeket, lletve úból megkeressük az optmáls megoldást. Az alternatív megoldások keresése egy több célfüggvényre meghatározott kválasztás probléma. A módszer menetét az alább folyamatábra szemléltet. 504

8 Start Lefutás dők, rákövetkezés relácók Ütemezés (pl. CPM, MPM, PERT) Költséggények (változó és fxköltségek), költségkorlátok Mnmáls összköltségű program meghatározása (pl. CPM/COST-, MPM/ COST-, PERT/COST-módszerekkel) n Erőforrásszükségletek, erőforrás-korlátok A költségkeret + nyereség < összes költség? n Létezk nemkrtkus megengedett megoldás? Alternatív megoldások bevtele Alternatív megoldások keresése () Található alternatív megoldás? CPM/COST, MPM/COST, PERT/COST által meghatározott programok közül az optmumhoz legközelebb eső program kválasztása A kapott megoldás obb-e, mnt az ütmezés során talált megoldás? n n Célfüggvény meghatározása Optmáls erőforrás-allokácó keresése (ERALL- OPT) Az optmáls megoldás kíratása n A költségkeret + nyereség < összes költség? n A feladat nem megoldható! Alternatív megoldások bevtele Alternatív megoldások keresése () Található alternatív megoldás? Stop Alternatív megoldások keresése TÖBBFÉLE ERŐFORRÁS EGYIDEJŰ KEZELÉSE Nagyobb proektek esetén nemcsak egy erőforrást kell fgyelembe vennünk, hanem általában többet (munkaerő, anyagfelhasználás, berendezések stb.). Ezeket együttesen kell kezeln. Meghatározható valamenny erőforrás-felhasználásra egy-egy korlát. Ekkor fel kell razolnunk valamenny erőforrásfatára egy-egy terhelés dagramot. Ezeket csak együttesen optmálhatuk, hszen az tt megkapott 505

9 ütemterveknek meg kell egyeznük. A tevékenységeket mndegyk dagramról leolvasva ugyanakkor kell kezden, lletve befeezn, megszakítan, lletve tovább folytatn. PÁRHUZAMOS PROJEKTEK KÖZÖTTI ERŐFORRÁS-ELOSZTÁS Egy vállalatnál párhuzamosan több beruházás proekt, termelés program s folyhat. Amennyben azonos erőforrásokat gényelnek, akkor elképzelhető, hogy érdemes bzonyos erőforrásokat átcsoportosítan az egyk proektből a máskba a hatékonyabb erőforrás-khasználás érdekében. Erőforrásokat a két proekt között csak akkor lehet átcsoportosítan, ha: Azonos erőforrásokat használnak, az erőforrás-átcsoportosítás lehetséges (nncs térbel, földraz, technológa, egyéb akadálya) és az erőforrásátcsoportosítást a vállalat engedélyez. Amennyben a fent feltételek telesülnek, akkor a hálók és a terhelés dagramok összevonhatók egy hálóba, lletve egy dagramba. Az összevont hálón, lletve dagramon sem kaphatunk a felhasznált tartalékdőkre obb megoldást, mnt a legkorább dőre beütemezett, maxmálsan párhuzamosított megoldás, hszen a rákövetkezés relácókat tt s be kell tartan. Mégs általában obb, hatékonyabb megoldást kapunk, mntha két független, párhuzamosan működő proektet külön-külön optmálnánk. Amennyben a fent feltételek bármelyke nem telesül, akkor csak külön-külön optmálhatuk a proekteket. A fennmaradó erőforrást többféleképpen s eloszthatuk. Amennyben például az erőforrás a munkaerő, úgy csak anny munkást kell foglalkoztatn az adott dőben a proekten, amennyt a proekt erőforrásgénye megkíván. Ha az erőforrás nem a munkaerő, hanem pl. valamlyen anyag, berendezés, akkor a k nem használt erőforrást az alábbak fgyelembevételével oszthatuk el: Ha a legfontosabb szempont, hogy a termelés program akkor se változzon, ha valamlyen többlet erőforrásgény lép fel, akkor célszerű a fennmaradó erőforrásokat vagy egyenlően, vagy valamlyen súlytényező fgyelembevételével ahhoz a termelés programhoz rendeln, ahol az erőforrásokra nkább szükség lehet. Az előző esetben előfordulhat, hogy sokszor kell egyk proektből a máskba szállítan olyan anyagokat, amelyeket lehet, hogy fel sem használunk. Ha az a szempont, hogy a proektek között anyagszállítás mnmáls legyen, akkor a következőképpen árunk el. Khasználuk, hogy a proektekhez szükséges összes erőforrás elegendő az összes proekt számára, így azt kell meghatároznunk, hogy hogyan lehet kelégíten az összes erőforrásgényt mnmáls anyagmozgással. BIZONYTALANSÁG KEZELÉSE ERŐFORRÁS-, KÖLTSÉG- ÉS IDŐTERVEZÉSBEN A gyakorlat életben számos esetben nem tuduk bztosan meghatározn egy adott proekt vagy termelés program tevékenységenek lefutás deét. Különösen gaz ez kutatás és felesztés programokra, ahol a tevékenységek dőtartama kevéssé smertek. A tervezett és a tényleges dőtartam sokszor különbözk egymástól. [] A szakrodalom szernt általában 0-% költséget takaríthatunk meg azáltal, hogy a tevékenységek lefutás deét nem determnsztkus változóként, hanem egy valószínűség változóként kezelük, hszen így az dőtartamok bzonytalanságát már előre fgyelembe tuduk venn. Hozzávetőlegesen meg tuduk határozn, hogy egy adott bztonság sznt mellett menny lesz a program átfutás dee. Mégs nagyon sokszor nem várt események s befolyásolhaták a proekt vagy a termelés program átfutását. Amennyben a proekt működése közben az erőforráskorlát vagy a tevékenységek erőforrásgénye, lefutás dee megváltozk, a módszer segítségével meghatározható egy ú termelés program a még futó, lletve a még el nem kezdett tevékenységekre. Sztochasztkus dő-, költség- és erőforrás-tervezés Ebben a feezetben a tervezés során fellépő bzonytalanságokra egy egységesen kezelhető modellt mutatunk be. Megmutatuk, hogy a méréstechnkában használt bzonytalanságra vonatkozó fogalmak 506

10 tt s használhatók. Számos esetben az ott bevezetett általános fogalmak egy-egy specáls esetet használuk dőtervezésre, lletve költségtervezésre. Sztochasztkus dőtervezés A sztochasztkus dőtervezés során az egyes tevékenységek lefutását egy-egy valószínűség változóként kezelük. Két eset lehetséges: A szóban forgó tevékenységek nem telesen smeretlenek és mndegykükre közelítőleg smerük dőtartamuk valószínűség-eloszlását, vagy: Telesen smeretlenek (vagy legalábbs nagyon kevéssé smertek), és nem smerük mnden dőtartam valószínűség-eloszlását. Ha smerük az dőtartamok eloszlását, akkor mnden nehézség nélkül meghatározhatuk az egyes tevékenységek átlagos dőtartamát (az dőtartam várható értékét) és szórásnégyzetét (varancáát), valamnt a szórását (standard bzonytalanságát). [5] Egy tevékenység várható lefutás deét, varancáát a következőképpen elölük: ( t ) = t D ( t ) = σ u ( t ) E,,,,, =, () Ha nem smerük az dőtartamok eloszlását, akkor a proekt tervezésekor a számítások megkönnyítése érdekében a hálótervezésben használt PERT-módszert használuk és feltesszük, hogy az dőtartamok β-eloszlásúak. Egyed- és kssorozatgyártás termelésrányításában egy-egy termék elkészítésének menete szntén felfogható úgy, mnt egy proekt megvalósítása. Itt azonban a tevékenységek dőtartamának eloszlásáról sokszor semmlyen nformácónk nncs, és gyakran nem s feltételezhetük, hogy az adott tevékenység dőtartama β-eloszlást követ, így a várható értékeket, lletve az dőtartam várható értékének szórását (standard bzonytalanságát) s nehéz meghatározn. Itt segítségünkre az lehet, hogy az adott terméket mnden bzonnyal többször s legyártuk. Ha az egyes gyártásoknál az egyes tevékenységek dőtartamat felegyezzük, akkor ebből a várható érték a következőképpen becsülhető: N gyártás, lletve M tevékenység esetén az egyes tevékenységek várható értéke: E N ( X ) = X = x = N = X,. () A standard bzonytalanság négyzete: u ( x ) s ( x ) = s ( X ) ( X ) s = =. (3) N Megegyzés: Hasonló becsléseket lehetne adn az egyes tevékenységek változóköltség-, lletve erőforrásgény vonzatára s. Ha a három módszer valamelykével (smert eloszlás esetén közvetlenül, smeretlen eloszlásnál β- eloszlást feltételezve, lletve több gyártás során szerzett tapasztalat útán) meghatároztuk a várható értéket, lletve az dőtartamok várható értékenek szórásnégyzetét (standard bzonytalanságának négyzetét), akkor kszámítható a proekt átfutás deének szórása (összetett standard bzonytalansága) az alább megfontolásokat felhasználva: [] A központ határeloszlás tételét felhasználva: a proekt, lletve a termelés program átfutás deének várható értéke az dőtartamok lefutásanak várható értékenek összege: E M ( y) = E( ) = X. (4) 507

11 Megegyzés: M tevékenységet feltételezve a krtkus úton. A proekt, lletve termelés program átfutás deének szórásnégyzete (az összetett standard bzonytalanság) általános esetben a következőképpen számítható: u c M M f f ( y) = u( x x ) x = = x,, (5) ahol u c az ún. összetett standard bzonytalanság, u(x,x ) x,x tevékenységek között kovaranca, y= Y=f(x,x,..,x M ) pedg a modellfüggvényünk. A proektek, lletve a termelés során legtöbbször feltehetük, hogy y= Y=f(x,x,..,x M )= x +x +..+x M = X + X +..+ X M. (Ezt a feltételezést tettük tuladonképpen az első pontban s. Vannak olyan modellek, melyek az dőt, lletve a költséget s egységes függvényként kezelk. Ebben az esetben az összetett standard bzonytalanság kszámításánál más lesz a modellfüggvényünk.) Ha a fent feltételezést elfogaduk, akkor a derváltak -ek, és a képlet a következőképpen egyszerűsödk: c M M M ( y) = u ( x ) + u( x ) u( x ) r( x, x ) u, (6) = = = + ahol az r(x,x ) x,x tevékenységek között korrelácó. Ha a tevékenységek lefutásának dőtartama egymás lefutásatól (lneársan) független (vagys a korrelácó nulla valamenny esetben), akkor a proekt várható átfutásának szórásnégyzete (az összetett standard bzonytalanság négyzete) a következőképpen alakul: M c x = ( y) = u ( ) σ = u. (7) Több krtkus út esetén a proekt vagy termelés program átfutás deének szórása közül általában a maxmálst választuk (elővgyázatosságból). Sztochasztkus költségtervezés A proekt vagy a termelés program során előfordul, hogy a változó költség növekedése árán kell átfutás dőt csökkentenünk. Először bemutatunk néhány gyakorlatban használt elárást, melyek nem veszk fgyelembe a költségek esetleges bzonytalanságát, mad bemutatunk néhány lehetséges módszert a költségek bzonytalanságanak meghatározására. Determnsztkus költségtervezés sztochasztkus dőtervezés esetén A tevékenységek lefutás deének becslésénél (az egyszerűség kedvéért) feltételezzük, hogy az dőtartamok β-eloszlást követnek. A gyakorlatban legtöbbször erre a problémára a PERT/COST-módszert alkalmazzák, mely alkalmas mnd mnmáls összköltség-, mnd pedg mnmáls átfutás deű program meghatározására. A sztochasztkus dőtervezés során azonban felléphetnek a tervezésből adódó problémák. Nézzünk ezek közül néhányat, lletve vzsgáluk meg, hogyan lehet ezeket a problémákat kküszöböln. [3, 4] Elsőként megemlíthetük, hogy a normál megvalósítású program összköltsége általában nncs rata az (össz)költség-optmáls görbén. Ez a következők matt van így: A determnsztkus dőtervezés esetén egy tevékenység normál lefutás deének azt az dőt választuk, ahol a megvalósításához szükséges (változó) költség a legksebb. Ha mnden tevékenységnél így árunk el, akkor egy olyan (ún. normál átfutás deű) programot kapunk, ahol a tevékenységek megvalósításához tartozó összes változó költség mnmáls. 508

12 A PERT-módszernél legtöbb esetben három adatból (legvalószínűbb lefutás, optmsta és pesszmsta becslés) becsülük meg a tevékenység várható lefutás deét. Ez vszont egyáltalán nem bztos, hogy mnmáls változó költséggel ár. Ha a PERT- és CPM-, vagy MPM-módszer tevékenységdőtartam-becslését összevetük, akkor láthatuk, hogy a CPM-, MPM-módszernél gyakran úgy becslünk, hogy a tevékenység normál lefutásának a legvalószínűbb lefutást választuk. [9, 0] A legtöbb esetben a PERT-módszer által meghatározott eloszlás nem szmmetrkus. Ha feltesszük az -es pontban leírtakat, akkor az ábrákból könnyen látható, hogy a PERT-módszernél alkalmazott becslések matt a program összköltsége (általában) nem lesz rata az összköltség-optmáls görbén (ha például a PERT módszer által kszámolt várható lefutás dők nem egyeznek meg a CPM-, MPM-módszerek által meghatározott normál lefutás dőkkel). Valószínűség CPM/MPM PERT Egy tevékenység tartamának eloszlása (Béta-eloszlást feltételezve) A t M B Lefutás dő Változó költség Egy tevékenység várható változó költségének alakulása az dő függvényében PERT CPM/MPM A t M B Lefutás dő Tevékenységek változó költsége és a várható lefutások kapcsolata determnsztkus költségtervezés esetén A program költségenek alakulása Költség Összköltség Változó költség PERT X X CPM/MPM Fxköltség Átfutás dő Összköltségoptmáls átfutás dő Mnmáls átfutás dő Normál átfutás dő A programok összköltségenek alakulása 509

13 Abban az esetben sem lleszkedk a PERT módszer által becsült lefutás dőkből számolt proekt átfutás deének költségvonzata az összköltség-optmáls görbére, ha az egyes tevékenységekre a CPM- /MPM-módszer által becsült legvalószínűbb normál lefutás dő ksebb, mnt a PERT-módszer által meghatározott várható (normál) lefutás dő. Ha feltételezzük az egyes, lletve a kettes pontban leírtakat az egyes tevékenységekre, akkor egy a gyakorlatban használt módszer segítségével csökkenthetük a program (össz)költségét, anélkül hogy a program várható átfutás deét megnövelnénk. Ennek a módszernek a lényege, hogy az alternatív úton lévő tevékenységek szabad tartalékdeét csökkentük (vagys a tevékenységek várható dőtartamát növelük). Ez (feltételezve az.,. pontokban leírtakat) (össz)költségcsökkenéssel ár. (Ekkor kszámítható a szórás (standard bzonytalanság), és a módusz változása a 9-3 egyenletek szernt.) Ezzel a módszerrel a krtkus utak száma megnőhet, lyenkor a belépő krtkus utak matt a program várható átfutás dee s bzonytalanabbá válhat. Ezért nem növelük a tevékenységek tartalékdeét a szabad tartalékdőn felül, hszen akkor szélsőséges esetben a teles program összes tevékenysége krtkus úton lévő tevékenység lehet. Ezzel a módszerrel tehát költséget takaríthatunk meg, anélkül hogy a várható átfutás dő növekedne. Ennél egy obb megoldás, am azt az esetet s fgyelembe vesz, ahol az egyes tevékenységek változó költsége, lletve várható dőtartama magasabb, mnt a (legvalószínűbb) normál lefutás dő, lletve (az ehhez az értékhez tartozó) normál költség. Itt az elsőrendű cél a normál átfutás dő elérése. Ekkor az egyes tevékenységek várható lefutásat úgy módosítuk, hogy az mnmáls változó költséggel áron. A várható értéket tehát erre az értékre kell módosítan. Ha a mnmáls változó költséghez tartozó lefutás dő éppen a legvalószínűbb lefutás dő, akkor a tevékenységek várható értékét erre az értékre kell módosítan. (A 9-3 egyenletek megadák a szórások, lletve a lefutás dők változásának számításához használható képleteket.) Ezzel a módszerrel tehát szntén változó költséget takaríthatunk meg, az így meghatározott átfutás dővel megvalósított program mnmáls változó költséggel fog rendelkezn, és meg fog egyezn a CPM-, MPM-módszerekkel kszámított normál átfutás dővel. A továbbakban feltesszük, hogy az dőtartamok lefutása és a változó költségük között függvénykapcsolat áll fenn. Az előzőekben vzsgált mennységek a,, m,, b,, t, és σ, most a vc, változó költség függvénye. Tegyük fel, hogy az alább (r,, r, ) arányok nem változnak a költségnövekedés hatására: a,, =, t r, b, r,, =, (8) t Az alább mennységek tehát a következőképpen változnak (a változó mennységeket ~ ellel elöltem): Szórásnégyzet (standard bzonytalanságnégyzet) változása: u~ ~ ( r r ) t = σ,,. (9) 36 ( t ~ ~, ), =, tehát, ha változó költség növekedése árán csökkentük a t, átlagos dőtartamot, akkor ezzel egyenes arányban csökken a standard bzonytalanság (tevékenység szórása) s. Az arányosság tényező pedg: ( r r ),. (0), 6 Úgyszntén arányos a t, átlagos dőtartammal a módusz változása: m~, [ 6 ( r r )] ~ t =,,,, () 4 50

14 Az optmsta, lletve pesszmsta becslések változása az alább módon írható fel: a~, ~ = r t, (),, ~ b, ~ = r t. (3),, Az eloszlás paraméterenek becslése: r, α 6, r r,,, r, β 6. r r, (4) (5) Látható, hogy az eloszlás paramétere a várható dőtartamok csökkenésétől függetlenek, így az dőtartamok csökkenése esetén s (feltételezve, hogy r, r arányok állandóak) azonos paraméterű (azonos alakú ) eloszlással becsülhetők a lefutás dők (egy adott bztonság szntet feltételezve). Sztochasztkus költségtervezés sztochasztkus dőtervezés esetén A tervezés során általában nem csak az egyes tevékenységek várható dőtartamáról, de a várható költség-, lletve erőforrásgényekről sncs bztos nformácónk. Általában ezeket s csak becsüln tuduk. Hogy a költségek, lletve erőforrásgények becslésénél mért nem teredt el az dőbecsléshez hasonló sztochasztkus modell, annak számos oka van. A költségek, lletve az erőforrásgények becslésére nncs általánosan elfogadott eloszlásfüggvény (mnt például dőtartamok becslésére a β-eloszlás). Változó költségek, lletve a fxköltségek valószínűleg más és más eloszlást követnek. Erőforrásgény-típusok (megúuló, nem megúuló erőforrások) szntén valószínűleg más és más eloszlást követnek. Látható, hogy a fent nehézségek matt proektek esetén a költségek, lletve az erőforrásgények bzonytalanságát nagyon nehéz megbecsüln. Termelés programok esetén azonban használhatuk a..-es feezetben leírtakat. A gyártás során felegyezzük a tevékenységek lefutás deét, költség- és erőforrásgényet. Ebből becsülhető a tevékenységek lefutás deének várható értéke, és az átlag szórása (standard bzonytalansága), lletve a program várható átfutás dee és a várható átfutás dő szórása (összetett standard bzonytalansága). Becsüln kell továbbá azt, hogy a krtkus úton lévő tevékenységek közül melyk tevékenységet menyny dővel lehet csökkenten, lletve hogy ez a lefutásdő-csökkenés menny változóköltségnövekedéssel ár. Ha ezek közül ugyanúgy, ahogy a CPM/COST, MPM/COST vagy a PERT/COSTmódszernél a legksebb (változó)költség-növekedéssel áró tevékenység dőtartamát csökkentük, és így módosítuk a gyártást, akkor több gyártás esetén szntén becsülhetük az egyes tevékenységek lefutás deét, a várható lefutás dő szórását, a várható átfutás dőt, lletve annak szórását, valamnt a becslés (standard) bzonytalanságát. Ezt a folyamatot addg smételhetük, ameddg a kívánt átfutás dőt (valamely bztonság sznt mellett) el nem érük. Ha más nformácónk nncs az eloszlásokat lletően, akkor proektek esetén várható érték, lletve szórás becslésére az előző megvalósított proektek szolgáltathatnak nformácót. Hasonló tevékenységek esetén becsülhető a tevékenységek lefutás deének várható értéke, lletve a szórása. Vagys a gyakorlatban ez azt elent, hogy amennyben adott tevékenységeket elvégeztünk korábban más proektek keretében, akkor az ott szerzett tapasztalatokat (lefutás dő, költséggény, erőforrás-szükséglet) felegyezve az előző feezetekben leírt módon megbecsülhetük a várható lefutás dőt, a költséggényt és az erőforrás-szükségletet, lletve meghatározhatuk ezen adatok standard bzonytalanságát. Mnél több hasonló tevékenységet végeztünk el korább proektek megvalósítása során, annál pontosabban tuduk ezeket az adatokat (lefutás dőt, költség- és erőforrásgényt) meghatározn. 5

15 Bzonytalan átfutás deű proektek kezelése A következőkben bemutatuk, hogy hogyan kell egy proektet megtervezn, ha kezeln akaruk a tevékenységek lefutás deének bzonytalanságát s. Első lépés: A tevékenységek várható értékét úgy kell módosítan, hogy az a mnmáls változóköltséggel áró lefutás dőre (tt most a móduszra, vagys a legvalószínűbb lefutásra) essen. Ezzel tehát (várható) változó költséget takarítunk meg. Ekkor a változásokat az alább táblázatba lehet összefoglaln. A tevékenységdők változásával mnd a költségsznt, mnd pedg az erőforrás-szükséglet változk (lásd részletesen a harmadk lépésnél). A várható lefutás dő változásának hatására változnak az ntervallumok (optmsta, lletve pesszmsta becslések) s (9-3 egyenlet szernt). Másodk lépés: Razoluk fel a PERT-hálót, és állapítsuk meg a tevékenységek átfutás deét, lletve az átfutás dő szórásnégyzetét! Határozzuk meg a krtkus utat! A háló felrazolásához először meg kell határozn a logka kapcsolatokat, a követő és a megelőző tevékenységeket. A logka háló felrazolása után először egy odafelé történő (progresszív) elemzés segítségével a PERT-módszernek megfelelően meghatározzuk a proekt várható átfutás deét, mad egy vsszafelé történő elemzéssel meghatározzuk a krtkus ut(ak)at. Ezután szntén odafelé történő elemzés segítségével meghatározzuk a proekt várható átfutás deének szórásnégyzetét (összetett standard bzonytalanságának négyzetét), am a krtkus ut(ak)on lévő tevékenységek várható lefutásanak szórásnégyzetenek (standard bzonytalanságuk négyzetének) összege lesz. Ha több krtkus út s van, akkor óvatosságból a legnagyobb összetett standard bzonytalanságúval számolunk a továbbakban. Harmadk lépés: Csökkentsük a krtkus úton lévő tevékenységek várható lefutás deét! Határozzuk meg a mnmáls átfutás deű és a mnmáls összköltséggel áró programokat! A programok meghatározásához készítsünk táblázatot! Az dőtartamok csökkentésénél három szempontot kell fgyelembe venn: 5 Azon (krtkus úton lévő) tevékenység(ek) várható dőtartamát csökkentük, amelyek (várható) egységny (változó)költségnövekedése a legksebb. Megegyzés: Az egységny költségnövekedés tényezőt közvetlenül s megadhatuk, vagy a következő képlettel számíthatuk (lneárs költségnövekedés esetén): vc vc = () r vc( n), n r ahol r a roham- vagy mnmáls megvalósítás dő, amely mellett a tevékenység még elvégezhető. n pedg a normál megvalósítás dő, amely mellett az adott tevékenységet normál körülmények között elvégezhetük. Feltettük a példában, hogy a mnmáls (várható) megvalósítás dő az eredet dőtartam becslésénél a tevékenység lefutásának optmsta becslése, vagys r=a, valamnt hogy a normál megvalósítás dő a legvalószínűbb megvalósítás dővel egyezk meg, képlettel: n=m. Feltettük továbbá, hogy a normál lefutás dőtől hosszabb lefutás dő szntén költségnövekedéssel ár (lneárs esetben hasonlóan az előzőhöz tt s számítható költségnövekedés tényező, amely azt mutata, hogy egységny késés menny többletköltséggel ár). Ha a tevékenységek lefutás dő-változó költség függvénye nem lneárs, akkor folytonos esetben a költségnövekedés tényező, a költségfüggvény dő szernt derválta, dszkrét esetben, pedg a dfferencálta lesz. Ha a költségnövekedés tényezők megegyeznek, akkor azon tevékenység dőtartamát célszerű rövdíten, amelynek rövdítésével nem alakul k úabb krtkus út. Ugyans a krtkus úton lévő tevékenységet nem szabad eltoln (hszen ez a program átfutás deének növekedéséhez vezetne), ezáltal erőforrásgényet nem lehet később dőpontra ütemezn. Mnél több krtkus tevékenységünk van, annál obban meg van kötve a kezünk. Szélső esetben még megengedett megoldást sem tudunk találn az erőforrás-allokácós problémára. Ez pedg azt elent, hogy ebben az esetben az adott a költségsznten, adott lefutás dőket, lletve korlátokat fgyelembe véve nem lehet a programot határdőre telesíten. Sokszor előfordul, hogy a költségkeretünk szűkössége matt nem

16 tuduk, vagy nem ér meg a mnmáls átfutás deű termelés programot megvalósítan, hanem valamlyen közbenső termelés programot választunk és valósítunk meg. Ha több tevékenység s telesít az előző két pont követelményet, vagys a költségnövekedés tényezőük mnmáls, és nem lépnek be úabb krtkus utak az dőtartamok csökkentése hatására (vagy bármely választás hatására ugyanúgy lesznek alternatív utak, amelyek krtkus utakká fognak váln), akkor azt a tevékenységet (azokat a tevékenységeket) választuk, amely(ek)nek hatására az átfutás dő szórása (összetett standard bzonytalansága) a legnagyobb mértékben csökken. Negyedk lépés: Razoluk fel az erőforrás-terhelés dagramot! Keressünk megengedett, mad optmáls erőforrás-allokácót! Ha eddg a pontg elutottunk, akkor a problémának megfelelő erőforrásallokácós algortmust választhatunk. Számos problémát megoldhatunk (párhuzamos proektek között erőforrás-megosztás, többfata erőforrás egydeű kezelése stb.) az előző feezetekben leírtak alapán. Itt egy megengedett megoldás keresése után (amelyet pl. a Mcrosoft Proekt programával kereshetünk) egy célfüggvényt kell meghatározn. [6, 7] Ötödk lépés: A hálós-, lletve az erőforrás-tervezés technkák nemcsak a proekt tervezés szakaszában, hanem a megvalósítás nyomon követésére, ellenőrzésére s használhatók. Amennyben megváltozk egy tevékenység erőforrás-szükséglete, lefutás dee vagy az erőforráskorlát, akkor on-lne ütemezést kell alkalmaznunk. A proekt követésénél a hálóba a már lefutott tevékenységek tényleges lefutás deét kell beírn, és a tevékenység szórását (standard bzonytalanságát) pedg nullának kell teknten. A tevékenységek lefutásának követése során így csökkenn fog az átfutás dő szórása s. A program végére a sztochasztkus hálóból egy determnsztkus háló lesz, mely megada, hogy a tevékenységek ténylegesen mkor hatódtak végre, mkor kezdődtek, és mkor feeződtek be. ÖSSZEGZÉS A tanulmányban bemutatott módszerek olyan gyakorlatban felmerülő problémákat s kezeln tudnak, amelyekre mndezdág nem készültek módszerek, elárások vagy szoftverek. Ezek az elárások bármely a proektmenedzsmentben használt (pl. Mcrosoft Proect, CA-SuperProect, Prmavera stb.) szoftver által szolgáltatott megengedett megoldásból ndulhatnak. Ezeket a megoldásokat egy adott cél (vagy célfüggvény) szernt a módszerünk mnden lépésben avíta. Bármkor leállítható az algortmus futása, és eredményül általában egy obb (de semmképpen sem rosszabb) megoldást kapunk. Több proektre, több erőforrást kezelve mnmáls összköltségű, optmáls erőforrás-terhelésű programokat határozhatunk meg. Ha a proekt tervezése során már fgyelembe vesszük a paraméterek bzonytalanságát, akkor pontosabb becsléseket adhatunk a tevékenységek lefutás deére, költséggényere, lletve erőforrásszükségletere. Ezáltal pontosabban becsülhetük az összes várható költséget, lletve az összes erőforrás-szükségletet s. A bemutatott módszerekkel tehát már tervezéskor fgyelembe vehetük az egyes paraméterek bzonytalanságát, és ezáltal dőt, költséget és erőforrásokat takaríthatunk meg. IRODALOM [] Kaufmann, A. Desbazelle, G.: A krtkus út módszerének matematka alapa. Műszak Könyvkadó, Budapest, 97, pp [] Schwndt, Ch.: Generaton of Resource Constraned Proect Schedulng Problems Subect to Temporal Constrants. Techncal Report, Report WIOR-543, 998. [4] Lockyer, K. Gordon, J.: Proektmenedzsment és hálós tervezés technkák. Kossuth Kadó, 000. [5] Kosztyán Zsolt Bencsk Andrea: Bzonytalan átfutás deű proektek optmáls erőforráselosztása. Verlag Dashöfer, 003. [6] Kosztyán Zsolt Bencsk Andrea Hogyor András: Működő proektek optmáls erőforráselosztása. Verlag Dashöfer,

17 [7] Kosztyán Zsolt Bencsk Andrea Hogyor András: Egy ú módszer alkalmazása dő-, erőforrás-, költségoptmálásra proektmenedzsmentben, lletve logsztkában. Logsztka Évkönyv, 00. [8] Németh Lóránt: Organzatonal and control methods of buldng processes (ERALL-). É. M. SZÁMGÉP, 966. [9] Neumann, K. Schwndt, Ch.: Actvty on node networks wth mnmal and maxmal tme lags and ther applcaton to make to order productonm. Operatons Research Spektrum 9, 997, pp [0] Neumann, K. Zhan, J.: Heurstcs for the mnmum proect duraton problem wth mnmal and maxmal tme lags under fxed resource constrants. Journal of Intellgent Manufacturng 6, 998, pp [] Gude to the Expresson of Uncertanty n Measurement. Internatonal Organzaton for Standardsaton