yelvek és utoták tételkidolgozás 0 Chosky hierrchi üresszó le (+ bizoyítás) Forális redszer és éháy fıbb típus utoták fogl és fıbb típusi Véges utoták ábrázolás táblázttl és gráffl 3 utot leképzés fogl Rey tétel (+ bizoyítás) 4 4 utoták ekvivleciáj Gill tétel (+ bizoyítás) 6 5 Redukált utoták ufekp-hoh féle eljárás (+ bizoyítás) 6 6 Véges utoták lízise Mcughto ódszer (+ bizoyítás) 7 7 Véges utoták szitézise Gluskov ódszer (Bizoyítás e kell!) 7 8 utoták és yelvek kpcsolt 8 9 yelvtok orális lkr hozás Chosky-féle orállk 8 0 Br-Hillel le (+ bizoyítás) 9 Hossz ecsökketı yelvtok és kpcsoltuk z -es típusú yelvtokkl 0 Kurod-féle orállk (+ bizoyítás) 0 3 Révész-féle orállk (+ bizoyítás) 4 Rekurzív- és rekurzív felsorolhtó yelvek eldöthetıség 5 Uiverzális urig-gép urig-gépek egállási probléáj (+ bizoyítás) 0 Chosky hierrchi üresszó le (+ bizoyítás) G = ( V V S H ) -t i-típusú yelvtk evezzük h z lábbi egkötések közül z i-edik teljesül: i = 0: ics seilye további egkötés i = : Mide H-beli szbály P QP P RP lkú hol P P ( V V )* Q V R ( V V ) * /{ } vgy pedig S λ lkú de λ ekkor S e fordulht elı egyetle H-beli szbály jobb oldlá se (Köryezetfüggı yelvt) i = : Mide H-beli szbály P Q lkú hol P V Q ( V V ) * (Köryezetfüggetle yelvt) i = 3: Mide H-beli szbály P Q vgy P lkú hol P Q V V * (Reguláris yelvt vgy jobb-lieáris yelvt) Mide H-beli szbály P Qb vgy P lkú hol P Q V ; b V * (Lieáris yelvt) Üres-szó le: Mide G = ( V V S H ) -típusú yelvthoz létezik oly vele ekvivles -típusú G' = ( V V S' H ') yelvt elyre teljesülek következık: λ L(G) eseté H -beli szbályok jobb oldlá e szerepel λ λ L(G) eseté csk S ' λ lkú szbály eseté szerepelhet jobb oldlt λ és ekkor S egyetle szbály jobb oldlá se fordulht elı Bizoyítás: Legye G = ( V V S H ) köryezetfüggetle yelvt Geeráljuk z U i hlzokt z lábbik szerit:
U U = { P P λ H k + = U k { P P Q H Q U k *} Ekkor v oly i elyre teljesül hogy U i = U i+ Legye P Q H ' h P R H Q λ és vgy Q=R vgy Q úgy áll elı hogy R-bıl U i -beli ele(ek)et törlük Legye G' = ( V V S' H ') Ekkor L(G)\{ λ }=L(G ) Ilyekor: h λ L(G) kkor L(G)=L(G ) vlit yelvt -típusú h λ L(G) kkor V ' = V { S'} S' ( V V ) és H '' = H ' { S' S S' λ} válsztásokkl egkostruált G' ' = ( V V S' H '') yelvt -típusú és L(G)=L(G ) Forális redszer és éháy fıbb típus Forális redszerek (vgy átírási redszerek) evezük ide oly W=(VH) párt elybe V egy ábécé H pedig V * V * direkt szorzt egy véges részhlz H eleeit helyettesítési szbályokk hívjuk és h ( P Q) H kkor P Q jelölést hszáljuk Legye P Q V * kkor odjuk hogy P-bıl közvetleül (egy lépésbe) levezethetı Q ( P Q ) h létezek oly P' P P'' Q V * szvk hogy P = P' P P'' Q = P' QP' ' és P Q H zt odjuk hogy P-bıl Q levezethetı ( szvk hogy P = P P = 0 k Q és P Pi ( i = 0 k ) P * Q ) h létezek oly P P P k * i + 0 V H oly forális redszereket tekitük elyekbe helyettesítési szbályok szietrikusk kkor eljutuk z sszocitív klkulus foglához Egy W=(VH) forális redszert geertív redszerek evezük h ki v tütetve V* egy e üres és véges részhlz elyet W xióredszeréek evezük (és z x jelölést hszáljuk) Egy ilye W geertív redszert W=(VxH) lkb szokás egdi Egy W=(VxH) geertív redszert szei-hue redszerek evezük h ki v tütetve V* egy oly F részhlz elyre x F Egy ilye szei-hue redszert W=(VxHF) lkb duk eg hol F forulák hlz és W-ek geertív redszerhez hsoló értelezése eseté odhtjuk ég zt is hogy F z igz állítások hlz Post-féle orál redszer egy oly V ábécébıl x xióredszerbıl és H helyettesítési szbályokból felépülı W=(VxH) hárs elybe H eleei P Q lkúk hol V egy oly bető ely se P-be se Q-b e fordul elı utoták fogl és fıbb típusi Véges utoták ábrázolás táblázttl és gráffl utotá egy oly bsztrkt redszert értük ely egy diszkrétek elképzelt idıskál idıpilltib érkezett igerek htásár válsszl regál iközbe belsı állpotát
egdott szbályok szerit változttj z igerekre dott válsz függ z igerektıl és belsı állpottól Mely-utotá értjük zt z = ( δ γ ) ötöst hol : belsı állpotok e üres véges hlz; : beeı jelek véges hlz beeı ábécé; Y: kieı jelek véges hlz kieı ábécé; δ : áteetfüggvéy; η : Y kieetfüggvéy Mely-utot diszkrét idıskálá őködik s k ide egyes idıpilltáb egy-egy jól eghtározott állpotb v H vlely idıpotb egy = ( δ γ ) Mely-utot egy állpotb z x beeı jelet kpj kkor ugyeeze idıpilltb γ ( kieı jellel regál jd következı idıpilltr átegy δ ( állpotb Mőködése: Legye dv egy x x xk * beeeti szó z kezdeti állpotból z η kieeti függvéy egdj z elsı kieeti jelet = δ ( x ) y = η( x ) k = δ ( x = δ ( k ) x k ) y y k = η( x = η( k Mőködése eredéyekét z y y y k kieeti szót kpjuk ) x k ) H ehhez Mely-utotához létezik oly µ : Y függvéy hogy tetszıleges állpotb és x beeı jel eseté teljesül γ ( = µ ( δ ( ) egyelıség kkor Moore-utotáról beszélük Moore-utotát = ( δ µ ) lkb szokás egdi hol µ : Y Moore-utot jelfüggvéye µ () z állpot jele ehát Moore-utoták evezük egy oly = ( δ µ ) utotát hol : belsı állpotok e üres véges hlz; : beeı jelek véges hlz beeı ábécé; Y: kieı jelek véges hlz kieı ábécé; δ : áteetfüggvéy; µ : Y jelfüggvéy H egy = ( δ µ ) Moore-utotár =Y és µ : egy idetikus leképzés (zz ide -r µ ( ) = ) kkor kieı jel élküli utot foglához jutuk zt is odhtjuk hogy kieı jel élküli utot egy oly = ( δ γ ) Mely-utot elyre =Y és δ = γ = ( δ ) foráb szokás egdi fet elített utoták véges utoták h z állpothlz beeı jelhlz és kieı jelhlz végesek Iiciális utot: ikor kijelölük z utotáál egy 0 kezdıállpotot 3
eljese defiiált és prciális utot: H z áteet- és kieetfüggvéye ide ( ( x ) párr értelezve v kkor z utotát teljese defiiáltk odjuk Ellekezı esetbe ikor z áteet és kieet függvéyek vlelyike csupá részlegese defiiált z utotát prciális utoták evezzük Deteriisztikus és edeteriisztikus utot: H z utotához trtozó áteetfüggvéyek és kieetfüggvéyek egyértékőek (δ: ) kkor z utot deteriisztikus ellekezı esetbe ( δ : ) z utotát e deteriisztikusk odjuk edeteriisztikus utotáál δ áteetfüggvéyel eghtározzuk z összes lehetséges következı kofigurációt ibe z eredeti átvihetı Ezutá z összes új kofigurációr is eghtározzuk lehetséges új kofigurációkt stb Vlószíőségi (szotchsztikus) utot: = ( y P) P: Bárely x párhoz hozzáredel egy 0 és közötti száot P (( ' y') ( ) [0] k vlószíősége hogy z utot z állpotb egy át és z y kieı jelet dj ki feltéve hogy z állpotb volt és z x beeı jelet kpt Robi-Scott féle utot: Feliserı vgy elfogdó utoták is hívják Egy oly = δ ) ötös ( 0 F hol eüres állpothlz 0 kezdıállpot eüres beeı jelhlz δ : z áteeti függvéy F pedig végállpotok eüres hlz Véges utoták ábrázolás táblázttl: µ () x ( δ ( γ ( y)) x δ ( x γ ( Mely Moore ki jel élk Véges utoták ábrázolás gráffl: Mely: Mide csúcs egy állpottl v egcíkézve Mide iráyított él eg v cíkézve egy kopoesbıl álló vektorrl elyek elsı kopoese egy beeı jel ásodik pedig egy kieıjel Moore: Mide csúcs egy kopoesbıl álló vektorrl v egcíkézve Elsı kopoese egy állpot ásodik pedig eze állpot jele csúcsból kivezetı ide iráyított él eg v cíkézve egy beeı jellel Kieı jel élküli ut: Oly it Moore csk itt csúcsok csk egy állpottl vk cíkézve 3 utot leképzés fogl Rey tétel (+ bizoyítás) Legye = ( δ γ ) egy Mely-utot δ : és γ : Y függvéyek értelezését kiterjesztjük *-r következı defiícióvl: Legyeek δ : * γ : * Y * úgy defiiálv hogy tetszıleges és x x eseté álljk fe δ x x ) és ( = 4
γ ( x x ) = y y összefüggésekhol = δ x ) = δ ( x ) illetve y ( = γ x ) y = γ ( x ) Eellett legye δ ( λ) = λ γ ( λ) = λ Ez forális ( defiíció k z iterpretációk felel eg hogy bárely állpotból idulv z utot egy beeı jelsoroztk egy kieı jelsoroztot feleltet eg (z utot üres beeı szór üres kieı szóvl regál) z α : * Y * leképzést lfbetikus leképzések hívjuk Legye dott egy = ( δ γ ) Mely-utot Eek z utoták ide egyes állpotához ϕ ( p) = γ ( p) p * összefüggéssel defiiált ϕ : * Y * leképzést hozzáredelve egkpjuk z állpot áltl idukált leképzést Iiciális = ( 0 δ γ ) Mely utot eseté z 0 kezdı állpottl idukált ϕ 0 leképzést z iiciális utot áltl idukált leképzések vgy rövide z utot leképzéséek is odjuk elyet jelölhetük ϕ -vl is Egy lfbetikus leképzést utot leképzések evezük h v oly Melyutot és k oly állpot ely éppe ezt leképzést idukálj Rey tétel: Egy ϕ : * Y * lfbetikus leképzés kkor és csk kkor utot leképzés h eleget tesz következı feltételekek: hossztrtó zz tetszıleges p *-r p = ϕ( p) kezdıszelet-trtó (kezdıszeletet kezdıszeletbe visz át) zz ide p q * - hoz létezik oly r Y * hogy ϕ ( pq ) = ϕ( p) r Bizoyítás (Ppp féle eredeti jegyzetbe 33 oldlo): Legye = ( δ γ ) egy tetszıleges Mely-utot k bizoyítását hogy tetszıleges eseté ϕ = ϕ hossz és kezdıszelettrtó függvéy rgoetuák illetve rgoetu végzıdéséek hosszár votkozó teljes idukcióvl végezzük: ϕ ( λ) = γ ( λ) = λ ϕ ( p = γ ( p = γ ( p) γ ( δ ( p) ϕ ( qλ) = ϕ ( q) λ ϕ ( qp = γ ( qp = γ ( qp) γ ( δ ( qp) = γ ( q) rγ ( δ ( qp) hol ; x ; p q *; r Y * H dott egy tetszıleges hossz- és kezdıszelet-trtó ϕ : * Y * függvéy kkor rögzített q * szó eseté z ϕ q függvéy ely tetszıleges p * szóhoz zt z r Y * szót redeli elyre ϕ ( qp ) = ϕ( q) r teljesül szité hossz- és kezdıszelettrtó leképzés lesz Legye ost = { ϕ q *} δ ( ϕ = ϕ γ ( ϕ = ϕ ( q q qx q q 5
z így defiiált = ( δ γ ) Mely-utotár igz hogy ϕ ϕ = ϕ 4 utoták ekvivleciáj Gill tétel (+ bizoyítás) közös Y hlzokkl redelkezı = ( δ γ ) és B = ( B δ ' γ ') utoták és b B állpotit egyássl ekvivles állpotk odjuk h és b z illetve B utotáb ugyzt leképzést idukálj zz ϕ = ϕ Mgukt e b B z és B utotákt ekvivlesek evezzük h bárelyikük bárely állpotához v ásikk ezzel z állpottl ekvivles állpot zz F = FB Két iiciális utot kkor ekvivles egyássl h kezdıállpotik ekvivlesek Gill tétel: Bárely Mely-utotához létezik vele ekvivles Moore-utot Eellett h Mely utot véges kkor hozzá egkostruált ekvivles Moore utot is válszthtó végesek Bizoyítás: Legye = ( δ γ ) tetszıleges Mely-utot Egy vele ekvivles Mooreutotát következıképpe kostruálhtuk eg: Legye ' = ( ' δ ' γ ') hol ' = továbbá tetszıleges ' ' x párr ( ' h ' δ '( ' = ( δ ( x' ) h ' = ( x' ) γ ( γ '( ' = γ ( δ ( x' ) h h ' ' = ( x' ) ' ' egy Moore-utot 5 Redukált utoták ufekp-hoh féle eljárás (+ bizoyítás) Defiiáljuk egy = ( δ γ ) Mely-utot állpothlzá egy ρ relációt: ρ b ϕ b = ϕ b zz ρ b γ ( p) = γ ( b p) ide p beeı szór Ezek szerit két belsı állpot kkor lesz egy osztályb h egy tetszıleges szó beolvsás utá z utot két belsı állpotból ugybb z új állpotb egy át z így defiiált ρ kogrueci és ρ -hoz trtozó C koptibilis osztályzás xiális egfelelı / ρ fktorforulát pedig z utotához trtozó redukált utoták evezzük Áltláb egy = ( δ γ ) Mely-utotát redukáltk evezük h tetszıleges b pár eseté: ρ b = b ufekp-hoh féle eljárás: 6
Egy véges = ( δ γ ) utot eseté z 0 redukált utotához úgy jutuk el hogy b : ( ρ b p * : γ ( p) = γ ( b p)) relációhoz trtozó C osztályzást osztályzások egy C C soroztá keresztül szerkesztük eg elyeket következıképp defiiáluk: b : ( C[ ] = C[ b] x : γ ( = γ ( b ) h i kkor Ci + [ ] = Ci+ [ b] Ci[ ] = Ci[ b] és x : C [ δ ( ] = C [ δ ( b ] i i Elıször egszerkesztjük z állpothlz C szeriti osztályit Potos kkor trtozik két állpot egy osztályb ikor ide egyes beeı jel htásár ugyzt kieıjelet dják Ezutá ide egyes >-re egszerkesztjük C szeriti osztályokt egésze ddig íg C = C + teljesül Igzolhtó hogy ez C osztályzás épp z xiális koptibilis osztályzás Ezutá redukált utot egszerkesztése v csk hátr elyek szerkezete C = ( C Y δ γ ) hol ide C [ ] C x -re / C C δ ( C [ ] = C [ δ ( ] illetve γ ( [ ] = γ ( C C C Speciális h z eredeti utot iiciális volt és kezdıállpot 0 volt kkor redukált utot is válszthtó iiciálisk éspedig úgy hogy kezdı állpotát C [ 0 ]- k válsztjuk Bizoyítás jegyzetbe (3839 oldl) 6 Véges utoták lízise Mcughto ódszer (+ bizoyítás) véges utoták lízise jeletse oly uiverzális lgoritus egdását elyek lklzásávl bárely dott = ( 0 δ ) véges kieı jel élküli iiciális utotához és állpoti M részhlzához eg tudjuk di k yelvek egy reguláris kifejezését ely -b z M hlzzl elıállíthtó (Mcughto-Yd): H véges hlz feletti L yelv elıállíthtó véges kieı jel élküli iiciális utot állpoti vlely M részhlzávl kkor z L yelv reguláris Bizoyítás: jegyzet 53 oldl 7 Véges utoták szitézise Gluskov ódszer (Bizoyítás e kell!) véges utoták szitézise jeletse oly uiverzális lgoritus egdását elyek lklzásávl bárely véges hlz feletti reguláris kifejezéssel egdott L reguláris yelvhez eg tuduk kostruáli oly véges kieı jel élküli iiciális = ( 0 δ ) utotát elybe z dott L yelv z állpothlz vlely M részhlzávl elıállíthtó Gluskov ódszer: Száb vesszük zokk szvkk struktúráját elyek z dott yelv közül leglább egyikbe elıfordulk 7
( ) () ( ) Legyeek L L L k oly yelvek z = { x x x } ábécé felett elyek reguláris kifejezéssel vk egdv yelvlgebr őveleti zoosságivl hozzuk reguláris kifejezéseket iél rövidebb lkr Mjd reguláris kifejezésekbe elıforduló betőket blról-jobbr hldv úgy hogy z zoos betők külöbözı elıfordulási helyükö ás-ás idexet kpjk 8 utoták és yelvek kpcsolt 3-s típusú (reguláris) yelvtokkl geerálhtó L 3 osztály egegyezik véges utoták áltl feliserhetı yelvek osztályávl (vgyis reguláris yelvek osztályávl) Más szóvl 3-s típusú (reguláris) yelvt it geertív eszköz zoos értékő véges utotávl it feliserı eszközzel : edeteriisztikus véges utotákhoz elıállíthtó yelvek L F osztály egegyezik véges utotákhoz elıállíthtó yelvek L F osztályávl : Mide G 3-s típusú yelvthoz létezik egy vele ekvivles G 3-s típusú yelvt elyek szbályi jobb oldlá odtszibólu e lép fel : 3-s típusú yelvek L 3 osztály egybeesik véges utotákkl elıállíthtó yelvek L F osztályávl 9 yelvtok orális lkr hozás Chosky-féle orállk orális lk: Egy G=(V V S H) yelvtt orális lkúk hívuk h teriálisok csk lkú szbályok jobboldlá fordulk elı hol V V étel: Mide i {0 } típusú yelvthoz v vele ekvivles orális lkú i-típusú yelvt Bizoyítás: Legye G=(V V S H) egy i ( {0 }) típusú yelvt és kostruáljuk eg hozzá G =(V V S H ) grtikát úgy hogy x V -hez redeljük hozzá x V -et és V ' = V { x x V } ; P Q H (P és Q e trtlz teriálist) kkor P Q H ' ; P Q H (P vgy Q trtlz teriálist) kkor x V helyébe helyettesítsük x -et és P' Q' H ' ; x V : x H ' x V Chosky-féle orállk: Egy G=(V V S H) yelvtt Chosky-féle orállkúk hívuk h ide szbály vgy vgy pedig Y lkú hol V Világos hogy ide Chosky-féle orállkú yelvt lbdetes köryezetfüggetle yelvt étel: Mide lbd-etes köryezetfüggetle yelvthoz egdhtó vele ekvivles Chosky-féle orállkú yelvt Bizoyítás (CF lkr hozás): Legye dott G=(V V S H) lbd-etes orális lkú yelvt elyek szbályik jobb oldlá z üres szó e fordul elı Megszerkesztjük elıször G =(V V S H ) jd G =(V V S H ) yelvtokt Legye H =H G yelvt szbályir következı égy lk állht fe: 8
( V V ) Ez egfelel követeléyekek ( V Y ) Ez szité egfelel követeléyekek 3 Y Y Yk ( k 3; Yi V ) Legye V = V { V } H -be 3-s lkú szbályokt ' k helyettesítsük következıkkel: Y Y k Yk Yk Így kptuk egy G =(V V S H ) grtikát elyre L(G )=L(G) 4 Y ( Y V ) Ki kell küszöböli z ilye lkú szbályokt Mide Y V betőhöz defiiáljuk oly U(Y) hlzokt elyek zokt eteriálisokt trtlzz elyekbıl Y levezethetı és h új eteriális kerül be ebbe hlzb vegyük fel zokt eteriálisokt is elyekbıl ez levezethetı Ezutá felírjuk H szbályhlzt úgy hogy trtlzzo ide oly szbályt elyet H is trtlz és e Y ( Y V ) lkú és vegyük hozzá szbályokhoz zokt szbályokt elyeket úgy kpuk hogy ide P Q ( P V és Q V vgy Q V *) lkú szbály ellé felvesszük zt P' Q szbályokt elyekre P' U ( P) z így kpott G =(V V S H ) yelvtr L(G)=L(G ) 0 Br-Hillel le (+ bizoyítás) Bárely L köryezetfüggetle yelvhez létezik p q Ν úgy hogy bárely p L eseté P >p szór P=UWY lkb írhtó hol WY q Y λ és U i WY i L ide i 0 egész szár Bizoyítás: ( yelvbe ide elég hosszú szóhoz végtele sok további szó tlálhtó) együk fel hogy yelvtuk CF-b dott H egy P L(G) szók levezetése oly fávl ábrázolhtó elybe leghosszbb út k hosszúságú kkor p k (CF itt) együk fel hogy V eleeiek szá és legye p= és q= + H P L és P >p kkor z S * P levezetésfájáb leghosszbb útk -él hosszbbk kell leie Vegyük eek z útk z utolsó + hosszú szkszát Lesz oly V ely eze szkszo leglább kétszer elıfordul Vegyük két ilye elıfordulást z S-hez közelebb fekvıhöz trtozó részf végpotjik egfelelı szó legye Q ásik részfáé pedig W Ezekre teljesül hogy * Q * W továbbá W résszv Q-k tehát Q=WY ( Y V *) Q + ásrészt S * U és * Y is feáll tehát tetszıleges i 0 egész szár S * U i WY i Itt e lehet és Y idkettı üres szó ert z * Y levezetés leglább egy lépést trtlz Ebbe levezetésbe z elsı lépés csk egy BC lkú szbály lklzás lehet s ezért Y > iutá yelvtuk lbd-etes Ezzel beláttuk tételt 9
Hossz ecsökketı yelvtok és kpcsoltuk z -es típusú yelvtokkl Egy G geertív yelvtt hosszúság e csökketıek oduk h ide P Q H szbályr igz hogy P Q Mide λ-etes köryezetfüggı yelvt hosszúságot e csökketı : Mide hosszúságot e csökketı yelvthoz egdhtó egy vele ekvivles köryezetfüggı yelvt Biz: Legye G = ( V V S H ) egy hosszúságot e csökketı yelvt Feltehetjük hogy teriális jelek csk z lkú szbályokb fordulk elı Legye P Q H egy tetszıleges szbály G-ek H P = kkor szbályuk kívát lkú H P > kkor P és Q következı lkb írhtók fel: P = Q = YY Y Ekkor és i Y j V Vezessük be drb új változót e szbály helyettesítéséhez ( V V )) és vegyük z lábbi szbályokt: Y + ( Y Y Y + Y Y + Y YY Y Y+ Y YY Y YY + Y Beláthtó hogy P Q szbályt ezekkel z új szbályokkl helyettesítve egy z eredetivel ekvivles yelvtt kpuk Ezek z új szbályok pedig egfelelek z - típusú yelvt elırírásik Kurod-féle orállk (+ bizoyítás) Mide hosszúságot e csökketı yelvthoz létezik vele ekvivles Kurod-féle orál lkb lévı yelvt Biz: Legye G = ( V V S H ) egy hosszúságot e csökketı yelvt együk fel hogy yelvt orális lkb v zz teriális jel csk lkú szbályokb fordul elı hol V V Legye P = Q = Y P Q H Y yelvt tuljdosági itt = = eseté szbályuk egfelelı lkb v = = eseté szité = > eseté el kell tüteti hosszúszbályokt úgy it CF-ál >= >= esetbe vezessük be z dott szbály helyettesítésére új eteriális jeleket és vegyük következı szbályokt: 3 Y Y Y 3 + Y Y Y + + Y + 0
Ezekkel szbályokkl helyettesítve z eredeti szbályokt kiiduló yelvtokkl ekvivles yelvtt kpuk Mide lbd-etes köryezetfüggı yelvthoz egdhtó vele gyegé ekvivles yelvt ely Kurod-féle orállkb v 3 Révész-féle orállk (+ bizoyítás) étel (Révész-féle elsı észrevétel): Kurod-féle orállk B CD lkú szbályi helyettesíthetık következı köryezetfüggı szbályokkl: B B B B B D D CD hol B új eteriálisok étel (Révész-féle ásodik észrevétel): Kurod-féle orállk B CD lkú szbályi áltláb e helyettesíthetık következı háro köryezetfüggı szbállyl: B B B D D CD hol új eteriális Révész-féle orállk: Egy G=(V V S H) yelvtt Révész-féle orállkúk evezük h szbályi következı lkúk lehetek: S λ z Y Y Y Y Y Y Y hol Y V z V továbbá z S odtszibólu csk szbályok bloldlá fordulht elı étel: Mide odtszerkezető yelvthoz létezik vele ekvivles Révész-féle orállkú yelvt Bizoyítás: ekitsük egy G=(V V S H) odtszerkezető yelvtt Hgyjuk el H összes P λ lkú szbályát s ide ilye szbály eseté vegyük fel H-b z összes xp x és Px x lkú szbályt hol x befutj teljes V V ábécét Világos hogy z így yert új G yelvt ide egyes ilye xp x és Px x szbályák lklzás helyett ugyzt érjük el h G yelvtb P λ szbályt lklzzuk Ezáltl egy oly G grtikát kpu elyre L(G )=L(G)-{λ} H λ L(G) kkor G -be felvesszük ég z S λ szbályt s ezzel L(G )=L(G) Ezutá hozzuk yelvtt orális lkr z összes P Q (P Q V * P λ Q λ) szbályok közül zokr elyekre P Q lklzzuk Kurod-féle orállkr hozásál lklzott helyettesítéseket illetve Révész-féle elsı észrevételél lklzott helyettesítéseket Így tehát P > Q eset vizsgált rdt hátr ekitsük egy ilye Y Y > szbályt Hgyjuk el ezt szbályt s lkls új U U + eteriálisokt és új - U U U - U - U - - U - U -
U + + U + + U + U Y - U U - Y - U U Y U Y Y szbályokt vezessük be jd fellépı B CD lkú szbályokt isét helyettesítsük Révész-féle elsı észrevételél lklzott ódo feti bizoyításb szerepelt egy e kostruktív csupá egziszteciális állításo lpuló lépés e tudjuk ugyis hogy lehet áltláb eldötei zt kérdést hogy λ L(G) igz-e vgy se H grtikáb icse P λ lkú szbály kkor biztos hogy λ L(G) De h vk P λ lkú szbályok bból ég e feltétleül következik hogy λ L(G) Egy oly G grtikát idig tuduk készítei elyre L(G )=L(G)-{λ} de hogy z S λ szbályt felvegyük-e vgy se hhoz tuduk kell hogy λ L(G) igz-e vgy se Ezért foglztuk úgy tételt hogy létezik oly grtik és e odtuk zt hogy egdhtó 4 Rekurzív- és rekurzív felsorolhtó yelvek eldöthetıség Def: Egy L yelvet rekurzívk evezük h P L trtlzási problé lgoritikus eldöthetı Def: Egy L yelvet rekurzív felsorolhtók evezük h v oly eljárás ely z összes P L szót vlilye sorredbe (esetleg isétlésekkel) felsorolj Mide rekurzív yelv egybe rekurzív felsorolhtó is : z L yelv kkor és cskis kkor rekurzív h id L id L rekurzív felsorolhtó Biz: H L rekurzív kkor P L problé lgoritikus eldöthetı kkor ugyez áll z L yelvre is hisze P L kkor és cskis kkor teljesül h P L Eszerit ugyzt z eldötési lgoritust hszálhtjuk z L -re zzl külöbséggel hogy it L eseté elfogdtuk zt ost e és fordítv : Mide -típusú yelv rekurzív és ide 0-típusú yelv rekurzív felsorolhtó : V oly rekurzív yelv ely e -típusú : rekurzív felsorolhtó yelvek osztály egegyezik 0-típusú yelvek osztályávl 5 Uiverzális urig-gép urig-gépek egállási probléáj (+ bizoyítás) urig gép egy végtele szlgeóriávl és egy író-olvsó fejjel ellátott véges utot szlgeóri pozíciókr v osztv s ide egyes pozíció szlgábécé potos egy betőjét lehet letároli Kezdetbe urig gép egy eghtározott kezdıállpotb v és szlgo egy véges hosszúságú strtszó helyezkedik el Kezdetkor z író-olvsó fej strtszó elsı betőjé áll strtszó elıtti és utái szlgeóri pozíciók szóközökkel vk feltöltve Üres szó eseté szlg ide pozíciój szóközzel v feltöltve s z iró-olvsó fej ezek egyikére utt urig gép diszkrét idıskál eté elkülöített idıpilltokb hjt végre egy-egy elei őveletet kiidulv egy kezdeti idıpotból urig gép egy ilye elei operációj z író-olvsó fej ltti bető olvsásából eze bető felülírásából belsı állpot változttásából s z író-olvsó fej egy pozícióvl vló blr vgy jobbr ozgtásából vgy helybehgyásból áll eyibe urig gép eljut végállpotb egáll
M = ( ) Forális urig gép 0 ω F µ htos hol gép belsı állpotik (véges) hlz 0 kezdıállpot szlgábécé ω szóköz bető F { b j h} végállpotok hlzµ : ( \ F ) urig gép ozgásfüggvéye z uiverzális urig gép oly urig gép ely tetszıleges urig gépet ögát is beleértve képes sziuláli Létezik uiverzális urig gép urig gép őködése diszkrét idıskál eseté: egvizsgálj szlgo lévı x jelet egvizsgálj sját belsı állpotát vizsgált eredéyekét visszír egy jelet szlgr vizsgált eredéyekét átegy egy új állpotb blr vgy jobbr egy esetleg helybe rd végállpotb egáll Kezdı kofiguráció: szlgo v egy véges sztrig strtszó z iró-olvsó fej sztrig elsı betőjére utt z (iiciális) utot kezdıállpotb v urig gép vgy egáll és ekkor elfogdj (feliseri) beeeti szót vgy soh e áll eg és ekkor strtszó e elee urig gép áltl felisert yelvek Church tézis: Mide i lgoritikus kiszáíthtó z kiszáíthtó urig géppel is : urig gépek egállási probléáj e egoldhtó (dott egy urig gép és egy iput szó Meg áll e urig gép erre szór? Ez probléosztály e egoldhtó de prciális egoldhtó) Biz: Feltesszük hogy létezik oly áltláos kódolási lgoritus ely tetszıleges M urig gép és k w strtszv eseté egd gép egy l(m) leírást és w áltl eghtározott lkls c(l(m)w) kódolt lkot it egy rögzített ábécé feletti szót Idirekt bizoyítás: együk fel hogy létezik oly urig gép ely c(l(m)w) szót strtszókét egkpv: ) egáll és ekkor z IGE válsz kódolt lkj olvshtó szlgjá h M egáll w iputr b) egáll és ekkor EM válsz kódolt lkj olvshtó szlgjá h M e áll eg w iputr H létezik egszerkeszthetı z B urig gép ely z l(m) strtszó htásár elıállítj c(l(m) l(m)) strtszót jd ezutá erre strtszór z urig gép őködését utáozz egyetle ódosítássl: vlháyszor z ige egállást ér el B végtele ciklusb kerül B z l(b) strtszó htásár potos kkor áll eg h B z l(b) strtszó htásár e áll eg Ez elletodás ezért tétel igzolást yert 3