Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27.
Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum. Definíció A F : I R függvényt a f : I R függvény primitív függvényének nevezzük, ha F differenciálható és F = f (azaz x I : F (x) = f (x)). A f primitív függvényeinek összességét [halmazát] a f függvény határozatlan integráljának nevezzük és f (x) dx módon jelöljük.
Az integrálszámítás alaptétele Tétel Legyen F : I R egy primitív függvénye a f : I R függvénynek (azaz F = f ). G : I R akkor és csak akkor primitív függvénye f -nek, ha létezik C R úgy, hogy x I : G(x) = F (x) + C. Bizonyítás (szükségesség): Ha G differenciálható és G = f, valamint H(x) = G(x) F (x) (x I ), akkor x I : H (x) = G (x) F (x) = f (x) f (x) = 0, ezért H konstans függvény. Következmény (illetve jelölés) A tétel feltételei mellett (azaz F = f esetén) f (x) dx = F (x) + C.
Alapintegrálok A nevezetes elemi függvények deriváltjainak listáját (és helyenként a derivált linearitását) felhasználva kapjuk a következőket: x k dx = x k+ k + + C ( k R), x dx = dx = ln x + C, x e x dx = e x + C, p x dx = px + C ( p > 0), ln p sh(x) dx = ch(x) + C, ch(x) dx = sh(x) + C, cos(x) dx = sin(x) + C, sin(x) dx = C cos(x),
Alapintegrálok 2 cos 2 dx = tg(x) + C, (x) sin 2 dx = C ctg(x), (x) x 2 dx = arctg(x) + C, dx = arcsin(x) + C, + x 2 (x x 2 + dx = arsh(x) + C = ln + ) x 2 + + C, (x x 2 dx = arch(x) + C = ln + ) x 2 + C.
Linearitás A következő integrálási szabályokat rendre a differenciálható függvények összegének, konstans-szorosának, szorzatának illetve kompozíciójának deriválására vonatkozó megfelelő szabályokból kapjuk. Tétel Ha az f : I R és g : I R függvényeknek van primitív függvényük, valamint λ R, akkor λf (x) dx = λ f (x) dx és (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx.
Példa x 3 + 3x 2 + x + 2 x 2 dx = + (x + 3)(x 2 + ) x 2 dx = + ( x + 3 ) x 2 dx = + x dx + 3 dx x 2 + dx = x 2 + 3x arctg(x) + C. 2
Parciális integrálás Tétel Ha f, g : I R differenciálható, akkor f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx. Példa: x cos(x) dx = x sin(x) = x sin(x) sin(x) dx sin(x) dx = x sin(x) + cos(x) + C.
Helyettesítéses integrálás Tétel Ha J is egy intervallum, g : I J differenciálható és F, f : J R úgy, hogy F primitív függvénye f -nek (azaz F = f ), akkor f (g(x))g (x) dx = F (g(x)) + C. Példák: sin 7 (x) cos 9 (x) dx = x 2 x 6 + dx = 3 (tg(x)) 7 cos 2 (x) dx = (tg(x))8 8 + C, 3x 2 (x 3 ) 2 + dx = 3 arctg(x 3 ) + C.
Helyettesítéses integrálás 2 A helyettesítéses integrálás tételéből g alkalmas megválasztásával kapjuk, hogy ha F = f akkor például f (ax + b) dx = F (ax + b) + C, a f (x k )x k dx = k F (x k ) + C (k 0), f (e x )e x dx = F (e x ) + C, f (a x )a x dx = ln a F (ax ) + C, f (sin x) cos x dx = F (sin x) + C, f (ln x) dx x = F (ln x) + C.
Helyettesítéses integrálás 3 A helyettesítéses integrálás tételéből f alkalmas megválasztásával kapjuk, hogy például [g(x)] n g (x) dx = n + (g(x))n+ + C g (x) dx g(x) = ln g(x) + C, a g(x) g (x) dx = ln a ag(x) + C. (n ), Speciálisan cos(x) sin ctg(x) dx = sin(x) dx = (x) dx = ln sin(x) + C. sin x
Polinomok, hatványfüggvények lineáris kombinációi. Példa: (6x 2 8x + 8 ) dx = 6 x 2 dx 8 x dx + 8 = 6 x 3 3 8 x 2 2 + 8x + C = 2x 3 4x 2 + 8x + C. x 0 dx 2. Példa: = ( ) x + x dx = + x dx x x /2 dx + x /2 dx = x 3/2 3/2 + x /2 /2 + C = 2 3 x 3/2 + 2 x /2 + C = 2 3 x 3 + 2 x + C.
Parciális integrálással integrálhatók Jelöljön P(x) tetszőleges polinomot!. típus: a polinom fokszáma deriválással csökkenthető P(x)a x dx ( a > 0); P(x) sin(ax + b) dx, P(x) cos(ax + b)dx (a R \ {0}, b R). 2. típus: az inverz-függvény deriválással algebrai kifejezéssé alakítható P(x) ln(x) dx, P(x)arctg(x) dx ; arcsin(x) dx, arsh(x) dx. 3. típus: a keresett integrálra lineáris egyenletet kapunk a x sin(kx + b) dx ( a > 0, k R \ {0}, b R); sin n (x) dx, cos n (x) dx (n N).
Parciális integrálással integrálhatók 2 Példák: (6x 2 + 2x 7)e x dx = (6x 2 + 2x 7)e x (2x + 2)e x dx ( = (6x 2 + 2x 7)e x (2x + 2)e x ) 2e x dx = (6x 2 + 2x 7)e x (2x + 2)e x + 2e x + C = (6x 2 7)e x + C,
Parciális integrálással integrálhatók 3 (6x 2 4) ln(x) dx = (2x 3 4x) ln(x) = (2x 3 4x) ln(x) (2x 3 4x) x dx (2x 2 4) dx = (2x 3 4x) ln(x) 2 3 x 3 + 4x + C,
Parciális integrálással integrálhatók 4 arcsin(x) dx = arcsin(x) dx = x arcsin(x) x dx x 2 = x arcsin(x) + ( 2x)( x 2 ) /2 dx 2 = x arcsin(x) + 2 ( x 2 ) /2 /2 = x arcsin(x) + x 2 + C + C
Parciális integrálással integrálhatók 5 e x sin(x) dx = e x sin(x) e x cos(x) dx ( ) = e x sin(x) e x cos(x) e x ( sin(x)) dx = e x sin(x) e x cos(x) e x sin(x)dx = e x sin(x) dx = ex 2 (sin(x) cos(x)) + C ;
Parciális integrálással integrálhatók 6 S n = sin n (x) dx = sin n (x) sin(x) dx = sin n (x) ( cos(x)) (n )sin n 2 (x) cos(x) ( cos(x)) dx = cos(x) sin n (x) + (n ) sin n 2 (x)( sin 2 (x)) dx = cos(x) sin n (x) + (n ) (S n 2 S n ) = ns n = (n )S n 2 cos(x) sin n (x).
Algebrai eszközök Fogalmak és eljárások Racionális tört: két polinom hányadosa. Maradékos osztás: Ha P(x) és Q(x) polinomok (utóbbi legalább elsőfokú), akkor egyértelműen léteznek olyan H(x) és R(x) polinomok, amelyekre R(x) fokszáma kisebb Q(x) fokszámánál és azaz P(x) = H(x)Q(x) + R(x), P(x) H(x)Q(x) + R(x) = = H(x) + R(x) Q(x) Q(x) Q(x) Irreducibilis polinom: olyan polinom, ami nem áll elő alacsonyabb fokszámú polinomok szorzataként; minden irreducibilis valós együtthatós polinom első- vagy másodfokú; egy másodfokú polinom akkor irreducibilis, ha a diszkriminánsa negatív.
Algebrai eszközök 2 P(x) Parciális tört: Olyan (Q(x)) k alakú racionális tört, ahol k pozitív egész, Q(x) irreducibilis polinom és P(x) olyan polinom, aminek a fokszáma kisebb Q(x) fokszámánál. Az előbbiek szerint a valós együtthatós polinomok közül a(z) A (px + q) k, Bx + C (ax 2 + bx + c) m alakúak parciális törtek, ha k, m N, A, B, C, a, b, c, p, q R úgy, hogy p 0 és b 2 < 4ac. Tétel: Ha a P(x) polinom fokszáma kisebb a Q(x) polinom fokszámánál, akkor a P(x)/Q(x) racionális tört előáll olyan parciális törtek összegeként, amelyeknek a nevezője osztója Q(x)-nek.
. Példa racionális tört integrálására ahol x 5 + 2x 4 + 4x 3 + 2x 2 + 4x 2 x 4 + x 2 = (x + 2)(x 4 + x 2 ) + 3x 3 + 4x 2 x 4 + x 2 = x + 2 + 3x 3 + 4x 2 x 2 (x 2 + ) = x + 2 + Ax + B x 2 + + C x 2 + D x, 3x 3 + 4x 2 = (Ax + B)x 2 + C(x 2 + ) + Dx(x 2 + ) = (A + D)x 3 + (B + C)x 2 + Dx + C miatt A + D = 3, B + C = 0, D = 4, C = 2, így A = és B = 2.
. Példa (folytatás) = = x 5 + 2x 4 + 4x 3 + 2x 2 + 4x 2 x 4 + x 2 dx ( x + 2 + 2 x x 2 + 2 x 2 + 4 ) dx x x dx + 2 dx + 2 x 2 + dx 2 2 x 2 dx + 4 x dx 2x x 2 + dx = x 2 2 + 2x + 2arctg(x) 2 ln(x 2 + ) 2 x + 4 ln x + C = x 2 2 + 2x + 2arctg(x) 2 ln(x 2 + ) + 2 + 4 ln x + C. x
2. Példa racionális tört integrálására Meghatározandó 6x x 2 + x 2 dx. Mivel x 2 + x 2 = 0 gyökei x = és x 2 = 2, x 2 + x 2 = (x )(x + 2). Tehát amiből 6x x 2 + x 2 = A x + B x + 2, 6x = A(x + 2) + B(x ) = (A + B)x + (2A B) adódik, tehát A + B = 6 és 2A B = 0, ezért A = 2 és B = 4. Így ( 6x 2 x 2 + x 2 dx = x + 4 ) dx x + 2 = 2 x dx + 4 dx = 2 ln x + 4 ln x + 2 + C. x + 2
3. Példa racionális tört integrálására 6x 3(2x 4) + 2 x 2 4x + 3 dx = x 2 4x + 3 dx 2x 4 = 3 x 2 4x + 3 dx + 2 (x 2) 2 + 9 dx = 3 ln x 2 4x + 3 + 2 ( 9 x 2 ) 2 dx 3 + = 3 ln(x 2 4x + 3) + 4 ( x 2 ) 2 3 + 3 dx ( ) x 2 = 3 ln(x 2 4x + 3) + 4 arctg + C 3
Racionalizáló helyettesítés Ha R egy egy- vagy többváltozós racionális tört, akkor R( k x), R(a x ), R(sin x, cos x) stb. integrálja alkalmas helyettesítéssel racionális tört integrálására vezethető vissza. Az első két esetben a helyettesítés magától értetődő: y = k x x = y k dx = ky k dy illetve y = a x x = log a y dx = y ln a dy
. példa racionalizáló helyettesítésre = = 3 dx = x + y + 3y 2 dy (3y 3)(y + ) + 3 dy y + ( 3y 3 + 3 ) dy y + = 3 2 y 2 3y + 3 ln y + + C = 3 3 x 2 2 3 3 x + 3 ln 3 x + + C
2. példa racionalizáló helyettesítésre e x e x + dx = y y + y dy = dy = ln y + + C y + = ln (e x + ) + C
Racionalizáló helyettesítés 2 R(sin x, cos x) dx kiszámításához a helyettesítés t = tg(x/2), ekkor és x = 2 arctg(t) miatt cos x = t2 2t, sin x = + t2 + t 2 dx = 2 + t 2 dt = 2 + t 2 dt.
3. példa racionalizáló helyettesítésre sin x dx = = dt = ln t + C t ( x ) = ln tg + C 2 2t +t 2 2 + t 2 dt
Hivatkozások Gselmann Eszter. Kalkulus II. DE TTK, Debrecen, 202. Gselmann Eszter. Kalkulus II. példatár DE TTK, Debrecen, 203. Lajkó Károly. Kalkulus II. DE Matematikai Intézet, 2005. Lajkó Károly. Kalkulus II. példatár DE Informatikai Intézet, 2004. Walter Rudin. A matematikai anaĺızis alapjai Műszaki könyvkiadó, Budapest, 978.