. Határozatlan integrál megoldások.. 5. 7 5 5. t + t 5t. 8 = 7 8 = 8 5 8 5 6. e + 5 ln + tg + 7. = 8. + 5 = 5 ln + 5 9. = + 5 + 5 5 + 5 + 5 = /5 = 5 6 6/5 + 5 5 = + ln = 5 + 5 = + ln + 0.. a +a arctg a. + a ln a. e e +. 0 0 5. + 6. + 7. 8 + 7 8 8. = + C = 9. a + b n+ + C, ha b 0, n ; bn + a n + c, ha b = 0. 0. + r... ln a + b b + 8 sin. cos = sin cos = sin sin +C. P.7 + C, ha b 0, n = ; 5. cos + cos 6. cos + cos 5 cos5 7. 8. sin sin5 5 sin cos = cos sin = cos. cos cos
. Határozatlan integrál 9. 0.... 5. 7. sin sin cos = cos sin cos + cos = = cos cos sin + sin cos = cos + sin cos sin cos + C = sin tg cos = tg cos átalakítással az eredmény: tg +C. ln. 5 sh5 + sh 6. ch + = ch = sh ln sh + sh 7 8. ln 9. ln 7 + 0. ln + 0. ln +. ln + a. lna +. Az sin cos = tg cos, vagy az sin cos = sin + cos = sin sin cos cos + cos azonosság alkalmazásával az eredmény: ln tg sin 5. Az el z feladat eredményét felhasználva: sin = sin cos = ln tg 6. = ln th sh ch 7. = ln sh th 8. ln + e 9. ln a lna + 50. arctg 6 5. 6 arctg + { 5. arth + C, ha < < arcth + C, ha <, vagy > = ln + C { 5. arth + C, ha < < arcth + C, ha <, vagy > = ln + + C { 5. arth + C, ha < < 8 5 5 arcth = + C, ha <, vagy > 8 0 ln + 8 + C 5 5 55. + = + = arctg /.
. Határozatlan integrál 56. 57. átalakítással az eredmény a /a arth a a + C = a ln a + a + C, ha < a arcth a a + C = a ln + a a + C, ha > a. átalakítással az eredmény: 6 ln + + C, ill. arth + C, ha < 8, és arcth + C, ha > 8. 58. arsh 59. A 9 6 + 5 = 60. 6. 9 6 + 5 = arsh 9 6 = arch + átalakítással: = arcsin + 6 9 6. / arch 6. 6. 65. 66. + = arctg e = e e e = arcsin e 67. ln a + a a ln a = ln a arctg a 68. cos ln sh sh 69. = = ch ch arch ch + C = ln 9 6 + 5 + + C = ln 9 6 + arcsin ch 70. ln ln 7. ln ln ln 7. sin + cos = cos tg = +. ch =
. Határozatlan integrál = arctg + tg / tg átalakítással az eredmény cos 7. A el z feladat megoldásához hasonlóan az eredmény a ab arctg b tg + C, ha a b a + C, ha a = b. 7. sin + cos + C, 75. cos + sin 76. sin + cos sin +C. 77. sin + cos 78. cos + sin + cos 79. cos + sin + 6 cos 6 sin 80. sin + cos 6 sin 6 cos 8. 8 + sin + cos 8. 8. + e ln ln 8. e + + 85. e sin + cos e 86. sin + cos 5 e a 87. a cos b + b sin b + C, a, b 0 konstans. a + b 88. 6 e6 cos + sin 89. 0 e 5 cos sin 90. f -ként az konstansfüggvényt választjuk. Az eredmény: arcsin + 9. arcsin + arcsin 9. arcsin 9. arccos arch 9. arctg ln + 9 95. Legyen f =, g = arctg és f = /. Ekkor arctg = arctg + = + arctg Megjegyzés: Az f megválasztásánál általában nem vagyunk tekintettel az integrációs konstansra, ügyes megválasztása azonban néha egyszerüsítheti a megoldást. Például az f = + / választással: arctg = + arctg + + = + arctg 96. I = arctg = arctg + + + + + = arctg + + = arctg + ln + + C..
. Határozatlan integrál 97. + + arctg 98. arctg = arctg + ln + arctg 99. + arctg arsh + C = + arctg ln + + 00. ln = ln 0.ln ln + 0.ln ln + 6 ln 6 0. ln + ln + 0. ln + + arctg 05. ln 8 06. lg e 07. + ln + 9 + 6 08.C ln e. 09. v+ ln v + v + 0. tg ln cos + tg. ch sh. + sh 9 + ch 7 8 ln 8. + ch + sh +C.. sh cos 5 + 5 ch sin 5 6 5. A kiszámítandó integrált röviden I-vel jelölve I = cos n cos = = cos n sin + n cos n sin = = cos n sin + n cos n cos = = cos n sin + n cos n n I. ni = cos n sin + n cos n, I = n cosn sin + n cos n. n 6. Hasonlóan az el z feladat megoldásához. 7. = sin t helyettesítéssel arcsin + 8. a arcsin a + a 9. a arsh a + a + 5 0. arsh + 5 +. a 5 arcsin a a.u = c + helyettesítéssel a megoldás: c + c 5.u = c + helyettesítéssel c + arth + C = c + c ln c c c c + + c.5
. Határozatlan integrál. 8 arch + 8 5. = sin t helyettesítéssel a megoldás tg arcsin + C = 6. = sh t helyettesítéssel arsh + + + 7. = sh t helyettesítéssel + arsh 8. A = ch t helyettesítéssel a megoldás: arch + Vagy: = u helyettesítéssel u u du adódik, ezt u u u felbontással parciálisan integrálva a végeredmény: + arth 9. A = sin t helyettesítéssel arcsin 0. A Vagy: = u helyettesítéssel + arctg = + = + átalakítás után az + = sin t helyettesítéssel a megoldás: arcsin + + + 5. arcsin 5 + 5. + arsh + + + +. A + = + = után a = sh t helyettesítéssel a megoldás: 8. arsh 5. 8 arcsin [ arsh + + + 5 + 5 + 6. Az a = sh u helyettesítéssel a a + + átalakítás ] + 7.u = a helyettesítéssel a megoldás: a arsh a 8. + + 9..6 + +
. Határozatlan integrál 0. = u helyettesítéssel ln +. A = u helyettesítéssel a megoldás: + ln +. Az = u 6 helyettesítéssel a megoldás: 6 6 arctg 6. = u helyettesítéssel a megoldás: arctg. = u [ helyettesítéssel a megoldás: ln + ] tg arth + C, arctg < < arctg + 5. tg arcth + C, < arctg, vagy > arctg + = ln cos + sin + + cos sin + + 6. A sin = t helyettesítéssel, vagy 6 alapján, és felhasználva, hogy cos = sgnsin, az eredmény: sgnsin arshsin + C = sgnsin ln cos + + cos 7. tg + 8. tg 9. ln tg + π 50. arctg tg +C. 5.t = tg helyettesítéssel 5 tg + arctg 5. sin = átalakítás után t = tg helyettesítéssel sin + sin tg + arctg tg 5. tg = t helyettesítéssel / tg / ctg + ln tg A számítás rövidebb, ha a sin cos = 8 sin átalakítással kezdjük, majd a sin helyébe a tg = t helyettesítésnek megfelel en a t kifejezést írjuk. + t 5. = tg t helyettesítéssel: tg t dt tg t + cos t = = sin t cos t cos t dt = sin t cos tg t t = tg t + = +. 55. Az u = ln helyettesítéssel ln ln ln 56. = sin tg arsh sin + sin átalakítás után t = tg helyettesítéssel.7
. Határozatlan integrál 57. Az e u = u helyettesítéssel u + du = = e arctg e 58.e lne + 59. ln th 60. A tg = t helyettesítéssel a kiszámítandó I integrál: I = c + b dt + c b c+b t. Az c = b esetben I = c tg Ha c > b : c b c + b t = c b c + b t, I = c b arctg c b c + b tg Az c < b esetben c b c + b t = b c c + b t, és ezért b c arth b c b + c tg b + c + C, ha < arctg b c I = b c arcth b c b + c tg b + c + C, ha > arctg b c. 6. 8 = A + B + C. A kiszámítandó határozatlan integrál: + + + + = ln + + + + arctg + + K. 6. ln + + ln 6. ln + ln + 5 6. ln + 65. + ln + 66. ln + + ln + ln + A 67. + A + A + A = = + = = ln + + C. 68. + + + = = ln 69. ln + + ln + 70. ln 6 ln + + + arctg +.8
. Határozatlan integrál 7. 6 5 átalakítás és u = 6 6 + 5 6 6 helyettesítés után elemi törtekre bontással az eredmény: 8 ln 6 5 6 + 8 7. 7 + átalakítás és u = helyettesítés után elemi törtekre bontással 7 az eredmény: ln + 7 7. ln e e 7. Az = t helyettesítéssel ln = ln t; mindkét oldalt t szerint dierenciálva ln + dt = t. Emiatt ln + ln + = t dt tln + = dt tt = t dt = t = ln + C. 75. arctg 76. Parciális integrálással: f f 77. f. 78. Az adott egyenletb l kapjuk, hogy f =, aminek mindkét oldalát integráljuk: f = + C, azaz f = 79.f = 80. A formula igaz voltát mindkét oldal deriválásával igazolhatjuk. 8. Ha 0, akkor az integrál értéke +C, ha 0, akkor az integrál értéke + C. A két konstanst úgy kell megválasztani, hogy a kapott függvény mindenütt dierenciálható legyen. Így az integrál értéke: 8. 8. + + + +C. 8.e + C, ha < 0; e + C, ha 0. 85. + C, ha ; + sgn + C, ha >. 86. arcsin = arcsin +. A második tagban = u helyettesítéssel a végeredmény: arcsin ln + + + 87. = + + + = arctg 88. ln + + arctg.9
. Határozatlan integrál 89. 5 6 = 5 átalakítással az eredmény: arth 5 + C, ha < < arcth 5 + C, ha <, vagy >. 90. ln + + 7 arctg 7 9. 9 ln + 5 7 9. ln ++8 arctg + +C. 9. A nevez t másodfokú tényez kre bontjuk: + = + + = + = + + +. Tehát + = A + B + + + C + D +, azaz = A + B + + C + D + +, amib l = A+C + A+B + C +D +A B +C + D+B +D. A megfelel együtthatók összehasonlításából: A + C = 0 A + B + C + D = 0 A B + C + D = 0 B + D =. Ezekb l B = D =, C =, A =. + + + = + = + + + + = + = ln + + + + + = + + + = ln + + + + + + + = + = ln + + + + arctg + + arctg + C = = ln + + + + arctg 9. 7 arctg 7.0
. Határozatlan integrál 95. arth + C, ha < < arcth + C, ha < 96. Az cos cos +, és, vagy > +. felbontással parciális integrálást végezve, majd a még integrálandó tag számlálójában sin = cos átalakítást alkalmazva a kiszámítandó I határozatlan integrálra az I = sin cos I + cos egyenletet kapjuk, amib l I = sin cos + ln tg + π 97. cos sin + ln tg 98. ch sh ln th 99. cos = + cos cos = tg = cos = tg + tg cos = tg + tg + C. 00. ctg ctg 0. tg = tg tg = cos tg = tg + ln cos + tg 0. sin = sin + tg sin cos = ln tg + tg 0. tg + 0. tg sin = cos = cos = tg cos 05.u = tg helyettesítéssel u 5 + u du = u u + u du = tg tg ln cos u + 06. tg sin + 07. 5 + sin + sin 8 8 6 sin 08. Az u = és v = arctg választással arctg = arctg + arctg = + arctg arctg + ln + Lásd a.0/a és /b feladatokat. 09.a ln a ln a + ln a 0. ch + ch ch.
. Határozatlan integrál.t = th helyettesítéssel az eredmény: a + b arth a th b a + b.. A kiszámítandó integrált I-vel jelölve ch sh I = a + b sh = b ch b ch b a + b sh b sh b a + b sh. Parciálisan integrálva a g = b ch és f b ch = a + b sh választással I = [ b ch ] b a + b sh a a + b sh a b I, I = [ b ch ] a + b a + b sh a a + b sh + C. Az utóbbi integrál kiszámításához lásd az el z feladatot.. sin ln cos ln. arsh arch sin cos 5. a = b esetén az integrál = a a sin a b esetben viszont a sin + b cos = a b sin cos. a sin + b cos Ekkor az eredmény: a b 6. cos = sh u-t véve I = [ ] cth arsh cos + arsh cos sin sin cos 7.I = + cos cos = + cos cos. Legyen cos = sh u, ekkor cos sin = ch u du, és ch u + sh I = sh u du = u ch u du = cth u u + C = sh u sh u u + C = + cos = arsh cos + C. cos 8. Átalakításokkal cos 6 + sin 6 = + cos. I = sin + cos. Legyen cos = sh u, akkor I = [ arsh cos + cos + cos ]. 6 sin + cos 9.I = a + b cos = = b sin b sin b a + b cos + b cos b a + b cos. Parciálisan integrálva a g = b sin és f b sin = a + b cos választással I = b b sin a + b cos b a a + a + b cos b I..