Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás nélkül?. Sorolja fel a harmadik egséggököket trigonometrikus alakban!. Definiálja a numerikus sorozat konvergenciáját és határértékét! 4. Mondjon a sorozat konvergenciájára eg olan feltételt, amel szükséges, de nem elégséges! 5. Mit ért azon, hog eg valós-valós függvén monoton növekedő? 6. Karikázza be a heles választ! a) Eg páros és eg páratlan függvén szorzata A) páros B) páratlan C) páros és páratlan D) nem páros és nem páratlan E) nem dönthető el b) A z=r ( cos(ϕ)+ j sin(ϕ) ) komple szám ötödik egséggök, ha A) r=ésϕ= π B) r=ésϕ= π 5 C) r=ésϕ=4π D) r=ésϕ= 4π 5 E) r=ésϕ= π 7 c) Ha az (a n ) sorozat konvergens és a (b n ) sorozat divergens, akkor a A) szorzatuk konvergens B) szorzatuk divergens C) összegük konvergens D) összegük divergens E) az előbbiek közül egik sem d) Legen f : [, ] R, és g:r R, g()=+. Mi lehet az f g függvén értelmezési tartomána? A)R B) [, ] C) [, ] D) [, ] E) az előbbiek közül egik sem Számítási feladatok. Adottak a z = ( cos ( π 4) + j sin ( π 4)), z = +j és z = +j komple számok. a) Számítsa ki z 7 értékét algebrai alakban! z 7= ( ( ) ( )) cos 7π 4 + j sin 7π 4 = 04 04j b) Írja fel a z szám trigonometrikus és eponenciális alakját! z =, 6, mivel tg ( ϕ ) = és z képe az első síknegedbe esik ϕ, 7, tehát z, 6 ( cos (, 7 )+ j sin (, 7 ) ) =, 6e 0,588j
c) Oldja meg a z 5 = z z egenletet és az eredmént adja meg trigonometrikus alakban! Ábrázolja a megoldásokat a Gauss-féle számsíkon! z z = 4 4j= ( cos (5 )+ j sin (5 ) ). Az egenlet öt megoldása: z= ( cos (6 + k 7 )+ j sin (6 + k 7 ) ), ahol k {0,,,, 4}.. Igazolja, hog az a n = n + sorozat szigorúan monoton növekedő! n+ Azt kell igazolni, hog (n+) + (n+)+ = a n+> a n = n + n+ Ebből ekvivalens átalakításokkal az n +5n>5 egenlőtlenség adódik, ami minden pozitív egész n-re igaz, íg az állítást igazoltuk.. Számítsa ki a következő sorozatok határértékét: a) lim n n+ n = lim n 5 + n n n n = b) lim ( 9n + n n ) = lim 6n 9n + n +n+ = = lim 6 n 9+ n n + + n ( ) n+ n ( ( c) lim = lim + ) n ) n n = e n n ha > 4. Legen f : D f =R, f ()= és g: D g =R, g()= 8 pont ha Adja meg az f g függvént képlettel, és ábrázolja Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben! Mit mondhatunk az f g függvénről monotonitás, korlátosság, konveitás és szimmetriatulajdonságok szempontjából? Elég szemléletes alapon eldönteni, hog milen tulajdonságok érvénesek. =
8 6 4 f g: ha > D f g =R, ( f g)()= ha A függvén monoton növekedő, de nem szigorúan monoton. Alulról korlátos, de nem korlátos. Konve, de nem szigorúan konve. Nem páros, nem páratlan, nem periodikus. Képlet, ábra, tulajdonságok - pont.
Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. B csoport Elméleti kérdések. Írja fel a Moivre formulát! Mit fejez ki az összefüggés?. Milen értékeket vehetnek fel a képzetes egség pozitív egész kitevős hatvánai? Milen összefüggés van a hatvánkitevő és a hatván értéke között?. Mit ért azon, hog eg numerikus sorozat határértéke+? 4. Mondjon a numerikus sorozat konvergenciájára olan feltételt, ami szükséges is és elégséges is! 5. Mit ért azon, hog eg valós-valós függvén páros? 6. Karikázza be a heles választ! a) Két monoton növekedő függvén szorzata A) monoton növekedő B) monoton csökkenő C) szigorúan monoton D) nem monoton E) nem dönthető el b) A z=r ( cos(ϕ)+ j sin(ϕ) ) komple szám hetedik egséggök, ha A) r=ésϕ= 4π B) r=ésϕ= 4π 7 C) r= ésϕ= 6π 7 D) r= ésϕ=6π E) r=ésϕ= π 5 c) Ha az (a n ) sorozat monoton növekedő és a (b n ) sorozat monoton csökkenő, akkor az (a n b n ) sorozat A) monoton növekedő B) monoton csökkenő C) nem monoton D) divergens E) konvergens d) Ha az f és g valós-valós függvének mindegike konkáv az I intervallumon, akkor f g szorzatuk ezen az intervallumon A) konve B) konkáv C) nem konve és nem is konkáv D) monoton növekedő E) nem dönthető el Számítási feladatok. Adottak a z = 4 ( cos ( ) ( )) π 4 + j sin π 4, z = + j és z = 4j komple számok. a) Számítsa ki z 5 értékét algebrai alakban! z 5= ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 5 cos 5π 4 + j sin 5π 5 4 = cos 7π 4 + j sin 7π 4 = 4096 4096j
b) Írja fel a z szám trigonometrikus és eponenciális alakját! z =5, mivel tg ( ϕ ) = 4 és z képe a negedik síknegedbe esik ϕ 06, 9, tehát z 5 ( cos (06, 9 )+ j sin (06, 9 ) ) = 5e 0,97j c) Oldja meg a z = 9z + z + 0z egenletet és az eredmént adja meg trigonometrikus alakban! Ábrázolja a megoldásokat a Gauss-féle számsíkon! 9z + z + 0z = j= 8 ( cos (5 )+ j sin (5 ) ). Az egenlet három megoldása: z= ( cos (75 + k 0 )+ j sin (75 + k 0 ) ), ahol k {0,, }.. Igazolja, hog az a n = n+ sorozat szigorúan monoton csökkenő! n + Azt kell igazolni, hog pont (n+)+ (n+) + = a n+< a n = n+ n + Ebből ekvivalens átalakításokkal az <n +4n egenlőtlenség adódik, ami minden pozitív egész n-re igaz, íg az állítást igazoltuk.. Számítsa ki a következő sorozatok határértékét: n+4 n a) lim n n n+ = lim n + 4 = n + n n b) lim ( 4n + 6n+ n ) = lim 4n 6 4n + 6n++n+ = = lim 4 6 n 4+ 6 n + n + + n = ( ) 4n 5n+ c) lim = lim 4n 4n 4n (5n+) 4n = ( ) 5 4 e 4. Legen ha > f : D f =R, f ()=4 és g: D g =R, g()= ha 8 pont Adja meg az f g függvént képlettel, és ábrázolja Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben! Mit mondhatunk az f g függvénről monotonitás, korlátosság, konveitás és szimmetriatulajdonságok szempontjából?
4 4 5 f g: 4 ha > D f g =R, ( f g)()= ha A függvén nem monoton. Felülről korlátos, de nem korlátos. Nem konve, nem konkáv. Nem páros, nem páratlan, nem periodikus. Elég szemléletes alapon eldönteni, hog milen tulajdonságok érvénesek. Képlet, ábra, tulajdonságok - pont.
Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. dec. 0. Elméleti kérdések Az. zh. pótlása. Mit értünk eg komple szám konjugáltján? Mit mondhatunk eg komple számnak és a konjugáltjának a szorzatáról?. Írja fel a z= ( cos( ) j sin( ) ) komple szám trigonometrikus alakját!. Mit ért azon, hog eg numerikus sorozat monoton növekedő, illetve szigorúan monoton növekedő? 4. Mit mondhatunk két konvergens sorozat összegének, illetve hánadosának határértékéről? 5. Mit ért azon, hog eg valós-valós függvén felülről korlátos, és mit ért azon, hog korlátos? 6. Karikázza be a heles választ! a) Ha az f és g valós-valós függvének nem korlátosak, akkor A) f+ g nem korlátos B) f g nem korlátos C) f+ g korlátos D) f g korlátos E) nem dönthető el b) Melik összefüggés teljesül z, z C esetén? A) z z < z z B) z z > z z C) z z = z z D) z + z = z + z E) az előbbiek közül egik sem c) Ha lim a n =+, akkor (a n ) A) monoton növekedő B) konvergens C) felülről korlátos D) alulról korlátos E) az előzőek közül egik sem d) Legen f :R\{, 5} R, f ()= és g: [0,+ [ R, g()=. Ekkor f g ( )( 5) értelmezési tartomána: A)R\{, 5} B)R\ { }, 5 C)R\{9, 5} D) [0;+ [\ { }, 5 E) [0;+ [\{9, 5} Számítási feladatok. Adottak a z = ( cos ( ) ( )) 4π + j sin 4π, z = + j és z = 4 j komple számok. a) Számítsa ki z 6 értékét algebrai alakban! z 6= 6( cos (8π)+ j sin (8π) ) = 64
b) Írja fel a z szám trigonometrikus és eponenciális alakját! z =5, mivel tg ( ϕ ) = 4 és z képe a negedik síknegedbe esik ϕ 06, 9, tehát z 5 ( cos (, )+ j sin (, ) ) = 5e 0,644j c) Oldja meg a z = 9z + 6z egenletet és az eredmént adja meg trigonometrikus alakban! Ábrázolja a megoldásokat a Gauss-féle számsíkon! 9z + 6z = j=6 ( cos (00 )+ j sin (00 ) ). Az egenlet három megoldása: z= 6 ( cos (00 + k 0 )+ j sin (00 + k 0 ) ).8 ( cos (00 + k 0 )+ j sin (00 + k 0 ) ), ahol k {0,, }.. Igazolja, hog az a n = n+7 n+ sorozat szigorúan monoton csökkenő! a n = n+7 n+= (n+7) (n+) n+7+ n+ = 5 n+7+ n+ A tört számlálója is és nevezője is pozitív. Mivel a számláló konstans és a nevező mindkét tagja szigorúan monoton növekedő, az állítás igaz.. Számítsa ki a következő sorozatok határértékét: n n n+7n n + n 7 a) lim 8n n+n+ = lim =+ 8+ n + n n b) lim ( 5n + 8n+ 5n 4n+5 ) = lim = lim n 5n + 8n++ 5n 4n+5 = n = 6 = 6 5 5+ 8 + + 5 4 + 5 5 5 n n n n ( ) n+7 n c) lim = lim n+4 + n+4 n+4 (n ) n+4 = e 9 = e 9 4. Legen ha 0 f : D f =R, f ()= ha <0 és g: D g =R, g()= 8 pont Adja meg az f g függvént képlettel, és ábrázolja Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben! Mit mondhatunk az f g függvénről monotonitás, korlátosság, konveitás és szimmetriatulajdonságok szempontjából?
5 5 f g: D f g =R, ( f g)()= 4 A függvén nem monoton. Alulról korlátos, de nem korlátos. Konve, de nem szigorúan konve. Páros, nem periodikus. ha << egébként Elég szemléletes alapon eldönteni, hog milen tulajdonságok érvénesek. Képlet, ábra, tulajdonságok - pont.