Differenciálegyenletek

DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum

DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1) (x) ) egyenletet n-edrendű közönséges explicit differenciálegyenletnek nevezzük. Megjegyzés: Mivel a továbbiakban csak közönséges explicit differenciálegyenletekkel foglalkozunk, ezért e két jelzőt a továbbiakban nem fogjuk kiírni.

Elsőrendű differenciálegyenlet DE 3 Az elsőrendű (közönséges explicit) differenciálegyenletek általános alakja: y (x) f ( x, y(x) ) Másodrendű differenciálegyenlet: A másodrendű (közönséges explicit) differenciálegyenletek általános alakja: y (x) f ( x, y(x), y (x) )

Példa: Newton II. törvénye DE 4 m a(t) F(t,s(t), v(t)) Mivel a sebesség-idő függvény az út-idő függvény első deriváltja (v(t)s (t)), a gyorsulás-idő függvény pedig a második deriváltja (a(t)s (t)), Newton II. törvénye az út-idő függvényre egy másodrendű differenciálegyenlet: s (t) 1 m F(t,s(t),s (t)) f (t,s(t),s (t))

DE 5 Példa: felfüggesztett kötél Két végén felfüggesztett, hajlékony, nyújthatatlan kőtél alakját leíró függvény ( y(x) ) a következő differenciálegyenletnek tesz eleget: y "(x) k 1+ y'(x)

DE 6 Definíció: differenciálegyenlet megoldása A ϕ : I függvény megoldásaaz y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1) (x) ) n-edrendű differenciálegyenletnek, ha ϕ n-szer differenciálható az I-n (x,ϕ(x), ϕ'(x),..., ϕ (n-1) (x) ) D f, ha x I ϕ (n) (x) f ( x, ϕ(x), ϕ'(x),..., ϕ (n-1) (x) ), ha x I.

Definíció: kezdeti érték probléma DE 7 Legyen (x 0,y 0,...,y n-1 ) D. Az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1) (x) ) d.e.-re vonatkozó kezdeti érték problémán azt a feladatot értjük, amikor az egyenletnek azokat a ϕ : I megoldásait keressük, melyekre: x 0 I ϕ(x 0 ) y 0, ϕ (x 0 ) y 1, ϕ (x 0 ) y, ϕ (n-1) (x 0 ) y n-1 Megjegyzés A feltételek száma azonos a d.e. rendjével.

Tétel DE 8 Ha a differenciálegyenletben szereplő f függvény folytonos, akkor az k.é.p.-nak van megoldása. Tétel Ha a differenciálegyenletben szereplő f függvény folytonosan differenciálható (azaz az f összes elsőrendű parciális derivált függvénye folytonos), akkor a k.é.p.- nak pontosan egy megoldása van.

Iránymező DE 9 y'(x) y(x) + x -x P 1 (-1,-1) x -1, y -1 y 1 P (,0) x, y 0 y A megoldásfüggvények: y(x) c e x x x 1, c

DE 10 y(x) c e x x x 1, c Az y(0)0 kezdeti értéknek megfelelő megoldásfüggvény: c e 0 0 0 1 0 c 1 y(x) e x x x 1

DE 11 Szétválasztható változójú differenciálegyenletek Ha a g:]a,b[ és a h:]c,d[ függvények folytonosak, akkor az y'(x) g ( x ) h(y(x) ) típusú elsőrendű differenciálegyenleteket szétválasztható változójú (vagy szeparábilis) differenciálegyenleteknek nevezzük.

DE 1 Szétválasztható változójú differenciálegyenletek megoldásának formális lépései y (x) g(x) h(y(x)) dy g(x) h(y) dx Példa: y (x) x (y dy x (y 1) dx + 1 dy g(x)dx dy y + 1 h(y) 1 (x) + 1) x dx

DE 13 Példa: y'(x) xy (x) +x, y(0) 1. y (x) x (y (x) + 1) dy x (y 1) dx + 1 dy x dx y + 1 arctg y x + c x y(x) tg + c A k.é.p. megoldása: π y(0) 1 tg c 1 c 4 y(x) tg x + π 4

DE 14 Megjegyzések 1. A fenti módszerrel általában csak implicit alakban kaphatók meg a megoldásfüggvények.. A differenciálegyenlet formális megoldása után meg kell vizsgálni, hogy a kapott függvény hol értelmezhető, és mely intervallumokon lesz ténylegesen megoldása az egyenletnek. Az előző példában kapott függvény megoldása a d.e.-nek minden olyan intervallumon, melyet az x halmaz tartalmaz. x + π 4 π + kπ, k Z

DE 15 Megjegyzés Az y (x) f (x,y(x)) típusú differenciálegyenletek között speciális esetként szerepelnek a legegyszerűbb elsőrendű egyenletek az y (x) f (x) típusú differenciálegyenletek. Itt a megoldásfüggvények az f határozatlan integrál függvényei. Példa y (x) x x y(x) (x x)dx x 3 3 x + c

DE 16 Példa 10 C-os test hőmérséklete 30 C-os környezeti hőmérséklet mellett 10 perc alatt 60 C-ra csökkent. Mennyi idő alatt csökken a test hőmérséklete 40 C-ra? A kérdés megválaszolásához meg kell határozni a hűlést jellemző hőmérséklet-idő függvényt. Jelölje T a hőmérsékletet, t az időt! Azzal a legegyszerűbb feltevéssel élve, hogy a hűlés sebessége csak a kenyér és a környezet hőmérsékletkülönbségétől függ, mégpedig azzal egyenesen arányos azt kapjuk, hogy: T(t) t k (T(t) 30) ahol k az anyagra jellemző állandó.

DE 17 A t 0 határértéket véve: lim t 0 T(t) t lim t 0 ( k (T(t) 30) ) dt dt k (T 30) vagyis a T(t) függvényre egy elsőrendű szétválasztható változójú differenciálegyenletet kaptunk. Ennek megoldása: 1 dt T 30 k ln( T 30) kt + 1dt c T(t) e kt + c + 30

DE 18 A k és a c konstansok értéke a feladatban közölt információk alapján meghatározható. A T(0)10 és a T(10)60 feltételekből a következő egyenletrendszer adódik: T(0) 10 I. 60 e -10k+c + 30 T(10) 60 II. 10 e c + 30 c ln 90, k ( ln 3 ) / 10 Így a feladat megoldása: T(t) e ln 3 t + ln 90 10 + 30

DE 19 T(t) e ln 3 t + ln 90 10 + 30 A feladat jellegéből adódóan t [0,+ ). Mennyi idő alatt csökken a test hőmérséklete (a kezdeti 10 C ról) 40 C -ra? 40 e ln 3 t + ln 90 10 + 30 t 0 (perc).

DE 0 Lineáris differenciálegyenletek Definíció Ha a g 0, g 1,, g n-1, h : I függvények folytonosak, akkor az y (n) (x) + g n-1 (x)y (n-1) (x) + + g (x)y"(x) + +g 1 (x)y (x) + g 0 (x)y(x) h(x) d.e.-et n-edrendű lineáris differenciálegyenleteknek nevezzük.

DE 1 Definíció Ha h(x) 0, akkor homogén, különben inhomogén lineáris egyenletről beszélünk. Megjegyzések 1. Ha egy inhomogén egyenletben a h függvény helyébe a konstans 0 függvényt írjuk, akkor inhomogén egyenlet homogén megfelelőjét kapjuk. A későbbiekben látni fogjuk, hogy az inhomogén egyenletek megoldásai szoros kapcsolatban állnak a homogén megfelelő megoldásaival.. Az alkalmazások szempontjából a lineáris differenciálegyenletek a legfontosabbak közé tartoznak.

DE Példák lineáris differenciálegyenletre 1. NEWTON II. EGYENLET - CSILLAPÍTOTT EZGÉS Egy D rugóállandójú rugóhoz rögzített m tömegű test rezgésének kitérés-idő függvénye ( y(t) ), a sebességgel arányos közegellenállás esetén (arányossági tényező: f)a következő differenciálegyenletnek tesz eleget: f D y "(t) + y'(t) + y(t) m m 0

DE 3 Példák lineáris differenciálegyenletre. SOOS -L-C KÖ Konstans U 0 feszültség rákapcsolásával a körben kialakuló áramerősség függvény ( i(t) ) a következő differenciálegyenletnek tesz eleget: 1 i "(t) + i'(t) + i(t) L CL 0

A lineáris differenciálegyenletek megoldásairól DE 4 Definíció: lineárisan független függvényrendszer A {ϕ 1, ϕ,, ϕ n } függvényrendszert lineárisan függetlennek nevezünk, ha a rendszer egyik elemét sem lehet a többi elem lineáris kombinációjaként előállítani. Tétel: homogén lineáris differenciálegyenlet alaprendszere Minden n-edrendű a lineáris homogén differenciálegyenletek létezik n darab olyan megoldásfüggvénye, melyek lineárisan független rendszert alkotnak. Egy ilyen {ϕ 1, ϕ,, ϕ n } függvényrendszert a lineáris homogén differenciálegyenlet alaprendszerének nevezzük.

DE 5 Definíció: a homogén egyenlet általános megoldása Ha a {ϕ 1,ϕ,,ϕ n } függvényrendszer egy lineáris homogén differenciálegyenlet alaprendszere, akkor e függvények bármely c 1 ϕ 1 +c ϕ + +c n ϕ n lineáris kombinációja szintén megoldása az egyenletnek. E függvények összességét (ami végtelen sok függvényt tartalmaz) nevezzük a lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldásának: y H c 1 ϕ 1 +c ϕ + +c n ϕ n, c 1, c, c n

Definíció: az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása DE 6 Egy lineáris inhomogén differenciálegyenlet egy konkrét megoldásfüggvényét partikuláris megoldásnak nevezzük. Tétel: az inhomogén egyenlet általános megoldása Ha y H egy lineáris inhomogén differenciálegyenlet homogén megfelelőjének általános megoldása, y p pedig az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása, akkor az inhomogén egyenlet megoldásai éppen az y IH y H + y p alakú függvények. E függvények összességét a lineáris inhomogén differenciálegyenlet általános megoldásának nevezzük.

DE 7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek megoldása Ha a h:i és a g:i függvények folytonosak, akkor az y'(x) + g(x) y(x) h(x) egyenletet elsőrendű lineáris inhomogén d.e.-nek, az y'(x) + g(x) y(x) 0 egyenletet elsőrendű lineáris homogén d.e.-nek nevezzük.

A homogén egyenlet megoldása DE 8 Tétel: Az y'(x) + g(x) y(x) 0 homogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldása: y H (x) c e g(x) dx, c Példa: y'(x) x y(x) 0 g(x) -x y H (x) c e g(x)dx c e x dx c e x

DE 9 A lineáris differenciálegyenletek általános tárgyalásakor korábban megfogalmazottak szerint: Az y'(x) + g(x) y(x) h(x) differenciálegyenletet egy konkrét megoldását partikuláris megoldásnak nevezzük. Az y'(x) + g(x) y(x) h(x) inhomogén lineáris differenciálegyenletet általános megoldása: y IH y H + y p ahol y H az y'(x) + g(x) y(x) 0 egyenlet általános megoldása, y p pedig az inhomogén egyenlet egy tetszőleges partikuláris megoldása.

DE 30 A partikuláris megoldás meghatározása konstansvariálással Az inhomogén egyenlet y p partikuláris megoldásának meghatározására több módszert ismert. Ezek közül itt a ún. konstansvariálás módszert mutatjuk be, mely a homogén megfelelő általános megoldásának ismeretében szolgáltatja az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását.

DE 31 A konstansvariálás lépései y H (x) ce g(x) dx y p (x) k(x) e y'(x) + g(x) y(x) h(x) g(x) dx k (x) e g(x) dx + k(x) e g(x) dx ( g(x)) + g(x) k(x) e g(x) dx h(x) k (x) e g(x) dx h(x) k (x) h(x) e g(x) dx k(x) g(x) dx h(x) e dx y p

Példa IH H DE 3 y'(x) x y(x) x 3, y(0) 1 g(x) -x h(x) x 3 y'(x) x y(x) 0 y H (x) ce g(x) dx y H (x) x x ce y p (x) k(x) e IH k (x) e x x 3 k (x) x 3 e x k(x) x x 3 x e dx (x + ) e y p

DE 33 y p (x) k(x) e x (x + ) e x e x (x + ) y IH (x) y H (x) + y p (x) c e x (x + ) A k.é.p. megoldása: y (0) 1 c 1 c 3 x + y(x) 3 e (x )

DE 34 Példa: soros -C kör konstans feszültséggel Kérdés: soros -C körre U 0 konstans feszültséget kapcsolva a körben folyó áram erőssége hogyan függ az időtől? Az áramerősség-idő függvény a következő elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletnek tesz eleget: 1 i '(t) + i(t) C 0 A feszültség rákapcsolásakor az áramerősség: U0 i(0)

DE 35 Ennek általános megoldása: i(t) i H (t) ce 1 C A kezdeti értéket figyelembe véve: U0 i(0) A probléma megoldása: dt ce U0 c 1 t C i(t) U 0 e 1 C dt

DE 36 Példa: soros -L kör konstans feszültséggel Kérdés: soros -L körre U 0 konstans feszültséget kapcsolva a körben folyó áram erőssége hogyan függ az időtől? Az áramerősség-idő függvény a következő elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletnek tesz eleget: U0 i'(t) + i(t) L L A feszültség rákapcsolásakor az áramerősség 0. Ezt az i(0) 0 kezdeti érték feltétellel lehet figyelembe venni.

Az egyenlet homogén megfelelője: Ennek általános megoldása: i '(t) + i(t) L 0 DE 37 i H (t) ce L dt ce t L Az eredeti (inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása: i p (t) k(t) e t L a k függvényt konstansvariálással határozzuk meg:

DE 38 t L 0 e L U k'(t) L U e '(t) k 0 t L t L 0 t L 0 t L 0 e U L e U dt e U k(t) Ebből a partikuláris megoldás: U e e U e k(t) (t) i 0 t L t L 0 t L p Az inhomogén egyenlet általános megoldása pedig: U e c (t) i (t) i (t) i 0 t L p H IH + +

t U L 0 iih (t) ih (t) + ip(t) ce + DE 39 i(0) 0 U0 0 c + U0 c A probléma megoldása: i(t) U t 0 U + 0 U L 0 L e 1 e t

DE 40 Példa: soros -L kör váltakozó feszültséggel A Sorosan kapcsolunk egy ellenállást, egy L induktivitású tekercset és egy Usin(ωt) függvény szerint időben változó feszültségforrást. Határozzuk meg az áramerősséget az idő függvényében tudván, hogy a t0 időpillanatban az áramerősség nulla, azaz i(0)0. A fizikából ismeretes, hogy a feladatban leírt esetben az áramerősség-idő függvény (i(t)) eleget tesz az L di(t) dt + i(t) Usin( ωt) d.e.-nek. Az egyenletet elosztva L-lel az

IH i'(t) + L i(t) U L sin( ωt) lineáris inhomogén d.e.-hez jutunk, ahol Az H i '(t) + i(t) L 0 g (t) L h(t) U L DE 41 sin( ωt) homogén egyenlet általános megoldása: i H (t) c e g(t)dt c e L dt c e L t

DE 4 A konstansvariálás módszert alkalmazva az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását c(x) e alakban keressük. Ezt a függvényt az inhomogén egyenletbe helyettesítve a c függvényre a L t c'(t) U L sin( ωt) L e t d.e. adódik. Ebből (a parciális integrálási módszert alkalmazva): c(t) U sin( ωt) e L L t dt U L ω ( sin ωt Lωcosωt) e L t

DE 43 Az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása: L T U ip(t) c(t) e L ω ( sin ωt Az inhomogén egyenlet általános megoldása: Lωcosωt) T U iih(t) ih(t) + ip(t) c e + L ω L ( sin ωt Lωcosωt) A k.é.p. megoldása: i(t) L U t (Lωe + sin ωt Lωcosωt) L ω

DE 48 Néhány másodrendű differenciálegyenlet-típus megoldása y (x) f ( x, y(x), y (x) ) y (x) f ( x, y (x) ) típusú differenciálegyenletek Ha I és J intervallumok, f:i J függvény, akkor az folytonos y"(x) f ( x, y'(x) ) alakú d.e.-ek megoldása a p(x) y'(x) jelöléssel visszavezethető két elsőrendű d.e. megoldására az alábbiak szerint:

DE 49 y (x) f ( x, y (x) ) y (x) p(x) y (x) p (x) I. p (x) f(x,p(x)) II. y (x) p(x) p(x) y(x)

DE 50 Példa: y"(x) y'(x) + e x, y'(0)1, y(0)1 y"(x) y'(x) + e x y (x) p(x) y (x) p (x) I. p'(x) p(x) e x (elsőrendű lineáris inhomogén d.e.) p p H p (x) (x) 1dx x c1 e c1 e k (x) 1 k(x) x k(x) e x p p (x) x e x x p(x) c 1 e x +xe x k (x) e e x

DE 51 II. y'(x) c 1 e x +xe x y(x) ( xe x +c 1 e x ) dx (x+c 1 ) e x dx ( x 1+c 1 ) e x +c A k.é.p. megoldása: y (x) (x+c 1 )e x y'(0) 1 c 1 1 y(x) ( x 1+c 1 ) e x +c y(0) 1 c 1 y(x) x e x +1

DE 5 Megjegyzés: Az y (x) f (x,y (x)) típusú differenciálegyenletek között speciális esetként szerepelnek a legegyszerűbb másodrendű egyenletek az y (x) f (x) típusú differenciálegyenletek. A előbbiekben leírt megoldási módszert követve látható, hogy két y (x)f(x) típusú egyenletet kell megoldani, azaz két integrálással eredményre lehet jutni.

Példa: y "(x) x, y(1) 4, y'(1) y'(x) 3 3 x dx x + c1 x + 3 3 c1 DE 53 3 5 4 5 y (x) x + c 1 dx x + c1 x + c x + c1 x + 3 3 3 3 y '(1) 1 + c1 4 15 5 y (1) 4 4 1 + 1+ c Az k.é.p. megoldása: 5 y(x) 4 3 4 15 x 5 4 3 15 x + c 1 c 4 3 36 15 + 36 15 c

Példa: Newton II. törvénye konstans erőhatás esetén DE 54 m s (t) F 0 F0 s (t) m F0 F0 v (t) s'(t) dt t + c1 m m F0 F0 t s (t) t + c1 dt + c1 t + c m m Kezdeti értékek: kezdeti hely: kezdeti sebesség: s(0)s 0 v(0)v 0 v(0)v 0 c 1 v 0 s(0)s 0 c s 0 Megoldás: F t a s (t) + m 0 0 + v s 0 t + s0 t + v0 t 0

DE 55 Másodrendű lineáris konstansegyütthatós differenciálegyenletek Ha h:i folytonos függvény, b,c, akkor az y"(x) + by'(x) + cy(x) h(x) egyenletet másodrendű lineáris konstansegyütthatós inhomogén d.e.-nek, az y"(x) + by'(x) + cy(x) 0 egyenletet másodrendű lineáris konstansegyütthatós homogén d.e.-nek nevezzük.

DE 56 A lineáris differenciálegyenletek általános tárgyalásakor korábban megfogalmazottak szerint: Ha y 1 :I és y :I függvények az y"(x) + by'(x) + cy(x) 0 egyenlet lineárisan független megoldása, akkor az {y 1,y } függvényrendszert a d.e. alaprendszerének nevezzük. Ha { y 1, y } az y"(x) + by'(x) + cy(x) 0 homogén egyenlete alaprendszere, akkor az egyenlet általános megoldása: y H c 1 y 1 +c y.

DE 57 Homogén egyenlet alaprendszerének és általános megoldásának meghatározása Definíció: karakterisztikus egyenlet Az y"(x) + by'(x) + cy(x) 0 egyenlet karakterisztikus egyenlete: λ +b λ+c0 A karakterisztikus egyenlet megoldásainak ismeretében a homogén d.e. alaprendszere és így az általános megoldása is meghatározható a következők szerint:

Tétel: DE 58 Ha a λ +b λ+c0 karakterisztikus egyenletnek két különböző megoldása van: λ 1 és λ, akkor a homogén egyenlet alaprendszere: { λ e x x } 1, e λ általános megoldása pedig: y H (x) λ1x λx c1 e + c e c 1,c

DE 59 Példa: y"(x) + 3 y'(x) + y(x) 0 A karakterisztikus egyenlet: λ + 3λ + 0 Gyökei: λ 1 -, λ -1 Alaprendszer: { e -x, e -x } Általános megoldás: y H c 1 e -x +c e -x, c 1,c

Tétel: Ha a λ +b λ+c0 karakterisztikus egyenletnek egy megoldása van: λ, akkor a homogén egyenlet alaprendszere: DE 60 { x x } e λ, x e λ általános megoldása pedig: y H (x) 1 λx λx c e + c x e c 1,c

DE 61 Példa: y"(x) - 8y'(x) + 16y(x) 0 A karakterisztikus egyenlet: λ -8λ + 16 0 Gyöke: λ 4 Alaprendszer: { e 4x,xe 4x } Általános megoldás: y H c 1 e 4x +c x e 4x, c 1,c

Tétel: DE 6 Ha a λ +b λ+c0 karakterisztikus egyenletnek nincs megoldása, akkor a homogén egyenlet alaprendszere: { e ux sin(vx), e ux cos(vx) } általános megoldása pedig: y H (x) c 1 e ux sin(vx) + c e ux cos(vx) c 1,c ahol u b v 4c b

DE 63 Példa: y"(x) + 6y'(x) + 34y(x) 0 A karakterisztikus egyenlet: λ +6λ + 34 0 Gyöke: nincs, u -3, v 5 Alaprendszer: { e -3x sin(5x), e -3x cos(5x) } Általános megoldás: y H c 1 e -3x sin(5x) + c e -3x cos(5x), c 1,c

DE 64 A lineáris differenciálegyenletek általános tárgyalásakor korábban megfogalmazottak szerint: Az y"(x) + by'(x) + cy(x) h(x) másodrendű lineáris konstansegyütthatós inhomogén differenciál-egyenletet általános megoldása: y IH y H + y p ahol y H az y"(x) + by'(x) + cy(x) 0 egyenlet általános megoldása, y p pedig az inhomogén egyenlet egy tetszőleges partikuláris megoldása.

DE 65 Partikuláris megoldás meghatározása konstansvariálással Az inhomogén egyenlet y p partikuláris megoldásának meghatározására több módszert ismert. Ezek közül itt a ún. konstansvariálás módszert mutatjuk be, mely a homogén megfelelő általános megoldásának ismeretében szolgáltatja az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását.

A konstansvariálás lépései y H (x) c 1 y 1 (x) + c y (x) DE 66 y p (x) k 1 (x) y 1 (x) + k (x) y (x) A k 1 és a k függvények meghatározása: a I. k 1 '(x) y 1 (x) + k '(x) y (x) 0 II. k 1 '(x) y 1 '(x) + k '(x) y '(x) h(x) egyenletrendszerből a k 1 ' és a k ' derivált függvények egyértelműen kiszámíthatók (például a Cramer szabállyal), ezekből pedig integrálással kapjuk az ismeretlen k 1 és k függvényeket.

A Cramer-szabállyal számolva: DE 67 I. k 1 '(x)y 1 (x) + k '(x)y (x) 0 II. k 1 '(x)y 1 '(x) + k '(x)y '(x) h(x) D(x) y det y 1 1 (x) '(x) y y (x) '(x) k k 0 y (x) y1(x) 0 D (x) det 1 h(x) y '(x) D (x) det y1'(x) h(x) '(x) D1(x) D1(x) k1(x) dx D(x) D(x) y ky +k y p 1 1 1 '(x) D (x) D(x) k (x) D (x) D(x) dx y IH y H +y p

Példa: y"(x) + y(x) x IH DE 68 y"(x) + y(x) 0 H A karakterisztikus egyenlet: λ +1 0 Gyöke nincs, u 0, v 1 A homogén egyenlet általános megoldása: y H c 1 sin x + c cos x, c 1,c y p k 1 (x) sin x + k (x) cos x

I. k 1 '(x) sin x + k '(x) cos x 0 DE 69 II. k 1 '(x) cos x + k '(x) (-sin x) x D(x) sin x det cos x cos x sin x 1 D D (x) 0 cos x D1(x) det x cos x k1'(x) x cos x x sin x D(x) 1 (x) sin x 0 D (x) det x sin x k '(x) x sin x cos x x D(x)

DE 70 D (x) D1(x) k '(x) x sin x k1'(x) x cos x D(x) D(x) D1(x) k1(x) dx x cos x dx x cos x + (x D(x) )sin x D (x) k (x) dx x sin x dx x sin x + (x D(x) ) cos x y p (x) k 1 (x) y 1 (x) + k (x) y (x) [xcos x + (x -)sin x]sin x + [-xsin x + (x -)cos x]cos x (x -) y IH (x) y H (x)+y p (x) c 1 sinx + c cosx + x -, c 1,c.

Példa: harmonikus rezgés DE 71 Határozzuk meg egy D rugóállandójú rugóhoz rögzített m tömegű test rezgésének kitérés-idő függvényét! Jelölje y az egyensúlyi helyzettől való kitérést, t az időt! A D rugóállandójú rugó a testre az y kitéréssel arányos húzóerőt fejt ki: F -Dy. Így a Newton-egyenlet alakja: y"(t) Dy(t) D y "(t) + y(t) 0 m m ami egy másodrendű lineáris konstansegyütthatós d.e.

A karakterisztikus egyenlet λ + D m melynek D/m>0 miatt nincs valós gyöke. 0 DE 7 u 0, v D m így az egyenlet általános megoldása: D D (t) c + 1 sin t c cos t m m yh

DE 73 Ha a t0 időpillanatbeli kitérés y 0, a sebesség v 0, azaz a k.é.p. megoldása: y(0) y 0, y'(0) v 0, m c1 v0 c D y 0 m D D y(t) v + 0 sin t y0 cos t D m m