Stabilitás 2008.03.4.
Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás utá a magára hagyott redszer visszatér a yugalmi állapotába kvázistacioárius állapotba kerül végtelebe tart alapjelváltás Stabilitás/2
Stabilitás defiíciók BIBO stabilitás külső stabilitás a bemetek kimeetek viszoyára tesz megkötést aszimptotikus stabilitás a kimeetek határértékére tesz megkötést Stabilitás/3
BIBO stabilitás BIBO stabilitás defiíciója Egy redszert BIBO stabilak evezük, ha korlátos bemeet, azaz u(t) < M, valamely - < t 0 t < időitervallum eseté, a kimeete is korlátos: y(t) < M 2, a t 0 t < időitervallumo (ahol M, M 2 <, és t 0 a kezdőidőpot). Stabilitás/4
Tétel: BIBO stabilitás Egy redszer akkor és csak akkor BIBO stabil, ha 0 h ( t) dt < M < azaz a súlyfüggvéy abszolút itegrálja korlátos. Stabilitás/5
Aszimptotikus (ulla bemeeti) stabilitás Legye -ed redű lieáris, időivariás redszer bemeete zérus, a kimeete pedig a kezdeti értékek miatt y(t). Ekkor y(t) a következő módo fejezhető ki: ahol g k (t) jelöli az y (k) (t 0 ) kezdeti értékek miatti, a ulla bemeetre adott válasz (k+)-dik kompoesét és y k 0 ( ) ( ) ( k t g t y ) ( t ) y k ( k ) ( t ) 0 k d y dt 0 ( t) k t 0 Stabilitás/6
Aszimptotikus (ulla bemeeti) stabilitás Aszimptotikus stabilitás defiíciója Egy lieáris időivariás redszert tetszőleges, em mide esetbe zérus kezdeti feltételek eseté ulla bemeeti stabilitásúak evezzük, ha megválasztható egy M korlát M(y(t 0 ), y () (t 0 ),, y (-) (t 0 )) > 0, úgy, hogy és y(t) M <, t t 0 lim y t ( t) 0 Stabilitás/7
Aszimptotikus (ulla bemeeti) stabilitás Másképpe: Ha egy redszerbe kostas ulla bemeet és adott, legalább egy esetbe emzérus kezdeti feltételek eseté a kimeet ullához tart tetszőlegese agy idő eltelte utá, akkor ezt a redszert ulla bemeeti stabilitásúak (vagy aszimptotikusa stabilak) evezzük. Egyébkét a redszer istabil. Stabilitás/8
Stabilitás/9 Aszimptotikus (ulla bemeeti) stabilitás a stabilitás feltétele mivel a kezdeti feltételek végesek y(t 0 ), y () (t 0 ),, y (-) (t 0 ) < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 k k k k k k t y t g t y t g t y ( ) < 0 0 k k t t, t g
Stabilitás Általáos feltétel Iduljuk ki a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( m t + a y t + + a y t b u ) ( t) + b u( t) y 0 m + 0 ihomogé differeciálegyelet megoldás: homogé általáos megoldása + ihomogé partikuláris megoldása Stabilitás/0
Stabilitás Általáos feltétel homogé egyelet: egyelet bal oldala ullával egyelővé téve a y ( ) ( ( t) + a y ) ( t) + + a y( t) 0 0 bal oldalo kimeet és deriváltjai eek megoldása a magára hagyott redszer válasza ulla bemeeti stabilitás ihomogé megoldás: új egyesúlyi állapot jellemzőiek meghatározása Stabilitás/
Stabilitás Általáos feltétel A homogé egyelet általáos megoldása: y ahol p, p 2,, p a homogé egyeletek megfelelő karakterisztikus egyelet gyökei, c i kostasok stabilitás: p t p t p t ( ) + + + 2 t ce c2e ce lim y t ( t) 0 teljesül: ha ezek a gyökök egatív valósak, vagy egatív valós részű komplex gyökpárok: k Re{p i } < 0, p i, i,, c k e p k t Stabilitás/2
Stabilitás Általáos feltétel a homogé egyelet y(t) megoldása tulajdoképpe a redszer súlyfüggvéye (hisze Y(s) G(s) U(s) így, ha u(t) δ(t) akkor Y(s) G(s) y(t) h(t) ) azaz a stabilitás lim h t ( t) 0 Stabilitás/3
Stabilitás Általáos feltétel Operátor tartomáyba Átviteli függvéy G ahol a p, p 2,, p gyökök a evező poliomjáak gyökei, azaz a pólusok, és megfelelek a homogé differeciál- egyelethez tartozó karakterisztikus egyelet gyökeiek Így a redszer stabilitáshoz ezekek a gyökökek az előjelét kell elleőrizi komplex sík baloldali félsíkjára esek-e ( s) Y U ( s) ( s) b a m s s m + + b + + a 0 0 b a 0 0 ( s z ) ( s zm ) ( s p ) ( s p ) Stabilitás/4
Stabilitás Általáos feltétel Ihomogé egyelet a ( ) ( ( t) + a y ) ( t) + + a y( t) b u( t) y 0 0 legye u(t) (t) ugrásjel ekkor a megoldás általáos alakja ( t) ( t) ( p t p t p t ) 2 + c e + c e + c e y + ahol b 0 /a 0 a redszer erősítése 2 így stabil redszer eseté lim y t ( t) Stabilitás/5
Stabilitás defiíciók összehasolítása BIBO stabilitás: korlátos bemeetre korlátos válasz Aszimptotikus stabilitás: ulla bemeet és em zérus kezdeti feltételek eseté ullához tartó kimeet ugrás jel bemeetre az erősítés által meghatározott végértékhez tartó válasz Aszimptotikusa stabil redszer BIBO stabil is BIBO stabil redszer em feltétleül aszimptotikusa stabil Stabilitás/6
Példák 20 G p, p 2, p 3 ( s) ( s + )( s + 2)( s + 3) 2 3 20 G2( s) p, p 2 ( s )( s + 2s + ) 2, 3 G 3 ( s) 20 ( s + ) ( )( 2 s + 2 s + 4) p, p, 2 2 2 3 ± j G 4 ( s) 20 p, 5, p 0, p 0 2 2 ( s + 0, 5)( s 0, 2s) 0 2 2, Stabilitás/7
Stabilitásvizsgálati módszerek szükségességük fajtáik algebrai: Routh-Hurwitz módszer frekveciatartomáy: Nyquist-kritérium Bode-kritérium geometriai: gyökhelygörbe módszer Stabilitás/8
Routh-Hurwitz kritérium módszercsalád cél: az eredő átviteli függvéy karakterisztikus egyelete alapjá a stabilitás meghatározása legye az eredő átviteli függvéy: G G e ( s) + G az ehhez tartozó karakterisztikus egyelet: illetve poliom alakba: ( s) ( s) H ( s) ( s) G( s) H ( s) + ( s) a s + a s + + as + a0 Stabilitás/9
Stabilitás/20 Routh-Hurwitz kritérium A stabilitás szükséges és elégséges feltétele: Mide együttható legye pozitív a i > 0, i,, A H Hurwitz-determiás valameyi főátlóra támaszkodó aldetermiása legye pozitív: 2 3 i > 0, i,, 0 2 3 4 2 5 3 0 0 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a a a M O M M M
Nyquist-kritérium a hurokátviteli függvéye alapuló geometria kritérium elv: a felyitott kör helygörbéjéből következtetük a zárt redszer stabilitási viszoyaira kiidulás Stabilitás/2
Nyquist-kritérium Az átviteli függvéy: G ( s) G + G o( s) ( s) G ( s) A karakterisztikus egyelet: +G e (s)0 melyből a pólusokat megkapjuk o m Go + G ( s) ( s) e Áttérve frekveciatartomáyba +G e (jω)0 Stabilitás/22
Nyquist-kritérium Az +G e (jω)0 összefüggés fizikai értelme: va-e a zárt redszerek csillapítatla sziuszos rezgésű álladósult megoldása ω 0 : G e (jω 0 ) - ha ige: akkor ezzel az ω 0 frekveciával gerjesztve a zárt redszert csillapítatla rezgéseket kapuk Stabilitás/23
Nyquist-kritérium a kritérium: Ha a felyitott kör G e (jω 0 ) amplitúdófázis görbéje miközbe frekvecia 0 ω < tartomáyo változik éppe áthalad a komplex számsík - potjá, akkor a redszer a stabilitás határá va - Im Re Stabilitás/24
Nyquist-kritérium magyarázat Iduljuk ki a visszacsatolt körből: B legye w 0 vágjuk fel a kört a B- potok között legye a felyitott kör Nyquist-diagramja olya, hogy átmegy a - poto Stabilitás/25
Nyquist-kritérium gerjesszük a redszert a B potba ω 0 frekveciájú sziuszos y b jellel e w-y b B y b y k G e ey b a külöbségképző utá e -y b a poto pedig ismét y b jeleik meg: G e (jω 0 ) G e (jω 0 ) G e (jω 0 ) - Stabilitás/26
Nyquist-kritérium összekötés utá is fe marad ez a jel, a gerjesztés megszűése eseté is valós redszer egységugrás gerjesztés Stabilitás/27
Nyquist-kritérium stabilitás kritérium Ha a felyitott kör Nyquist göbéje a valós tegelyt a - pottól jobbra metszi, akkor a zárt kör stabil; pot a - potba metszi, akkor a zárt kör a stabilitás határá va; a - pottól balra metszi, akkor a zárt kör istabil. Stabilitás/28
Nyquist-kritérium Im - Re Stabilitás/29
Nyquist-kritérium fázis tartalék: ϕ t π - ϕ ha ϕ < π, ϕ t > 0 a redszer stabil Im ha ϕ π, ϕ t 0 a redszer stabilitás határá ha ϕ > π, ϕ t < 0 a redszer istabil - t Re általába ϕ t > π/6 legye Stabilitás/30
Nyquist-kritérium erősítési tartalék κ az origó és a metszéspot közötti távolság Im ha κ < a redszer stabil ha κ a redszer stabilitás határá ha κ > a redszer istabil - Re Stabilitás/3
Bode-kritérium Bode diagram: a frekvecia függvéyébe az amplitúdóviszoy és fázisszög ábrázolása Nyquist diagram egység sugarú kör Bode diagram 0 db tegely Bode kritérium alapja: az amplitúdógörbe és a 0 db tegely metszés potjához milye fázis szög érték tartozik Stabilitás/32
Bode-kritérium Stabilitás/33
Bode-kritérium Stabilitási kritérium: Ha az amplitúdógörbe és a 0 db-es tegely metszéspotjához tartozó ϕ fázisszög agyobb -80 o -ál, akkor a redszer stabil; egyelő -80 o -kal, akkor a redszer a stabilitás határá va; ha kisebb -80 o -ál, akkor istabil. Stabilitás/34
Bode-kritérium Fázistartalék A [db] ϕ t { erősítési tartalék κ [db] fizikai értelmezés -90 o -80 o -270 o t Stabilitás/35
Gyökhelygörbe módszer célja: stabilitásvizsgálat miőségi jellemzők hozzávetőleges meghatározása Evas, 948 alkalmazható SISO és MIMO redszerekre Def.: A gyökhelygörbe a zárt redszer pólusaiak mértai helye a komplex síko, miközbe a redszer valamely paraméterét zérus és végtele között változtatjuk. Stabilitás/36
Gyökhelygörbe kiidulás legye G o ( s) ( s + z )( s + z2 ) ( s + zm ) ( s + p )( s + p ) ( s + p ) 2 ahol - erősítés, -z,, -z m zérushelyek, -p,, -p - pólusok Stabilitás/37
Stabilitás/38 Gyökhelygörbe a visszacsatolt kör eredő átviteli függvéye: a karakterisztikus egyelet: azaz a gyökhelygörbe most a karakterisztikus egyelet gyökeiek mértai helye a komplex síko, midő az erősítést 0 és között változtatjuk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m o o z s z s k p s p s z s z s s G s G s G + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + + + + + m z s z s p s p s
Gyökhelygörbe a karakterisztikus egyeletet átalakítva: azaz G o (s) - ( s + z ) ( s + zm ) ( s + p ) ( s + p ) miutá általáos esetbe a gyökök komplexek, és a komplex számok felírhatók z A e jϕ alakba, így - e ±jlπ ahol l, 3, 5, vagy - ±l 80 o Stabilitás/39
Gyökhelygörbe Összefoglalva: A gyökhelygörbe bármely potjáak két feltételt kell kielégíteie: a valós és a képzetes részekek a egyelet midkét oldalá külö-külö meg kell egyeziük szögfeltétel ( s + z ) ( s + z ) m ( s + p ) ( s + p ) abszolútérték feltétel Stabilitás/40
Gyökhelygörbe legye a k-dik zérushely: s + z k C k e jγ k C k γ k legye a i-dik pólus: s + p i D i e jδ i D i δ i ekkor a szögfeltétel: m m k i ± l k i γ + + γ δ δ γ δ 80 azaz egy s pot akkor és csak akkor tartozik a gyökhelygörbéhez, ha a zérushelyekből kiiduló és az s-be mutató vektorok szögéek összegéből levova a pólusokból kiiduló és az s-be mutató vektorok szögeiek összegét, akkor ±l 80 o -t kapuk. o Stabilitás/4
Stabilitás/42 Gyökhelygörbe az abszolútérték feltétel: azaz egy s pot akkor és csak akkor tartozik a gyökhelygörbéhez, ha a zérushelyekből az s-be mutató vektorok abszolút értékeiek szorzatát elosztva a pólusokból az s-be mutató vektorok abszolút értékeiek szorzatával az erősítés reciprokát kapjuk meg. D C p s p s p s z s z s z s i i k m k m 2 2 + + + + + + Π Π
Gyökhelygörbe a gyökhelygörbe előállítása karakterisztikus egyelet megoldásával grafikus úto próbálgatással szerkesztési módszerek számítógépes programok tulajdoságok alapjá közelítve Stabilitás/43
Gyökhelygörbe a gyökhelygörbe tulajdoságai. A gyökhelygörbéek ayi ága va, ameyi a zárt redszer pólusaiak a száma. 2. A gyökhelygörbe midig szimmetrikus a valós tegelyre ézve. Stabilitás/44
Gyökhelygörbe 3. Legye a pólusok száma, m a zérushelyek száma a felyitott körbe ha > m, akkor a gyökhelygörbe a felyitott kör pólusaiból idul ki, és m számú ág a felyitott kör zérushelyeibe, - m számú ág a végtelebe tart; ha m, akkor a gyökhelygörbe teljese a végesbe va; ha < m, akkor m - számú ág a végteleből idul ki (em reális eset). Stabilitás/45
Gyökhelygörbe 4. A valós tegelye akkor és csak akkor lehetek gyökhelygörbe szakaszok, ha a vizsgált pottól jobbra a pólusok és a zérushelyek együttes száma páratla. 5. A gyökhelygörbe aszimptótáiak iráyát az o ± l 80 α m összefüggés adja meg. Stabilitás/46
Gyökhelygörbe - példák példák csoportosítása evező fokszáma (, 2, 3) számláló fokszáma m (m 0, ) vizsgált kör az eredő átviteli függvéy: G G ( s) e + ( s) G( s) Stabilitás/47
Gyökhelygörbe - példák legye, m 0 ha G s ( s) G ( s) e s + Im Re Stabilitás/48
Gyökhelygörbe - példák ha G e τs + τs + + ( s) G ( s) Stabilitás/49
Gyökhelygörbe - példák legye, m G ( s) ( Ts + ) τs + G e ( s) ( Ts + ) ( τ + T ) s + + ha τ > T Stabilitás/50
Gyökhelygörbe - példák legye 2, m 0 és ξ > G ( s) Ge ( s) 2 2 τ τ 2s + 2 ( τ s + )( τ s + ) τ ( τ + ) s + + Stabilitás/5
Gyökhelygörbe - példák legye 2, m 0 és 0 < ξ < G ( s) G ( s) T 2 s 2 + 2ξTs + e T 2 s 2 + 2ξTs + + Im Re Stabilitás/52
Gyökhelygörbe - példák legye 2, m és ξ > G ( s) ( Ts + ) ( τ s + )( τ s + ) ( s) Ge 2 2 τ τ 2s + τ 2 ( Ts + ) ( τ + + T ) s + + ha τ > T > τ 2 Stabilitás/53
Gyökhelygörbe - példák ha τ > τ 2 > T Stabilitás/54
Gyökhelygörbe - példák legye 2, m és 0 < ξ < G ( s) 2 τ s 2 ( Ts + ) + 2ξτs + G e ( s) τ 2 s 2 + ( Ts + ) ( 2ξτ + T ) s + + Stabilitás/55
Gyökhelygörbe - példák legye 3, m 0 G ( s) ( τ s + )( τ s + )( τ s ) 2 3 + ha τ > τ 2 > τ 3 Stabilitás/56
Gyökhelygörbe - példák G ( s) ( 2 2 T s + 2ξTs + )( τs + ) Stabilitás/57
Gyökhelygörbe - példák legye 3, m G ( s) ( Ts + ) ( τ s + )( τ s + )( τ s ) 2 3 + ha τ > τ 2 > τ 3 > T Stabilitás/58